Parabola Questions in Gujarati

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ ${x^2} = 2x + 2y$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને ${x^2} - 2x = 2y$ મળે છે.
ડાબી બાજુ પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: ${x^2} - 2x + 1 = 2y + 1$.
આનું સાદું રૂપ ${(x - 1)^2} = 2\left( y + \frac{1}{2} \right)$ થાય છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ ${(x - h)^2} = 4a(y - k)$ સાથે સરખાવતા,$4a = 2$ મળે,તેથી $a = \frac{1}{2}$.
શિરોબિંદુ $(h, k)$ એ $(1, -\frac{1}{2})$ છે.
પરવલયનું નાભિ $(h, k + a)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(1, -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = (1, 0)$ મળે છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ ${y^2} - 4y - 2x - 8 = 0$ છે.
$y$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
${y^2} - 4y = 2x + 8$
${y^2} - 4y + 4 = 2x + 8 + 4$
${(y - 2)^2} = 2x + 12$
${(y - 2)^2} = 2(x + 6)$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ ${(y - k)^2} = 4a(x - h)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 2$ મળે છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $|4a|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $2$ છે.

(A) પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,બિંદુ $P(x, y)$ નું નાભિ $(a, b)$ થી અંતર અને નિયામિકા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - 1 = 0$ થી લંબ અંતર સમાન હોય છે.
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = \left( \frac{\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - 1}{\sqrt{(\frac{1}{a})^2 + (\frac{1}{b})^2}} \right)^2$
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = \left( \frac{bx + ay - ab}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)^2$
$(x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2) = \frac{(bx + ay - ab)^2}{a^2 + b^2}$
$(a^2 + b^2)(x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2) = (bx + ay - ab)^2$
બંને બાજુ વિસ્તરણ અને સાદું રૂપ આપતા:
$(ax - by)^2 - 2a^3x - 2b^3y + a^4 + a^2b^2 + b^4 = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $4y^2 - 20y + 2x + 17 = 0$
$4$ વડે ભાગતા: $y^2 - 5y + \frac{1}{2}x + \frac{17}{4} = 0$
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(y - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + \frac{1}{2}x + \frac{17}{4} = 0$
$(y - \frac{5}{2})^2 = -\frac{1}{2}x + 2$
$(y - \frac{5}{2})^2 = -\frac{1}{2}(x - 4)$
$(y - k)^2 = -4a(x - h)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = \frac{1}{2} = 0.5$ મળે છે.
આમ,નાભિલંબની લંબાઈ $0.5$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 4x - 4y + 4 = 0$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,પરવલય એ એવા બિંદુનો બિંદુપથ છે જેનું નિશ્ચિત બિંદુ (નાભિ) થી અંતર અને નિશ્ચિત રેખા (નિયામિકા) થી અંતર સમાન હોય છે.
તેથી,કોઈપણ પરવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ હંમેશા $1$ હોય છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $3x - 2y^2 - 4y + 7 = 0$
પદોને ગોઠવતા: $2y^2 + 4y = 3x + 7$
$2$ વડે ભાગતા: $y^2 + 2y = \frac{3}{2}x + \frac{7}{2}$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $y^2 + 2y + 1 = \frac{3}{2}x + \frac{7}{2} + 1$
$(y + 1)^2 = \frac{3}{2}x + \frac{9}{2}$
$(y + 1)^2 = \frac{3}{2}(x + 3)$
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ સાથે સરખાવતા,શિરોબિંદુ $(h, k)$ એ $(-3, -1)$ મળે છે.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $4y^2 - 4y - 6x = 5$
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $4(y^2 - y) = 6x + 5$
$4(y^2 - y + 1/4) = 6x + 5 + 1$
$4(y - 1/2)^2 = 6(x + 1)$
$(y - 1/2)^2 = \frac{3}{2}(x + 1)$
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Y^2 = 4aX$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $Y = y - 1/2$,$X = x + 1$,અને $4a = 3/2$.
તેથી,$a = 3/8$.
$(X, Y)$ યામ પદ્ધતિમાં નાભિ $(a, 0) = (3/8, 0)$ છે.
$(x, y)$ યામમાં ફેરવતા:
$x + 1 = 3/8 \Rightarrow x = -5/8$
$y - 1/2 = 0 \Rightarrow y = 1/2$
આમ,નાભિ $(-5/8, 1/2)$ છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^2 + 8x + 12y + 4 = 0$ છે.
$x$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$x^2 + 8x = -12y - 4$
$(x^2 + 8x + 16) = -12y - 4 + 16$
$(x + 4)^2 = -12y + 12$
$(x + 4)^2 = -12(y - 1)$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $(h, k)$ એ શિરોબિંદુ છે:
$h = -4$ અને $k = 1$.
તેથી,શિરોબિંદુ $(-4, 1)$ છે.

