Parabola Questions in Gujarati

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ ના બિંદુ $(at^2, 2at)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $ty = x + at^2$ છે,જેને $x - ty + at^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ છે કે રેખા $lx + my + n = 0$ એ પરવલયનો સ્પર્શક છે,તેથી તે $x - ty + at^2 = 0$ સમીકરણ સાથે સમાન હોવી જોઈએ.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{1}{l} = \frac{-t}{m} = \frac{at^2}{n}$
$\frac{1}{l} = \frac{-t}{m}$ પરથી,$t = -\frac{m}{l}$ મળે છે.
$\frac{1}{l} = \frac{at^2}{n}$ પરથી,$t^2 = \frac{n}{al}$ મળે છે.
$t = -\frac{m}{l}$ ને $t^2 = \frac{n}{al}$ માં મૂકતા:
$(-\frac{m}{l})^2 = \frac{n}{al} \implies \frac{m^2}{l^2} = \frac{n}{al} \implies m^2 = \frac{nl}{a}$.
સ્પર્શબિંદુ $(at^2, 2at)$ છે. ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
તેથી $x_1 = at^2 = a(\frac{n}{al}) = \frac{n}{l}$ અને $y_1 = 2at = 2a(-\frac{m}{l}) = -\frac{2am}{l}$.
સ્પર્શબિંદુ $(x_1, y_1)$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ પર આવેલું હોવાથી,સ્પર્શબિંદુનો બિંદુપથ પરવલય જ છે.

(D) રેખા $y = x + 2$ છે. આ કિંમત પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 8x$ માં મૂકતા:
$(x + 2)^2 = 8x$
$x^2 + 4x + 4 = 8x$
$x^2 - 4x + 4 = 0$
$(x - 2)^2 = 0$
આમ,$x = 2$.
$x = 2$ ને રેખાના સમીકરણ $y = x + 2$ માં મૂકતા,આપણને $y = 2 + 2 = 4$ મળે છે.
તેથી,સ્પર્શબિંદુ $(2, 4)$ છે.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ ના બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
બિંદુ $(a, 2a)$ મૂકતા,આપણને $y(2a) = 2a(x + a)$ મળે છે.
બંને બાજુ $2a$ વડે ભાગતા,$y = x + a$ મળે છે.
આને $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m = 1$ મળે છે.
$m = \tan \theta$ હોવાથી,$\tan \theta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{4}$.

(D) આપેલ રેખા $lx + my + n = 0$ $(i)$ અને પરવલય $x^2 = y$ $(ii)$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$y = x^2$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $lx + m(x^2) + n = 0$.
આને દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા: $mx^2 + lx + n = 0$.
રેખા પરવલયને સ્પર્શતી હોવાથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક શૂન્ય થવો જોઈએ $(D = 0)$.
$D = b^2 - 4ac = l^2 - 4(m)(n) = 0$.
તેથી,સ્પર્શકની શરત $l^2 = 4mn$ છે.

(D) આપેલ પરવલય $y^2 = 9x$ માટે,$4a = 9$ હોવાથી $a = \frac{9}{4}$ મળે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે.
$a = \frac{9}{4}$ મૂકતા,સમીકરણ $y = mx + \frac{9}{4m}$ મળે.
સ્પર્શક બિંદુ $(4, 10)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$x = 4$ અને $y = 10$ મૂકતા:
$10 = 4m + \frac{9}{4m}$
$4m$ વડે ગુણતા:
$40m = 16m^2 + 9$
$16m^2 - 40m + 9 = 0$
અવયવ પાડતા:
$(4m - 9)(4m - 1) = 0$
$m = \frac{9}{4}$ અથવા $m = \frac{1}{4}$.
$m = \frac{9}{4}$ માટે,સમીકરણ $9x - 4y + 4 = 0$ મળે છે.
$m = \frac{1}{4}$ માટે,સમીકરણ $x - 4y + 36 = 0$ મળે છે.
આમ,$(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે બિંદુ $t$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $ty = x + at^2$ છે.
ધારો કે બે સ્પર્શકો બિંદુઓ $t_1$ અને $t_2$ આગળ છે. તેમના સમીકરણો $t_1y = x + at_1^2$ અને $t_2y = x + at_2^2$ છે.
આ સ્પર્શકોના ઢાળ $m_1 = \frac{1}{t_1}$ અને $m_2 = \frac{1}{t_2}$ છે.
સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{t_1} \times \frac{1}{t_2} = -1$,તેથી $t_1t_2 = -1$.
આ બે સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $(at_1t_2, a(t_1 + t_2))$ છે.
$t_1t_2 = -1$ મૂકતા,છેદબિંદુ $(-a, a(t_1 + t_2))$ મળે છે.
અહીં $x$-યામ હંમેશા $-a$ હોવાથી,છેદબિંદુનો બિંદુપથ રેખા $x = -a$ છે,જેને $x + a = 0$ તરીકે લખી શકાય.

