Relation between roots and coefficients Questions in Hindi

(A) माना कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 - 18x + 9 = 0$ के मूल हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{9}{1} = 9$ है।
दो संख्याओं $\alpha$ और $\beta$ का $G.M.$ (गुणोत्तर माध्य) $\sqrt{\alpha \beta}$ के रूप में परिभाषित होता है।
अतः,$G.M. = \sqrt{9} = 3$।

(D) माना कि द्विघात समीकरण $x^2 - 10x + 11 = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = 10$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = 11$ है।
दो संख्याओं $\alpha$ और $\beta$ का हरात्मक माध्य $(H.M.)$ निकालने का सूत्र $H.M. = \frac{2\alpha \beta}{\alpha + \beta}$ है।
मान रखने पर,$H.M. = \frac{2 \times 11}{10} = \frac{22}{10} = \frac{11}{5}$ प्राप्त होता है।

(A) माना मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। तब $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha \beta = \frac{c}{a}$ है।
दिया गया है कि $\alpha + \beta = \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}$ है।
$\alpha + \beta = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{(\alpha \beta)^2} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta}{(\alpha \beta)^2}$ है।
$\alpha + \beta$ और $\alpha \beta$ के मान रखने पर:
$-\frac{b}{a} = \frac{b^2 - 2ac}{c^2}$ प्राप्त होता है।
$-bc^2 = ab^2 - 2a^2c$ या $2a^2c = ab^2 + bc^2$ है।
दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2a}{b} = \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $\frac{c}{a}, \frac{a}{b}, \frac{b}{c}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।

(C) समीकरण $x^2 - 2ax + b^2 = 0$ के लिए,मूलों का योग $2a$ है।
इसलिए,मूलों का $A.M.$ $A = \frac{2a}{2} = a$ है।
समीकरण $x^2 - 2bx + a^2 = 0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $a^2$ है।
इसलिए,मूलों का $G.M.$ $G = \sqrt{a^2} = |a|$ है।
मान लीजिए $a > 0,$ तो हमें $A = a$ और $G = a$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = G$।

(C) दिया गया है कि $A.M. = 8$ और $G.M. = 5$ है।
मान लीजिए कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण के मूल हैं।
द्विघात समीकरण $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $A.M. = \frac{\alpha + \beta}{2} = 8$,इसलिए $\alpha + \beta = 16$ है।
चूंकि $G.M. = \sqrt{\alpha\beta} = 5$,इसलिए $\alpha\beta = 25$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें $x^2 - 16x + 25 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ होता है।
दिए गए समीकरण $2x^2 + 6x + (\alpha^2 + 1) = 0$ की तुलना मानक रूप से करने पर,$a = 2$ और $c = \alpha^2 + 1$ प्राप्त होता है।
मूलों का गुणनफल $\frac{\alpha^2 + 1}{2}$ है।
दिया गया है कि मूलों का गुणनफल $-\alpha$ है,इसलिए $\frac{\alpha^2 + 1}{2} = -\alpha$।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$\alpha^2 + 1 = -2\alpha$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\alpha^2 + 2\alpha + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
यह एक पूर्ण वर्ग है: $(\alpha + 1)^2 = 0$।
अतः,$\alpha = -1$।

(B) मान लीजिए कि द्विघात समीकरण $2x^2 + 3(\lambda - 2)x + \lambda + 4 = 0$ के मूल $\alpha$ और $-\alpha$ हैं।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूलों का योग $-\frac{b}{a}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = 2$ और $b = 3(\lambda - 2)$ है।
मूलों का योग: $\alpha + (-\alpha) = -\frac{3(\lambda - 2)}{2}$.
$0 = -\frac{3(\lambda - 2)}{2}$.
इसका अर्थ है कि $3(\lambda - 2) = 0$.
अतः,$\lambda - 2 = 0$,जिससे $\lambda = 2$ प्राप्त होता है।

(D) माना चार वास्तविक मूल $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ हैं। समीकरण $(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)(x - \delta) = 0$ है।
$x^4 - 4x^3 + ax^2 + bx + 1 = 0$ के साथ तुलना करने पर:
$\sum \alpha = 4, \sum \alpha\beta = a, \sum \alpha\beta\gamma = -b, \alpha\beta\gamma\delta = 1$.
वास्तविक धनात्मक मूलों के लिए,$AM-GM$ असमिका के अनुसार:
$\frac{\alpha + \beta + \gamma + \delta}{4} \ge (\alpha\beta\gamma\delta)^{1/4}$.
मान रखने पर: $\frac{4}{4} \ge (1)^{1/4} \implies 1 \ge 1$.
चूंकि $AM = GM$ है,इसलिए सभी मूल समान होने चाहिए: $\alpha = \beta = \gamma = \delta = 1$.
अब,$a$ और $b$ की गणना करने पर:
$a = \sum \alpha\beta = \binom{4}{2} \times (1 \times 1) = 6$.
$-b = \sum \alpha\beta\gamma = \binom{4}{3} \times (1 \times 1 \times 1) = 4 \implies b = -4$.
अतः,$a = 6$ और $b = -4$.

