Integral power of iota, Algebraic operations and Equality of complex numbers Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે કે,$\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{96}=a+ib$.
પ્રથમ,કૌંસની અંદરની પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-2i+i^2}{1-i^2} = \frac{1-2i-1}{1+1} = \frac{-2i}{2} = -i$.
હવે,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(-i)^{96} = a+ib$.
$96$ એ બેકી સંખ્યા હોવાથી,$(-i)^{96} = i^{96}$.
$i^{96} = (i^4)^{24} = (1)^{24} = 1$.
તેથી,$1 = a+ib$,જેને $1+0i = a+ib$ તરીકે લખી શકાય.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,$a=1$ અને $b=0$ મળે છે.
આમ,$(a, b) = (1, 0)$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $i^{n} + i^{n+1} + i^{n+2} + i^{n+3}$
$i^{n}$ ને સામાન્ય લેતા: $i^{n}(1 + i + i^{2} + i^{3})$
આપણે જાણીએ છીએ કે $i^{2} = -1$ અને $i^{3} = -i$.
આ કિંમતો મૂકતા: $i^{n}(1 + i - 1 - i)$
કૌંસમાં રહેલા પદોનું સાદું રૂપ આપતા: $i^{n}(0) = 0$
તેથી,સાદું રૂપ $0$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{(1+i)^{n}}{(1-i)^{n-2}}$
$= \frac{(1+i)^{n}}{(1-i)^{n}} \times (1-i)^{2}$
$= \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{n} \times (1 + i^{2} - 2i)$
$= \left(\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\right)^{n} \times (1 - 1 - 2i)$
$= \left(\frac{1 + i^{2} + 2i}{1 - i^{2}}\right)^{n} \times (-2i)$
$= \left(\frac{2i}{2}\right)^{n} \times (-2i)$
$= i^{n} \times (-2i) = -2i^{n+1}$
પદાવલિ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા હોય તે માટે,$-2i^{n+1}$ ધન હોવું જોઈએ.
જો $n=1$ લઈએ,તો $-2i^{1+1} = -2i^{2} = -2(-1) = 2$,જે ધન છે.
આમ,સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $n = 1$ છે.

(C) ધારો કે $z = \frac{1-i \sin \alpha}{1+2 i \sin \alpha}$.
$z$ શુદ્ધ વાસ્તવિક હોય તે માટે તેનો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $(1-2i \sin \alpha)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(1-i \sin \alpha)(1-2i \sin \alpha)}{(1+2i \sin \alpha)(1-2i \sin \alpha)}$
$z = \frac{1 - 2i \sin \alpha - i \sin \alpha + 2i^2 \sin^2 \alpha}{1 + 4 \sin^2 \alpha}$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$z = \frac{1 - 3i \sin \alpha - 2 \sin^2 \alpha}{1 + 4 \sin^2 \alpha} = \frac{1 - 2 \sin^2 \alpha}{1 + 4 \sin^2 \alpha} - i \frac{3 \sin \alpha}{1 + 4 \sin^2 \alpha}$
$z$ શુદ્ધ વાસ્તવિક હોય તે માટે કાલ્પનિક ભાગ $0$ હોવો જોઈએ:
$-\frac{3 \sin \alpha}{1 + 4 \sin^2 \alpha} = 0$
$\Rightarrow 3 \sin \alpha = 0$
$\Rightarrow \sin \alpha = 0$
$\Rightarrow \alpha = n \pi, n \in N$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $3x + i(4x - y) = 6 - i$
$LHS$ અને $RHS$ ના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા:
$3x = 6$ અને $4x - y = -1$
$3x = 6$ પરથી,આપણને $x = 2$ મળે છે.
$x = 2$ ને $4x - y = -1$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$4(2) - y = -1$
$8 - y = -1$
$y = 8 + 1 = 9$
તેથી,$x = 2$ અને $y = 9$ મળે છે.

(D) આપેલ છે,$\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{x}=1$
આધારનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\left[\frac{1+i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i}\right]^{x}=1$
$\left[\frac{1+i^2+2i}{1^2-i^2}\right]^{x}=1$
કારણ કે $i^2 = -1$:
$\left[\frac{1-1+2i}{1+1}\right]^{x}=1$
$\left[\frac{2i}{2}\right]^{x}=1$
$i^x = 1$
આપણે જાણીએ છીએ કે $i^k = 1$ ત્યારે અને તો જ થાય જો $k$ એ $4$ નો ગુણક હોય.
તેથી,$x = 4n$ જ્યાં $n \in N$.

