Integral power of iota, Algebraic operations and Equality of complex numbers Questions in Gujarati

(B) સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,જો $1 i$ એક બીજ હોય,તો તેનો અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $1 - i$ પણ બીજ હોય.
બીજનો સરવાળો $(1 i) (1 - i) = 2$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $(1 i)(1 - i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - 2x 2 = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે $x$ એ શૂન્યતર સંમેય સંખ્યા છે અને $y$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
ધારો કે તેમનો ગુણાકાર $xy = r$ છે,જ્યાં $r$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
$x \neq 0$ હોવાથી,આપણે $y = \frac{r}{x}$ લખી શકીએ છીએ.
$r$ સંમેય છે અને $x$ શૂન્યતર સંમેય છે,તેથી બે સંમેય સંખ્યાઓનો ભાગાકાર હંમેશા સંમેય સંખ્યા જ હોય છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $y$ એ સંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ,જે આપેલ શરત કે $y$ અસંમેય છે તેની સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે.
તેથી,$xy$ સંમેય છે તેવી ધારણા ખોટી છે.
આમ,$xy$ એ અસંમેય સંખ્યા જ હોય.
ઉદાહરણ તરીકે,જો $x = 2$ અને $y = \sqrt{3}$ હોય,તો $xy = 2\sqrt{3}$ થાય,જે અસંમેય છે.

(B) સંકર સંખ્યા શુદ્ધ કાલ્પનિક હોય તે માટે તેનો વાસ્તવિક ભાગ $0$ હોવો જોઈએ.
આપેલ પદ: $Z = \frac{2 + 3i \sin \theta}{1 - 2i \sin \theta}$
અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(1 + 2i \sin \theta)$ વડે ગુણતા:
$Z = \frac{(2 + 3i \sin \theta)(1 + 2i \sin \theta)}{(1 - 2i \sin \theta)(1 + 2i \sin \theta)}$
$Z = \frac{2 + 4i \sin \theta + 3i \sin \theta + 6i^2 \sin^2 \theta}{1 - (2i \sin \theta)^2}$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$Z = \frac{2 + 7i \sin \theta - 6 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$Z = \frac{2 - 6 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} + i \frac{7 \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
વાસ્તવિક ભાગને $0$ લેતા:
$\frac{2 - 6 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} = 0$
$2 - 6 \sin^2 \theta = 0$
$6 \sin^2 \theta = 2$
$\sin^2 \theta = \frac{1}{3}$
$\sin \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$
તેથી,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(A) આપેલ સમીકરણ: ${\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)^x} = 1$.
પ્રથમ,કૌંસની અંદરના પદને છેદના અનુબદ્ધ $(1 + i)$ વડે ગુણીને સાદું રૂપ આપો:
$\frac{{1 + i}}{{1 - i}} \times \frac{{1 + i}}{{1 + i}} = \frac{{(1 + i)^2}}{{1^2 - i^2}} = \frac{{1 + i^2 + 2i}}{{1 - (-1)}} = \frac{{1 - 1 + 2i}}{2} = \frac{{2i}}{2} = i$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $i^x = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $i^k = 1$ ત્યારે જ થાય જો $k$ એ $4$ નો ગુણક હોય.
તેથી,$x = 4n$,જ્યાં $n$ કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક છે.

(C) આપેલ છે કે $|a| = a$ અને $|b| = b$,જેનો અર્થ છે કે $a \ge 0$ અને $b \ge 0$.
આપણે પદાવલિ $\left( \frac{a}{a^2} - \frac{b}{b^2} \right)^2$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,કૌંસની અંદરના પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{a}{a^2} = \frac{1}{a}$ અને $\frac{b}{b^2} = \frac{1}{b}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)^2 = \left( \frac{b - a}{ab} \right)^2$.
કારણ કે $(b - a)^2 = (a - b)^2$,તેથી આપણને મળે છે:
$\left( \frac{a - b}{ab} \right)^2$.

(B) આપેલ છે: $x + \sqrt{x^2 + 1} = a$
ધારો કે $x + \sqrt{x^2 + 1} = a$ --- $(1)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\sqrt{x^2 + 1} + x)(\sqrt{x^2 + 1} - x) = (x^2 + 1) - x^2 = 1$
તેથી,$a(\sqrt{x^2 + 1} - x) = 1$
$\sqrt{x^2 + 1} - x = \frac{1}{a}$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(x + \sqrt{x^2 + 1}) - (\sqrt{x^2 + 1} - x) = a - \frac{1}{a}$
$2x = a - \frac{1}{a}$
$x = \frac{1}{2}(a - \frac{1}{a})$

(A) આપેલ સરવાળો $S = \sum\limits_{n = 1}^{50} {{i^{2n - 1}}} = i^1 + i^3 + i^5 + i^7 + \dots + i^{99}$ છે.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = i$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = i^2 = -1$ અને પદોની સંખ્યા $n = 50$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $S = \frac{i(1 - (-1)^{50})}{1 - (-1)} = \frac{i(1 - 1)}{2} = \frac{i(0)}{2} = 0$.

