Parabola Questions in Hindi

(A) माना $f(x) = x^2 - 3x + 3$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें $f(x) = (x - 3/2)^2 + 3/4$ प्राप्त होता है।
परवलय का शीर्ष $x = 3/2$ पर है।
चूंकि अंतराल $(-3, 3/2)$ है,इसलिए फलन $f(x)$ इस अंतराल पर निरंतर ह्रासमान है।
जैसे-जैसे $x$,$3/2$ के करीब पहुंचता है,$f(x)$ का मान $3/4$ के करीब पहुंचता है।
चूंकि $3/2$ अंतराल में शामिल नहीं है,इसलिए फलन $3/4$ मान प्राप्त नहीं करता है,लेकिन यह इस अंतराल पर फलन का न्यूनतम मान (infimum) है।

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए बिंदुओं $(am_1^2, 2am_1)$ और $(am_2^2, 2am_2)$ के लिए:
$d = \sqrt{(am_2^2 - am_1^2)^2 + (2am_2 - 2am_1)^2}$
$d = \sqrt{a^2(m_2 - m_1)^2(m_2 + m_1)^2 + 4a^2(m_2 - m_1)^2}$
$d = a|m_1 - m_2|\sqrt{(m_1 + m_2)^2 + 4}$.

(C) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ होने पर उसका क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिए गए शीर्षों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta = \frac{1}{2} |am_1^2(2am_2 - 2am_3) + am_2^2(2am_3 - 2am_1) + am_3^2(2am_1 - 2am_2)|$
$\Delta = a^2 |m_1^2(m_2 - m_3) + m_2^2(m_3 - m_1) + m_3^2(m_1 - m_2)|$
सर्वसमिका $m_1^2(m_2 - m_3) + m_2^2(m_3 - m_1) + m_3^2(m_1 - m_2) = -(m_1 - m_2)(m_2 - m_3)(m_3 - m_1)$ का उपयोग करने पर,
$\Delta = a^2 |(m_1 - m_2)(m_2 - m_3)(m_3 - m_1)|$.

(A) माना बिंदु $P(x, y)$ है।
बिंदु $(a, 0)$ से $P(x, y)$ की दूरी $\sqrt{(x - a)^2 + (y - 0)^2}$ है।
रेखा $x + a = 0$ से $P(x, y)$ की दूरी $|x + a|$ है।
प्रश्न के अनुसार,ये दूरियाँ समान हैं:
$\sqrt{(x - a)^2 + y^2} = |x + a|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x - a)^2 + y^2 = (x + a)^2$
$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = x^2 + 2ax + a^2$
$y^2 = 4ax$
यह एक परवलय का मानक समीकरण है।

(A) माना बिंदु $P(x, y)$ है।
बिंदु $P(x, y)$ की बिंदु $(4, 2)$ से दूरी $\sqrt{(x - 4)^2 + (y - 2)^2}$ है।
बिंदु $P(x, y)$ की $x$-अक्ष से दूरी $|y|$ है।
चूंकि बिंदु समान दूरी पर है,इसलिए $\sqrt{(x - 4)^2 + (y - 2)^2} = |y|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = y^2$.
पदों का विस्तार करने पर: $x^2 - 8x + 16 + y^2 - 4y + 4 = y^2$.
सरल करने पर,$x^2 - 8x - 4y + 20 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना $x = (u \cos \alpha)t$ और $y = (u \sin \alpha)t - \frac{1}{2}gt^2$ है।
प्रथम समीकरण से,हमें $t = \frac{x}{u \cos \alpha}$ प्राप्त होता है।
$t$ का यह मान $y$ के समीकरण में रखने पर:
$y = (u \sin \alpha) \left( \frac{x}{u \cos \alpha} \right) - \frac{1}{2}g \left( \frac{x}{u \cos \alpha} \right)^2$
$y = x \tan \alpha - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \alpha}$.
यह समीकरण $y = ax^2 + bx + c$ के रूप में है,जो एक परवलय को दर्शाता है।