(C) પરવલય $y^2 = 4x$ નો કોઈપણ સ્પર્શક $y = mx + \frac{1}{m}$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આ રેખા વર્તુળ $(x - 3)^2 + y^2 = 9$ (કેન્દ્ર $(3, 0)$ અને ત્રિજ્યા $3$) ને સ્પર્શે છે જો કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોય:
$3 = \left| \frac{m(3) - 0 + \frac{1}{m}}{\sqrt{m^2 + 1}} \right|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$9(m^2 + 1) = (3m + \frac{1}{m})^2$
$9m^2 + 9 = 9m^2 + 6 + \frac{1}{m^2}$
$3 = \frac{1}{m^2} \implies m^2 = \frac{1}{3} \implies m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
સ્પર્શક $x$-અક્ષની ઉપર હોવાથી,આપણે ધન ઢાળ $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ પસંદ કરીશું.
$m$ ની કિંમત સ્પર્શકના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3}$
$\sqrt{3}$ વડે ગુણતા:
$\sqrt{3}y = x + 3$.

(A) રેખા $y = mx + c$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ ને સ્પર્શક હોય તે માટેની શરત $c = \frac{a}{m}$ છે.
રેખાના સમીકરણમાં $c = \frac{a}{m}$ મૂકતા,આપણને $y = mx + \frac{a}{m}$ મળે છે.
સ્પર્શબિંદુ શોધવા માટે,$y = mx + \frac{a}{m}$ ને $y^2 = 4ax$ માં મૂકતા:
$(mx + \frac{a}{m})^2 = 4ax$
$m^2x^2 + 2ax + \frac{a^2}{m^2} = 4ax$
$m^2x^2 - 2ax + \frac{a^2}{m^2} = 0$
$(mx - \frac{a}{m})^2 = 0$
આથી $x = \frac{a}{m^2}$ મળે છે.
$x = \frac{a}{m^2}$ ને $y = mx + \frac{a}{m}$ માં મૂકતા,$y = m(\frac{a}{m^2}) + \frac{a}{m} = \frac{a}{m} + \frac{a}{m} = \frac{2a}{m}$ મળે છે.
આમ,સ્પર્શબિંદુ $\left( \frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m} \right)$ છે.

(D) ધારો કે પરવલય ${y^2} = 4ax$ પરનું બિંદુ $P(at^2, 2at)$ છે અને નાભિ $S(a, 0)$ છે.
$P$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $ty = x + at^2$ છે.
પરવલયની નિયામિકા $x = -a$ છે.
બિંદુ $K$ શોધવા માટે,સ્પર્શકના સમીકરણમાં $x = -a$ મૂકતા:
$ty = -a + at^2$
$y = \frac{a(t^2 - 1)}{t}$
તેથી,$K = (-a, \frac{a(t^2 - 1)}{t})$.
હવે,$SP$ અને $SK$ ના ઢાળ શોધો:
$SP$ નો ઢાળ $(m_1)$ = $\frac{2at - 0}{at^2 - a} = \frac{2at}{a(t^2 - 1)} = \frac{2t}{t^2 - 1}$.
$SK$ નો ઢાળ $(m_2)$ = $\frac{\frac{a(t^2 - 1)}{t} - 0}{-a - a} = \frac{a(t^2 - 1)}{t(-2a)} = -\frac{t^2 - 1}{2t}$.
કારણ કે $m_1 \times m_2 = (\frac{2t}{t^2 - 1}) \times (-\frac{t^2 - 1}{2t}) = -1$,રેખાઓ $SP$ અને $SK$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$\angle PSK = 90^\circ$.

(A) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $t$ બિંદુ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $ty = x + at^2$ છે.
$t_1$ અને $t_2$ આગળના સ્પર્શકો $t_1y = x + at_1^2$ અને $t_2y = x + at_2^2$ છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(t_1 - t_2)y = a(t_1^2 - t_2^2) = a(t_1 - t_2)(t_1 + t_2)$.
તેથી,$y = a(t_1 + t_2)$.
$y$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $t_1(a(t_1 + t_2)) = x + at_1^2$.
$at_1^2 + at_1t_2 = x + at_1^2$,જે આપણને $x = at_1t_2$ આપે છે.
તેથી,છેદબિંદુ $(at_1t_2, a(t_1 + t_2))$ છે.

(C) આપેલ વક્રો $x^2 = 4(y + 1)$ અને $x^2 = -4(y + 1)$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $4(y + 1) = -4(y + 1)$,જેનો અર્થ છે $8(y + 1) = 0$,તેથી $y = -1$.
$y = -1$ ને કોઈપણ સમીકરણમાં મૂકતા $x^2 = 0$ મળે છે,તેથી $x = 0$.
છેદબિંદુ $(0, -1)$ છે.
પ્રથમ વક્ર $x^2 = 4y + 4$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2x = 4 \frac{dy}{dx}$ મળે,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{2}$. બિંદુ $(0, -1)$ પર,ઢાળ $m_1 = \frac{0}{2} = 0$.
બીજા વક્ર $x^2 = -4y - 4$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2x = -4 \frac{dy}{dx}$ મળે,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2}$. બિંદુ $(0, -1)$ પર,ઢાળ $m_2 = -\frac{0}{2} = 0$.
કારણ કે $m_1 = m_2 = 0$,વક્રો છેદબિંદુ પર એકબીજાને સ્પર્શે છે.
તેથી,છેદકોણ $0$ છે.

