Parabola Questions in Hindi

(C) परवलय का दिया गया समीकरण ${x^2} = 2x + 2y$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें ${x^2} - 2x = 2y$ प्राप्त होता है।
बाईं ओर पूर्ण वर्ग बनाने पर: ${x^2} - 2x + 1 = 2y + 1$।
यह सरल होकर ${(x - 1)^2} = 2\left( y + \frac{1}{2} \right)$ हो जाता है।
इसे मानक रूप ${(x - h)^2} = 4a(y - k)$ से तुलना करने पर,$4a = 2$ प्राप्त होता है,जिससे $a = \frac{1}{2}$ मिलता है।
शीर्ष $(h, k)$ का मान $(1, -\frac{1}{2})$ है।
परवलय की नाभि $(h, k + a)$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $(1, -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = (1, 0)$ प्राप्त होता है।

(A) परवलय का दिया गया समीकरण ${y^2} - 4y - 2x - 8 = 0$ है।
$y$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
${y^2} - 4y = 2x + 8$
${y^2} - 4y + 4 = 2x + 8 + 4$
${(y - 2)^2} = 2x + 12$
${(y - 2)^2} = 2(x + 6)$.
इसे मानक रूप ${(y - k)^2} = 4a(x - h)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $4a = 2$ प्राप्त होता है।
नाभिलंब की लंबाई $|4a|$ द्वारा दी जाती है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $2$ है।

(A) परवलय की परिभाषा के अनुसार,एक बिंदु $P(x, y)$ का नाभि $(a, b)$ से दूरी और नियता $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - 1 = 0$ से लंबवत दूरी समान होती है।
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = \left( \frac{\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - 1}{\sqrt{(\frac{1}{a})^2 + (\frac{1}{b})^2}} \right)^2$
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = \left( \frac{bx + ay - ab}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)^2$
$(x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2) = \frac{(bx + ay - ab)^2}{a^2 + b^2}$
$(a^2 + b^2)(x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2) = (bx + ay - ab)^2$
दोनों पक्षों का विस्तार और सरलीकरण करने पर:
$(ax - by)^2 - 2a^3x - 2b^3y + a^4 + a^2b^2 + b^4 = 0$.

(C) दिया गया समीकरण: $4y^2 - 20y + 2x + 17 = 0$
$4$ से भाग देने पर: $y^2 - 5y + \frac{1}{2}x + \frac{17}{4} = 0$
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(y - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + \frac{1}{2}x + \frac{17}{4} = 0$
$(y - \frac{5}{2})^2 = -\frac{1}{2}x + 2$
$(y - \frac{5}{2})^2 = -\frac{1}{2}(x - 4)$
$(y - k)^2 = -4a(x - h)$ से तुलना करने पर,हमें $4a = \frac{1}{2} = 0.5$ प्राप्त होता है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $0.5$ है।

(B) दिया गया समीकरण $x^2 - 4x - 4y + 4 = 0$ है।
परिभाषा के अनुसार,परवलय उस बिंदु का बिंदुपथ है जिसकी एक निश्चित बिंदु (नाभि) से दूरी और एक निश्चित रेखा (नियता) से दूरी समान होती है।
अतः,किसी भी परवलय की उत्केंद्रता $e$ हमेशा $1$ होती है।

(B) दिया गया समीकरण: $3x - 2y^2 - 4y + 7 = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2y^2 + 4y = 3x + 7$
$2$ से भाग देने पर: $y^2 + 2y = \frac{3}{2}x + \frac{7}{2}$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $y^2 + 2y + 1 = \frac{3}{2}x + \frac{7}{2} + 1$
$(y + 1)^2 = \frac{3}{2}x + \frac{9}{2}$
$(y + 1)^2 = \frac{3}{2}(x + 3)$
मानक रूप $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ के साथ तुलना करने पर,शीर्ष $(h, k)$ $(-3, -1)$ है।

(B) दिए गए परवलय का समीकरण: $4y^2 - 4y - 6x = 5$
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $4(y^2 - y) = 6x + 5$
$4(y^2 - y + 1/4) = 6x + 5 + 1$
$4(y - 1/2)^2 = 6(x + 1)$
$(y - 1/2)^2 = \frac{3}{2}(x + 1)$
मानक रूप $Y^2 = 4aX$ से तुलना करने पर,जहाँ $Y = y - 1/2$,$X = x + 1$,और $4a = 3/2$ है।
अतः,$a = 3/8$ है।
$(X, Y)$ निर्देशांक प्रणाली में नाभि $(a, 0) = (3/8, 0)$ है।
$(x, y)$ निर्देशांक में बदलने पर:
$x + 1 = 3/8 \Rightarrow x = -5/8$
$y - 1/2 = 0 \Rightarrow y = 1/2$
अतः,नाभि $(-5/8, 1/2)$ है।