(C) આપેલ સરવાળો $S = \sum_{n=1}^{50} i^{(2n-1)!} = i^{1!} + i^{3!} + i^{5!} + i^{7!} + \dots + i^{99!}$ છે.
$n=1$ માટે,$i^{1!} = i^1 = i$.
$n=2$ માટે,$i^{3!} = i^6 = i^4 \times i^2 = 1 \times (-1) = -1$.
$n \ge 3$ માટે,$(2n-1)!$ એ $4$ નો ગુણક છે.
તેથી,$n \ge 3$ માટે $i^{(2n-1)!} = (i^4)^k = 1^k = 1$ થાય.
$n=3$ થી $n=50$ સુધી કુલ $48$ પદો છે,જે દરેકની કિંમત $1$ છે.
તેથી,$S = i + (-1) + 48(1) = i - 1 + 48 = 47 + i$.

(D) ધારો કે $z = \frac{3 + 2i \sin \theta}{1 - 2i \sin \theta}$.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(3 + 2i \sin \theta)(1 + 2i \sin \theta)}{(1 - 2i \sin \theta)(1 + 2i \sin \theta)}$
$z = \frac{(3 - 4 \sin^2 \theta) + 8i \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$.
$z$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવા માટે,વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$3 - 4 \sin^2 \theta = 0 \implies \sin \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આપેલ અંતરાલ $\theta \in \left( -\frac{\pi}{2}, \pi \right)$ માટે:
જો $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તો $\theta = \frac{\pi}{3}$ અથવા $\theta = \frac{2\pi}{3}$.
જો $\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,તો $\theta = -\frac{\pi}{3}$.
તેથી $A = \left\{ -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \right\}$.
ઘટકોનો સરવાળો $-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ થાય.

(A) આપેલ છે: ${\left( -2 - \frac{i}{3} \right)^3} = \frac{x + iy}{27}$
ઋણ ચિહ્ન બહાર કાઢતા: $-1 \times {\left( 2 + \frac{i}{3} \right)^3} = \frac{x + iy}{27}$
$(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2$ નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા:
$-1 \times \left[ 2^3 + \left( \frac{i}{3} \right)^3 + 3(2^2)\left( \frac{i}{3} \right) + 3(2)\left( \frac{i}{3} \right)^2 \right] = \frac{x + iy}{27}$
$-1 \times \left[ 8 - \frac{i}{27} + 4i - \frac{2}{3} \right] = \frac{x + iy}{27}$
$-8 + \frac{2}{3} - i\left( 4 - \frac{1}{27} \right) = \frac{x + iy}{27}$
$27$ વડે ગુણતા:
$x + iy = 27 \times \left( -\frac{22}{3} \right) - i \times 27 \times \left( \frac{107}{27} \right)$
$x = -198$ અને $y = -107$
તેથી $y - x = -107 - (-198) = -107 + 198 = 91$

(C) ધારો કે $z = x + 10i$.
આપેલ છે $\frac{2z - n}{2z + n} = 2i - 1$.
$z = x + 10i$ મુકતા:
$\frac{2(x + 10i) - n}{2(x + 10i) + n} = 2i - 1$
$(2x - n) + 20i = (2i - 1)((2x + n) + 20i)$
$(2x - n) + 20i = 2i(2x + n) + 40i^2 - (2x + n) - 20i$
$(2x - n) + 20i = (2i(2x + n) - 20i) - 40 - (2x + n)$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
વાસ્તવિક ભાગ: $2x - n = -40 - (2x + n)$ $\Rightarrow$ $2x - n = -40 - 2x - n$ $\Rightarrow$ $4x = -40$ $\Rightarrow$ $x = -10$.
કાલ્પનિક ભાગ: $20 = 2(2x + n) - 20$ $\Rightarrow$ $40 = 2(2x + n)$ $\Rightarrow$ $20 = 2x + n$.
$x = -10$ ને $20 = 2x + n$ માં મુકતા:
$20 = 2(-10) + n$ $\Rightarrow$ $20 = -20 + n$ $\Rightarrow$ $n = 40$.
આમ, $n = 40$ અને $Re(z) = -10$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $4x + i(3x - y) = 3 + i(-6)$.
બંને બાજુના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
વાસ્તવિક ભાગ: $4x = 3 \implies x = \frac{3}{4}$.
કાલ્પનિક ભાગ: $3x - y = -6$.
$x = \frac{3}{4}$ ની કિંમત કાલ્પનિક ભાગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$3(\frac{3}{4}) - y = -6$
$\frac{9}{4} - y = -6$
$y = \frac{9}{4} + 6$
$y = \frac{9 + 24}{4} = \frac{33}{4}$.
આમ,$x = \frac{3}{4}$ અને $y = \frac{33}{4}$.

