Conjugate and Modulus of complex numbers Questions in Hindi

(D) माना $z = (1 - \cos \theta ) + i(2\sin \theta )$. हमें $z^{-1} = \frac{1}{z}$ का वास्तविक भाग ज्ञात करना है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए,$1 - \cos \theta = 2\sin^2(\frac{\theta}{2})$ और $2\sin \theta = 4\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2})$.
अतः,$z = 2\sin(\frac{\theta}{2}) [\sin(\frac{\theta}{2}) + 2i\cos(\frac{\theta}{2})]$.
तब,$z^{-1} = \frac{1}{2\sin(\frac{\theta}{2})} \cdot \frac{1}{\sin(\frac{\theta}{2}) + 2i\cos(\frac{\theta}{2})}$.
अंश और हर को संयुग्मी $\sin(\frac{\theta}{2}) - 2i\cos(\frac{\theta}{2})$ से गुणा करने पर:
$z^{-1} = \frac{1}{2\sin(\frac{\theta}{2})} \cdot \frac{\sin(\frac{\theta}{2}) - 2i\cos(\frac{\theta}{2})}{\sin^2(\frac{\theta}{2}) + 4\cos^2(\frac{\theta}{2})}$.
वास्तविक भाग $\frac{\sin(\frac{\theta}{2})}{2\sin(\frac{\theta}{2}) [\sin^2(\frac{\theta}{2}) + 4\cos^2(\frac{\theta}{2})]} = \frac{1}{2[\sin^2(\frac{\theta}{2}) + 4\cos^2(\frac{\theta}{2})]}$.
$\sin^2(\frac{\theta}{2}) = \frac{1 - \cos \theta}{2}$ और $\cos^2(\frac{\theta}{2}) = \frac{1 + \cos \theta}{2}$ रखने पर:
वास्तविक भाग $= \frac{1}{2[\frac{1 - \cos \theta}{2} + 4(\frac{1 + \cos \theta}{2})]} = \frac{1}{1 - \cos \theta + 4 + 4\cos \theta} = \frac{1}{5 + 3\cos \theta }$.

(B) दिया गया है $x + iy = \frac{3}{2 + \cos \theta + i\sin \theta}$.
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,$|x + iy| = \left| \frac{3}{2 + \cos \theta + i\sin \theta} \right|$.
$|x + iy| = \frac{3}{\sqrt{(2 + \cos \theta)^2 + \sin^2 \theta}} = \frac{3}{\sqrt{5 + 4\cos \theta}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,${x^2} + {y^2} = \frac{9}{5 + 4\cos \theta}$.
वास्तविक भाग से,$x = \frac{6 + 3\cos \theta}{5 + 4\cos \theta}$.
अतः,$4x - 3 = 4\left( \frac{6 + 3\cos \theta}{5 + 4\cos \theta} \right) - 3 = \frac{9}{5 + 4\cos \theta}$.
इसलिए,${x^2} + {y^2} = 4x - 3$.

(D) दिया गया है $\mu + i\lambda = \frac{(p + i)^2}{2p - i}$.
दोनों पक्षों का मापांक (modulus) लेने पर,$|\mu + i\lambda| = \left|\frac{(p + i)^2}{2p - i}\right|$.
चूँकि $|z_1/z_2| = |z_1|/|z_2|$ और $|z^n| = |z|^n$,इसलिए $\sqrt{\mu^2 + \lambda^2} = \frac{|p + i|^2}{|2p - i|}$.
मापांक की गणना करने पर: $|p + i| = \sqrt{p^2 + 1}$ और $|2p - i| = \sqrt{(2p)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4p^2 + 1}$.
अतः,$\sqrt{\mu^2 + \lambda^2} = \frac{(\sqrt{p^2 + 1})^2}{\sqrt{4p^2 + 1}} = \frac{p^2 + 1}{\sqrt{4p^2 + 1}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\mu^2 + \lambda^2 = \frac{(p^2 + 1)^2}{4p^2 + 1}$.

(B) मान लीजिए $z_1 = a + ib$ और $z_2 = c + id$,जहाँ $a, b, c, d \in \mathbb{R}$.
चूँकि $z_1 + z_2 = (a + c) + i(b + d)$ वास्तविक है,इसलिए काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए: $b + d = 0$,जिसका अर्थ है $d = -b$.
चूँकि $z_1 z_2 = (ac - bd) + i(ad + bc)$ वास्तविक है,इसलिए काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए: $ad + bc = 0$.
$d = -b$ प्रतिस्थापित करने पर,$a(-b) + bc = 0$,जिससे $b(c - a) = 0$ प्राप्त होता है।
यदि $b \neq 0$ है,तो $c = a$ होगा। अतः $z_2 = a - ib = \bar{z}_1$,जिसका अर्थ है $z_1 = \bar{z}_2$।

