Conjugate and Modulus of complex numbers Questions in Hindi

(C) निरपेक्ष मानों के लिए त्रिभुज असमिका के अनुसार,हमारे पास गुण है: $||x| - |y|| \leq |x - y| \leq |x| + |y|$.
विशेष रूप से,$|x - y| = ||x| - |y||$ सभी वास्तविक $x$ और $y$ के लिए हमेशा सत्य नहीं है।
हालाँकि,निरपेक्ष मानों के मानक गुणों की जाँच करने पर:
$1$. $|x + y| \leq |x| + |y|$
$2$. $|x - y| \geq ||x| - |y||$
दिए गए विकल्पों को देखने पर,कोई भी समानता सभी वास्तविक $x$ और $y$ के लिए सार्वभौमिक रूप से सत्य नहीं है।

(D) दिया गया समीकरण $(\sqrt{8} + i)^{50} = 3^{49}(a + ib)$ है।
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,$|(\sqrt{8} + i)^{50}| = |3^{49}(a + ib)|$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|z^n| = |z|^n$ का उपयोग करने पर,$|\sqrt{8} + i|^{50} = 3^{49} |a + ib|$ प्राप्त होता है।
$\sqrt{8} + i$ का मापांक $\sqrt{(\sqrt{8})^2 + 1^2} = \sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} = 3$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,$3^{50} = 3^{49} \sqrt{a^2 + b^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $3^{49}$ से विभाजित करने पर,$3 = \sqrt{a^2 + b^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 + b^2 = 3^2 = 9$ प्राप्त होता है।

(C) माना सम्मिश्र संख्या $z = x + iy$ है। इसका संयुग्मी $\bar{z} = x - iy$ है।
दिया गया है कि $\bar{z} = \frac{1}{i - 1} = \frac{1}{-1 + i}$.
$z$ ज्ञात करने के लिए,हम $\bar{z}$ का संयुग्मी लेंगे:
$z = \overline{\left(\frac{1}{-1 + i}\right)} = \frac{1}{-1 - i}$.
अंश और हर को $-1$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$z = \frac{-1}{1 + i} = -\frac{1}{i + 1}$.

(C) माना $z = \frac{\beta - \alpha}{1 - \overline{\alpha}\beta}$.
हम $|z|^2 = z \cdot \overline{z} = \left( \frac{\beta - \alpha}{1 - \overline{\alpha}\beta} \right) \left( \frac{\overline{\beta} - \overline{\alpha}}{1 - \alpha\overline{\beta}} \right)$ की गणना करते हैं।
अंश का विस्तार करने पर: $(\beta - \alpha)(\overline{\beta} - \overline{\alpha}) = |\beta|^2 - \beta\overline{\alpha} - \alpha\overline{\beta} + |\alpha|^2$.
हर का विस्तार करने पर: $(1 - \overline{\alpha}\beta)(1 - \alpha\overline{\beta}) = 1 - \alpha\overline{\beta} - \overline{\alpha}\beta + |\alpha|^2|\beta|^2$.
चूँकि $|\beta| = 1$,इसलिए $|\beta|^2 = 1$ है।
मान रखने पर,अंश और हर समान हैं,इसलिए $|z|^2 = 1$,जिसका अर्थ है $|z| = 1$।

(D) त्रिभुज असमिका के अनुसार,$|\lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + ... + \lambda_n a_n| \le |\lambda_1 a_1| + |\lambda_2 a_2| + ... + |\lambda_n a_n|$ होता है।
चूंकि $\lambda_k \ge 0$,यह $\lambda_1 |a_1| + \lambda_2 |a_2| + ... + \lambda_n |a_n|$ के बराबर है।
प्रत्येक $k$ के लिए $|a_k| < 1$ दिया गया है,इसलिए $\lambda_k |a_k| < \lambda_k$ होता है।
इन असमिकाओं को जोड़ने पर,$\sum_{k=1}^n \lambda_k |a_k| < \sum_{k=1}^n \lambda_k$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sum_{k=1}^n \lambda_k = 1$,इसलिए $|\lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + ... + \lambda_n a_n| < 1$ सिद्ध होता है।

(A) चूंकि बहुपद ${x^3} - 5{x^2} + 9x - 5 = 0$ के गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं।
दिया गया एक मूल $z_1 = 2 + i$ है,इसलिए दूसरा मूल $z_2 = 2 - i$ होगा।
मान लीजिए कि तीसरा मूल $\alpha$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का योग ${x^2}$ के गुणांक और ${x^3}$ के गुणांक के अनुपात का ऋणात्मक होता है।
मूलों का योग $= z_1 + z_2 + \alpha = -(-5)/1 = 5$.
ज्ञात मूलों को प्रतिस्थापित करने पर: $(2 + i) + (2 - i) + \alpha = 5$.
$4 + \alpha = 5 \Rightarrow \alpha = 1$.
अतः,अन्य मूल $1$ और $2 - i$ हैं।