(A) આપેલ પદ: $(-5i) \left(\frac{1}{8}i\right)$
સહગુણકો અને કાલ્પનિક એકમોનો ગુણાકાર કરતા:
$= \left(-5 \times \frac{1}{8}\right) \times (i \times i)$
$= -\frac{5}{8} \times i^2$
$i^2 = -1$ હોવાથી,આ કિંમત મૂકતા:
$= -\frac{5}{8} \times (-1)$
$= \frac{5}{8}$
$a+bi$ સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$= \frac{5}{8} + i0$

(A) આપેલ પદાવલિ: $(-i)(2i)\left(-\frac{1}{8}i\right)^{3}$
$= (-2i^{2}) \times \left(-\frac{1}{512}i^{3}\right)$
$= (-2(-1)) \times \left(-\frac{1}{512}(-i)\right)$
$= 2 \times \left(\frac{1}{512}i\right)$
$= \frac{1}{256}i$
આમ,$a+bi$ સ્વરૂપમાં જવાબ $0 + \frac{1}{256}i$ છે.

(B) અમે નિત્યસમ $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$x = 5$ અને $y = 3i$ છે.
$(5-3i)^3 = 5^3 - 3(5^2)(3i) + 3(5)(3i)^2 - (3i)^3$
$= 125 - 3(25)(3i) + 15(9i^2) - 27i^3$
$= 125 - 225i + 135(-1) - 27(-i)$
$= 125 - 225i - 135 + 27i$
$= (125 - 135) + (-225 + 27)i$
$= -10 - 198i$

(A) આપેલ પદાવલિ: $(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)$
$\sqrt{-2} = \sqrt{2}i$ હોવાથી,પદાવલિ $(-\sqrt{3}+\sqrt{2}i)(2\sqrt{3}-i)$ બને છે.
ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$= (-\sqrt{3})(2\sqrt{3}) - (-\sqrt{3})(i) + (\sqrt{2}i)(2\sqrt{3}) - (\sqrt{2}i)(i)$
$= -6 + \sqrt{3}i + 2\sqrt{6}i - \sqrt{2}i^2$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$= -6 + \sqrt{3}i + 2\sqrt{6}i + \sqrt{2}$
$= (-6+\sqrt{2}) + i(\sqrt{3} + 2\sqrt{6})$
$= (-6+\sqrt{2}) + i\sqrt{3}(1 + 2\sqrt{2})$

(B) સંકર સંખ્યાને $a+ib$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા વડે ગુણીશું:
$\frac{5+\sqrt{2}i}{1-\sqrt{2}i} = \frac{5+\sqrt{2}i}{1-\sqrt{2}i} \times \frac{1+\sqrt{2}i}{1+\sqrt{2}i}$
$= \frac{5 + 5\sqrt{2}i + \sqrt{2}i + 2i^2}{1 - 2i^2}$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$= \frac{5 + 6\sqrt{2}i - 2}{1 + 2} = \frac{3 + 6\sqrt{2}i}{3} = 1 + 2\sqrt{2}i$

(A) આપેલ પદ $i^{-35}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $i^{-35} = \frac{1}{i^{35}}$.
$i^4 = 1$ હોવાથી,આપણે $i^{35} = i^{32} \times i^3 = (i^4)^8 \times i^3 = 1^8 \times (-i) = -i$ લખી શકીએ.
તેથી,$i^{-35} = \frac{1}{-i}$.
અંશ અને છેદને $i$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{1 \times i}{-i \times i} = \frac{i}{-i^2} = \frac{i}{-(-1)} = \frac{i}{1} = i$ મળે છે.
$a+ib$ સ્વરૂપમાં,આ $0+1i$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $(5i)\left(-\frac{3}{5}i\right)$
$= 5 \times \left(-\frac{3}{5}\right) \times i \times i$
$= -3 \times i^{2}$
કારણ કે $i^{2} = -1$,તેથી:
$= -3(-1)$
$= 3$
$a+ib$ સ્વરૂપમાં દર્શાવતા,તે $3+0i$ થાય છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $i^{4} = 1$.
$i^{9} = i^{4 \times 2 + 1} = (i^{4})^{2} \times i = (1)^{2} \times i = i$.
$i^{19} = i^{4 \times 4 + 3} = (i^{4})^{4} \times i^{3} = (1)^{4} \times (-i) = -i$.
તેથી,$i^{9} + i^{19} = i + (-i) = 0$.
$a+ib$ સ્વરૂપમાં,આ $0 + 0i$ છે.