(C) दिया गया है $a = \cos \theta + i \sin \theta$.
हमें $\frac{1 + a}{1 - a}$ का मान ज्ञात करना है.
$\frac{1 + a}{1 - a} = \frac{1 + \cos \theta + i \sin \theta}{1 - (\cos \theta + i \sin \theta)} = \frac{(1 + \cos \theta) + i \sin \theta}{(1 - \cos \theta) - i \sin \theta}$.
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करने पर: $1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$,$1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$,और $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$.
$\frac{1 + a}{1 - a} = \frac{2 \cos^2 \frac{\theta}{2} + i (2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2})}{2 \sin^2 \frac{\theta}{2} - i (2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2})}$.
अंश से $2 \cos \frac{\theta}{2}$ और हर से $2 \sin \frac{\theta}{2}$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{1 + a}{1 - a} = \frac{2 \cos \frac{\theta}{2} (\cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2})}{2 \sin \frac{\theta}{2} (\sin \frac{\theta}{2} - i \cos \frac{\theta}{2})}$.
यहाँ $\sin \frac{\theta}{2} - i \cos \frac{\theta}{2} = -i (\cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2})$ होता है.
$\frac{1 + a}{1 - a} = \frac{\cos \frac{\theta}{2} (\cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2})}{\sin \frac{\theta}{2} (-i) (\cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2})} = \frac{\cot \frac{\theta}{2}}{-i} = i \cot \frac{\theta}{2}$.

(B) दिया गया व्यंजक: $z = \frac{1}{(1 - \cos \theta) + i \sin \theta}$.
अंश और हर को संयुग्मी $(1 - \cos \theta) - i \sin \theta$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(1 - \cos \theta) - i \sin \theta}{(1 - \cos \theta)^2 + \sin^2 \theta}$.
हर का सरलीकरण करने पर:
$(1 - \cos \theta)^2 + \sin^2 \theta = 1 - 2 \cos \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 2 - 2 \cos \theta = 2(1 - \cos \theta)$.
अतः,$z = \frac{1 - \cos \theta}{2(1 - \cos \theta)} - i \frac{\sin \theta}{2(1 - \cos \theta)}$.
वास्तविक भाग $\frac{1 - \cos \theta}{2(1 - \cos \theta)} = \frac{1}{2}$ है।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए,प्रतिलोम का संयुग्मी,संयुग्मी का प्रतिलोम होता है,अर्थात $\overline{z^{-1}} = (\overline{z})^{-1}$।
अतः,$(\overline{z^{-1}})(\overline{z}) = (\overline{z})^{-1}(\overline{z})$।
चूंकि $(\overline{z})^{-1} = \frac{1}{\overline{z}}$,इसलिए $\frac{1}{\overline{z}} \times \overline{z} = 1$,जहाँ $z \neq 0$।

(A) माना $z = x + iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$ है। तब $\overline{z} = x - iy$ होगा।
दिया गया है कि $z \cdot \overline{z} = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $(x + iy)(x - iy) = 0$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $x^2 - (iy)^2 = 0$ यानी $x^2 + y^2 = 0$ हो जाता है।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ और $y$ के लिए $x^2 \ge 0$ और $y^2 \ge 0$ होता है,इसलिए $x^2 + y^2 = 0$ केवल तभी संभव है जब $x = 0$ और $y = 0$ हो।
अतः,$z = 0 + 0i = 0$।

(A) दिया गया है कि $(a + ib)(c + id)(e + if)(g + ih) = A + iB$ ..... $(i)$
दोनों पक्षों का संयुग्मी लेने पर,हमें प्राप्त होता है $(a - ib)(c - id)(e - if)(g - ih) = A - iB$ ..... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का गुणा करने पर:
$[(a + ib)(a - ib)] \times [(c + id)(c - id)] \times [(e + if)(e - if)] \times [(g + ih)(g - ih)] = (A + iB)(A - iB)$
गुणधर्म $(x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2$ का उपयोग करने पर:
$({a^2} + {b^2})({c^2} + {d^2})({e^2} + {f^2})({g^2} + {h^2}) = {A^2} + {B^2}$

(C) माना $z = x + iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$ है।
तब संयुग्मी $\bar z = x - iy$ है।
पहला,$z + \bar z = (x + iy) + (x - iy) = 2x$,जो एक वास्तविक संख्या है।
दूसरा,$z\,\bar z = (x + iy)(x - iy) = x^2 - (iy)^2 = x^2 + y^2$,जो भी एक वास्तविक संख्या है।
अतः,$z + \bar z$ और $z\,\bar z$ दोनों वास्तविक संख्याएँ हैं।

