Parabola Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $f(x) = x^2 - 3x + 3$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,આપણને $f(x) = (x - 3/2)^2 + 3/4$ મળે છે.
પરવલયનું શિરોબિંદુ $x = 3/2$ પર છે.
અંતરાલ $(-3, 3/2)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ આ અંતરાલ પર ઘટતું વિધેય છે.
જેમ $x$ ડાબી બાજુથી $3/2$ ની નજીક જાય છે,તેમ $f(x)$ ની કિંમત $3/4$ ની નજીક જાય છે.
$3/2$ અંતરાલમાં સમાવિષ્ટ ન હોવાથી,વિધેય $3/4$ કિંમત પ્રાપ્ત કરતું નથી,પરંતુ તે આ અંતરાલ પર વિધેયનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય (infimum) છે.

(A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલા બિંદુઓ $(am_1^2, 2am_1)$ અને $(am_2^2, 2am_2)$ માટે:
$d = \sqrt{(am_2^2 - am_1^2)^2 + (2am_2 - 2am_1)^2}$
$d = \sqrt{a^2(m_2 - m_1)^2(m_2 + m_1)^2 + 4a^2(m_2 - m_1)^2}$
$d = a|m_1 - m_2|\sqrt{(m_1 + m_2)^2 + 4}$.

(C) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ હોય તો તેનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલા શિરોબિંદુઓ મૂકતા:
$\Delta = \frac{1}{2} |am_1^2(2am_2 - 2am_3) + am_2^2(2am_3 - 2am_1) + am_3^2(2am_1 - 2am_2)|$
$\Delta = a^2 |m_1^2(m_2 - m_3) + m_2^2(m_3 - m_1) + m_3^2(m_1 - m_2)|$
નિત્યસમ $m_1^2(m_2 - m_3) + m_2^2(m_3 - m_1) + m_3^2(m_1 - m_2) = -(m_1 - m_2)(m_2 - m_3)(m_3 - m_1)$ નો ઉપયોગ કરતા,
$\Delta = a^2 |(m_1 - m_2)(m_2 - m_3)(m_3 - m_1)|$.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે.
બિંદુ $(a, 0)$ થી $P(x, y)$ નું અંતર $\sqrt{(x - a)^2 + (y - 0)^2}$ છે.
રેખા $x + a = 0$ થી $P(x, y)$ નું અંતર $|x + a|$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ અંતરો સમાન છે:
$\sqrt{(x - a)^2 + y^2} = |x + a|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x - a)^2 + y^2 = (x + a)^2$
$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = x^2 + 2ax + a^2$
$y^2 = 4ax$
આ પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે.
બિંદુ $P(x, y)$ થી બિંદુ $(4, 2)$ નું અંતર $\sqrt{(x - 4)^2 + (y - 2)^2}$ છે.
બિંદુ $P(x, y)$ થી $x$-અક્ષનું અંતર $|y|$ છે.
બિંદુ સમાન અંતરે હોવાથી,$\sqrt{(x - 4)^2 + (y - 2)^2} = |y|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = y^2$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 8x + 16 + y^2 - 4y + 4 = y^2$.
સાદું રૂપ આપતા,$x^2 - 8x - 4y + 20 = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે $x = (u \cos \alpha)t$ અને $y = (u \sin \alpha)t - \frac{1}{2}gt^2$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,આપણને $t = \frac{x}{u \cos \alpha}$ મળે છે.
$t$ ની આ કિંમતને $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = (u \sin \alpha) \left( \frac{x}{u \cos \alpha} \right) - \frac{1}{2}g \left( \frac{x}{u \cos \alpha} \right)^2$
$y = x \tan \alpha - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \alpha}$.
આ સમીકરણ $y = ax^2 + bx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે પરવલય દર્શાવે છે.

(C) ધારો કે $P = (1, 0)$ અને $Q = (h, k)$ એ પરવલય $y^2 = 8x$ પરનું બિંદુ છે,તેથી $k^2 = 8h$.
ધારો કે $(x, y)$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી $x = \frac{h + 1}{2}$ અને $y = \frac{k + 0}{2}$.
આથી $h = 2x - 1$ અને $k = 2y$ મળે.
આ કિંમતોને $k^2 = 8h$ માં મૂકતા:
$(2y)^2 = 8(2x - 1)$
$4y^2 = 16x - 8$
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $y^2 = 4x - 2$ મળે,જે $y^2 - 4x + 2 = 0$ છે.