(A) दिया गया है $|z| \geqslant 2$।
हमें $|z + \frac{1}{2}|$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है।
त्रिभुज असमिका के अनुसार,$|z + w| \geqslant ||z| - |w||$ होता है।
यहाँ,$|z + \frac{1}{2}| \geqslant ||z| - |-\frac{1}{2}|| = ||z| - \frac{1}{2}|$।
चूँकि $|z| \geqslant 2$,इसलिए $|z| - \frac{1}{2}$ का मान कम से कम $2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ होगा।
अतः,$|z + \frac{1}{2}| \geqslant \frac{3}{2}$।
न्यूनतम मान $\frac{3}{2}$ है जो $z = -2$ पर प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $|z - \frac{6}{z}| = 5$.
त्रिभुज असमिका गुणधर्म $||z_1| - |z_2|| \leq |z_1 - z_2|$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $|z| - |\frac{6}{z}| \leq |z - \frac{6}{z}|$.
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर: $|z| - \frac{6}{|z|} \leq 5$.
मान लीजिए $|z| = r$,जहाँ $r > 0$. तब $r - \frac{6}{r} \leq 5$.
$r$ से गुणा करने पर (चूंकि $r > 0$): $r^2 - 6 \leq 5r \Rightarrow r^2 - 5r - 6 \leq 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(r - 6)(r + 1) \leq 0$.
चूंकि $r > 0$,इसलिए $r \leq 6$ होना चाहिए।
अतः,$|z|$ का अधिकतम मान $6$ है।

(A) माना $|z| = r$ है। दिया गया है $\left| z - \frac{25}{z} \right| = 24$.
त्रिभुज असमिका गुण $||z_1| - |z_2|| \leq |z_1 - z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ का उपयोग करने पर:
$|z| - \frac{25}{|z|} \leq \left| z - \frac{25}{z} \right| \leq |z| + \frac{25}{|z|}$.
असमिका के दाईं ओर से: $24 \leq r + \frac{25}{r} \implies r^2 - 24r + 25 \geq 0$.
असमिका के बाईं ओर से: $r - \frac{25}{r} \leq 24 \implies r^2 - 24r - 25 \leq 0$.
$r^2 - 24r - 25 = 0$ को हल करने पर,हमें $(r - 25)(r + 1) = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $r > 0$,इसलिए $r \leq 25$.
अतः,$|z|$ का अधिकतम मान $25$ है।

(C) दी गई असमिका: $\log_{\tan 30^{\circ}} \left( \frac{2|z|^2 + 2|z| - 3}{|z| + 1} \right) < -2$.
चूंकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,आधार $0 < \frac{1}{\sqrt{3}} < 1$ है।
जब लघुगणक का आधार $0$ और $1$ के बीच होता है,तो लघुगणक को हटाते समय असमिका का चिह्न बदल जाता है:
$\frac{2|z|^2 + 2|z| - 3}{|z| + 1} > (\frac{1}{\sqrt{3}})^{-2}$.
$\frac{2|z|^2 + 2|z| - 3}{|z| + 1} > 3$.
$2|z|^2 + 2|z| - 3 > 3(|z| + 1)$.
$2|z|^2 + 2|z| - 3 > 3|z| + 3$.
$2|z|^2 - |z| - 6 > 0$.
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $(2|z| + 3)(|z| - 2) > 0$.
चूंकि $|z| \geq 0$,$2|z| + 3$ हमेशा धनात्मक है।
इसलिए,$|z| - 2 > 0$,जिसका अर्थ है $|z| > 2$.

(B) दो सम्मिश्र संख्याएँ $z_1 = a + ib$ और $z_2 = c + id$ संयुग्मी होती हैं यदि $z_1 = \overline{z_2}$ हो।
दिया गया है $(x - 2y) + i(3x - y) = \overline{(2x - y) + i(x - y + 6)}$।
इसका अर्थ है $(x - 2y) + i(3x - y) = (2x - y) - i(x - y + 6)$।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
वास्तविक भाग: $x - 2y = 2x - y \Rightarrow x + y = 0$।
काल्पनिक भाग: $3x - y = -(x - y + 6)$ $\Rightarrow 3x - y = -x + y - 6$ $\Rightarrow 4x - 2y = -6$ $\Rightarrow 2x - y = -3$।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(x + y) + (2x - y) = 0 - 3$ $\Rightarrow 3x = -3$ $\Rightarrow x = -1$।
$x = -1$ को $x + y = 0$ में रखने पर,$y = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$|x + iy| = |-1 + i| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$।

