Quadratic expressions and Position of roots Questions in Hindi

(C) द्विघात समीकरण $x^2-(p+2)x+(2p+9)=0$ के मूल ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना आवश्यक है:
$1$. विविक्तकर $D \geq 0$:
$D = (p+2)^2 - 4(2p+9) \geq 0$
$p^2 + 4p + 4 - 8p - 36 \geq 0$
$p^2 - 4p - 32 \geq 0$
$(p-8)(p+4) \geq 0$
इसका अर्थ है $p \in (-\infty, -4] \cup [8, \infty)$.
$2$. मूलों का योग ऋणात्मक होना चाहिए:
योग $= -\frac{b}{a} = p+2 < 0 \implies p < -2$.
$3$. मूलों का गुणनफल धनात्मक होना चाहिए:
गुणनफल $= \frac{c}{a} = 2p+9 > 0 \implies p > -\frac{9}{2}$.
इन शर्तों को मिलाने पर: $p \in (-\frac{9}{2}, -4]$.
अतः,$\alpha = -\frac{9}{2}$ और $\beta = -4$.
हमें $\beta - 2\alpha = -4 - 2(-\frac{9}{2}) = -4 + 9 = 5$ प्राप्त होता है।

(A) माना $f(x) = x^2 - 3x + k$ है। समीकरण $f(x) = 0$ का अंतराल $[0, 1]$ में कम से कम एक मूल होने के लिए,हम निम्नलिखित शर्तों पर विचार करते हैं:
$1$. अंत बिंदुओं पर मानों का गुणनफल शून्य या उससे कम होना चाहिए: $f(0) \cdot f(1) \le 0$.
$f(0) = 0^2 - 3(0) + k = k$.
$f(1) = 1^2 - 3(1) + k = k - 2$.
अतः,$k(k - 2) \le 0$,जिसका अर्थ है $0 \le k \le 2$.
$2$. परवलय का शीर्ष $x = -b/(2a) = 3/2$ अंतराल $[0, 1]$ में स्थित नहीं है।
$3$. चूंकि परवलय ऊपर की ओर खुलता है,यदि शीर्ष अंतराल के बाहर है,तो $[0, 1]$ में मूल होने का एकमात्र तरीका यह है कि अंत बिंदुओं पर फलन का चिह्न बदल जाए।
इसलिए,$k$ के लिए आवश्यक सीमा $0 \le k \le 2$ है।

(D) दिया गया है कि $ax^2 + bx + c < 0$ सभी $x \in R$ के लिए है। इसका अर्थ है $a < 0$ और $D = b^2 - 4ac < 0$।
$ax^2 + bx + c$ का चरम मान $x = -\frac{b}{2a}$ पर प्राप्त होता है।
$cx^2 + ax + b$ का चरम मान $x = -\frac{a}{2c}$ पर प्राप्त होता है।
चूंकि ये बिंदु समान हैं,$-\frac{b}{2a} = -\frac{a}{2c}$,जिसका अर्थ है $a^2 = bc$।
चूंकि $a < 0$ और $a^2 = bc$,इसलिए $c$ भी ऋणात्मक होना चाहिए।
व्यंजक $cx^2 + ax + b$ का अधिकतम मान प्राप्त होता है क्योंकि $c < 0$ है।
अधिकतम मान $-\frac{D'}{4c} = -\frac{a^2 - 4bc}{4c} = -\frac{bc - 4bc}{4c} = -\frac{-3bc}{4c} = \frac{3b}{4}$ है।
अतः,अधिकतम मान $\frac{3b}{4}$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = x^2 + 2kx + k < 0$ सभी $x \in [1, 2]$ के लिए।
चूंकि $x^2$ का गुणांक धनात्मक है,परवलय ऊपर की ओर खुलता है।
अंतराल $[1, 2]$ पर $f(x)$ के ऋणात्मक होने के लिए,$[1, 2]$ पर $f(x)$ का अधिकतम मान $0$ से कम होना चाहिए।
चूंकि परवलय ऊपर की ओर खुलता है,अधिकतम मान अंत बिंदुओं $x=1$ या $x=2$ पर प्राप्त होता है।
$f(1) = 1 + 3k < 0 \implies k < -1/3$.
$f(2) = 4 + 5k < 0 \implies k < -4/5$.
दोनों शर्तों को पूरा करने के लिए $k < -4/5$ होना चाहिए।
अतः,$k$ का अंतराल $(-\infty, -4/5)$ है।