(C) माना $P = (1, 0)$ और $Q = (h, k)$ परवलय $y^2 = 8x$ पर एक बिंदु है,इसलिए $k^2 = 8h$ है।
माना $(x, y)$ $PQ$ का मध्य-बिंदु है।
तब $x = \frac{h + 1}{2}$ और $y = \frac{k + 0}{2}$ है।
इसका अर्थ है $h = 2x - 1$ और $k = 2y$ है।
इन मानों को $k^2 = 8h$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2y)^2 = 8(2x - 1)$
$4y^2 = 16x - 8$
$4$ से विभाजित करने पर,हमें $y^2 = 4x - 2$ प्राप्त होता है,जो $y^2 - 4x + 2 = 0$ है।

(C) दिए गए बिंदु $A(at^2, 2at)$,$B(a/t^2, -2a/t)$,और $C(a, 0)$ हैं।
$CA = \sqrt{(at^2 - a)^2 + (2at - 0)^2} = a(t^2 + 1)$.
$CB = \sqrt{(\frac{a}{t^2} - a)^2 + (-\frac{2a}{t} - 0)^2} = a\frac{1 + t^2}{t^2}$.
$CA$ और $CB$ का $H.M.$ $\frac{2(CA)(CB)}{CA + CB}$ द्वारा दिया जाता है।
$H.M. = \frac{2 \cdot a(t^2 + 1) \cdot a(\frac{1 + t^2}{t^2})}{a(t^2 + 1) + a(\frac{1 + t^2}{t^2})} = 2a$.
अतः,$2a$ $CA$ और $CB$ का $H.M.$ है।

(B) तीन बिंदु $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ संरेख होते हैं यदि पहले दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा की ढाल और दूसरे तथा तीसरे बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा की ढाल समान हो।
$(at_1^2, 2at_1)$ और $(at_2^2, 2at_2)$ के बीच की ढाल $m_1 = \frac{2at_2 - 2at_1}{at_2^2 - at_1^2} = \frac{2}{t_1 + t_2}$ है।
$(at_2^2, 2at_2)$ और $(a, 0)$ के बीच की ढाल $m_2 = \frac{0 - 2at_2}{a - at_2^2} = \frac{-2t_2}{1 - t_2^2}$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $\frac{2}{t_1 + t_2} = \frac{-2t_2}{1 - t_2^2}$.
$1 - t_2^2 = -t_2(t_1 + t_2)$.
$1 - t_2^2 = -t_1t_2 - t_2^2$.
$1 = -t_1t_2$,जिसका अर्थ है $t_1t_2 = -1$।

(C) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है। शीर्ष $O(0, 0)$ पर है।
मान लीजिए कि डबल ऑर्डिनेट $x = h$ पर है। तब $y^2 = 4ah$,अर्थात $y = \pm 2\sqrt{ah}$।
डबल ऑर्डिनेट की लंबाई $2 \times 2\sqrt{ah} = 4\sqrt{ah}$ है।
दिया गया है कि लंबाई $8a$ है,इसलिए $4\sqrt{ah} = 8a$,जिसका अर्थ है कि $\sqrt{ah} = 2a$,अतः $ah = 4a^2$,यानी $h = 4a$।
डबल ऑर्डिनेट के सिरे $P(4a, 4a)$ और $Q(4a, -4a)$ हैं।
$OP$ की ढाल $m_1 = \frac{4a - 0}{4a - 0} = 1$ है।
$OQ$ की ढाल $m_2 = \frac{-4a - 0}{4a - 0} = -1$ है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = 1 \times (-1) = -1$,रेखाएं $OP$ और $OQ$ एक-दूसरे पर लंब हैं।
अतः,उनके बीच का कोण $90^\circ$ है।

(A) माना $P$ के निर्देशांक $(h, k)$ और $Q$ के निर्देशांक $(h, -k)$ हैं। चूँकि $P$ परवलय $y^2 = 4ax$ पर स्थित है,इसलिए $k^2 = 4ah$ है।
माना $(x, y)$ $PQ$ का एक त्रिभाजन बिंदु है। त्रिभाजन बिंदु $PQ$ को $1:2$ या $2:1$ के अनुपात में विभाजित करते हैं।
$1:2$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के लिए,$y$-निर्देशांक $y = \frac{1(-k) + 2(k)}{1+2} = \frac{k}{3}$ है,अतः $k = 3y$ है।
$x$-निर्देशांक $x = h$ है।
$k = 3y$ और $h = x$ को परवलय के समीकरण $k^2 = 4ah$ में प्रतिस्थापित करने पर,$(3y)^2 = 4ax$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $9y^2 = 4ax$ हो जाता है।

