Parabola Questions in Hindi

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 4x$ है। इसकी तुलना $y^2 = 4ax$ से करने पर,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है।
परवलय की नियता (directrix) $x = -a$ द्वारा दी जाती है,जो $x = -1$ है।
दिया गया बिंदु $(-1, -60)$ है। चूंकि बिंदु का $x$-निर्देशांक $-1$ है,इसलिए यह बिंदु परवलय की नियता पर स्थित है।
परवलय का एक गुण यह है कि नियता पर स्थित किसी भी बिंदु से परवलय पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ एक-दूसरे पर लंब होती हैं।
अतः,दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $90^o$ है।

(C) शांकव का दिया गया समीकरण ${x^2} + 10x - 16y + 25 = 0$ है।
वर्ग पूरा करके समीकरण को फिर से लिखने पर: ${(x + 5)^2} - 25 - 16y + 25 = 0$,जो ${(x + 5)^2} = 16y$ में सरल हो जाता है।
यह ${(x - h)^2} = 4a(y - k)$ के रूप का एक परवलय है,जहाँ $h = -5$,$k = 0$,और $4a = 16$,इसलिए $a = 4$ है।
परवलय की नाभि $(h, k + a) = (-5, 0 + 4) = (-5, 4)$ है।
नाभिलंब नाभि $(-5, 4)$ से गुजरने वाली $y = 4$ रेखा है।
समीकरण ${(x + 5)^2} = 16(4) = 64$ में $y = 4$ रखने पर,हमें $x + 5 = \pm 8$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = -5 + 8 = 3$ और $x = -5 - 8 = -13$ है।
नाभिलंब के सिरे $(3, 4)$ और $(-13, 4)$ हैं।

(D) दिए गए वक्र $x^2 = 8y$ और $y^2 = 8x$ हैं।
वक्र $x^2 = 8y$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x = 8 \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{4}$। मूल बिंदु $(0, 0)$ पर,ढाल $m_1 = 0$ है।
वक्र $y^2 = 8x$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 8$ प्राप्त होता है,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{4}{y}$। मूल बिंदु $(0, 0)$ पर,ढाल $m_2$ अपरिभाषित है (ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा)।
चूंकि एक स्पर्शरेखा क्षैतिज ($x$-अक्ष) है और दूसरी ऊर्ध्वाधर ($y$-अक्ष) है,इसलिए मूल बिंदु पर प्रतिच्छेदन कोण $\pi / 2$ है।

(C) परवलय का समीकरण $x^2 = 4y$ है,जो $x^2 = 4ay$ के रूप में है,जहाँ $a = 1$ है।
रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है,जहाँ $m = 2$ और $c = k$ है।
एक रेखा $y = mx + c$ परवलय $x^2 = 4ay$ की स्पर्शरेखा होती है यदि $c = -am^2$ हो।
शर्त में $a = 1$ और $m = 2$ का मान रखने पर:
$k = -(1)(2)^2$
$k = -4$.

(C) दी गई रेखा $x + y = 0$ $(i)$ और वृत्त $x^2 + y^2 + 4y = 0$ $(ii)$ है।
$(i)$ से $x = -y$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$(-y)^2 + y^2 + 4y = 0$
$2y^2 + 4y = 0$
$2y(y + 2) = 0$
अतः,$y = 0$ या $y = -2$ है।
यदि $y = 0$,तो $x = 0$। बिंदु $(0, 0)$ है।
यदि $y = -2$,तो $x = 2$। बिंदु $(2, -2)$ है।
अब,$(0, 0)$ और $(2, -2)$ से गुजरने वाले परवलय के लिए विकल्पों की जाँच करने पर:
$y^2 = 2x$ के लिए:
$(0, 0)$ पर: $0^2 = 2(0) \implies 0 = 0$ (संतुष्ट है)।
$(2, -2)$ पर: $(-2)^2 = 2(2) \implies 4 = 4$ (संतुष्ट है)।
अतः,सही समीकरण $y^2 = 2x$ है।

(C) दिया गया परवलय $y^2 = 2ax$ है।
नाभि $(a/2, 0)$ है और नियता $x = -a/2$ है।
चूंकि वृत्त नियता को स्पर्श करता है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r$ नाभि $(a/2, 0)$ से रेखा $x = -a/2$ तक की दूरी है,जो $r = |a/2 - (-a/2)| = a$ है।
केंद्र $(a/2, 0)$ और त्रिज्या $a$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - a/2)^2 + y^2 = a^2$ है।
वृत्त के समीकरण में $y^2 = 2ax$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - a/2)^2 + 2ax = a^2$
$x^2 - ax + a^2/4 + 2ax = a^2$
$x^2 + ax - 3a^2/4 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर $x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4(1)(-3a^2/4)}}{2} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 + 3a^2}}{2} = \frac{-a \pm 2a}{2}$.
अतः,$x = a/2$ या $x = -3a/2$.
$x = a/2$ के लिए,$y^2 = 2a(a/2) = a^2$,इसलिए $y = \pm a$.
$x = -3a/2$ के लिए,$y^2 = 2a(-3a/2) = -3a^2$,जो $y$ के लिए कोई वास्तविक मान नहीं देता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(a/2, \pm a)$ हैं।