(A) परवलय का दिया गया समीकरण $x^2 + 8x + 12y + 4 = 0$ है।
$x$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$x^2 + 8x = -12y - 4$
$(x^2 + 8x + 16) = -12y - 4 + 16$
$(x + 4)^2 = -12y + 12$
$(x + 4)^2 = -12(y - 1)$
इसे मानक रूप $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ से तुलना करने पर,जहाँ $(h, k)$ शीर्ष है:
$h = -4$ और $k = 1$।
अतः,शीर्ष $(-4, 1)$ है।

(C) परवलय का मानक समीकरण ${(y - \beta)^2} = 4a(x - \alpha)$ होता है।
दिए गए समीकरण ${(y - 2)^2} = 20(x + 3)$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें शीर्ष $(\alpha, \beta) = (-3, 2)$ और $4a = 20$ प्राप्त होता है,जिससे $a = 5$ मिलता है।
इस प्रकार के परवलय के लिए नाभि के निर्देशांक $(\alpha + a, \beta)$ होते हैं।
मान रखने पर,नाभि $(-3 + 5, 2) = (2, 2)$ प्राप्त होती है।

(C) परवलय का दिया गया समीकरण ${x^2 - 4x - 8y + 12 = 0}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
${x^2 - 4x = 8y - 12}$
बाईं ओर पूर्ण वर्ग बनाने पर:
${(x^2 - 4x + 4) = 8y - 12 + 4}$
${(x - 2)^2 = 8y - 8}$
${(x - 2)^2 = 8(y - 1)}$
इसे मानक रूप ${(x - h)^2 = 4a(y - k)}$ से तुलना करने पर,हमें ${4a = 8}$ प्राप्त होता है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $8$ है।

(D) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2 - x - 2y + 2 = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$y^2 - 2y = x - 2$ प्राप्त होता है।
बाईं ओर पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(y - 1)^2 - 1 = x - 2$ या $(y - 1)^2 = x - 1$।
माना $Y = y - 1$ और $X = x - 1$। समीकरण $Y^2 = X$ हो जाता है।
इसे मानक रूप $Y^2 = 4aX$ से तुलना करने पर,$4a = 1$,अतः $a = 1/4$ प्राप्त होता है।
$Y^2 = 4aX$ की नाभि $(a, 0)$ होती है,जो $(1/4, 0)$ है।
$(x, y)$ निर्देशांक प्रणाली में नाभि ज्ञात करने के लिए:
$X = 1/4 \implies x - 1 = 1/4 \implies x = 5/4$।
$Y = 0 \implies y - 1 = 0 \implies y = 1$।
अतः,नाभि $(5/4, 1)$ है।

(D) परवलय का मानक समीकरण $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ होता है,जिसका शीर्ष $(h, k)$ पर स्थित होता है।
दिए गए समीकरण $(y - 2)^2 = 16(x - 1)$ की तुलना मानक समीकरण $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ से करने पर,हमें $h = 1$ और $k = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,परवलय का शीर्ष $(1, 2)$ है।

(C) दिया गया है,परवलय का शीर्ष $(h, k) = (1, 1)$ और नाभि $(h + a, k) = (3, 1)$ है।
चूंकि शीर्ष और नाभि के $y$-निर्देशांक समान हैं,इसलिए परवलय का अक्ष $x$-अक्ष के समानांतर है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर,$h = 1$,$k = 1$ और $h + a = 3$ प्राप्त होता है।
$h = 1$ को $h + a = 3$ में रखने पर,$1 + a = 3$,जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है।
शीर्ष $(h, k)$ वाले परवलय का मानक समीकरण $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ होता है।
$h = 1$,$k = 1$ और $a = 2$ का मान रखने पर,$(y - 1)^2 = 4(2)(x - 1)$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण $(y - 1)^2 = 8(x - 1)$ है।