(C) परवलय का शीर्ष मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
दी गई नियता $x + 5 = 0$ है,जिसका अर्थ है $x = -5$।
मूल बिंदु पर शीर्ष और $x = -a$ नियता वाले परवलय के लिए,$a$ का मान $5$ है।
इस परवलय का मानक समीकरण $y^2 = 4ax$ है।
$a = 5$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y^2 = 4(5)x = 20x$ प्राप्त होता है।
नाभिलंब की लंबाई $4a$ द्वारा दी जाती है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $4 \times 5 = 20$ है।

(B) नाभि $(x_1, y_1)$ और नियता $ax + by + c = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,नाभि $(3, -4)$ है और नियता $x + y - 2 = 0$ है।
अतः,$d = \frac{|1(3) + 1(-4) - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|3 - 4 - 2|}{\sqrt{2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
परवलय के नाभिलंब की लंबाई नाभि और नियता के बीच की दूरी की $2$ गुनी होती है।
इसलिए,नाभिलंब की लंबाई $= 2 \times \frac{3}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 6x$ है।
दिया गया है कि भुज (x-निर्देशांक) $24$ है,इसलिए $x = 24$ को समीकरण में रखने पर:
$y^2 = 6(24) = 144$
$y = \pm 12$.
अतः,परवलय पर स्थित बिंदु $(24, 12)$ और $(24, -12)$ हैं।
परवलय $y^2 = 6x$ का शीर्ष $(0, 0)$ है।
$(0, 0)$ और $(24, 12)$ को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण $y = \frac{1}{2}x \Rightarrow 2y = x$ है।
$(0, 0)$ और $(24, -12)$ को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण $y = -\frac{1}{2}x \Rightarrow 2y = -x$ है।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $2y = \pm x$ प्राप्त होता है,जिसे $x \pm 2y = 0$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

(A) माना परवलय पर स्थित बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,कोटि भुज का तीन गुना है,इसलिए $y_1 = 3x_1$ है।
चूंकि बिंदु परवलय $y^2 = 36x$ पर स्थित है,हम $y_1$ का मान समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(3x_1)^2 = 36x_1$
$9x_1^2 = 36x_1$
$9x_1^2 - 36x_1 = 0$
$9x_1(x_1 - 4) = 0$
इससे $x_1 = 0$ या $x_1 = 4$ प्राप्त होता है।
यदि $x_1 = 0$ है,तो $y_1 = 3(0) = 0$ होगा।
यदि $x_1 = 4$ है,तो $y_1 = 3(4) = 12$ होगा।
अतः,बिंदु $(0, 0)$ और $(4, 12)$ हैं।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,बिंदु $(x, y)$ की नाभीय दूरी $x + a$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $y^2 = 12x$ दिया गया है,इसलिए $4a = 12$,जिसका अर्थ है $a = 3$।
नाभीय दूरी $x + a = 4$ है।
$a = 3$ रखने पर,$x + 3 = 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 1$।
समीकरण $y^2 = 12x$ में $x = 1$ रखने पर,$y^2 = 12(1) = 12$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$।
इसलिए,बिंदु $(1, 2\sqrt{3})$ और $(1, -2\sqrt{3})$ हैं।

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $5y^2 = 4x$ है,जिसे $y^2 = \frac{4}{5}x$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे मानक रूप $y^2 = 4ax$ के साथ तुलना करने पर,हमें $4a = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = \frac{1}{5}$।
परवलय की नाभि $(a, 0) = (\frac{1}{5}, 0)$ है।
नाभिलंब नाभि से गुजरने वाली और परवलय की अक्ष के लंबवत रेखा है,इसलिए इसका समीकरण $x = a = \frac{1}{5}$ है।
परवलय समीकरण $y^2 = \frac{4}{5}x$ में $x = \frac{1}{5}$ रखने पर,हमें $y^2 = \frac{4}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{4}{25}$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \pm \frac{2}{5}$।
इसलिए,नाभिलंब के सिरों के निर्देशांक $(\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ और $(\frac{1}{5}, -\frac{2}{5})$ हैं।

(B) चूंकि शीर्ष मूल बिंदु पर है और $y$-अक्ष परवलय की अक्ष है,इसलिए समीकरण $x^2 = 4ay$ के रूप का है।
यह दिया गया है कि परवलय बिंदु $(-4, -2)$ से गुजरता है,इसलिए इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-4)^2 = 4a(-2)$
$16 = -8a$
$a = -2$.
अतः,परवलय का समीकरण $x^2 = -8y$ है।
नाभिलंब की लंबाई $|4a|$ द्वारा दी जाती है।
$|4a| = |4(-2)| = |-8| = 8$.