(A) दो सम्मिश्र संख्याएँ $z_1 = a + ib$ और $z_2 = c + id$ संयुग्मी होती हैं यदि $z_1 = \overline{z_2}$ हो।
दिया गया है $z_1 = 3 + i(x^2y)$ और $z_2 = (x^2 + y) + 4i$।
$z_2$ का संयुग्मी $\overline{z_2} = (x^2 + y) - 4i$ है।
$z_1 = \overline{z_2}$ रखने पर,$3 + i(x^2y) = (x^2 + y) - 4i$।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$x^2 + y = 3$ (समीकरण $1$)
$x^2y = - 4$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ से,$x^2 = 3 - y$। इस मान को समीकरण $2$ में रखने पर:
$(3 - y)y = - 4 \implies 3y - y^2 = - 4 \implies y^2 - 3y - 4 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(y - 4)(y + 1) = 0$,अतः $y = 4$ या $y = - 1$।
यदि $y = 4$,तो $x^2 = 3 - 4 = - 1$,जो $x$ के लिए कोई वास्तविक मान नहीं देता है।
यदि $y = - 1$,तो $x^2 = 3 - (- 1) = 4$,अतः $x = \pm 2$।
अतः,संभावित मान $(x, y) = (2, - 1)$ या $( - 2, - 1)$ हैं।

(B) माना $z = \frac{2 + 5i}{4 - 3i}$ है।
सरल करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $4 + 3i$ से गुणा करें:
$z = \frac{(2 + 5i)(4 + 3i)}{(4 - 3i)(4 + 3i)}$
$z = \frac{8 + 6i + 20i + 15i^2}{16 + 9}$
चूंकि $i^2 = -1$,हमारे पास है:
$z = \frac{8 + 26i - 15}{25} = \frac{-7 + 26i}{25}$
$z = a + bi$ का संयुग्मी $\bar{z} = a - bi$ होता है।
अतः,$\frac{-7 + 26i}{25}$ का संयुग्मी $\frac{-7 - 26i}{25}$ है।

(C) दिया गया है कि $a$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए $a = \bar{a}$ है।
अब,व्यंजक $(z + a)(\bar{z} + a)$ पर विचार करें।
चूंकि $a = \bar{a}$,हम इसे $(z + a)(\bar{z} + \bar{a})$ के रूप में लिख सकते हैं।
सम्मिश्र संयुग्मी के गुणधर्म के अनुसार,$\bar{z} + \bar{a} = \overline{z + a}$ होता है।
इसलिए,$(z + a)(\bar{z} + a) = (z + a)(\overline{z + a})$।
$|w|^2 = w \cdot \bar{w}$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,हमें $(z + a)(\overline{z + a}) = |z + a|^2$ प्राप्त होता है।

(B) माना $z = x + iy$. तब $\frac{z - i}{z + i} = \frac{x + i(y - 1)}{x + i(y + 1)}$.
सरल करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करें: $\frac{x + i(y - 1)}{x + i(y + 1)} \times \frac{x - i(y + 1)}{x - i(y + 1)}$.
$= \frac{x^2 - ix(y + 1) + ix(y - 1) + (y - 1)(y + 1)}{x^2 + (y + 1)^2} = \frac{(x^2 + y^2 - 1) - 2ix}{x^2 + (y + 1)^2}$.
चूंकि यह व्यंजक शुद्ध काल्पनिक है,इसलिए इसका वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए:
$x^2 + y^2 - 1 = 0 \implies x^2 + y^2 = 1$.
चूंकि $z \cdot \bar{z} = |z|^2 = x^2 + y^2$,इसलिए $z \cdot \bar{z} = 1$.

(A) दिया गया है $\frac{c + i}{c - i} = a + ib$ $(i)$
दोनों पक्षों का संयुग्मी (conjugate) लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{c - i}{c + i} = a - ib$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का गुणा करने पर:
$\left(\frac{c + i}{c - i}\right) \times \left(\frac{c - i}{c + i}\right) = (a + ib)(a - ib)$
$1 = a^2 - (ib)^2$
$1 = a^2 - i^2b^2$
चूँकि $i^2 = -1$,इसलिए $1 = a^2 + b^2$
अतः,$a^2 + b^2 = 1$.

