Parabola Questions in Gujarati

(D) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4x$ નું શિરોબિંદુ $O(0, 0)$ છે.
શિરોબિંદુમાંથી પસાર થતી જીવાનું બીજું અંત્યબિંદુ $P(h, k)$ છે.
$P(h, k)$ એ પરવલય પર હોવાથી,$k^2 = 4h$ મળે.
જીવા $OP$ નું મધ્યબિંદુ $(a, b)$ હોવાથી,$a = \frac{0+h}{2} = \frac{h}{2}$ અને $b = \frac{0+k}{2} = \frac{k}{2}$ થાય.
આથી $h = 2a$ અને $k = 2b$ મળે.
આ કિંમતોને પરવલયના સમીકરણ $k^2 = 4h$ માં મૂકતા,$(2b)^2 = 4(2a)$ મળે.
$4b^2 = 8a$,જેનું સાદું રૂપ $b^2 = 2a$ અથવા $2a = b^2$ થાય.

(A) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,$4a = 2/3$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 1/6$.
આપેલ સમાંતર જીવાઓની સંહતિ $y + 2x + 1 = 0$ નો ઢાળ $m = -2$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $m$ ઢાળ ધરાવતી સમાંતર જીવાઓના વ્યાસનું સમીકરણ $y = \frac{2a}{m}$ છે.
$a = 1/6$ અને $m = -2$ કિંમતો મૂકતા:
$y = \frac{2(1/6)}{-2} = \frac{1/3}{-2} = -1/6$.
આમ,વ્યાસનું સમીકરણ $y = -1/6$ છે.

(B) આપેલ રેખા $x + y - 1 = 0$ છે,જેને $y = -x + 1$ તરીકે લખી શકાય. આને ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = -1$ અને $c = 1$ મળે છે.
રેખા $y = mx + c$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ ને સ્પર્શે તેની શરત $c = \frac{a}{m}$ છે.
અહીં,પરવલય $y^2 = kx$ છે,તેથી $4a = k$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{k}{4}$.
શરત $c = \frac{a}{m}$ માં કિંમતો મૂકતા:
$1 = \frac{k/4}{-1}$
$1 = -\frac{k}{4}$
$k = -4$.

(D) આપેલ સ્પર્શક $y = x + 2$ છે,જે $y = mx + c$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $m = 1$ અને $c = 2$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,$y = mx + c$ સ્પર્શક હોવાની શરત $c = a/m$ છે.
અહીં,$4a = 8$,તેથી $a = 2$. શરત ચકાસતા: $c = 2/1 = 2$,જે સંતોષાય છે.
પરવલયના બે પરસ્પર લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ તેની નિયામિકા (directrix) છે.
પરવલય $y^2 = 8x$ ની નિયામિકા $x = -a$ એટલે કે $x = -2$ છે.
આપણે રેખા $y = x + 2$ પરનું એવું બિંદુ શોધવાનું છે જે નિયામિકા $x = -2$ પર પણ હોય.
રેખાના સમીકરણમાં $x = -2$ મૂકતા: $y = -2 + 2 = 0$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $(-2, 0)$ છે.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ ના અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2am - am^3$ છે.
અહીં $a = 1$ છે અને તે $(3, 0)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
કિંમતો મૂકતા: $0 = 3m - 2(1)m - (1)m^3$.
આથી $0 = m - m^3$ અથવા $m(1 - m^2) = 0$ મળે.
તેથી $m = 0$ અથવા $m = \pm 1$.
$m = 0$ માટે,સમીકરણ $y = 0$ મળે.
$m = 1$ માટે,સમીકરણ $y = x - 3$ મળે.
$m = -1$ માટે,સમીકરણ $y = -x + 3$ મળે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$y = -x + 3$ એ સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના બિંદુ $(a, 2a)$ માટે પ્રાચલ $t'$ લઈએ,તો $2at' = 2a$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $t' = 1$.
અભિલંબ જે બિંદુએ દોરવામાં આવે છે તેનો પ્રાચલ $t'$ અને જ્યાં તે ફરીથી છેદે છે તેનો પ્રાચલ $t$ વચ્ચેનો સંબંધ $t = -t' - \frac{2}{t'}$ છે.
$t' = 1$ મૂકતા:
$t = -1 - \frac{2}{1} = -1 - 2 = -3$.