(D) परवलय का दिया गया समीकरण $x^2 = -16y$ है।
इसे मानक रूप $x^2 = -4ay$ के साथ तुलना करने पर,हमें $4a = 16$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 4$।
चूंकि परवलय नीचे की ओर खुलता है,इसलिए नाभि के निर्देशांक $(0, -a)$ होते हैं।
$a = 4$ रखने पर,नाभि $(0, -4)$ प्राप्त होती है।

(C) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है।
चूंकि परवलय बिंदु $(-3, 2)$ से होकर गुजरता है,हम समीकरण में $x = -3$ और $y = 2$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2)^2 = 4a(-3)$
$4 = -12a$
$a = -4/12 = -1/3$.
नाभिलंब की लंबाई $|4a|$ द्वारा दी जाती है।
$|4a| = |4 \times (-1/3)| = |-4/3| = 4/3$.
अतः,नाभिलंब की लंबाई $4/3$ है।

(C) परवलय का दिया गया समीकरण $x^2 = -8y$ है।
इसे मानक रूप $x^2 = -4ay$ से तुलना करने पर,हमें $4a = 8$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 2$।
परवलय $x^2 = -4ay$ की नाभि $(0, -a)$ होती है,इसलिए नाभि $(0, -2)$ है।
नाभिलंब $x$-अक्ष के समानांतर एक रेखा है जो नाभि $(0, -2)$ से होकर गुजरती है,जिसका समीकरण $y = -2$ है।
नाभिलंब के सिरे ज्ञात करने के लिए,$y = -2$ को परवलय के समीकरण $x^2 = -8y$ में प्रतिस्थापित करें:
$x^2 = -8(-2) = 16$
$x = \pm 4$।
अतः,नाभिलंब के सिरे $(4, -2)$ और $(-4, -2)$ हैं।

(D) परवलय $x^2 = 4ay$ के लिए,नाभि $(0, a)$ पर स्थित है।
नाभिलंब वह रेखाखंड है जो नाभि से होकर गुजरता है और परवलय की अक्ष के लंबवत होता है।
नाभिलंब को दर्शाने वाली रेखा का समीकरण $y = a$ है।
परवलय के समीकरण $x^2 = 4ay$ में $y = a$ रखने पर,हमें $x^2 = 4a(a) = 4a^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = \pm 2a$।
इसलिए,नाभिलंब के अंतिम बिंदु $(-2a, a)$ और $(2a, a)$ हैं।

(B) चूंकि परवलय का अक्ष $y$-अक्ष है,इसलिए समीकरण का रूप $x^2 = 4ay$ होगा।
यह परवलय बिंदु $(6, -3)$ से होकर गुजरता है,इसलिए इन निर्देशांकों को समीकरण में रखने पर:
$(6)^2 = 4a(-3)$
$36 = -12a$
$a = -3$
$a = -3$ का मान $x^2 = 4ay$ में रखने पर:
$x^2 = 4(-3)y$
$x^2 = -12y$.

(A) परवलय का दिया गया समीकरण ${x^2} = -8ay$ है।
इसे मानक रूप ${x^2} = -4Ay$ से तुलना करने पर,हमें $4A = 8a$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $A = 2a$।
परवलय ${x^2} = -4Ay$ की नाभि $(0, -A)$ होती है।
$A = 2a$ प्रतिस्थापित करने पर,नाभि $(0, -2a)$ प्राप्त होती है।
नियता का समीकरण $y = A$ है।
$A = 2a$ प्रतिस्थापित करने पर,नियता $y = 2a$ प्राप्त होती है।
अतः,नाभि $(0, -2a)$ है और नियता $y = 2a$ है।