(B) माना $z = x + iy$.
दिया गया समीकरण: $|z| + z - 3\bar{z} = 0$.
$z = x + iy$ और $\bar{z} = x - iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sqrt{x^2 + y^2} + (x + iy) - 3(x - iy) = 0$.
$\sqrt{x^2 + y^2} - 2x + 4iy = 0$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों को शून्य के बराबर रखने पर:
काल्पनिक भाग: $4y = 0 \implies y = 0$.
वास्तविक भाग: $\sqrt{x^2} - 2x = 0 \implies |x| = 2x$.
यदि $x \ge 0$ है,तो $x = 2x \implies x = 0$.
यदि $x < 0$ है,तो $-x = 2x \implies 3x = 0$,जो $x < 0$ के साथ विरोधाभास है।
अतः,केवल एक ही हल $z = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना $z = \frac{1 + i \cos \theta}{1 - 2i \cos \theta}$.
$z$ को एक वास्तविक संख्या बनाने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी $1 + 2i \cos \theta$ से गुणा करते हैं:
$z = \frac{(1 + i \cos \theta)(1 + 2i \cos \theta)}{(1 - 2i \cos \theta)(1 + 2i \cos \theta)}$
$z = \frac{1 + 2i \cos \theta + i \cos \theta + 2i^2 \cos^2 \theta}{1 + 4 \cos^2 \theta}$
चूंकि $i^2 = -1$,हमारे पास है:
$z = \frac{1 - 2 \cos^2 \theta + 3i \cos \theta}{1 + 4 \cos^2 \theta}$
$z$ के वास्तविक होने के लिए,काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए:
$\frac{3 \cos \theta}{1 + 4 \cos^2 \theta} = 0$
इसका अर्थ है $\cos \theta = 0$.
$\cos \theta = 0$ के लिए व्यापक हल $\theta = (2n + 1)\frac{\pi}{2}$ है,जहाँ $n \in I$.
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(D) दिया है,$z_1 = 1+2i$,$z_2 = 3+5i$,और $\bar{z}_2 = 3-5i$.
अंश की गणना करने पर: $\bar{z}_2 z_1 = (3-5i)(1+2i) = 3 + 6i - 5i - 10i^2 = 3 + i + 10 = 13+i$.
अब,व्यंजक की गणना करने पर: $\frac{\bar{z}_2 z_1}{z_2} = \frac{13+i}{3+5i}$.
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(3-5i)$ से गुणा करने पर:
$\frac{13+i}{3+5i} \times \frac{3-5i}{3-5i} = \frac{39 - 65i + 3i - 5i^2}{3^2 + 5^2} = \frac{39 - 62i + 5}{9 + 25} = \frac{44 - 62i}{34}$.
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{44}{34} - \frac{62}{34}i = \frac{22}{17} - \frac{31}{17}i$.
अतः,$\text{Re} \left( \frac{\bar{z}_2 z_1}{z_2} \right) = \frac{22}{17}$.

(B) कथन $1$ घटाव के लिए त्रिभुज असमिका है,जो बताती है कि $|Z_1 - Z_2| \ge ||Z_1| - |Z_2||$,और चूंकि $||Z_1| - |Z_2|| \ge |Z_1| - |Z_2|$,इसलिए कथन $1$ सत्य है।
कथन $2$ योग के लिए मानक त्रिभुज असमिका है,जो सम्मिश्र संख्याओं के मापांक का एक मूलभूत गुण है और यह भी सत्य है।
हालाँकि,कथन $2$ कथन $1$ की व्याख्या नहीं करता है क्योंकि ये दोनों सम्मिश्र संख्याओं के मापांक के स्वतंत्र गुण हैं।

(B) सम्मिश्र संख्या के मापांक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए: $\left| z \right|^2 = z \bar{z}$.
पदों का विस्तार करने पर:
${\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} = \left| {{z_1}} \right|^2 + \left| {{z_2}} \right|^2 + z_1\bar{z_2} + z_2\bar{z_1}$.
इसी प्रकार:
${\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = \left| {{z_1}} \right|^2 + \left| {{z_2}} \right|^2 - z_1\bar{z_2} - z_2\bar{z_1}$.
इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
${\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = 2\left| {{z_1}} \right|^2 + 2\left| {{z_2}} \right|^2 = 2(\left| {{z_1}} \right|^2 + \left| {{z_2}} \right|^2)$.

(B) माना $z = x + iy$ है।
दिया गया है $|z| + z = 3 + i$।
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर,$\sqrt{x^2 + y^2} + x + iy = 3 + i$ प्राप्त होता है।
काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,$y = 1$ प्राप्त होता है।
वास्तविक भागों की तुलना करने पर,$\sqrt{x^2 + 1} + x = 3$ प्राप्त होता है।
$\sqrt{x^2 + 1} = 3 - x$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 + 1 = (3 - x)^2 = 9 - 6x + x^2$।
$1 = 9 - 6x$,जिसका अर्थ है $6x = 8$,अतः $x = \frac{4}{3}$।
अब,$|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(\frac{4}{3})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + 1} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}$।

(B) दिया गया है $z = \frac{(1 + i)^2}{a - i} = \frac{2i}{a - i}$.
अंश और हर को संयुग्मी $(a + i)$ से गुणा करने पर,$z = \frac{2i(a + i)}{a^2 + 1} = \frac{-2 + 2ai}{a^2 + 1}$ प्राप्त होता है।
परिमाण $|z| = \frac{|2i|}{|a - i|} = \frac{2}{\sqrt{a^2 + 1}}$ है।
चूंकि $|z| = \sqrt{\frac{2}{5}}$,इसलिए $\frac{2}{\sqrt{a^2 + 1}} = \sqrt{\frac{2}{5}} \implies \frac{4}{a^2 + 1} = \frac{2}{5} \implies a^2 + 1 = 10 \implies a^2 = 9$.
चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = 3$ है।
$a = 3$ को $z$ में रखने पर,$z = \frac{2i(3 + i)}{3^2 + 1} = \frac{6i - 2}{10} = -\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i$.
अतः संयुग्मी $\bar{z} = -\frac{1}{5} - \frac{3}{5}i$ है।

(A) माना $z = 2-3i$ है।
$z$ का गुणात्मक प्रतिलोम $z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{1}{2-3i}$ द्वारा दिया जाता है।
सरल बनाने के लिए,अंश और हर को $z$ के संयुग्मी $2+3i$ से गुणा करें:
$z^{-1} = \frac{1(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}$
सर्वसमिका $(a-bi)(a+bi) = a^2+b^2$ का उपयोग करते हुए:
$z^{-1} = \frac{2+3i}{2^2 + (-3)^2} = \frac{2+3i}{4+9} = \frac{2+3i}{13}$
अतः,$z^{-1} = \frac{2}{13} + \frac{3}{13}i$।