(C) रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है। दिया गया है कि $dy/dx = m = 1$ है।
चूंकि रेखा बिंदु $(0, 1)$ से गुजरती है,इसलिए $1 = 1(0) + c$,जिससे $c = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखा का समीकरण $y = x + 1$ है।
परवलय $y^2 = 4x$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = x + 1$ को परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x + 1)^2 = 4x$
$x^2 + 2x + 1 = 4x$
$x^2 - 2x + 1 = 0$
$(x - 1)^2 = 0$
इससे $x = 1$ प्राप्त होता है। $x = 1$ को $y = x + 1$ में रखने पर,हमें $y = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि रेखा परवलय को केवल एक बिंदु $(1, 2)$ पर काटती है,इसलिए रेखा परवलय की स्पर्शरेखा है।
अतः,वक्र द्वारा रेखा पर काटा गया अंतःखंड $0$ है।

(C) दिया गया परवलय $y^2 = -4x$ है। इसकी तुलना $y^2 = -4ax$ से करने पर,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है।
परवलय की नाभि $(-a, 0)$ है,जो $(-1, 0)$ है।
रेखा की ढाल $m = \tan(120^\circ) = -\sqrt{3}$ है।
$(x_1, y_1)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ होता है।
मान रखने पर,हमें $y - 0 = -\sqrt{3}(x - (-1))$ प्राप्त होता है।
$y = -\sqrt{3}(x + 1)$.
$y + \sqrt{3}(x + 1) = 0$.

(B) मान लीजिए कि नाभिलंब के दो अंतिम बिंदु $L_1$ और $L_2$ हैं। नाभिलंब की लंबाई $4a$ है,जहाँ $a$ शीर्ष से नाभि तक की दूरी है।
चूंकि नाभिलंब परवलय के अक्ष के लंबवत होता है,इसलिए अक्ष को रेखाखंड $L_1L_2$ का लंब समद्विभाजक होना चाहिए।
इस अक्ष के अनुदिश परवलय के खुलने के लिए दो संभावित दिशाएँ हैं (या तो नाभि की ओर या उससे दूर),जिसके परिणामस्वरूप दो अलग-अलग परवलय प्राप्त होते हैं।

(D) माना कि अभिलंब परवलय $y^2 = 4ax$ पर बिंदु $P(at_1^2, 2at_1)$ पर खींचा गया है। यदि यह अभिलंब परवलय को पुनः बिंदु $Q(at_2^2, 2at_2)$ पर मिलता है,तो प्राचलों के बीच संबंध $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}$ है।
दिया गया है कि बिंदु $Q$ पर,भुज और कोटि समान हैं,इसलिए $x = y$ है।
परवलय के समीकरण $y^2 = 4ax$ में $x = y$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y^2 = 4ay$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $y(y - 4a) = 0$,इसलिए $y = 0$ या $y = 4a$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर,$(9a, -6a)$ के लिए,$x=9a, y=-6a$ है। बिंदु $Q(9a, -6a)$ के लिए,$at_2^2 = 9a \implies t_2^2 = 9 \implies t_2 = -3$ (क्योंकि $2at_2 = -6a$ है)।
तब $-3 = -t_1 - \frac{2}{t_1} \implies t_1^2 - 3t_1 + 2 = 0 \implies (t_1-1)(t_1-2) = 0$ है।
अतः,$t_1 = 1$ या $t_1 = 2$,जो अभिलंब के लिए मान्य प्राचल हैं।

(A) शीर्ष $(0, 0)$ से गुजरने वाली और अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाने वाली जीवा का समीकरण $y = x \tan \theta$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ में $y = x \tan \theta$ रखने पर:
$(x \tan \theta)^2 = 4ax$
$x^2 \tan^2 \theta = 4ax$
$x(x \tan^2 \theta - 4a) = 0$
अतः,$x = 0$ या $x = \frac{4a}{\tan^2 \theta}$।
$x = \frac{4a}{\tan^2 \theta}$ के लिए,$y = \frac{4a}{\tan \theta}$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(\frac{4a}{\tan^2 \theta}, \frac{4a}{\tan \theta})$ हैं।
जीवा की लंबाई $L = \sqrt{(\frac{4a}{\tan^2 \theta})^2 + (\frac{4a}{\tan \theta})^2} = \frac{4a}{\tan \theta} \sqrt{\frac{1}{\tan^2 \theta} + 1} = \frac{4a}{\tan \theta} \csc \theta = 4a \cos \theta \csc^2 \theta$।

