यदि alpha, beta, gamma समीकरण x^3 - x - 1 = 0 | vedclass

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Question

(D) माना $f(x) = x^3 - x - 1$ है। दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $f(x) = 0$ के मूल हैं।माना $y = \frac{1+x}{1-x}$ है।तब $y(1-x) = 1+x \

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$-1$

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(D) माना $f(x) = x^3 - x - 1$ है। दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $f(x) = 0$ के मूल हैं।माना $y = \frac{1+x}{1-x}$ है।तब $y(1-x) = 1+x \implies y - yx = 1+x \implies y-1 = x(y+1) \implies x = \frac{y-1}{y+1}$ प्राप्त होता है।अब,$x$ का यह मान समीकरण $x^3 - x - 1 = 0$ में रखने पर:$\left( \frac{y-1}{y+1} ight)^3 - \left( \frac{y-1}{y+1} ight) - 1 = 0$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों को $(y+1)^3$ से गुणा करने पर:$(y-1)^3 - (y-1)(y+1)^2 - (y+1)^3 = 0$ प्राप्त होता है।पदों का विस्तार करने पर:$(y^3 - 3y^2 + 3y - 1) - (y-1)(y^2 + 2y + 1) - (y^3 + 3y^2 + 3y + 1) = 0$ प्राप्त होता है।$(y^3 - 3y^2 + 3y - 1) - (y^3 + y^2 - y - 1) - (y^3 + 3y^2 + 3y + 1) = 0$ प्राप्त होता है।$-y^3 - 7y^2 + y - 1 = 0 \implies y^3 + 7y^2 - y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।इस समीकरण के मूल $\frac{1+\alpha}{1-\alpha}, \frac{1+\beta}{1-\beta}, \frac{1+\gamma}{1-\gamma}$ हैं।तीनों मूलों का गुणनफल $= -(	ext{अचर पद}) / (	ext{मुख्य गुणांक}) = -1/1 = -1$ है।

यदि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3 - x - 1 = 0$ के मूल हैं,तो $\left( \frac{1 + \alpha}{1 - \alpha} \right) \left( \frac{1 + \beta}{1 - \beta} \right) \left( \frac{1 + \gamma}{1 - \gamma} \right)$ का मान क्या है?

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