Parabola Questions in Gujarati

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$ મળે છે.
પરવલયની નિયામિકા (directrix) $x = -a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $x = -1$ છે.
આપેલ બિંદુ $(-1, -60)$ છે. બિંદુનો $x$-યામ $-1$ હોવાથી,તે બિંદુ પરવલયની નિયામિકા પર આવેલું છે.
પરવલયનો એક ગુણધર્મ છે કે નિયામિકા પરના કોઈપણ બિંદુમાંથી દોરવામાં આવેલા સ્પર્શકો એકબીજાને લંબ હોય છે.
તેથી,બે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ છે.

(C) આપેલ શંકુનું સમીકરણ ${x^2} + 10x - 16y + 25 = 0$ છે.
પૂર્ણવર્ગની રીતે સમીકરણને ફરીથી લખતા: ${(x + 5)^2} - 25 - 16y + 25 = 0$,જે ${(x + 5)^2} = 16y$ માં પરિણમે છે.
આ ${(x - h)^2} = 4a(y - k)$ પ્રકારનું પરવલય છે,જ્યાં $h = -5$,$k = 0$,અને $4a = 16$,તેથી $a = 4$.
પરવલયનું નાભિ $(h, k + a) = (-5, 0 + 4) = (-5, 4)$ છે.
લેટસ રેક્ટમ એ નાભિ $(-5, 4)$ માંથી પસાર થતી $y = 4$ રેખા છે.
સમીકરણ ${(x + 5)^2} = 16(4) = 64$ માં $y = 4$ મૂકતા,આપણને $x + 5 = \pm 8$ મળે છે.
આમ,$x = -5 + 8 = 3$ અને $x = -5 - 8 = -13$.
લેટસ રેક્ટમના અંત્યબિંદુઓ $(3, 4)$ અને $(-13, 4)$ છે.

(D) આપેલ વક્રો $x^2 = 8y$ અને $y^2 = 8x$ છે.
વક્ર $x^2 = 8y$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2x = 8 \frac{dy}{dx}$ મળે,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{4}$. ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર,ઢાળ $m_1 = 0$ છે.
વક્ર $y^2 = 8x$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 8$ મળે,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{4}{y}$. ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર,ઢાળ $m_2$ અવ્યાખ્યાયિત છે (શિરોલંબ સ્પર્શક).
એક સ્પર્શક આડો ($x$-અક્ષ) અને બીજો શિરોલંબ ($y$-અક્ષ) હોવાથી,ઉગમબિંદુ પર છેદકોણ $\pi / 2$ છે.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 4y$ છે,જે $x^2 = 4ay$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 1$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે,જ્યાં $m = 2$ અને $c = k$ છે.
રેખા $y = mx + c$ એ પરવલય $x^2 = 4ay$ નો સ્પર્શક હોય તો $c = -am^2$ થાય.
$a = 1$ અને $m = 2$ ની કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$k = -(1)(2)^2$
$k = -4$.

(C) આપેલ રેખા $x + y = 0$ $(i)$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 + 4y = 0$ $(ii)$.
$(i)$ માંથી $x = -y$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$(-y)^2 + y^2 + 4y = 0$
$2y^2 + 4y = 0$
$2y(y + 2) = 0$
તેથી,$y = 0$ અથવા $y = -2$.
જો $y = 0$,તો $x = 0$. બિંદુ $(0, 0)$ છે.
જો $y = -2$,તો $x = 2$. બિંદુ $(2, -2)$ છે.
હવે,$(0, 0)$ અને $(2, -2)$ માંથી પસાર થતા પરવલય માટે વિકલ્પો તપાસતા:
$y^2 = 2x$ માટે:
$(0, 0)$ પર: $0^2 = 2(0) \implies 0 = 0$ (સંતોષાય છે).
$(2, -2)$ પર: $(-2)^2 = 2(2) \implies 4 = 4$ (સંતોષાય છે).
આમ,સાચું સમીકરણ $y^2 = 2x$ છે.

(C) આપેલ પરવલય $y^2 = 2ax$ છે.
નાભિ $(a/2, 0)$ છે અને નિયામિકા $x = -a/2$ છે.
વર્તુળ નિયામિકાને સ્પર્શતું હોવાથી,તેની ત્રિજ્યા $r$ એ નાભિ $(a/2, 0)$ થી રેખા $x = -a/2$ સુધીનું અંતર છે,જે $r = |a/2 - (-a/2)| = a$ થાય.
કેન્દ્ર $(a/2, 0)$ અને ત્રિજ્યા $a$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - a/2)^2 + y^2 = a^2$ છે.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y^2 = 2ax$ મૂકતા:
$(x - a/2)^2 + 2ax = a^2$
$x^2 - ax + a^2/4 + 2ax = a^2$
$x^2 + ax - 3a^2/4 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4(1)(-3a^2/4)}}{2} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 + 3a^2}}{2} = \frac{-a \pm 2a}{2}$.
તેથી,$x = a/2$ અથવા $x = -3a/2$.
$x = a/2$ માટે,$y^2 = 2a(a/2) = a^2$,તેથી $y = \pm a$.
$x = -3a/2$ માટે,$y^2 = 2a(-3a/2) = -3a^2$,જે $y$ માટે કોઈ વાસ્તવિક કિંમત આપતું નથી.
આમ,છેદબિંદુઓ $(a/2, \pm a)$ છે.