(B) माना कि पहला मूल $\alpha$ है।
चूंकि दूसरा मूल पहले का व्युत्क्रम है,इसलिए दूसरा मूल $\frac{1}{\alpha}$ होगा।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ होता है।
यहाँ,$a = 5$,$b = 13$,और $c = k$ है।
अतः,मूलों का गुणनफल $\alpha \times \frac{1}{\alpha} = \frac{k}{5}$ होगा।
$1 = \frac{k}{5}$.
$k = 5$.

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $4x^2 + 3x + 7 = 0$ है।
मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 4$,$b = 3$,और $c = 7$ प्राप्त होता है।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{4}$।
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{7}{4}$।
हमें $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ का मान ज्ञात करना है।
$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}$।
मान रखने पर:
$\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{7}{4}} = -\frac{3}{4} \times \frac{4}{7} = -\frac{3}{7}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि समीकरण $cx^2 + bx + a = 0$ के मूल $\alpha'$ और $\beta'$ हैं।
अतः,$\alpha' + \beta' = -\frac{b}{c}$ और $\alpha'\beta' = \frac{a}{c}$ प्राप्त होता है।
हम देख सकते हैं कि $\alpha'\beta' = \frac{a}{c} = \frac{1}{c/a} = \frac{1}{\alpha\beta}$ है।
साथ ही,$\alpha' + \beta' = -\frac{b}{c} = \frac{-b/a}{c/a} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\alpha}$ है।
अतः,मूल $\frac{1}{\alpha}$ और $\frac{1}{\beta}$ हैं।

(A) दिया गया है कि $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha \beta = \frac{c}{a}$।
माना नए मूल $S_1 = \alpha + \frac{1}{\beta}$ और $S_2 = \beta + \frac{1}{\alpha}$ हैं।
नए मूलों का योग $S_1 + S_2 = (\alpha + \beta) + \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = -\frac{b}{a} + \frac{-b/a}{c/a} = -\frac{b}{a} - \frac{b}{c} = -\frac{b(a+c)}{ac}$ है।
नए मूलों का गुणनफल $S_1 S_2 = (\alpha + \frac{1}{\beta})(\beta + \frac{1}{\alpha}) = \alpha \beta + 1 + 1 + \frac{1}{\alpha \beta} = \alpha \beta + 2 + \frac{1}{\alpha \beta} = \frac{c}{a} + 2 + \frac{a}{c} = \frac{c^2 + 2ac + a^2}{ac} = \frac{(a+c)^2}{ac}$ है।
आवश्यक द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
$x^2 - [-\frac{b(a+c)}{ac}]x + \frac{(a+c)^2}{ac} = 0$।
$ac$ से गुणा करने पर,हमें $acx^2 + b(a+c)x + (a+c)^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^2 + 2(a + b)x + a^2 + b^2 = 0$ है।
मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{2(a + b)}{2} = -(a + b)$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = \frac{a^2 + b^2}{2}$ है।
अब,$(\alpha + \beta)^2 = (-(a + b))^2 = (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ है।
साथ ही,$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (a + b)^2 - 4\left(\frac{a^2 + b^2}{2}\right) = a^2 + b^2 + 2ab - 2a^2 - 2b^2 = 2ab - a^2 - b^2 = -(a - b)^2$ है।
वांछित समीकरण $x^2 - [(\alpha + \beta)^2 + (\alpha - \beta)^2]x + [(\alpha + \beta)^2 \cdot (\alpha - \beta)^2] = 0$ है।
नए मूलों का योग: $(a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + b^2 + 2ab) - (a^2 + b^2 - 2ab) = 4ab$ है।
नए मूलों का गुणनफल: $(a + b)^2 \cdot (-(a - b)^2) = -((a + b)(a - b))^2 = -(a^2 - b^2)^2$ है।
अतः,समीकरण $x^2 - 4abx - (a^2 - b^2)^2 = 0$ है।

