यदि शून्येतर वास्तविक संख्याएँ b और c इस प्रक | vedclass

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Question

(D) हमारे पास $f(x) = x^2 + 2bx + 2c^2$ और $g(x) = -x^2 - 2cx + b^2$ है,जहाँ $x \in R$ है।$f(x)$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:$f(x) = (x + b)^2 + 2c^2 -

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$(\sqrt{2}, \infty)$

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(D) हमारे पास $f(x) = x^2 + 2bx + 2c^2$ और $g(x) = -x^2 - 2cx + b^2$ है,जहाँ $x \in R$ है।$f(x)$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:$f(x) = (x + b)^2 + 2c^2 - b^2$.अतः,$f(x)$ का न्यूनतम मान $f_{\min} = 2c^2 - b^2$ है।$g(x)$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:$g(x) = -(x^2 + 2cx) + b^2 = -(x + c)^2 + c^2 + b^2$.अतः,$g(x)$ का अधिकतम मान $g_{\max} = c^2 + b^2$ है।दी गई शर्त $\min f(x) > \max g(x)$ के अनुसार:$2c^2 - b^2 > c^2 + b^2$.दोनों पक्षों से $c^2$ घटाने और $b^2$ जोड़ने पर:$c^2 > 2b^2$.चूँकि $b$ और $c$ शून्येतर हैं,$b^2$ से भाग देने पर:$\frac{c^2}{b^2} > 2$.दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:$\left| \frac{c}{b} \right| > \sqrt{2}$.अतः,$\left| \frac{c}{b} \right| \in (\sqrt{2}, \infty)$।

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यदि $f(x) = x^2 - 2(4K - 1)x + g(K) > 0$ सभी $x \in R$ और $K \in (a, b)$ के लिए है। यदि $g(K) = 15K^2 - 2K - 7$ है,तो:

यदि $x$ वास्तविक है,तो $5 + 4x - 4x^2$ का अधिकतम मान किसके बराबर होगा?

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$a$ के कितने पूर्णांक मानों के लिए द्विघात समीकरण $x^2 - (2a + 3)x + a^2 + 3a = 0$ के दोनों मूल अंतराल $(0, 4)$ में स्थित हैं?

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