(A) माना $z = 4 - 3i$ है।
$z$ का गुणात्मक प्रतिलोम $z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{1}{4 - 3i}$ द्वारा दिया जाता है।
सरल बनाने के लिए,अंश और हर को संयुग्मी $(4 + 3i)$ से गुणा करें:
$z^{-1} = \frac{1(4 + 3i)}{(4 - 3i)(4 + 3i)}$.
सर्वसमिका $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करते हुए:
$z^{-1} = \frac{4 + 3i}{4^2 - (3i)^2} = \frac{4 + 3i}{16 - 9i^2}$.
चूंकि $i^2 = -1$ है:
$z^{-1} = \frac{4 + 3i}{16 + 9} = \frac{4 + 3i}{25}$.
अतः,$z^{-1} = \frac{4}{25} + \frac{3}{25}i$।

(A) माना $z = \sqrt{5} + 3i$ है।
$z$ का गुणात्मक प्रतिलोम $z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{1}{\sqrt{5} + 3i}$ है।
सरल करने के लिए,अंश और हर को संयुग्मी $\sqrt{5} - 3i$ से गुणा करें:
$z^{-1} = \frac{\sqrt{5} - 3i}{(\sqrt{5} + 3i)(\sqrt{5} - 3i)}$.
सर्वसमिका $(a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2$ का उपयोग करने पर:
$z^{-1} = \frac{\sqrt{5} - 3i}{(\sqrt{5})^2 + 3^2} = \frac{\sqrt{5} - 3i}{5 + 9} = \frac{\sqrt{5} - 3i}{14}$.
अतः,$z^{-1} = \frac{\sqrt{5}}{14} - \frac{3i}{14}$.

(A) माना $z = \frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$.
अंश को सरल करने पर: $(3-2 i)(2+3 i) = 6 + 9i - 4i - 6i^2 = 12 + 5i$.
हर को सरल करने पर: $(1+2 i)(2-i) = 2 - i + 4i - 2i^2 = 4 + 3i$.
अतः,$z = \frac{12+5i}{4+3i}$.
सरल करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(4-3i)$ से गुणा करें:
$z = \frac{(12+5i)(4-3i)}{(4+3i)(4-3i)} = \frac{48 - 36i + 20i + 15}{16 + 9} = \frac{63 - 16i}{25} = \frac{63}{25} - \frac{16}{25}i$.
$z = a + bi$ का संयुग्मी $\bar{z} = a - bi$ होता है।
इसलिए,$\frac{63}{25} - \frac{16}{25}i$ का संयुग्मी $\frac{63}{25} + \frac{16}{25}i$ है।

(A) माना $z = \frac{1}{1+i}$ है।
अंश और हर को संयुग्मी $(1-i)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{1(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-i}{1^2 - i^2} = \frac{1-i}{1+1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$.
यहाँ,वास्तविक भाग $x = \frac{1}{2}$ और काल्पनिक भाग $y = -\frac{1}{2}$ है।
मापांक $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
कोणांक $\theta$ के लिए,चूंकि $x > 0$ और $y < 0$ है,सम्मिश्र संख्या चौथे चतुर्थांश में स्थित है।
$\tan \theta = |\frac{y}{x}| = |\frac{-1/2}{1/2}| = |-1| = 1$.
चूंकि $\theta$ चौथे चतुर्थांश में है,$\theta = -\tan^{-1}(1) = -\frac{\pi}{4}$।
अतः,मापांक $\frac{1}{\sqrt{2}}$ और कोणांक $-\frac{\pi}{4}$ है।

(N/A) दिया गया है कि $x+iy = \frac{a+ib}{a-ib}$.
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $|x+iy| = \left|\frac{a+ib}{a-ib}\right|$.
चूंकि $|z_1/z_2| = |z_1|/|z_2|$,इसलिए $\sqrt{x^2+y^2} = \frac{|a+ib|}{|a-ib|}$.
हम जानते हैं कि $|a+ib| = \sqrt{a^2+b^2}$ और $|a-ib| = \sqrt{a^2+(-b)^2} = \sqrt{a^2+b^2}$.
अतः,$\sqrt{x^2+y^2} = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2}} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $x^2+y^2 = 1^2 = 1$.

(N/A) दिया गया है $x-iy = \sqrt{\frac{a-ib}{c-id}}$.
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,$|x-iy| = \left|\sqrt{\frac{a-ib}{c-id}}\right|$.
हम जानते हैं कि $|z_1/z_2| = |z_1|/|z_2|$ और $|\sqrt{z}| = \sqrt{|z|}$,इसलिए $|x-iy| = \sqrt{\frac{|a-ib|}{|c-id|}}$.
हम जानते हैं कि $|x-iy| = \sqrt{x^2+y^2}$,$|a-ib| = \sqrt{a^2+b^2}$,और $|c-id| = \sqrt{c^2+d^2}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{c^2+d^2}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2+y^2 = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}}$.
पुनः वर्ग करने पर,$(x^2+y^2)^2 = \frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}$.
अतः सिद्ध हुआ।

