Conjugate and Modulus of complex numbers Questions in Hindi

(A) सम्मिश्र संख्या को सरल करने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1+i)$ से गुणा करते हैं:
$\frac{1+2i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{1+i+2i+2i^2}{1^2-i^2}$
चूंकि $i^2 = -1$,इसलिए:
$\frac{1+3i-2}{1-(-1)} = \frac{-1+3i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i$
वास्तविक भाग $-\frac{1}{2}$ (ऋणात्मक) है और काल्पनिक भाग $\frac{3}{2}$ (धनात्मक) है।
ऋणात्मक वास्तविक भाग और धनात्मक काल्पनिक भाग वाली सम्मिश्र संख्या द्वितीय चतुर्थांश में स्थित होती है।

(C) माना $z = \frac{(1+i)^2(1+3 i)}{(2-6 i)(2-2 i)}$.
मापांक के गुणधर्म $|\frac{z_1 z_2}{z_3 z_4}| = \frac{|z_1| |z_2|}{|z_3| |z_4|}$ का उपयोग करने पर:
$|z| = \frac{|1+i|^2 |1+3i|}{|2-6i| |2-2i|}$
$|1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$,इसलिए $|1+i|^2 = 2$.
$|1+3i| = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10}$.
$|2-6i| = \sqrt{2^2+(-6)^2} = \sqrt{4+36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.
$|2-2i| = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$|z| = \frac{2 \times \sqrt{10}}{2\sqrt{10} \times 2\sqrt{2}} = \frac{2}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

(C) माना $z = \frac{1+2i}{1-(1-i)^{2}}$.
सबसे पहले,हर का सरलीकरण करने पर: $(1-i)^{2} = 1^{2} + i^{2} - 2i = 1 - 1 - 2i = -2i$.
इस मान को $z$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$z = \frac{1+2i}{1 - (-2i)} = \frac{1+2i}{1+2i} = 1$.
अतः,$z = 1 + 0i$.
मापांक $|z| = \sqrt{1^{2} + 0^{2}} = 1$.
कोणांक $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{0}{1}\right) = 0$.

(B) दिया गया है कि $(x + iy)(1 - 2i)$ का संयुग्मी $1 + i$ है।
माना $z = (x + iy)(1 - 2i)$.
तब $\bar{z} = 1 + i$.
$z = (x + iy)(1 - 2i)$ के दोनों पक्षों का संयुग्मी लेने पर,$\bar{z} = \overline{(x + iy)(1 - 2i)} = \overline{(x + iy)} \cdot \overline{(1 - 2i)}$.
चूंकि $\bar{z} = 1 + i$,हमारे पास $(x - iy)(1 + 2i) = 1 + i$ है।
वैकल्पिक रूप से,हम लिख सकते हैं $z = \overline{1 + i} = 1 - i$.
अतः,$(x + iy)(1 - 2i) = 1 - i$.
दोनों पक्षों को $(1 - 2i)$ से विभाजित करने पर,हमें $x + iy = \frac{1 - i}{1 - 2i}$ प्राप्त होता है।
यह विकल्प $(B)$ से मेल खाता है।

(B) दिया गया है कि $|\beta|=1$,इसलिए $|\beta|^2 = \beta \bar{\beta} = 1$ है।
व्यंजक $\left|\frac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha} \beta}\right|$ पर विचार करें।
हर में $1 = \beta \bar{\beta}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left|\frac{\beta-\alpha}{\beta \bar{\beta}-\bar{\alpha} \beta}\right| = \left|\frac{\beta-\alpha}{\beta(\bar{\beta}-\bar{\alpha})}\right|$.
मापांक के गुणधर्म $|z_1/z_2| = |z_1|/|z_2|$ और $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{|\beta-\alpha|}{ |\beta| |\bar{\beta}-\bar{\alpha}| }$.
चूँकि $|\beta|=1$ और $|\bar{z}| = |z|$,हम जानते हैं कि $|\bar{\beta}-\bar{\alpha}| = |\overline{\beta-\alpha}| = |\beta-\alpha|$ है।
अतः,व्यंजक का मान $\frac{|\beta-\alpha|}{1 \cdot |\beta-\alpha|} = 1$ होगा।

(B) माना $z = x + iy$.
दिया गया है,$z = -\overline{z}$.
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$x + iy = -(x - iy)$
$x + iy = -x + iy$
$2x = 0$
$x = 0$.
चूंकि वास्तविक भाग $x = 0$ है,इसलिए सम्मिश्र संख्या $z = iy$ शुद्ध काल्पनिक है।

(D) माना $z = \frac{(1+i)^{2}}{1-i}$.
अंश का विस्तार करने पर: $(1+i)^{2} = 1^{2} + i^{2} + 2i = 1 - 1 + 2i = 2i$.
अतः,$z = \frac{2i}{1-i}$.
सरल करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1+i)$ से गुणा करें:
$z = \frac{2i(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{2i + 2i^{2}}{1 - i^{2}} = \frac{2i - 2}{1 - (-1)} = \frac{2i - 2}{2} = i - 1$.
इस प्रकार,$z = -1 + i$.
एक सम्मिश्र संख्या $z = a + bi$ का संयुग्मी $\bar{z} = a - bi$ होता है।
इसलिए,$-1 + i$ का संयुग्मी $-1 - i$ है।

