Parabola Questions in Hindi

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $(at^2, 2at)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $ty = x + at^2$ है,जिसे $x - ty + at^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया है कि रेखा $lx + my + n = 0$ परवलय की स्पर्श रेखा है,इसलिए यह समीकरण $x - ty + at^2 = 0$ के समान होनी चाहिए।
गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{1}{l} = \frac{-t}{m} = \frac{at^2}{n}$
$\frac{1}{l} = \frac{-t}{m}$ से,$t = -\frac{m}{l}$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{l} = \frac{at^2}{n}$ से,$t^2 = \frac{n}{al}$ प्राप्त होता है।
$t = -\frac{m}{l}$ को $t^2 = \frac{n}{al}$ में रखने पर:
$(-\frac{m}{l})^2 = \frac{n}{al} \implies \frac{m^2}{l^2} = \frac{n}{al} \implies m^2 = \frac{nl}{a}$.
स्पर्श बिंदु $(at^2, 2at)$ है। मान लीजिए स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
तब $x_1 = at^2 = a(\frac{n}{al}) = \frac{n}{l}$ और $y_1 = 2at = 2a(-\frac{m}{l}) = -\frac{2am}{l}$.
चूंकि स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ परवलय $y^2 = 4ax$ पर स्थित है,इसलिए स्पर्श बिंदु का बिंदुपथ परवलय ही है।

(D) रेखा $y = x + 2$ है। इसे परवलय के समीकरण $y^2 = 8x$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x + 2)^2 = 8x$
$x^2 + 4x + 4 = 8x$
$x^2 - 4x + 4 = 0$
$(x - 2)^2 = 0$
अतः,$x = 2$.
$x = 2$ को रेखा के समीकरण $y = x + 2$ में रखने पर,हमें $y = 2 + 2 = 4$ प्राप्त होता है।
इसलिए,स्पर्श बिंदु $(2, 4)$ है।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ होता है।
बिंदु $(a, 2a)$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y(2a) = 2a(x + a)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $2a$ से विभाजित करने पर,$y = x + a$ प्राप्त होता है।
इसे $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,ढाल $m = 1$ है।
चूंकि $m = \tan \theta$,इसलिए $\tan \theta = 1$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{4}$।

(D) दी गई रेखा $lx + my + n = 0$ $(i)$ और परवलय $x^2 = y$ $(ii)$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = x^2$ को रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करें: $lx + m(x^2) + n = 0$।
इसे द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $mx^2 + lx + n = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि रेखा परवलय को स्पर्श करती है,इसलिए इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) शून्य होना चाहिए $(D = 0)$।
$D = b^2 - 4ac = l^2 - 4(m)(n) = 0$।
अतः,स्पर्शता की स्थिति $l^2 = 4mn$ है।

(D) दिए गए परवलय $y^2 = 9x$ के लिए,$4a = 9$,अतः $a = \frac{9}{4}$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ होता है।
$a = \frac{9}{4}$ रखने पर,समीकरण $y = mx + \frac{9}{4m}$ प्राप्त होता है।
चूंकि स्पर्श रेखा बिंदु $(4, 10)$ से गुजरती है,इसलिए $x = 4$ और $y = 10$ रखने पर:
$10 = 4m + \frac{9}{4m}$
$4m$ से गुणा करने पर:
$40m = 16m^2 + 9$
$16m^2 - 40m + 9 = 0$
गुणनखंड करने पर:
$(4m - 9)(4m - 1) = 0$
$m = \frac{9}{4}$ या $m = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
$m = \frac{9}{4}$ के लिए,समीकरण $9x - 4y + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
$m = \frac{1}{4}$ के लिए,समीकरण $x - 4y + 36 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए बिंदु $t$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $ty = x + at^2$ होता है।
माना दो स्पर्श रेखाएँ बिंदुओं $t_1$ और $t_2$ पर हैं। उनके समीकरण $t_1y = x + at_1^2$ और $t_2y = x + at_2^2$ हैं।
इन स्पर्श रेखाओं की ढाल $m_1 = \frac{1}{t_1}$ और $m_2 = \frac{1}{t_2}$ है।
चूँकि स्पर्श रेखाएँ लंबवत हैं,$m_1 \times m_2 = -1$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{t_1} \times \frac{1}{t_2} = -1$,इसलिए $t_1t_2 = -1$ है।
इन दो स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(at_1t_2, a(t_1 + t_2))$ है।
$t_1t_2 = -1$ प्रतिस्थापित करने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-a, a(t_1 + t_2))$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x$-निर्देशांक हमेशा $-a$ होता है,इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ रेखा $x = -a$ है,जिसे $x + a = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) परवलय $y^2 = 4x$ की कोई भी स्पर्श रेखा $y = mx + \frac{1}{m}$ के रूप में होती है।
यह रेखा वृत्त $(x - 3)^2 + y^2 = 9$ (केंद्र $(3, 0)$ और त्रिज्या $3$) को स्पर्श करती है यदि केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर हो:
$3 = \left| \frac{m(3) - 0 + \frac{1}{m}}{\sqrt{m^2 + 1}} \right|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$9(m^2 + 1) = (3m + \frac{1}{m})^2$
$9m^2 + 9 = 9m^2 + 6 + \frac{1}{m^2}$
$3 = \frac{1}{m^2} \implies m^2 = \frac{1}{3} \implies m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
चूंकि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के ऊपर है,इसलिए हम धनात्मक ढाल $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ चुनते हैं।
$m$ का मान स्पर्श रेखा के समीकरण में रखने पर:
$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3}$
$\sqrt{3}$ से गुणा करने पर:
$\sqrt{3}y = x + 3$.

