यदि $\bar z$ सम्मिश्र संख्या $z$ का संयुग्मी हो, तो निम्न में से कौन सा सम्बन्ध असत्य है
यदि $\bar z$ सम्मिश्र संख्या $z$ का संयुग्मी हो, तो निम्न में से कौन सा सम्बन्ध असत्य है
- A
$|z|\, = \,|\bar z|$
- B
$z.\,\bar z = |\bar z{|^2}$
- C
$\overline {{z_1} + {z_2}} = \overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} $
- D
$arg\,z = arg\,\bar z$
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माना $\alpha=8-14 i, A=\left\{z \in \mathbb{C}: \frac{\alpha z-\bar{\alpha} \bar{z}}{z^2-(\bar{z})^2-112 i}=1\right\}$ तथा $B=\{z \in \mathbb{C}:|z+3 i|=4\}$ हैं तो $\sum_{\mathrm{z} \in \mathrm{A} \cap \mathrm{B}}(\operatorname{Re} z-\operatorname{Im} z)$ बराबर ___________ है।
माना $\alpha=8-14 i, A=\left\{z \in \mathbb{C}: \frac{\alpha z-\bar{\alpha} \bar{z}}{z^2-(\bar{z})^2-112 i}=1\right\}$ तथा $B=\{z \in \mathbb{C}:|z+3 i|=4\}$ हैं तो $\sum_{\mathrm{z} \in \mathrm{A} \cap \mathrm{B}}(\operatorname{Re} z-\operatorname{Im} z)$ बराबर ___________ है।
- [JEE MAIN 2023]
माना कि $\bar{z}$ एक सम्मिश्र संख्या (complex number) $z$ के सम्मिश्र संयुग्मी (complex conjugate) को निरूपित करता है एवं $i=\sqrt{-1}$ है। सम्मिश्र संख्याओं के सम्मुचय (set of complex numbers) में, समीकरण $\bar{z}-z^2=i\left(\bar{z}+z^2\right)$ के भिन्न मूलों (distinct roots) की संख्या. . . . . .है।
माना कि $\bar{z}$ एक सम्मिश्र संख्या (complex number) $z$ के सम्मिश्र संयुग्मी (complex conjugate) को निरूपित करता है एवं $i=\sqrt{-1}$ है। सम्मिश्र संख्याओं के सम्मुचय (set of complex numbers) में, समीकरण $\bar{z}-z^2=i\left(\bar{z}+z^2\right)$ के भिन्न मूलों (distinct roots) की संख्या. . . . . .है।
- [IIT 2022]
यदि ${z_1},{z_2} \in C$, तो कोणांक $\left( {\frac{{{{\rm{z}}_{\rm{1}}}}}{{{{{\rm{\bar z}}}_{\rm{2}}}}}} \right) = $
यदि ${z_1},{z_2} \in C$, तो कोणांक $\left( {\frac{{{{\rm{z}}_{\rm{1}}}}}{{{{{\rm{\bar z}}}_{\rm{2}}}}}} \right) = $
मानाकि $z_k=\cos \left(\frac{2 k \pi}{10}\right)+ i \sin \left(\frac{2 k \pi}{10}\right) ; k=1,2, \ldots 9$
List $I$
List $II$
$P.$ प्रत्येक $z _{ k }$ के लिए एक ऐसा $z _{ j }$ है जिसके लिये $z _{ k } \cdot z _{ j }=1$
$1.$ सत्य
$Q.$ $\{1,2, \ldots, 9\}$ में एक ऐसा $k$ है कि $z _1 . z = z _{ k }$ का कोई हल $z$ सम्मिश्र संख्याओं (complex numbers) में नहीं है
$2.$ असत्य
$R.$ $\frac{\left|1-z_1\right|\left|1-z_2\right| \ldots . . .\left|1-z_9\right|}{10}$ का मान है-
$3.$ $1$
$S.$ $1-\sum_{ k =1}^9 \cos \left(\frac{2 k \pi}{10}\right)$ का मान है-
$4.$ $2$
Codes: $ \quad P \quad Q \quad R \quad S$
मानाकि $z_k=\cos \left(\frac{2 k \pi}{10}\right)+ i \sin \left(\frac{2 k \pi}{10}\right) ; k=1,2, \ldots 9$
| List $I$ | List $II$ |
| $P.$ प्रत्येक $z _{ k }$ के लिए एक ऐसा $z _{ j }$ है जिसके लिये $z _{ k } \cdot z _{ j }=1$ | $1.$ सत्य |
| $Q.$ $\{1,2, \ldots, 9\}$ में एक ऐसा $k$ है कि $z _1 . z = z _{ k }$ का कोई हल $z$ सम्मिश्र संख्याओं (complex numbers) में नहीं है | $2.$ असत्य |
| $R.$ $\frac{\left|1-z_1\right|\left|1-z_2\right| \ldots . . .\left|1-z_9\right|}{10}$ का मान है- | $3.$ $1$ |
| $S.$ $1-\sum_{ k =1}^9 \cos \left(\frac{2 k \pi}{10}\right)$ का मान है- | $4.$ $2$ |
Codes: $ \quad P \quad Q \quad R \quad S$
- [IIT 2014]
माना $A=\left\{\theta \in(0,2 \pi): \frac{1+2 i \sin \theta}{1-i \sin \theta}\right.$ मात्र काल्पनिक $\}$ तो $\mathrm{A}$ में अवयवों का योग है
माना $A=\left\{\theta \in(0,2 \pi): \frac{1+2 i \sin \theta}{1-i \sin \theta}\right.$ मात्र काल्पनिक $\}$ तो $\mathrm{A}$ में अवयवों का योग है
- [JEE MAIN 2023]