(C) परवलय की परिभाषा के अनुसार,परवलय पर स्थित किसी बिंदु $P(x, y)$ की नाभि $S(3, 0)$ से दूरी,बिंदु $P$ की नियता $x + 3 = 0$ से लंबवत दूरी के बराबर होती है।
माना $S = (3, 0)$ और नियता $x + 3 = 0$ है।
परिभाषा $SP = PM$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $PM$ नियता से लंबवत दूरी है:
$SP^2 = PM^2$
$(x - 3)^2 + (y - 0)^2 = (x + 3)^2$
$x^2 - 6x + 9 + y^2 = x^2 + 6x + 9$
$y^2 = 6x + 6x$
$y^2 = 12x$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) माना परवलय $y^2 = 4ax$ है।
माना नाभिलंब जीवा वह रेखा है जो नाभि $(a, 0)$ से होकर गुजरती है।
ध्रुव $(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ है।
चूंकि यह जीवा नाभि $(a, 0)$ से गुजरती है,हम $x = a$ और $y = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$0 \cdot y_1 = 2a(a + x_1)$
$0 = 2a^2 + 2ax_1$
$2ax_1 = -2a^2$
$x_1 = -a$.
अतः,ध्रुव $(x_1, y_1)$ का बिंदुपथ $x = -a$ है,जो नियता का समीकरण है।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = x$ है।
चूंकि $y$ की घात सम है,इसलिए $y$ को $-y$ से बदलने पर समीकरण में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
अतः,परवलय $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।

(D) माना बिंदु $(x, y)$ है।
दिया गया है कि कोटि $(y)$,भुज $(x)$ की तीन गुनी है,इसलिए $y = 3x$ है।
$y = 3x$ को परवलय के समीकरण $y^2 = 18x$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3x)^2 = 18x$
$9x^2 = 18x$
$9x^2 - 18x = 0$
$9x(x - 2) = 0$
इससे $x = 0$ या $x = 2$ प्राप्त होता है।
यदि $x = 0$,तो $y = 3(0) = 0$। बिंदु $(0, 0)$ है।
यदि $x = 2$,तो $y = 3(2) = 6$। बिंदु $(2, 6)$ है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,सही बिंदु $(2, 6)$ है।

(D) शीर्ष पर स्पर्श रेखा $(x + y - 12 = 0)$ और नाभिलंब $(x + y - 8 = 0)$ के बीच की दूरी,शीर्ष और नाभि के बीच की दूरी $a$ के बराबर होती है।
दो समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ का उपयोग करने पर:
$a = \frac{|-12 - (-8)|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.
नाभिलंब की लंबाई $4a$ होती है।
लंबाई $= 4 \times (2\sqrt{2}) = 8\sqrt{2}$.

(D) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2 + 2y + x = 0$ है।
$y$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(y^2 + 2y + 1) - 1 + x = 0$
$(y + 1)^2 = -(x - 1)$
इसे मानक रूप $(y - k)^2 = -4a(x - h)$ से तुलना करने पर,हमें शीर्ष $(h, k) = (1, -1)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$-निर्देशांक धनात्मक है और $y$-निर्देशांक ऋणात्मक है,इसलिए बिंदु $(1, -1)$ $IV$ चतुर्थांश में स्थित है।

(D) दिए गए प्राचलिक समीकरण:
$x - 2 = t^2$
$y = 2t$
दूसरे समीकरण से,हमें $t = \frac{y}{2}$ प्राप्त होता है।
$t$ का यह मान पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x - 2 = (\frac{y}{2})^2$
$x - 2 = \frac{y^2}{4}$
$y^2 = 4(x - 2)$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया परवलय का समीकरण: $9x^2 - 6x + 36y + 9 = 0$.
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $9x^2 - 6x = -36y - 9$.
$9$ से भाग देने पर: $x^2 - \frac{2}{3}x = -4y - 1$.
दोनों पक्षों में $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$ जोड़ने पर: $x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = -4y - 1 + \frac{1}{9}$.
$(x - \frac{1}{3})^2 = -4y - \frac{8}{9}$.
$(x - \frac{1}{3})^2 = -4(y + \frac{2}{9})$.
इसे मानक रूप $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ से तुलना करने पर,शीर्ष $(h, k) = (\frac{1}{3}, -\frac{2}{9})$ प्राप्त होता है।