(C) પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ ${(y - \beta)^2} = 4a(x - \alpha)$ છે.
આપેલ સમીકરણ ${(y - 2)^2} = 20(x + 3)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને શિરોબિંદુ $(\alpha, \beta) = (-3, 2)$ અને $4a = 20$ મળે છે,તેથી $a = 5$.
આ પ્રકારના પરવલય માટે નાભિના યામ $(\alpha + a, \beta)$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,નાભિ $(-3 + 5, 2) = (2, 2)$ મળે છે.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ ${x^2 - 4x - 8y + 12 = 0}$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
${x^2 - 4x = 8y - 12}$
ડાબી બાજુએ પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
${(x^2 - 4x + 4) = 8y - 12 + 4}$
${(x - 2)^2 = 8y - 8}$
${(x - 2)^2 = 8(y - 1)}$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ ${(x - h)^2 = 4a(y - k)}$ સાથે સરખાવતા,આપણને ${4a = 8}$ મળે છે.
આમ,નાભિલંબની લંબાઈ $8$ છે.

(D) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2 - x - 2y + 2 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$y^2 - 2y = x - 2$ મળે.
ડાબી બાજુ પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(y - 1)^2 - 1 = x - 2$.
$(y - 1)^2 = x - 1$.
ધારો કે $Y = y - 1$ અને $X = x - 1$. સમીકરણ $Y^2 = X$ બને છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Y^2 = 4aX$ સાથે સરખાવતા,$4a = 1$,તેથી $a = 1/4$ મળે.
$Y^2 = 4aX$ નું નાભિ $(a, 0)$ છે,જે $(1/4, 0)$ થાય.
$(x, y)$ યામ પદ્ધતિમાં નાભિ શોધવા માટે:
$X = 1/4 \implies x - 1 = 1/4 \implies x = 5/4$.
$Y = 0 \implies y - 1 = 0 \implies y = 1$.
આમ,નાભિ $(5/4, 1)$ છે.

(D) પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ હોય ત્યારે તેનું શિરોબિંદુ $(h, k)$ થાય છે.
આપેલ સમીકરણ $(y - 2)^2 = 16(x - 1)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $h = 1$ અને $k = 2$ મળે છે.
તેથી,પરવલયનું શિરોબિંદુ $(1, 2)$ છે.

(C) આપેલ છે કે,પરવલયનું શિરોબિંદુ $(h, k) = (1, 1)$ અને નાભિ $(h + a, k) = (3, 1)$ છે.
શિરોબિંદુ અને નાભિના $y$-યામ સમાન હોવાથી,પરવલયની અક્ષ $x$-અક્ષને સમાંતર છે.
યામની સરખામણી કરતા,$h = 1$,$k = 1$ અને $h + a = 3$ મળે છે.
$h = 1$ ને $h + a = 3$ માં મૂકતા,$1 + a = 3$,એટલે કે $a = 2$ મળે છે.
શિરોબિંદુ $(h, k)$ વાળા પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ છે.
$h = 1$,$k = 1$ અને $a = 2$ ની કિંમતો મૂકતા,$(y - 1)^2 = 4(2)(x - 1)$ મળે છે.
તેથી,સમીકરણ $(y - 1)^2 = 8(x - 1)$ છે.