(B) કોઈપણ પરવલય માટે,નાભિલંબ એ નિયામિકાને સમાંતર રેખા હોય છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $2x - 3y + 1 = 0$ હોવાથી,નાભિલંબનું સમીકરણ $2x - 3y + k = 0$ સ્વરૂપનું હોય.
નાભિલંબ નાભિ $(2, 1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(2) - 3(1) + k = 0$
$4 - 3 + k = 0$
$1 + k = 0$
$k = -1$
તેથી,નાભિલંબનું સમીકરણ $2x - 3y - 1 = 0$ થાય.

(D) પરવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $= 2 \times$ નાભિથી નિયામિકા પરના લંબનું અંતર.
અહીં નાભિ $(2, 3)$ છે અને નિયામિકા $x - 4y + 3 = 0$ છે.
લંબ અંતર $d = \frac{|1(2) - 4(3) + 3|}{\sqrt{1^2 + (-4)^2}} = \frac{|2 - 12 + 3|}{\sqrt{1 + 16}} = \frac{|-7|}{\sqrt{17}} = \frac{7}{\sqrt{17}}$.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $= 2 \times \frac{7}{\sqrt{17}} = \frac{14}{\sqrt{17}}$.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $x^2 + 4x + 2y = 0$.
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x^2 + 4x + 4) = -2y + 4$.
$(x + 2)^2 = -2(y - 2)$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x - h)^2 = -4a(y - k)$ સાથે સરખાવતા,$4a = 2$,તેથી $a = 1/2$ મળે.
શિરોબિંદુ $(h, k) = (-2, 2)$ છે.
નાભિલંબ એ $y = k - a$ પરની આડી રેખા છે.
$y = 2 - 1/2 = 3/2$.
તેથી,$2y = 3$.

(C) ધારો કે નાભિજીવાનું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T = yk - 2a(x + h)$ અને $S_1 = k^2 - 4ah$ છે.
તેથી,સમીકરણ $yk - 2a(x + h) = k^2 - 4ah$ થાય.
આ જીવા નાભિ $(a, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં $x = a$ અને $y = 0$ મૂકીએ:
$0(k) - 2a(a + h) = k^2 - 4ah$
$-2a^2 - 2ah = k^2 - 4ah$
$k^2 = 2ah - 2a^2$
$k^2 = 2a(h - a)$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2 = 2a(x - a)$ મળે છે.

(A) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,બિંદુ $(2, 4)$ તેના પર આવેલું છે,તેથી $4^2 = 4a(2) \implies 16 = 8a \implies a = 2$.
$(2, 4)$ ની સરખામણી $(at^2, 2at)$ સાથે કરતા,આપણને $2t = 4 \implies t_1 = 2$ મળે છે.
$t_1$ આગળનો અભિલંબ પરવલયને $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}$ બિંદુએ છેદે છે.
$t_1 = 2$ મુકતા,$t_2 = -2 - \frac{2}{2} = -2 - 1 = -3$ મળે છે.
બિંદુના યામ $(at_2^2, 2at_2) = (2(-3)^2, 2(2)(-3)) = (2 \times 9, -12) = (18, -12)$ થશે.

(A) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ છે.
અહીં $y^2 = 6x$ હોવાથી,$4a = 6$,એટલે કે $a = 3/2$.
મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1) = (-1, 1)$ છે.
સમીકરણ $T = S_1$ મુજબ: $yy_1 - 2a(x + x_1) = y_1^2 - 4ax_1$.
કિંમતો મુકતા: $y(1) - 2(3/2)(x - 1) = (1)^2 - 6(-1)$.
$y - 3(x - 1) = 1 + 6$.
$y - 3x + 3 = 7$.
$y - 3x = 4$.

(A) પરવલય $y^2 = 4x$ માટે,$a = 1$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(1, -2)$ છે.
$y^2 = 4ax$ માટે $T_1$ આગળનો અભિલંબ ફરીથી $T_2$ આગળ મળે ત્યારે $T_2 = -T_1 - \frac{2}{T_1}$ થાય.
$T_1 = 1$ માટે,$T_2 = -3$,બિંદુ $(9, -6)$ મળે.
$T_1 = -1$ માટે,$T_2 = 3$,બિંદુ $(9, 6)$ મળે.
$PP' = \sqrt{(9-9)^2 + (6 - (-6))^2} = 12$ એકમ.
$A$ અને $R$ બંને સાચા છે અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) ધારો કે $S$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ ની નાભિ છે.
ધારો કે $T$ એ $P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ છે.
પરવલય માટે,બે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકોના છેદબિંદુનું નાભિ $S$ થી અંતર એ $P$ અને $Q$ ના નાભિ અંતરોના ગુણોત્તર મધ્યક જેટલું હોય છે.
તેથી,$ST^2 = SP \times SQ$.
અહીં $SP = 4$ અને $SQ = 9$ આપેલ છે.
$ST^2 = 4 \times 9 = 36$.
તેથી,$ST = \sqrt{36} = 6$.