(B) दिया गया है $z_{1} = 2 - i$ और $z_{2} = 1 + i$।
सबसे पहले,अंश की गणना करें: $z_{1} + z_{2} + 1 = (2 - i) + (1 + i) + 1 = 4$।
इसके बाद,हर की गणना करें: $z_{1} - z_{2} + 1 = (2 - i) - (1 + i) + 1 = 2 - i - 1 - i + 1 = 2 - 2i$।
अब,इन मानों को व्यंजक में रखें: $\left| \frac{4}{2 - 2i} \right| = \left| \frac{4}{2(1 - i)} \right| = \left| \frac{2}{1 - i} \right|$।
सरल बनाने के लिए,अंश और हर को संयुग्मी $(1 + i)$ से गुणा करें: $\left| \frac{2(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} \right| = \left| \frac{2(1 + i)}{1^2 - i^2} \right|$।
चूंकि $i^2 = -1$,इसलिए $\left| \frac{2(1 + i)}{1 + 1} \right| = \left| \frac{2(1 + i)}{2} \right| = |1 + i|$।
मापांक $|1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ है।

(A) दिया गया है $z_{1} = 2 - i$ और $z_{2} = -2 + i$।
सबसे पहले, गुणनफल $z_{1} z_{2} = (2 - i)(-2 + i) = -4 + 2i + 2i - i^{2} = -4 + 4i - (-1) = -3 + 4i$ ज्ञात करें।
संयुग्मी $\bar{z}_{1} = 2 + i$ है।
अब, व्यंजक $\frac{z_{1} z_{2}}{\bar{z}_{1}} = \frac{-3 + 4i}{2 + i}$ पर विचार करें।
सरल बनाने के लिए, अंश और हर को हर के संयुग्मी $(2 - i)$ से गुणा करें:
$\frac{(-3 + 4i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{-6 + 3i + 8i - 4i^{2}}{2^{2} + 1^{2}} = \frac{-6 + 11i - 4(-1)}{4 + 1} = \frac{-6 + 11i + 4}{5} = \frac{-2 + 11i}{5} = \frac{-2}{5} + \frac{11}{5}i$।
वास्तविक भाग की तुलना करने पर, हमें $\operatorname{Re}\left(\frac{z_{1} z_{2}}{\bar{z}_{1}}\right) = \frac{-2}{5}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $z_{1} = 2 - i$।
तब संयुग्मी $\bar{z}_{1} = 2 + i$ है।
हम जानते हैं कि $z_{1} \bar{z}_{1} = |z_{1}|^2 = (2)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$।
इसलिए,$\frac{1}{z_{1} \bar{z}_{1}} = \frac{1}{5}$।
चूंकि $\frac{1}{5}$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए इसका काल्पनिक भाग $0$ है।
अतः,$\operatorname{Im}\left(\frac{1}{z_{1} \bar{z}_{1}}\right) = 0$।

(N/A) माना $z = \frac{1+2i}{1-3i}$.
सरल करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $1+3i$ से गुणा करें:
$z = \frac{1+2i}{1-3i} \times \frac{1+3i}{1+3i} = \frac{1 + 3i + 2i + 6i^2}{1^2 + 3^2} = \frac{1 + 5i - 6}{1 + 9} = \frac{-5 + 5i}{10} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$.
माना $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$.
तब $r = |z| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
कोणांक $\theta$ के लिए,$\cos \theta = \frac{-1/2}{1/\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \theta = \frac{1/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूंकि $\cos \theta < 0$ और $\sin \theta > 0$,$\theta$ द्वितीय $(II)$ चतुर्थांश में स्थित है।
अतः,$\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
मापांक $\frac{1}{\sqrt{2}}$ है और कोणांक $\frac{3\pi}{4}$ है।

(A) माना $z = (x-iy)(3+5i)$.
$z = 3x + 5xi - 3yi - 5yi^2 = 3x + 5xi - 3yi + 5y = (3x+5y) + i(5x-3y)$.
अतः,संयुग्मी $\bar{z} = (3x+5y) - i(5x-3y)$.
दिया गया है कि $\bar{z} = -6 - 24i$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$3x + 5y = -6$ $(i)$
$5x - 3y = 24$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ को $3$ से और $(ii)$ को $5$ से गुणा करने पर:
$9x + 15y = -18$
$25x - 15y = 120$
दोनों को जोड़ने पर: $34x = 102$,अतः $x = 3$.
$x=3$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर: $3(3) + 5y = -6$ $\Rightarrow 9 + 5y = -6$ $\Rightarrow 5y = -15$ $\Rightarrow y = -3$.
अतः,$x=3$ और $y=-3$ है।

(C) माना $z = \frac{1+i}{1-i}-\frac{1-i}{1+i}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$z = \frac{(1+i)^2 - (1-i)^2}{(1-i)(1+i)}$
सर्वसमिका $(1+i)^2 = 2i$ और $(1-i)^2 = -2i$ का उपयोग करने पर:
$z = \frac{2i - (-2i)}{1 - (-1)} = \frac{4i}{2} = 2i$.
मापांक $|z| = |2i| = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$ है।