(A) माना $P(x, y)$ परवलय पर कोई बिंदु है। परिभाषा के अनुसार,$P$ से नाभि $S(5, 3)$ की दूरी,$P$ से नियता $3x - 4y + 1 = 0$ की लंबवत दूरी के बराबर होती है।
$PS^2 = PM^2$
$(x - 5)^2 + (y - 3)^2 = \left( \frac{3x - 4y + 1}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \right)^2$
$(x^2 - 10x + 25) + (y^2 - 6y + 9) = \frac{(3x - 4y + 1)^2}{25}$
$25(x^2 + y^2 - 10x - 6y + 34) = 9x^2 + 16y^2 + 1 - 24xy + 6x - 8y$
$25x^2 + 25y^2 - 250x - 150y + 850 = 9x^2 + 16y^2 - 24xy + 6x - 8y + 1$
$16x^2 + 24xy + 9y^2 - 256x - 142y + 849 = 0$
$(4x + 3y)^2 - 256x - 142y + 849 = 0$

(D) यह जाँचने के लिए कि कौन सा बिंदु परवलय $x^2 = 4ay$ पर स्थित है,हम दिए गए प्राचलिक निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
विकल्प $D$ के लिए:
दिया गया है $x = 2at$ और $y = at^2$।
इन्हें समीकरण $x^2 = 4ay$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2at)^2 = 4a(at^2)$
$4a^2t^2 = 4a^2t^2$
चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर है,इसलिए बिंदु $(2at, at^2)$ परवलय $x^2 = 4ay$ पर स्थित है।

(B) शीर्ष $V$ $(h, k) = (2, -1)$ है और नाभि $S$ $(2, -3)$ है।
चूंकि शीर्ष और नाभि के $x$-निर्देशांक समान हैं,इसलिए परवलय का अक्ष ऊर्ध्वाधर है।
शीर्ष और नाभि के बीच की दूरी $a = | -1 - (-3) | = 2$ है।
चूंकि नाभि शीर्ष के नीचे है,इसलिए परवलय नीचे की ओर खुलता है।
नीचे की ओर खुलने वाले परवलय का मानक समीकरण $(x - h)^2 = -4a(y - k)$ है।
मान $h = 2$,$k = -1$,और $a = 2$ रखने पर:
$(x - 2)^2 = -4(2)(y - (-1))$
$(x - 2)^2 = -8(y + 1)$
समीकरण का विस्तार करने पर:
$x^2 - 4x + 4 = -8y - 8$
$x^2 - 4x + 8y + 12 = 0$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) परवलय का दिया गया समीकरण ${x^2 - 4x - 8y + 12 = 0}$ है।
$x$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
${x^2 - 4x + 4 = 8y - 12 + 4}$
${(x - 2)^2 = 8y - 8}$
${(x - 2)^2 = 8(y - 1)}$
इसे मानक रूप ${X^2 = 4aY}$ से तुलना करने पर,जहाँ ${X = x - 2}$,${Y = y - 1}$,और ${4a = 8}$,हमें ${a = 2}$ प्राप्त होता है।
परवलय ${X^2 = 4aY}$ के लिए नियता का समीकरण ${Y = -a}$ होता है।
मान वापस रखने पर:
${y - 1 = -2}$
${y = -1}$.

(A) दिया है: शीर्ष $A = (0, 6)$ और नाभि $S = (0, 3)$।
चूंकि शीर्ष और नाभि $y$-अक्ष पर स्थित हैं,इसलिए परवलय का अक्ष $y$-अक्ष है।
शीर्ष और नाभि के बीच की दूरी $a = 6 - 3 = 3$ है।
चूंकि नाभि शीर्ष के नीचे है,इसलिए परवलय नीचे की ओर खुलता है।
शीर्ष $(h, k)$ वाले नीचे की ओर खुलने वाले परवलय का मानक रूप $(x - h)^2 = -4a(y - k)$ है।
यहाँ,$(h, k) = (0, 6)$ और $a = 3$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(x - 0)^2 = -4(3)(y - 6)$ प्राप्त होता है।
$x^2 = -12(y - 6)$।
$x^2 = -12y + 72$।
$x^2 + 12y = 72$।

(A) दिया गया परवलय का समीकरण ${x^2} + 8y - 2x = 7$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,${x^2} - 2x = -8y + 7$ प्राप्त होता है।
बाईं ओर पूर्ण वर्ग बनाने पर: ${x^2} - 2x + 1 = -8y + 7 + 1$।
यह सरल होकर ${(x - 1)^2} = -8y + 8$ हो जाता है।
$-8$ को उभयनिष्ठ लेने पर,${(x - 1)^2} = -8(y - 1)$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप ${(x - h)^2} = -4a(y - k)$ से तुलना करने पर,जहाँ $(h, k) = (1, 1)$ और $4a = 8$,हमें $a = 2$ प्राप्त होता है।
नीचे की ओर खुलने वाले परवलय के लिए नियता का समीकरण $y = k + a$ होता है।
मान रखने पर,$y = 1 + 2 = 3$।
अतः,नियता का समीकरण $y = 3$ है।