(C) दिया गया है कि $\overline{(x + iy)(1 - 2i)} = 1 + i$।
गुणधर्म $\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$ का उपयोग करने पर,$\overline{(x + iy)} \cdot \overline{(1 - 2i)} = 1 + i$।
इसका अर्थ है $(x - iy)(1 + 2i) = 1 + i$।
अतः,$x - iy = \frac{1 + i}{1 + 2i}$।
दोनों पक्षों का संयुग्मी लेने पर,$\overline{x - iy} = \overline{\left(\frac{1 + i}{1 + 2i}\right)}$।
इस प्रकार,$x + iy = \frac{1 - i}{1 - 2i}$।

(C) माना $z = \frac{(2 + i)^2}{3 + i}$.
अंश का विस्तार करने पर: $(2 + i)^2 = 4 + 4i + i^2 = 3 + 4i$.
अतः,$z = \frac{3 + 4i}{3 + i}$.
सरल करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(3 - i)$ से गुणा करें:
$z = \frac{(3 + 4i)(3 - i)}{(3 + i)(3 - i)} = \frac{9 - 3i + 12i - 4i^2}{9 + 1} = \frac{13 + 9i}{10} = \frac{13}{10} + i\frac{9}{10}$.
$z = a + ib$ का संयुग्मी $\bar{z} = a - ib$ होता है।
इसलिए,अभीष्ट संयुग्मी $\frac{13}{10} - i\frac{9}{10}$ है।

(C) दिया गया है $z = 3 + 5i$,तो संयुग्मी $\bar{z} = 3 - 5i$ है।
सबसे पहले,$z^3$ की गणना करें:
$z^3 = (3 + 5i)^3 = 3^3 + (5i)^3 + 3(3)(5i)(3 + 5i)$
$z^3 = 27 + 125i^3 + 45i(3 + 5i)$
$z^3 = 27 - 125i + 135i + 225i^2$
चूँकि $i^2 = -1$,$z^3 = 27 + 10i - 225 = -198 + 10i$।
अब,व्यंजक में मान रखने पर:
$z^3 + \bar{z} + 198 = (-198 + 10i) + (3 - 5i) + 198$
$= (-198 + 198) + (10i - 5i) + 3$
$= 3 + 5i$.

(B) माना $z = \frac{2 - 3i}{4 - i}$.
सरल करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $4 + i$ से गुणा करें:
$z = \frac{(2 - 3i)(4 + i)}{(4 - i)(4 + i)}$
$z = \frac{8 + 2i - 12i - 3i^2}{16 - i^2}$
चूंकि $i^2 = -1$,हमारे पास है:
$z = \frac{8 - 10i + 3}{16 + 1} = \frac{11 - 10i}{17}$
$z = a + bi$ का संयुग्मी $\bar{z} = a - bi$ होता है।
अतः,$\frac{11 - 10i}{17}$ का संयुग्मी $\frac{11 + 10i}{17}$ है।

(C) माना $z = 1 + i$ है।
एक सम्मिश्र संख्या $z = a + ib$ का संयुग्मी $\bar{z} = a - ib$ के रूप में परिभाषित होता है।
अतः,$z = 1 + i$ के लिए,संयुग्मी $\bar{z} = 1 - i$ होगा।

(B) हम सम्मिश्र संख्याओं के गुणधर्म का उपयोग करते हैं: $|z|^2 = z \bar{z}$.
$|{z_1} + {z_2}|^2 + |{z_1} - {z_2}|^2 = ({z_1} + {z_2})(\overline{{z_1} + {z_2}}) + ({z_1} - {z_2})(\overline{{z_1} - {z_2}})$
$= ({z_1} + {z_2})(\bar{{z_1}} + \bar{{z_2}}) + ({z_1} - {z_2})(\bar{{z_1}} - \bar{{z_2}})$
$= ({z_1}\bar{{z_1}} + {z_1}\bar{{z_2}} + {z_2}\bar{{z_1}} + {z_2}\bar{{z_2}}) + ({z_1}\bar{{z_1}} - {z_1}\bar{{z_2}} - {z_2}\bar{{z_1}} + {z_2}\bar{{z_2}})$
$= 2{z_1}\bar{{z_1}} + 2{z_2}\bar{{z_2}}$
$= 2|{z_1}|^2 + 2|{z_2}|^2$

(C) किसी भी सम्मिश्र संख्या $z = x + iy$ के लिए,$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ होता है।
$(a)$ $|z^2| = |(x + iy)^2| = |x^2 - y^2 + 2ixy| = \sqrt{(x^2 - y^2)^2 + (2xy)^2} = \sqrt{x^4 + y^4 - 2x^2y^2 + 4x^2y^2} = \sqrt{(x^2 + y^2)^2} = x^2 + y^2 = |z|^2$। यह सत्य है।
$(b)$ चूँकि $|z| = |\bar{z}|$ होता है,इसलिए $|z|^2 = |\bar{z}|^2$ होगा। अतः,$|z^2| = |\bar{z}|^2$ सत्य है।
$(c)$ $z = \bar{z}$ का अर्थ है $x + iy = x - iy$,जिसका अर्थ है $2iy = 0$,या $y = 0$। यह केवल तभी सत्य है यदि $z$ एक वास्तविक संख्या हो। यह सभी सम्मिश्र संख्याओं के लिए सत्य नहीं है।
$(d)$ $\bar{z^2} = (\bar{z})^2$ सम्मिश्र संयुग्मी का एक मानक गुण है। यह सत्य है।
अतः,जो कथन सत्य नहीं है वह $z = \bar{z}$ है।