(A) ધારો કે $P(x, y)$ એ પરવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ છે. વ્યાખ્યા મુજબ,$P$ થી નાભિ $S(5, 3)$ સુધીનું અંતર એ $P$ થી નિયામિકા $3x - 4y + 1 = 0$ સુધીના લંબ અંતર જેટલું હોય છે.
$PS^2 = PM^2$
$(x - 5)^2 + (y - 3)^2 = \left( \frac{3x - 4y + 1}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \right)^2$
$(x^2 - 10x + 25) + (y^2 - 6y + 9) = \frac{(3x - 4y + 1)^2}{25}$
$25(x^2 + y^2 - 10x - 6y + 34) = 9x^2 + 16y^2 + 1 - 24xy + 6x - 8y$
$25x^2 + 25y^2 - 250x - 150y + 850 = 9x^2 + 16y^2 - 24xy + 6x - 8y + 1$
$16x^2 + 24xy + 9y^2 - 256x - 142y + 849 = 0$
$(4x + 3y)^2 - 256x - 142y + 849 = 0$

(D) પરવલય $x^2 = 4ay$ પર કયું બિંદુ આવેલું છે તે ચકાસવા માટે,આપણે આપેલા પ્રચલિત યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ.
વિકલ્પ $D$ માટે:
આપેલ છે $x = 2at$ અને $y = at^2$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $x^2 = 4ay$ માં મૂકતા:
$(2at)^2 = 4a(at^2)$
$4a^2t^2 = 4a^2t^2$
ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુ સમાન હોવાથી,બિંદુ $(2at, at^2)$ એ પરવલય $x^2 = 4ay$ પર આવેલું છે.

(B) શિરોબિંદુ $V$ એ $(h, k) = (2, -1)$ છે અને નાભિ $S$ એ $(2, -3)$ છે.
શિરોબિંદુ અને નાભિના $x$-યામ સમાન હોવાથી,પરવલયની અક્ષ શિરોલંબ છે.
શિરોબિંદુ અને નાભિ વચ્ચેનું અંતર $a = | -1 - (-3) | = 2$ છે.
નાભિ શિરોબિંદુની નીચે હોવાથી,પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે.
નીચેની તરફ ખુલતા પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x - h)^2 = -4a(y - k)$ છે.
કિંમતો $h = 2$,$k = -1$,અને $a = 2$ મૂકતા:
$(x - 2)^2 = -4(2)(y - (-1))$
$(x - 2)^2 = -8(y + 1)$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 - 4x + 4 = -8y - 8$
$x^2 - 4x + 8y + 12 = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ ${x^2 - 4x - 8y + 12 = 0}$ છે.
$x$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
${x^2 - 4x + 4 = 8y - 12 + 4}$
${(x - 2)^2 = 8y - 8}$
${(x - 2)^2 = 8(y - 1)}$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ ${X^2 = 4aY}$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં ${X = x - 2}$,${Y = y - 1}$,અને ${4a = 8}$,આપણને ${a = 2}$ મળે છે.
પરવલય ${X^2 = 4aY}$ માટે નિયામિકાનું સમીકરણ ${Y = -a}$ છે.
કિંમતો પાછી મૂકતા:
${y - 1 = -2}$
${y = -1}$.

(A) આપેલ છે: શિરોબિંદુ $A = (0, 6)$ અને નાભિ $S = (0, 3)$.
શિરોબિંદુ અને નાભિ $y$-અક્ષ પર હોવાથી,પરવલયની અક્ષ $y$-અક્ષ છે.
શિરોબિંદુ અને નાભિ વચ્ચેનું અંતર $a = 6 - 3 = 3$ છે.
નાભિ શિરોબિંદુની નીચે હોવાથી,પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે.
શિરોબિંદુ $(h, k)$ વાળા નીચેની તરફ ખુલતા પરવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x - h)^2 = -4a(y - k)$ છે.
અહીં,$(h, k) = (0, 6)$ અને $a = 3$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $(x - 0)^2 = -4(3)(y - 6)$ મળે છે.
$x^2 = -12(y - 6)$.
$x^2 = -12y + 72$.
$x^2 + 12y = 72$.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ ${x^2} + 8y - 2x = 7$ છે.
પદોને ગોઠવતા,${x^2} - 2x = -8y + 7$ મળે.
ડાબી બાજુ પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: ${x^2} - 2x + 1 = -8y + 7 + 1$.
આનું સાદું રૂપ ${(x - 1)^2} = -8y + 8$ થાય.
$-8$ સામાન્ય લેતા,${(x - 1)^2} = -8(y - 1)$ મળે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ ${(x - h)^2} = -4a(y - k)$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $(h, k) = (1, 1)$ અને $4a = 8$,તેથી $a = 2$ મળે.
નીચેની તરફ ખુલતા પરવલય માટે નિયામિકાનું સમીકરણ $y = k + a$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y = 1 + 2 = 3$.
તેથી,નિયામિકાનું સમીકરણ $y = 3$ છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $2x^2 + 5y - 3x + 4 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$2x^2 - 3x = -5y - 4$ મળે.
$2$ વડે ભાગતા,$x^2 - \frac{3}{2}x = -\frac{5}{2}y - 2$ મળે.
ડાબી બાજુ પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $x^2 - \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2 = -\frac{5}{2}y - 2 + \frac{9}{16}$.
$(x - \frac{3}{4})^2 = -\frac{5}{2}y - \frac{23}{16}$.
$(x - h)^2 = 4a(y - k)$ સ્વરૂપના પરવલયના અક્ષનું સમીકરણ $x - h = 0$ થાય છે.
તેથી,અક્ષનું સમીકરણ $x - \frac{3}{4} = 0$ છે,જેનો અર્થ $x = \frac{3}{4}$ થાય.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ ${x^2} + 6x + 20y - 51 = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
${x^2} + 6x = -20y + 51$.
ડાબી બાજુએ પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
${x^2} + 6x + 9 = -20y + 51 + 9$.
આનું સાદું રૂપ આપતા:
${(x + 3)^2} = -20y + 60$.
જમણી બાજુએ $-20$ સામાન્ય લેતા:
${(x + 3)^2} = -20(y - 3)$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ ${(x - h)^2} = 4a(y - k)$ સાથે સરખાવતા,પરવલયની ધરી $x - h = 0$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$h = -3$ છે,તેથી ધરી $x + 3 = 0$ છે.