(A) दिए गए परवलय का समीकरण $2x^2 + 5y - 3x + 4 = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$2x^2 - 3x = -5y - 4$ प्राप्त होता है।
$2$ से भाग देने पर,$x^2 - \frac{3}{2}x = -\frac{5}{2}y - 2$ प्राप्त होता है।
बाईं ओर पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x^2 - \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2 = -\frac{5}{2}y - 2 + \frac{9}{16}$।
$(x - \frac{3}{4})^2 = -\frac{5}{2}y - \frac{23}{16}$।
$(x - h)^2 = 4a(y - k)$ रूप के परवलय के अक्ष का समीकरण $x - h = 0$ होता है।
अतः,अक्ष का समीकरण $x - \frac{3}{4} = 0$ है,जिसका अर्थ है $x = \frac{3}{4}$।

(A) परवलय का दिया गया समीकरण ${x^2} + 6x + 20y - 51 = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
${x^2} + 6x = -20y + 51$.
बाईं ओर पूर्ण वर्ग बनाने पर:
${x^2} + 6x + 9 = -20y + 51 + 9$.
इसे सरल करने पर:
${(x + 3)^2} = -20y + 60$.
दाईं ओर से $-20$ कॉमन लेने पर:
${(x + 3)^2} = -20(y - 3)$.
इसे मानक रूप ${(x - h)^2} = 4a(y - k)$ से तुलना करने पर,परवलय का अक्ष $x - h = 0$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,$h = -3$ है,इसलिए अक्ष $x + 3 = 0$ है।

(D) दिया गया परवलय समीकरण $y = x^2 - x$ है।
$x = 1$ पर,$y$-निर्देशांक $y = (1)^2 - 1 = 0$ है। अतः,स्पर्श बिंदु $(1, 0)$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,$y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = 2x - 1$।
$x = 1$ पर अवकलज का मान: $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{x=1} = 2(1) - 1 = 1$।
रेखा के बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ का उपयोग करने पर,जहाँ $m = 1$ और $(x_1, y_1) = (1, 0)$:
$y - 0 = 1(x - 1)$
$y = x - 1$।

(A) परवलय के नाभिलंब और अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु उसका नाभि (focus) होता है।
दिए गए परवलय का समीकरण: ${y^2} + 4x + 2y - 8 = 0$ है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर:
${y^2} + 2y = -4x + 8$
${y^2} + 2y + 1 = -4x + 8 + 1$
${(y + 1)^2} = -4x + 9$
${(y + 1)^2} = -4(x - 9/4)$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप ${(y - k)^2} = 4a(x - h)$ से तुलना करने पर,हमें $h = 9/4$,$k = -1$ और $4a = -4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = -1$ है।
परवलय की नाभि $(h + a, k)$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $(9/4 - 1, -1) = (5/4, -1)$।

(D) माना स्पर्श बिंदु $(h, k)$ है।
चूंकि बिंदु $(h, k)$ परवलय $y^2 = 2x$ पर स्थित है,इसलिए $k^2 = 2h$ होगा।
परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $(h, k)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $ky = 2a(x + h)$ होता है।
यहाँ,$4a = 2$,इसलिए $a = \frac{1}{2}$।
अतः,स्पर्श रेखा का समीकरण $ky = 1(x + h)$ या $x - ky + h = 0$ है।
इसे दी गई स्पर्श रेखा $18x - 6y + 1 = 0$ के साथ तुलना करने पर:
$\frac{1}{18} = \frac{-k}{-6} = \frac{h}{1}$।
$\frac{1}{18} = \frac{k}{6}$ से $k = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{18} = h$ से $h = \frac{1}{18}$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श बिंदु $\left( \frac{1}{18}, \frac{1}{3} \right)$ है।

(C) दी गई रेखा $lx + my + n = 0$ है,जिसे $y = -\frac{l}{m}x - \frac{n}{m}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $y = mx + c$ के परवलय $y^2 = 4ax$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c = \frac{a}{m}$ है।
यहाँ,रेखा की ढाल $M = -\frac{l}{m}$ है और अंतःखंड $C = -\frac{n}{m}$ है।
इन मानों को शर्त $C = \frac{a}{M}$ में रखने पर:
$-\frac{n}{m} = \frac{a}{-l/m}$
$-\frac{n}{m} = -\frac{am}{l}$
$ln = am^2$.