(D) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूलों का योग $-\frac{b}{a}$ और मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ होता है।
दिए गए समीकरण $\lambda x^2 + 2x + 3\lambda = 0$ के लिए,$a = \lambda$,$b = 2$,और $c = 3\lambda$ है।
मूलों का योग $= -\frac{2}{\lambda}$.
मूलों का गुणनफल $= \frac{3\lambda}{\lambda} = 3$.
प्रश्न के अनुसार,मूलों का योग उनके गुणनफल के बराबर है:
$-\frac{2}{\lambda} = 3$.
दोनों पक्षों को $\lambda$ से गुणा करने पर,$-2 = 3\lambda$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda = -\frac{2}{3}$.
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिए गए द्विघात समीकरण $x^2 + 6x + \lambda = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -6$ $(i)$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \lambda$ $(ii)$ है।
हमें $3\alpha + 2\beta = -20$ $(iii)$ भी दिया गया है।
समीकरण $(i)$ से,$\beta = -6 - \alpha$ प्राप्त होता है। इसे $(iii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3\alpha + 2(-6 - \alpha) = -20$
$3\alpha - 12 - 2\alpha = -20$
$\alpha = -8$.
अब,$(i)$ का उपयोग करके $\beta$ ज्ञात करें:
$\beta = -6 - (-8) = 2$.
अंत में,$\alpha$ और $\beta$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$\lambda = \alpha \beta = (-8)(2) = -16$.

(B) दिए गए समीकरण $2x^2 - 3x + 4 = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = 3/2$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = 2$ है।
नए मूलों का योग $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (3/2)^2 - 2(2) = 9/4 - 4 = -7/4$ है।
नए मूलों का गुणनफल $\alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2 = (2)^2 = 4$ है।
अभीष्ट द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
मान रखने पर,$x^2 - (-7/4)x + 4 = 0$,जो $x^2 + 7/4x + 4 = 0$ हो जाता है।
$4$ से गुणा करने पर,$4x^2 + 7x + 16 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण: $x^2 - a(x + 1) - b = 0$
समीकरण का विस्तार करने पर: $x^2 - ax - a - b = 0$
इसे मानक रूप $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ से तुलना करने पर:
मूलों का योग: $\alpha + \beta = a$
मूलों का गुणनफल: $\alpha\beta = -(a + b)$
हमें $(\alpha + 1)(\beta + 1)$ का मान ज्ञात करना है:
व्यंजक का विस्तार करने पर: $\alpha\beta + \alpha + \beta + 1$
मूलों के योग और गुणनफल के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$= -(a + b) + a + 1$
$= -a - b + a + 1$
$= 1 - b$

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^2 - 2(m^2 + 1)x + m^4 + m^2 + 1 = 0$ है।
$ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 2$,$b = -2(m^2 + 1)$,और $c = m^4 + m^2 + 1$ प्राप्त होता है।
मूलों का योग: $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = \frac{2(m^2 + 1)}{2} = m^2 + 1$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{m^4 + m^2 + 1}{2}$.
हम जानते हैं कि $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$.
मान रखने पर:
$\alpha^2 + \beta^2 = (m^2 + 1)^2 - 2 \left( \frac{m^4 + m^2 + 1}{2} \right)$.
$\alpha^2 + \beta^2 = (m^4 + 2m^2 + 1) - (m^4 + m^2 + 1)$.
$\alpha^2 + \beta^2 = m^4 - m^4 + 2m^2 - m^2 + 1 - 1 = m^2$.

(B) माना समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $p\alpha$ और $q\alpha$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$p\alpha + q\alpha = -\frac{b}{a} \implies \alpha(p + q) = -\frac{b}{a} \implies \alpha = -\frac{b}{a(p + q)}$
साथ ही,$p\alpha \cdot q\alpha = \frac{c}{a} \implies pq\alpha^2 = \frac{c}{a}$
दूसरे समीकरण में $\alpha$ का मान रखने पर:
$pq \left( -\frac{b}{a(p + q)} \right)^2 = \frac{c}{a}$
$pq \cdot \frac{b^2}{a^2(p + q)^2} = \frac{c}{a}$
दोनों पक्षों को $a^2(p + q)^2$ से गुणा करने पर:
$pqb^2 = ac(p + q)^2$
$pqb^2 - (p + q)^2ac = 0$