(A) माना कि दो सम्मिश्र संख्याएँ $z_1$ और $z_2$ हैं,जहाँ $|z_1| = 1$ और $|z_2| = 1$ है।
सम्मिश्र संख्याओं के गुणनफल के मापांक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हमारे पास $|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|z_1 z_2| = 1 \times 1 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,गुणनफल $z_1 z_2$ भी इकाई मापांक वाली एक सम्मिश्र संख्या है।

(A) मान लीजिए कि एक सम्मिश्र संख्या $z$ मौजूद है जो $z^4 + z + 2 = 0$ को संतुष्ट करती है और $|z| < 1$ है।
तब $z^4 + z = -2$ होगा।
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,$|z^4 + z| = |-2| = 2$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज असमिका के अनुसार,$|z^4 + z| \le |z^4| + |z| = |z|^4 + |z|$ है।
चूंकि $|z| < 1$,इसलिए $|z|^4 < 1$ और $|z| < 1$ होगा।
अतः,$|z^4 + z| < 1 + 1 = 2$ होगा।
यह $2 < 2$ का अर्थ देता है,जो कि एक विरोधाभास है।
अतः,समीकरण का ऐसा कोई मूल नहीं हो सकता जिसके लिए $|z| < 1$ हो।

(C) दिया गया है कि $|z_k| = 1$,जहाँ $k = 1, 2, \dots, n$ है।
चूँकि $|z_k|^2 = z_k \overline{z_k} = 1$,इसलिए $\overline{z_k} = \frac{1}{z_k}$ है।
हम जानते हैं कि $|z| = |\overline{z}|$ होता है।
अतः,$|z_1 + z_2 + \dots + z_n| = |\overline{z_1 + z_2 + \dots + z_n}|$ है।
संयुग्मी (conjugate) के गुणधर्म का उपयोग करने पर,$|\overline{z_1} + \overline{z_2} + \dots + \overline{z_n}| = \left| \frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2} + \dots + \frac{1}{z_n} \right|$ प्राप्त होता है।
अतः,$|z_1 + z_2 + \dots + z_n| = \left| \frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2} + \dots + \frac{1}{z_n} \right|$ है।

(B) दिया गया है कि $\bar{z} = \frac{1}{z}$.
दोनों पक्षों को $z$ से गुणा करने पर,हमें $z \cdot \bar{z} = 1$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि किसी भी सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए,$z \cdot \bar{z} = |z|^2$ होता है।
अतः,$|z|^2 = 1$.
चूंकि मापांक $|z|$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $|z| = 1$ प्राप्त होता है।

(A) सम्मिश्र संख्याओं के लिए त्रिभुज असमिका के अनुसार,किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं ${z_1}$ और ${z_2}$ के लिए,हमारे पास गुणधर्म है $|{z_1} - {z_2}| \ge ||{z_1}| - |{z_2}||$.
इसका तात्पर्य यह है कि $|{z_1} - {z_2}| \ge |{z_1}| - |{z_2}|$ और $|{z_1} - {z_2}| \ge |{z_2}| - |{z_1}|$.
अतः,सही संबंध $|{z_1} - {z_2}| \ge |{z_1}| - |{z_2}|$ है।

(A) दिया गया है कि $z = x + iy$ है।
अतः,$z - 5 = (x + iy) - 5 = (x - 5) + iy$ है।
एक सम्मिश्र संख्या $a + ib$ का मापांक $\sqrt{a^2 + b^2}$ के रूप में परिभाषित होता है।
इसलिए,$|z - 5| = |(x - 5) + iy| = \sqrt{(x - 5)^2 + y^2}$ है।

(C) हम सम्मिश्र संख्याओं के मापांक के गुणधर्म का उपयोग करते हैं: $|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$ और $|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$.
$\left| {(1 + i)\frac{{(2 + i)}}{{(3 + i)}}} \right| = |1 + i| \times \frac{|2 + i|}{|3 + i|}$
$= \sqrt{1^2 + 1^2} \times \frac{\sqrt{2^2 + 1^2}}{\sqrt{3^2 + 1^2}}$
$= \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$
$= \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = 1$.