(A) ऊर्ध्वाधर अक्ष वाले परवलय का सामान्य समीकरण $y = ax^2 + bx + c$ है।
चूंकि परवलय $(0, 0)$ से गुजरता है,हमारे पास $0 = a(0)^2 + b(0) + c$ है,जिससे $c = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह $(3, 0)$ से गुजरता है,हमारे पास $0 = a(3)^2 + b(3) + 0$ है,जो $9a + 3b = 0$ या $3a + b = 0$ में सरल होता है,इसलिए $b = -3a$ है।
चूंकि यह $(-1, 4)$ से गुजरता है,हमारे पास $4 = a(-1)^2 + b(-1) + 0$ है,जो $4 = a - b$ देता है।
$b = -3a$ को $4 = a - b$ समीकरण में रखने पर,हमें $4 = a - (-3a) = 4a$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 1$ है।
तब $b = -3(1) = -3$ है।
अतः,समीकरण $y = x^2 - 3x$ है,जिसे $x^2 - 3x - y = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) चूंकि परवलय का अक्ष ऊर्ध्वाधर है,इसलिए समीकरण $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ के रूप का होगा,जहाँ $(h, k)$ शीर्ष है।
दिया गया शीर्ष $(h, k) = (-1, -2)$ है,अतः समीकरण $(x + 1)^2 = 4a(y + 2)$ होगा।
चूंकि परवलय बिंदु $(3, 6)$ से होकर गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(3 + 1)^2 = 4a(6 + 2)$
$4^2 = 4a(8)$
$16 = 32a$
$a = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.
$a = \frac{1}{2}$ का मान समीकरण में रखने पर:
$(x + 1)^2 = 4(\frac{1}{2})(y + 2)$
$(x + 1)^2 = 2(y + 2)$
$x^2 + 2x + 1 = 2y + 4$
$x^2 + 2x - 2y - 3 = 0$.

(D) दिया गया परवलय का समीकरण $x^2 - 4x - 3y + 10 = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $x^2 - 4x = 3y - 10$ प्राप्त होता है।
बाईं ओर पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x^2 - 4x + 4 = 3y - 10 + 4$।
यह सरल होकर $(x - 2)^2 = 3y - 6$ हो जाता है।
$(x - 2)^2 = 3(y - 2)$।
इसे मानक रूप $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ के साथ तुलना करने पर,परवलय का अक्ष $x - h = 0$ है।
अतः,अक्ष $x - 2 = 0$ है।

(B) माना $P(x, y)$ परवलय पर कोई बिंदु है। परवलय की परिभाषा के अनुसार,बिंदु $P$ से नाभि $S(-8, -2)$ की दूरी,बिंदु $P$ से नियता $2x - y - 9 = 0$ की लंबवत दूरी के बराबर होती है।
$PS = \frac{|2x - y - 9|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}$
$\sqrt{(x + 8)^2 + (y + 2)^2} = \frac{|2x - y - 9|}{\sqrt{5}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x + 8)^2 + (y + 2)^2 = \frac{(2x - y - 9)^2}{5}$
$5(x^2 + 16x + 64 + y^2 + 4y + 4) = 4x^2 + y^2 + 81 - 4xy - 36x + 18y$
$5x^2 + 5y^2 + 80x + 20y + 340 = 4x^2 + y^2 - 4xy - 36x + 18y + 81$
$x^2 + 4y^2 + 4xy + 116x + 2y + 259 = 0$.

(A) परवलय की नाभि $S = (-3, 0)$ है और नियता $x + 5 = 0$ है।
चूंकि नियता एक ऊर्ध्वाधर रेखा $(x = -5)$ है,इसलिए परवलय का अक्ष $x$-अक्ष $(y = 0)$ है।
शीर्ष,नाभि और अक्ष तथा नियता के प्रतिच्छेदन बिंदु का मध्यबिंदु होता है।
अक्ष $(y = 0)$ और नियता $(x = -5)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(-5, 0)$ है।
शीर्ष $V = \left( \frac{-3 + (-5)}{2}, 0 \right) = (-4, 0)$ है।
शीर्ष से नाभि की दूरी $a = -3 - (-4) = 1$ है।
परवलय का मानक समीकरण $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ है,जहाँ $(h, k)$ शीर्ष है।
$h = -4, k = 0$,और $a = 1$ रखने पर,हमें $(y - 0)^2 = 4(1)(x - (-4))$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण $y^2 = 4(x + 4)$ है।

