यदि $y = ax^2 + bx + c$ $(a, b, c \in R)$ का ग्राफ चित्र में दिखाए अनुसार है,जहाँ $D = b^2 - 4ac$,तो निम्नलिखित में से कौन सा गलत है?

मान लीजिए $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $a+b+c < 0$ और द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ के मूल काल्पनिक हैं। तो:

यदि $y = ax^2 + bx + c$ का ग्राफ नीचे दिए अनुसार है,जहाँ $\Delta ABC$ एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कर्ण $AC = 4\sqrt{2} \text{ units}$ है,तो $ax^2 + bx + c$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित का मिलान करें: समीकरण $x^2 + 2(a - 1)x + a + 5 = 0$ पर विचार करें। $'a'$ के वास्तविक मानों को दिए गए समीकरण के मूलों की शर्तों के साथ मिलाएं।

स्तंभ-$I$	स्तंभ-$II$
$A$. काल्पनिक मूल	$P$. $a \in (-1, 4)$
$B$. एक मूल $3$ से कम और दूसरा $3$ से अधिक	$Q$. $a \in (-\infty, -1)$
$C$. एक मूल $1$ से कम और दूसरा $3$ से अधिक	$R$. $a \in (-\infty, -4/3)$

मान लीजिए $f(x) = x^2 + 2bx + 2c^2$ और $g(x) = -x^2 - 2cx + b^2$,जहाँ $x \in R$ है। यदि $b$ और $c$ अशून्य वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $\min f(x) > \max g(x)$,तो $\left|\frac{c}{b}\right|$ किस अंतराल में स्थित है?

$k$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए,जिसके लिए समीकरण $x^2-8kx+16(k^2-k+1)=0$ के दोनों मूल वास्तविक,भिन्न और कम से कम $4$ हों।