(A) આપેલ સમીકરણ $(y - 1)^2 = 4(x + 1)$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ સાથે સરખાવતા,શિરોબિંદુ $(h, k) = (-1, 1)$ મળે છે અને $4a = 4$,તેથી $a = 1$ મળે છે.
પરવલય $Y^2 = 4aX$ ના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(a, 2a)$ અને $(a, -2a)$ હોય છે.
અહીં,$X = x - h = x + 1$ અને $Y = y - k = y - 1$ છે.
$a = 1$ મૂકતા,$(X, Y)$ સ્વરૂપે અંત્યબિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(1, -2)$ મળે છે.
હવે,$(x, y)$ યામમાં પાછા ફરતા:
$(1, 2)$ માટે: $x + 1 = 1 \implies x = 0$ અને $y - 1 = 2 \implies y = 3$.
$(1, -2)$ માટે: $x + 1 = 1 \implies x = 0$ અને $y - 1 = -2 \implies y = -1$.
આમ,અંત્યબિંદુઓ $(0, 3)$ અને $(0, -1)$ છે.

(A) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે બિંદુ $(at^2, 2at)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y + tx = 2at + at^3$ છે.
અહીં $4a = 4$ હોવાથી $a = 1$ મળે.
તેથી,$(t^2, 2t)$ આગળ અભિલંબ $y + tx = 2t + t^3$ થાય.
આપેલ રેખા $y = 2x + k$ સાથે સરખાવતા,$-t = 2$ એટલે કે $t = -2$ મળે.
હવે $k = 2t + t^3$ માં $t = -2$ મૂકતા,$k = 2(-2) + (-2)^3 = -4 - 8 = -12$ મળે.
તેથી,$k = -12$ અને $t = -2$.

(B) પરવલય $x^2 = 16y$ ના કોઈપણ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx - 4m^2$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $x^2 = 4ay$ માં $a = 4$ છે.
જો આ રેખા પરવલય $y^2 = 2x$ (જ્યાં $a = 1/2$) નો પણ સ્પર્શક હોય,તો સ્પર્શક હોવાની શરત $c = a/m$ સંતોષાવી જોઈએ.
અહીં,$c = -4m^2$ અને $a = 1/2$ છે,તેથી $-4m^2 = (1/2)/m$.
આનું સાદુરૂપ આપતા $m^3 = -1/8$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $m = -1/2$.
$m = -1/2$ ને સ્પર્શકના સમીકરણમાં મૂકતા: $y = (-1/2)x - 4(-1/2)^2$.
$y = -x/2 - 1$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2y = -x - 2$ મળે છે,જેનું સાદુરૂપ $x + 2y + 2 = 0$ થાય છે.

(B) $y^2 = 4ax$ પરવલય માટે $t$ બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ $y + tx = 2at + at^3$ છે.
અહીં $y^2 = 12x$ આપેલ છે,તેથી $4a = 12$ એટલે કે $a = 3$.
અભિલંબનું સમીકરણ $y + tx = 2(3)t + 3t^3$ એટલે કે $y + tx = 6t + 3t^3$ થશે.
આપેલ અભિલંબ $x + y = k$ સાથે સરખાવતા,$x$ અને $y$ ના સહગુણકો પ્રમાણમાં છે:
$\frac{t}{1} = \frac{1}{1} \implies t = 1$.
$t = 1$ ની કિંમત અચળ પદમાં મૂકતા:
$k = 6(1) + 3(1)^3 = 6 + 3 = 9$.