(D) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y = x^2 - x$ છે.
$x = 1$ માટે,$y$-યામ $y = (1)^2 - 1 = 0$ થાય. તેથી,સ્પર્શબિંદુ $(1, 0)$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,$y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = 2x - 1$.
$x = 1$ આગળ વિકલિતનું મૂલ્ય: $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{x=1} = 2(1) - 1 = 1$.
રેખાના બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $m = 1$ અને $(x_1, y_1) = (1, 0)$:
$y - 0 = 1(x - 1)$
$y = x - 1$.

(A) પરવલયના લેટસ રેક્ટમ અને અક્ષનું છેદબિંદુ એ તેનું નાભિ (focus) છે.
આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: ${y^2} + 4x + 2y - 8 = 0$.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
${y^2} + 2y = -4x + 8$
${y^2} + 2y + 1 = -4x + 8 + 1$
${(y + 1)^2} = -4x + 9$
${(y + 1)^2} = -4(x - 9/4)$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ ${(y - k)^2} = 4a(x - h)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $h = 9/4$,$k = -1$ અને $4a = -4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = -1$.
પરવલયનું નાભિ $(h + a, k)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $(9/4 - 1, -1) = (5/4, -1)$.

(D) ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(h, k)$ છે.
બિંદુ $(h, k)$ પરવલય $y^2 = 2x$ પર હોવાથી,$k^2 = 2h$ થાય.
પરવલય $y^2 = 4ax$ ના $(h, k)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $ky = 2a(x + h)$ છે.
અહીં,$4a = 2$,તેથી $a = \frac{1}{2}$.
આમ,સ્પર્શકનું સમીકરણ $ky = 1(x + h)$ અથવા $x - ky + h = 0$ થાય.
આ સમીકરણને આપેલ સ્પર્શક $18x - 6y + 1 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{1}{18} = \frac{-k}{-6} = \frac{h}{1}$.
$\frac{1}{18} = \frac{k}{6}$ પરથી $k = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$ મળે.
$\frac{1}{18} = h$ પરથી $h = \frac{1}{18}$ મળે.
તેથી,સ્પર્શબિંદુ $\left( \frac{1}{18}, \frac{1}{3} \right)$ છે.

(C) આપેલ રેખા $lx + my + n = 0$ છે,જેને $y = -\frac{l}{m}x - \frac{n}{m}$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $y = mx + c$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ ને સ્પર્શક હોય તેની શરત $c = \frac{a}{m}$ છે.
અહીં,રેખાનો ઢાળ $M = -\frac{l}{m}$ છે અને અંતઃખંડ $C = -\frac{n}{m}$ છે.
આ કિંમતોને $C = \frac{a}{M}$ શરતમાં મૂકતા:
$-\frac{n}{m} = \frac{a}{-l/m}$
$-\frac{n}{m} = -\frac{am}{l}$
$ln = am^2$.