(B) माना $z = \frac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha} \beta}.$ हमें $|z|$ ज्ञात करना है।
$|z|^2 = z \cdot \bar{z} = \left( \frac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha} \beta} \right) \left( \frac{\bar{\beta}-\bar{\alpha}}{1-\alpha \bar{\beta}} \right)$ लीजिए।
चूँकि $|\beta|=1,$ हमारे पास $\beta \bar{\beta} = |\beta|^2 = 1$ है,इसलिए $\bar{\beta} = \frac{1}{\beta}.$
इसका मान रखने पर,$|z|^2 = \frac{\beta \bar{\beta} - \beta \bar{\alpha} - \alpha \bar{\beta} + \alpha \bar{\alpha}}{1 - \alpha \bar{\beta} - \bar{\alpha} \beta + \alpha \bar{\alpha} \beta \bar{\beta}}.$
$\beta \bar{\beta} = 1$ का उपयोग करने पर,अंश $1 - \beta \bar{\alpha} - \alpha \bar{\beta} + |\alpha|^2$ हो जाता है।
हर $1 - \alpha \bar{\beta} - \bar{\alpha} \beta + |\alpha|^2 (1) = 1 - \alpha \bar{\beta} - \bar{\alpha} \beta + |\alpha|^2$ हो जाता है।
चूँकि अंश और हर समान हैं,$|z|^2 = 1,$ जिसका अर्थ है कि $|z| = 1.$

(A) दिया गया समीकरण: $|1-i|^{x} = 2^{x}$
मापांक की गणना: $|1-i| = \sqrt{1^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{2}$
समीकरण में मान रखने पर: $(\sqrt{2})^{x} = 2^{x}$
$\sqrt{2}$ को $2^{1/2}$ के रूप में लिखने पर: $(2^{1/2})^{x} = 2^{x}$
घातांकों को सरल करने पर: $2^{x/2} = 2^{x}$
घातांकों की तुलना करने पर: $\frac{x}{2} = x$
$2$ से गुणा करने पर: $x = 2x$
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2x - x = 0 \Rightarrow x = 0$
एकमात्र पूर्णांक हल $x = 0$ है।
चूंकि $0$ एक शून्येतर पूर्णांक नहीं है,इसलिए शून्येतर पूर्णांक हलों की संख्या $0$ है।

(N/A) दिया है: $(a+ib)(c+id)(e+if)(g+ih)=A+iB$
दोनों पक्षों का मापांक (modulus) लेने पर:
$|(a+ib)(c+id)(e+if)(g+ih)| = |A+iB|$
गुणधर्म $|z_{1}z_{2}z_{3}z_{4}| = |z_{1}||z_{2}||z_{3}||z_{4}|$ का उपयोग करने पर:
$|a+ib| \times |c+id| \times |e+if| \times |g+ih| = |A+iB|$
चूंकि $|x+iy| = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$,इसलिए:
$\sqrt{a^{2}+b^{2}} \times \sqrt{c^{2}+d^{2}} \times \sqrt{e^{2}+f^{2}} \times \sqrt{g^{2}+h^{2}} = \sqrt{A^{2}+B^{2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})(e^{2}+f^{2})(g^{2}+h^{2}) = A^{2}+B^{2}$
इति सिद्धम्।

(D) माना $|z| = r$ है। त्रिभुज असमिका का उपयोग करने पर,$||z| - |1/z|| \leq |z - 1/z| \leq |z| + |1/z|$.
दिया गया है $|z - 1/z| = 2$,इसलिए $|r - 1/r| \leq 2 \leq r + 1/r$.
असमिका $|r - 1/r| \leq 2$ को लेने पर,$-2 \leq r - 1/r \leq 2$.
चूँकि $r > 0$,हम $r - 1/r \leq 2$ पर विचार करते हैं,जिससे $r^2 - 2r - 1 \leq 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $r^2 - 2r - 1 = 0$ को हल करने पर,$r = 1 \pm \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $r = |z| > 0$,$r$ का परिसर $0 < r \leq 1 + \sqrt{2}$ है।
अतः,$|z|$ का अधिकतम मान $1 + \sqrt{2}$ है।

(C) हमें $|\alpha| < 1$ के साथ $w = \frac{z-\alpha}{1-\bar{\alpha}z}$ दिया गया है।
$|z| < 1$ स्थिति पर विचार करें।
हम $|w|^2 = w\bar{w}$ का मान जाँचते हैं।
$|w|^2 = \frac{|z|^2 - z\bar{\alpha} - \bar{z}\alpha + |\alpha|^2}{1 - \bar{z}\alpha - z\bar{\alpha} + |\alpha|^2|z|^2}$.
$|w|^2 - 1 = \frac{-(1 - |z|^2)(1 - |\alpha|^2)}{|1 - \bar{\alpha}z|^2}$.
चूँकि $|z| < 1$ और $|\alpha| < 1$,इसलिए $(1 - |z|^2) > 0$ और $(1 - |\alpha|^2) > 0$ है।
अतः,$|w|^2 - 1 < 0$,जो दर्शाता है कि सभी $|z| < 1$ के लिए $|w| < 1$ है।

(B) दिया गया है $z = \frac{1}{2} - 2i$।
समीकरण $|z+1| = \alpha z + \beta(1+i)$ में $z$ का मान रखने पर:
$|(\frac{1}{2} - 2i) + 1| = \alpha(\frac{1}{2} - 2i) + \beta(1+i)$
$|\frac{3}{2} - 2i| = (\frac{\alpha}{2} + \beta) + (\beta - 2\alpha)i$
बाएँ पक्ष का मापांक ज्ञात करने पर:
$|\frac{3}{2} - 2i| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-2)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
काल्पनिक भाग: $\beta - 2\alpha = 0 \implies \beta = 2\alpha$
वास्तविक भाग: $\frac{\alpha}{2} + \beta = \frac{5}{2}$
$\beta = 2\alpha$ को वास्तविक भाग के समीकरण में रखने पर:
$\frac{\alpha}{2} + 2\alpha = \frac{5}{2}$
$\frac{5\alpha}{2} = \frac{5}{2} \implies \alpha = 1$
अतः $\beta = 2(1) = 2$।
इसलिए,$\alpha + \beta = 1 + 2 = 3$।