(C) दिया गया है $Z = \frac{(\sqrt{3} + i)^{3}(3i + 4)^{2}}{(8 + 6i)^{2}}$.
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,$|Z| = \frac{|\sqrt{3} + i|^{3} |3i + 4|^{2}}{|8 + 6i|^{2}}$ प्राप्त होता है।
प्रत्येक सम्मिश्र संख्या का मापांक ज्ञात करने पर:
$|\sqrt{3} + i| = \sqrt{(\sqrt{3})^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
$|3i + 4| = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
$|8 + 6i| = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
इन मानों को $|Z|$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$|Z| = \frac{2^{3} \times 5^{2}}{10^{2}} = \frac{8 \times 25}{100} = \frac{200}{100} = 2$.
अतः,$|Z| = 2$ है।

(A) मान लीजिए $ z = \frac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha} \beta} $. हमें $ |z| $ ज्ञात करना है।
विचार करें कि $ |z|^2 = z \cdot \bar{z} = \left( \frac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha} \beta} \right) \left( \frac{\bar{\beta}-\bar{\alpha}}{1-\alpha \bar{\beta}} \right) $.
अंश का विस्तार करने पर: $ (\beta-\alpha)(\bar{\beta}-\bar{\alpha}) = \beta \bar{\beta} - \beta \bar{\alpha} - \alpha \bar{\beta} + \alpha \bar{\alpha} = |\beta|^2 - \beta \bar{\alpha} - \alpha \bar{\beta} + |\alpha|^2 $.
हर का विस्तार करने पर: $ (1-\bar{\alpha} \beta)(1-\alpha \bar{\beta}) = 1 - \alpha \bar{\beta} - \bar{\alpha} \beta + \bar{\alpha} \alpha \beta \bar{\beta} = 1 - \alpha \bar{\beta} - \bar{\alpha} \beta + |\alpha|^2 |\beta|^2 $.
चूँकि $ |\beta|=1 $,इसलिए $ |\beta|^2 = 1 $.
$ |\beta|^2 = 1 $ को व्यंजकों में प्रतिस्थापित करने पर:
अंश: $ 1 - \beta \bar{\alpha} - \alpha \bar{\beta} + |\alpha|^2 $.
हर: $ 1 - \alpha \bar{\beta} - \bar{\alpha} \beta + |\alpha|^2 (1) = 1 - \alpha \bar{\beta} - \bar{\alpha} \beta + |\alpha|^2 $.
चूँकि अंश और हर समान हैं,इसलिए $ |z|^2 = 1 $,जिसका अर्थ है कि $ |z| = 1 $.

(A) दिया गया समीकरण $|1-i|^x=2^x$ है।
सबसे पहले,सम्मिश्र संख्या $1-i$ का मापांक ज्ञात करें:
$|1-i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2^{\frac{1}{2}})^x = 2^x$.
$2^{\frac{x}{2}} = 2^x$.
चूंकि आधार समान हैं,इसलिए घातांकों की तुलना करने पर:
$\frac{x}{2} = x$.
$x = 2x \Rightarrow x = 0$.
अतः,केवल $1$ पूर्णांक हल है,जो $x=0$ है।

(C) हम जानते हैं कि $i^4 = 1$ है। इसलिए,$i^{2020} = (i^4)^{505} = 1^{505} = 1$।
इसी प्रकार,$i^{2021} = i^{2020} \times i = i$,$i^{2022} = i^{2020} \times i^2 = -1$,और $i^{2023} = i^{2020} \times i^3 = -i$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left|\frac{1}{1} + \frac{2}{i} + \frac{3}{-1} + \frac{4}{-i}\right|$
$= \left|1 - 2i - 3 + 4i\right|$
$= \left|-2 + 2i\right|$
$= \sqrt{(-2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$।

(A) दिया गया है: $z_1 = 2 + 5i$,$z_2 = -1 + 4i$,$z_3 = i$.
सबसे पहले,अंश की गणना करें: $z_1 - z_3 = (2 + 5i) - i = 2 + 4i$.
इसके बाद,हर की गणना करें: $z_3 - z_2 = i - (-1 + 4i) = i + 1 - 4i = 1 - 3i$.
अब,भिन्न पर विचार करें: $\frac{z_1 - z_3}{z_3 - z_2} = \frac{2 + 4i}{1 - 3i}$.
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1 + 3i)$ से गुणा करें:
$\frac{(2 + 4i)(1 + 3i)}{(1 - 3i)(1 + 3i)} = \frac{2 + 6i + 4i + 12i^2}{1^2 + 3^2} = \frac{2 + 10i - 12}{1 + 9} = \frac{-10 + 10i}{10} = -1 + i$.
अंत में,मापांक ज्ञात करें: $\left| -1 + i \right| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