(B) આપેલા સમીકરણો $y^2 = 4(x + 1)$ અને $x^2 = 4(y + 1)$ છે.
આ બે પરવલયો દર્શાવે છે.
પ્રથમ પરવલય $y^2 = 4(x + 1)$ નું શિરોબિંદુ $(-1, 0)$ છે અને તે $x$-અક્ષની દિશામાં ખુલે છે.
બીજા પરવલય $x^2 = 4(y + 1)$ નું શિરોબિંદુ $(0, -1)$ છે અને તે $y$-અક્ષની દિશામાં ખુલે છે.
પ્રથમ પરવલયની ધરી $x$-અક્ષ છે અને બીજા પરવલયની ધરી $y$-અક્ષ છે,અને આ ધરીઓ એકબીજાને લંબ હોવાથી,તેમના છેદબિંદુએ વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ થાય છે.

(D) આપેલ પરવલય $y^2 = ax$ છે,જેને $y^2 = 4 \left( \frac{a}{4} \right) x$ તરીકે લખી શકાય.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y^2 = 4Ax$ સાથે સરખાવતા,$A = \frac{a}{4}$ મળે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ છે.
પરવલય $y^2 = 4Ax$ માટે,કોઈપણ બિંદુ $(x_1, y_1)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{2A}{y_1}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$1 = \frac{2(a/4)}{y_1} = \frac{a/2}{y_1}$.
તેથી,$y_1 = \frac{a}{2}$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ પરવલય $y^2 = ax$ પર હોવાથી,$y_1^2 = ax_1$ થાય.
$y_1 = \frac{a}{2}$ મૂકતા,$\left( \frac{a}{2} \right)^2 = ax_1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{a^2}{4} = ax_1$.
તેથી,$x_1 = \frac{a}{4}$.
સ્પર્શબિંદુ $\left( \frac{a}{4}, \frac{a}{2} \right)$ છે.

(B) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4ax$ છે. નાભિસ્થ જીવાના અંત્યબિંદુઓ $P(at_1^2, 2at_1)$ અને $Q(at_2^2, 2at_2)$ છે,જ્યાં $t_1t_2 = -1$ થાય.
$P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકો બિંદુ $(at_1t_2, a(t_1+t_2))$ માં છેદે છે.
$t_1t_2 = -1$ મૂકતા,છેદબિંદુ $(-a, a(t_1+t_2))$ મળે છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ ની નિયામિકા $x = -a$ હોવાથી,છેદબિંદુ નિયામિકા પર આવેલું છે.

(B) ધારો કે જીવા ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે. આવી રેખાનું સમીકરણ $y = mx$ છે.
$y = mx$ ને પરવલય $y^2 = 4ax$ માં મૂકતા,આપણને $(mx)^2 = 4ax$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $m^2x^2 - 4ax = 0$ થાય છે.
આનાથી $x(m^2x - 4a) = 0$ મળે છે,તેથી છેદબિંદુઓ $x_1 = 0$ અને $x_2 = \frac{4a}{m^2}$ છે.
તેને અનુરૂપ $y$-યામ $y_1 = 0$ અને $y_2 = m(\frac{4a}{m^2}) = \frac{4a}{m}$ છે.
જીવાનું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ એ $h = \frac{0 + \frac{4a}{m^2}}{2} = \frac{2a}{m^2}$ અને $k = \frac{0 + \frac{4a}{m}}{2} = \frac{2a}{m}$ દ્વારા મળે છે.
$k = \frac{2a}{m}$ પરથી,આપણને $m = \frac{2a}{k}$ મળે છે.
આને $h = \frac{2a}{m^2}$ માં મૂકતા,આપણને $h = \frac{2a}{(2a/k)^2} = \frac{2a \cdot k^2}{4a^2} = \frac{k^2}{2a}$ મળે છે.
આમ,$k^2 = 2ah$. $(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2 = 2ax$ મળે છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે. $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$a = 2$ મળે.
આપેલ રેખા $x - 2y + 5 = 0$ નો ઢાળ $m = 1/2$ છે.
અભિલંબ આ રેખાને સમાંતર હોવાથી,અભિલંબનો ઢાળ $m_n = 1/2$ થાય.
પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના બિંદુ $(at^2, 2at)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $-t$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $-t = 1/2$,તેથી $t = -1/2$.
બિંદુના યામ $(at^2, 2at) = (2(-1/2)^2, 2(2)(-1/2)) = (2(1/4), -2) = (1/2, -2)$ મળે.
આમ,માંગેલ બિંદુ $(1/2, -2)$ છે.