(C) આપેલ છે કે,$\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{m} = 1$.
સૌ પ્રથમ,કૌંસની અંદરની પદાવલિને છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(1+i)$ વડે ગુણીને સાદું રૂપ આપો:
$\frac{1+i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{(1+i)^{2}}{1^{2}-i^{2}} = \frac{1+i^{2}+2i}{1-(-1)} = \frac{1-1+2i}{2} = \frac{2i}{2} = i$.
હવે,સમીકરણ $i^{m} = 1$ બને છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $i$ ની ઘાત એક ચક્ર અનુસરે છે:
$i^{1} = i$
$i^{2} = -1$
$i^{3} = -i$
$i^{4} = 1$
આમ,$m$ ની ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક કિંમત જેના માટે $i^{m} = 1$ થાય તે $m = 4$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^k = -i$.
પ્રથમ,આધારનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-2i+i^2}{1-i^2} = \frac{1-2i-1}{1+1} = \frac{-2i}{2} = -i$.
તેથી,સમીકરણ $(-i)^k = -i$ બને છે.
$(-i)^k = -i$ માટે,$k$ એ $k \equiv 1 \pmod 4$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક $m = 1$ છે.
મહત્તમ ઋણ પૂર્ણાંક $n = 1 - 4 = -3$ છે.
આમ,$m - n = 1 - (-3) = 1 + 3 = 4$.

(D) આપેલ સરવાળો $\sum_{k=0}^{40} i^k = x + iy$ છે.
$i$ ની ચાર ક્રમિક ઘાતનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે,એટલે કે $i^n + i^{n+1} + i^{n+2} + i^{n+3} = 0$.
અહીં $k=0$ થી $k=40$ સુધી કુલ $41$ પદો છે.
$\sum_{k=0}^{40} i^k = i^0 + (i^1 + i^2 + i^3 + i^4) + \dots + (i^{37} + i^{38} + i^{39} + i^{40}) = 1 + 0 + \dots + 0 = 1$.
તેથી,$x + iy = 1 + 0i$,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$ અને $y = 0$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$x^{100} + x^{99}y + x^{242}y^2 + x^{97}y^3 = (1)^{100} + (1)^{99}(0) + (1)^{242}(0)^2 + (1)^{97}(0)^3 = 1 + 0 + 0 + 0 = 1$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $i^{18}-3i^7+i^2(1+i^4)(i)^{22}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $i^2 = -1$,$i^3 = -i$,$i^4 = 1$.
$i^{18} = (i^4)^4 \times i^2 = (1)^4 \times (-1) = -1$
$i^7 = (i^4) \times i^3 = 1 \times (-i) = -i$
$i^{22} = (i^4)^5 \times i^2 = (1)^5 \times (-1) = -1$
આ કિંમતો મૂકતા:
$-1 - 3(-i) + (-1)(1+1)(-1)$
$= -1 + 3i + (-1)(2)(-1)$
$= -1 + 3i + 2$
$= 1 + 3i$

(B) આપેલ છે $(x+iy) = \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^3 - \left(\frac{1-i}{1+i}\right)^3$.
પ્રથમ,પાયાના અપૂર્ણાંકોનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{1+i}{1-i} = i$ અને $\frac{1-i}{1+i} = -i$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$x+iy = (i)^3 - (-i)^3 = -i - (i) = -2i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા:
$x = 0$ અને $y = -2$.
તેથી,$0 > -2$ હોવાથી $x > y$ થાય.