(A) बिंदुओं $(at_1^2, 2at_1)$ और $(at_2^2, 2at_2)$ से गुजरने वाली जीवा का समीकरण $\frac{y - 2at_1}{x - at_1^2} = \frac{2}{t_1 + t_2}$ है।
चूंकि जीवा नाभि $(a, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $x = a$ और $y = 0$ रखने पर:
$\frac{0 - 2at_1}{a - at_1^2} = \frac{2}{t_1 + t_2}$.
$\frac{-2at_1}{a(1 - t_1^2)} = \frac{2}{t_1 + t_2}$.
$\frac{-t_1}{1 - t_1^2} = \frac{1}{t_1 + t_2}$.
$-t_1(t_1 + t_2) = 1 - t_1^2$.
$-t_1^2 - t_1t_2 = 1 - t_1^2$.
$-t_1t_2 = 1$,जिसका अर्थ है $t_1t_2 = -1$।

(C) माना परवलय $y^2 = 4ax$ पर गतिमान बिंदु $(at^2, 2at)$ है।
परवलय की नाभि $S(a, 0)$ है।
माना $(h, k)$ उस रेखाखंड का मध्यबिंदु है जो $(at^2, 2at)$ और $(a, 0)$ को जोड़ता है।
अतः $h = \frac{at^2 + a}{2}$ और $k = \frac{2at + 0}{2} = at$ है।
$k = at$ से,हमें $t = \frac{k}{a}$ प्राप्त होता है।
$t$ का मान $h$ में रखने पर: $h = \frac{a(\frac{k}{a})^2 + a}{2} = \frac{\frac{k^2}{a} + a}{2} = \frac{k^2 + a^2}{2a}$।
इस प्रकार,$2ah = k^2 + a^2$,जो $k^2 = 2a(h - \frac{a}{2})$ में सरल हो जाता है।
बिंदुपथ $y^2 = 2a(x - \frac{a}{2})$ है।
इसे मानक रूप $Y^2 = 4AX$ से तुलना करने पर,जहाँ $Y = y$,$X = x - \frac{a}{2}$,और $4A = 2a$ (अतः $A = \frac{a}{2}$)।
नियता $X = -A$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $x - \frac{a}{2} = -\frac{a}{2}$।
अतः,$x = 0$।

(A) किसी वक्र और रेखा के बीच की न्यूनतम दूरी उस बिंदु पर होती है जहाँ वक्र की स्पर्श रेखा दी गई रेखा के समानांतर होती है।
दिए गए परवलय $y = x^2$ के लिए,किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2x$ है।
दी गई रेखा $y = 2x - 4$ की ढाल $2$ है।
स्पर्श रेखा के समानांतर होने के लिए,स्पर्श रेखा की ढाल को रेखा की ढाल के बराबर होना चाहिए:
$2x = 2 \Rightarrow x = 1$।
$x = 1$ को परवलय के समीकरण $y = x^2$ में रखने पर,हमें $y = (1)^2 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखा से सबसे निकटतम बिंदु $(1, 1)$ है।

(D) नाभि $S$ का निर्देशांक $\left( \frac{u^2}{2g} \sin 2\alpha, -\frac{u^2}{2g} \cos 2\alpha \right)$ है और नियता $y = \frac{u^2}{2g}$ है।
नाभि से नियता की दूरी $d$,बिंदु $S$ से रेखा $y = \frac{u^2}{2g}$ तक की लंबवत दूरी है।
$d = \left| \frac{u^2}{2g} - \left( -\frac{u^2}{2g} \cos 2\alpha \right) \right| = \frac{u^2}{2g} (1 + \cos 2\alpha)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha$ का उपयोग करने पर,हमें $d = \frac{u^2}{2g} (2 \cos^2 \alpha) = \frac{u^2}{g} \cos^2 \alpha$ प्राप्त होता है।
परवलय के नाभिलंब की लंबाई $2 \times (\text{नाभि से नियता की दूरी}) = 2d$ होती है।
लंबाई $= 2 \times \frac{u^2}{g} \cos^2 \alpha = \frac{2u^2}{g} \cos^2 \alpha$.