(C) माना $z$ का गुणात्मक प्रतिलोम $A$ है।
अतः $z \cdot A = 1$,जिससे $A = \frac{1}{z}$ प्राप्त होता है।
सरल बनाने के लिए,अंश और हर को $z$ के संयुग्मी $\bar{z}$ से गुणा करने पर:
$A = \frac{1 \cdot \bar{z}}{z \cdot \bar{z}} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$
चूंकि $z \cdot \bar{z} = |z|^2$,इसलिए गुणात्मक प्रतिलोम $\frac{\bar{z}}{|z|^2}$ है।
अतः विकल्प $C$ सही है।

(B) माना सम्मिश्र संख्या $z = \sin \theta + i \cos \theta$ है।
$z$ का गुणात्मक प्रतिलोम $\frac{1}{z}$ है।
$\frac{1}{z} = \frac{1}{\sin \theta + i \cos \theta}$।
अंश और हर को $(\sin \theta - i \cos \theta)$ से गुणा करने पर:
$\frac{1}{z} = \frac{\sin \theta - i \cos \theta}{(\sin \theta + i \cos \theta)(\sin \theta - i \cos \theta)}$।
सर्वसमिका $(a+ib)(a-ib) = a^2 + b^2$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{z} = \frac{\sin \theta - i \cos \theta}{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}$।
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए:
$\frac{1}{z} = \sin \theta - i \cos \theta$।
अतः,गुणात्मक प्रतिलोम $(\sin \theta, -\cos \theta)$ है।

(C) दिया गया है,$\alpha - i\beta = \left(\frac{3-4ix}{3+4ix}\right)$.
दोनों पक्षों का मापांक (modulus) लेने पर:
$|\alpha - i\beta| = \left|\frac{3-4ix}{3+4ix}\right|$.
चूंकि भागफल का मापांक मापांकों का भागफल होता है,इसलिए:
$|\alpha - i\beta| = \frac{|3-4ix|}{|3+4ix|}$.
हम जानते हैं कि किसी भी सम्मिश्र संख्या $z = a + ib$ के लिए,$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ होता है।
अतः,$\sqrt{\alpha^2 + (-\beta)^2} = \frac{\sqrt{3^2 + (-4x)^2}}{\sqrt{3^2 + (4x)^2}}$.
$\sqrt{\alpha^2 + \beta^2} = \frac{\sqrt{9 + 16x^2}}{\sqrt{9 + 16x^2}}$.
चूंकि $x$ एक वास्तविक मान है,$9 + 16x^2 \neq 0$,इसलिए अनुपात $1$ है।
$\sqrt{\alpha^2 + \beta^2} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\alpha^2 + \beta^2 = 1$ प्राप्त होता है।

(C) दिया है,$z = x+iy = \frac{(3+2i)(4-7i)(12+13i)}{(13-12i)(2-3i)(11+3i)}$.
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,$|z| = |x+iy| = \sqrt{x^2+y^2}$.
गुणधर्म $|\frac{z_1 z_2 z_3}{z_4 z_5 z_6}| = \frac{|z_1| |z_2| |z_3|}{|z_4| |z_5| |z_6|}$ का उपयोग करने पर:
$|z| = \frac{|3+2i| \cdot |4-7i| \cdot |12+13i|}{|13-12i| \cdot |2-3i| \cdot |11+3i|}$.
यहाँ $|3+2i| = |2-3i| = \sqrt{13}$ और $|12+13i| = |13-12i| = \sqrt{313}$ है।
अतः,$|z| = \frac{\sqrt{13} \cdot |4-7i| \cdot \sqrt{313}}{\sqrt{313} \cdot \sqrt{13} \cdot |11+3i|} = \frac{|4-7i|}{|11+3i|}$.
$|z| = \frac{\sqrt{4^2+(-7)^2}}{\sqrt{11^2+3^2}} = \frac{\sqrt{65}}{\sqrt{130}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इस प्रकार,$\sqrt{x^2+y^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $x^2+y^2 = \frac{1}{2}$.

(D) दिया गया है कि $|z_1|=1, |z_2|=2, |z_3|=3$ और $|9 z_1 z_2 + 4 z_1 z_3 + z_2 z_3| = 12$ है।
हम जानते हैं कि $|z|^2 = z \bar{z}$,जिसका अर्थ है $\bar{z} = \frac{|z|^2}{z}$।
दिए गए व्यंजक को $|z_1 z_2 z_3|$ से विभाजित करने पर:
$|z_1 z_2 z_3| \left| \frac{9}{z_3} + \frac{4}{z_2} + \frac{1}{z_1} \right| = 12$
चूंकि $|z_1 z_2 z_3| = 1 \times 2 \times 3 = 6$,
$6 \left| \frac{9}{z_3} + \frac{4}{z_2} + \frac{1}{z_1} \right| = 12 \implies \left| \frac{9}{z_3} + \frac{4}{z_2} + \frac{1}{z_1} \right| = 2$।
चूंकि $\bar{z}_1 = \frac{1}{z_1}, \bar{z}_2 = \frac{4}{z_2}, \bar{z}_3 = \frac{9}{z_3}$,
अतः $|\bar{z}_1 + \bar{z}_2 + \bar{z}_3| = 2$।
चूंकि $|\bar{z}| = |z|$,इसलिए $|z_1 + z_2 + z_3| = 2$ प्राप्त होता है।