(A) પરવલય $y^2 = 4ax$ ના અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2am - am^3$ છે.
જો તે શિરોબિંદુ $(0, 0)$ થી $4a$ અંતરે અક્ષ પરના બિંદુ $(4a, 0)$ માંથી પસાર થાય,તો:
$0 = m(4a) - 2am - am^3$
$0 = 2am - am^3$
$a \neq 0$ હોવાથી,$2m - m^3 = 0$,એટલે કે $m(2 - m^2) = 0$.
આથી,ઢાળ $m = 0$ અને $m = \pm \sqrt{2}$ મળે.
આમ,ઢાળ $-\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}$ છે,જે $A.P.$ માં છે.

(B) રેખાનું સમીકરણ $y = -x + 1$ છે,જે $y = mx + c$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $m = -1$ અને $c = 1$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,રેખા $y = mx + c$ અભિલંબ હોવાની શરત $c = -2am - am^3$ છે.
$y^2 = kx$ ને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = k$ મળે છે,તેથી $a = k/4$.
$m = -1$ અને $c = 1$ ને શરતમાં મૂકતા:
$1 = -2(k/4)(-1) - (k/4)(-1)^3$
$1 = (k/2) + (k/4)$
$1 = (2k + k) / 4$
$1 = 3k / 4$
$k = 4/3$.

(C) શિરોબિંદુથી નિયામિકાનું અંતર $a$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુ $(x_1, y_1) = (0, 0)$ અને નિયામિકા $Ax + By + C = 0$ માટે,અંતર $a$ નીચે મુજબ મળે:
$a = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
$a = \frac{|3(0) - 4(0) + 2|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{2}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{2}{5}$
નાભિલંબની લંબાઈ $4a$ છે.
લંબાઈ $= 4 \times \frac{2}{5} = \frac{8}{5}$.

(A) પરવલય $y^2 = 4x$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 4$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$. બિંદુ $(16, 8)$ આગળ,ઢાળ $m_1 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ મળે.
પરવલય $x^2 = 32y$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2x = 32 \frac{dy}{dx}$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{16}$. બિંદુ $(16, 8)$ આગળ,ઢાળ $m_2 = \frac{16}{16} = 1$ મળે.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,
$\tan \theta = |\frac{1 - 1/4}{1 + (1)(1/4)}| = |\frac{3/4}{5/4}| = \frac{3}{5}$.
આમ,$\theta = \tan^{-1}(3/5)$.

(A) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,$m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + a/m$ છે.
અહીં,$y^2 = -4x$ હોવાથી,$4a = -4$,એટલે કે $a = -1$.
સ્પર્શકના સમીકરણમાં $a = -1$ મૂકતા,આપણને $y = mx - 1/m$ મળે છે.
આમ,વિધાન $- 1$ સાચું છે.
પરવલય $y^2 = -4x$ માટે,બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = -2(x + x_1)$ છે.
$x$-અંતઃખંડ શોધવા માટે $y = 0$ લેતા,$0 = -2(x + x_1)$,તેથી $x = -x_1$ મળે.
પરવલય $y^2 = -4x$ એ $x \leq 0$ પ્રદેશમાં આવેલું હોવાથી,પરવલય પરના કોઈપણ બિંદુનો $x$-યામ અઋણ નથી $(x_1 \leq 0)$.
તેથી,$x$-અંતઃખંડ $x = -x_1$ એ અઋણ $(x \geq 0)$ છે.
વિધાન $- 2$ સાચું છે અને તે વિધાન $- 1$ ની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4x$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓના $y-$ યામ $y_1 = 1, y_2 = 2$ અને $y_3 = 4$ છે.
બિંદુઓ પરવલય પર હોવાથી,તેમના $x-$ યામ $x = y^2/4$ થશે.
તેથી,શિરોબિંદુઓ $A(1/4, 1), B(1, 2)$ અને $C(4, 4)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
કિંમતો મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} |\frac{1}{4}(2 - 4) + 1(4 - 1) + 4(1 - 2)|$
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} |-\frac{1}{2} + 3 - 4| = \frac{3}{4}$

(D) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,બિંદુના યામ $(at^2, 2at)$ છે.
$(2a, 2\sqrt{2}a)$ ને $(at^2, 2at)$ સાથે સરખાવતા,$t^2 = 2$ મળે,તેથી $t = \sqrt{2}$.
અભિલંબ જીવાની લંબાઈનું સૂત્ર $L = \frac{4a}{m^2}(1+m^2)^{3/2}$ છે,જ્યાં $m = -t$ એ અભિલંબનો ઢાળ છે.
અહીં $m = -\sqrt{2}$ લેતા,
$L = \frac{4a}{(-\sqrt{2})^2}(1 + (-\sqrt{2})^2)^{3/2} = \frac{4a}{2}(1+2)^{3/2} = 2a(3)^{3/2} = 6\sqrt{3}a$.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે. તેને $y^2 = 4x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$ મળે છે.
રેખા $y = mx + c$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c = \frac{a}{m}$ છે.
આપેલ રેખા $y = mx + 1$ માટે,$c = 1$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા: $1 = \frac{1}{m}$.
તેથી,$m = 1$.