(A) रेखा $y = mx + c$ के परवलय $y^2 = 4ax$ को स्पर्श करने के लिए शर्त $c = \frac{a}{m}$ है।
रेखा के समीकरण में $c = \frac{a}{m}$ रखने पर,हमें $y = mx + \frac{a}{m}$ प्राप्त होता है।
स्पर्श बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = mx + \frac{a}{m}$ को $y^2 = 4ax$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(mx + \frac{a}{m})^2 = 4ax$
$m^2x^2 + 2ax + \frac{a^2}{m^2} = 4ax$
$m^2x^2 - 2ax + \frac{a^2}{m^2} = 0$
$(mx - \frac{a}{m})^2 = 0$
इससे $x = \frac{a}{m^2}$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{a}{m^2}$ को $y = mx + \frac{a}{m}$ में रखने पर,$y = m(\frac{a}{m^2}) + \frac{a}{m} = \frac{a}{m} + \frac{a}{m} = \frac{2a}{m}$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श बिंदु $\left( \frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m} \right)$ है।

(D) माना परवलय ${y^2} = 4ax$ पर बिंदु $P(at^2, 2at)$ है और नाभि $S(a, 0)$ है।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $ty = x + at^2$ है।
परवलय की नियता $x = -a$ है।
बिंदु $K$ ज्ञात करने के लिए,स्पर्श रेखा के समीकरण में $x = -a$ रखने पर:
$ty = -a + at^2$
$y = \frac{a(t^2 - 1)}{t}$
अतः,$K = (-a, \frac{a(t^2 - 1)}{t})$।
अब,$SP$ और $SK$ की ढाल ज्ञात करें:
$SP$ की ढाल $(m_1)$ = $\frac{2at - 0}{at^2 - a} = \frac{2at}{a(t^2 - 1)} = \frac{2t}{t^2 - 1}$।
$SK$ की ढाल $(m_2)$ = $\frac{\frac{a(t^2 - 1)}{t} - 0}{-a - a} = \frac{a(t^2 - 1)}{t(-2a)} = -\frac{t^2 - 1}{2t}$।
चूँकि $m_1 \times m_2 = (\frac{2t}{t^2 - 1}) \times (-\frac{t^2 - 1}{2t}) = -1$,रेखाएँ $SP$ और $SK$ परस्पर लंबवत हैं।
इसलिए,$\angle PSK = 90^\circ$।

(A) परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $t$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $ty = x + at^2$ है।
$t_1$ और $t_2$ पर स्पर्श रेखाएं $t_1y = x + at_1^2$ और $t_2y = x + at_2^2$ हैं।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(t_1 - t_2)y = a(t_1^2 - t_2^2) = a(t_1 - t_2)(t_1 + t_2)$।
अतः,$y = a(t_1 + t_2)$।
$y$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $t_1(a(t_1 + t_2)) = x + at_1^2$।
$at_1^2 + at_1t_2 = x + at_1^2$,जिससे $x = at_1t_2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,प्रतिच्छेदन बिंदु $(at_1t_2, a(t_1 + t_2))$ है।

(C) दिए गए वक्र $x^2 = 4(y + 1)$ और $x^2 = -4(y + 1)$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,दोनों समीकरणों को बराबर रखने पर: $4(y + 1) = -4(y + 1)$,जिसका अर्थ है $8(y + 1) = 0$,अतः $y = -1$.
$y = -1$ को किसी भी समीकरण में रखने पर $x^2 = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = 0$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, -1)$ है।
प्रथम वक्र $x^2 = 4y + 4$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x = 4 \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{2}$. बिंदु $(0, -1)$ पर,ढाल $m_1 = \frac{0}{2} = 0$.
दूसरे वक्र $x^2 = -4y - 4$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x = -4 \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2}$. बिंदु $(0, -1)$ पर,ढाल $m_2 = -\frac{0}{2} = 0$.
चूंकि $m_1 = m_2 = 0$,वक्र प्रतिच्छेदन बिंदु पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
अतः,प्रतिच्छेदन कोण $0$ है।