(A) આપેલ પદ: $i^{-39}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $i^4 = 1$. આપણે $-39$ ને $4 \times (-10) + 1$ તરીકે લખી શકીએ.
$i^{-39} = \frac{1}{i^{39}}$
$= \frac{1}{i^{4 \times 9 + 3}} = \frac{1}{(i^4)^9 \cdot i^3}$
$= \frac{1}{(1)^9 \cdot (-i)} = \frac{1}{-i}$
અંશ અને છેદને $i$ વડે ગુણતા:
$= \frac{1 \cdot i}{-i \cdot i} = \frac{i}{-i^2} = \frac{i}{-(-1)} = \frac{i}{1} = i$
$a+ib$ સ્વરૂપમાં,આ $0+i$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $3(7+i7)+i(7+i7)$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$= 3 \times 7 + 3 \times i7 + i \times 7 + i \times i7$
$= 21 + 21i + 7i + 7i^2$
કાલ્પનિક ભાગોનો સરવાળો કરતા:
$= 21 + 28i + 7i^2$
$i^2 = -1$ મુકતા:
$= 21 + 28i + 7(-1)$
$= 21 + 28i - 7$
$= 14 + 28i$

(A) આપેલ સંકર સંખ્યા $(1-i)-(-1+i6)$ ને $a+ib$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,આપણે બાદબાકી કરીએ:
$(1-i)-(-1+i6) = 1-i+1-6i$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને જૂથબદ્ધ કરતા:
$= (1+1) + (-i-6i)$
$= 2-7i$

(A) આપેલ પદાવલિ: $\left(\frac{1}{5}+i \frac{2}{5}\right)-\left(4+i \frac{5}{2}\right)$
$= \frac{1}{5} + i \frac{2}{5} - 4 - i \frac{5}{2}$
$= \left(\frac{1}{5} - 4\right) + i \left(\frac{2}{5} - \frac{5}{2}\right)$
$= \left(\frac{1-20}{5}\right) + i \left(\frac{4-25}{10}\right)$
$= \frac{-19}{5} + i \left(\frac{-21}{10}\right)$
$= \frac{-19}{5} - \frac{21}{10}i$

(A) આપેલ પદાવલિ: $\left[\left(\frac{1}{3}+i \frac{7}{3}\right)+\left(4+i \frac{1}{3}\right)\right]-\left(-\frac{4}{3}+i\right)$
$= \left(\frac{1}{3}+4\right) + i\left(\frac{7}{3}+\frac{1}{3}\right) + \frac{4}{3} - i$
$= \left(\frac{1}{3}+4+\frac{4}{3}\right) + i\left(\frac{7}{3}+\frac{1}{3}-1\right)$
$= \left(\frac{1+12+4}{3}\right) + i\left(\frac{7+1-3}{3}\right)$
$= \frac{17}{3} + i \frac{5}{3}$

(A) આપણી પાસે $(1-i)^{4} = [(1-i)^{2}]^{2}$ છે.
$(a-b)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને $(1-i)^{2}$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$(1-i)^{2} = 1^{2} + i^{2} - 2i = 1 - 1 - 2i = -2i$.
હવે,આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$(1-i)^{4} = (-2i)^{2}$.
વર્ગની ગણતરી કરતા:
$(-2i)^{2} = (-2)^{2} \times i^{2} = 4 \times (-1) = -4$.
આમ,$a+ib$ સ્વરૂપમાં સંકર સંખ્યા $-4 + 0i$ છે.

(A) નિત્યસમ $(x+y)^{3} = x^{3} + y^{3} + 3xy(x+y)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{1}{3}+3i\right)^{3} = \left(\frac{1}{3}\right)^{3} + (3i)^{3} + 3\left(\frac{1}{3}\right)(3i)\left(\frac{1}{3}+3i\right)$
$= \frac{1}{27} + 27i^{3} + 3i\left(\frac{1}{3}+3i\right)$
$= \frac{1}{27} - 27i + i + 9i^{2} \quad [\text{કારણ કે } i^{3} = -i, i^{2} = -1]$
$= \frac{1}{27} - 27i + i - 9$
$= \left(\frac{1}{27} - 9\right) + i(-27 + 1)$
$= \frac{1-243}{27} - 26i$
$= \frac{-242}{27} - 26i$

(A) આપણે નિત્યસમ $(x+y)^{3} = x^{3} + y^{3} + 3xy(x+y)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપેલ પદ: $\left(-2-\frac{1}{3}i\right)^{3} = -\left(2+\frac{1}{3}i\right)^{3}$
$= -\left[2^{3} + \left(\frac{1}{3}i\right)^{3} + 3(2)\left(\frac{1}{3}i\right)\left(2+\frac{1}{3}i\right)\right]$
$= -\left[8 - \frac{1}{27}i + 2i\left(2+\frac{1}{3}i\right)\right]$
$= -\left[8 - \frac{1}{27}i + 4i + \frac{2}{3}i^{2}\right]$
$i^{2} = -1$ હોવાથી:
$= -\left[8 - \frac{1}{27}i + 4i - \frac{2}{3}\right]$
$= -\left[\left(8-\frac{2}{3}\right) + \left(4-\frac{1}{27}\right)i\right]$
$= -\left[\frac{22}{3} + \frac{107}{27}i\right]$
$= -\frac{22}{3} - \frac{107}{27}i$

(A) ધારો કે $z = -i$.
સંકર સંખ્યા $z$ નો ગુણાકાર માટેનો વ્યસ્ત $z^{-1} = \frac{1}{z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$z^{-1} = \frac{1}{-i}$.
અંશ અને છેદને $i$ વડે ગુણતા:
$z^{-1} = \frac{1 \times i}{-i \times i} = \frac{i}{-i^2}$.
કારણ કે $i^2 = -1$,તેથી:
$z^{-1} = \frac{i}{-(-1)} = \frac{i}{1} = i$.