(A) રેખાનું સમીકરણ $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ છે.
પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4a(x + a)$ છે.
રેખા $y = mx + c$ એ પરવલય $y^2 = 4a(x+a)$ ને સ્પર્શવાની શરત $c = \frac{a}{m} + am$ છે.
રેખાને $y = -x \cot \alpha + p \csc \alpha$ સ્વરૂપમાં લખતા,$m = -\cot \alpha$ અને $c = p \csc \alpha$ મળે.
શરતમાં કિંમતો મૂકતા: $p \csc \alpha = \frac{a}{-\cot \alpha} + a(-\cot \alpha)$.
સાદું રૂપ આપતા: $p \csc \alpha = -a \tan \alpha - a \cot \alpha = -\frac{a}{\sin \alpha \cos \alpha}$.
તેથી,$p = -\frac{a}{\cos \alpha}$,એટલે કે $p \cos \alpha + a = 0$.

(C) સ્પર્શક રેખાનો ઢાળ $m = \tan \theta$ છે.
$m$ ઢાળ ધરાવતા પરવલય $y^2 = 4ax$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે.
સમીકરણમાં $m = \tan \theta$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$y = x \tan \theta + \frac{a}{\tan \theta}$.
કારણ કે $\frac{1}{\tan \theta} = \cot \theta$,તેથી સમીકરણ:
$y = x \tan \theta + a \cot \theta$ થાય છે.

(B) આપેલ પરવલય $y^2 = 4(x + \frac{5}{4})$ છે.
તેને $Y^2 = 4aX$ સાથે સરખાવતા,$a = 1$,$Y = y$,અને $X = x + \frac{5}{4}$ મળે છે.
રેખા $y = 2x + 7$ નો ઢાળ $m = 2$ છે.
પરવલય $Y^2 = 4aX$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y = mX + \frac{a}{m}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y = 2(x + \frac{5}{4}) + \frac{1}{2}$ મળે છે.
$y = 2x + \frac{5}{2} + \frac{1}{2}$.
$y = 2x + 3$.
આમ,સ્પર્શકનું સમીકરણ $2x - y + 3 = 0$ છે.

(A) સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $(x_1, y_1)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
આ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{2a}{y_1}$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $\sqrt{3} = \frac{2a}{y_1} \implies y_1 = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ પરવલય $y^2 = 4ax$ પર હોવાથી,$y_1^2 = 4ax_1$ મળે.
$y_1$ ની કિંમત મૂકતા: $\left( \frac{2a}{\sqrt{3}} \right)^2 = 4ax_1 \implies \frac{4a^2}{3} = 4ax_1 \implies x_1 = \frac{a}{3}$.
આમ,સ્પર્શબિંદુ $\left( \frac{a}{3}, \frac{2a}{\sqrt{3}} \right)$ છે.

(B) આપેલ રેખા $y = 2x + \lambda$ છે અને પરવલય $y^2 = 2x$ છે.
પરવલયના સમીકરણમાં $y = 2x + \lambda$ મૂકતા: $(2x + \lambda)^2 = 2x$.
$4x^2 + 4x\lambda + \lambda^2 = 2x$.
$4x^2 + (4\lambda - 2)x + \lambda^2 = 0$.
રેખા પરવલયને ન મળે તે માટે,વિવેચક $D$ એ $0$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
$D = (4\lambda - 2)^2 - 4(4)(\lambda^2) < 0$.
$16\lambda^2 - 16\lambda + 4 - 16\lambda^2 < 0$.
$-16\lambda + 4 < 0$.
$16\lambda > 4$.
$\lambda > \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.

(A) પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ ના યામ પ્રાચલ $t$ ના સ્વરૂપમાં $(at^2, 2at)$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ ના બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
$x_1 = at^2$ અને $y_1 = 2at$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$y(2at) = 2a(x + at^2)$
બંને બાજુ $2a$ વડે ભાગતા:
$yt = x + at^2$.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 16x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 16$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a = 4$.
રેખા $y = mx + c$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ નો સ્પર્શક હોય જો $c = \frac{a}{m}$ થાય.
અહીં,$m = 2$ અને $a = 4$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$c = \frac{4}{2} = 2$ મળે છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે,જ્યાં $4a = 4$,તેથી $a = 1$ મળે.
રેખા $y = mx + c$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $c = \frac{a}{m}$ છે.
આપેલ રેખા $y = mx + 1$ માટે,$c = 1$ છે.
શરતમાં કિંમતો મૂકતા: $1 = \frac{1}{m}$.
તેથી,$m = 1$ મળે.