(A) माना $z = \frac{3 + 2i}{3 - 2i}$ है।
मापांक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$.
$|z| = \left| \frac{3 + 2i}{3 - 2i} \right| = \frac{|3 + 2i|}{|3 - 2i|}$.
चूंकि $|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$,इसलिए $|3 + 2i| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.
इसी प्रकार,$|3 - 2i| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.
अतः,$|z| = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} = 1$.

(A) दिया है $|z| = 1$,मान लीजिए $z = x + iy$,अतः $x^2 + y^2 = 1$.
$\omega = \frac{z - 1}{z + 1} = \frac{(x - 1) + iy}{(x + 1) + iy}$.
वास्तविक भाग ज्ञात करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(x + 1) - iy$ से गुणा करें:
$\omega = \frac{((x - 1) + iy)((x + 1) - iy)}{(x + 1)^2 + y^2} = \frac{(x^2 - 1) + i(y(x + 1) - y(x - 1)) + y^2}{(x + 1)^2 + y^2}$.
$\omega = \frac{(x^2 + y^2 - 1) + i(xy + y - xy + y)}{(x + 1)^2 + y^2} = \frac{(1 - 1) + 2iy}{(x + 1)^2 + y^2} = \frac{2iy}{(x + 1)^2 + y^2}$.
अतः वास्तविक भाग $0$ है,यानी $\text{Re}(\omega) = 0$.

(B) दिया गया है $|{z_1}| = 1$ और ${z_2}$ कोई भी सम्मिश्र संख्या है।
व्यंजक $\left| \frac{{z_1 - z_2}}{{1 - z_1 \bar{z}_2}} \right|$ पर विचार करें।
चूँकि $|{z_1}| = 1$,हमारे पास ${z_1} \bar{z}_1 = |{z_1}|^2 = 1$ है,जिसका अर्थ है $\bar{z}_1 = \frac{1}{z_1}$।
हर में इसका मान रखने पर: $\left| 1 - z_1 \bar{z}_2 \right| = \left| z_1 \bar{z}_1 - z_1 \bar{z}_2 \right| = |z_1| |\bar{z}_1 - \bar{z}_2|$।
चूँकि $|z_1| = 1$,यह $|\bar{z}_1 - \bar{z}_2| = |\overline{z_1 - z_2}|$ में सरल हो जाता है।
गुणधर्म $|\bar{z}| = |z|$ का उपयोग करते हुए,हमें $|\overline{z_1 - z_2}| = |z_1 - z_2|$ प्राप्त होता है।
अतः,$\left| \frac{{z_1 - z_2}}{{1 - z_1 \bar{z}_2}} \right| = \frac{|z_1 - z_2|}{|z_1| |\bar{z}_1 - \bar{z}_2|} = \frac{|z_1 - z_2|}{|z_1 - z_2|} = 1$।

(D) माना $z = \frac{1 + i}{1 - i}$.
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1 + i)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(1 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1^2 - i^2} = \frac{1 + 2i - 1}{1 + 1} = \frac{2i}{2} = i$.
हम $z = 0 + 1i$ लिख सकते हैं।
मापांक $|z| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$ है।
कोणांक $\theta$ के लिए $\cos \theta = 0$ और $\sin \theta = 1$ होता है,जिससे $\theta = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,कोणांक $\frac{\pi}{2}$ और मापांक $1$ है।

(D) माना $z = x + iy$,तो $\bar{z} = x - iy$ है।
चूंकि $\arg(z) = \theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x})$,
$\arg(\bar{z}) = \tan^{-1}(\frac{-y}{x}) = -\theta$ होता है।
अतः,$\arg(z) \neq \arg(\bar{z})$।
इसलिए,संबंध $\arg(z) = \arg(\bar{z})$ गलत है।

(B) माना $z_1 = r(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)$ है।
दिया है $|z_1| = |z_2|$,इसलिए $|z_2| = r$ है।
दिया है $\text{amp}(z_1) + \text{amp}(z_2) = 0$,इसलिए $\text{amp}(z_2) = -\theta_1$ है।
अतः,$z_2 = r(\cos(-\theta_1) + i \sin(-\theta_1)) = r(\cos \theta_1 - i \sin \theta_1)$ है।
चूंकि $\bar{z}_1 = r(\cos \theta_1 - i \sin \theta_1)$,इसलिए $\bar{z}_1 = z_2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $z = \cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}$।
यह ध्रुवीय रूप $z = r(\cos \theta + i\sin \theta)$ में है,जहाँ $r = |z|$ और $\theta = \arg(z)$ है।
दिए गए व्यंजक की तुलना ध्रुवीय रूप से करने पर,हमें $r = |z| = 1$ और $\theta = \arg(z) = \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,$|z| = 1$ और $\arg(z) = \frac{\pi}{6}$ है।