(C) परवलय का दिया गया समीकरण ${y^2} - kx + 8 = 0$ है,जिसे ${y^2} = k(x - 8/k)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह ${Y^2} = 4AX$ के रूप में है,जहाँ $Y = y$,$X = x - 8/k$,और $4A = k$,इसलिए $A = k/4$ है।
परवलय ${Y^2} = 4AX$ की नियता $X + A = 0$ होती है।
$X$ और $A$ के मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(x - 8/k) + k/4 = 0$ प्राप्त होता है,जो $x = 8/k - k/4$ में सरल हो जाता है।
हमें दिया गया है कि नियता $x - 1 = 0$ है,अर्थात $x = 1$ है।
$x$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,$8/k - k/4 = 1$ प्राप्त होता है।
$4k$ से गुणा करने पर,$32 - k^2 = 4k$,या ${k^2} + 4k - 32 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(k + 8)(k - 4) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$k$ के मान $k = -8$ या $k = 4$ हैं।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a \implies \left(\frac{dy}{dx}\right)_1 = \frac{2a}{y} \dots (i)$
वक्र $y = e^{-x/2a}$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_2 = e^{-x/2a} \left(-\frac{1}{2a}\right) = -\frac{y}{2a} \dots (ii)$
दो वक्र लंबकोणीय रूप से प्रतिच्छेद करते हैं यदि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर ढाल का गुणनफल $-1$ हो:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_1 \times \left(\frac{dy}{dx}\right)_2 = \left(\frac{2a}{y}\right) \times \left(-\frac{y}{2a}\right) = -1$
अतः,वक्र $y = e^{-x/2a}$ परवलय $y^2 = 4ax$ को समकोण पर काटता है।

(C) माना नाभि $S(0, 0)$ है और शीर्ष पर स्पर्श रेखा $x - y + 1 = 0$ है।
चूँकि नियता (directrix) शीर्ष पर स्पर्श रेखा के समानांतर है,इसलिए नियता का समीकरण $x - y + \lambda = 0$ मानिए।
नाभि $S(0, 0)$ से शीर्ष पर स्पर्श रेखा की दूरी $d_1 = \frac{|0 - 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
नाभि $S(0, 0)$ से नियता की दूरी $d_2 = \frac{|0 - 0 + \lambda|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|\lambda|}{\sqrt{2}}$ है।
चूँकि नाभि से नियता की दूरी,नाभि से शीर्ष पर स्पर्श रेखा की दूरी की दोगुनी होती है,इसलिए $d_2 = 2d_1$।
$\frac{|\lambda|}{\sqrt{2}} = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \implies |\lambda| = 2$।
अतः नियता का समीकरण $x - y + 2 = 0$ है।
परवलय पर किसी बिंदु $P(x, y)$ के लिए,$SP^2 = PM^2$।
$x^2 + y^2 = \left(\frac{|x - y + 2|}{\sqrt{2}}\right)^2$।
$2(x^2 + y^2) = (x - y + 2)^2$।
$x^2 + y^2 + 2xy - 4x + 4y - 4 = 0$।

(D) दिए गए परवलय $y^2 = 4ax$ $(i)$ और $x^2 = 4ay$ $(ii)$ हैं।
$(ii)$ से $y = \frac{x^2}{4a}$ का मान $(i)$ में रखने पर,हमें $\frac{x^4}{16a^2} = 4ax$ प्राप्त होता है।
यह $x^4 - 64a^3x = 0$ या $x(x^3 - 64a^3) = 0$ में सरल हो जाता है।
अतः,$x = 0$ या $x = 4a$ है।
$x = 0$ के लिए,$y = 0$ है। $x = 4a$ के लिए,$y = 4a$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $A(0, 0)$ और $B(4a, 4a)$ हैं।
रेखा $2bx + 3cy + 4d = 0$ बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरती है,इसलिए $2b(0) + 3c(0) + 4d = 0$,जिसका अर्थ है $d = 0$ है।
यह रेखा $(4a, 4a)$ से भी होकर गुजरती है,इसलिए $2b(4a) + 3c(4a) + 4(0) = 0$ है।
$4a$ से भाग देने पर (चूंकि $a \ne 0$),हमें $2b + 3c = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $d = 0$ और $2b + 3c = 0$ है,इसलिए $d^2 + (2b + 3c)^2 = 0$ होता है।

(A) माना जीवा का मध्यबिंदु $(x_1, y_1)$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए मध्यबिंदु $(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ के अनुसार $yy_1 - 2a(x + x_1) = y_1^2 - 4ax_1$ होता है।
इसे सरल करने पर $yy_1 - 2ax = y_1^2 - 2ax_1$ प्राप्त होता है,या $\frac{yy_1 - 2ax}{y_1^2 - 2ax_1} = 1$।
परवलय के शीर्ष $(0, 0)$ को जीवा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाओं को प्राप्त करने के लिए,परवलय के समीकरण $y^2 - 4ax = 0$ को जीवा के समीकरण का उपयोग करके समघात (homogenize) बनाने पर:
$y^2 - 4ax \left( \frac{yy_1 - 2ax}{y_1^2 - 2ax_1} \right) = 0$।
इसका विस्तार करने पर $y^2(y_1^2 - 2ax_1) - 4axyy_1 + 8a^2x^2 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि जीवा शीर्ष पर समकोण अंतरित करती है,इसलिए रेखाएं परस्पर लंबवत हैं,जिसका अर्थ है कि $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$8a^2 + (y_1^2 - 2ax_1) = 0$।
$(x_1, y_1)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $y^2 - 2ax + 8a^2 = 0$ है।