(C) $f(x) = x^2 + 2bx + 2c^2$ का न्यूनतम मान $x = -b$ पर प्राप्त होता है,जो $f(-b) = 2c^2 - b^2$ है।
$g(x) = -x^2 - 2cx + b^2$ का अधिकतम मान $x = -c$ पर प्राप्त होता है,जो $g(-c) = c^2 + b^2$ है।
दिया गया है कि $\min f(x) > \max g(x)$,इसलिए $2c^2 - b^2 > c^2 + b^2$ है।
इसे सरल करने पर $c^2 > 2b^2$ प्राप्त होता है,अर्थात $\frac{c^2}{b^2} > 2$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\left|\frac{c}{b}\right| > \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\left|\frac{c}{b}\right| \in (\sqrt{2}, \infty)$।

(D) द्विघात व्यंजक $ax^2 + bx + c$ (जहाँ $a > 0$) का न्यूनतम मान $\frac{4ac - b^2}{4a}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$i) x^2 + 4x + 6$: यहाँ $a=1, b=4, c=6$. न्यूनतम मान = $\frac{4(1)(6) - (4)^2}{4(1)} = \frac{24 - 16}{4} = \frac{8}{4} = 2$. अतः,$i \rightarrow b$.
$ii) x^2 - 2x + 5$: यहाँ $a=1, b=-2, c=5$. न्यूनतम मान = $\frac{4(1)(5) - (-2)^2}{4(1)} = \frac{20 - 4}{4} = \frac{16}{4} = 4$. अतः,$ii \rightarrow c$.
$iii) x^2 + 6x + 18$: यहाँ $a=1, b=6, c=18$. न्यूनतम मान = $\frac{4(1)(18) - (6)^2}{4(1)} = \frac{72 - 36}{4} = \frac{36}{4} = 9$. अतः,$iii \rightarrow d$.
$iv) x^2 - 4x + 5$: यहाँ $a=1, b=-4, c=5$. न्यूनतम मान = $\frac{4(1)(5) - (-4)^2}{4(1)} = \frac{20 - 16}{4} = \frac{4}{4} = 1$. अतः,$iv \rightarrow a$.
इस प्रकार,सही मिलान $i$ $\rightarrow b, ii$ $\rightarrow c, iii$ $\rightarrow d, iv$ $\rightarrow a$ है।

(A) दिया गया द्विघात व्यंजक $f(x) = 2kx^2 - (4k+1)x + 2$ है।
इसे $f(x) = (2x - 1)(kx - 2)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$f(x) = 0$ के मूल $x = \frac{1}{2}$ और $x = \frac{2}{k}$ हैं।
व्यंजक के ऋणात्मक होने के लिए,$x$ को मूलों के बीच होना चाहिए।
स्थिति $1$: यदि $k > 0$,तो $\frac{1}{2} < x < \frac{2}{k}$। तीन पूर्णांकों $1, 2, 3$ के लिए $3 < \frac{2}{k} \le 4$ होना चाहिए।
अतः $k \in [\frac{1}{2}, \frac{2}{3})$।
स्थिति $2$: यदि $k < 0$,तो $\frac{2}{k} < x < \frac{1}{2}$। तीन पूर्णांकों $-1, -2, -3$ के लिए $-4 \le \frac{2}{k} < -3$ होना चाहिए।
अतः $k \in [-\frac{2}{3}, -\frac{1}{2}]$।
दिए गए विकल्प सही नहीं हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $x^2 - 6ax + (9a^2 - 2a + 2) = 0$.
माना $f(x) = x^2 - 6ax + 9a^2 - 2a + 2$.
दोनों मूलों के $3$ से अधिक होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:
$1)$ विविक्तकर $D \ge 0$:
$D = (-6a)^2 - 4(1)(9a^2 - 2a + 2) = 8a - 8$.
$8a - 8 \ge 0 \Rightarrow a \ge 1$.
$2)$ शीर्ष की स्थिति: $-\frac{b}{2a} > 3$:
$-\frac{-6a}{2(1)} > 3$ $\Rightarrow 3a > 3$ $\Rightarrow a > 1$.
$3)$ $f(3) > 0$:
$f(3) = 9a^2 - 20a + 11 > 0$
$(9a - 11)(a - 1) > 0$.
चूंकि $a > 1$,शर्त $(9a - 11)(a - 1) > 0$ का अर्थ है $a > \frac{11}{9}$।
सभी शर्तों को संयोजित करने पर,हमें $a > \frac{11}{9}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $f(x) = x^2+bx+c$ और $g(x) = x^2+b_1x+c_1$ है। दोनों परवलयों का प्रतिच्छेदन बिंदु $P$,$f(x) = g(x)$ को हल करके प्राप्त किया जाता है।
$x^2+bx+c = x^2+b_1x+c_1$
$(b-b_1)x = c_1-c$
$x = \frac{c_1-c}{b-b_1} = \frac{c-c_1}{b_1-b}$.
चूंकि $\gamma < \alpha < \delta < \beta$ है,प्रतिच्छेदन बिंदु $P$,$x$-अक्ष के नीचे स्थित है,जिसका अर्थ है कि इस $x$-निर्देशांक पर $f(x) < 0$ है।
$f\left(\frac{c-c_1}{b_1-b}\right) < 0$
$\left(\frac{c-c_1}{b_1-b}\right)^2 + b\left(\frac{c-c_1}{b_1-b}\right) + c < 0$
$(b_1-b)^2$ (जो धनात्मक है) से गुणा करने पर:
$(c-c_1)^2 + b(c-c_1)(b_1-b) + c(b_1-b)^2 < 0$
$(c-c_1)^2 < -b(c-c_1)(b_1-b) - c(b_1-b)^2$
$(c-c_1)^2 < (b_1-b)[-b(c-c_1) - c(b_1-b)]$
$(c-c_1)^2 < (b_1-b)[-bc+bc_1-cb_1+cb]$
$(c-c_1)^2 < (b_1-b)(bc_1-b_1c)$.
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) फलन $f(x) = x^2 + 2bx + 2c^2$ एक ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है। इसका न्यूनतम मान $x = -b$ पर प्राप्त होता है,जो $f(-b) = (-b)^2 + 2b(-b) + 2c^2 = b^2 - 2b^2 + 2c^2 = 2c^2 - b^2$ है।
फलन $g(x) = -x^2 - 2cx + b^2$ एक नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है। इसका अधिकतम मान $x = -c$ पर प्राप्त होता है,जो $g(-c) = -(-c)^2 - 2c(-c) + b^2 = -c^2 + 2c^2 + b^2 = c^2 + b^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,$f(x)$ का न्यूनतम मान $g(x)$ के अधिकतम मान से अधिक है:
$2c^2 - b^2 > c^2 + b^2$
$2c^2 - c^2 > b^2 + b^2$
$c^2 > 2b^2$.

