यदि $x$ वास्तविक हेा तो समीकरण ${x^2} - 6x + 10$ का न्यूनतम मान होगा

यदि $x, y, z$ अशून्यक $(non-zero)$ वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=7$ तथा $\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}=9$, तब $\frac{x^3}{y^3}+\frac{y^3}{z^3}+\frac{z^3}{x^3}-3$ का मान क्या होगा ?

मान लें कि $a, b$ अशून्य वास्तविक संख्याएँ हैं तो द्विघात $(quadratic)$ समीकरण $a x^2+(a+b) x+b=0$

के बारे में निम्नलिखित में से कौन से कथन निश्चय ही सत्य हैं?

$(I)$ इसका कम से कम एक शून्यक (root) ऋणात्मक होगा।

$(II)$ इसका कम से कम शक शून्यक धनात्मक होगा।

$(III)$ इसके दोनों शून्यक वास्तविक हैं।

यदि द्विघाती समीकरण, $x^{2}+x \sin \theta-2 \sin \theta=0, \theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right) \text {, }$ के मूल $\alpha$ तथा $\beta$ हैं, तो $\frac{\alpha^{12}+\beta^{12}}{\left(\alpha^{-12}+\beta^{-12}\right)(\alpha-\beta)^{24}}$ बराबर हैं 

यदि वास्तविक संख्याएँ $a, b, c$ इस प्रकार है कि $a+b+c=0$ तथा $a^2+b^2+c^2=1$, तब $(3 a+5 b-8 c)^2+(-8 a+3 b+5 c)^2+(5 a-8 b+3 c)^2$ निम्नलिखित के बराबर है

दिये गए दो चर समीकरण युग्म पर विचार करें : $x+y=a, \frac{x^2}{x-1}+\frac{y^2}{y-1}=4$ अंतराल $[0,2014]$ में कितनी प्राकृत संख्याओं $a$ के लिए दिये गए समीकरण युग्म के निश्चित रूप से परिमित अनेक हल हैं।