(C) આપેલા બિંદુઓ $A(at^2, 2at)$,$B(a/t^2, -2a/t)$,અને $C(a, 0)$ છે.
$CA = \sqrt{(at^2 - a)^2 + (2at - 0)^2} = a(t^2 + 1)$.
$CB = \sqrt{(\frac{a}{t^2} - a)^2 + (-\frac{2a}{t} - 0)^2} = a\frac{1 + t^2}{t^2}$.
$CA$ અને $CB$ નો $H.M.$ એ $\frac{2(CA)(CB)}{CA + CB}$ દ્વારા મળે છે.
$H.M. = \frac{2 \cdot a(t^2 + 1) \cdot a(\frac{1 + t^2}{t^2})}{a(t^2 + 1) + a(\frac{1 + t^2}{t^2})} = 2a$.
આમ,$2a$ એ $CA$ અને $CB$ નો $H.M.$ છે.

(B) ત્રણ બિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ સમરેખ હોય જો પ્રથમ બે બિંદુઓને જોડતી રેખાનો ઢાળ અને બીજા તથા ત્રીજા બિંદુઓને જોડતી રેખાનો ઢાળ સમાન હોય.
$(at_1^2, 2at_1)$ અને $(at_2^2, 2at_2)$ વચ્ચેનો ઢાળ $m_1 = \frac{2at_2 - 2at_1}{at_2^2 - at_1^2} = \frac{2}{t_1 + t_2}$.
$(at_2^2, 2at_2)$ અને $(a, 0)$ વચ્ચેનો ઢાળ $m_2 = \frac{0 - 2at_2}{a - at_2^2} = \frac{-2t_2}{1 - t_2^2}$.
ઢાળને સરખાવતા: $\frac{2}{t_1 + t_2} = \frac{-2t_2}{1 - t_2^2}$.
$1 - t_2^2 = -t_2(t_1 + t_2)$.
$1 - t_2^2 = -t_1t_2 - t_2^2$.
$1 = -t_1t_2$,એટલે કે $t_1t_2 = -1$.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે. શિરોબિંદુ $O(0, 0)$ પર છે.
ધારો કે ડબલ ઓર્ડિનેટ $x = h$ પર છે. તેથી $y^2 = 4ah$,એટલે કે $y = \pm 2\sqrt{ah}$.
ડબલ ઓર્ડિનેટની લંબાઈ $2 \times 2\sqrt{ah} = 4\sqrt{ah}$ છે.
આપેલ છે કે લંબાઈ $8a$ છે,તેથી $4\sqrt{ah} = 8a$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{ah} = 2a$,તેથી $ah = 4a^2$,એટલે કે $h = 4a$.
ડબલ ઓર્ડિનેટના અંત્યબિંદુઓ $P(4a, 4a)$ અને $Q(4a, -4a)$ છે.
$OP$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{4a - 0}{4a - 0} = 1$ છે.
$OQ$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{-4a - 0}{4a - 0} = -1$ છે.
કારણ કે $m_1 \times m_2 = 1 \times (-1) = -1$,રેખાઓ $OP$ અને $OQ$ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ છે.

(A) ધારો કે $P$ ના યામ $(h, k)$ અને $Q$ ના યામ $(h, -k)$ છે. $P$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ પર હોવાથી,$k^2 = 4ah$ મળે.
ધારો કે $(x, y)$ એ $PQ$ નું ત્રિભાજન બિંદુ છે. ત્રિભાજન બિંદુઓ $PQ$ નું $1:2$ અથવા $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
$1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુ માટે,$y$-યામ $y = \frac{1(-k) + 2(k)}{1+2} = \frac{k}{3}$ થાય,તેથી $k = 3y$.
$x$-યામ $x = h$ થાય.
$k = 3y$ અને $h = x$ ને પરવલયના સમીકરણ $k^2 = 4ah$ માં મુકતા,$(3y)^2 = 4ax$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $9y^2 = 4ax$ થાય.

(C) પરવલયનું શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
આપેલ નિયામિકા $x + 5 = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $x = -5$.
ઉગમબિંદુ પર શિરોબિંદુ અને $x = -a$ નિયામિકા ધરાવતા પરવલય માટે,$a$ ની કિંમત $5$ છે.
આ પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે.
$a = 5$ મૂકતા,આપણને $y^2 = 4(5)x = 20x$ મળે છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $4a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $4 \times 5 = 20$ થાય.