(D) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ है।
हमें व्यंजक $E = \frac{\alpha}{a\beta + b} + \frac{\beta}{a\alpha + b}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$,इसलिए $a\alpha + b = -\frac{c}{\alpha}$ है। इसी प्रकार,$a\beta + b = -\frac{c}{\beta}$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{\alpha}{-c/\beta} + \frac{\beta}{-c/\alpha} = -\frac{\alpha\beta}{c} - \frac{\beta\alpha}{c} = -\frac{2\alpha\beta}{c}$।
$\alpha\beta = \frac{c}{a}$ रखने पर:
$E = -\frac{2(c/a)}{c} = -\frac{2}{a}$।

(C) माना $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ है।
मूलों के वर्गों का योग $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\alpha^2 + \beta^2 = (-\frac{b}{a})^2 - 2(\frac{c}{a}) = \frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a} = \frac{b^2 - 2ac}{a^2}$ प्राप्त होता है।
दी गई शर्त के अनुसार,मूलों का योग उनके वर्गों के योग के बराबर है:
$\alpha + \beta = \alpha^2 + \beta^2$
$-\frac{b}{a} = \frac{b^2 - 2ac}{a^2}$
दोनों पक्षों को $a^2$ से गुणा करने पर ($a \neq 0$ मानते हुए):
$-ab = b^2 - 2ac$
$2ac = b^2 + ab$
$2ac = b(a + b)$.

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2 - 2x + 3 = 0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha + \beta = 2$ और $\alpha \beta = 3$ है।
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\frac{1}{\alpha^2}$ और $\frac{1}{\beta^2}$ हैं।
नए मूलों का योग $\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{(\alpha \beta)^2} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta}{(\alpha \beta)^2} = \frac{2^2 - 2(3)}{3^2} = \frac{4 - 6}{9} = -\frac{2}{9}$ है।
नए मूलों का गुणनफल $\frac{1}{\alpha^2} \cdot \frac{1}{\beta^2} = \frac{1}{(\alpha \beta)^2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$ है।
आवश्यक द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
$x^2 - (-\frac{2}{9})x + \frac{1}{9} = 0$।
$9$ से गुणा करने पर,हमें $9x^2 + 2x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2 + px + 1 = 0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha + \beta = -p$ और $\alpha \beta = 1$ है।
दिया गया है कि $\gamma, \delta$ समीकरण $x^2 + qx + 1 = 0$ के मूल हैं,इसलिए $\gamma + \delta = -q$ और $\gamma \delta = 1$ है।
व्यंजक $(\alpha - \gamma)(\beta - \gamma)(\alpha + \delta)(\beta + \delta)$ पर विचार करें:
$= (\alpha \beta - \gamma(\alpha + \beta) + \gamma^2)(\alpha \beta + \delta(\alpha + \beta) + \delta^2)$
$= (1 + p\gamma + \gamma^2)(1 - p\delta + \delta^2)$.
चूंकि $\gamma$ समीकरण $x^2 + qx + 1 = 0$ का मूल है,इसलिए $\gamma^2 + q\gamma + 1 = 0$,जिसका अर्थ है $1 + \gamma^2 = -q\gamma$।
इसी प्रकार,$\delta^2 + 1 = -q\delta$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$= (-q\gamma + p\gamma)(-q\delta - p\delta)$
$= \gamma(p - q) \times \delta(-p - q)$
$= -\gamma \delta (p - q)(p + q)$
$= -1(p^2 - q^2) = q^2 - p^2$।

(A) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2 - px + q = 0$ के मूल हैं,अतः $\alpha + \beta = p$ और $\alpha\beta = q$ है।
दिया गया है कि $\alpha', \beta'$ समीकरण $x^2 - p'x + q' = 0$ के मूल हैं,अतः $\alpha' + \beta' = p'$ और $\alpha'\beta' = q'$ है।
माना $S = (\alpha - \alpha')^2 + (\beta - \alpha')^2 + (\alpha - \beta')^2 + (\beta - \beta')^2$ है।
पदों का विस्तार करने पर: $S = 2(\alpha^2 + \beta^2) + 2(\alpha'^2 + \beta'^2) - 2(\alpha' + \beta')(\alpha + \beta)$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर: $\alpha^2 + \beta^2 = p^2 - 2q$ और $\alpha'^2 + \beta'^2 = p'^2 - 2q'$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $S = 2(p^2 - 2q) + 2(p'^2 - 2q') - 2(p')(p) = 2\{p^2 - 2q + p'^2 - 2q' - pp'\}$।