(A) આપેલ વક્રો $y^2 = 4x$ અને $x^2 = 32y$ છે.
$y^2 = 4x$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 4$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$. બિંદુ $(16, 8)$ આગળ,$m_1 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
$x^2 = 32y$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$2x = 32 \frac{dy}{dx}$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{16}$. બિંદુ $(16, 8)$ આગળ,$m_2 = \frac{16}{16} = 1$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{1 - 1/4}{1 + (1)(1/4)} \right| = \left| \frac{3/4}{5/4} \right| = \frac{3}{5}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$.

(A) પરવલય $y^2 = 4ax$ ના કોઈપણ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે,જ્યાં $m$ એ ઢાળ છે.
નાભિ $(a, 0)$ માંથી પસાર થતી અને સ્પર્શકને લંબ રેખાનો ઢાળ $-\frac{1}{m}$ છે.
આ લંબ રેખાનું સમીકરણ $y - 0 = -\frac{1}{m}(x - a)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = -\frac{x}{m} + \frac{a}{m}$ થાય છે.
લંબના પાદનો બિંદુપથ શોધવા માટે,આપણે બંને સમીકરણોમાંથી $m$ નો લોપ કરીએ:
$1) \ y = mx + \frac{a}{m} \implies my = m^2x + a$
$2) \ y = -\frac{x}{m} + \frac{a}{m} \implies my = -x + a$
$my$ ની બંને કિંમતો સરખાવતા:
$m^2x + a = -x + a$
$m^2x = -x$
$x(m^2 + 1) = 0$
વાસ્તવિક $m$ માટે $m^2 + 1 \neq 0$ હોવાથી,$x = 0$ મળે છે.
આમ,બિંદુપથ એ શિરોબિંદુ આગળનો સ્પર્શક છે,જે $y$-અક્ષ છે,એટલે કે $x = 0$.

(C) સ્પર્શક રેખા $x + y = 1$ નો ઢાળ $m = -1$ છે.
પરવલય $y^2 - y + x = 0$ માટે,કોઈપણ બિંદુ $(h, k)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} + 1 = 0$
$\frac{dy}{dx}(2y - 1) = -1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{2y - 1}$
સ્પર્શબિંદુ $(h, k)$ પર,સ્પર્શકનો ઢાળ રેખાના ઢાળ જેટલો હોવો જોઈએ:
$\frac{-1}{2k - 1} = -1$
$2k - 1 = 1$
$2k = 2$
$k = 1$
બિંદુ $(h, k)$ એ રેખા $x + y = 1$ પર હોવાથી,$k = 1$ મૂકતા:
$h + 1 = 1$
$h = 0$
આમ,સ્પર્શબિંદુ $(0, 1)$ છે.

(A) પ્રમાણિત પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે.
આપેલ પરવલય $y^2 = 4a(x + a)$ છે.
ઉગમબિંદુને $(-a, 0)$ પર ખસેડતા,સમીકરણ $Y^2 = 4aX$ બને છે,જ્યાં $Y = y$ અને $X = x + a$ છે.
$Y^2 = 4aX$ નો સ્પર્શક $Y = mX + \frac{a}{m}$ છે.
$Y = y$ અને $X = x + a$ પાછા મૂકતા,આપણને $y = m(x + a) + \frac{a}{m}$ મળે છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$y = mx + ma + \frac{a}{m}$ મળે છે.
આને આપેલ રેખા $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $c = ma + \frac{a}{m}$ મળે છે.
તેથી,$ma + \frac{a}{m} = c$.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે,તેથી $4a = 8$,જે $a = 2$ આપે છે.
રેખા $y = 3x + 5$ નો ઢાળ $m_1 = 3$ છે.
ધારો કે સ્પર્શકનો ઢાળ $m$ છે. સ્પર્શક અને રેખા વચ્ચેનો ખૂણો $45^\circ$ હોવાથી,$\tan 45^\circ = |\frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}|$ મળે.
$1 = |\frac{m - 3}{1 + 3m}|$.
આ બે કિસ્સાઓ આપે છે:
કિસ્સો $1$: $\frac{m - 3}{1 + 3m} = 1 \implies m = -2$.
કિસ્સો $2$: $\frac{m - 3}{1 + 3m} = -1 \implies m = \frac{1}{2}$.
$y^2 = 4ax$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે.
$m = -2$ માટે: $y = -2x - 1 \implies 2x + y + 1 = 0$.
$m = \frac{1}{2}$ માટે: $y = \frac{1}{2}x + 4 \implies x - 2y + 8 = 0$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$2x + y + 1 = 0$ એ સાચું સમીકરણ છે.