(B) दिए गए समीकरण $y^2 = 4(x + 1)$ और $x^2 = 4(y + 1)$ हैं।
ये दो परवलय (parabolas) को दर्शाते हैं।
पहले परवलय $y^2 = 4(x + 1)$ का शीर्ष $(-1, 0)$ है और यह $x$-अक्ष के अनुदिश दाईं ओर खुलता है।
दूसरे परवलय $x^2 = 4(y + 1)$ का शीर्ष $(0, -1)$ है और यह $y$-अक्ष के अनुदिश ऊपर की ओर खुलता है।
चूंकि पहले परवलय का अक्ष $x$-अक्ष है और दूसरे परवलय का अक्ष $y$-अक्ष है,और ये अक्ष एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए इन दो वक्रों के बीच का प्रतिच्छेदन कोण $90^\circ$ है।

(D) दिया गया परवलय $y^2 = ax$ है,जिसे $y^2 = 4 \left( \frac{a}{4} \right) x$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मानक रूप $y^2 = 4Ax$ के साथ तुलना करने पर,$A = \frac{a}{4}$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा की ढाल $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ है।
परवलय $y^2 = 4Ax$ के लिए,किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{2A}{y_1}$ होती है।
मान रखने पर,$1 = \frac{2(a/4)}{y_1} = \frac{a/2}{y_1}$।
अतः,$y_1 = \frac{a}{2}$।
चूंकि बिंदु $(x_1, y_1)$ परवलय $y^2 = ax$ पर स्थित है,इसलिए $y_1^2 = ax_1$ होगा।
$y_1 = \frac{a}{2}$ रखने पर,$\left( \frac{a}{2} \right)^2 = ax_1$,जिसका अर्थ है $\frac{a^2}{4} = ax_1$।
इसलिए,$x_1 = \frac{a}{4}$।
स्पर्श बिंदु $\left( \frac{a}{4}, \frac{a}{2} \right)$ है।

(B) माना परवलय $y^2 = 4ax$ है। नाभीय जीवा के सिरे $P(at_1^2, 2at_1)$ और $Q(at_2^2, 2at_2)$ हैं,जहाँ $t_1t_2 = -1$ है।
$P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाएँ बिंदु $(at_1t_2, a(t_1+t_2))$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
$t_1t_2 = -1$ प्रतिस्थापित करने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-a, a(t_1+t_2))$ प्राप्त होता है।
चूँकि परवलय $y^2 = 4ax$ की नियता $x = -a$ है,इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु नियता पर स्थित है।

(B) माना जीवा मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरती है। ऐसी रेखा का समीकरण $y = mx$ है।
$y = mx$ को परवलय $y^2 = 4ax$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(mx)^2 = 4ax$ प्राप्त होता है,जो $m^2x^2 - 4ax = 0$ में सरल हो जाता है।
इससे $x(m^2x - 4a) = 0$ प्राप्त होता है,अतः प्रतिच्छेदन बिंदु $x_1 = 0$ और $x_2 = \frac{4a}{m^2}$ हैं।
संगत $y$-निर्देशांक $y_1 = 0$ और $y_2 = m(\frac{4a}{m^2}) = \frac{4a}{m}$ हैं।
जीवा का मध्य बिंदु $(h, k)$,$h = \frac{0 + \frac{4a}{m^2}}{2} = \frac{2a}{m^2}$ और $k = \frac{0 + \frac{4a}{m}}{2} = \frac{2a}{m}$ द्वारा दिया जाता है।
$k = \frac{2a}{m}$ से,हमें $m = \frac{2a}{k}$ प्राप्त होता है।
इसे $h = \frac{2a}{m^2}$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $h = \frac{2a}{(2a/k)^2} = \frac{2a \cdot k^2}{4a^2} = \frac{k^2}{2a}$ प्राप्त होता है।
अतः,$k^2 = 2ah$. $(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $y^2 = 2ax$ है।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 8x$ है। $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$a = 2$ प्राप्त होता है।
दी गई रेखा $x - 2y + 5 = 0$ की ढाल $m = 1/2$ है।
चूंकि अभिलंब इस रेखा के समांतर है,इसलिए अभिलंब की ढाल $m_n = 1/2$ होगी।
परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $(at^2, 2at)$ पर अभिलंब की ढाल $-t$ होती है।
ढालों की तुलना करने पर: $-t = 1/2$,अतः $t = -1/2$।
बिंदु के निर्देशांक $(at^2, 2at) = (2(-1/2)^2, 2(2)(-1/2)) = (2(1/4), -2) = (1/2, -2)$ हैं।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(1/2, -2)$ है।

(D) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^3$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदु $(x_1, y_1)$ से गुजरने वाले अभिलंब के लिए,$y_1 = mx_1 - 2am - am^3$ होता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $m$ में एक त्रिघात समीकरण प्राप्त होता है: $am^3 + (2a - x_1)m + y_1 = 0$।
चूंकि यह $m$ में एक त्रिघात समीकरण है,इसलिए इसके अधिकतम $3$ वास्तविक मूल हो सकते हैं।
अतः,एक परवलय पर किसी बिंदु से अधिकतम $3$ अभिलंब खींचे जा सकते हैं।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 8x$ है,इसलिए $4a = 8$,जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब की प्रवणता $m = -\frac{y_1}{2a}$ द्वारा दी जाती है।
अभिलंब $x$-अक्ष के साथ $60^\circ$ का कोण बनाता है,इसलिए इसकी प्रवणता $m = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$ है।
प्रवणता की तुलना करने पर: $\sqrt{3} = -\frac{y_1}{2(2)} = -\frac{y_1}{4}$।
अतः,$y_1 = -4\sqrt{3}$।
चूँकि बिंदु परवलय $y^2 = 8x$ पर स्थित है,इसलिए $(-4\sqrt{3})^2 = 8x_1$।
$16 \times 3 = 8x_1 \implies 48 = 8x_1 \implies x_1 = 6$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(6, -4\sqrt{3})$ है।