(A) रेखा का समीकरण $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ है।
परवलय का समीकरण $y^2 = 4a(x + a)$ है।
रेखा $y = mx + c$ के परवलय $y^2 = 4a(x+a)$ को स्पर्श करने की शर्त $c = \frac{a}{m} + am$ है।
रेखा को $y = -x \cot \alpha + p \csc \alpha$ के रूप में लिखने पर,$m = -\cot \alpha$ और $c = p \csc \alpha$ प्राप्त होता है।
शर्त में मान रखने पर: $p \csc \alpha = \frac{a}{-\cot \alpha} + a(-\cot \alpha)$.
सरल करने पर: $p \csc \alpha = -a \tan \alpha - a \cot \alpha = -\frac{a}{\sin \alpha \cos \alpha}$.
अतः,$p = -\frac{a}{\cos \alpha}$,अर्थात $p \cos \alpha + a = 0$.

(C) स्पर्श रेखा की ढाल $m = \tan \theta$ है।
$m$ ढाल वाली परवलय $y^2 = 4ax$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ होता है।
समीकरण में $m = \tan \theta$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = x \tan \theta + \frac{a}{\tan \theta}$.
चूंकि $\frac{1}{\tan \theta} = \cot \theta$,इसलिए समीकरण:
$y = x \tan \theta + a \cot \theta$ है।

(B) दिया गया परवलय $y^2 = 4(x + \frac{5}{4})$ है।
इसे $Y^2 = 4aX$ से तुलना करने पर,$a = 1$,$Y = y$,और $X = x + \frac{5}{4}$ प्राप्त होता है।
रेखा $y = 2x + 7$ की ढाल $m = 2$ है।
परवलय $Y^2 = 4aX$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $Y = mX + \frac{a}{m}$ होता है।
मान रखने पर,$y = 2(x + \frac{5}{4}) + \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$y = 2x + \frac{5}{2} + \frac{1}{2}$.
$y = 2x + 3$.
अतः,स्पर्श रेखा का समीकरण $2x - y + 3 = 0$ है।

(A) स्पर्श रेखा की ढाल $m = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ है।
इस स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{2a}{y_1}$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $\sqrt{3} = \frac{2a}{y_1} \implies y_1 = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.
चूंकि बिंदु $(x_1, y_1)$ परवलय $y^2 = 4ax$ पर स्थित है,इसलिए $y_1^2 = 4ax_1$ होगा।
$y_1$ का मान रखने पर: $\left( \frac{2a}{\sqrt{3}} \right)^2 = 4ax_1 \implies \frac{4a^2}{3} = 4ax_1 \implies x_1 = \frac{a}{3}$.
अतः,स्पर्श बिंदु $\left( \frac{a}{3}, \frac{2a}{\sqrt{3}} \right)$ है।

(B) दी गई रेखा $y = 2x + \lambda$ है और परवलय $y^2 = 2x$ है।
परवलय के समीकरण में $y = 2x + \lambda$ प्रतिस्थापित करने पर: $(2x + \lambda)^2 = 2x$.
$4x^2 + 4x\lambda + \lambda^2 = 2x$.
$4x^2 + (4\lambda - 2)x + \lambda^2 = 0$.
रेखा के परवलय को न मिलने के लिए,विविक्तकर $D$ का मान $0$ से कम होना चाहिए।
$D = (4\lambda - 2)^2 - 4(4)(\lambda^2) < 0$.
$16\lambda^2 - 16\lambda + 4 - 16\lambda^2 < 0$.
$-16\lambda + 4 < 0$.
$16\lambda > 4$.
$\lambda > \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.

(A) परवलय $y^2 = 4ax$ पर किसी बिंदु $P$ के निर्देशांक प्राचल $t$ के रूप में $(at^2, 2at)$ होते हैं।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर परवलय $y^2 = 4ax$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ होता है।
$x_1 = at^2$ और $y_1 = 2at$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y(2at) = 2a(x + at^2)$
दोनों पक्षों को $2a$ से विभाजित करने पर:
$yt = x + at^2$.