(C) सबसे पहले,सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करें:
$(4-3i)(2+3i) = 8 + 12i - 6i - 9i^2 = 8 + 6i + 9 = 17 + 6i$.
फिर,$(1+4i)$ से गुणा करें:
$(17+6i)(1+4i) = 17 + 68i + 6i + 24i^2 = 17 + 74i - 24 = -7 + 74i$.
एक सम्मिश्र संख्या $z = a + bi$ का सम्मिश्र संयुग्मी $\bar{z} = a - bi$ होता है।
अतः,$-7 + 74i$ का सम्मिश्र संयुग्मी $-7 - 74i$ है।

(B) दिया गया है $z_1 = 4+3 i$.
मापांक $\alpha = |z_1| = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{16+9} = 5$.
क्षेत्र $|z - \overline{z_1}| \leq 5$ द्वारा परिभाषित है।
चूँकि $\overline{z_1} = 4-3 i$,असमिका $|z - (4-3 i)| \leq 5$ है।
विकल्प $B$ के लिए,$z = z_1 = 4+3 i$ रखने पर:
$|(4+3 i) - (4-3 i)| = |6 i| = 6$.
चूँकि $6 > 5$,बिंदु $z_1$ असमिका को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,$z_1$ क्षेत्र में स्थित नहीं है।

(C) दिया गया समीकरण: $4a + i(3a - b) = b - 6i$
दोनों पक्षों के वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
वास्तविक भाग: $4a = b$
काल्पनिक भाग: $3a - b = -6$
दूसरे समीकरण में $b = 4a$ रखने पर:
$3a - 4a = -6$ $\Rightarrow -a = -6$ $\Rightarrow a = 6$
अतः,$b = 4(6) = 24$
अब,$z$ में $a$ और $b$ का मान रखने पर:
$z = 6 + \frac{24}{4}i = 6 + 6i$
मापांक $|z|$ है:
$|z| = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
अंत में,$\frac{|z|}{a}$ की गणना करने पर:
$\frac{|z|}{a} = \frac{6\sqrt{2}}{6} = \sqrt{2}$

(B) दिया गया है $z = \frac{-2+i}{(1-2i)^2}$.
हर का सरलीकरण करने पर: $(1-2i)^2 = 1 - 4 - 4i = -3 - 4i$.
अतः,$z = \frac{-2+i}{-3-4i} = \frac{2-i}{3+4i}$.
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(3-4i)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(2-i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)} = \frac{6 - 11i - 4}{25} = \frac{2 - 11i}{25}$.
अतः,$\bar{z} = \frac{2 + 11i}{25}$.
मापांक $|\bar{z}| = |z| = \sqrt{(\frac{2}{25})^2 + (-\frac{11}{25})^2} = \sqrt{\frac{125}{625}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(D) दिया गया है $z = 1 + \cos \theta - i \sin \theta$.
$z - 1 = \cos \theta - i \sin \theta$.
$|z - 1| = \sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = 1$.
$|z|^2 = (1 + \cos \theta)^2 + (-\sin \theta)^2 = 1 + 2 \cos \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 2 + 2 \cos \theta$.
अब,इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\left[|z - 1|^2 - \frac{|z|^2}{4}\right]^{1/2} = \left[1^2 - \frac{2 + 2 \cos \theta}{4}\right]^{1/2} = \left[1 - \frac{1 + \cos \theta}{2}\right]^{1/2} = \left[\frac{2 - 1 - \cos \theta}{2}\right]^{1/2} = \left[\frac{1 - \cos \theta}{2}\right]^{1/2}$.
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\left[\frac{2 \sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)}{2}\right]^{1/2} = \sqrt{\sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)} = \sin \left(\frac{\theta}{2}\right)$ (चूंकि $0 < \frac{\theta}{2} < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\sin \left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$).

(A) दिया गया है,$\left|z+\frac{2}{z}\right|=2$.
त्रिभुज असमिका का उपयोग करते हुए,$|z| = |(z+\frac{2}{z}) - \frac{2}{z}| \leq |z+\frac{2}{z}| + |\frac{2}{z}|$.
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर,$|z| \leq 2 + \frac{2}{|z|}$.
$|z|$ से गुणा करने पर (चूंकि $|z| > 0$),हमें $|z|^2 \leq 2|z| + 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $|z|^2 - 2|z| - 2 \leq 0$.
$x = |z|$ के लिए द्विघात असमिका $x^2 - 2x - 2 \leq 0$ को हल करने पर,मूल $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$ हैं।
चूंकि $|z| \geq 0$,इसलिए $0 \leq |z| \leq 1+\sqrt{3}$.
अतः,$|z|$ का अधिकतम मान $1+\sqrt{3}$ है।

(A) दिया गया है कि $Z_1$ और $Z_2$ संयुग्मी सम्मिश्र संख्याएँ हैं। मान लीजिए $Z_1 = a + ib$, तो $Z_2 = a - ib$.
$(A) Z_1 Z_2 = (a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2 = |Z_1|^2$. अतः, $A-3$.
$(B) Z_1 + Z_2 = (a + ib) + (a - ib) = 2a$. यदि $Z_1 + Z_2 = 0$, तो $2a = 0 \Rightarrow a = 0$. यह काल्पनिक अक्ष को दर्शाता है। अतः, $B-1$.
$(C) \text{Im}(Z_1) = b$. साथ ही, $\text{Im}(-Z_2) = \text{Im}(-(a - ib)) = \text{Im}(-a + ib) = b$. अतः, $\text{Im}(Z_1) = \text{Im}(-Z_2)$. इसलिए, $C-2$.
$(D) \text{Re}(Z_1) = a$ और $\text{Re}(Z_2) = a$. अतः, $\text{Re}(Z_1) = \text{Re}(Z_2)$. इसलिए, $D-4$.
सही मिलान $A-3, B-1, C-2, D-4$ है.