(C) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 4a$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y}$।
बिंदु $(at^2, 2at)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_T = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_N = -\frac{1}{m_T}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$m_N = -\frac{1}{1/t} = -t$।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $2y y_1 = 4a(x + x_1) \implies y = \frac{2a}{y_1}(x + x_1)$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $\left( \frac{a}{4}, a \right)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{2a}{a} = 2$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{2}$ होगी।
बिंदु $\left( \frac{a}{4}, a \right)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ है।
$y - a = -\frac{1}{2}(x - \frac{a}{4})$.
$2(y - a) = -(x - \frac{a}{4})$.
$2y - 2a = -x + \frac{a}{4}$.
$x + 2y = 2a + \frac{a}{4} = \frac{9a}{4}$.
$4x + 8y = 9a$.
$4x + 8y - 9a = 0$.

(C) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 4a$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P\left( \frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m} \right)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{2a}{2a/m} = m$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{m}$ है।
अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ है।
$y - \frac{2a}{m} = -\frac{1}{m} \left( x - \frac{a}{m^2} \right)$.
$m^3$ से गुणा करने पर,$m^3y - 2am^2 = -m^2x + a$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$m^3y + m^2x = 2am^2 + a$ प्राप्त होता है।

(C) परवलय का समीकरण $y^2 = -8x$ है। इसकी तुलना $y^2 = -4ax$ से करने पर,हमें $a = 2$ प्राप्त होता है।
रेखा का समीकरण $y = -2x - k$ है,जो $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $m = -2$ और $c = -k$ है।
परवलय $y^2 = -4ax$ के लिए रेखा $y = mx + c$ के अभिलंब होने की शर्त $c = -2am - am^3$ है।
इस शर्त में $a = 2$,$m = -2$,और $c = -k$ का मान रखने पर:
$-k = -2(2)(-2) - 2(-2)^3$
$-k = 8 - 2(-8)$
$-k = 8 + 16$
$-k = 24$
$k = -24$.

(D) परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $t_1$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -t_1x + 2at_1 + at_1^3$ है।
बिंदु $(a, 2a)$ के लिए,$2a = t_1(2a) \implies t_1^2 = 1$,अतः $t_1 = 1$ (चूंकि $y = 2a > 0$ है)।
परवलय पर स्थित उन दो बिंदुओं के प्राचलों के बीच संबंध,जहाँ एक बिंदु पर खींचा गया अभिलंब दूसरे बिंदु पर मिलता है,$t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}$ द्वारा दिया जाता है।
$t_1 = 1$ और $t_2 = t$ प्रतिस्थापित करने पर:
$t = -1 - \frac{2}{1} = -3$।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 6x$ है। इसे $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$4a = 6$,अतः $a = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
परवलय का शीर्ष $(0, 0)$ है।
नाभिलंब के सिरों के निर्देशांक $(a, 2a)$ और $(a, -2a)$ होते हैं।
नाभिलंब का ऋणात्मक सिरा $(a, -2a) = (\frac{3}{2}, -2 \times \frac{3}{2}) = (\frac{3}{2}, -3)$ है।
शीर्ष $(0, 0)$ और बिंदु $(\frac{3}{2}, -3)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण $y - 0 = \frac{-3 - 0}{3/2 - 0}(x - 0)$ द्वारा प्राप्त होता है।
$y = \frac{-3}{3/2}x = -2x$.
अतः,$y + 2x = 0$.

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए बिंदु $(x_1, y_1)$ से खींची गई स्पर्श जीवा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ होता है।
यहाँ $y^2 = 8x$ है,अतः $4a = 8$,जिसका अर्थ है $a = 2$। बिंदु $(2, 5)$ है।
अतः,स्पर्श जीवा का समीकरण $5y = 2 \times 2(x + 2) \Rightarrow 5y = 4x + 8$ है।
परवलय और स्पर्श जीवा के प्रतिच्छेदन बिंदु $(0.5, 2)$ और $(8, 8)$ हैं।
अतः,जीवा की लंबाई $\sqrt{(8 - 0.5)^2 + (8 - 2)^2} = \sqrt{56.25 + 36} = \frac{3}{2}\sqrt{41}$ है।