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 16x$ है। इसकी तुलना $y^2 = 4ax$ से करने पर,हमें $4a = 16$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 4$ है।
रेखा $y = mx + c$ परवलय $y^2 = 4ax$ की स्पर्श रेखा होती है यदि $c = \frac{a}{m}$ हो।
यहाँ,$m = 2$ और $a = 4$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $c = \frac{4}{2} = 2$ प्राप्त होता है।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है,जहाँ $4a = 4$,इसलिए $a = 1$ है।
रेखा $y = mx + c$ के परवलय $y^2 = 4ax$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c = \frac{a}{m}$ है।
दी गई रेखा $y = mx + 1$ के लिए,$c = 1$ है।
शर्त में मान रखने पर: $1 = \frac{1}{m}$।
अतः,$m = 1$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए वक्र $y^2 = 4x$ और $x^2 = 32y$ हैं।
$y^2 = 4x$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 4$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$। बिंदु $(16, 8)$ पर,$m_1 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$।
$x^2 = 32y$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x = 32 \frac{dy}{dx}$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{16}$। बिंदु $(16, 8)$ पर,$m_2 = \frac{16}{16} = 1$।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{1 - 1/4}{1 + (1)(1/4)} \right| = \left| \frac{3/4}{5/4} \right| = \frac{3}{5}$।
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$।

(A) परवलय $y^2 = 4ax$ की किसी भी स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ है,जहाँ $m$ ढाल है।
नाभि $(a, 0)$ से गुजरने वाली और स्पर्शरेखा पर लंब रेखा की ढाल $-\frac{1}{m}$ है।
इस लंब रेखा का समीकरण $y - 0 = -\frac{1}{m}(x - a)$ है,जो सरल होकर $y = -\frac{x}{m} + \frac{a}{m}$ हो जाता है।
लंब के पाद का बिंदुपथ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों समीकरणों से $m$ को विलुप्त करते हैं:
$1) \ y = mx + \frac{a}{m} \implies my = m^2x + a$
$2) \ y = -\frac{x}{m} + \frac{a}{m} \implies my = -x + a$
$my$ के दोनों मानों की तुलना करने पर:
$m^2x + a = -x + a$
$m^2x = -x$
$x(m^2 + 1) = 0$
चूंकि वास्तविक $m$ के लिए $m^2 + 1 \neq 0$,इसलिए $x = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदुपथ शीर्ष पर स्पर्शरेखा है,जो $y$-अक्ष है,अर्थात $x = 0$।

(C) स्पर्श रेखा $x + y = 1$ की प्रवणता $m = -1$ है।
परवलय $y^2 - y + x = 0$ के लिए,किसी बिंदु $(h, k)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात करने के लिए $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} + 1 = 0$
$\frac{dy}{dx}(2y - 1) = -1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{2y - 1}$
स्पर्श बिंदु $(h, k)$ पर,स्पर्श रेखा की प्रवणता,रेखा की प्रवणता के बराबर होनी चाहिए:
$\frac{-1}{2k - 1} = -1$
$2k - 1 = 1$
$2k = 2$
$k = 1$
चूंकि बिंदु $(h, k)$ रेखा $x + y = 1$ पर स्थित है,इसलिए $k = 1$ रखने पर:
$h + 1 = 1$
$h = 0$
अतः,स्पर्श बिंदु $(0, 1)$ है।

(A) मानक परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ होता है।
दिया गया परवलय $y^2 = 4a(x + a)$ है।
मूल बिंदु को $(-a, 0)$ पर स्थानांतरित करने पर,समीकरण $Y^2 = 4aX$ बन जाता है,जहाँ $Y = y$ और $X = x + a$ है।
$Y^2 = 4aX$ की स्पर्श रेखा $Y = mX + \frac{a}{m}$ है।
$Y = y$ और $X = x + a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = m(x + a) + \frac{a}{m}$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$y = mx + ma + \frac{a}{m}$ मिलता है।
इसकी तुलना दी गई रेखा $y = mx + c$ से करने पर,हमें $c = ma + \frac{a}{m}$ प्राप्त होता है।
अतः,$ma + \frac{a}{m} = c$।

(C) परवलय का समीकरण $y^2 = 8x$ है,इसलिए $4a = 8$,जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है।
रेखा $y = 3x + 5$ की ढाल $m_1 = 3$ है।
माना स्पर्श रेखा की ढाल $m$ है। चूंकि स्पर्श रेखा और रेखा के बीच का कोण $45^\circ$ है,इसलिए $\tan 45^\circ = |\frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}|$ होगा।
$1 = |\frac{m - 3}{1 + 3m}|$.
यह दो स्थितियाँ देता है:
स्थिति $1$: $\frac{m - 3}{1 + 3m} = 1 \implies m = -2$.
स्थिति $2$: $\frac{m - 3}{1 + 3m} = -1 \implies m = \frac{1}{2}$.
$y^2 = 4ax$ के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ है।
$m = -2$ के लिए: $y = -2x - 1 \implies 2x + y + 1 = 0$.
$m = \frac{1}{2}$ के लिए: $y = \frac{1}{2}x + 4 \implies x - 2y + 8 = 0$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$2x + y + 1 = 0$ सही समीकरण है।