(C) રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે. આપેલ છે કે $dy/dx = m = 1$.
રેખા બિંદુ $(0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $1 = 1(0) + c$,જે આપણને $c = 1$ આપે છે.
આમ,રેખાનું સમીકરણ $y = x + 1$ છે.
પરવલય $y^2 = 4x$ સાથે છેદબિંદુ શોધવા માટે,$y = x + 1$ ને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x + 1)^2 = 4x$
$x^2 + 2x + 1 = 4x$
$x^2 - 2x + 1 = 0$
$(x - 1)^2 = 0$
આનાથી $x = 1$ મળે છે. $x = 1$ ને $y = x + 1$ માં મૂકતા,આપણને $y = 2$ મળે છે.
રેખા પરવલયને માત્ર એક જ બિંદુ $(1, 2)$ પર છેદે છે,તેથી રેખા પરવલયને સ્પર્શક છે.
તેથી,વક્ર દ્વારા રેખા પર કપાયેલ લંબાઈ $0$ છે.

(C) આપેલ પરવલય $y^2 = -4x$ છે. તેને $y^2 = -4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$ મળે છે.
પરવલયની નાભિ $(-a, 0)$ છે,જે $(-1, 0)$ થાય.
રેખાનો ઢાળ $m = \tan(120^\circ) = -\sqrt{3}$ છે.
$(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $y - 0 = -\sqrt{3}(x - (-1))$ મળે છે.
$y = -\sqrt{3}(x + 1)$.
$y + \sqrt{3}(x + 1) = 0$.

(B) ધારો કે નાભિલંબના બે અંત્યબિંદુઓ $L_1$ અને $L_2$ છે. નાભિલંબની લંબાઈ $4a$ છે,જ્યાં $a$ એ શિરોબિંદુથી નાભિ સુધીનું અંતર છે.
નાભિલંબ એ પરવલયની અક્ષને લંબ હોવાથી,અક્ષ એ રેખાખંડ $L_1L_2$ નો લંબદ્વિભાજક હોવો જોઈએ.
આ અક્ષ પર પરવલય ખુલે તે માટે બે શક્ય દિશાઓ છે (એક નાભિ તરફ અને બીજી તેનાથી વિરુદ્ધ),જેના પરિણામે બે અલગ-અલગ પરવલય મળે છે.

(D) ધારો કે અભિલંબ પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના બિંદુ $P(at_1^2, 2at_1)$ પર દોરવામાં આવે છે. જો આ અભિલંબ પરવલયને ફરીથી બિંદુ $Q(at_2^2, 2at_2)$ પર મળે,તો પેરામીટર વચ્ચેનો સંબંધ $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}$ છે.
આપેલ છે કે બિંદુ $Q$ પર,એબ્સિસા અને ઓર્ડિનેટ સમાન છે,તેથી $x = y$.
પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 4ax$ માં $x = y$ મૂકતા,આપણને $y^2 = 4ay$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $y(y - 4a) = 0$,તેથી $y = 0$ અથવા $y = 4a$.
વિકલ્પો તપાસતા,$(9a, -6a)$ માટે,$x=9a, y=-6a$. બિંદુ $Q(9a, -6a)$ માટે,$at_2^2 = 9a \implies t_2^2 = 9 \implies t_2 = -3$ (કારણ કે $2at_2 = -6a$).
પછી $-3 = -t_1 - \frac{2}{t_1} \implies t_1^2 - 3t_1 + 2 = 0 \implies (t_1-1)(t_1-2) = 0$.
આમ,$t_1 = 1$ અથવા $t_1 = 2$,જે અભિલંબ માટે માન્ય પેરામીટર છે.

(A) શિરોબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી અને અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવતી જીવાનું સમીકરણ $y = x \tan \theta$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માં $y = x \tan \theta$ મૂકતા:
$(x \tan \theta)^2 = 4ax$
$x^2 \tan^2 \theta = 4ax$
$x(x \tan^2 \theta - 4a) = 0$
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = \frac{4a}{\tan^2 \theta}$.
$x = \frac{4a}{\tan^2 \theta}$ માટે,$y = \frac{4a}{\tan \theta}$.
છેદબિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(\frac{4a}{\tan^2 \theta}, \frac{4a}{\tan \theta})$ છે.
જીવાની લંબાઈ $L = \sqrt{(\frac{4a}{\tan^2 \theta})^2 + (\frac{4a}{\tan \theta})^2} = \frac{4a}{\tan \theta} \sqrt{\frac{1}{\tan^2 \theta} + 1} = \frac{4a}{\tan \theta} \csc \theta = 4a \cos \theta \csc^2 \theta$.