(A) $(h, k)$ पर शीर्ष और $x$-अक्ष के समानांतर अक्ष वाले परवलय का मानक समीकरण $(y - k)^2 = 4A(x - h)$ होता है।
यहाँ शीर्ष $(a, 0)$ पर दिया गया है,इसलिए $h = a$ और $k = 0$ है।
अतः,समीकरण $y^2 = 4A(x - a)$ होगा।
नाभि $(a', 0)$ पर है। परवलय $y^2 = 4A(x - h)$ के लिए नाभि $(h + A, k)$ पर होती है।
इसलिए,$a + A = a'$,जिसका अर्थ है $A = a' - a$ है।
$A$ का मान समीकरण में रखने पर,हमें $y^2 = 4(a' - a)(x - a)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण: $y^2 = 4y - 4x$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $y^2 - 4y = -4x$
बाईं ओर पूर्ण वर्ग बनाने पर: $y^2 - 4y + 4 = -4x + 4$
$(y - 2)^2 = -4(x - 1)$
इसकी तुलना मानक रूप $(y - k)^2 = -4a(x - h)$ से करने पर,जहाँ शीर्ष $(h, k)$ है और नाभि $(h - a, k)$ है:
यहाँ,$h = 1$,$k = 2$,और $4a = 4$,इसलिए $a = 1$ है।
नाभि $(h - a, k) = (1 - 1, 2) = (0, 2)$ है।

(A) दिए गए परवलय का समीकरण: $x^2 + 4x + 2y - 7 = 0$
$x$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(x^2 + 4x + 4) - 4 + 2y - 7 = 0$
$(x + 2)^2 + 2y - 11 = 0$
$(x + 2)^2 = -2y + 11$
$(x + 2)^2 = -2(y - 11/2)$
इसे मानक रूप $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ से तुलना करने पर,जहाँ शीर्ष $(h, k)$ है:
$h = -2$ और $k = 11/2$
अतः,शीर्ष $(-2, 11/2)$ है।

(D) क्षैतिज अक्ष वाले परवलय का सामान्य समीकरण $x = ay^2 + by + c$ है।
चूंकि परवलय $(0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $0 = a(0)^2 + b(0) + c$,जिसका अर्थ है $c = 0$।
अतः,समीकरण $x = ay^2 + by$ है।
$(0, -1)$ बिंदु का उपयोग करने पर,हमें $0 = a(-1)^2 + b(-1)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a - b = 0$,यानी $a = b$।
$(6, 1)$ बिंदु का उपयोग करने पर,हमें $6 = a(1)^2 + b(1)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a + b = 6$।
$a + b = 6$ में $a = b$ रखने पर,हमें $2a = 6$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = 3$ और $b = 3$।
समीकरण $x = 3y^2 + 3y$ या $3y^2 + 3y - x = 0$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,कोई भी विकल्प सही नहीं है।

(C) दिया गया समीकरण: ${y^2} + 2By + 2Ax + C = 0$
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(y + B)^2 - B^2 + 2Ax + C = 0$
$(y + B)^2 = -2Ax + B^2 - C$
$(y + B)^2 = -2A(x - \frac{B^2 - C}{2A})$
यह $(y - k)^2 = -4a(x - h)$ के रूप में है,जहाँ $4a = 2A$,इसलिए $a = \frac{A}{2}$ है।
शीर्ष $(h, k) = (\frac{B^2 - C}{2A}, -B)$ है।
परवलय $(y - k)^2 = -4a(x - h)$ की नाभि $(h - a, k)$ होती है।
नाभि $= (\frac{B^2 - C}{2A} - \frac{A}{2}, -B) = (\frac{B^2 - C - A^2}{2A}, -B)$ है।
नाभिलंब का समीकरण $x = h - a$ है।
$x = \frac{B^2 - C}{2A} - \frac{A}{2} = \frac{B^2 - C - A^2}{2A}$।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ के मानक प्राचलिक समीकरण $x = at^2$ और $y = 2at$ होते हैं।
दिए गए समीकरण $y^2 = 8x$ की तुलना $y^2 = 4ax$ से करने पर,हमें $4a = 8$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 2$।
$a = 2$ को प्राचलिक समीकरणों में रखने पर:
$x = 2t^2$
$y = 2(2)t = 4t$
अतः,प्राचलिक समीकरण $x = 2t^2$ और $y = 4t$ हैं।