(D) द्विघात व्यंजक $1-2x-5x^2$ का अधिकतम मान $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(-5)} = -\frac{1}{5}$ पर प्राप्त होता है।
$x = -\frac{1}{5}$ रखने पर,हमें $a = 1 - 2(-\frac{1}{5}) - 5(-\frac{1}{5})^2 = 1 + \frac{2}{5} - \frac{1}{5} = \frac{6}{5}$ प्राप्त होता है।
द्विघात व्यंजक $x^2-2x+5$ का न्यूनतम मान $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(1)} = 1$ पर प्राप्त होता है।
$x = 1$ रखने पर,हमें $b = (1)^2 - 2(1) + 5 = 4$ प्राप्त होता है।
अब,$a = \frac{6}{5}$ और $b = 4$ को व्यंजक $5ax^2+bx+7$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$5(\frac{6}{5})x^2 + 4x + 7 = 6x^2 + 4x + 7$.
द्विघात व्यंजक $6x^2 + 4x + 7 > 0$ के लिए,हम विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (4)^2 - 4(6)(7) = 16 - 168 = -152$ की जाँच करते हैं।
चूँकि $D < 0$ और मुख्य गुणांक $6 > 0$ है,इसलिए व्यंजक $6x^2 + 4x + 7$ सभी वास्तविक मानों $x$ के लिए हमेशा धनात्मक रहता है।
अतः,$x$ के सभी मानों का समुच्चय $(-\infty, \infty)$ है।

(A) द्विघात व्यंजक $f(x) = ax^2+bx+c$ के लिए,न्यूनतम मान $x = -\frac{b}{2a}$ पर प्राप्त होता है।
यहाँ,$f(x) = x^2+5x-2$,इसलिए $a=1, b=5, c=-2$ है।
न्यूनतम मान $a = -\frac{5}{2(1)} = -2.5$ पर प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान $M = f(-2.5) = (-2.5)^2 + 5(-2.5) - 2 = 6.25 - 12.5 - 2 = -8.25$ है।
अब,$\frac{M}{a} = \frac{-8.25}{-2.5} = 3.3$ है।