(A) આપેલ છે કે,$\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^m=1$.
પ્રથમ,આધારનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{1+i}{1-i} = \frac{1+i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{(1+i)^2}{1^2 - i^2} = \frac{1+i^2+2i}{1-(-1)} = \frac{1-1+2i}{2} = \frac{2i}{2} = i$.
તેથી,સમીકરણ $i^m = 1$ બને છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $i^n = 1$ ત્યારે જ થાય જો $n$ એ $4$ નો ગુણક હોય.
વિકલ્પો તપાસતા:
$1934 \div 4 = 483.5$ ($4$ નો ગુણક નથી).
$2024 \div 4 = 506$ ($4$ નો ગુણક છે).
$2172 \div 4 = 543$ ($4$ નો ગુણક છે).
$10^{100} = (2 \times 5)^{100} = 2^{100} \times 5^{100}$,જે $4$ વડે વિભાજ્ય છે કારણ કે $2^{100}$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$m$ એ $1934$ હોઈ શકે નહીં.

(B) આપેલ સમીકરણ $\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^n=1$ છે.
પ્રથમ,$\frac{1+i}{1-i}$ ને સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1+i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{1+i^2+2i}{1-i^2} = \frac{1-1+2i}{1-(-1)} = \frac{2i}{2} = i$.
તેથી,સમીકરણ $i^n = 1$ બને છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $i^n = 1$ ત્યારે જ થાય જો $n$ એ $4$ નો ગુણક હોય.
$1 \leq n \leq 2021$ ની વચ્ચે $4$ ના ગુણકોની સંખ્યા શોધવી છે.
ગુણકો $4, 8, 12, \ldots, 2020$ છે.
આ સમાંતર શ્રેણી છે જ્યાં $a = 4$,$d = 4$,અને $l = 2020$.
સૂત્ર $l = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2020 = 4 + (n-1)4$ $\Rightarrow 2016 = (n-1)4$ $\Rightarrow n-1 = 504$ $\Rightarrow n = 505$.
આમ,આવી $505$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $i$ ની ચાર ક્રમિક ઘાતોનો સરવાળો $i^k + i^{k+1} + i^{k+2} + i^{k+3} = i^k(1 + i - 1 - i) = 0$ થાય છે.
પ્રથમ સરવાળા માટે: $\sum_{n=2}^{30} i^n = i^2 + i^3 + \dots + i^{30}$. પદોની સંખ્યા $30 - 2 + 1 = 29$ છે.
$29 = 4 \times 7 + 1$ હોવાથી,સરવાળો $i^2 + (i^3 + i^4 + i^5 + i^6) + \dots + (i^{27} + i^{28} + i^{29} + i^{30}) = -1 + 0 = -1$ થાય.
બીજા સરવાળા માટે: $\sum_{n=30}^{65} i^{n+3} = i^{33} + i^{34} + \dots + i^{68}$. પદોની સંખ્યા $68 - 33 + 1 = 36$ છે.
$36$ એ $4$ નો ગુણક હોવાથી,$i$ ની આ $36$ ક્રમિક ઘાતોનો સરવાળો $0$ થાય છે.
આમ,કુલ સરવાળો $-1 + 0 = -1$ થાય.

(D) ધારો કે $Z = \frac{(1-i)^3}{(2-i)(3-2i)}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $(1-i)^3 = -2 - 2i$.
છેદનું વિસ્તરણ કરતા: $(2-i)(3-2i) = 4 - 7i$.
તેથી,$Z = \frac{-2 - 2i}{4 - 7i}$.
છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા વડે ગુણતા: $Z = \frac{-2 - 2i}{4 - 7i} \times \frac{4 + 7i}{4 + 7i} = \frac{6 - 22i}{65}$.
આમ,$Z = \frac{6}{65} - \frac{22}{65}i$.
કાલ્પનિક ભાગ $-\frac{22}{65}$ છે.

(A) આપેલ છે $z = (1-i)^3(x+i)$.
પ્રથમ,$(1-i)^3$ નું વિસ્તરણ કરો:
$(1-i)^3 = 1^3 - 3(1)^2(i) + 3(1)(i)^2 - i^3 = 1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i$.
હવે,આને $z$ ના સમીકરણમાં મૂકો:
$z = (-2 - 2i)(x + i) = -2x - 2i - 2ix - 2i^2 = -2x - 2i - 2ix + 2 = (2 - 2x) - i(2 + 2x)$.
$z$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોય તે માટે,વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$2 - 2x_1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$.
$z$ શુદ્ધ વાસ્તવિક હોય તે માટે,કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$-(2 + 2x_2) = 0 \Rightarrow x_2 = -1$.
તેથી,$x_1 x_2 = 1 \times (-1) = -1$.