(D) दिया गया है $f(z) = |z|$.
$(a)$ $f(-z) = |-z| = |z| = f(z)$,जो सत्य है।
$(b)$ $f(\bar{z}) = |\bar{z}| = |z| = f(z)$,जो सत्य है।
$(c)$ $f(z^2) = |z^2| = |z|^2 = (f(z))^2$,जो सत्य है।
$(d)$ $f(z_1^2 + z_2^2) = |z_1^2 + z_2^2|$ और $f(z_1^2) + f(z_2^2) = |z_1^2| + |z_2^2| = |z_1|^2 + |z_2|^2$.
त्रिभुज असमिका के अनुसार,$|z_1^2 + z_2^2| \leq |z_1^2| + |z_2^2| = |z_1|^2 + |z_2|^2$। सामान्यतः समानता लागू नहीं होती है।
अतः,$f(z_1^2 + z_2^2) = f(z_1^2) + f(z_2^2)$ असत्य है।

(B) माना $z = (1+2i)(-2+i)$ है।
मापांक के गुणधर्म $|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|z| = |1+2i| \times |-2+i|$
$|z| = \sqrt{1^2 + 2^2} \times \sqrt{(-2)^2 + 1^2}$
$|z| = \sqrt{1+4} \times \sqrt{4+1}$
$|z| = \sqrt{5} \times \sqrt{5}$
$|z| = 5$

(A) $z = \frac{5i}{7+i}$ का संयुग्मी ज्ञात करने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी $(7-i)$ से गुणा करते हैं।
$z = \frac{5i}{7+i} \times \frac{7-i}{7-i} = \frac{35i - 5i^2}{49 - i^2}$
चूंकि $i^2 = -1$ है:
$z = \frac{35i + 5}{50} = \frac{5 + 35i}{50} = \frac{1 + 7i}{10}$
अतः,$\frac{1+7i}{10}$ का संयुग्मी $\frac{1-7i}{10}$ है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(A) दिया गया है $\left|\frac{z-25}{z-1}\right|=5$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\left|\frac{z-25}{z-1}\right|^2 = 25$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\frac{(z-25)(\bar{z}-25)}{(z-1)(\bar{z}-1)} = 25$।
पदों का विस्तार करने पर: $(z-25)(\bar{z}-25) = 25(z-1)(\bar{z}-1)$।
$z\bar{z} - 25z - 25\bar{z} + 625 = 25(z\bar{z} - z - \bar{z} + 1)$।
$|z|^2 - 25(z+\bar{z}) + 625 = 25|z|^2 - 25(z+\bar{z}) + 25$।
$|z|^2 + 625 = 25|z|^2 + 25$।
$24|z|^2 = 600$।
$|z|^2 = 25$।
अतः,$|z| = 5$।

(C) दिया गया है कि $x^2+y+4 i$ और $-3+x^2 y i$ एक-दूसरे के संयुग्मी हैं।
अतः,$x^2+y+4 i = -3 - x^2 y i$.
दोनों पक्षों के वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$x^2+y = -3$ $(i)$
$4 = -x^2 y \Rightarrow y = -\frac{4}{x^2}$ $(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 - \frac{4}{x^2} = -3$
$x^4 - 4 = -3x^2$
$x^4 + 3x^2 - 4 = 0$
$(x^2+4)(x^2-1) = 0$
चूंकि $x \in R$,$x^2$ ऋणेतर होना चाहिए,इसलिए $x^2+4 \neq 0$.
अतः,$x^2-1 = 0$ $\Rightarrow x^2 = 1$ $\Rightarrow x = \pm 1$.
$x^2=1$ को $(ii)$ में रखने पर:
$y = -\frac{4}{1} = -4$.
अब,$(|x|+|y|)^2 = (|\pm 1| + |-4|)^2 = (1+4)^2 = 5^2 = 25$.