(C) दिया गया है: $(\sqrt{8} + i)^{50} = 3^{49}(a + ib)$.
दोनों पक्षों का मापांक (modulus) लेने पर:
$|(\sqrt{8} + i)^{50}| = |3^{49}(a + ib)|$
$|\sqrt{8} + i|^{50} = 3^{49} |a + ib|$
चूंकि $|\sqrt{8} + i| = \sqrt{(\sqrt{8})^2 + 1^2} = \sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} = 3$,इसलिए:
$3^{50} = 3^{49} \sqrt{a^2 + b^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(3^{50})^2 = (3^{49})^2 (a^2 + b^2)$
$3^{100} = 3^{98} (a^2 + b^2)$
$a^2 + b^2 = \frac{3^{100}}{3^{98}} = 3^2 = 9$.

(A) दिया गया है $x + iy = \sqrt{\frac{a + ib}{c + id}}$.
दोनों पक्षों का संयुग्मी (conjugate) लेने पर,हमें $x - iy = \sqrt{\frac{a - ib}{c - id}}$ प्राप्त होता है।
अब,इन दो समीकरणों का गुणा करने पर:
$(x + iy)(x - iy) = \sqrt{\frac{a + ib}{c + id}} \times \sqrt{\frac{a - ib}{c - id}}$
$x^2 + y^2 = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $(x^2 + y^2)^2 = \frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $|1 - i|^x = 2^x$ है।
सबसे पहले,सम्मिश्र संख्या $1 - i$ का मापांक ज्ञात करें:
$|1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\sqrt{2})^x = 2^x$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(2^{1/2})^x = 2^x$
$2^{x/2} = 2^x$.
घातांकों की तुलना करने पर:
$\frac{x}{2} = x$
$x = 0$.
केवल एक ही हल $x = 0$ प्राप्त होता है,जो कि शून्येतर पूर्णांक नहीं है।
अतः,शून्येतर पूर्णांक हलों की संख्या $0$ है।

(B) दिया गया है $z = r{e^{i\theta }} = r(\cos \theta + i\sin \theta )$.
तब $iz = ir(\cos \theta + i\sin \theta ) = -r\sin \theta + ir\cos \theta$.
अतः,${e^{iz}} = {e^{-r\sin \theta + ir\cos \theta}} = {e^{-r\sin \theta}} \cdot {e^{i(r\cos \theta)}}$.
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर:
$|{e^{iz}}| = |{e^{-r\sin \theta}}| \cdot |{e^{i(r\cos \theta)}}|$.
चूंकि ${e^{-r\sin \theta}}$ एक वास्तविक संख्या है,$|{e^{-r\sin \theta}}| = {e^{-r\sin \theta}}$.
साथ ही,$|{e^{i(r\cos \theta)}}| = |\cos(r\cos \theta) + i\sin(r\cos \theta)| = \sqrt{\cos^2(r\cos \theta) + \sin^2(r\cos \theta)} = 1$.
अतः,$|{e^{iz}}| = {e^{-r\sin \theta}} \cdot 1 = {e^{-r\sin \theta}}$.

(B) $\frac{1 - i}{1 + i}$ को सरल करने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1 - i)$ से गुणा करते हैं:
$\frac{1 - i}{1 + i} = \frac{(1 - i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)}$
$= \frac{1 - 2i + i^2}{1^2 - i^2}$
$= \frac{1 - 2i - 1}{1 + 1}$
$= \frac{-2i}{2} = -i$
अब,$-i$ को ध्रुवीय रूप $\cos \theta + i \sin \theta$ में व्यक्त करने पर:
चूंकि $\cos \frac{\pi}{2} = 0$ और $\sin \frac{\pi}{2} = 1$,इसलिए:
$-i = 0 - i(1) = \cos \frac{\pi}{2} - i \sin \frac{\pi}{2}$

(D) दिया गया है $x + \frac{1}{x} = \sqrt{3}$।
$x$ से गुणा करने पर,$x^2 - \sqrt{3}x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}$
$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 4}}{2} = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{-1}}{2} = \frac{\sqrt{3} \pm i}{2}$।
अतः,$x = \frac{\sqrt{3}}{2} \pm \frac{i}{2}$।
धनात्मक चिह्न लेने पर,$x = \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}$।