(C) परवलय का अर्ध-नाभिलंब नाभीय जीवा के खंडों के बीच का हरात्मक माध्य (harmonic mean) होता है।
माना नाभीय जीवा के खंड $a$ और $c$ हैं और अर्ध-नाभिलंब $b$ है।
नाभीय जीवा के गुणधर्म के अनुसार,$b = \frac{2ac}{a + c}$ होता है।
यह दर्शाता है कि $\frac{1}{b} = \frac{a + c}{2ac} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{c} + \frac{1}{a} \right)$।
चूंकि $a, b, c$ के व्युत्क्रम समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।

(A) रेखा का समीकरण $lx + my + n = 0$ है,जिसे $\frac{lx + my}{-n} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है,जिसे $y^2 = 4ax(1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा के समीकरण से $1$ का मान परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें शीर्ष से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का समघात समीकरण प्राप्त होता है:
$y^2 = 4ax \left( \frac{lx + my}{-n} \right)$
$-ny^2 = 4alx^2 + 4amxy$
$4alx^2 + 4amxy + ny^2 = 0$.
चूंकि ये रेखाएं शीर्ष पर समकोण बनाती हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए।
अतः,$4al + n = 0$।

(C) माना समांतर जीवाओं का समीकरण $y = mx + c$ है,जहाँ $m$ अचर है और $c$ एक चर पैरामीटर है।
परवलय $y^2 = 4ax$ में $x = \frac{y - c}{m}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$y^2 = 4a \left( \frac{y - c}{m} \right)$
$my^2 - 4ay + 4ac = 0$
$y^2 - \frac{4a}{m}y + \frac{4ac}{m} = 0$
माना प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ हैं। मूलों का योग $y_1 + y_2 = \frac{4a}{m}$ है।
मध्य-बिंदु का $y$-निर्देशांक $Y = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{2a}{m}$ है।
चूँकि $Y = \frac{2a}{m}$ एक अचर है,मध्य-बिंदु परवलय की अक्ष के समांतर एक रेखा पर स्थित हैं।

(D) माना परवलय $y^2 = 4ax$ पर बिंदु $P$ और $Q$ क्रमशः $(at_1^2, 2at_1)$ और $(at_2^2, 2at_2)$ हैं।
बिंदु $t$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है।
यदि $t_1$ और $t_2$ पर अभिलंब वक्र पर स्थित बिंदु $R(at_3^2, 2at_3)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो $t_1t_2 = 2$ होता है।
$P$ और $Q$ की कोटियाँ $y_1 = 2at_1$ और $y_2 = 2at_2$ हैं।
कोटियों का गुणनफल $y_1y_2 = (2at_1)(2at_2) = 4a^2(t_1t_2)$ है।
चूँकि $t_1t_2 = 2$,इसलिए गुणनफल $4a^2(2) = 8a^2$ है।

(A) परवलय का समीकरण ${x^2} = 4ay$ है।
परवलय ${x^2} = 4ay$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $x = my - 2am - am^3$ होता है।
इस समीकरण की तुलना दिए गए समीकरण $x = my + c$ से करने पर,हमें $c = - 2am - am^3$ प्राप्त होता है।

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,अर्ध-नाभिलंब $l = 2a$ किसी भी नाभीय जीवा $PSQ$ के खंडों का हरात्मक माध्य होता है।
दिए गए $y^2 = 8x$ से,$4a = 8$,अतः $a = 2$। इसलिए,अर्ध-नाभिलंब $l = 2a = 4$ है।
चूंकि $SP, l, SQ$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,इसलिए:
$l = \frac{2(SP)(SQ)}{SP + SQ}$
$SP = 6$ और $l = 4$ का मान रखने पर:
$4 = \frac{2(6)(SQ)}{6 + SQ}$
$4 = \frac{12(SQ)}{6 + SQ}$
$4(6 + SQ) = 12(SQ)$
$24 + 4(SQ) = 12(SQ)$
$8(SQ) = 24$
$SQ = 3$.

(D) परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $(am^2, -2am)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^3$ होता है।
परवलय $y^2 = 4x$ के लिए,$a = 1$ है। अतः,$(m^2, -2m)$ पर अभिलंब $y = mx - 2m - m^3$ है।
इस अभिलंब की ढाल $m$ है।
यदि अभिलंब निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाता है,तो इसका झुकाव $\theta = 45^{\circ}$ या $135^{\circ}$ होना चाहिए,इसलिए ढाल $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ या $m = \tan(135^{\circ}) = -1$ होगी।
स्थिति $1$: यदि $m = 1$ है,तो बिंदु $(1^2, -2(1)) = (1, -2)$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: यदि $m = -1$ है,तो बिंदु $((-1)^2, -2(-1)) = (1, 2)$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही बिंदु $(1, -2)$ है।