(A) दिया गया परवलय का समीकरण: $y^2 = 18x$।
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \left( \frac{dy}{dt} \right) = 18 \left( \frac{dx}{dt} \right)$।
हमें दिया गया है कि कोटि $(y)$,भुज $(x)$ की दर से दोगुनी दर पर बढ़ती है,इसलिए $\frac{dy}{dt} = 2 \frac{dx}{dt}$।
इस मान को अवकलित समीकरण में रखने पर:
$2y \left( 2 \frac{dx}{dt} \right) = 18 \left( \frac{dx}{dt} \right)$।
मान लीजिए $\frac{dx}{dt} \neq 0$,तो हमें प्राप्त होता है:
$4y = 18 \implies y = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$।
अब,$x$ का मान ज्ञात करने के लिए $y = \frac{9}{2}$ को मूल परवलय समीकरण में रखने पर:
$\left( \frac{9}{2} \right)^2 = 18x$
$\frac{81}{4} = 18x$
$x = \frac{81}{4 \times 18} = \frac{81}{72} = \frac{9}{8}$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left( \frac{9}{8}, \frac{9}{2} \right)$ है।

(A) दिया गया है $x = t^2$ और $y = 2t$।
$t = 1$ पर,$x = 1^2 = 1$ और $y = 2(1) = 2$।
अतः,बिंदु $(1, 2)$ है।
अब,$\frac{dx}{dt} = 2t$ और $\frac{dy}{dt} = 2$।
स्पर्शरेखा (tangent) की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2}{2t} = \frac{1}{t}$ है।
$t = 1$ पर,स्पर्शरेखा की ढाल $m = \frac{1}{1} = 1$ है।
अभिलंब की ढाल $m' = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{1} = -1$ है।
$(1, 2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m'(x - x_1)$ है।
$y - 2 = -1(x - 1)$।
$y - 2 = -x + 1$।
$x + y - 3 = 0$।

(D) दिया गया वक्र समीकरण $x^2 = -4y$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x = -4 \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2}$
अब,बिंदु $(-4, -4)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करते हैं:
$m = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{(-4, -4)} = -\frac{-4}{2} = 2$.
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $(y - y_1) = m(x - x_1)$ होता है।
मान $m = 2$,$x_1 = -4$,और $y_1 = -4$ रखने पर:
$y - (-4) = 2(x - (-4))$
$y + 4 = 2(x + 4)$
$y + 4 = 2x + 8$
$2x - y + 4 = 0$.

(C) माना कि परवलय $y^2 = 4ax$ की नाभि जीवा,नाभि $(a, 0)$ द्वारा $b$ और $c$ लंबाई के दो खंडों में विभाजित होती है।
यदि परवलय का अर्ध-नाभिलंब $l$ है,तो नाभि जीवा के खंडों की लंबाई और अर्ध-नाभिलंब के बीच का संबंध हरात्मक माध्य (harmonic mean) के गुण द्वारा दिया जाता है।
विशेष रूप से,अर्ध-नाभिलंब $l$,खंडों $b$ और $c$ का हरात्मक माध्य है।
अतः,$\frac{1}{l} = \frac{1}{2} (\frac{1}{b} + \frac{1}{c})$.
$\frac{1}{l} = \frac{1}{2} (\frac{b + c}{bc})$.
इस प्रकार,$l = \frac{2bc}{b + c}$.

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ की नाभीय जीवा का समीकरण जो नाभि $(a, 0)$ से गुजरती है और जिसका ढाल $m = \tan \theta$ है,वह है:
$y - 0 = \tan \theta (x - a)$
$y = \tan \theta (x - a)$
$\tan \theta \cdot x - y - a \tan \theta = 0$
शीर्ष $(0, 0)$ से इस रेखा पर डाले गए लंब की लंबाई का सूत्र $d = \left| \frac{Ax_1 + By_1 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}} \right|$ है।
मान रखने पर:
$d = \left| \frac{\tan \theta (0) - 1(0) - a \tan \theta}{\sqrt{\tan^2 \theta + (-1)^2}} \right|$
$d = \left| \frac{-a \tan \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta}} \right|$
$d = \left| \frac{-a \tan \theta}{\sec \theta} \right|$
चूंकि $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ और $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$,हमें प्राप्त होता है:
$d = a \sin \theta$

(C) परवलय के संदर्भ में,व्यास को समानांतर जीवाओं के एक निकाय के मध्य बिंदुओं के बिंदुपथ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,$m$ ढाल वाली समानांतर जीवाओं के निकाय के संगत व्यास $y = \frac{2a}{m}$ रेखा द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $a$ और $m$ स्थिरांक हैं,इसलिए यह रेखा परवलय के अक्ष $(y = 0)$ के समानांतर है।
अतः,परवलय का व्यास उसके अक्ष के समानांतर एक रेखा होती है।