(D) પરવલય $y^2 = 4ax$ ના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(a, 2a)$ અને $(a, -2a)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ પરવલય $y^2 = 4ax$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
બિંદુ $(a, 2a)$ માટે,સ્પર્શક $y(2a) = 2a(x + a)$ એટલે કે $y = x + a$ થાય. જેનો ઢાળ $m_1 = 1$ છે.
બિંદુ $(a, -2a)$ માટે,સ્પર્શક $y(-2a) = 2a(x + a)$ એટલે કે $y = -(x + a)$ થાય. જેનો ઢાળ $m_2 = -1$ છે.
અહીં $m_1 \times m_2 = 1 \times (-1) = -1$ હોવાથી,સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(C) આપેલ રેખા $y = mx + c$ અને પરવલય $x^2 = 4ay$ છે.
રેખાના સમીકરણમાંથી $y$ ની કિંમત પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2 = 4a(mx + c)$
$x^2 - 4amx - 4ac = 0$
રેખા પરવલયને સ્પર્શતી હોવાથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક શૂન્ય હોવો જોઈએ $(D = 0)$:
$B^2 - 4AC = 0$
$(-4am)^2 - 4(1)(-4ac) = 0$
$16a^2m^2 + 16ac = 0$
$16a$ વડે ભાગતા ($a \neq 0$ ધારીને):
$am^2 + c = 0$
$c = -am^2$

(B) $x^2 = 4ay$ સ્વરૂપના પરવલય માટે,નાભિસ્થ જીવાના અંત્યબિંદુઓ આગળ દોરેલા સ્પર્શકો એકબીજાને લંબ હોય છે.
તેથી,કોઈપણ પરવલય માટે પરસ્પર લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ તેની નિયામિકા (Directrix) હોય છે.
પરવલય $x^2 = 4ay$ માટે,નિયામિકાનું સમીકરણ $y = -a$ છે.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખા $y = mx$ છે.
આ રેખા પરવલય $y^2 = 4a(x - a)$ નો સ્પર્શક હોવાથી,$y = mx$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(mx)^2 = 4a(x - a)$
$m^2x^2 - 4ax + 4a^2 = 0$
રેખા સ્પર્શક હોવા માટે,આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ સમાન હોવા જોઈએ,તેથી વિવેચક $D = 0$:
$(-4a)^2 - 4(m^2)(4a^2) = 0$
$16a^2 - 16a^2m^2 = 0$
$16a^2(1 - m^2) = 0$
$a \neq 0$ હોવાથી,$1 - m^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $m^2 = 1$,તેથી $m = 1$ અથવા $m = -1$.
બે સ્પર્શકોના ઢાળ $m_1 = 1$ અને $m_2 = -1$ છે.
$m_1 \times m_2 = 1 \times (-1) = -1$ હોવાથી,સ્પર્શકો એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ છે.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $x = my + k$ છે,જેને $x - my = k$ તરીકે લખી શકાય.
પરવલયના સમીકરણ $x^2 = 4ay$ માં $x = my + k$ મૂકતા:
$(my + k)^2 = 4ay$
$m^2y^2 + 2mky + k^2 = 4ay$
$m^2y^2 + (2mk - 4a)y + k^2 = 0$
રેખા પરવલયને સ્પર્શતી હોવાથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$D = (2mk - 4a)^2 - 4(m^2)(k^2) = 0$
$4m^2k^2 - 16amk + 16a^2 - 4m^2k^2 = 0$
$-16amk + 16a^2 = 0$
$16amk = 16a^2$
$k = a/m$

(B) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના યામ $(at_1^2, 2at_1)$ અને $(at_2^2, 2at_2)$ છે.
તેથી,યામ ${y_1 = 2at_1}$ અને ${y_2 = 2at_2}$ છે.
$P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $(at_1t_2, a(t_1 + t_2))$ છે.
તેથી,છેદબિંદુનો યામ ${y_3 = a(t_1 + t_2)}$ છે.
$t_1 = \frac{y_1}{2a}$ અને $t_2 = \frac{y_2}{2a}$ ને $y_3$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
${y_3 = a \left( \frac{y_1}{2a} + \frac{y_2}{2a} \right) = \frac{y_1 + y_2}{2}}$.
આ દર્શાવે છે કે $2y_3 = y_1 + y_2$,જેનો અર્થ છે કે ${y_1, y_3, y_2}$ એ $A.P.$ માં છે.