(D) परवलय $y^2 = 4ax$ के नाभिलंब के अंतिम बिंदु $(a, 2a)$ और $(a, -2a)$ हैं।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर परवलय $y^2 = 4ax$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ है।
बिंदु $(a, 2a)$ के लिए,स्पर्श रेखा $y(2a) = 2a(x + a)$ है,जो $y = x + a$ में सरल हो जाती है। इसका ढाल $m_1 = 1$ है।
बिंदु $(a, -2a)$ के लिए,स्पर्श रेखा $y(-2a) = 2a(x + a)$ है,जो $y = -(x + a)$ में सरल हो जाती है। इसका ढाल $m_2 = -1$ है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = 1 \times (-1) = -1$,इसलिए स्पर्श रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,उनके बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(C) दी गई रेखा $y = mx + c$ और परवलय $x^2 = 4ay$ है।
रेखा के समीकरण से $y$ का मान परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 = 4a(mx + c)$
$x^2 - 4amx - 4ac = 0$
चूंकि रेखा परवलय को स्पर्श करती है,इसलिए इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर शून्य होना चाहिए $(D = 0)$:
$B^2 - 4AC = 0$
$(-4am)^2 - 4(1)(-4ac) = 0$
$16a^2m^2 + 16ac = 0$
$16a$ से भाग देने पर ($a \neq 0$ मानते हुए):
$am^2 + c = 0$
$c = -am^2$

(B) $x^2 = 4ay$ के रूप वाले परवलय के लिए,नाभीय जीवा के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत होती हैं।
अतः,किसी भी परवलय के लिए परस्पर लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ उसकी नियता (Directrix) होती है।
परवलय $x^2 = 4ay$ के लिए,नियता का समीकरण $y = -a$ है।

(A) मूलबिंदु से गुजरने वाली कोई भी रेखा $y = mx$ है।
चूंकि यह रेखा परवलय $y^2 = 4a(x - a)$ की स्पर्श रेखा है,इसलिए $y = mx$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(mx)^2 = 4a(x - a)$
$m^2x^2 - 4ax + 4a^2 = 0$
रेखा के स्पर्श रेखा होने के लिए,इस द्विघात समीकरण के मूल समान होने चाहिए,इसलिए विविक्तकर $D = 0$:
$(-4a)^2 - 4(m^2)(4a^2) = 0$
$16a^2 - 16a^2m^2 = 0$
$16a^2(1 - m^2) = 0$
चूंकि $a \neq 0$,इसलिए $1 - m^2 = 0$,जिसका अर्थ है $m^2 = 1$,अतः $m = 1$ या $m = -1$ है।
दो स्पर्श रेखाओं की ढाल $m_1 = 1$ और $m_2 = -1$ है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = 1 \times (-1) = -1$,इसलिए स्पर्श रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $90^\circ$ है।

(A) दी गई रेखा का समीकरण $x = my + k$ है,जिसे $x - my = k$ के रूप में लिखा जा सकता है।
परवलय के समीकरण $x^2 = 4ay$ में $x = my + k$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(my + k)^2 = 4ay$
$m^2y^2 + 2mky + k^2 = 4ay$
$m^2y^2 + (2mk - 4a)y + k^2 = 0$
चूंकि रेखा परवलय को स्पर्श करती है,इसलिए इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) शून्य होना चाहिए:
$D = (2mk - 4a)^2 - 4(m^2)(k^2) = 0$
$4m^2k^2 - 16amk + 16a^2 - 4m^2k^2 = 0$
$-16amk + 16a^2 = 0$
$16amk = 16a^2$
$k = a/m$

(B) माना परवलय $y^2 = 4ax$ पर बिंदुओं $P$ और $Q$ के निर्देशांक $(at_1^2, 2at_1)$ और $(at_2^2, 2at_2)$ हैं।
अतः कोटियाँ ${y_1 = 2at_1}$ और ${y_2 = 2at_2}$ हैं।
$P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(at_1t_2, a(t_1 + t_2))$ है।
इसलिए,प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि ${y_3 = a(t_1 + t_2)}$ है।
$t_1 = \frac{y_1}{2a}$ और $t_2 = \frac{y_2}{2a}$ को $y_3$ के व्यंजक में रखने पर:
${y_3 = a \left( \frac{y_1}{2a} + \frac{y_2}{2a} \right) = \frac{y_1 + y_2}{2}}$.
यह दर्शाता है कि $2y_3 = y_1 + y_2$,जिसका अर्थ है कि ${y_1, y_3, y_2}$ $A.P.$ में हैं।