(A) બિંદુઓ $(at_1^2, 2at_1)$ અને $(at_2^2, 2at_2)$ માંથી પસાર થતી જીવાનું સમીકરણ $\frac{y - 2at_1}{x - at_1^2} = \frac{2}{t_1 + t_2}$ છે.
આ જીવા નાભિ $(a, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$x = a$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$\frac{0 - 2at_1}{a - at_1^2} = \frac{2}{t_1 + t_2}$.
$\frac{-2at_1}{a(1 - t_1^2)} = \frac{2}{t_1 + t_2}$.
$\frac{-t_1}{1 - t_1^2} = \frac{1}{t_1 + t_2}$.
$-t_1(t_1 + t_2) = 1 - t_1^2$.
$-t_1^2 - t_1t_2 = 1 - t_1^2$.
$-t_1t_2 = 1$,એટલે કે $t_1t_2 = -1$.

(C) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4ax$ પરનું ગતિશીલ બિંદુ $(at^2, 2at)$ છે.
પરવલયની નાભિ $S(a, 0)$ છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ $(at^2, 2at)$ અને $(a, 0)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી $h = \frac{at^2 + a}{2}$ અને $k = \frac{2at + 0}{2} = at$.
$k = at$ પરથી,આપણને $t = \frac{k}{a}$ મળે છે.
$t$ ની કિંમત $h$ માં મૂકતા: $h = \frac{a(\frac{k}{a})^2 + a}{2} = \frac{\frac{k^2}{a} + a}{2} = \frac{k^2 + a^2}{2a}$.
આમ,$2ah = k^2 + a^2$,જેનું સાદું રૂપ $k^2 = 2a(h - \frac{a}{2})$ થાય છે.
બિંદુપથ $y^2 = 2a(x - \frac{a}{2})$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Y^2 = 4AX$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $Y = y$,$X = x - \frac{a}{2}$,અને $4A = 2a$ (તેથી $A = \frac{a}{2}$).
નિયામિકા $X = -A$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે $x - \frac{a}{2} = -\frac{a}{2}$.
તેથી,$x = 0$.

(A) વક્ર અને રેખા વચ્ચેનું ન્યૂનતમ અંતર એ બિંદુએ હોય છે જ્યાં વક્રનો સ્પર્શક આપેલી રેખાને સમાંતર હોય.
આપેલ પરવલય $y = x^2$ માટે,કોઈ પણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 2x$ છે.
આપેલ રેખા $y = 2x - 4$ નો ઢાળ $2$ છે.
સ્પર્શક રેખાને સમાંતર હોવા માટે,સ્પર્શકનો ઢાળ રેખાના ઢાળ જેટલો હોવો જોઈએ:
$2x = 2 \Rightarrow x = 1$.
$x = 1$ ને પરવલયના સમીકરણ $y = x^2$ માં મૂકતા,આપણને $y = (1)^2 = 1$ મળે છે.
આમ,રેખાથી સૌથી નજીકનું બિંદુ $(1, 1)$ છે.

(D) નાભિ $S$ એ $\left( \frac{u^2}{2g} \sin 2\alpha, -\frac{u^2}{2g} \cos 2\alpha \right)$ છે અને નિયામિકા $y = \frac{u^2}{2g}$ છે.
નાભિથી નિયામિકા સુધીનું અંતર $d$ એ બિંદુ $S$ થી રેખા $y = \frac{u^2}{2g}$ સુધીનું લંબ અંતર છે.
$d = \left| \frac{u^2}{2g} - \left( -\frac{u^2}{2g} \cos 2\alpha \right) \right| = \frac{u^2}{2g} (1 + \cos 2\alpha)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $d = \frac{u^2}{2g} (2 \cos^2 \alpha) = \frac{u^2}{g} \cos^2 \alpha$ મળે છે.
પરવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $2 \times (\text{નાભિથી નિયામિકા સુધીનું અંતર}) = 2d$ છે.
લંબાઈ $= 2 \times \frac{u^2}{g} \cos^2 \alpha = \frac{2u^2}{g} \cos^2 \alpha$.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ ${y^2} - kx + 8 = 0$ છે,જેને ${y^2} = k(x - 8/k)$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય.
આ ${Y^2} = 4AX$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $Y = y$,$X = x - 8/k$,અને $4A = k$,તેથી $A = k/4$.
પરવલય ${Y^2} = 4AX$ ની નિયામિકા $X + A = 0$ છે.
$X$ અને $A$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $(x - 8/k) + k/4 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x = 8/k - k/4$ થાય છે.
આપણને આપેલ છે કે નિયામિકા $x - 1 = 0$ છે,એટલે કે $x = 1$.
$x$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,$8/k - k/4 = 1$ મળે છે.
$4k$ વડે ગુણતા,$32 - k^2 = 4k$,અથવા ${k^2} + 4k - 32 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(k + 8)(k - 4) = 0$ મળે છે.
આમ,$k$ ની કિંમતો $k = -8$ અથવા $k = 4$ છે.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a \implies \left(\frac{dy}{dx}\right)_1 = \frac{2a}{y} \dots (i)$
વક્ર $y = e^{-x/2a}$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_2 = e^{-x/2a} \left(-\frac{1}{2a}\right) = -\frac{y}{2a} \dots (ii)$
બે વક્રો લંબકોણીય રીતે છેદે છે જો તેમના છેદબિંદુ પરના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ હોય:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_1 \times \left(\frac{dy}{dx}\right)_2 = \left(\frac{2a}{y}\right) \times \left(-\frac{y}{2a}\right) = -1$
આમ,વક્ર $y = e^{-x/2a}$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ ને કાટખૂણે છેદે છે.