(A) આપેલ અભિવ્યક્તિ: $\frac{(3+i\sqrt{5})(3-i\sqrt{5})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2}i)-(\sqrt{3}-i\sqrt{2})}$
અંશમાં $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{3^2 - (i\sqrt{5})^2}{\sqrt{3} + \sqrt{2}i - \sqrt{3} + i\sqrt{2}}$
$= \frac{9 - 5i^2}{2\sqrt{2}i}$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$= \frac{9 - 5(-1)}{2\sqrt{2}i} = \frac{14}{2\sqrt{2}i} = \frac{7}{\sqrt{2}i}$
અંશ અને છેદને $i$ વડે ગુણતા:
$= \frac{7i}{\sqrt{2}i^2} = \frac{7i}{\sqrt{2}(-1)} = \frac{-7i}{\sqrt{2}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$= \frac{-7i \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{-7\sqrt{2}i}{2}$

(B) આપેલ સમીકરણ $x^{2}+2=0$ છે.
$x^{2} = -2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $x = \pm \sqrt{-2}$ મળે છે.
કારણ કે $\sqrt{-1} = i$,તેથી $x = \pm \sqrt{2} i$ થાય.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+3=0$ છે.
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા,આપણને $x^{2}=-3$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$x = \pm \sqrt{-3}$ મળે.
કારણ કે $\sqrt{-1} = i$,તેથી આપણે તેને $x = \pm \sqrt{3} i$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.

(A) આપણી પાસે પદાવલિ $\left[i^{18}+\left(\frac{1}{i}\right)^{25}\right]^{3}$ છે.
પ્રથમ,$i^{18}$ અને $\left(\frac{1}{i}\right)^{25}$ નું સાદું રૂપ આપો:
$i^{18} = (i^4)^4 \cdot i^2 = 1^4 \cdot (-1) = -1$.
$\left(\frac{1}{i}\right)^{25} = \frac{1}{i^{25}} = \frac{1}{(i^4)^6 \cdot i} = \frac{1}{1^6 \cdot i} = \frac{1}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$[-1 + (-i)]^3 = [-(1+i)]^3 = (-1)^3 (1+i)^3$.
$(1+i)^3$ નું વિસ્તરણ $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરો:
$(1+i)^3 = 1^3 + i^3 + 3(1)(i)(1+i) = 1 - i + 3i(1+i) = 1 - i + 3i + 3i^2 = 1 + 2i - 3 = -2 + 2i$.
અંતે,$(-1)^3 = -1$ વડે ગુણાકાર કરતા:
$-1 \cdot (-2 + 2i) = 2 - 2i$.

ધારો કે $z_{1}=x_{1}+i y_{1}$ અને $z_{2}=x_{2}+i y_{2}.$
તેથી,$z_{1} z_{2}=(x_{1}+i y_{1})(x_{2}+i y_{2}).$
ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા,$z_{1} z_{2}=x_{1} x_{2}+i x_{1} y_{2}+i y_{1} x_{2}+i^{2} y_{1} y_{2}.$
$i^{2}=-1$ હોવાથી,$z_{1} z_{2}=x_{1} x_{2}+i x_{1} y_{2}+i y_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}.$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ કરતા,$z_{1} z_{2}=(x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2})+i(x_{1} y_{2}+y_{1} x_{2}).$
તેથી વાસ્તવિક ભાગ $\operatorname{Re}(z_{1} z_{2})=x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}.$
અહીં $\operatorname{Re} z_{1}=x_{1}, \operatorname{Re} z_{2}=x_{2}, \operatorname{Im} z_{1}=y_{1},$ અને $\operatorname{Im} z_{2}=y_{2}$ હોવાથી,
$\operatorname{Re}(z_{1} z_{2})=\operatorname{Re} z_{1} \operatorname{Re} z_{2}-\operatorname{Im} z_{1} \operatorname{Im} z_{2}$ સાબિત થાય છે.