(C) परवलय का समीकरण $y^2 = -12x$ है,जहाँ $4a = -12$,इसलिए $a = -3$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ होता है।
$a = -3$ प्रतिस्थापित करने पर,स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx - \frac{3}{m}$ प्राप्त होता है।
चूंकि स्पर्श रेखा $(3, 8)$ से गुजरती है,इसलिए $8 = 3m - \frac{3}{m}$ है।
$m$ से गुणा करने पर,$8m = 3m^2 - 3$,जो $3m^2 - 8m - 3 = 0$ के रूप में सरल होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3m^2 - 9m + m - 3 = 0 \implies 3m(m - 3) + 1(m - 3) = 0$।
अतः,$(3m + 1)(m - 3) = 0$,जिससे $m = 3$ या $m = -1/3$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण: $9x^2 - 6x + 36y + 9 = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $9x^2 - 6x = -36y - 9$
$9$ से भाग देने पर: $x^2 - (2/3)x = -4y - 1$
बाईं ओर पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x^2 - (2/3)x + (1/9) = -4y - 1 + (1/9)$
$(x - 1/3)^2 = -4y - 8/9$
$(x - 1/3)^2 = -4(y + 2/9)$
इसे मानक रूप $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ से तुलना करने पर,शीर्ष $(h, k) = (1/3, -2/9)$ प्राप्त होता है।

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $(at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y + tx = 2at + at^3$ होता है।
दिए गए बिंदु $(\frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m})$ के लिए,$t = \frac{1}{m}$ है।
अभिलंब के समीकरण में $t = \frac{1}{m}$ रखने पर:
$y + (\frac{1}{m})x = 2a(\frac{1}{m}) + a(\frac{1}{m})^3$
पूरे समीकरण को $m^3$ से गुणा करने पर:
$m^3y + m^2x = 2am^2 + a$
अतः,$m^3y = 2am^2 - m^2x + a$ प्राप्त होता है।

(D) परवलय का अक्ष वह रेखा है जो शीर्ष से गुजरती है और नियता के लंबवत होती है। चूँकि नियता $y$-अक्ष $(x = 0)$ है,इसलिए परवलय का अक्ष $x$-अक्ष है।
माना नाभि $S(a, 0)$ है।
शीर्ष,नाभि और अक्ष तथा नियता के प्रतिच्छेदन बिंदु को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु होता है।
अक्ष ($x$-अक्ष) और नियता ($y$-अक्ष) का प्रतिच्छेदन बिंदु $Z(0, 0)$ है।
चूँकि शीर्ष $(2, 0)$,$ZS$ का मध्य बिंदु है,इसलिए:
$\frac{a + 0}{2} = 2 \implies a = 4$.
अतः,नाभि $(4, 0)$ है।

(C) परवलय $y = x^2$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx - \frac{m^2}{4} \dots (1)$ है।
परवलय $y = -(x - 2)^2$ के लिए स्पर्शरेखा का समीकरण $y = m(x - 2) + \frac{1}{4m}$ के रूप में प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ $y = 0$ और $y = 4(x - 1)$ प्राप्त होती हैं।

(D) चरण $1$: रेखा के समीकरण से $y$ को $x$ के पदों में व्यक्त करें।
दिया है $x = my + \frac{a}{m}$,अतः $my = x - \frac{a}{m}$,यानी $y = \frac{x}{m} - \frac{a}{m^2}$।
चरण $2$: $y$ का मान परवलय के समीकरण $x^2 = 4ay$ में रखें।
$x^2 = 4a \left( \frac{x}{m} - \frac{a}{m^2} \right)$
$x^2 = \frac{4ax}{m} - \frac{4a^2}{m^2}$
$m^2x^2 - 4amx + 4a^2 = 0$
चरण $3$: $x$ के लिए द्विघात समीकरण को हल करें।
$(mx - 2a)^2 = 0$
$mx = 2a \implies x = \frac{2a}{m}$।
चरण $4$: संगत $y$ निर्देशांक ज्ञात करें।
$y = \frac{x}{m} - \frac{a}{m^2} = \frac{2a}{m^2} - \frac{a}{m^2} = \frac{a}{m^2}$।
अतः,स्पर्श बिंदु $\left( \frac{2a}{m}, \frac{a}{m^2} \right)$ है।

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,अर्ध-नाभिलंब (semi-latus rectum) नाभीय जीवा के खंडों का हरात्मक माध्य (harmonic mean) होता है।
यहाँ $y^2 = 8x$ है,इसलिए $4a = 8$,जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है।
अर्ध-नाभिलंब $l = 2a = 4$ है।
माना नाभीय जीवा के खंड $SP$ और $SQ$ हैं। तब $SP, l, SQ$ हरात्मक श्रेणी में हैं।
अतः,$l = \frac{2(SP)(SQ)}{SP + SQ}$।
मान $l = 4$ और $SP = 6$ रखने पर:
$4 = \frac{2(6)(SQ)}{6 + SQ}$
$4 = \frac{12(SQ)}{6 + SQ}$
$4(6 + SQ) = 12(SQ)$
$24 + 4(SQ) = 12(SQ)$
$24 = 8(SQ)$
$SQ = 3$।