(A) दिया गया है,$13 e^{i \tan ^{-1} \frac{5}{12}} = a + i b$.
यूलर के सूत्र $e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$13 [\cos(\tan ^{-1} \frac{5}{12}) + i \sin(\tan ^{-1} \frac{5}{12})] = a + i b$.
माना $\theta = \tan ^{-1} \frac{5}{12}$,तो $\tan \theta = \frac{5}{12}$.
एक समकोण त्रिभुज में जिसकी सम्मुख भुजा $5$ और आसन्न भुजा $12$ है,कर्ण $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ होगा।
अतः,$\cos \theta = \frac{12}{13}$ और $\sin \theta = \frac{5}{13}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$13 [\frac{12}{13} + i \frac{5}{13}] = a + i b$.
$12 + 5i = a + i b$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,$a = 12$ और $b = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रमित युग्म $(a, b) = (12, 5)$ है।

(A) दिया गया है $z = \frac{1}{1 - \cos \theta + i \sin \theta}$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ और $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$z = \frac{1}{2 \sin^2 \frac{\theta}{2} + i (2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2})}$
$z = \frac{1}{2 \sin \frac{\theta}{2} (\sin \frac{\theta}{2} + i \cos \frac{\theta}{2})}$
चूंकि $\sin \frac{\theta}{2} + i \cos \frac{\theta}{2} = i (\cos \frac{\theta}{2} - i \sin \frac{\theta}{2}) = i e^{-i \theta/2}$,इसलिए:
$z = \frac{1}{2 \sin \frac{\theta}{2} \cdot i e^{-i \theta/2}} = \frac{1}{2 \sin \frac{\theta}{2}} \cdot \frac{1}{i} e^{i \theta/2}$
चूंकि $\frac{1}{i} = -i = e^{-i \pi/2}$,इसलिए:
$z = \frac{1}{2 \sin \frac{\theta}{2}} e^{-i \pi/2} e^{i \theta/2} = \frac{1}{2} \operatorname{cosec} \frac{\theta}{2} e^{i (\theta/2 - \pi/2)}$
अतः,मापांक $\frac{1}{2} \operatorname{cosec} \frac{\theta}{2}$ है और कोणांक $-(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2})$ है।

(C) हमें $|z| \geq 5$ दिया गया है।
त्रिभुज असमिका का उपयोग करते हुए,$|z + w| \geq ||z| - |w||$ होता है।
अतः,$\left|z + \frac{2}{z}\right| \geq ||z| - \frac{2}{|z|}||$।
माना $f(t) = t - \frac{2}{t}$ जहाँ $t = |z| \geq 5$ है।
चूँकि $f(t)$,$t > 0$ के लिए एक वर्धमान फलन है,इसलिए न्यूनतम मान $t = 5$ पर प्राप्त होगा।
अतः,$\left|z + \frac{2}{z}\right| \geq 5 - \frac{2}{5} = \frac{23}{5}$।
न्यूनतम मान $\frac{23}{5}$ है।

(C) दी गई सम्मिश्र संख्याएँ $z_1 = 1+4i, z_2 = 3+i, z_3 = 1-i, z_4 = 2-3i$ हैं।
सम्मिश्र संख्या $z = a+bi$ का मापांक $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मापांकों की गणना:
$m_1 = |1+4i| = \sqrt{1^2+4^2} = \sqrt{17}$
$m_2 = |3+i| = \sqrt{3^2+1^2} = \sqrt{10}$
$m_3 = |1-i| = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$
$m_4 = |2-3i| = \sqrt{2^2+(-3)^2} = \sqrt{13}$
मानों की तुलना करने पर: $\sqrt{2} < \sqrt{10} < \sqrt{13} < \sqrt{17}$
अतः,$m_3 < m_2 < m_4 < m_1$।

(C) दी गई सम्मिश्र संख्याओं के लिए:
$\alpha_1 = |-i| = 1$
$\alpha_2 = |\frac{1}{3}(1+i)| = \frac{1}{3} \sqrt{1^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{2}}{3} \approx 0.471$
$\alpha_3 = |-1+i| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1.414$
मानों की तुलना करने पर: $\frac{\sqrt{2}}{3} < 1 < \sqrt{2}$.
अतः,बढ़ता हुआ क्रम $\alpha_2 < \alpha_1 < \alpha_3$ है।

(B) दिया गया समीकरण $(1+i)(1+3i)(1+7i) = x+iy$ है।
सबसे पहले,पहली दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणा करने पर: $(1+i)(1+3i) = 1 + 3i + i + 3i^2 = 1 + 4i - 3 = -2 + 4i$।
अब,परिणाम को तीसरी सम्मिश्र संख्या से गुणा करने पर: $(-2+4i)(1+7i) = -2 - 14i + 4i + 28i^2 = -2 - 10i - 28 = -30 - 10i$।
अतः,$x = -30$ और $y = -10$।
आर्गंड समतल में सम्मिश्र संख्या $z = x+iy$ द्वारा निरूपित वृत्त की त्रिज्या $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ द्वारा दी जाती है।
$|z| = \sqrt{(-30)^2 + (-10)^2} = \sqrt{900 + 100} = \sqrt{1000} = 10\sqrt{10}$।