(C) $x^2 = 4y$ અને $y^2 = 4x$ ઉકેલતા,આપણને $x = 0, y = 0$ અને $x = 4, y = 4$ મળે છે.
યામ શૂન્ય ન હોવાથી,બિંદુ $P$ એ $(4, 4)$ છે.
$(4, 4)$ પર $y^2 = 4x$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y(4) = 2(x + 4)$ છે,જે $2x - y + 4 = 0$ (ઢાળ $m_1 = 2$) માં પરિણમે છે.
$(4, 4)$ પર $x^2 = 4y$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $x(4) = 2(y + 4)$ છે,જે $x - 2y + 4 = 0$ (ઢાળ $m_2 = 1/2$) માં પરિણમે છે.
ધારો કે $\theta_1$ અને $\theta_2$ એ સ્પર્શકો $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણા છે. તો $\tan \theta_1 = 2$ અને $\tan \theta_2 = 1/2$.
કારણ કે $\tan \theta_1 = \cot \theta_2 = \tan(90^\circ - \theta_2)$,તેથી $\theta_1 = 90^\circ - \theta_2$,અથવા $\theta_1 + \theta_2 = 90^\circ$.
આમ,સ્પર્શકો $x$-અક્ષ સાથે કોટિકોણ બનાવે છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$ મળે છે.
રેખાનું સમીકરણ $y = 2x + c$ છે,જે $y = mx + c$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $m = 2$ છે.
રેખા $y = mx + c$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ ને સ્પર્શક હોય તેની શરત $c = \frac{a}{m}$ છે.
$a = 1$ અને $m = 2$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $c = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે.
$y = mx + c$ ને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(mx + c)^2 = 4ax$
$m^2x^2 + 2mcx + c^2 - 4ax = 0$
$m^2x^2 + (2mc - 4a)x + c^2 = 0$.
રેખા પરવલયને સ્પર્શે તે માટે,આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$D = (2mc - 4a)^2 - 4(m^2)(c^2) = 0$
$4m^2c^2 - 16amc + 16a^2 - 4m^2c^2 = 0$
$-16amc + 16a^2 = 0$
$16a^2 = 16amc$
$a = mc$
$c = a/m$.
આમ,સાચી શરત $c = a/m$ છે.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે.
તે બિંદુ $(1, -2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 1$ અને $y = -2$ મૂકતા:
$(-2)^2 = 4a(1)$
$4 = 4a$
$\Rightarrow a = 1$.
હવે,પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4x$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
$a = 1$,$x_1 = 1$,અને $y_1 = -2$ મૂકતા:
$y(-2) = 2(1)(x + 1)$
$-2y = 2(x + 1)$
$-y = x + 1$
$x + y + 1 = 0$.
આમ,માંગેલ સ્પર્શક $x + y + 1 = 0$ છે.

(D) આપેલ રેખા $y = 3x + 7$ નો ઢાળ $m_1 = 3$ છે.
સ્પર્શક આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m$ એ $m \times m_1 = -1$ શરતનું પાલન કરે છે,તેથી $m = -\frac{1}{3}$.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે.
$y^2 = 16x$ ને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 16$,તેથી $a = 4$.
$a = 4$ અને $m = -\frac{1}{3}$ ને સ્પર્શકના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{-1/3}$
$y = -\frac{1}{3}x - 12$
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા $3y = -x - 36$,જેનું સાદું રૂપ $x + 3y + 36 = 0$ મળે છે.

(D) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
આપેલ બિંદુ $(x_1, y_1) = (a/t^2, 2a/t)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y(2a/t) = 2a(x + a/t^2)$
$2a$ વડે ભાગતા:
$y/t = x + a/t^2$
$t$ વડે ગુણતા:
$ty = t^2x + a$.