(C) પરવલયની અક્ષ નિયામિકા $x + y = 5$ ને લંબ છે. તેથી,અક્ષનું સમીકરણ $x - y = k$ સ્વરૂપનું છે.
અક્ષ નાભિ $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $1 - 0 = k$,એટલે કે $k = 1$. અક્ષનું સમીકરણ $x - y = 1$ છે.
અક્ષ $x - y = 1$ અને નિયામિકા $x + y = 5$ નું છેદબિંદુ $Z$ છે. બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2x = 6 \implies x = 3$. $x = 3$ ને $x - y = 1$ માં મુકતા,$y = 2$ મળે છે. તેથી,$Z = (3, 2)$.
શિરોબિંદુ $V$ એ નાભિ $S(1, 0)$ અને બિંદુ $Z(3, 2)$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$V = \left( \frac{1 + 3}{2}, \frac{0 + 2}{2} \right) = (2, 1)$.

(B) ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
અહીં $4a = 4$ હોવાથી $a = 1$ મળે. તેથી સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2(x + x_1)$ એટલે કે $2x - yy_1 + 2x_1 = 0$ થાય.
આપેલ રેખાનું સમીકરણ $4x - 7y + 10 = 0$ છે.
બંને સમીકરણોના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{2}{4} = \frac{-y_1}{-7} = \frac{2x_1}{10}$
$\frac{2}{4} = \frac{y_1}{7}$ પરથી $y_1 = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$ મળે.
$\frac{2}{4} = \frac{2x_1}{10}$ પરથી $x_1 = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$ મળે.
આમ,સ્પર્શબિંદુ $\left( \frac{5}{2}, \frac{7}{2} \right)$ છે.

(C) પરવલયનું આપેલ સમીકરણ $x^2 = -12y$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2 = -4ay$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 12$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 3$.
આ પરવલયનું નાભિ $(0, -a) = (0, -3)$ છે.
નાભિલંબ એ નાભિમાંથી પસાર થતી અને પરવલયની અક્ષને લંબ રેખા છે.
પરવલયની અક્ષ $y$-અક્ષ હોવાથી,નાભિલંબ એ $y = -a$ દ્વારા આપવામાં આવતી આડી રેખા છે.
તેથી,નાભિલંબનું સમીકરણ $y = -3$ છે.

(B) પરવલયનું આપેલ સમીકરણ $x^2 - x - 8y + 19 = 0$ છે.
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$x^2 - x + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 8y + 19 = 0$
$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} - 8y + 19 = 0$
$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = 8y - 19 + \frac{1}{4}$
$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = 8y - \frac{75}{4}$
$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = 8\left(y - \frac{75}{32}\right)$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ સાથે સરખાવતા,શિરોબિંદુ $(h, k) = \left(\frac{1}{2}, \frac{75}{32}\right)$ મળે છે.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,જ્યાં $a = 1$,અને બહારનું બિંદુ $(x_1, y_1) = (-2, -1)$ છે.
સ્પર્શજીવાની લંબાઈનું સૂત્ર $L = \frac{1}{a} \sqrt{(y_1^2 - 4ax_1)(y_1^2 + 4a^2)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $L = \frac{1}{1} \sqrt{((-1)^2 - 4(1)(-2))((-1)^2 + 4(1)^2)}$.
$L = \sqrt{(1 + 8)(1 + 4)} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકો અને સ્પર્શજીવા વડે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{(y_1^2 - 4ax_1)^{3/2}}{2a}$ છે.
અહીં પરવલય $y^2 = 8x$ છે,તેથી $4a = 8$ એટલે કે $a = 2$.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (4, 6)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{(6^2 - 4(2)(4))^{3/2}}{2(2)}$
$\text{Area} = \frac{(36 - 32)^{3/2}}{4}$
$\text{Area} = \frac{(4)^{3/2}}{4}$
$\text{Area} = \frac{8}{4} = 2$.