(B) दिया गया है $\left| \omega + \frac{1}{\omega} \right| = 2$.
त्रिभुज असमिका $\left| z_1 + z_2 \right| \le \left| z_1 \right| + \left| z_2 \right|$ का उपयोग करते हुए:
$\left| \omega \right| = \left| \left( \omega + \frac{1}{\omega} \right) - \frac{1}{\omega} \right| \le \left| \omega + \frac{1}{\omega} \right| + \left| \frac{1}{\omega} \right|$.
मान रखने पर:
$\left| \omega \right| \le 2 + \frac{1}{\left| \omega \right|}$.
माना $r = \left| \omega \right|$। तब $r \le 2 + \frac{1}{r}$,जिसका अर्थ है $r^2 - 2r - 1 \le 0$.
द्विघात सूत्र $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके $r^2 - 2r - 1 = 0$ को हल करने पर:
$r = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
चूंकि $r = \left| \omega \right| > 0$,हम $r \le 1 + \sqrt{2}$ लेते हैं।
अतः,मूल बिंदु से $\omega$ की अधिकतम दूरी $1 + \sqrt{2}$ है।

(A) सम्मिश्र संख्याओं के लिए त्रिभुज असमिका के अनुसार,किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं ${z_1}$ और ${z_2}$ के लिए,उनके योग का मापांक उनके मापांकों के योग से कम या उसके बराबर होता है।
गणितीय रूप से,इसे $|{z_1} + {z_2}| \le |{z_1}| + |{z_2}|$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) सम्मिश्र संख्याओं के लिए त्रिभुज असमिका के अनुसार,किन्हीं भी दो सम्मिश्र संख्याओं ${z_1}$ और ${z_2}$ के लिए निम्नलिखित सत्य है:
$|{z_1} + {z_2}| \le |{z_1}| + |{z_2}|$
$|{z_1} - {z_2}| \ge ||{z_1}| - |{z_2}||$
$|{z_1} + {z_2}| \ge ||{z_1}| - |{z_2}||$
दिए गए विकल्पों में से,असमिका $|{z_1} + {z_2}| \ge ||{z_1}| - |{z_2}||$ त्रिभुज असमिका से प्राप्त एक मानक गुण है।

(C) निरपेक्ष मानों के लिए त्रिभुज असमिका के अनुसार,किन्हीं भी वास्तविक संख्याओं $x$ और $y$ के लिए,$|x - y| \ge |x| - |y|$ होता है।
यह मापांक फलन का एक मूलभूत गुण है।
अतः,सही कथन $|x - y| \ge |x| - |y|$ है।

(B) हम गुणधर्म $|z|^2 = z \cdot \overline{z}$ का उपयोग करते हैं।
$|az_1 - bz_2|^2 + |bz_1 + az_2|^2 = (az_1 - bz_2)(\overline{az_1 - bz_2}) + (bz_1 + az_2)(\overline{bz_1 + az_2})$
$= (az_1 - bz_2)(a\overline{z_1} - b\overline{z_2}) + (bz_1 + az_2)(b\overline{z_1} + a\overline{z_2})$
$= (a^2|z_1|^2 - ab z_1\overline{z_2} - ab \overline{z_1}z_2 + b^2|z_2|^2) + (b^2|z_1|^2 + ab z_1\overline{z_2} + ab \overline{z_1}z_2 + a^2|z_2|^2)$
$= a^2|z_1|^2 + b^2|z_2|^2 + b^2|z_1|^2 + a^2|z_2|^2$
$= (a^2 + b^2)|z_1|^2 + (a^2 + b^2)|z_2|^2$
$= (a^2 + b^2)(|z_1|^2 + |z_2|^2)$

(A) दिया गया है कि $|{z_1}| = |{z_2}| = |{z_3}| = 1$.
चूंकि $|{z_i}| = 1$,हमारे पास $|{z_i}|^2 = {z_i} \overline{z_i} = 1$ है,जिसका अर्थ है कि $i = 1, 2, 3$ के लिए $\frac{1}{z_i} = \overline{z_i}$ है।
दिया गया है कि $\left| \frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2} + \frac{1}{z_3} \right| = 1$ है।
$\frac{1}{z_i} = \overline{z_i}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|\overline{z_1} + \overline{z_2} + \overline{z_3}| = 1$ प्राप्त होता है।
संयुग्मी के गुण $|\overline{z}| = |z|$ का उपयोग करते हुए,हमें $|\overline{z_1 + z_2 + z_3}| = |z_1 + z_2 + z_3| = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$|{z_1} + {z_2} + {z_3}| = 1$ है।

(A) $x = -3$ पर व्यंजक $\left| \frac{3x^3 + 1}{2x^2 + 2} \right|$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $x = -3$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
चरण $1$: अंश की गणना करें: $3(-3)^3 + 1 = 3(-27) + 1 = -81 + 1 = -80$.
चरण $2$: हर की गणना करें: $2(-3)^2 + 2 = 2(9) + 2 = 18 + 2 = 20$.
चरण $3$: अंश को हर से विभाजित करें: $\frac{-80}{20} = -4$.
चरण $4$: निरपेक्ष मान (absolute value) लागू करें: $|-4| = 4$.
अतः,संख्यात्मक मान $4$ है.