(A) પ્રથમ કૌંસની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{1-4 i}-\frac{2}{1+i} = \frac{(1+i)-2(1-4 i)}{(1-4 i)(1+i)} = \frac{1+i-2+8 i}{1+i-4 i-4 i^{2}} = \frac{-1+9 i}{5-3 i}$.
હવે,આ પરિણામનો બીજા પદ સાથે ગુણાકાર કરતા: $\left(\frac{-1+9 i}{5-3 i}\right)\left(\frac{3-4 i}{5+i}\right) = \frac{(-1+9 i)(3-4 i)}{(5-3 i)(5+i)}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $(-1)(3) + (-1)(-4 i) + (9 i)(3) + (9 i)(-4 i) = -3 + 4 i + 27 i - 36 i^{2} = -3 + 31 i + 36 = 33 + 31 i$.
છેદનું વિસ્તરણ કરતા: $(5)(5) + (5)(i) + (-3 i)(5) + (-3 i)(i) = 25 + 5 i - 15 i - 3 i^{2} = 25 - 10 i + 3 = 28 - 10 i$.
હવે,આપણી પાસે $\frac{33+31 i}{28-10 i}$ છે. સાદું રૂપ આપવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $28+10 i$ વડે ગુણતા: $\frac{(33+31 i)(28+10 i)}{(28-10 i)(28+10 i)} = \frac{924 + 330 i + 868 i + 310 i^{2}}{28^{2} + 10^{2}} = \frac{924 + 1198 i - 310}{784 + 100} = \frac{614 + 1198 i}{884}$.
બંને ભાગને $2$ વડે ભાગતા: $\frac{307}{442} + \frac{599}{442} i$.

(N/A) આપેલ છે કે $a+ib = \frac{(x+i)^{2}}{2x^{2}+1}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા:
$a+ib = \frac{x^{2}+i^{2}+2xi}{2x^{2}+1}$
$i^{2} = -1$ હોવાથી:
$a+ib = \frac{x^{2}-1+i(2x)}{2x^{2}+1}$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ કરતા:
$a = \frac{x^{2}-1}{2x^{2}+1}$ અને $b = \frac{2x}{2x^{2}+1}$
હવે,$a^{2}+b^{2}$ ની કિંમત શોધતા:
$a^{2}+b^{2} = \left(\frac{x^{2}-1}{2x^{2}+1}\right)^{2} + \left(\frac{2x}{2x^{2}+1}\right)^{2}$
$= \frac{x^{4}+1-2x^{2}+4x^{2}}{(2x^{2}+1)^{2}}$
$= \frac{x^{4}+2x^{2}+1}{(2x^{2}+1)^{2}}$
$= \frac{(x^{2}+1)^{2}}{(2x^{2}+1)^{2}}$
આમ,$a^{2}+b^{2} = \frac{(x^{2}+1)^{2}}{(2x^{2}+1)^{2}}$ સાબિત થાય છે.

(D) આપેલ છે $\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{m}=1$.
પ્રથમ,કૌંસની અંદરની પદાવલિને છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણીને સરળ બનાવો:
$\frac{1+i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{(1+i)^2}{1^2 - i^2} = \frac{1 + i^2 + 2i}{1 - (-1)} = \frac{1 - 1 + 2i}{2} = \frac{2i}{2} = i$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $i^m = 1$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $i^n = 1$ ત્યારે થાય જ્યારે $n$ એ $4$ નો ગુણક હોય.
$i$ ની ઘાત $i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1$ છે.
આમ,$m$ ની ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક કિંમત જેના માટે $i^m = 1$ થાય તે $m = 4$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $E = \frac{(2i)^{n}}{(1-i)^{n-2}}$
પ્રથમ,$(1-i)^2 = 1 + i^2 - 2i = 1 - 1 - 2i = -2i$ થાય.
તેથી,$(1-i)^{n-2} = ((1-i)^2)^{\frac{n-2}{2}} = (-2i)^{\frac{n-2}{2}}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $E = \frac{(2i)^n}{(-2i)^{\frac{n-2}{2}}} = \frac{(2i)^n}{(-1)^{\frac{n-2}{2}} (2i)^{\frac{n-2}{2}}} = \frac{(2i)^{\frac{n+2}{2}}}{(-1)^{\frac{n-2}{2}}}$.
$E$ ધન પૂર્ણાંક બને તે માટે $i$ નો ઘાતાંક $4$ નો ગુણક હોવો જોઈએ (એટલે કે $\frac{n+2}{2} = 4k$) અને મૂલ્ય વાસ્તવિક હોવું જોઈએ.
જો $n=6$ લઈએ,તો $\frac{n+2}{2} = 4$. તેથી $E = \frac{(2i)^4}{(-1)^2} = \frac{16 i^4}{1} = 16(1) = 16$,જે એક ધન પૂર્ણાંક છે.
આમ,સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $n = 6$ છે.