(B) પરવલય $y^2 = 4x$ ના કોઈપણ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{1}{m}$ છે.
સ્પર્શક $(1, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $4 = m(1) + \frac{1}{m}$.
$m$ વડે ગુણતા,$m^2 - 4m + 1 = 0$ મળે.
ધારો કે બે સ્પર્શકોના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. તેથી $m_1 + m_2 = 4$ અને $m_1m_2 = 1$.
ઢાળનો તફાવત $|m_1 - m_2| = \sqrt{(m_1 + m_2)^2 - 4m_1m_2} = \sqrt{4^2 - 4(1)} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2} \right|$.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{3}}{1 + 1} \right| = \sqrt{3}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા $y = mx$ છે.
જો આ રેખા પરવલય $y^2 = 4a(x - a)$ નો સ્પર્શક હોય,તો $y = mx$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(mx)^2 = 4a(x - a)$
$m^2x^2 - 4ax + 4a^2 = 0$
સ્પર્શક હોવા માટે,આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$D = (-4a)^2 - 4(m^2)(4a^2) = 0$
$16a^2 - 16a^2m^2 = 0$
$16a^2(1 - m^2) = 0$
$a \neq 0$ હોવાથી,$m^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $m = 1$ અથવા $m = -1$.
બે સ્પર્શકોના ઢાળ $m_1 = 1$ અને $m_2 = -1$ છે.
$m_1 \times m_2 = 1 \times (-1) = -1$ હોવાથી,સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ છે.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = kx - 8$ છે,જેને $y^2 = k(x - 8/k)$ તરીકે લખી શકાય.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Y^2 = 4AX$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $Y = y$ અને $X = x - 8/k$,આપણને $4A = k$ મળે છે,તેથી $A = k/4$.
પરવલય $Y^2 = 4AX$ ની નિયામિકા $X + A = 0$ છે.
$X$ અને $A$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $(x - 8/k) + k/4 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x = 8/k - k/4$ થાય છે.
આપણને આપેલ છે કે નિયામિકા $x - 1 = 0$ છે,એટલે કે $x = 1$.
$x$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા,$8/k - k/4 = 1$ મળે છે.
$4k$ વડે ગુણતા,$32 - k^2 = 4k$ મળે છે,જે દ્વિઘાત સમીકરણ $k^2 + 4k - 32 = 0$ માં પરિણમે છે.
અવયવ પાડતા,$(k + 8)(k - 4) = 0$ મળે છે.
આમ,$k$ ની શક્ય કિંમતો $k = -8$ અથવા $k = 4$ છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે,જ્યાં $a = 1$ છે.
જીવા શિરોબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $x$-અક્ષ સાથે $\theta = 45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
જીવાનો ઢાળ $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ છે.
$(0, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $m = 1$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y = x$ છે.
પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 4x$ માં $y = x$ મૂકતા:
$x^2 = 4x$
$x^2 - 4x = 0$
$x(x - 4) = 0$
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = 4$ મળે.
જો $x = 0$ હોય,તો $y = 0$. બિંદુ $(0, 0)$ છે.
જો $x = 4$ હોય,તો $y = 4$. બિંદુ $(4, 4)$ છે.
જીવાની લંબાઈ એ $(0, 0)$ અને $(4, 4)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$L = \sqrt{(4 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

(C) ધારો કે પરવલયનું સમીકરણ $S(x, y) = y^2 - 8x = 0$ છે.
બિંદુ $(2, 5)$ નું સ્થાન નક્કી કરવા માટે,આપણે $S(2, 5)$ ની કિંમત શોધીએ:
$S(2, 5) = (5)^2 - 8(2) = 25 - 16 = 9$.
અહીં $S(2, 5) > 0$ હોવાથી,બિંદુ $(2, 5)$ એ પરવલય $y^2 = 8x$ ની બહાર આવેલું છે.