(C) ધારો કે નાભિ $S(0, 0)$ છે અને શિરોબિંદુ આગળનો સ્પર્શક $x - y + 1 = 0$ છે.
નિયામિકા એ શિરોબિંદુ આગળના સ્પર્શકને સમાંતર હોવાથી,નિયામિકાનું સમીકરણ $x - y + \lambda = 0$ લો.
નાભિ $S(0, 0)$ થી શિરોબિંદુ આગળના સ્પર્શકનું અંતર $d_1 = \frac{|0 - 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
નાભિ $S(0, 0)$ થી નિયામિકાનું અંતર $d_2 = \frac{|0 - 0 + \lambda|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|\lambda|}{\sqrt{2}}$ છે.
નાભિથી નિયામિકાનું અંતર એ નાભિથી શિરોબિંદુ આગળના સ્પર્શક કરતાં બમણું હોવાથી,$d_2 = 2d_1$.
$\frac{|\lambda|}{\sqrt{2}} = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \implies |\lambda| = 2$.
આમ,નિયામિકાનું સમીકરણ $x - y + 2 = 0$ મળે છે.
પરવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x, y)$ માટે,$SP^2 = PM^2$.
$x^2 + y^2 = \left(\frac{|x - y + 2|}{\sqrt{2}}\right)^2$.
$2(x^2 + y^2) = (x - y + 2)^2$.
$x^2 + y^2 + 2xy - 4x + 4y - 4 = 0$.

(D) આપેલ પરવલયો $y^2 = 4ax$ $(i)$ અને $x^2 = 4ay$ $(ii)$ છે.
$(ii)$ માંથી $y = \frac{x^2}{4a}$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{x^4}{16a^2} = 4ax$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $x^4 - 64a^3x = 0$ અથવા $x(x^3 - 64a^3) = 0$ થાય છે.
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = 4a$.
$x = 0$ માટે,$y = 0$. $x = 4a$ માટે,$y = 4a$.
છેદબિંદુઓ $A(0, 0)$ અને $B(4a, 4a)$ છે.
રેખા $2bx + 3cy + 4d = 0$ એ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $2b(0) + 3c(0) + 4d = 0$,જેનો અર્થ છે કે $d = 0$.
આ રેખા $(4a, 4a)$ માંથી પણ પસાર થાય છે,તેથી $2b(4a) + 3c(4a) + 4(0) = 0$.
$4a$ વડે ભાગતા (કારણ કે $a \ne 0$),આપણને $2b + 3c = 0$ મળે છે.
$d = 0$ અને $2b + 3c = 0$ હોવાથી,$d^2 + (2b + 3c)^2 = 0$ થાય છે.