(D) दिया गया परवलय ${y^2} = 4a(x - a)$ है।
परवलय पर एक बिंदु $(x_1, y_1)$ मानिए। $(x_1, y_1)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y{y_1} = 2a(x + x_1 - 2a)$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल $m_t = \frac{2a}{y_1}$ है।
अभिलंब की ढाल $m = -\frac{1}{m_t} = -\frac{y_1}{2a}$ है,जिसका अर्थ है $y_1 = -2am$।
चूंकि बिंदु $(x_1, y_1)$ परवलय पर स्थित है,${y_1^2} = 4a(x_1 - a)$।
$y_1 = -2am$ प्रतिस्थापित करने पर,$(-2am)^2 = 4a(x_1 - a)$,जो $4a^2m^2 = 4a(x_1 - a)$ में सरल हो जाता है,इसलिए $x_1 - a = am^2$,या $x_1 = a + am^2$।
$(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है।
$x_1$ और $y_1$ का मान रखने पर,$y - (-2am) = m(x - (a + am^2))$।
$y + 2am = mx - am - am^3$।
$y = m(x - a) - 2am - am^3$।

(D) माना नाभिलंब जीवा के सिरे $P(at_1^2, 2at_1)$ और $Q(at_2^2, 2at_2)$ हैं।
चूँकि $PQ$ एक नाभिलंब जीवा है,इसलिए $t_1 t_2 = -1$ होगा।
$P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(at_1 t_2, a(t_1 + t_2))$ है।
$t_1 t_2 = -1$ प्रतिस्थापित करने पर,$x$-निर्देशांक $x = a(-1) = -a$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श रेखाएँ रेखा $x = -a$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,जो परवलय की नियता (directrix) है।
इसलिए,समीकरण $x + a = 0$ है।

(A) $y^2 = 4ax$ परवलय के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^3$ है।
यदि अभिलंब $(h, k)$ बिंदु से गुजरता है,तो $am^3 + (2a - h)m + k = 0$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण के तीन मूल $m_1, m_2, m_3$ हैं,जो तीन अभिलंब पाद $(am_i^2, -2am_i)$ दर्शाते हैं।
त्रिभुज का केंद्रक $(x_c, y_c) = (\frac{a(m_1^2 + m_2^2 + m_3^2)}{3}, \frac{-2a(m_1 + m_2 + m_3)}{3})$ है।
त्रिघात समीकरण के गुणधर्म के अनुसार $m_1 + m_2 + m_3 = 0$ है,इसलिए $y_c = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्रक परवलय की अक्ष पर स्थित है।

(D) यदि वृत्त के व्यास के सिरे $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ हैं,तो वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
यहाँ अभिलंब जीवा के सिरे $(3, 6)$ और $(27, -18)$ दिए गए हैं,अतः वृत्त का समीकरण:
$(x - 3)(x - 27) + (y - 6)(y + 18) = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$(x^2 - 27x - 3x + 81) + (y^2 + 18y - 6y - 108) = 0$
${x^2} + {y^2} - 30x + 12y + 81 - 108 = 0$
${x^2} + {y^2} - 30x + 12y - 27 = 0$.

(A) परवलय $y^2 = 4ax$ (जहाँ $a=1$) के लिए,बिंदु $P(t_1^2, 2t_1)$ पर अभिलंब परवलय को फिर से $Q(t_2^2, 2t_2)$ पर मिलता है,जहाँ $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}$ है।
यदि जीवा $PQ$ शीर्ष $(0,0)$ पर समकोण बनाती है,तो $OP$ और $OQ$ की प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ होता है।
$OP$ की प्रवणता $= \frac{2}{t_1}$ और $OQ$ की प्रवणता $= \frac{2}{t_2}$।
अतः,$(\frac{2}{t_1}) \times (\frac{2}{t_2}) = -1 \Rightarrow t_1 t_2 = -4$।
$t_2 = -\frac{4}{t_1}$ को अभिलंब की शर्त में रखने पर: $-t_1 - \frac{2}{t_1} = -\frac{4}{t_1}$ $\Rightarrow t_1 = \frac{2}{t_1}$ $\Rightarrow t_1^2 = 2$।
इस प्रकार,$t_1 = \sqrt{2}$ और $t_2 = -2\sqrt{2}$।
निर्देशांक $P(2, 2\sqrt{2})$ और $Q(8, -4\sqrt{2})$ हैं।
लंबाई $PQ = \sqrt{(8-2)^2 + (-4\sqrt{2} - 2\sqrt{2})^2} = \sqrt{6^2 + (-6\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 + 72} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$।

(B) परवलय का समीकरण ${y^2} = 12x$ है,जो ${y^2} = 4ax$ के रूप में है,जहाँ $a = 3$ है।
परवलय ${y^2} = 4ax$ के लिए बिंदु $t$ पर अभिलंब का समीकरण $y + tx = 2at + at^3$ होता है।
$a = 3$ रखने पर,अभिलंब का समीकरण $y + tx = 6t + 3t^3$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना दिए गए अभिलंब $x + y = k$ से करने पर,हमें $tx + y = 6t + 3t^3$ और $x + y = k$ प्राप्त होता है।
चूंकि ये एक ही रेखा को दर्शाते हैं,इसलिए गुणांक समानुपाती होने चाहिए:
$\frac{t}{1} = \frac{1}{1} = \frac{6t + 3t^3}{k}$।
$\frac{t}{1} = 1$ से,हमें $t = 1$ प्राप्त होता है।
$t = 1$ को अनुपात $\frac{1}{1} = \frac{6(1) + 3(1)^3}{k}$ में रखने पर,$1 = \frac{6 + 3}{k}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $k = 9$।