(C) આપેલ પરવલય $x^2 = 12y$ છે. તેને $x^2 = 4ay$ સાથે સરખાવતા,$4a = 12$,તેથી $a = 3$ મળે.
પરવલયનું શિરોબિંદુ $(0, 0)$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(2a, a)$ અને $(-2a, a)$ એટલે કે $(6, 3)$ અને $(-6, 3)$ છે.
શિરોબિંદુ $(0, 0)$ અને બિંદુઓ $(6, 3)$ તથા $(-6, 3)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$ સૂત્રથી મળે.
અહીં,પાયો એ નાભિલંબની લંબાઈ છે,જે $|6 - (-6)| = 12$ છે.
વેધ (ઊંચાઈ) એ નાભિલંબનો $y$-યામ છે,જે $3$ છે.
તેથી,$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $2x - 3y = k$ છે,જેને $x = \frac{3y + k}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
આ કિંમતને પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 6x$ માં મૂકતા:
$y^2 = 6 \left( \frac{3y + k}{2} \right)$
$y^2 = 3(3y + k)$
$y^2 - 9y - 3k = 0$.
જો રેખા પરવલયને સ્પર્શતી હોય,તો દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ સમાન હોય,એટલે કે વિવેચક $D = 0$ થાય.
$D = (-9)^2 - 4(1)(-3k) = 0$
$81 + 12k = 0$
$12k = -81$
$k = -\frac{81}{12} = -\frac{27}{4}$.

(D) પરવલયના નાભિલંબ અને અક્ષનું છેદબિંદુ એ તેનું નાભિકેન્દ્ર છે.
આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $y^2 - 4y - 2x - 8 = 0$.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવીને સમીકરણ ફરીથી લખતા:
$(y^2 - 4y + 4) - 4 - 2x - 8 = 0$
$(y - 2)^2 = 2x + 12$
$(y - 2)^2 = 2(x + 6)$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ સાથે સરખાવતા:
$h = -6$,$k = 2$,અને $4a = 2 \implies a = 1/2$.
પરવલયનું નાભિકેન્દ્ર $(h + a, k)$ દ્વારા મળે છે.
નાભિકેન્દ્ર $= (-6 + 1/2, 2) = (-11/2, 2)$.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 16x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 16$ મળે,તેથી $a = 4$.
ધારો કે નાભિજીવાના અંત્યબિંદુઓ $(at_1^2, 2at_1)$ અને $(at_2^2, 2at_2)$ છે.
નાભિજીવા માટે,પ્રાચલો વચ્ચેનો સંબંધ $t_1 t_2 = -1$ છે.
આપેલ છે કે એક અંત્યબિંદુ $(1, -4)$ છે,તેથી $2at_1 = -4$.
$a = 4$ મૂકતા,$2(4)t_1 = -4$ મળે,જેનું સાદુરૂપ $t_1 = -1/2$ થાય.
$t_1 t_2 = -1$ હોવાથી,$t_2 = -1 / t_1 = -1 / (-1/2) = 2$.
બીજું અંત્યબિંદુ $(at_2^2, 2at_2) = (4(2)^2, 2(4)(2)) = (4 \times 4, 16) = (16, 16)$ છે.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,અહીં $a = 1$ છે. બિંદુ $(4, 4)$ માટે $at^2 = 4$ અને $2at = 4$ લેતા,$t_1 = 2$ મળે છે.
$t_1$ આગળનો અભિલંબ પરવલયને $t_2$ બિંદુએ ફરીથી છેદે છે,જ્યાં $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}$ છે.
$t_1 = 2$ મૂકતા,$t_2 = -2 - \frac{2}{2} = -2 - 1 = -3$ મળે છે.
તેથી,બિંદુના યામ $(at_2^2, 2at_2) = (1 \times (-3)^2, 2 \times 1 \times (-3)) = (9, -6)$ થાય.

(A) પરવલયની અક્ષ $x$-અક્ષ છે,કારણ કે તે શિરોબિંદુ $(-3, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને નિયામિકા $x + 5 = 0$ ને લંબ છે.
ધારો કે પરવલયનું નાભિ $S(a, 0)$ છે. શિરોબિંદુ $(-3, 0)$ એ નાભિ $S(a, 0)$ અને નિયામિકા પરના બિંદુ $Z(-5, 0)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે.
$-3 = \frac{a - 5}{2}$
$-6 = a - 5$
$a = -1$
આમ,નાભિ $S(-1, 0)$ છે.
પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,પરવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x, y)$ નું નાભિથી અંતર એ નિયામિકાથી અંતર જેટલું હોય છે:
$\sqrt{(x + 1)^2 + (y - 0)^2} = |x + 5|$
$(x + 1)^2 + y^2 = (x + 5)^2$
$x^2 + 2x + 1 + y^2 = x^2 + 10x + 25$
$y^2 = 8x + 24$
$y^2 = 8(x + 3)$