(B) આપેલ છે $Z_1 = 4i^{40} - 5i^{35} + 6i^{17} + 2$.
$i^4 = 1$ હોવાથી,$i^{40} = (i^4)^{10} = 1$.
$i^{35} = i^{32} \times i^3 = 1 \times (-i) = -i$.
$i^{17} = i^{16} \times i = 1 \times i = i$.
આ કિંમતો મૂકતા: $Z_1 = 4(1) - 5(-i) + 6(i) + 2 = 4 + 5i + 6i + 2 = 6 + 11i$.
આપેલ છે $Z_2 = -1 + i$.
$Z_1 + Z_2 = (6 + 11i) + (-1 + i) = (6 - 1) + (11i + i) = 5 + 12i$.
માનાંક $|Z_1 + Z_2| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{i^{248}+i^{246}+i^{244}+i^{242}+i^{240}}{i^{249}+i^{247}+i^{245}+i^{243}+i^{241}}$
અંશમાંથી $i^{240}$ અને છેદમાંથી $i^{241}$ સામાન્ય લેતા:
$= \frac{i^{240}(i^8+i^6+i^4+i^2+1)}{i^{241}(i^8+i^6+i^4+i^2+1)}$
સામાન્ય પદ $(i^8+i^6+i^4+i^2+1)$ ને દૂર કરતા:
$= \frac{i^{240}}{i^{241}}$
$= \frac{1}{i}$
અંશ અને છેદને $i$ વડે ગુણતા:
$= \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i$

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{i^{592}+i^{590}+i^{588}+i^{586}+i^{584}}{i^{582}+i^{580}+i^{578}+i^{576}+i^{574}}-1$
અંશમાંથી $i^{584}$ અને છેદમાંથી $i^{574}$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{i^{584}(i^8+i^6+i^4+i^2+1)}{i^{574}(i^8+i^6+i^4+i^2+1)}-1$
સમાન પદ $(i^8+i^6+i^4+i^2+1)$ ને ઉડાડતા:
$\frac{i^{584}}{i^{574}}-1 = i^{584-574}-1 = i^{10}-1$
કારણ કે $i^4 = 1$,તેથી $i^{10} = (i^4)^2 \times i^2 = 1^2 \times (-1) = -1$
તેથી,$-1 - 1 = -2$

(D) આપેલ છે $\left(-2-\frac{1}{3} i\right)^3=\frac{x+i y}{27}$.
ડાબી બાજુને $\left(\frac{-6-i}{3}\right)^3 = \frac{(-6-i)^3}{27}$ તરીકે લખી શકાય.
અંશને સરખાવતા,$x+iy = (-6-i)^3$.
નિત્યસમ $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(-6-i)^3 = (-6)^3 + 3(-6)^2(-i) + 3(-6)(-i)^2 + (-i)^3$.
$= -216 + 3(36)(-i) + 3(-6)(-1) - (-i)$.
$= -216 - 108i + 18 + i$.
$= -198 - 107i$.
$x+iy$ સાથે સરખાવતા,$x = -198$ અને $y = -107$ મળે.
તેથી,$y-x = -107 - (-198) = -107 + 198 = 91$.

(A) આપેલ છે $x = \frac{5}{1-2i}$. અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(1+2i)$ વડે ગુણતા:
$x = \frac{5(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = \frac{5(1+2i)}{1+4} = \frac{5(1+2i)}{5} = 1+2i$.
હવે,$x^2$ ની ગણતરી કરતા:
$x^2 = (1+2i)^2 = 1^2 + (2i)^2 + 2(1)(2i) = 1 - 4 + 4i = -3 + 4i$.
હવે,$x^3$ ની ગણતરી કરતા:
$x^3 = x^2 \cdot x = (-3+4i)(1+2i) = -3 - 6i + 4i + 8i^2 = -3 - 2i - 8 = -11 - 2i$.
આ કિંમતોને $x^3 + x^2 - x + 22$ માં મૂકતા:
$(-11 - 2i) + (-3 + 4i) - (1 + 2i) + 22$
$= (-11 - 3 - 1 + 22) + (-2i + 4i - 2i)$
$= 7 + 0i = 7$.

(B) આપેલ છે $\operatorname{Im}(z)=10$, ધારો કે $z=x+10i$.
આપેલ સમીકરણ $\frac{2z-n}{2z+n}=2i-1$ છે.
$z=x+10i$ મૂકતા:
$\frac{2(x+10i)-n}{2(x+10i)+n}=2i-1$
$(2x-n)+20i=(2i-1)(2x+n+20i)$
$(2x-n)+20i = 4xi + 2ni - 40 - 2x - n - 20i$
$(2x-n)+20i = (-2x-n-40) + (4x+2n-20)i$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
વાસ્તવિક ભાગ: $2x-n = -2x-n-40$ $\Rightarrow 4x = -40$ $\Rightarrow x = -10$.
કાલ્પનિક ભાગ: $20 = 4x+2n-20$.
$x=-10$ મૂકતા: $20 = 4(-10)+2n-20$ $\Rightarrow 20 = -40+2n-20$ $\Rightarrow 2n = 80$ $\Rightarrow n = 40$.
આમ, $n=40$ અને $\operatorname{Re}(z)=x=-10$.