(D) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2am - am^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતા અભિલંબ માટે,$y_1 = mx_1 - 2am - am^3$ થાય.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $m$ માં ત્રિઘાત સમીકરણ મળે છે: $am^3 + (2a - x_1)m + y_1 = 0$.
આ $m$ માં ત્રિઘાત સમીકરણ હોવાથી,તેના મહત્તમ $3$ વાસ્તવિક ઉકેલો હોઈ શકે છે.
તેથી,પરવલય પરના કોઈ બિંદુમાંથી મહત્તમ $3$ અભિલંબ દોરી શકાય છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે,તેથી $4a = 8$,જે $a = 2$ આપે છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ ના બિંદુ $(x_1, y_1)$ પરના અભિલંબનો ઢાળ $m = -\frac{y_1}{2a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અભિલંબ $x$-અક્ષ સાથે $60^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી તેનો ઢાળ $m = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $\sqrt{3} = -\frac{y_1}{2(2)} = -\frac{y_1}{4}$.
આમ,$y_1 = -4\sqrt{3}$.
બિંદુ પરવલય $y^2 = 8x$ પર હોવાથી,$(-4\sqrt{3})^2 = 8x_1$.
$16 \times 3 = 8x_1 \implies 48 = 8x_1 \implies x_1 = 6$.
તેથી,જરૂરી બિંદુ $(6, -4\sqrt{3})$ છે.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 4a$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y}$.
બિંદુ $(at^2, 2at)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_T = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_N = -\frac{1}{m_T}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$m_N = -\frac{1}{1/t} = -t$.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $2y y_1 = 4a(x + x_1) \implies y = \frac{2a}{y_1}(x + x_1)$ દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $\left( \frac{a}{4}, a \right)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{2a}{a} = 2$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{2}$ થાય.
બિંદુ $\left( \frac{a}{4}, a \right)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ છે.
$y - a = -\frac{1}{2}(x - \frac{a}{4})$.
$2(y - a) = -(x - \frac{a}{4})$.
$2y - 2a = -x + \frac{a}{4}$.
$x + 2y = 2a + \frac{a}{4} = \frac{9a}{4}$.
$4x + 8y = 9a$.
$4x + 8y - 9a = 0$.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 4a$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y}$ મળે.
બિંદુ $P\left( \frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m} \right)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{2a}{2a/m} = m$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{m}$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ છે.
$y - \frac{2a}{m} = -\frac{1}{m} \left( x - \frac{a}{m^2} \right)$.
$m^3$ વડે ગુણતા,$m^3y - 2am^2 = -m^2x + a$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$m^3y + m^2x = 2am^2 + a$ મળે છે.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = -8x$ છે. તેને $y^2 = -4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2$ મળે છે.
રેખાનું સમીકરણ $y = -2x - k$ છે,જે $y = mx + c$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $m = -2$ અને $c = -k$ છે.
પરવલય $y^2 = -4ax$ માટે રેખા $y = mx + c$ અભિલંબ હોવાની શરત $c = -2am - am^3$ છે.
આ શરતમાં $a = 2$,$m = -2$,અને $c = -k$ ની કિંમતો મૂકતા:
$-k = -2(2)(-2) - 2(-2)^3$
$-k = 8 - 2(-8)$
$-k = 8 + 16$
$-k = 24$
$k = -24$.

(D) પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના બિંદુ $t_1$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y = -t_1x + 2at_1 + at_1^3$ છે.
બિંદુ $(a, 2a)$ માટે,$2a = t_1(2a) \implies t_1^2 = 1$,તેથી $t_1 = 1$ (કારણ કે $y = 2a > 0$).
પરવલય પરના બે બિંદુઓ કે જ્યાં એક બિંદુએ દોરેલો અભિલંબ બીજા બિંદુએ મળે છે,તેમના પ્રાચલો વચ્ચેનો સંબંધ $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}$ છે.
$t_1 = 1$ અને $t_2 = t$ મૂકતા:
$t = -1 - \frac{2}{1} = -3$.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 6x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 6$,તેથી $a = \frac{3}{2}$ મળે.
પરવલયનું શિરોબિંદુ $(0, 0)$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓના યામ $(a, 2a)$ અને $(a, -2a)$ છે.
નાભિલંબનું ઋણ અંત્યબિંદુ $(a, -2a) = (\frac{3}{2}, -2 \times \frac{3}{2}) = (\frac{3}{2}, -3)$ છે.
શિરોબિંદુ $(0, 0)$ અને બિંદુ $(\frac{3}{2}, -3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - 0 = \frac{-3 - 0}{3/2 - 0}(x - 0)$ દ્વારા મળે છે.
$y = \frac{-3}{3/2}x = -2x$.
તેથી,$y + 2x = 0$.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી દોરેલી સ્પર્શજીવાનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
અહીં $y^2 = 8x$ હોવાથી $4a = 8$,એટલે કે $a = 2$. બિંદુ $(2, 5)$ છે.
તેથી,સ્પર્શજીવાનું સમીકરણ $5y = 2 \times 2(x + 2) \Rightarrow 5y = 4x + 8$ થાય.
પરવલય અને સ્પર્શજીવાના છેદબિંદુઓ $(0.5, 2)$ અને $(8, 8)$ મળે છે.
તેથી,સ્પર્શજીવાની લંબાઈ $\sqrt{(8 - 0.5)^2 + (8 - 2)^2} = \sqrt{56.25 + 36} = \frac{3}{2}\sqrt{41}$ થાય.