(A) ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ મુજબ $yy_1 - 2a(x + x_1) = y_1^2 - 4ax_1$ થાય.
આને સાદું રૂપ આપતા $yy_1 - 2ax = y_1^2 - 2ax_1$ મળે,અથવા $\frac{yy_1 - 2ax}{y_1^2 - 2ax_1} = 1$.
પરવલયના શિરોબિંદુ $(0, 0)$ ને જીવાના છેદબિંદુઓ સાથે જોડતી રેખાઓ મેળવવા માટે,પરવલયના સમીકરણ $y^2 - 4ax = 0$ ને જીવાના સમીકરણ વડે સમઘાત બનાવતા:
$y^2 - 4ax \left( \frac{yy_1 - 2ax}{y_1^2 - 2ax_1} \right) = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા $y^2(y_1^2 - 2ax_1) - 4axyy_1 + 8a^2x^2 = 0$ મળે.
જીવા શિરોબિંદુ પર કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે,જેનો અર્થ છે કે $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$8a^2 + (y_1^2 - 2ax_1) = 0$.
$(x_1, y_1)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2 - 2ax + 8a^2 = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $y^2 = 18x$.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \left( \frac{dy}{dt} \right) = 18 \left( \frac{dx}{dt} \right)$.
આપણને આપેલ છે કે કોટિ $(y)$ એ ભુજ $(x)$ ના દર કરતા બમણા દરે વધે છે,તેથી $\frac{dy}{dt} = 2 \frac{dx}{dt}$.
આ કિંમત વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$2y \left( 2 \frac{dx}{dt} \right) = 18 \left( \frac{dx}{dt} \right)$.
ધારો કે $\frac{dx}{dt} \neq 0$,તો આપણને મળે:
$4y = 18 \implies y = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$.
હવે,$x$ શોધવા માટે $y = \frac{9}{2}$ ની કિંમત મૂળ પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left( \frac{9}{2} \right)^2 = 18x$
$\frac{81}{4} = 18x$
$x = \frac{81}{4 \times 18} = \frac{81}{72} = \frac{9}{8}$.
આમ,જરૂરી બિંદુ $\left( \frac{9}{8}, \frac{9}{2} \right)$ છે.

(A) આપેલ છે કે $x = t^2$ અને $y = 2t$.
$t = 1$ આગળ,$x = 1^2 = 1$ અને $y = 2(1) = 2$.
તેથી,બિંદુ $(1, 2)$ છે.
હવે,$\frac{dx}{dt} = 2t$ અને $\frac{dy}{dt} = 2$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2}{2t} = \frac{1}{t}$ છે.
$t = 1$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{1}{1} = 1$ થાય.
અભિલંબનો ઢાળ $m' = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{1} = -1$ થાય.
$(1, 2)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = m'(x - x_1)$ છે.
$y - 2 = -1(x - 1)$.
$y - 2 = -x + 1$.
$x + y - 3 = 0$.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $x^2 = -4y$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x = -4 \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2}$
હવે,બિંદુ $(-4, -4)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધીએ:
$m = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{(-4, -4)} = -\frac{-4}{2} = 2$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $(y - y_1) = m(x - x_1)$ છે.
કિંમતો $m = 2$,$x_1 = -4$,અને $y_1 = -4$ મૂકતા:
$y - (-4) = 2(x - (-4))$
$y + 4 = 2(x + 4)$
$y + 4 = 2x + 8$
$2x - y + 4 = 0$.

(C) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4ax$ ની નાભિ જીવા નાભિ $(a, 0)$ દ્વારા $b$ અને $c$ લંબાઈના બે રેખાખંડોમાં વિભાજિત થાય છે.
જો પરવલયનો અર્ધ નાભિલંબ $l$ હોય,તો નાભિ જીવાના રેખાખંડોની લંબાઈ અને અર્ધ નાભિલંબ વચ્ચેનો સંબંધ હાર્મોનિક મધ્યક દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
અર્ધ નાભિલંબ $l$ એ $b$ અને $c$ નો હાર્મોનિક મધ્યક છે.
તેથી,$\frac{1}{l} = \frac{1}{2} (\frac{1}{b} + \frac{1}{c})$.
$\frac{1}{l} = \frac{1}{2} (\frac{b + c}{bc})$.
આમ,$l = \frac{2bc}{b + c}$.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ ની નાભિજીવાનું સમીકરણ જે નાભિ $(a, 0)$ માંથી પસાર થાય અને જેનો ઢાળ $m = \tan \theta$ હોય તે:
$y - 0 = \tan \theta (x - a)$
$y = \tan \theta (x - a)$
$\tan \theta \cdot x - y - a \tan \theta = 0$
શિરોબિંદુ $(0, 0)$ થી આ રેખા પરના લંબની લંબાઈનું સૂત્ર $d = \left| \frac{Ax_1 + By_1 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$d = \left| \frac{\tan \theta (0) - 1(0) - a \tan \theta}{\sqrt{\tan^2 \theta + (-1)^2}} \right|$
$d = \left| \frac{-a \tan \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta}} \right|$
$d = \left| \frac{-a \tan \theta}{\sec \theta} \right|$
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ અને $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ હોવાથી:
$d = a \sin \theta$