(D) $-6-24i$ નો અનુબદ્ધ $-6+24i$ છે.
આપેલ છે કે $(x-iy)(3+5i) = -6+24i$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $3x + 5xi - 3yi - 5yi^2 = -6+24i$.
કારણ કે $i^2 = -1$,તેથી $(3x+5y) + (5x-3y)i = -6+24i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$3x + 5y = -6$ (સમીકરણ $1$)
$5x - 3y = 24$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ ને $3$ વડે અને સમીકરણ $2$ ને $5$ વડે ગુણતા:
$9x + 15y = -18$
$25x - 15y = 120$
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $34x = 102$,જે $x = 3$ આપે છે.
સમીકરણ $1$ માં $x=3$ મૂકતા: $3(3) + 5y = -6$ $\Rightarrow 9 + 5y = -6$ $\Rightarrow 5y = -15$ $\Rightarrow y = -3$.
આમ,$x=3$ અને $y=-3$.

(A) પ્રથમ,કૌંસની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપો: $\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-2i+i^2}{1-i^2} = \frac{1-2i-1}{1+1} = \frac{-2i}{2} = -i$.
હવે,આને $100$ ઘાત સુધી લેતા: $(-i)^{100} = (-1)^{100} \times i^{100} = 1 \times (i^4)^{25} = 1 \times (1)^{25} = 1$.
આપેલ છે કે $a+ib = 1$,જેને $1+0i$ તરીકે લખી શકાય.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,આપણને $a=1$ અને $b=0$ મળે છે.
આમ,$(a, b) = (1, 0)$.

(C) ધારો કે $z = \frac{2+3i \sin \theta}{1-2i \sin \theta}$.
છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(1+2i \sin \theta)$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$z = \frac{(2+3i \sin \theta)(1+2i \sin \theta)}{(1-2i \sin \theta)(1+2i \sin \theta)}$
$z = \frac{2 + 4i \sin \theta + 3i \sin \theta + 6i^2 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$z = \frac{(2 - 6 \sin^2 \theta) + i(7 \sin \theta)}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$z$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોય તો તેનો વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય થાય:
$\operatorname{Re}(z) = \frac{2 - 6 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} = 0$
$2 - 6 \sin^2 \theta = 0$
$\sin^2 \theta = \frac{1}{3}$
$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

(C) આપેલ છે: $\frac{3+2i}{1+i} = \frac{1}{2}(x+iy)$
$\therefore x+iy = \frac{2(3+2i)}{1+i} \times \frac{1-i}{1-i}$
$= \frac{2(3 - 3i + 2i - 2i^2)}{1 - i^2}$
$= \frac{2(3 - i + 2)}{1 + 1} = \frac{2(5 - i)}{2} = 5 - i$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,આપણને $x = 5$ અને $y = -1$ મળે છે.
તેથી,$x - y = 5 - (-1) = 5 + 1 = 6$.

(D) કોઈ સંકર સંખ્યા $z$ શુદ્ધ વાસ્તવિક હોય તે માટે તેનો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
આપેલ $z = \frac{4 + 3i \sin \theta}{1 - 2i \sin \theta}$.
છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(1 + 2i \sin \theta)$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$z = \frac{(4 + 3i \sin \theta)(1 + 2i \sin \theta)}{(1 - 2i \sin \theta)(1 + 2i \sin \theta)}$
$z = \frac{4 + 8i \sin \theta + 3i \sin \theta + 6i^2 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$z = \frac{4 - 6 \sin^2 \theta + i(11 \sin \theta)}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$z$ શુદ્ધ વાસ્તવિક હોવા માટે,કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\frac{11 \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} = 0$
આનો અર્થ છે કે $11 \sin \theta = 0$,તેથી $\sin \theta = 0$.
$\sin \theta = 0$ માટેનો વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n \pi$ છે,જ્યાં $n \in Z$.

(B) બે સંકર સંખ્યાઓ $z_1 = a+bi$ અને $z_2 = c+di$ એકબીજાના અનુબદ્ધ હોય જો $a=c$ અને $b=-d$ થાય.
આપેલ છે કે $z_1 = (3x+2) - (5y-3)i$ અને $z_2 = (6x+3) + (2y-4)i$.
વાસ્તવિક ભાગોને સરખાવતા: $3x+2 = 6x+3$ $\Rightarrow 3x = -1$ $\Rightarrow x = -\frac{1}{3}$.
કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા: $-(5y-3) = -(2y-4)$ $\Rightarrow 5y-3 = 2y-4$ $\Rightarrow 3y = -1$ $\Rightarrow y = -\frac{1}{3}$.
હવે,$\frac{x-y}{x+y} = \frac{-\frac{1}{3} - (-\frac{1}{3})}{-\frac{1}{3} + (-\frac{1}{3})} = \frac{0}{-\frac{2}{3}} = 0$.