(B) दिए गए परवलय का समीकरण: $y^2 + 6x - 2y + 13 = 0$
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$y^2 - 2y = -6x - 13$
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर:
$y^2 - 2y + 1 = -6x - 13 + 1$
$(y - 1)^2 = -6x - 12$
$(y - 1)^2 = -6(x + 2)$
इस समीकरण की तुलना मानक रूप $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ से करने पर,जहाँ $(h, k)$ शीर्ष है:
यहाँ,$h = -2$ और $k = 1$ है।
अतः,शीर्ष $(-2, 1)$ है।

(A) दिया गया परवलय $y^2 = 12x$ है। इसकी तुलना $y^2 = 4ax$ से करने पर,$4a = 12$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = 3$ है।
नाभिलंब के ऊपरी सिरे के निर्देशांक $(a, 2a) = (3, 6)$ हैं।
परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ होता है।
$(x_1, y_1) = (3, 6)$ और $a = 3$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y(6) = 2(3)(x + 3)$
$6y = 6(x + 3)$
$y = x + 3$.

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ पर किसी बिंदु के प्राचल निर्देशांक $(at^2, 2at)$ होते हैं।
$y^2 = 9x$ की तुलना $y^2 = 4ax$ से करने पर,$4a = 9$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 9/4$।
बिंदु का $y$-निर्देशांक $2at = -6$ है।
$a$ का मान रखने पर:
$2(9/4)t = -6$
$(9/2)t = -6$
$t = -6 \times (2/9)$
$t = -12/9 = -4/3$.

(C) परवलय $S = 0$ के लिए बिंदु $(x_1, y_1)$ से खींची गई स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_1 = T^2$ होता है।
यहाँ $S = y^2 - 12x = 0$ और बिंदु $(x_1, y_1) = (1, 4)$ है।
$S_1 = (4)^2 - 12(1) = 4$.
स्पर्श रेखा $T = yy_1 - 6(x + x_1) = 4y - 6(x + 1) = 4y - 6x - 6$.
$SS_1 = T^2$ में मान रखने पर:
$(y^2 - 12x)(4) = (4y - 6x - 6)^2$.
सरल करने पर:
$3x^2 + y^2 - 4xy + 10x - 4y + 3 = 0$.

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 6x$ है। इसे $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$4a = 6$,अतः $a = 3/2$ प्राप्त होता है।
परवलय का शीर्ष $(0, 0)$ है।
नाभिलंब के सिरों के निर्देशांक $(a, 2a)$ और $(a, -2a)$ होते हैं।
नाभिलंब का ऋणात्मक सिरा $(a, -2a) = (3/2, -2 \times 3/2) = (3/2, -3)$ है।
यह जीवा शीर्ष $(0, 0)$ और बिंदु $(3/2, -3)$ से गुजरती है।
$(0, 0)$ और $(3/2, -3)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{-3 - 0}{3/2 - 0} = \frac{-3}{3/2} = -2$ है।
अतः रेखा का समीकरण $y - 0 = -2(x - 0)$ अर्थात $y = -2x$ या $y + 2x = 0$ है।

(D) दिए गए प्राचलिक समीकरण:
$x - 2 = t^2$
$y = 2t$
दूसरे समीकरण से,$t = \frac{y}{2}$ प्राप्त होता है।
$t$ का यह मान पहले समीकरण में रखने पर:
$x - 2 = (\frac{y}{2})^2$
$x - 2 = \frac{y^2}{4}$
$y^2 = 4(x - 2)$
अतः,दिए गए समीकरण परवलय $y^2 = 4(x - 2)$ को निरूपित करते हैं।

(D) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,$a = 4$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $(at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ होता है।
ढाल $m$ के रूप में अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^3$ है।
विकल्पों को देखते हुए,$m = \cos \theta$ लें।
अभिलंब का समीकरण $y = m(x - 2a) - am^3$ होगा।
$a = 4$ और $m = \cos \theta$ रखने पर:
$y = \cos \theta (x - 8) - 4 \cos^3 \theta$
$y = (x - 8) \cos \theta - 4 \cos^3 \theta$
सर्वसमिका $\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta$ का उपयोग करने पर,$4 \cos^3 \theta = \cos 3\theta + 3 \cos \theta$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$y = x \cos \theta - 8 \cos \theta - (\cos 3\theta + 3 \cos \theta)$
$y = x \cos \theta - 11 \cos \theta - \cos 3\theta$
$y = (x - 11) \cos \theta - \cos 3\theta$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(C) दिए गए परवलय का समीकरण: $x^2 - 4x - 3y + 10 = 0$
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^2 - 4x = 3y - 10$
दोनों पक्षों में $4$ जोड़ने पर:
$x^2 - 4x + 4 = 3y - 10 + 4$
$(x - 2)^2 = 3y - 6$
$(x - 2)^2 = 3(y - 2)$
यह समीकरण $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ के रूप में है,जहाँ परवलय के अक्ष का समीकरण $x - h = 0$ होता है।
तुलना करने पर,हमें $h = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,अक्ष का समीकरण $x - 2 = 0$ है।