(C) પરવલયનો અર્ધ-નાભિલંબ એ નાભિસ્થ જીવાના રેખાખંડો વચ્ચેનો હરાત્મક મધ્યક છે.
ધારો કે નાભિસ્થ જીવાના રેખાખંડો $a$ અને $c$ છે અને અર્ધ-નાભિલંબ $b$ છે.
નાભિસ્થ જીવાના ગુણધર્મ મુજબ,$b = \frac{2ac}{a + c}$ થાય.
આ સૂચવે છે કે $\frac{1}{b} = \frac{a + c}{2ac} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{c} + \frac{1}{a} \right)$.
જેથી $a, b, c$ ના વ્યસ્તો સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$a, b, c$ એ હરાત્મક શ્રેણી $(H.P.)$ માં છે.

(A) રેખાનું સમીકરણ $lx + my + n = 0$ છે,જેને $\frac{lx + my}{-n} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે,જેને $y^2 = 4ax(1)$ તરીકે લખી શકાય.
રેખાના સમીકરણમાંથી $1$ ની કિંમત પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને શિરોબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ મળે છે:
$y^2 = 4ax \left( \frac{lx + my}{-n} \right)$
$-ny^2 = 4alx^2 + 4amxy$
$4alx^2 + 4amxy + ny^2 = 0$.
આ રેખાઓ શિરોબિંદુ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ.
તેથી,$4al + n = 0$.

(C) ધારો કે સમાંતર જીવાઓનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે,જ્યાં $m$ અચળ છે અને $c$ ચલ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માં $x = \frac{y - c}{m}$ મૂકતા:
$y^2 = 4a \left( \frac{y - c}{m} \right)$
$my^2 - 4ay + 4ac = 0$
$y^2 - \frac{4a}{m}y + \frac{4ac}{m} = 0$
ધારો કે છેદબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ છે. બીજનો સરવાળો $y_1 + y_2 = \frac{4a}{m}$ થાય.
મધ્યબિંદુનો $y$-યામ $Y = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{2a}{m}$ છે.
$Y = \frac{2a}{m}$ અચળ હોવાથી,મધ્યબિંદુઓ પરવલયની અક્ષને સમાંતર રેખા પર આવેલા છે.

(D) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$ અનુક્રમે $(at_1^2, 2at_1)$ અને $(at_2^2, 2at_2)$ છે.
બિંદુ $t$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
જો $t_1$ અને $t_2$ આગળના અભિલંબ વક્ર પરના બિંદુ $R(at_3^2, 2at_3)$ માં છેદતા હોય,તો $t_1t_2 = 2$ થાય.
$P$ અને $Q$ ના યામો $y_1 = 2at_1$ અને $y_2 = 2at_2$ છે.
યામોનો ગુણાકાર $y_1y_2 = (2at_1)(2at_2) = 4a^2(t_1t_2)$ થાય.
$t_1t_2 = 2$ હોવાથી,ગુણાકાર $4a^2(2) = 8a^2$ થાય.

(A) પરવલયનું સમીકરણ ${x^2} = 4ay$ છે.
પરવલય ${x^2} = 4ay$ માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $x = my - 2am - am^3$ છે.
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ $x = my + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $c = - 2am - am^3$ મળે છે.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,અર્ધ-નાભિલંબ $l = 2a$ એ કોઈપણ નાભિ જીવા $PSQ$ ના ખંડોનો હરાત્મક મધ્યક છે.
આપેલ $y^2 = 8x$ પરથી,$4a = 8$,તેથી $a = 2$. આમ,અર્ધ-નાભિલંબ $l = 2a = 4$.
કારણ કે $SP, l, SQ$ એ હરાત્મક શ્રેણી $(H.P.)$ માં છે,તેથી:
$l = \frac{2(SP)(SQ)}{SP + SQ}$
$SP = 6$ અને $l = 4$ કિંમતો મૂકતા:
$4 = \frac{2(6)(SQ)}{6 + SQ}$
$4 = \frac{12(SQ)}{6 + SQ}$
$4(6 + SQ) = 12(SQ)$
$24 + 4(SQ) = 12(SQ)$
$8(SQ) = 24$
$SQ = 3$.

(D) પરવલય $y^2 = 4ax$ ના બિંદુ $(am^2, -2am)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2am - am^3$ છે.
પરવલય $y^2 = 4x$ માટે,$a = 1$ છે. તેથી,$(m^2, -2m)$ આગળ અભિલંબ $y = mx - 2m - m^3$ છે.
આ અભિલંબનો ઢાળ $m$ છે.
જો અભિલંબ યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણો બનાવે,તો તેનો નમનકોણ $\theta = 45^{\circ}$ અથવા $135^{\circ}$ હોવો જોઈએ,તેથી ઢાળ $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ અથવા $m = \tan(135^{\circ}) = -1$ થાય.
કિસ્સો $1$: જો $m = 1$ હોય,તો બિંદુ $(1^2, -2(1)) = (1, -2)$ મળે.
કિસ્સો $2$: જો $m = -1$ હોય,તો બિંદુ $((-1)^2, -2(-1)) = (1, 2)$ મળે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું બિંદુ $(1, -2)$ છે.