(B) दिए गए प्राचलिक समीकरण:
$x = \frac{t}{4} \Rightarrow t = 4x$
$t = 4x$ को $y$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \frac{(4x)^2}{4} = \frac{16x^2}{4} = 4x^2$
पुनर्व्यवस्थित करने पर $x^2 = \frac{1}{4}y$ प्राप्त होता है,जो $x^2 = 4ay$ (जहाँ $a = \frac{1}{16}$) के रूप में है,जो एक परवलय को दर्शाता है।

(C) दिया गया है: शीर्ष $(h, k) = (0, 4)$ और नाभि $(0, 2)$ है।
चूंकि शीर्ष और नाभि का $x$-निर्देशांक समान है,इसलिए परवलय का अक्ष ऊर्ध्वाधर है।
शीर्ष और नाभि के बीच की दूरी $a = |4 - 2| = 2$ है।
चूंकि नाभि शीर्ष के नीचे है,इसलिए परवलय नीचे की ओर खुलता है।
नीचे की ओर खुलने वाले परवलय का मानक समीकरण $(x - h)^2 = -4a(y - k)$ है।
मान रखने पर: $(x - 0)^2 = -4(2)(y - 4)$.
$x^2 = -8(y - 4)$.
$x^2 = -8y + 32$.
$x^2 + 8y = 32$.

(D) दिया गया समीकरण: $9x^2 - 6x + 36y + 19 = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $9x^2 - 6x = -36y - 19$
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(3x - 1)^2 - 1 = -36y - 19$
$(3x - 1)^2 = -36y - 18$
$9(x - 1/3)^2 = -36(y + 1/2)$
$(x - 1/3)^2 = -4(y + 1/2)$
इसे मानक रूप $(x - h)^2 = -4a(y - k)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $4a = 4$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = 1$ है।
नाभिलंब की लंबाई $4a = 4$ है।

(A) परवलय का दिया गया समीकरण: $9y^2 - 16x - 12y - 57 = 0$
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$9(y^2 - \frac{4}{3}y) = 16x + 57$
$9(y^2 - \frac{4}{3}y + \frac{4}{9}) = 16x + 57 + 4$
$9(y - \frac{2}{3})^2 = 16x + 61$
$(y - \frac{2}{3})^2 = \frac{16}{9}(x + \frac{61}{16})$
यह $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ के रूप में है,जहाँ परवलय का अक्ष $y - k = 0$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$k = \frac{2}{3}$,इसलिए अक्ष $y - \frac{2}{3} = 0$ है,जिसे सरल करने पर $3y = 2$ प्राप्त होता है।

(B) मूल बिंदु $(0, 0)$ पर शीर्ष और $y$-अक्ष की धनात्मक दिशा में अक्ष वाले परवलय का मानक समीकरण $X^2 = 4AY$ है,जहाँ नाभिलंब की लंबाई $l = 4A$ है,इसलिए $A = \frac{l}{4}$ होगा।
$A$ का मान रखने पर,हमें $X^2 = lY$ प्राप्त होता है।
चूँकि शीर्ष $(a, b)$ पर है,हम रूपांतरण $X = x - a$ और $Y = y - b$ का उपयोग करते हैं।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें $(x - a)^2 = l(y - b)$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों से मेल खाने के लिए,हम दाईं ओर को $(x - a)^2 = \frac{l}{2}(2y - 2b)$ के रूप में लिख सकते हैं।

(A) दिया गया समीकरण $y = x^2 - 8x + c$ है।
पूर्ण वर्ग बनाकर इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$y = (x^2 - 8x + 16) - 16 + c$
$y = (x - 4)^2 + (c - 16)$.
परवलय $y = a(x - h)^2 + k$ का शीर्ष $(h, k)$ होता है।
तुलना करने पर,शीर्ष $(4, c - 16)$ है।
चूंकि शीर्ष $x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $y$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए।
अतः,$c - 16 = 0$,जिससे $c = 16$ प्राप्त होता है।

(C) परवलय का दिया गया समीकरण ${y^2} = 5x + 4y + 1$ है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर:
${y^2} - 4y = 5x + 1$।
दोनों पक्षों में $4$ जोड़ने पर:
${y^2} - 4y + 4 = 5x + 1 + 4$।
${(y - 2)^2} = 5x + 5$।
${(y - 2)^2} = 5(x + 1)$।
इसे मानक रूप ${(y - k)^2} = 4a(x - h)$ से तुलना करने पर,हमें $4a = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $5$ है।