(A) આપેલ છે: $\frac{x-1}{3+i} + \frac{y-1}{3-i} = i$
છેદ $(3+i)(3-i) = 10$ વડે ગુણતા:
$(x-1)(3-i) + (y-1)(3+i) = 10i$
$3x - ix - 3 + i + 3y + iy - 3 - i = 10i$
$(3x + 3y - 6) + i(y - x) = 10i$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા:
$3x + 3y - 6 = 0 \Rightarrow x + y = 2$
$y - x = 10$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2y = 12 \Rightarrow y = 6$
$x + y = 2$ માં $y = 6$ મૂકતા: $x + 6 = 2 \Rightarrow x = -4$
આમ,$x = -4$ અને $y = 6$.

(A) આપેલ છે: $\frac{(1+i)x-2i}{3+i} + \frac{(2-3i)y}{3-i} = i$
$(3+i)(3-i) = 10$ વડે ગુણતા:
$((1+i)x-2i)(3-i) + (2-3i)y(3+i) = 10i$
$(4x - 2 + 9y) + i(2x - 6 - 7y) = 10i$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$4x + 9y = 2$
$2x - 7y = 16$
સમીકરણો ઉકેલતા:
$y = -30/23$ અને $x = 79/23$
તેથી,$x+y = 79/23 - 30/23 = 49/23$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $i^2 = -1$,$i^4 = 1$.
પ્રથમ,$i^{22}$ ની ગણતરી કરો: $i^{22} = (i^4)^5 \times i^2 = 1^5 \times (-1) = -1$.
ત્યારબાદ,$(\frac{1}{i})^{35}$ ની ગણતરી કરો: $\frac{1}{i} = -i$.
તેથી,$(-i)^{35} = -(i^{35}) = -(i^{32} \times i^3) = -(1 \times -i) = i$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકો: $\{i^{22} - (\frac{1}{i})^{35}\}^2 = \{-1 - i\}^2$.
વર્ગનું વિસ્તરણ કરો: $(-1 - i)^2 = (-1)^2 + (-i)^2 + 2(-1)(-i) = 1 + i^2 + 2i$.
કારણ કે $i^2 = -1$,તેથી $1 - 1 + 2i = 2i$ મળે છે.

(D) આપેલ છે,$a+bi = \frac{i}{1-i}$
છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(1+i)$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$a+bi = \frac{i(1+i)}{(1-i)(1+i)}$
$a+bi = \frac{i+i^2}{1^2-i^2}$
કારણ કે $i^2 = -1$:
$a+bi = \frac{i-1}{1-(-1)} = \frac{-1+i}{2}$
$a+bi = \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}i$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,આપણને $a = \frac{-1}{2}$ અને $b = \frac{1}{2}$ મળે છે
તેથી,$(a, b) = (\frac{-1}{2}, \frac{1}{2})$

(B) સંકર સંખ્યાને સરળ બનાવવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $1+i$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\frac{1+2i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{1+i+2i+2i^2}{1^2-i^2}$
$i^2 = -1$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{1+3i-2}{1-(-1)} = \frac{-1+3i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i$
વાસ્તવિક ભાગ $-\frac{1}{2}$ (ઋણ) છે અને કાલ્પનિક ભાગ $\frac{3}{2}$ (ધન) છે.
ઋણ વાસ્તવિક ભાગ અને ધન કાલ્પનિક ભાગ ધરાવતી સંકર સંખ્યા દ્વિતીય ચરણમાં આવે છે.

(D) આપેલ છે $(x+iy)^{\frac{1}{3}} = 5+3i$.
બંને બાજુ ઘન કરતા,આપણને મળે $x+iy = (5+3i)^3$.
નિત્યસમ $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x+iy = 5^3 + 3(5^2)(3i) + 3(5)(3i)^2 + (3i)^3$.
$x+iy = 125 + 225i + 135(-1) + 27(-i)$.
$x+iy = -10 + 198i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,$x = -10$ અને $y = 198$.
હવે,$3x+5y = 3(-10) + 5(198) = -30 + 990 = 960$.