(A) परवलय $y^2 = 4bx$ के बिंदु $P(bt_1^2, 2bt_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y + t_1x = 2bt_1 + bt_1^3$ है।
चूंकि यह अभिलंब परवलय को बिंदु $Q(bt_2^2, 2bt_2)$ पर मिलता है,बिंदु $Q$ अभिलंब के समीकरण को संतुष्ट करता है।
$x = bt_2^2$ और $y = 2bt_2$ रखने पर:
$2bt_2 + t_1(bt_2^2) = 2bt_1 + bt_1^3$.
$b$ से विभाजित करने पर:
$2t_2 + t_1t_2^2 = 2t_1 + t_1^3$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$t_1(t_2^2 - t_1^2) + 2(t_2 - t_1) = 0$.
$t_1(t_2 - t_1)(t_2 + t_1) + 2(t_2 - t_1) = 0$.
$(t_2 - t_1)$ से विभाजित करने पर:
$t_1(t_2 + t_1) + 2 = 0$.
$t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}$.

(A) परवलय $y^2 = 16x$ है,इसलिए $4a = 16$,जिससे $a = 4$ प्राप्त होता है। नाभि $(4, 0)$ है।
$(4, 0)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली किसी भी नाभि जीवा का समीकरण $y - 0 = m(x - 4)$ अर्थात $mx - y - 4m = 0$ होता है।
यह रेखा वृत्त $(x - 6)^2 + y^2 = 2$ की स्पर्श रेखा है,जिसका केंद्र $(6, 0)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{2}$ है।
केंद्र $(6, 0)$ से रेखा $mx - y - 4m = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $\sqrt{2}$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{|m(6) - 0 - 4m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \sqrt{2}$.
$\frac{|2m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{4m^2}{m^2 + 1} = 2$.
$4m^2 = 2m^2 + 2$.
$2m^2 = 2$,इसलिए $m^2 = 1$,जिससे $m = \pm 1$ प्राप्त होता है।
अतः,ढाल के संभावित मान $\{-1, 1\}$ हैं।

(D) परवलय का समीकरण ${y^2 = 8x}$ है,जो ${y^2 = 4ax}$ के रूप में है,इसलिए ${a = 2}$ है।
बिंदु $(2, 4)$ प्राचल ${t_1}$ के अनुरूप है जहाँ ${at_1^2 = 2}$ और ${2at_1 = 4}$ है।
${a = 2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें ${2t_1^2 = 2 \implies t_1^2 = 1 \implies t_1 = 1}$ प्राप्त होता है (चूंकि ${y > 0}$)।
यदि ${t_1}$ पर अभिलंब परवलय को ${t_2}$ पर मिलता है,तो ${t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}}$ होता है।
${t_1 = 1}$ रखने पर,हमें ${t_2 = -1 - \frac{2}{1} = -3}$ प्राप्त होता है।
बिंदु के निर्देशांक $(at_2^2, 2at_2) = (2(-3)^2, 2(2)(-3)) = (18, -12)$ हैं।

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,नाभि $(a, 0)$ पर स्थित है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ के ध्रुव का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
नाभि $(a, 0)$ को समीकरण में रखने पर,हमें $y(0) = 2a(x + a)$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $0 = 2a(x + a)$ हो जाता है।
चूंकि $a \neq 0$,इसलिए हमें $x + a = 0$ या $x = -a$ प्राप्त होता है।
यह परवलय की नियता का समीकरण है।
अतः,नाभि का ध्रुव नियता है।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $m$ ढाल वाली जीवा के संगत व्यास का समीकरण $y = \frac{2a}{m}$ होता है।
यहाँ परवलय $y^2 = x$ दिया गया है,इसलिए $4a = 1$ अर्थात $a = \frac{1}{4}$ है।
दी गई जीवा $x - y + 1 = 0$ है,जिसे $y = x + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,ढाल $m = 1$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$y = \frac{2 \times (1/4)}{1}$
$y = \frac{1/2}{1}$
$y = \frac{1}{2}$
$2y = 1$.

(C) परवलय का समीकरण $x^2 = 12y$ है। इसकी तुलना $x^2 = 4ay$ से करने पर,हमें $4a = 12$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = 3$.
परवलय का शीर्ष $(0, 0)$ पर है।
नाभिलंब रेखा $y = a = 3$ है।
नाभिलंब के सिरे $y = 3$ को $x^2 = 12y$ में प्रतिस्थापित करके प्राप्त किए जाते हैं,जिससे $x^2 = 36$ मिलता है,इसलिए $x = \pm 6$.
अतः,नाभिलंब के सिरों के निर्देशांक $L_1(6, 3)$ और $L_2(-6, 3)$ हैं।
त्रिभुज $(0, 0)$,$(6, 3)$,और $(-6, 3)$ शीर्षों द्वारा निर्मित है।
त्रिभुज का आधार नाभिलंब की लंबाई है,जो $6 - (-6) = 12$ है।
त्रिभुज की ऊँचाई नाभिलंब का $y$-निर्देशांक है,जो $3$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18 \ sq. \ unit$ है।