(C) પરવલયના સંદર્ભમાં,વ્યાસને સમાંતર જીવાઓના સમૂહના મધ્યબિંદુઓના બિંદુગણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,$m$ ઢાળ ધરાવતી સમાંતર જીવાઓના સમૂહને અનુરૂપ વ્યાસ $y = \frac{2a}{m}$ રેખા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $a$ અને $m$ અચળાંકો હોવાથી,આ રેખા પરવલયની અક્ષ $(y = 0)$ ને સમાંતર છે.
તેથી,પરવલયનો વ્યાસ તેની અક્ષને સમાંતર રેખા છે.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = -12x$ છે,જ્યાં $4a = -12$,તેથી $a = -3$.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે.
$a = -3$ મૂકતા,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx - \frac{3}{m}$ મળે.
સ્પર્શક $(3, 8)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$8 = 3m - \frac{3}{m}$.
$m$ વડે ગુણતા,$8m = 3m^2 - 3$,જેનું સાદું રૂપ $3m^2 - 8m - 3 = 0$ થાય.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $3m^2 - 9m + m - 3 = 0 \implies 3m(m - 3) + 1(m - 3) = 0$.
આમ,$(3m + 1)(m - 3) = 0$,તેથી $m = 3$ અથવા $m = -1/3$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $9x^2 - 6x + 36y + 9 = 0$
પદોને ગોઠવતા: $9x^2 - 6x = -36y - 9$
$9$ વડે ભાગતા: $x^2 - (2/3)x = -4y - 1$
ડાબી બાજુ પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $x^2 - (2/3)x + (1/9) = -4y - 1 + (1/9)$
$(x - 1/3)^2 = -4y - 8/9$
$(x - 1/3)^2 = -4(y + 2/9)$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ સાથે સરખાવતા,શિરોબિંદુ $(h, k) = (1/3, -2/9)$ મળે.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ ના બિંદુ $(at^2, 2at)$ આગળ દોરેલા અભિલંબનું સમીકરણ $y + tx = 2at + at^3$ છે.
આપેલ બિંદુ $(\frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m})$ માટે,$t = \frac{1}{m}$ લેતા.
અભિલંબના સમીકરણમાં $t = \frac{1}{m}$ મૂકતા:
$y + (\frac{1}{m})x = 2a(\frac{1}{m}) + a(\frac{1}{m})^3$
આખા સમીકરણને $m^3$ વડે ગુણતા:
$m^3y + m^2x = 2am^2 + a$
તેથી,$m^3y = 2am^2 - m^2x + a$ મળે છે.

(D) પરવલયની અક્ષ એ શિરોબિંદુમાંથી પસાર થતી અને નિયામિકાને લંબ રેખા છે. નિયામિકા $y$-અક્ષ $(x = 0)$ હોવાથી,પરવલયની અક્ષ $x$-અક્ષ છે.
ધારો કે નાભિ $S(a, 0)$ છે.
શિરોબિંદુ એ નાભિ અને અક્ષ તથા નિયામિકાના છેદબિંદુને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે.
અક્ષ ($x$-અક્ષ) અને નિયામિકા ($y$-અક્ષ) નું છેદબિંદુ $Z(0, 0)$ છે.
શિરોબિંદુ $(2, 0)$ એ $ZS$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{a + 0}{2} = 2 \implies a = 4$.
આમ,નાભિ $(4, 0)$ છે.

(C) પરવલય $y = x^2$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx - \frac{m^2}{4} \dots (1)$ છે.
પરવલય $y = -(x - 2)^2$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = m(x - 2) + \frac{1}{4m}$ ના સ્વરૂપમાં મળે છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા,સામાન્ય સ્પર્શકો $y = 0$ અને $y = 4(x - 1)$ મળે છે.

(D) પગલું $1$: રેખાના સમીકરણમાંથી $y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવો.
આપેલ છે $x = my + \frac{a}{m}$,તેથી $my = x - \frac{a}{m}$,એટલે કે $y = \frac{x}{m} - \frac{a}{m^2}$.
પગલું $2$: $y$ ની કિંમત પરવલયના સમીકરણ $x^2 = 4ay$ માં મૂકો.
$x^2 = 4a \left( \frac{x}{m} - \frac{a}{m^2} \right)$
$x^2 = \frac{4ax}{m} - \frac{4a^2}{m^2}$
$m^2x^2 - 4amx + 4a^2 = 0$
પગલું $3$: $x$ માટે દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલો.
$(mx - 2a)^2 = 0$
$mx = 2a \implies x = \frac{2a}{m}$.
પગલું $4$: અનુરૂપ $y$ યામ શોધો.
$y = \frac{x}{m} - \frac{a}{m^2} = \frac{2a}{m^2} - \frac{a}{m^2} = \frac{a}{m^2}$.
આમ,સ્પર્શબિંદુ $\left( \frac{2a}{m}, \frac{a}{m^2} \right)$ છે.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,અર્ધ નાભિલંબ એ નાભિ જીવાના ખંડોનો હરાત્મક મધ્યક છે.
અહીં $y^2 = 8x$ હોવાથી,$4a = 8$,તેથી $a = 2$.
અર્ધ નાભિલંબ $l = 2a = 4$.
ધારો કે નાભિ જીવાના ખંડો $SP$ અને $SQ$ છે. તો $SP, l, SQ$ હરાત્મક શ્રેણીમાં છે.
તેથી,$l = \frac{2(SP)(SQ)}{SP + SQ}$.
કિંમતો $l = 4$ અને $SP = 6$ મૂકતા:
$4 = \frac{2(6)(SQ)}{6 + SQ}$
$4 = \frac{12(SQ)}{6 + SQ}$
$4(6 + SQ) = 12(SQ)$
$24 + 4(SQ) = 12(SQ)$
$24 = 8(SQ)$
$SQ = 3$.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $y^2 + 6x - 2y + 13 = 0$
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$y^2 - 2y = -6x - 13$
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા:
$y^2 - 2y + 1 = -6x - 13 + 1$
$(y - 1)^2 = -6x - 12$
$(y - 1)^2 = -6(x + 2)$
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $(h, k)$ એ શિરોબિંદુ છે:
અહીં,$h = -2$ અને $k = 1$.
તેથી,શિરોબિંદુ $(-2, 1)$ છે.