(B) દરેક પદને અલગથી સાદું રૂપ આપો:
$1$. $\frac{5+2i}{2-5i} = \frac{(5+2i)(2+5i)}{(2-5i)(2+5i)} = \frac{10 + 25i + 4i + 10i^2}{4 + 25} = \frac{10 + 29i - 10}{29} = \frac{29i}{29} = i$
$2$. $\frac{3-4i}{4+3i} = \frac{(3-4i)(4-3i)}{(4+3i)(4-3i)} = \frac{12 - 9i - 16i + 12i^2}{16 + 9} = \frac{12 - 25i - 12}{25} = \frac{-25i}{25} = -i$
$3$. $\frac{1}{i} = \frac{1 \times i}{i \times i} = \frac{i}{-1} = -i$
$z$ માટેના સમીકરણમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$z = (i) - (-i) - (-i) = i + i + i = 3i$
સંકર સંખ્યા $z = 0 + 3i$ છે.
આમ,$z$ નો વાસ્તવિક ભાગ $0$ છે.

(C) પ્રથમ,$\frac{1+i}{1-i}$ પદને અંશ અને છેદને $(1+i)$ વડે ગુણીને સાદું રૂપ આપો:
$\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+i^2+2i}{1-i^2} = \frac{1-1+2i}{1+1} = \frac{2i}{2} = i$
તે જ રીતે,બીજા પદ માટે:
$\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1+i^2-2i}{1-i^2} = \frac{1-1-2i}{1+1} = \frac{-2i}{2} = -i$
હવે,આ કિંમતોને મૂળ પદાવલિમાં મૂકો:
$(i)^4 + (-i)^4 = i^4 + i^4 = 1 + 1 = 2$

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{(1+i) x-i}{2+i}+\frac{(1+2 i) y+i}{2-i}=1$
પ્રથમ પદને $\frac{2-i}{2-i}$ વડે અને બીજા પદને $\frac{2+i}{2+i}$ વડે ગુણતા:
$\frac{[(1+i)x-i](2-i)}{5} + \frac{[(1+2i)y+i](2+i)}{5} = 1$
અંશનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{(2-i+2i-i^2)x - 2i + i^2}{5} + \frac{(2+i+4i+2i^2)y + 2i + i^2}{5} = 1$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$\frac{(3+i)x - 2i - 1}{5} + \frac{(5i)y + 2i - 1}{5} = 1$
$(3+i)x + (5i)y - 2 = 5$
$(3x-7) + i(x+5y) = 0$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા:
$3x-7 = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{3}$
$x+5y = 0 \Rightarrow y = -\frac{x}{5} = -\frac{7}{15}$
આમ,$(x, y) = \left(\frac{7}{3}, -\frac{7}{15}\right)$.

(B) આપેલ છે કે $-3+ix^2y$ અને $x^2+y+4i$ એકબીજાની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યાઓ છે.
તેથી,$-3-ix^2y = x^2+y+4i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા:
$x^2+y = -3$ $(i)$
$-x^2y = 4$ $(ii)$
$(ii)$ પરથી,$y = -\frac{4}{x^2}$.
$y$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$x^2 - \frac{4}{x^2} = -3$
ધારો કે $x^2 = t$,તો $t - \frac{4}{t} = -3 \implies t^2 + 3t - 4 = 0$.
$(t+4)(t-1) = 0$.
$t = x^2$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $t = 1$.
$x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.

(B) આપેલ છે,$u+iv = \frac{3i}{(x+2)+iy}$.
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા:
$\frac{1}{u+iv} = \frac{(x+2)+iy}{3i}$.
ડાબી બાજુના અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ $(u-iv)$ વડે ગુણતા:
$\frac{u-iv}{u^2+v^2} = \frac{(x+2)+iy}{3i}$.
બંને બાજુ $3i$ વડે ગુણતા:
$(x+2)+iy = \frac{3i(u-iv)}{u^2+v^2} = \frac{3ui - 3vi^2}{u^2+v^2} = \frac{3v + 3ui}{u^2+v^2}$.
કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$y = \frac{3u}{u^2+v^2}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $(1+i)^2 = 2i$ અને $(1-i)^2 = -2i$ થાય છે.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$(1+i)^{2024} + (1-i)^{2024} = [(1+i)^2]^{1012} + [(1-i)^2]^{1012}$
$= (2i)^{1012} + (-2i)^{1012}$
$= 2^{1012} \cdot i^{1012} + (-2)^{1012} \cdot i^{1012}$
અહીં $1012$ બેકી સંખ્યા હોવાથી,$(-2)^{1012} = 2^{1012}$ અને $i^{1012} = (i^4)^{253} = 1$ થાય છે.
$= 2^{1012} \cdot 1 + 2^{1012} \cdot 1$
$= 2 \cdot 2^{1012} = 2^{1013}$.