(B) परवलय का मानक समीकरण $y^2 = 4ax$ है।
$y^2 = 8x$ की तुलना $y^2 = 4ax$ से करने पर,हमें $4a = 8$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 2$।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए प्राचल समीकरण $x = at^2$ और $y = 2at$ होते हैं।
इन समीकरणों में $a = 2$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = 2t^2$
$y = 2(2)t = 4t$
अतः,प्राचल समीकरण $x = 2t^2$ और $y = 4t$ हैं।

(D) चूंकि बिंदु $(3, 2)$ परवलय $y^2 = 4ax$ पर स्थित है,इसलिए:
$2^2 = 4a(3)$ $\Rightarrow 4 = 12a$ $\Rightarrow a = \frac{1}{3}$.
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $T = 0$ अर्थात $yy_1 = 2a(x + x_1)$ का उपयोग करने पर:
$y(2) = 2(\frac{1}{3})(x + 3)$.
$2y = \frac{2}{3}(x + 3)$.
$3y = x + 3$.

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,किसी भी बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब की लंबाई (subnormal) $|2a|$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए समीकरण $y^2 = 16x$ से,हमें $4a = 16$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 4$।
अभिलंब की लंबाई परवलय के सभी बिंदुओं के लिए स्थिर रहती है और यह $|2a| = |2 \times 4| = 8$ के बराबर होती है।
अतः,$x = 4$ पर अभिलंब की लंबाई $8$ है।

(A) परवलय के लिए,अर्ध-नाभिलंब की लंबाई किसी भी नाभिय जीवा के खंडों का हरात्मक माध्य होती है।
माना $l$ अर्ध-नाभिलंब है।
तब,$\frac{1}{SP} + \frac{1}{SQ} = \frac{2}{l}$.
दिया है $SP = 3$ और $SQ = 2$,अतः:
$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{l}$
$\frac{5}{6} = \frac{2}{l}$
$l = \frac{12}{5}$.
नाभिलंब की लंबाई $2l = 2 \times \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$ है।

(C) परवलय का समीकरण $y^2 = 24x$ है,इसलिए $4a = 24$,जिससे $a = 6$ प्राप्त होता है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^3$ है।
चूंकि अभिलंब,स्पर्श रेखा $y = 2x + 3$ के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल $m = 2$ होगी।
$a = 6$ और $m = 2$ को अभिलंब के समीकरण में रखने पर:
$y = 2x - 2(6)(2) - 6(2)^3$
$y = 2x - 24 - 48$
$y = 2x - 72$.
दो समानांतर रेखाओं $y = mx + c_1$ और $y = mx + c_2$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{1 + m^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$c_1 = 3$,$c_2 = -72$,और $m = 2$ है।
$d = \frac{|3 - (-72)|}{\sqrt{1 + 2^2}} = \frac{75}{\sqrt{5}} = 15\sqrt{5}$.

(D) दिया गया समीकरण: $x^2 + 4x + 2y - 7 = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2 + 4x = -2y + 7$
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x + 2)^2 - 4 = -2y + 7$
$(x + 2)^2 = -2y + 11$
$(x + 2)^2 = -2(y - 11/2)$
इसे मानक रूप $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ से तुलना करने पर,शीर्ष $(h, k) = (-2, 11/2)$ प्राप्त होता है।

(A) परवलय का मानक समीकरण $y^2 = 4ax$ है।
$y^2 = 12x$ की तुलना $y^2 = 4ax$ से करने पर,हमें $4a = 12$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 3$।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए नियता का समीकरण $x = -a$ होता है।
$a$ का मान रखने पर,हमें $x = -3$ प्राप्त होता है,जिसे $x + 3 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए, जहाँ $a = 1$, बिंदु $(x_1, y_1) = (-1, 2)$ से स्पर्श जीवा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ है।
मान रखने पर, $y(2) = 2(1)(x - 1)$, जो $y = x - 1$ या $x - y - 1 = 0$ में सरल हो जाता है।
स्पर्श रेखाओं और स्पर्श जीवा द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $\frac{(y_1^2 - 4ax_1)^{3/2}}{2a}$ है।
यहाँ $x_1 = -1, y_1 = 2, a = 1$ रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{(2^2 - 4(1)(-1))^{3/2}}{2(1)} = \frac{(4 + 4)^{3/2}}{2} = \frac{8^{3/2}}{2} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$।