(A) माना मूल $\alpha$ और $\alpha^2$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $\alpha + \alpha^2 = -\frac{b}{a}$ ..... $(i)$
मूलों का गुणनफल: $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = \frac{c}{a}$ ..... $(ii)$
समीकरण $(i)$ के दोनों पक्षों का घन करने पर:
$(\alpha + \alpha^2)^3 = (-\frac{b}{a})^3$
$\alpha^3 + (\alpha^2)^3 + 3\alpha \cdot \alpha^2(\alpha + \alpha^2) = -\frac{b^3}{a^3}$
$\alpha^3 = \frac{c}{a}$ और $\alpha + \alpha^2 = -\frac{b}{a}$ रखने पर:
$\frac{c}{a} + (\frac{c}{a})^2 + 3(\frac{c}{a})(-\frac{b}{a}) = -\frac{b^3}{a^3}$
$\frac{c}{a} + \frac{c^2}{a^2} - \frac{3bc}{a^2} = -\frac{b^3}{a^3}$
पूरे समीकरण को $a^3$ से गुणा करने पर:
$a^2c + ac^2 - 3abc = -b^3$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$b^3 + a^2c + ac^2 = 3abc$.

(A) मान लीजिए कि द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों का $A.M.$ (समांतर माध्य) $A = \frac{\alpha + \beta}{2}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $\alpha + \beta = 2A$।
मूलों का $G.M.$ (गुणोत्तर माध्य) $G = \sqrt{\alpha \beta}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $\alpha \beta = G^2$।
$\alpha$ और $\beta$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $t^2 - (\text{मूलों का योग})t + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ होता है।
मान रखने पर,हमें $t^2 - (2A)t + G^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $(x - a)(x - b) - c = 0$ के मूल हैं।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - (a + b)x + ab - c = 0$ प्राप्त होता है।
इसे मानक द्विघात समीकरण $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\alpha + \beta = a + b$ और $\alpha\beta = ab - c$.
अब,समीकरण $(x - \alpha)(x - \beta) + c = 0$ पर विचार करें।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta + c = 0$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण में $(\alpha + \beta)$ और $\alpha\beta$ के मान रखने पर:
$x^2 - (a + b)x + (ab - c) + c = 0$
$x^2 - (a + b)x + ab = 0$
$(x - a)(x - b) = 0$.
अतः,समीकरण के मूल $a$ और $b$ हैं।

(C) माना द्विघात समीकरण $x^2 - px + 8 = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों के गुणों से,$\alpha + \beta = p$ और $\alpha \beta = 8$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि मूलों का अंतर $|\alpha - \beta| = 2$ है,इसलिए $(\alpha - \beta)^2 = 4$ होगा।
हम जानते हैं कि $(\alpha + \beta)^2 - (\alpha - \beta)^2 = 4\alpha \beta$ होता है।
मान रखने पर: $p^2 - 2^2 = 4(8)$।
$p^2 - 4 = 32$।
$p^2 = 36$।
अतः,$p = \pm 6$।

(C) मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं।
तब,$\alpha + \beta = -b/a$ और $\alpha\beta = c/a$।
प्रश्न के अनुसार,$\alpha + \beta = \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}$।
इसका अर्थ है $\alpha + \beta = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{(\alpha\beta)^2} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}$।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $-b/a = \frac{(-b/a)^2 - 2(c/a)}{(c/a)^2} = \frac{b^2/a^2 - 2c/a}{c^2/a^2} = \frac{b^2 - 2ac}{c^2}$।
अतः,$-bc^2 = a(b^2 - 2ac) = ab^2 - 2a^2c$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$2a^2c = ab^2 + bc^2$।
दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है $\frac{2a}{b} = \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$।
यह दर्शाता है कि $\frac{c}{a}, \frac{a}{b}, \frac{b}{c}$ $A.P.$ में हैं।
इसलिए,उनके व्युत्क्रम $\frac{a}{c}, \frac{b}{a}, \frac{c}{b}$ $H.P.$ में हैं।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^2 + 2bx + c = 0$ है।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha + \beta = -\frac{2b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ है।
अब,व्यंजक $\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} + \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}$ पर विचार करें।
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर,हमें $\frac{\alpha + \beta}{\sqrt{\alpha\beta}}$ प्राप्त होता है।
$\alpha + \beta$ और $\alpha\beta$ के मान रखने पर,$\frac{-\frac{2b}{a}}{\sqrt{\frac{c}{a}}} = -\frac{2b}{\sqrt{ac}}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ है।
माना समीकरण के मूल $\alpha$ और $\frac{1}{\alpha}$ हैं क्योंकि वे एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
इसलिए,$\alpha \times \frac{1}{\alpha} = \frac{c}{a}$.
$1 = \frac{c}{a}$.
इसका अर्थ है कि $a = c$,या $a - c = 0$।