(D) ધારો કે $z = \frac{3+2 i \sin \theta}{1-2 i \sin \theta}$.
$z$ વાસ્તવિક બને તે માટે તેનો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(1+2 i \sin \theta)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(3+2 i \sin \theta)(1+2 i \sin \theta)}{(1-2 i \sin \theta)(1+2 i \sin \theta)}$
$z = \frac{3 + 6 i \sin \theta + 2 i \sin \theta + 4 i^2 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$z = \frac{(3 - 4 \sin^2 \theta) + i(8 \sin \theta)}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$z$ વાસ્તવિક હોવા માટે,કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\frac{8 \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} = 0$
$8 \sin \theta = 0$
$\sin \theta = 0$
તેથી,$\theta = n \pi, n \in \mathbb{Z}$.

(D) પ્રથમ,પાયાના પદોનું સાદું રૂપ આપો:
$\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-2i+i^2}{1-i^2} = \frac{1-2i-1}{1+1} = \frac{-2i}{2} = -i$
$\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+2i+i^2}{1-i^2} = \frac{1+2i-1}{1+1} = \frac{2i}{2} = i$
હવે આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકો:
$(-i)^{2022} + (i)^{2021}$
$= (i)^{2022} + (i)^{2021}$
$= (i^{4})^{505} \cdot i^2 + (i^{4})^{505} \cdot i^1$
$= (1)^{505} \cdot (-1) + (1)^{505} \cdot i$
$= -1 + i$

(C) આપેલ શ્રેણી $S = 1+i^2+i^4+i^6+\ldots+i^{2024}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $i^2 = -1$,$i^4 = 1$,$i^6 = -1$ વગેરે.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a=1$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r=i^2=-1$ અને પદોની સંખ્યા $n = \frac{2024-0}{2} + 1 = 1013$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S = \frac{1((-1)^{1013} - 1)}{-1 - 1} = \frac{-1 - 1}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$.

(B) આપેલ છે,$\frac{(1+i)^n}{(1-i)^n} = -i$
$\Rightarrow \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^n = -i$
કૌંસની અંદરના પદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\Rightarrow \left[\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\right]^n = -i$
$\Rightarrow \left[\frac{1+i^2+2i}{1-i^2}\right]^n = -i$
કારણ કે $i^2 = -1$:
$\Rightarrow \left[\frac{1-1+2i}{1+1}\right]^n = -i$
$\Rightarrow \left(\frac{2i}{2}\right)^n = -i$
$\Rightarrow i^n = -i$
આપણે જાણીએ છીએ કે $i^1 = i$,$i^2 = -1$,$i^3 = -i$,અને $i^4 = 1$.
$i^n = -i$ કિંમત ત્યારે મળે છે જ્યારે $n$ એ $4k-1$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $k \in N$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $i$ ની ચાર ક્રમિક ઘાતનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે,એટલે કે કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે $i^n+i^{n+1}+i^{n+2}+i^{n+3}=0$.
આપેલી શ્રેણી $S = i^2+i^3+i^4+\ldots+i^{4000}$ છે.
આ શ્રેણીમાં $3999$ પદો છે.
આ પદોને ચારના જૂથમાં વહેંચતા,$3999 = 4 \times 999 + 3$ મળે છે,તેથી $999$ જૂથોનો સરવાળો $0$ થશે અને $3$ પદો બાકી રહેશે.
સરવાળો $\sum_{k=2}^{4000} i^k = \frac{i^2(1-i^{3999})}{1-i} = \frac{-1(1-(-i))}{1-i} = \frac{-(1+i)}{1-i} = -i$ થાય છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $(1+i)^2 = 2i$ અને $(1-i)^2 = -2i$ થાય છે.
આપેલ પદાવલિ: $E = \frac{(1+i)^{2011}}{(1-i)^{2009}} = \frac{(1+i)^{2009} \cdot (1+i)^2}{(1-i)^{2009}}$.
$E = \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{2009} \cdot (1+i)^2$.
$\frac{1+i}{1-i}$ ને સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1+i}{1-i} \cdot \frac{1+i}{1+i} = \frac{2i}{2} = i$.
કિંમત મૂકતા: $E = (i)^{2009} \cdot (2i) = 2 \cdot i^{2010}$.
$i^4 = 1$ હોવાથી,$i^{2010} = (i^4)^{502} \cdot i^2 = 1^{502} \cdot (-1) = -1$.
તેથી,$E = 2 \cdot (-1) = -2$.