(B) दिया गया समीकरण $(3+4i)^{2025} = 5^{2023}(x+iy)$ है।
दोनों पक्षों का मापांक (modulus) लेने पर,$|(3+4i)^{2025}| = |5^{2023}(x+iy)|$ प्राप्त होता है।
चूँकि $|z^n| = |z|^n$,इसलिए $|3+4i|^{2025} = 5^{2023} \cdot |x+iy|$ होगा।
हम जानते हैं कि $|3+4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,$5^{2025} = 5^{2023} \cdot \sqrt{x^2+y^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $5^{2023}$ से विभाजित करने पर,$\sqrt{x^2+y^2} = \frac{5^{2025}}{5^{2023}} = 5^{2025-2023} = 5^2 = 25$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $(x^2+\frac{1}{x^2})-5(x+\frac{1}{x})+6=0$
मान लीजिए $t = x+\frac{1}{x}$. तब $x^2+\frac{1}{x^2} = t^2-2$.
समीकरण $(t^2-2)-5t+6=0$ हो जाता है,जो $t^2-5t+4=0$ में सरल हो जाता है।
गुणनखंड करने पर $(t-4)(t-1)=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $t=4$ या $t=1$.
स्थिति $1$: $x+\frac{1}{x}=4 \Rightarrow x^2-4x+1=0$. विविक्तकर $D = 16-4 = 12 > 0$,इसलिए मूल वास्तविक हैं।
स्थिति $2$: $x+\frac{1}{x}=1 \Rightarrow x^2-x+1=0$. विविक्तकर $D = 1-4 = -3 < 0$,इसलिए मूल सम्मिश्र हैं।
मूल $x = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ हैं।
मान लीजिए मूल $\alpha = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\beta = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ हैं।
प्रत्येक सम्मिश्र मूल का मापांक $|\alpha| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$ है।
इसी प्रकार,$|\beta| = 1$.
मापांकों का योग $|\alpha| + |\beta| = 1 + 1 = 2$ है।

(A) दिया गया समीकरण $z^2+az+a^2=0$ है,जहाँ $a \in R$ है।
यह $z$ में एक द्विघात समीकरण है। इसके मूल द्विघात सूत्र द्वारा प्राप्त होते हैं:
$z = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4(1)(a^2)}}{2} = \frac{-a \pm \sqrt{-3a^2}}{2} = \frac{-a \pm i a \sqrt{3}}{2}$.
अब,हम $z$ का मापांक ज्ञात करते हैं:
$|z| = \left| \frac{-a}{2} \pm i \frac{a \sqrt{3}}{2} \right|$.
$|z| = \sqrt{\left( \frac{-a}{2} \right)^2 + \left( \frac{a \sqrt{3}}{2} \right)^2}$.
$|z| = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{\frac{4a^2}{4}} = \sqrt{a^2} = |a|$.
अतः,$|z|=|a|$।

(B) दिया गया है $z = (\alpha + i\beta)(2 + 7i) = (2\alpha - 7\beta) + i(7\alpha + 2\beta)$.
चूँकि $z$ शुद्ध काल्पनिक है,वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए:
$2\alpha - 7\beta = 0 \Rightarrow 2\alpha = 7\beta$.
चूँकि $\alpha, \beta$ पूर्णांक हैं,मान लीजिए $\alpha = 7k$ और $\beta = 2k$ जहाँ $k$ एक शून्येतर पूर्णांक है।
अतः $|z|^2 = (\text{Re}(z))^2 + (\text{Im}(z))^2 = 0^2 + (7\alpha + 2\beta)^2$.
$\alpha = 7k$ और $\beta = 2k$ रखने पर:
$|z|^2 = (7(7k) + 2(2k))^2 = (49k + 4k)^2 = (53k)^2 = 2809k^2$.
न्यूनतम शून्येतर मान के लिए,$k = 1$ लेने पर:
$|z|^2 = 2809(1)^2 = 2809$.

(B) दिया गया है $x+iy=\sqrt{\frac{3+i}{1+3i}}$.
दोनों पक्षों का मापांक (modulus) लेने पर,$|x+iy| = \left|\sqrt{\frac{3+i}{1+3i}}\right|$.
$|x+iy| = \sqrt{\left|\frac{3+i}{1+3i}\right|}$.
चूंकि $|z_1/z_2| = |z_1|/|z_2|$,हमें प्राप्त होता है $|x+iy| = \sqrt{\frac{|3+i|}{|1+3i|}} = \sqrt{\frac{\sqrt{3^2+1^2}}{\sqrt{1^2+3^2}}} = \sqrt{\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}} = \sqrt{1} = 1$.
हम जानते हैं कि $|x+iy| = \sqrt{x^2+y^2}$,इसलिए $\sqrt{x^2+y^2} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2+y^2 = 1$.
अतः,$\left(x^2+y^2\right)^2 = 1^2 = 1$.

(B) दिया गया है $Z = \alpha + i \beta$।
चूँकि $|Z| - Z = 1 + 2i$,हमारे पास $\sqrt{\alpha^2 + \beta^2} - (\alpha + i \beta) = 1 + 2i$ है।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$\sqrt{\alpha^2 + \beta^2} - \alpha = 1$ और $-\beta = 2 \Rightarrow \beta = -2$।
$\beta = -2$ को वास्तविक भाग के समीकरण में रखने पर:
$\sqrt{\alpha^2 + (-2)^2} - \alpha = 1
\Rightarrow \sqrt{\alpha^2 + 4} = \alpha + 1$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\alpha^2 + 4 = (\alpha + 1)^2
$ $\Rightarrow \alpha^2 + 4 = \alpha^2 + 2\alpha + 1
$ $\Rightarrow 2\alpha = 3
$ $\Rightarrow \alpha = \frac{3}{2}$।
हमें $Z \bar{Z} = |Z|^2 = \alpha^2 + \beta^2$ ज्ञात करना है।
$Z \bar{Z} = (\frac{3}{2})^2 + (-2)^2 = \frac{9}{4} + 4 = \frac{9 + 16}{4} = \frac{25}{4}$।