(A) સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ છે.
પરવલય $y^2 = 4Ax$ માટે,$(At^2, 2At)$ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = 1/t$ થાય.
$y^2 = ax$ ને $y^2 = 4Ax$ સાથે સરખાવતા,$4A = a$,તેથી $A = a/4$ મળે.
$m = 1/t = 1$ હોવાથી,$t = 1$ મળે.
સ્પર્શબિંદુ $(At^2, 2At) = (\frac{a}{4}(1)^2, 2(\frac{a}{4})(1)) = (\frac{a}{4}, \frac{a}{2})$ થાય.

(D) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,તેના પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(at^2, 2at)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો $t_1$ અને $t_2$ એ નાભિજીવાના અંત્યબિંદુઓના પ્રાચલ હોય,તો શરત $t_1 t_2 = -1$ છે.
અહીં $t_1 = t$ આપેલ છે,તેથી બીજા અંત્યબિંદુનો પ્રાચલ $t_2 = -\frac{1}{t}$ થશે.
પ્રાચલિત યામ $(at_2^2, 2at_2)$ માં $t_2 = -\frac{1}{t}$ મૂકતા:
$x = a\left(-\frac{1}{t}\right)^2 = \frac{a}{t^2}$
$y = 2a\left(-\frac{1}{t}\right) = -\frac{2a}{t}$
આમ,બીજા અંત્યબિંદુના યામ $\left( \frac{a}{t^2}, -\frac{2a}{t} \right)$ થશે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $(y - 2)^2 = 12(x - 4)$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $h = 4$,$k = 2$ અને $4a = 12$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 3$.
$(y - k)^2 = 4a(x - h)$ સ્વરૂપના પરવલય માટે પ્રચલ સમીકરણો $x = h + at^2$ અને $y = k + 2at$ છે.
$h = 4$,$k = 2$ અને $a = 3$ કિંમતો મૂકતા:
$x = 4 + 3t^2$
$y = 2 + 2(3)t = 2 + 6t$
આમ,પ્રચલ સમીકરણો $x = 4 + 3t^2$ અને $y = 2 + 6t$ છે.

(D) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2 + 2y + x = 0$ છે.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,આપણને $(y^2 + 2y + 1) - 1 + x = 0$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $(y + 1)^2 = -(x - 1)$ થાય છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y - k)^2 = -4a(x - h)$ સાથે સરખાવતા,શિરોબિંદુ $(h, k) = (1, -1)$ મળે છે.
અહીં $x$-યામ ધન છે અને $y$-યામ ઋણ હોવાથી,શિરોબિંદુ $(1, -1)$ એ $IV$ ચરણમાં આવેલું છે.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે.
અહીં,$4a = 9$,તેથી $a = \frac{9}{4}$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{9}{4m}$ થાય.
જો તે બિંદુ $(4, 10)$ માંથી પસાર થાય,તો:
$10 = 4m + \frac{9}{4m}$
$4m$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$40m = 16m^2 + 9$
$16m^2 - 40m + 9 = 0$
$(4m - 1)(4m - 9) = 0$
આમ,$m = \frac{1}{4}$ અથવા $m = \frac{9}{4}$.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $9y^2 - 12y - 16x - 57 = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $9y^2 - 12y = 16x + 57$.
$y$ વાળા પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(3y)^2 - 2(3y)(2) + 2^2 = 16x + 57 + 4$.
$(3y - 2)^2 = 16x + 61$.
$9(y - 2/3)^2 = 16(x + 61/16)$.
$(y - 2/3)^2 = \frac{16}{9}(x + 61/16)$.
પરવલયની અક્ષનું સમીકરણ વર્ગની અંદરના રેખીય પદ દ્વારા મળે છે: $3y - 2 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $3y = 2$ થાય છે.

(D) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી દોરેલી સ્પર્શજીવાનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
અહીં પરવલય $y^2 = 4x$ આપેલ છે,તેથી $a = 1$.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (2, 4)$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$y(4) = 2(1)(x + 2)$
$4y = 2(x + 2)$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$2y = x + 2$.