(B) આપેલ પદ $\frac{2+3 i}{i-2}-\frac{4 i-3}{3+4 i}=x+i y$ છે.
પ્રથમ પદનું સાદું રૂપ: $\frac{2+3 i}{-2+i} \times \frac{-2-i}{-2-i} = \frac{-4-2i-6i-3i^2}{4+1} = \frac{-4-8i+3}{5} = \frac{-1-8i}{5} = -0.2 - 1.6i$.
બીજા પદનું સાદું રૂપ: $\frac{-3+4i}{3+4i} \times \frac{3-4i}{3-4i} = \frac{-9+12i+12i-16i^2}{9+16} = \frac{-9+24i+16}{25} = \frac{7+24i}{25} = 0.28 + 0.96i$.
બંનેની બાદબાકી: $(-0.2 - 1.6i) - (0.28 + 0.96i) = -0.48 - 2.56i$.
તેથી,$x = -0.48$ અને $y = -2.56$.
$3x+y = 3(-0.48) + (-2.56) = -1.44 - 2.56 = -4$.

(C) સૌ પ્રથમ,કૌંસની અંદરની અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:
$\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+2i+i^2}{1-i^2} = \frac{1+2i-1}{1+1} = \frac{2i}{2} = i$.
હવે,આ કિંમતને મૂળ અભિવ્યક્તિમાં મૂકો:
$i^{228} = (i^4)^{57} = 1^{57} = 1$.
હવે,વિકલ્પો તપાસો કે કયો વિકલ્પ $1$ મળે છે:
વિકલ્પ $C$ માટે: $\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{228} = \left(\frac{1}{i}\right)^{228} = \frac{1}{i^{228}} = \frac{1}{1} = 1$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે કે $(a+ib)^{\frac{1}{4}}=2+3i$.
બંને બાજુ $4$ ઘાત લેતા:
$(a+ib)=(2+3i)^4$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$(a+ib)=[(2+3i)^2]^2 = [4+9i^2+12i]^2$.
$i^2=-1$ હોવાથી:
$(a+ib)=[4-9+12i]^2 = [-5+12i]^2$.
વધુ વિસ્તરણ કરતા:
$a+ib = (-5)^2 + (12i)^2 + 2(-5)(12i) = 25 - 144 - 120i = -119 - 120i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,$a=-119$ અને $b=-120$ મળે છે.
હવે,$3b-2a$ ની ગણતરી કરતા:
$3b-2a = 3(-120) - 2(-119) = -360 + 238 = -122$.

(B) આપેલ છે,$\sqrt{x^2 - 2x + 8} + (x + 4)i = y(2 + i)$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$\sqrt{x^2 - 2x + 8} = 2y$ $(1)$
$x + 4 = y$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$\sqrt{x^2 - 2x + 8} = 2(x + 4)$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x^2 - 2x + 8 = 4(x^2 + 8x + 16)$
$3x^2 + 34x + 56 = 0$
$(3x + 28)(x + 2) = 0$
તેથી,$x = -2$ અથવા $x = -\frac{28}{3}$.
જો $x = -2$,તો $y = 2$. તેથી,$Z = -2 + 2i$.
જો $x = -\frac{28}{3}$,તો $y = -\frac{16}{3}$. તેથી,$Z = -\frac{28}{3} - \frac{16}{3}i$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$Z = -2 + 2i$ સાચો વિકલ્પ છે.