(B) दिया गया है कि $a = |\bar{a}|$ और $b = |\bar{b}|$ है। हम जानते हैं कि $z \bar{z} = |z|^2$,इसलिए $\frac{\bar{a}}{a^2} = \frac{\bar{a}}{|a|^2} = \frac{\bar{a}}{a \bar{a}} = \frac{1}{a}$।
इसी प्रकार,$\frac{\bar{b}}{b^2} = \frac{1}{b}$।
अतः,$\left(\frac{\bar{a}}{a^2} - \frac{\bar{b}}{b^2}\right)^2 = \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)^2 = \left(\frac{b-a}{ab}\right)^2 = \left(\frac{a-b}{ab}\right)^2$।

(D) माना $z_1 = \sin x + i \cos 2x$ और $z_2 = \cos x - i \sin 2x$ है।
$z_1$ और $z_2$ के संयुग्मी होने के लिए,$z_1 = \overline{z_2}$ होना चाहिए।
अतः $\sin x + i \cos 2x = \cos x + i \sin 2x$।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$1) \sin x = \cos x \implies \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$।
$2) \cos 2x = \sin 2x \implies \tan 2x = 1 \implies x = \frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{9\pi}{8}, \frac{13\pi}{8}$।
चूंकि $x$ का कोई भी सामान्य मान दोनों समीकरणों को संतुष्ट नहीं करता है,इसलिए समुच्चय रिक्त है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया है $\left|\left(\frac{1}{z_1}+\frac{2}{z_2}\right) \frac{z_3}{z_2}\right| = \left|\frac{1}{z_1}+\frac{2}{z_2}\right| \cdot \frac{|z_3|}{|z_2|}$
मान रखने पर: $\left|\frac{1}{1-2 i}+\frac{2}{1+i}\right| \cdot \frac{|3+4 i|}{|1+i|}$
$= \left|\frac{1+2 i}{1^2+2^2} + \frac{2(1-i)}{1^2+1^2}\right| \cdot \frac{\sqrt{3^2+4^2}}{\sqrt{1^2+1^2}}$
$= \left|\frac{1+2 i}{5} + \frac{2-2 i}{2}\right| \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$
$= \left|\frac{2+4 i + 10-10 i}{10}\right| \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$
$= \left|\frac{12-6 i}{10}\right| \cdot \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{6}{10} |2-i| \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$
$= \frac{3}{5} \sqrt{2^2+(-1)^2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{9 \times 5}{2}} = \sqrt{\frac{45}{2}}$

(D) हमारे पास है,$|z|-z=2+i$.
माना $z=x+iy$. तब $\sqrt{x^2+y^2}-(x+iy)=2+i$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$\sqrt{x^2+y^2}-x=2$ और $-y=1$.
अतः,$y=-1$.
$y=-1$ को पहले समीकरण में रखने पर: $\sqrt{x^2+(-1)^2}-x=2$.
$\sqrt{x^2+1}=x+2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2+1=(x+2)^2 = x^2+4x+4$.
$x$ के लिए हल करने पर: $1=4x+4$ $\Rightarrow 4x=-3$ $\Rightarrow x=-\frac{3}{4}$.
इसलिए,$z=-\frac{3}{4}-i$.
मापांक $|z|=\sqrt{(-\frac{3}{4})^2+(-1)^2} = \sqrt{\frac{9}{16}+1} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.

(B) दिया गया है कि $(x+iy)(1-2i)$ का संयुग्मी $(1+i)$ है।
माना $z = (x+iy)(1-2i)$.
तब $\bar{z} = 1+i$.
चूंकि $\bar{z} = (x-iy)(1+2i)$,इसलिए $(x-iy)(1+2i) = 1+i$.
अतः,$x-iy = \frac{1+i}{1+2i}$.
दोनों पक्षों का संयुग्मी लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\overline{x-iy} = \overline{\left(\frac{1+i}{1+2i}\right)}$.
इस प्रकार,$x+iy = \frac{1-i}{1-2i}$.

(D) दिया गया है,$\left|z-\frac{4}{z}\right|=2$.
त्रिभुज असमिका का उपयोग करते हुए,$|z| = \left|z-\frac{4}{z}+\frac{4}{z}\right| \leq \left|z-\frac{4}{z}\right| + \left|\frac{4}{z}\right|$.
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर,$|z| \leq 2 + \frac{4}{|z|}$.
$|z|$ से गुणा करने पर ($|z| > 0$ होने के कारण),हमें $|z|^2 - 2|z| - 4 \leq 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $|z|^2 - 2|z| - 4 = 0$ को हल करने पर,$|z| = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$.
चूंकि $|z| > 0$,इसलिए $0 < |z| \leq 1 + \sqrt{5}$.
अतः,$|z|$ का अधिकतम मान $1 + \sqrt{5}$ है.