(D) આપેલ પરવલય ${y^2} = 4a(x - a)$ છે.
પરવલય પરનું બિંદુ $(x_1, y_1)$ ધારો. $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y{y_1} = 2a(x + x_1 - 2a)$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{2a}{y_1}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m = -\frac{1}{m_t} = -\frac{y_1}{2a}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $y_1 = -2am$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ પરવલય પર હોવાથી,${y_1^2} = 4a(x_1 - a)$.
$y_1 = -2am$ મૂકતા,$(-2am)^2 = 4a(x_1 - a)$,જેનું સાદું રૂપ $4a^2m^2 = 4a(x_1 - a)$ થાય છે,તેથી $x_1 - a = am^2$,અથવા $x_1 = a + am^2$.
$(x_1, y_1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે.
$x_1$ અને $y_1$ ની કિંમત મૂકતા,$y - (-2am) = m(x - (a + am^2))$.
$y + 2am = mx - am - am^3$.
$y = m(x - a) - 2am - am^3$.

(D) ધારો કે નાભિસ્થ જીવાના અંત્યબિંદુઓ $P(at_1^2, 2at_1)$ અને $Q(at_2^2, 2at_2)$ છે.
$PQ$ એ નાભિસ્થ જીવા હોવાથી,$t_1 t_2 = -1$ થાય.
$P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $(at_1 t_2, a(t_1 + t_2))$ છે.
$t_1 t_2 = -1$ મૂકતા,$x$-યામ $x = a(-1) = -a$ મળે છે.
આમ,સ્પર્શકો $x = -a$ રેખા પર છેદે છે,જે પરવલયની નિયામિકા છે.
તેથી,સમીકરણ $x + a = 0$ છે.

(A) $y^2 = 4ax$ પરવલય માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2am - am^3$ છે.
જો અભિલંબ $(h, k)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય,તો $am^3 + (2a - h)m + k = 0$ મળે.
આ સમીકરણના ત્રણ બીજ $m_1, m_2, m_3$ છે,જે ત્રણ લંબપાદ $(am_i^2, -2am_i)$ દર્શાવે છે.
ત્રિકોણનું કેન્દ્રસ્થાન $(x_c, y_c) = (\frac{a(m_1^2 + m_2^2 + m_3^2)}{3}, \frac{-2a(m_1 + m_2 + m_3)}{3})$ છે.
ઘાત સમીકરણના ગુણધર્મ મુજબ $m_1 + m_2 + m_3 = 0$ હોવાથી,$y_c = 0$ મળે છે.
આમ,કેન્દ્રસ્થાન પરવલયની અક્ષ પર આવેલું છે.

(D) વર્તુળના વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તો વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ થાય.
અહીં અભિલંબ જીવાના અંત્યબિંદુઓ $(3, 6)$ અને $(27, -18)$ આપેલા છે,તેથી વર્તુળનું સમીકરણ:
$(x - 3)(x - 27) + (y - 6)(y + 18) = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - 27x - 3x + 81) + (y^2 + 18y - 6y - 108) = 0$
${x^2} + {y^2} - 30x + 12y + 81 - 108 = 0$
${x^2} + {y^2} - 30x + 12y - 27 = 0$.

(A) પરવલય $y^2 = 4ax$ (જ્યાં $a=1$) માટે,બિંદુ $P(t_1^2, 2t_1)$ પરનો અભિલંબ પરવલયને ફરીથી $Q(t_2^2, 2t_2)$ પર મળે છે,જ્યાં $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}$ છે.
જો જીવા $PQ$ શિરોબિંદુ $(0,0)$ આગળ કાટખૂણો આંતરે,તો $OP$ અને $OQ$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$OP$ નો ઢાળ $= \frac{2}{t_1}$ અને $OQ$ નો ઢાળ $= \frac{2}{t_2}$.
તેથી,$(\frac{2}{t_1}) \times (\frac{2}{t_2}) = -1 \Rightarrow t_1 t_2 = -4$.
$t_2 = -\frac{4}{t_1}$ ને અભિલંબની શરતમાં મૂકતા: $-t_1 - \frac{2}{t_1} = -\frac{4}{t_1}$ $\Rightarrow t_1 = \frac{2}{t_1}$ $\Rightarrow t_1^2 = 2$.
આમ,$t_1 = \sqrt{2}$ અને $t_2 = -2\sqrt{2}$.
યામ $P(2, 2\sqrt{2})$ અને $Q(8, -4\sqrt{2})$ છે.
લંબાઈ $PQ = \sqrt{(8-2)^2 + (-4\sqrt{2} - 2\sqrt{2})^2} = \sqrt{6^2 + (-6\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 + 72} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$.

(B) પરવલયનું સમીકરણ ${y^2} = 12x$ છે,જે ${y^2} = 4ax$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 3$ છે.
પરવલય ${y^2} = 4ax$ માટે બિંદુ $t$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y + tx = 2at + at^3$ છે.
$a = 3$ મૂકતા,અભિલંબનું સમીકરણ $y + tx = 6t + 3t^3$ મળે છે.
આને આપેલ અભિલંબ $x + y = k$ સાથે સરખાવતા,આપણને $tx + y = 6t + 3t^3$ અને $x + y = k$ મળે છે.
આ બંને એક જ રેખા દર્શાવતા હોવાથી,સહગુણકો પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ:
$\frac{t}{1} = \frac{1}{1} = \frac{6t + 3t^3}{k}$.
$\frac{t}{1} = 1$ પરથી,આપણને $t = 1$ મળે છે.
$t = 1$ ને ગુણોત્તર $\frac{1}{1} = \frac{6(1) + 3(1)^3}{k}$ માં મૂકતા,$1 = \frac{6 + 3}{k}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $k = 9$.