(A) આપેલ પરવલય $y^2 = 12x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 12$ મળે,તેથી $a = 3$.
નાભિલંબના ઉપરના અંત્યબિંદુના યામ $(a, 2a) = (3, 6)$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ ના બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
$(x_1, y_1) = (3, 6)$ અને $a = 3$ મુકતા,આપણને મળે:
$y(6) = 2(3)(x + 3)$
$6y = 6(x + 3)$
$y = x + 3$.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના કોઈપણ બિંદુના પ્રચલ યામ $(at^2, 2at)$ છે.
$y^2 = 9x$ ને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 9$ મળે,તેથી $a = 9/4$.
બિંદુનો $y$-યામ $2at = -6$ છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા:
$2(9/4)t = -6$
$(9/2)t = -6$
$t = -6 \times (2/9)$
$t = -12/9 = -4/3$.

(C) પરવલય $S = 0$ માટે બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકોની જોડનું સમીકરણ $SS_1 = T^2$ છે.
અહીં $S = y^2 - 12x = 0$ અને બિંદુ $(x_1, y_1) = (1, 4)$ છે.
$S_1 = (4)^2 - 12(1) = 4$.
સ્પર્શક $T = yy_1 - 6(x + x_1) = 4y - 6(x + 1) = 4y - 6x - 6$.
$SS_1 = T^2$ માં કિંમતો મૂકતા:
$(y^2 - 12x)(4) = (4y - 6x - 6)^2$.
સાદુરૂપ આપતા:
$3x^2 + y^2 - 4xy + 10x - 4y + 3 = 0$.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 6x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 6$,તેથી $a = 3/2$ મળે.
પરવલયનું શિરોબિંદુ $(0, 0)$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(a, 2a)$ અને $(a, -2a)$ છે.
નાભિલંબનો ઋણ છેડો $(a, -2a) = (3/2, -2 \times 3/2) = (3/2, -3)$ છે.
આ જીવા શિરોબિંદુ $(0, 0)$ અને બિંદુ $(3/2, -3)$ માંથી પસાર થાય છે.
$(0, 0)$ અને $(3/2, -3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{-3 - 0}{3/2 - 0} = \frac{-3}{3/2} = -2$ થાય.
તેથી રેખાનું સમીકરણ $y - 0 = -2(x - 0)$ એટલે કે $y = -2x$ અથવા $y + 2x = 0$ મળે.

(D) આપેલ પ્રાચલિક સમીકરણો:
$x - 2 = t^2$
$y = 2t$
બીજા સમીકરણ પરથી,$t = \frac{y}{2}$ મળે છે.
આ $t$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$x - 2 = (\frac{y}{2})^2$
$x - 2 = \frac{y^2}{4}$
$y^2 = 4(x - 2)$
આમ,આપેલ સમીકરણો પરવલય $y^2 = 4(x - 2)$ દર્શાવે છે.

(D) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,$a = 4$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ ના બિંદુ $(at^2, 2at)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
ઢાળ $m$ ના સ્વરૂપમાં અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2am - am^3$ છે.
વિકલ્પોને જોતા,$m = \cos \theta$ લઈએ.
અભિલંબનું સમીકરણ $y = m(x - 2a) - am^3$ થાય.
$a = 4$ અને $m = \cos \theta$ મૂકતા:
$y = \cos \theta (x - 8) - 4 \cos^3 \theta$
$y = (x - 8) \cos \theta - 4 \cos^3 \theta$
નિત્યસમ $\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$4 \cos^3 \theta = \cos 3\theta + 3 \cos \theta$ મળે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = x \cos \theta - 8 \cos \theta - (\cos 3\theta + 3 \cos \theta)$
$y = x \cos \theta - 11 \cos \theta - \cos 3\theta$
$y = (x - 11) \cos \theta - \cos 3\theta$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $x^2 - 4x - 3y + 10 = 0$
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$x^2 - 4x = 3y - 10$
બંને બાજુ $4$ ઉમેરતા:
$x^2 - 4x + 4 = 3y - 10 + 4$
$(x - 2)^2 = 3y - 6$
$(x - 2)^2 = 3(y - 2)$
આ સમીકરણ $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં પરવલયની અક્ષનું સમીકરણ $x - h = 0$ થાય છે.
સરખામણી કરતા,$h = 2$ મળે છે.
તેથી,અક્ષનું સમીકરણ $x - 2 = 0$ છે.