(C) આપેલ છે,$(1+i)^n=(1-i)^n$
$\Rightarrow \frac{(1+i)^n}{(1-i)^n}=1$
$\Rightarrow \left[\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\right]^n=1$
$\Rightarrow \left[\frac{1+i^2+2i}{1-i^2}\right]^n=1$
$\Rightarrow \left[\frac{1-1+2i}{1+1}\right]^n=1$
$\Rightarrow \left(\frac{2i}{2}\right)^n=1$
$\Rightarrow i^n=1$
$i^n=1$ થાય તેવો સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $n$ એ $4$ છે,તેથી $n=4$.

(A) ધારો કે $z = \frac{3+2i \sin \theta}{1-2i \sin \theta}$. છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(1+2i \sin \theta)$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$z = \frac{(3+2i \sin \theta)(1+2i \sin \theta)}{(1-2i \sin \theta)(1+2i \sin \theta)}$
$z = \frac{3 + 6i \sin \theta + 2i \sin \theta + 4i^2 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$z = \frac{3 - 4 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} + i \left( \frac{8 \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} \right)$
$z$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવા માટે,કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\frac{8 \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} = 0$
આથી $\sin \theta = 0$.
$0 < \theta < 2\pi$ આપેલ હોવાથી,$\theta = \pi$ મળે.

(D) આપેલ છે $(2x - y + 1) + i(x - 2y - 1) = 2 - 3i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા:
$2x - y + 1 = 2 \implies 2x - y = 1$ (સમીકરણ $1$)
$x - 2y - 1 = -3 \implies x - 2y = -2$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ ને $2$ વડે ગુણતા,$2x - 4y = -4$ (સમીકરણ $3$) મળે છે.
સમીકરણ $1$ માંથી સમીકરણ $3$ બાદ કરતા:
$3y = 5 \implies y = \frac{5}{3}$.
$y = \frac{5}{3}$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$2x = 1 + \frac{5}{3} = \frac{8}{3} \implies x = \frac{4}{3}$.
આપણે $(x - iy) = (\frac{4}{3} - i\frac{5}{3})$ નો વ્યસ્ત શોધવાનો છે.
વ્યસ્ત $\frac{1}{\frac{4}{3} - i\frac{5}{3}} = \frac{3}{4 - 5i}$ થાય.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{3(4 + 5i)}{16 + 25} = \frac{12 + 15i}{41} = \frac{12}{41} + \frac{15}{41}i$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $(1+i)^2 = 1+i^2+2i = 1-1+2i = 2i$.
તે જ રીતે,$(1-i)^2 = 1+i^2-2i = 1-1-2i = -2i$.
હવે,$(1+i)^{10} = ((1+i)^2)^5 = (2i)^5 = 2^5 \times i^5 = 32i$.
અને $(1-i)^{10} = ((1-i)^2)^5 = (-2i)^5 = (-2)^5 \times i^5 = -32i$.
તેથી,$(1+i)^{10} + (1-i)^{10} = 32i + (-32i) = 0$.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક: $\left|\begin{array}{cc}1-i & i \\ 1+2 i & -i\end{array}\right|=x+i y$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $(1-i)(-i) - (i)(1+2i) = x+iy$
$-i + i^2 - (i + 2i^2) = x+iy$
$i^2 = -1$ હોવાથી,કિંમત મૂકતા: $-i - 1 - (i - 2) = x+iy$
$-i - 1 - i + 2 = x+iy$
$1 - 2i = x+iy$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,આપણને $x = 1$ અને $y = -2$ મળે છે.

(B) આપણી પાસે $\sum_{n=1}^{13}(i^{n}+i^{n+1}) = \sum_{n=1}^{13} i^{n} + \sum_{n=1}^{13} i^{n+1}$ છે.
અહીં $i^{n}$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a=i$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r=i$ છે,તેથી $13$ પદોનો સરવાળો $S_{13} = i \frac{1-i^{13}}{1-i}$ થાય.
નોંધો કે $i^{13} = (i^{4})^{3} \times i = 1^{3} \times i = i$.
તેથી,$\sum_{n=1}^{13} i^{n} = i \frac{1-i}{1-i} = i$.
તે જ રીતે,$\sum_{n=1}^{13} i^{n+1} = i^{2} \frac{1-i^{13}}{1-i} = -1 \frac{1-i}{1-i} = -1$.
આમ,કુલ સરવાળો $i + (-1) = i-1$ થાય.