(A) પરવલય $y^2 = 4bx$ માટે બિંદુ $P(bt_1^2, 2bt_1)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y + t_1x = 2bt_1 + bt_1^3$ છે.
આ અભિલંબ પરવલયને બિંદુ $Q(bt_2^2, 2bt_2)$ માં મળે છે,તેથી બિંદુ $Q$ અભિલંબના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
$x = bt_2^2$ અને $y = 2bt_2$ મૂકતા:
$2bt_2 + t_1(bt_2^2) = 2bt_1 + bt_1^3$.
$b$ વડે ભાગતા:
$2t_2 + t_1t_2^2 = 2t_1 + t_1^3$.
પદોને ગોઠવતા:
$t_1(t_2^2 - t_1^2) + 2(t_2 - t_1) = 0$.
$t_1(t_2 - t_1)(t_2 + t_1) + 2(t_2 - t_1) = 0$.
$(t_2 - t_1)$ વડે ભાગતા:
$t_1(t_2 + t_1) + 2 = 0$.
$t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}$.

(A) પરવલય $y^2 = 16x$ છે,તેથી $4a = 16$,જે $a = 4$ આપે છે. નાભિ $(4, 0)$ છે.
$(4, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી કોઈપણ નાભિ જીવાનું સમીકરણ $y - 0 = m(x - 4)$ એટલે કે $mx - y - 4m = 0$ થાય.
આ રેખા વર્તુળ $(x - 6)^2 + y^2 = 2$ ને સ્પર્શે છે,જેનું કેન્દ્ર $(6, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2}$ છે.
કેન્દ્ર $(6, 0)$ થી રેખા $mx - y - 4m = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{2}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{|m(6) - 0 - 4m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \sqrt{2}$.
$\frac{|2m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{4m^2}{m^2 + 1} = 2$.
$4m^2 = 2m^2 + 2$.
$2m^2 = 2$,તેથી $m^2 = 1$,જે $m = \pm 1$ આપે છે.
આમ,ઢાળના શક્ય મૂલ્યો $\{-1, 1\}$ છે.

(D) પરવલયનું સમીકરણ ${y^2 = 8x}$ છે,જે ${y^2 = 4ax}$ સ્વરૂપમાં છે,તેથી ${a = 2}$.
બિંદુ $(2, 4)$ એ પ્રાચલ ${t_1}$ ને અનુરૂપ છે જ્યાં ${at_1^2 = 2}$ અને ${2at_1 = 4}$.
${a = 2}$ મૂકતા,આપણને ${2t_1^2 = 2 \implies t_1^2 = 1 \implies t_1 = 1}$ મળે છે (કારણ કે ${y > 0}$).
જો ${t_1}$ આગળનો અભિલંબ પરવલયને ${t_2}$ આગળ મળે,તો ${t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}}$.
${t_1 = 1}$ મૂકતા,આપણને ${t_2 = -1 - \frac{2}{1} = -3}$ મળે છે.
બિંદુના યામ $(at_2^2, 2at_2) = (2(-3)^2, 2(2)(-3)) = (18, -12)$ છે.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,નાભિ $(a, 0)$ પર છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ ના સાપેક્ષમાં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના ધ્રુવનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાભિ $(a, 0)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $y(0) = 2a(x + a)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $0 = 2a(x + a)$ થાય છે.
$a \neq 0$ હોવાથી,આપણને $x + a = 0$ અથવા $x = -a$ મળે છે.
આ પરવલયની નિયામિકાનું સમીકરણ છે.
તેથી,નાભિનું ધ્રુવ એ નિયામિકા છે.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $m$ ઢાળ ધરાવતી જીવાને અનુરૂપ વ્યાસનું સમીકરણ $y = \frac{2a}{m}$ છે.
અહીં પરવલય $y^2 = x$ આપેલ છે,તેથી $4a = 1$ એટલે કે $a = \frac{1}{4}$.
આપેલ જીવા $x - y + 1 = 0$ છે,જેને $y = x + 1$ તરીકે લખી શકાય. તેથી,ઢાળ $m = 1$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$y = \frac{2 \times (1/4)}{1}$
$y = \frac{1/2}{1}$
$y = \frac{1}{2}$
$2y = 1$.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 12y$ છે. તેને $x^2 = 4ay$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 12$ મળે છે,તેથી $a = 3$.
પરવલયનું શિરોબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
નાભિલંબ એ રેખા $y = a = 3$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $y = 3$ ને $x^2 = 12y$ માં મૂકીને મેળવી શકાય છે,જે $x^2 = 36$ આપે છે,તેથી $x = \pm 6$.
આમ,નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓના યામ $L_1(6, 3)$ અને $L_2(-6, 3)$ છે.
ત્રિકોણ $(0, 0)$,$(6, 3)$,અને $(-6, 3)$ શિરોબિંદુઓ દ્વારા બને છે.
ત્રિકોણનો પાયો એ નાભિલંબની લંબાઈ છે,જે $6 - (-6) = 12$ છે.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ એ નાભિલંબનો $y$-યામ છે,જે $3$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18 \ sq. \ unit$ છે.

