मान लीजिए कि p और q वास्तविक संख्याएँ हैं जैस | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $\alpha + \beta = -p$ और $\alpha^3 + \beta^3 = q$ है।सर्वसमिका $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \be

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$(p^3 + q)x^2 - (p^3 - 2q)x + (p^3 + q) = 0$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है कि $\alpha + \beta = -p$ और $\alpha^3 + \beta^3 = q$ है।सर्वसमिका $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$ का उपयोग करने पर:$q = (-p)^3 - 3\alpha\beta(-p) = -p^3 + 3p\alpha\beta$ है।अतः,$3p\alpha\beta = p^3 + q$,जिसका अर्थ है $\alpha\beta = \frac{p^3 + q}{3p}$ है।वांछित द्विघात समीकरण के मूल $\frac{\alpha}{\beta}$ और $\frac{\beta}{\alpha}$ हैं।मूलों का योग $= \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{\alpha\beta}$ है।मान रखने पर: $\frac{(-p)^2 - 2(\frac{p^3 + q}{3p})}{\frac{p^3 + q}{3p}} = \frac{p^2 - \frac{2(p^3 + q)}{3p}}{\frac{p^3 + q}{3p}} = \frac{3p^3 - 2p^3 - 2q}{p^3 + q} = \frac{p^3 - 2q}{p^3 + q}$ है।मूलों का गुणनफल $= \frac{\alpha}{\beta} 	imes \frac{\beta}{\alpha} = 1$ है।द्विघात समीकरण $x^2 - (	ext{मूलों का योग})x + (	ext{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।$x^2 - \left(\frac{p^3 - 2q}{p^3 + q}ight)x + 1 = 0$ है।$(p^3 + q)$ से गुणा करने पर,हमें $(p^3 + q)x^2 - (p^3 - 2q)x + (p^3 + q) = 0$ प्राप्त होता है।

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