(B) પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે.
$y^2 = 8x$ ને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 8$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 2$.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટેના પ્રાચલ સમીકરણો $x = at^2$ અને $y = 2at$ છે.
આ સમીકરણોમાં $a = 2$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x = 2t^2$
$y = 2(2)t = 4t$
આમ,પ્રાચલ સમીકરણો $x = 2t^2$ અને $y = 4t$ છે.

(D) બિંદુ $(3, 2)$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ પર હોવાથી:
$2^2 = 4a(3)$ $\Rightarrow 4 = 12a$ $\Rightarrow a = \frac{1}{3}$.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $T = 0$ એટલે કે $yy_1 = 2a(x + x_1)$ નો ઉપયોગ કરતાં:
$y(2) = 2(\frac{1}{3})(x + 3)$.
$2y = \frac{2}{3}(x + 3)$.
$3y = x + 3$.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,કોઈપણ બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ અવસ્પર્શકની લંબાઈ $|2a|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $y^2 = 16x$ પરથી,$4a = 16$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a = 4$.
અવસ્પર્શકની લંબાઈ પરવલયના તમામ બિંદુઓ માટે અચળ રહે છે અને તે $|2a| = |2 \times 4| = 8$ થાય છે.
આમ,$x = 4$ આગળ અવસ્પર્શકની લંબાઈ $8$ છે.

(A) પરવલય માટે,અર્ધ-નાભિલંબની લંબાઈ એ કોઈપણ નાભિજીવાના ખંડોનો હરાત્મક મધ્યક છે.
ધારો કે $l$ એ અર્ધ-નાભિલંબ છે.
તો,$\frac{1}{SP} + \frac{1}{SQ} = \frac{2}{l}$.
આપેલ છે કે $SP = 3$ અને $SQ = 2$,તેથી:
$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{l}$
$\frac{5}{6} = \frac{2}{l}$
$l = \frac{12}{5}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $2l = 2 \times \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$ થાય.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 24x$ છે,તેથી $4a = 24$,જે $a = 6$ આપે છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2am - am^3$ છે.
અભિલંબ એ સ્પર્શક $y = 2x + 3$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $m = 2$ થશે.
$a = 6$ અને $m = 2$ ને અભિલંબના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = 2x - 2(6)(2) - 6(2)^3$
$y = 2x - 24 - 48$
$y = 2x - 72$.
બે સમાંતર રેખાઓ $y = mx + c_1$ અને $y = mx + c_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{1 + m^2}}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$c_1 = 3$,$c_2 = -72$,અને $m = 2$ છે.
$d = \frac{|3 - (-72)|}{\sqrt{1 + 2^2}} = \frac{75}{\sqrt{5}} = 15\sqrt{5}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^2 + 4x + 2y - 7 = 0$
પદોને ગોઠવતા: $x^2 + 4x = -2y + 7$
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x + 2)^2 - 4 = -2y + 7$
$(x + 2)^2 = -2y + 11$
$(x + 2)^2 = -2(y - 11/2)$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ સાથે સરખાવતા,શિરોબિંદુ $(h, k) = (-2, 11/2)$ મળે છે.

(A) પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે.
$y^2 = 12x$ ને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 12$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 3$.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે નિયામિકાનું સમીકરણ $x = -a$ છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $x = -3$ મળે છે,જેને $x + 3 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.

(D) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે, જ્યાં $a = 1$, બિંદુ $(x_1, y_1) = (-1, 2)$ માંથી સ્પર્શ જીવાનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા, $y(2) = 2(1)(x - 1)$, જેનું સાદું રૂપ $y = x - 1$ અથવા $x - y - 1 = 0$ મળે છે.
સ્પર્શકો અને સ્પર્શ જીવા દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $\frac{(y_1^2 - 4ax_1)^{3/2}}{2a}$ છે.
અહીં $x_1 = -1, y_1 = 2, a = 1$ મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{(2^2 - 4(1)(-1))^{3/2}}{2(1)} = \frac{(4 + 4)^{3/2}}{2} = \frac{8^{3/2}}{2} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$.