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha + \beta = -\frac{B}{A}$ और $\alpha\beta = \frac{C}{A}$ है।
दिया गया है कि $\alpha^2, \beta^2$ समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के मूल हैं।
अतः,$\alpha^2 + \beta^2 = -p$ और $\alpha^2\beta^2 = q$ है।
हम जानते हैं कि $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ होता है।
मान रखने पर,$-p = (-\frac{B}{A})^2 - 2(\frac{C}{A})$ प्राप्त होता है।
$-p = \frac{B^2}{A^2} - \frac{2C}{A} = \frac{B^2 - 2AC}{A^2}$।
इसलिए,$p = -\frac{B^2 - 2AC}{A^2} = \frac{2AC - B^2}{A^2}$।

(C) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha + \beta = -1$ और $\alpha \beta = 1$ है।
समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के मूल $\frac{\alpha}{\beta}$ और $\frac{\beta}{\alpha}$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार,मूलों का योग $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = -p$ है।
अतः,$-p = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta}$ है।
सर्वसमिका $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ का उपयोग करने पर:
$-p = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta}{\alpha \beta} = \frac{(-1)^2 - 2(1)}{1} = \frac{1 - 2}{1} = -1$ है।
इसलिए,$-p = -1$,जिसका अर्थ है कि $p = 1$ है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + ax + b = 0$ है।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = -a$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = b$ है।
हम जानते हैं कि $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha \beta + \beta^2)$.
इसे $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)[(\alpha + \beta)^2 - 3\alpha \beta]$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान रखने पर,$\alpha^3 + \beta^3 = (-a)[(-a)^2 - 3(b)]$.
$\alpha^3 + \beta^3 = (-a)(a^2 - 3b) = -a^3 + 3ab$.

(C) माना $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के मूल हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों से,$\alpha + \beta = -p$ और $\alpha \beta = q$ है।
दिया गया है कि मूलों का योग उनके अंतर का तीन गुना है: $\alpha + \beta = 3(\alpha - \beta)$.
$\alpha + \beta = -p$ रखने पर,हमें $-p = 3(\alpha - \beta)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\alpha - \beta = -\frac{p}{3}$.
हम जानते हैं कि $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$.
मान रखने पर,$(-\frac{p}{3})^2 = (-p)^2 - 4q$.
$\frac{p^2}{9} = p^2 - 4q$.
$4q = p^2 - \frac{p^2}{9} = \frac{8p^2}{9}$.
$36q = 8p^2$,जिसे सरल करने पर $2p^2 = 9q$ प्राप्त होता है।

(B) माना द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $\frac{1}{\alpha}$ हैं।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ होता है।
यहाँ,$a = 2k + 1$,$b = -(7k + 3)$,और $c = k + 2$ है।
चूँकि मूल एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं,इसलिए उनका गुणनफल $\alpha \times \frac{1}{\alpha} = 1$ होगा।
अतः,$\frac{c}{a} = 1 \Rightarrow \frac{k + 2}{2k + 1} = 1$.
$k$ के लिए हल करने पर: $k + 2 = 2k + 1$.
$2 - 1 = 2k - k$.
$k = 1$.

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ है जिसके मूल $l$ और $2l$ हैं।
मूलों का योग: $l + 2l = -\frac{b}{a}$ $\Rightarrow 3l = -\frac{b}{a}$ $\Rightarrow l = -\frac{b}{3a}$ $(i)$
मूलों का गुणनफल: $l \times 2l = \frac{c}{a} \Rightarrow 2l^2 = \frac{c}{a}$ $(ii)$
$(i)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2\left(-\frac{b}{3a}\right)^2 = \frac{c}{a}$
$2\left(\frac{b^2}{9a^2}\right) = \frac{c}{a}$
$\frac{2b^2}{9a^2} = \frac{c}{a}$
$2b^2 = 9ac$