(B) दिए गए समीकरण $z^2 + i\bar{z} = 0$ से,$z^2 = -i\bar{z}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,$|z^2| = |-i\bar{z}|$।
चूंकि $|-i| = 1$ और $|\bar{z}| = |z|$,यह $|z|^2 = |z|$ में सरल हो जाता है।
अतः $|z|^2 - |z| = 0$,यानी $|z|(|z| - 1) = 0$।
चूंकि $xy \neq 0$,इसलिए $z \neq 0$,अतः $|z| \neq 0$। इस प्रकार,$|z| = 1$।
इसलिए,$|z^2| = |z|^2 = 1^2 = 1$।

(C) माना $z = 6+8i$ है। हमें $\sqrt{z}$ का मापांक ज्ञात करना है।
सम्मिश्र संख्याओं के मापांक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$|\sqrt{z}| = \sqrt{|z|}$ होता है।
सबसे पहले,$z = 6+8i$ का मापांक ज्ञात करें:
$|z| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
अतः,वर्गमूल का मापांक $\sqrt{|z|} = \sqrt{10}$ है।

(B) दिया गया है $z = \frac{(1+i)^2}{a+i} = \frac{1+i^2+2i}{a+i} = \frac{2i}{a+i}$.
मापांक $|z| = \left| \frac{2i}{a+i} \right| = \frac{|2i|}{|a+i|} = \frac{2}{\sqrt{a^2+1}}$.
चूंकि $|z| = \frac{2}{\sqrt{5}}$,इसलिए $\frac{2}{\sqrt{a^2+1}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ $\Rightarrow a^2+1 = 5$ $\Rightarrow a^2 = 4$.
चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = 2$.
$z$ में $a = 2$ रखने पर,$z = \frac{2i}{2+i} = \frac{2i(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{4i - 2i^2}{4+1} = \frac{2+4i}{5} = \frac{2}{5} + \frac{4}{5}i$.
अतः,$\bar{z} = \frac{2}{5} - \frac{4}{5}i$.

(D) माना $z = x + iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$ है।
दिया गया है $|z| + z = 3 + i$ है।
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sqrt{x^2 + y^2} + x + iy = 3 + i$ प्राप्त होता है।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$y = 1$ और $\sqrt{x^2 + y^2} + x = 3$ प्राप्त होता है।
दूसरे समीकरण में $y = 1$ रखने पर:
$\sqrt{x^2 + 1} = 3 - x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x^2 + 1 = (3 - x)^2 = 9 - 6x + x^2$ प्राप्त होता है।
$1 = 9 - 6x$ $\Rightarrow 6x = 8$ $\Rightarrow x = \frac{4}{3}$ है।
अब,$|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(\frac{4}{3})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + 1} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}$ है।

(D) माना $z = -7 + 24i$,जहाँ $i = \sqrt{-1}$ है।
$z$ का संयुग्मी $\bar{z} = -7 - 24i$ है।
हमें $\bar{z}$ के वर्गमूल का मापांक ज्ञात करना है,जो $|\sqrt{\bar{z}}|$ है।
मापांक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$|\sqrt{\bar{z}}| = \sqrt{|\bar{z}|}$ होता है।
$\bar{z}$ का मापांक $|\bar{z}| = \sqrt{(-7)^2 + (-24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ है।
अतः,$|\sqrt{\bar{z}}| = \sqrt{25} = 5$।

(B) मान लीजिए $z = x + iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$ है।
दिया गया है $|z| + z = 3 + i$ है।
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sqrt{x^2 + y^2} + x + iy = 3 + i$ है।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$1) \sqrt{x^2 + y^2} + x = 3$
$2) y = 1$
प्रथम समीकरण में $y = 1$ रखने पर:
$\sqrt{x^2 + 1} = 3 - x$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x^2 + 1 = (3 - x)^2$
$x^2 + 1 = 9 - 6x + x^2$
$6x = 8 \implies x = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ है।
अब,$|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = 3 - x = 3 - \frac{4}{3} = \frac{9 - 4}{3} = \frac{5}{3}$ है।
अतः,$|z| = \frac{5}{3}$ है।

(B) दिया गया है $z = \frac{(1 + i)^2}{a - i}$.
चूँकि $(1 + i)^2 = 2i$,इसलिए $z = \frac{2i}{a - i}$.
अंश और हर को $(a + i)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{2i(a + i)}{a^2 + 1} = \frac{-2 + 2ai}{a^2 + 1}$.
मापांक $|z| = \sqrt{\frac{4}{a^2 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{a^2 + 1}}$.
$|z| = \sqrt{\frac{2}{5}}$ दिया है,अतः $\frac{2}{\sqrt{a^2 + 1}} = \sqrt{\frac{2}{5}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{4}{a^2 + 1} = \frac{2}{5} \Rightarrow a^2 = 9$. चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = 3$.
अतः $z = \frac{-2 + 6i}{10} = -\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i$.
इसलिए संयुग्मी $\overline{z} = -\frac{1}{5} - \frac{3}{5}i$.