(C) $x^2 = 4y$ और $y^2 = 4x$ को हल करने पर,हमें $x = 0, y = 0$ और $x = 4, y = 4$ प्राप्त होता है।
चूंकि भुज शून्य नहीं है,इसलिए बिंदु $P$ $(4, 4)$ है।
$(4, 4)$ पर $y^2 = 4x$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y(4) = 2(x + 4)$ है,जो $2x - y + 4 = 0$ (ढाल $m_1 = 2$) में सरल होता है।
$(4, 4)$ पर $x^2 = 4y$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $x(4) = 2(y + 4)$ है,जो $x - 2y + 4 = 0$ (ढाल $m_2 = 1/2$) में सरल होता है।
मान लीजिए $\theta_1$ और $\theta_2$ वे कोण हैं जो स्पर्श रेखाएँ $x$-अक्ष के साथ बनाती हैं। तो $\tan \theta_1 = 2$ और $\tan \theta_2 = 1/2$ है।
चूंकि $\tan \theta_1 = \cot \theta_2 = \tan(90^\circ - \theta_2)$,इसलिए $\theta_1 = 90^\circ - \theta_2$,या $\theta_1 + \theta_2 = 90^\circ$ है।
अतः,स्पर्श रेखाएँ $x$-अक्ष के साथ पूरक कोण बनाती हैं।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 4x$ है। इसकी तुलना $y^2 = 4ax$ से करने पर,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है।
रेखा का समीकरण $y = 2x + c$ है,जो $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $m = 2$ है।
रेखा $y = mx + c$ के परवलय $y^2 = 4ax$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c = \frac{a}{m}$ है।
$a = 1$ और $m = 2$ का मान रखने पर,हमें $c = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है।
$y = mx + c$ को परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(mx + c)^2 = 4ax$
$m^2x^2 + 2mcx + c^2 - 4ax = 0$
$m^2x^2 + (2mc - 4a)x + c^2 = 0$.
रेखा के परवलय को स्पर्श करने के लिए,इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) शून्य होना चाहिए:
$D = (2mc - 4a)^2 - 4(m^2)(c^2) = 0$
$4m^2c^2 - 16amc + 16a^2 - 4m^2c^2 = 0$
$-16amc + 16a^2 = 0$
$16a^2 = 16amc$
$a = mc$
$c = a/m$.
अतः,सही शर्त $c = a/m$ है।

(C) दिया गया परवलय समीकरण $y^2 = 4ax$ है।
चूंकि यह बिंदु $(1, -2)$ से गुजरता है,हम समीकरण में $x = 1$ और $y = -2$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(-2)^2 = 4a(1)$
$4 = 4a$
$\Rightarrow a = 1$.
अब,परवलय का समीकरण $y^2 = 4x$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ होता है।
$a = 1$,$x_1 = 1$,और $y_1 = -2$ रखने पर:
$y(-2) = 2(1)(x + 1)$
$-2y = 2(x + 1)$
$-y = x + 1$
$x + y + 1 = 0$.
अतः,अभीष्ट स्पर्श रेखा $x + y + 1 = 0$ है।

(D) दी गई रेखा $y = 3x + 7$ है,जिसकी ढाल $m_1 = 3$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा इस रेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m$ को $m \times m_1 = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए,अतः $m = -\frac{1}{3}$।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ होता है।
$y^2 = 16x$ की तुलना $y^2 = 4ax$ से करने पर,$4a = 16$,अतः $a = 4$।
$a = 4$ और $m = -\frac{1}{3}$ को स्पर्श रेखा के समीकरण में रखने पर:
$y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{-1/3}$
$y = -\frac{1}{3}x - 12$
$3$ से गुणा करने पर $3y = -x - 36$ प्राप्त होता है,जिसे $x + 3y + 36 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ होता है।
दिया गया बिंदु $(x_1, y_1) = (a/t^2, 2a/t)$ है।
मान रखने पर:
$y(2a/t) = 2a(x + a/t^2)$
$2a$ से भाग देने पर:
$y/t = x + a/t^2$
$t$ से गुणा करने पर:
$ty = t^2x + a$.