(D) $f(x) = x^2 - 2(4K - 1)x + g(K) > 0$ सभी $x \in R$ के लिए सत्य होने हेतु विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
$D = [-2(4K - 1)]^2 - 4(1)(g(K)) < 0$
$4(16K^2 - 8K + 1) - 4(15K^2 - 2K - 7) < 0$
$16K^2 - 8K + 1 - 15K^2 + 2K + 7 < 0$
$K^2 - 6K + 8 < 0$
$(K - 2)(K - 4) < 0$
अतः,$K \in (2, 4)$,इसलिए $a = 2$ और $b = 4$ है।
फलन $g(K) = 15K^2 - 2K - 7$ एक ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है जिसका शीर्ष $K = 1/15$ पर है।
चूंकि $1/15 \notin (2, 4)$,फलन $g(K)$ अंतराल $(2, 4)$ में निरंतर वर्धमान है।
इसलिए,$g(K)$ विवृत अंतराल $(2, 4)$ में कोई अधिकतम या न्यूनतम मान प्राप्त नहीं करता है।

(C) दिया गया है कि $f(x)=ax^2-bx-a$ एक द्विघात व्यंजक है जिसके लिए $f(x) \leq K, \forall x \in R$ है।
इसका अर्थ है $ax^2-bx-a-K \leq 0, \forall x \in R$।
किसी द्विघात व्यंजक $Ax^2+Bx+C$ के लिए,यदि वह सभी $x$ के लिए $0$ या उससे कम है,तो $x^2$ का गुणांक ऋणात्मक $(a < 0)$ होना चाहिए और विविक्तकर $D \leq 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$D = (-b)^2 - 4(a)(-a-K) \leq 0$।
$b^2 + 4a(a+K) \leq 0$।
$b^2 + 4a^2 + 4aK \leq 0$।
चूंकि $b^2 + 4a^2 \geq 0$,व्यंजक के $\leq 0$ होने के लिए $4aK$ का ऋणात्मक होना आवश्यक है।
दिया गया है कि $a < 0$,इसलिए $4aK < 0$ होने के लिए $K$ का धनात्मक होना आवश्यक है।
अतः,$K > 0$।

(D) माना $f(x) = -ax^2 + 2x - 7$ है। फलन का अधिकतम मान होने के लिए,$a > 0$ होना चाहिए।
पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$f(x) = -a(x^2 - \frac{2}{a}x) - 7$
$f(x) = -a(x^2 - \frac{2}{a}x + \frac{1}{a^2} - \frac{1}{a^2}) - 7$
$f(x) = -a(x - \frac{1}{a})^2 + \frac{1}{a} - 7$
$f(x)$ का अधिकतम मान $\frac{1}{a} - 7$ है।
दिया गया है कि अधिकतम मान $20$ से अधिक नहीं हो सकता,इसलिए:
$\frac{1}{a} - 7 \leq 20$
$\frac{1}{a} \leq 27$
चूंकि $a > 0$,हमें $a \geq \frac{1}{27}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a$ का न्यूनतम मान $\frac{1}{27}$ है।

(B) माना $f(x) = x^2 - 4ax + (4a^2 - 3a + 1)$। दोनों मूलों के $1$ से अधिक होने के लिए निम्नलिखित शर्तें पूरी होनी चाहिए:
$1$. विविक्तकर $D \geq 0$:
$D = (-4a)^2 - 4(1)(4a^2 - 3a + 1) = 12a - 4 \geq 0 \Rightarrow a \geq \frac{1}{3}$।
$2$. शीर्ष की स्थिति: $\frac{-b}{2a} > 1$:
$\frac{4a}{2} > 1 \Rightarrow a > \frac{1}{2}$।
$3$. $f(1) > 0$:
$f(1) = 4a^2 - 7a + 2 > 0$।
$4a^2 - 7a + 2 = 0$ के मूल $a = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{8}$ हैं।
अतः,$a \in \left(-\infty, \frac{7-\sqrt{17}}{8}\right) \cup \left(\frac{7+\sqrt{17}}{8}, \infty\right)$।
सभी शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर,$a \in \left(\frac{7+\sqrt{17}}{8}, \infty\right)$ प्राप्त होता है।

(B) माना $f(x) = x^2+x+a$ है। मूलों के $a$ से अधिक होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:
$1$. $D \geq 0$ $\Rightarrow 1-4a \geq 0$ $\Rightarrow a \leq \frac{1}{4}$.
$2$. $f(a) > 0$ $\Rightarrow a^2+a+a > 0$ $\Rightarrow a^2+2a > 0$ $\Rightarrow a(a+2) > 0$ $\Rightarrow a \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$.
$3$. $-\frac{b}{2a} > a$ $\Rightarrow -\frac{1}{2} > a$ $\Rightarrow a < -\frac{1}{2}$.
तीनों शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर:
$a \in (-\infty, \frac{1}{4}] \cap ((-\infty, -2) \cup (0, \infty)) \cap (-\infty, -\frac{1}{2})$
$= (-\infty, -2)$.