(D) माना द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
दिया गया है $\alpha + \beta = 2$ और $\alpha^3 + \beta^3 = 98$।
हम जानते हैं कि $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2)$।
इसे $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $98 = 2((2)^2 - 3\alpha\beta)$।
$49 = 4 - 3\alpha\beta$।
$3\alpha\beta = 4 - 49 = -45$।
$\alpha\beta = -15$।
द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$x^2 - 2x - 15 = 0$।

(A) दिए गए द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,इसलिए:
$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$.
हमें $\alpha\beta^2 + \alpha^2\beta + \alpha\beta$ का मान ज्ञात करना है।
$\alpha\beta$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\alpha\beta(\beta + \alpha) + \alpha\beta = \alpha\beta(\alpha + \beta + 1)$.
$\alpha + \beta$ और $\alpha\beta$ के मान रखने पर:
$= \frac{c}{a} \left( -\frac{b}{a} + 1 \right)$
$= \frac{c}{a} \left( \frac{a - b}{a} \right)$
$= \frac{c(a - b)}{a^2}$.

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $mx^2 + 6x + (2m - 1) = 0$ के लिए,$a = m$ और $c = 2m - 1$ है।
मूलों का गुणनफल $-1$ दिया गया है।
इसलिए,$\frac{2m - 1}{m} = -1$ है।
दोनों पक्षों को $m$ से गुणा करने पर,हमें $2m - 1 = -m$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $m$ जोड़ने पर,हमें $3m - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$3m = 1$,जिससे $m = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2 + ax + b = 0$ है जिसके मूल $p$ और $q$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$p + q = -a$ और $pq = b$।
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $p^2q$ और $pq^2$ हैं।
माना नए मूल $\alpha = p^2q$ और $\beta = pq^2$ हैं।
मूलों का योग: $\alpha + \beta = p^2q + pq^2 = pq(p + q) = (b)(-a) = -ab$।
मूलों का गुणनफल: $\alpha \beta = (p^2q)(pq^2) = p^3q^3 = (pq)^3 = b^3$।
अभीष्ट द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
मान रखने पर: $x^2 - (-ab)x + b^3 = 0$,जो $x^2 + abx + b^3 = 0$ के रूप में सरल होता है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - 4x + 1 = 0$ है।
$ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,$a=1, b=-4, c=1$ प्राप्त होता है।
मूलों का योग: $\alpha + \beta = -b/a = -(-4)/1 = 4$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha \beta = c/a = 1/1 = 1$.
हम जानते हैं कि: $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta (\alpha + \beta)$.
मान रखने पर: $\alpha^3 + \beta^3 = (4)^3 - 3(1)(4)$.
$\alpha^3 + \beta^3 = 64 - 12 = 52$.

(B) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $2x^2 - 35x + 2 = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{2}{2} = 1$ है।
चूंकि $\alpha$ एक मूल है,$2\alpha^2 - 35\alpha + 2 = 0$,जिसका अर्थ है $2\alpha^2 - 35\alpha = -2$।
$\alpha$ से विभाजित करने पर,हमें $2\alpha - 35 = -\frac{2}{\alpha}$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$\beta$ के लिए,$2\beta - 35 = -\frac{2}{\beta}$।
अब,इन मानों को $(2\alpha - 35)^3 \cdot (2\beta - 35)^3$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2\alpha - 35)^3 \cdot (2\beta - 35)^3 = \left(-\frac{2}{\alpha}\right)^3 \cdot \left(-\frac{2}{\beta}\right)^3$
$= \left(-\frac{8}{\alpha^3}\right) \cdot \left(-\frac{8}{\beta^3}\right)$
$= \frac{64}{(\alpha \beta)^3}$
चूंकि $\alpha \beta = 1$,इसलिए व्यंजक $\frac{64}{1^3} = 64$ हो जाता है।

(B) दिया गया है कि $3p^2 = 5p + 2$ और $3q^2 = 5q + 2$ जहाँ $p \ne q$ है।
इसका अर्थ है कि $p$ और $q$ द्विघात समीकरण $3x^2 - 5x - 2 = 0$ के भिन्न मूल हैं।
$ax^2 + bx + c = 0$ रूप के द्विघात समीकरण के लिए,मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ होता है।
यहाँ,$a = 3$,$b = -5$,और $c = -2$ है।
अतः,मूलों का गुणनफल $pq = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3}$ है।

(C) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 + bx - c = 0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
$\alpha + \beta = -b$ और $\alpha \beta = -c$.
इसका अर्थ है $b = -(\alpha + \beta)$ और $c = -\alpha \beta$.
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $b$ और $c$ हैं।
मूलों का योग = $b + c = -(\alpha + \beta) - \alpha \beta = -[(\alpha + \beta) + \alpha \beta]$.
मूलों का गुणनफल = $bc = [ -(\alpha + \beta) ] \times [ -\alpha \beta ] = \alpha \beta(\alpha + \beta)$.
आवश्यक द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
मान रखने पर:
$x^2 - (-[(\alpha + \beta) + \alpha \beta])x + \alpha \beta(\alpha + \beta) = 0$.
$x^2 + [(\alpha + \beta) + \alpha \beta]x + \alpha \beta(\alpha + \beta) = 0$.