(D) આપેલ પરવલય $y^2 = 4x$ છે. શિરોબિંદુઓના યામ $y_1 = 1, y_2 = 2, y_3 = 4$ છે.
બિંદુઓ પરવલય પર હોવાથી,તેમના $x$-યામ $x = \frac{y^2}{4}$ દ્વારા મળે છે.
$y_1 = 1$ માટે,$x_1 = \frac{1^2}{4} = \frac{1}{4}$.
$y_2 = 2$ માટે,$x_2 = \frac{2^2}{4} = 1$.
$y_3 = 4$ માટે,$x_3 = \frac{4^2}{4} = 4$.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(\frac{1}{4}, 1), (1, 2)$ અને $(4, 4)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\frac{1}{4}(2 - 4) + 1(4 - 1) + 4(1 - 2)|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-\frac{1}{2} + 3 - 4| = \frac{1}{2} |-\frac{3}{2}| = \frac{3}{4}$.

(B) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$P(x, y)$,અને $Q(x, -y)$ છે.
ત્રિકોણ સમબાજુ અને $x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત હોવાથી,બાજુ $OP$ દ્વારા $x$-અક્ષ સાથે બનતો ખૂણો $30^\circ$ છે.
રેખા $OP$ નું સમીકરણ $y = x \tan(30^\circ) = \frac{x}{\sqrt{3}}$,અથવા $x = y\sqrt{3}$ છે.
આને પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 4ax$ માં મૂકતા,આપણને $y^2 = 4a(y\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}ay$ મળે છે.
$y \neq 0$ હોવાથી,$y = 4\sqrt{3}a$ મળે.
તેથી $x = (4\sqrt{3}a)\sqrt{3} = 12a$.
ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $L$ એ $PQ$ નું અંતર છે,જે $2y = 2(4\sqrt{3}a) = 8a\sqrt{3}$ થાય.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓના યામ $\left( \frac{y_1^2}{4a}, y_1 \right)$,$\left( \frac{y_2^2}{4a}, y_2 \right)$,અને $\left( \frac{y_3^2}{4a}, y_3 \right)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,
$\Delta = \frac{1}{8a} |y_1^2(y_2 - y_3) + y_2^2(y_3 - y_1) + y_3^2(y_1 - y_2)|$
આ પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \frac{1}{8a} |(y_1 - y_2)(y_2 - y_3)(y_3 - y_1)|$.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી દોરેલી સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
અહીં પરવલય $y^2 = 4x$ છે,તેથી $4a = 4$ એટલે કે $a = 1$.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (-1, 2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y(2) = 2(1)(x + (-1))$
$2y = 2(x - 1)$
$y = x - 1$.
આમ,સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ $y = x - 1$ છે.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,જ્યાં $a = 1$,બિંદુ $(x_1, y_1) = (-1, 2)$ માંથી સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $2y = 2(x - 1)$ મળે છે,જે $y = x - 1$ અથવા $x - y - 1 = 0$ માં પરિણમે છે.
સ્પર્શબિંદુઓ $P$ અને $Q$ શોધવા માટે,$x = y + 1$ ને $y^2 = 4x$ માં મૂકતા:
$y^2 = 4(y + 1) \implies y^2 - 4y - 4 = 0$.
ઉકેલ $y = 2 \pm 2\sqrt{2}$ મળે છે.
આમ,બિંદુઓ $P(3 + 2\sqrt{2}, 2 + 2\sqrt{2})$ અને $Q(3 - 2\sqrt{2}, 2 - 2\sqrt{2})$ છે.
સ્પર્શક જીવાની લંબાઈ $PQ = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2} = 8$.
બિંદુ $(-1, 2)$ થી રેખા $x - y - 1 = 0$ નું લંબ અંતર $p = \frac{|-1 - 2 - 1|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times PQ \times p = \frac{1}{2} \times 8 \times 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ થાય.

(C) ધારો કે પરવલય પરનું બિંદુ $(x, y)$ છે. $2y = x^2$ હોવાથી,$y = x^2/2$ મળે.
$(x, x^2/2)$ અને $(0, 3)$ વચ્ચેનું અંતર $D$ છે,તેથી $D^2 = (x - 0)^2 + (x^2/2 - 3)^2$.
$f(x) = D^2 = x^4/4 - 2x^2 + 9$ લેતા.
ન્યૂનતમ અંતર માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$f'(x) = x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = 0$.
આથી $x = 0$ અથવા $x = \pm 2$ મળે.
$x = 0$ માટે $y = 0$,અંતર $3$ છે.
$x = \pm 2$ માટે $y = 2$,અંતર $\sqrt{5}$ છે.
$\sqrt{5} < 3$ હોવાથી,$(\pm 2, 2)$ સૌથી નજીકના બિંદુઓ છે.
તેથી વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.