(D) मान लीजिए $f(x) = a x^{2} + b x + c$ है।
दिया गया है कि $f(1) = a + b + c < 0$ है।
चूंकि द्विघात समीकरण $a x^{2} + b x + c = 0$ के मूल काल्पनिक हैं,इसलिए $f(x)$ का ग्राफ $x$-अक्ष को नहीं काटता है।
इसका मतलब है कि $f(x)$ या तो हमेशा धनात्मक $(a > 0)$ है या हमेशा ऋणात्मक $(a < 0)$ है।
चूंकि $f(1) < 0$ है,इसलिए $f(x)$ हमेशा ऋणात्मक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $a < 0$ है।
साथ ही,$f(0) = c$ है। चूंकि $f(x)$ हमेशा ऋणात्मक है,इसलिए $f(0) < 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $c < 0$ है।
अतः,$a < 0$ और $c < 0$ है।

(C) दिया गया द्विघात व्यंजक $(2x+1)^{2} - px + q \neq 0$ है,जो किसी भी वास्तविक $x$ के लिए शून्य नहीं है।
व्यंजक का विस्तार करने पर:
$4x^{2} + 4x + 1 - px + q \neq 0$
$4x^{2} + (4-p)x + (1+q) \neq 0$
किसी द्विघात व्यंजक $ax^{2} + bx + c$ के लिए,यदि वह सभी वास्तविक $x$ के लिए शून्य नहीं है,तो उसका विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
$D = b^{2} - 4ac < 0$
गुणांकों $a = 4$,$b = (4-p)$,और $c = (1+q)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$(4-p)^{2} - 4(4)(1+q) < 0$
$16 - 8p + p^{2} - 16 - 16q < 0$
$p^{2} - 8p - 16q < 0$

(C) माना $f(x) = ax^2+bx+c$ है। चूंकि $a > 0$ है,इसलिए परवलय ऊपर की ओर खुलता है।
यह दिया गया है कि मूल $\alpha$ और $\beta$ इस प्रकार हैं कि $\alpha < -2$ और $\beta > 2$,इसलिए $x = -1$ पर फलन का मान ऋणात्मक होना चाहिए क्योंकि $-1$ मूलों $\alpha$ और $\beta$ के बीच स्थित है (चूंकि $\alpha < -2 < -1 < 2 < \beta$)।
अतः,$f(-1) < 0$ है।
$x = -1$ को द्विघात व्यंजक में रखने पर,हमें $f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a - b + c < 0$ है।

(D) माना $f(x) = x^2+px-q^2$ है।
चूँकि $x^2$ का गुणांक $1 > 0$ है,इसलिए परवलय ऊपर की ओर खुलता है।
यह दिया गया है कि एक मूल $\alpha < 2$ है और दूसरा मूल $\beta > 2$ है,इसलिए $x=2$ पर फलन का मान ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $f(2) < 0$।
द्विघात व्यंजक में $x=2$ रखने पर:
$f(2) = (2)^2 + p(2) - q^2 < 0$
$4 + 2p - q^2 < 0$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) माना $f(x) = x^{2}-3x+k$ है।
मूलों के अंतराल $(0,1)$ में स्थित होने के लिए,परवलय का शीर्ष $(0,1)$ के भीतर होना चाहिए।
शीर्ष का $x$-निर्देशांक $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2(1)} = \frac{3}{2} = 1.5$ है।
चूंकि $1.5 \notin (0,1)$,इसलिए दोनों मूलों का अंतराल $(0,1)$ में स्थित होना असंभव है।
अतः,$k$ का कोई भी मान दी गई शर्त को पूरा नहीं करता है।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $f(x) = x^{2}+2ax+(3a+10) = 0$ है।
चूंकि मूल $\alpha$ और $\beta$ शर्त $\alpha < 1 < \beta$ को संतुष्ट करते हैं,इसलिए $x=1$ पर फलन का मान ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $f(1) < 0$।
$x=1$ रखने पर:
$f(1) = (1)^{2} + 2a(1) + (3a+10) < 0$
$1 + 2a + 3a + 10 < 0$
$5a + 11 < 0$
$5a < -11$
$a < -11/5$
अतः,$a$ के सभी संभावित मानों का समुच्चय $(-\infty, -11/5)$ है।