(B) दिया गया है $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$।
व्यंजक $(1 + \alpha + \alpha^2)(1 + \beta + \beta^2)$ का विस्तार करने पर:
$= 1 + (\alpha + \beta) + (\alpha^2 + \beta^2) + \alpha\beta + \alpha\beta(\alpha + \beta) + (\alpha\beta)^2$
$= 1 + (\alpha + \beta) + ((\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta) + \alpha\beta + \alpha\beta(\alpha + \beta) + (\alpha\beta)^2$
$= 1 + (\alpha + \beta) + (\alpha + \beta)^2 - \alpha\beta + \alpha\beta(\alpha + \beta) + (\alpha\beta)^2$
मान रखने पर:
$= 1 - \frac{b}{a} + \frac{b^2}{a^2} - \frac{c}{a} - \frac{bc}{a^2} + \frac{c^2}{a^2}$
$= \frac{a^2 - ab + b^2 - ac - bc + c^2}{a^2}$
$= \frac{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}{2a^2}$
चूंकि $a, b, c$ भिन्न हैं,अंश हमेशा धनात्मक है और $2a^2 > 0$ है,इसलिए यह व्यंजक हमेशा धनात्मक है।

(A) माना मूल $x_1 = \frac{\alpha}{\alpha - 1}$ और $x_2 = \frac{\alpha + 1}{\alpha}$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,मूलों का योग $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ और मूलों का गुणनफल $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$ है।
मूलों का गुणनफल: $\frac{\alpha}{\alpha - 1} \times \frac{\alpha + 1}{\alpha} = \frac{\alpha + 1}{\alpha - 1} = \frac{c}{a}$.
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) द्वारा,$\frac{(\alpha + 1) + (\alpha - 1)}{(\alpha + 1) - (\alpha - 1)} = \frac{c + a}{c - a} \implies \alpha = \frac{c + a}{c - a}$.
मूलों का योग: $\frac{2\alpha^2 - 1}{\alpha^2 - \alpha} = -\frac{b}{a}$.
$\alpha$ का मान प्रतिस्थापित करने और सरल करने पर,हमें $(a + b + c)^2 = b^2 - 4ac$ प्राप्त होता है।

(B) माना $ax^2 + 2bx + c = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,जहाँ $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{m}{n}$ है।
अतः $\alpha + \beta = -\frac{2b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ है।
संबंध $\frac{(\alpha + \beta)^2}{\alpha\beta} = \frac{(m+n)^2}{mn}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{4b^2}{ac} = \frac{(m+n)^2}{mn}$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$px^2 + 2qx + r = 0$ के लिए,$\frac{4q^2}{pr} = \frac{(m+n)^2}{mn}$ प्राप्त होता है।
दोनों की तुलना करने पर,$\frac{4b^2}{ac} = \frac{4q^2}{pr}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{b^2}{ac} = \frac{q^2}{pr}$।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + bx - c = 0$ है जहाँ $b, c > 0$ है।
मान लीजिए मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
मूलों का योग $\alpha + \beta = -b$ है।
चूँकि $b > 0$,इसलिए $-b < 0$,अतः $\alpha + \beta < 0$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = -c$ है।
चूँकि $c > 0$,इसलिए $-c < 0$,अतः $\alpha \beta < 0$ है।
चूँकि मूलों का गुणनफल ऋणात्मक है,इसलिए मूल विपरीत चिह्न के होने चाहिए।

(B) दिया गया समीकरण $x^2 - (p + 1)x + pq = 0$ है।
चूंकि $p$ और $q$ समीकरण के मूल हैं,इसलिए मूलों का योग $p + q = -(\text{coefficient of } x) / (\text{coefficient of } x^2)$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$p + q = p + 1$।
दोनों पक्षों से $p$ घटाने पर,हमें $q = 1$ प्राप्त होता है।