(D) दिया गया परवलय $y^2 = 4x$ है। शीर्षों के कोटि $y_1 = 1, y_2 = 2, y_3 = 4$ हैं।
चूंकि बिंदु परवलय पर स्थित हैं,इसलिए उनके $x$-निर्देशांक $x = \frac{y^2}{4}$ द्वारा प्राप्त होते हैं।
$y_1 = 1$ के लिए,$x_1 = \frac{1^2}{4} = \frac{1}{4}$।
$y_2 = 2$ के लिए,$x_2 = \frac{2^2}{4} = 1$।
$y_3 = 4$ के लिए,$x_3 = \frac{4^2}{4} = 4$।
त्रिभुज के शीर्ष $(\frac{1}{4}, 1), (1, 2)$ और $(4, 4)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\frac{1}{4}(2 - 4) + 1(4 - 1) + 4(1 - 2)|$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-\frac{1}{2} + 3 - 4| = \frac{1}{2} |-\frac{3}{2}| = \frac{3}{4}$।

(B) माना समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $O(0, 0)$,$P(x, y)$,और $Q(x, -y)$ हैं।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है और $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,भुजा $OP$ द्वारा $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $30^\circ$ है।
रेखा $OP$ का समीकरण $y = x \tan(30^\circ) = \frac{x}{\sqrt{3}}$,या $x = y\sqrt{3}$ है।
इसे परवलय के समीकरण $y^2 = 4ax$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y^2 = 4a(y\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}ay$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y \neq 0$,इसलिए $y = 4\sqrt{3}a$ है।
तब $x = (4\sqrt{3}a)\sqrt{3} = 12a$ है।
त्रिभुज की भुजा की लंबाई $L$,$PQ$ की दूरी है,जो $2y = 2(4\sqrt{3}a) = 8a\sqrt{3}$ है।

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ पर स्थित त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक $\left( \frac{y_1^2}{4a}, y_1 \right)$,$\left( \frac{y_2^2}{4a}, y_2 \right)$,और $\left( \frac{y_3^2}{4a}, y_3 \right)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ सूत्र का उपयोग करने पर,
$\Delta = \frac{1}{8a} |y_1^2(y_2 - y_3) + y_2^2(y_3 - y_1) + y_3^2(y_1 - y_2)|$
इस व्यंजक को सरल करने पर हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \frac{1}{8a} |(y_1 - y_2)(y_2 - y_3)(y_3 - y_1)|$.

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए बिंदु $(x_1, y_1)$ से स्पर्श जीवा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ होता है।
यहाँ परवलय $y^2 = 4x$ है,इसलिए $4a = 4$ अर्थात $a = 1$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (-1, 2)$ है।
मान रखने पर:
$y(2) = 2(1)(x + (-1))$
$2y = 2(x - 1)$
$y = x - 1$.
अतः,स्पर्श जीवा का समीकरण $y = x - 1$ है।

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,जहाँ $a = 1$,बिंदु $(x_1, y_1) = (-1, 2)$ से स्पर्श जीवा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ है।
मान रखने पर,हमें $2y = 2(x - 1)$ प्राप्त होता है,जो $y = x - 1$ या $x - y - 1 = 0$ में सरल हो जाता है।
स्पर्श बिंदु $P$ और $Q$ ज्ञात करने के लिए,$x = y + 1$ को $y^2 = 4x$ में रखने पर:
$y^2 = 4(y + 1) \implies y^2 - 4y - 4 = 0$.
हल $y = 2 \pm 2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $P(3 + 2\sqrt{2}, 2 + 2\sqrt{2})$ और $Q(3 - 2\sqrt{2}, 2 - 2\sqrt{2})$ हैं।
स्पर्श जीवा की लंबाई $PQ = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2} = 8$.
बिंदु $(-1, 2)$ से रेखा $x - y - 1 = 0$ की लंबवत दूरी $p = \frac{|-1 - 2 - 1|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times PQ \times p = \frac{1}{2} \times 8 \times 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ है।

(C) माना परवलय पर स्थित बिंदु $(x, y)$ है। चूँकि $2y = x^2$,इसलिए $y = x^2/2$ है।
$(x, x^2/2)$ और $(0, 3)$ के बीच की दूरी $D$ है,अतः $D^2 = (x - 0)^2 + (x^2/2 - 3)^2$ है।
$f(x) = D^2 = x^4/4 - 2x^2 + 9$ लेने पर।
न्यूनतम दूरी के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$f'(x) = x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $x = 0$ या $x = \pm 2$ मिलता है।
$x = 0$ के लिए $y = 0$,दूरी $3$ है।
$x = \pm 2$ के लिए $y = 2$,दूरी $\sqrt{5}$ है।
चूँकि $\sqrt{5} < 3$,इसलिए $(\pm 2, 2)$ सबसे निकटतम बिंदु हैं।
अतः विकल्प $(c)$ सही है।