(D) मान लीजिए $Z = a + ib$.
तब $|Z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
दिया गया है $|Z| + Z = 2 + i$.
मान प्रतिस्थापित करने पर,$\sqrt{a^2 + b^2} + a + ib = 2 + i$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,$b = 1$ और $\sqrt{a^2 + b^2} + a = 2$.
चूंकि $b = 1$,$\sqrt{a^2 + 1} = 2 - a$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 + 1 = (2 - a)^2$.
$a^2 + 1 = 4 - 4a + a^2$.
$4a = 3$,अतः $a = \frac{3}{4}$.
अब,$|Z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\frac{3}{4})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{9}{16} + 1} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.

(B) दिया गया है $|z|+z=2+i$.
माना $z=x+iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$.
तब $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$.
समीकरण में मान रखने पर: $\sqrt{x^2+y^2}+x+iy=2+i$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$y=1$ और $\sqrt{x^2+y^2}+x=2$.
दूसरे समीकरण में $y=1$ रखने पर: $\sqrt{x^2+1}=2-x$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2+1=(2-x)^2 = 4-4x+x^2$.
$1=4-4x$ $\Rightarrow 4x=3$ $\Rightarrow x=\frac{3}{4}$.
अतः,$z=\frac{3}{4}+i$.
इसलिए,$|z|=\sqrt{(\frac{3}{4})^2+1^2} = \sqrt{\frac{9}{16}+1} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.

(B) दिया गया है $Z_1=2+i$ और $Z_2=3-4i$.
इनके संयुग्मी $\overline{Z_1}=2-i$ और $\overline{Z_2}=3+4i$ हैं।
हमें $\frac{\overline{Z_1}}{\overline{Z_2}} = \frac{2-i}{3+4i}$ का मान ज्ञात करना है।
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(3-4i)$ से गुणा करने पर:
$\frac{2-i}{3+4i} \times \frac{3-4i}{3-4i} = \frac{6-8i-3i+4i^2}{3^2-(4i)^2}$.
चूंकि $i^2=-1$,इसलिए $\frac{6-11i-4}{9+16} = \frac{2-11i}{25} = \frac{2}{25} - \frac{11}{25}i$.
इसकी तुलना $a+bi$ से करने पर,हमें $a=\frac{2}{25}$ और $b=\frac{-11}{25}$ प्राप्त होता है।
अब,$-7a+b = -7(\frac{2}{25}) - \frac{11}{25} = \frac{-14-11}{25} = \frac{-25}{25} = -1$.

(A) दिया गया है $z = \frac{(1+i)^2}{a-i} = \frac{1 + 2i + i^2}{a-i} = \frac{2i}{a-i}$.
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर: $|z| = \left| \frac{2i}{a-i} \right| = \frac{|2i|}{|a-i|} = \frac{2}{\sqrt{a^2 + 1}}$.
दिया है $|z| = \frac{2}{\sqrt{5}}$,इसलिए $\frac{2}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
अतः,$a^2 + 1 = 5$,जिसका अर्थ है $a^2 = 4$. चूँकि $a > 0$,हमें $a = 2$ प्राप्त होता है।
$a = 2$ को $z$ में रखने पर: $z = \frac{2i}{2-i} = \frac{2i(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{4i + 2i^2}{4+1} = \frac{-2 + 4i}{5} = -\frac{2}{5} + \frac{4}{5}i$.
इसलिए,संयुग्मी $\bar{z} = -\frac{2}{5} - \frac{4}{5}i$ है।

(A) दी गई सम्मिश्र संख्या ध्रुवीय रूप में है: $z = 4(\cos 300^{\circ} + i \sin 300^{\circ})$.
हम जानते हैं कि $\cos 300^{\circ} = \cos(360^{\circ} - 60^{\circ}) = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$.
और $\sin 300^{\circ} = \sin(360^{\circ} - 60^{\circ}) = -\sin 60^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$z = 4\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
$z = 4 \times \frac{1}{2} - 4 \times i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$z = 2 - 2\sqrt{3}i$.

(D) माना $z = \frac{1+i \sqrt{3}}{\left(1+\frac{1}{i+1}\right)^{2}}$.
सबसे पहले,हर का सरलीकरण करने पर: $1+\frac{1}{i+1} = \frac{i+1+1}{i+1} = \frac{i+2}{i+1}$.
अतः,$z = \frac{1+i \sqrt{3}}{\left(\frac{i+2}{i+1}\right)^{2}} = \frac{(1+i \sqrt{3})(i+1)^{2}}{(i+2)^{2}}$.
चूंकि $(i+1)^{2} = i^{2}+1+2i = 2i$ और $(i+2)^{2} = i^{2}+4+4i = 3+4i$,इसलिए $z = \frac{(1+i \sqrt{3})(2i)}{3+4i} = \frac{2i-2\sqrt{3}}{3+4i}$.
अब,मापांक ज्ञात करने पर: $|z| = \frac{|2i-2\sqrt{3}|}{|3+4i|} = \frac{\sqrt{(-2\sqrt{3})^{2} + 2^{2}}}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}$.
$|z| = \frac{\sqrt{12+4}}{\sqrt{9+16}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5}$.