(B) નાભિ $(x_1, y_1)$ અને નિયામિકા $ax + by + c = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,નાભિ $(3, -4)$ છે અને નિયામિકા $x + y - 2 = 0$ છે.
તેથી,$d = \frac{|1(3) + 1(-4) - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|3 - 4 - 2|}{\sqrt{2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
પરવલયના નાભિલંબની લંબાઈ એ નાભિ અને નિયામિકા વચ્ચેના અંતર કરતાં $2$ ગણી હોય છે.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $= 2 \times \frac{3}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 6x$ છે.
આપેલ છે કે અભિસંબંધ (x-યામ) $24$ છે,તેથી $x = 24$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^2 = 6(24) = 144$
$y = \pm 12$.
આમ,પરવલય પરના બિંદુઓ $(24, 12)$ અને $(24, -12)$ છે.
પરવલય $y^2 = 6x$ નું શિરોબિંદુ $(0, 0)$ છે.
$(0, 0)$ અને $(24, 12)$ ને જોડતી રેખાનું સમીકરણ $y = \frac{1}{2}x \Rightarrow 2y = x$ છે.
$(0, 0)$ અને $(24, -12)$ ને જોડતી રેખાનું સમીકરણ $y = -\frac{1}{2}x \Rightarrow 2y = -x$ છે.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $2y = \pm x$ મળે છે,જેને $x \pm 2y = 0$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.

(A) ધારો કે પરવલય પરનું બિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,કોટિ એ ભુજ કરતા ત્રણ ગણો છે,તેથી $y_1 = 3x_1$.
બિંદુ પરવલય $y^2 = 36x$ પર હોવાથી,આપણે $y_1$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(3x_1)^2 = 36x_1$
$9x_1^2 = 36x_1$
$9x_1^2 - 36x_1 = 0$
$9x_1(x_1 - 4) = 0$
આનાથી $x_1 = 0$ અથવા $x_1 = 4$ મળે છે.
જો $x_1 = 0$ હોય,તો $y_1 = 3(0) = 0$.
જો $x_1 = 4$ હોય,તો $y_1 = 3(4) = 12$.
આમ,બિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(4, 12)$ છે.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,બિંદુ $(x, y)$ નું નાભિ અંતર $x + a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $y^2 = 12x$ આપેલ છે,તેથી $4a = 12$,એટલે કે $a = 3$.
નાભિ અંતર $x + a = 4$ છે.
$a = 3$ મૂકતા,$x + 3 = 4$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.
સમીકરણ $y^2 = 12x$ માં $x = 1$ મૂકતા,$y^2 = 12(1) = 12$ મળે.
આમ,$y = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$.
તેથી,બિંદુઓ $(1, 2\sqrt{3})$ અને $(1, -2\sqrt{3})$ છે.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $5y^2 = 4x$ છે,જેને $y^2 = \frac{4}{5}x$ તરીકે લખી શકાય.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = \frac{4}{5}$,તેથી $a = \frac{1}{5}$ મળે.
પરવલયની નાભિ $(a, 0) = (\frac{1}{5}, 0)$ છે.
નાભિલંબ એ નાભિમાંથી પસાર થતી અને પરવલયની અક્ષને લંબ રેખા છે,તેથી તેનું સમીકરણ $x = a = \frac{1}{5}$ છે.
પરવલયના સમીકરણ $y^2 = \frac{4}{5}x$ માં $x = \frac{1}{5}$ મૂકતા,$y^2 = \frac{4}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{4}{25}$ મળે.
આમ,$y = \pm \frac{2}{5}$.
તેથી,નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓના યામ $(\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ અને $(\frac{1}{5}, -\frac{2}{5})$ છે.

(B) પરવલયનું શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ પર છે અને $y$-અક્ષ તેની ધરી હોવાથી,તેનું સમીકરણ $x^2 = 4ay$ સ્વરૂપનું છે.
પરવલય બિંદુ $(-4, -2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આ યામોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(-4)^2 = 4a(-2)$
$16 = -8a$
$a = -2$.
આમ,પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = -8y$ છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $|4a|$ દ્વારા મળે છે.
$|4a| = |4(-2)| = |-8| = 8$.

(D) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = -16y$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2 = -4ay$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 16$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 4$.
પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે,તેથી નાભિના યામ $(0, -a)$ થાય.
$a = 4$ મૂકતા,નાભિ $(0, -4)$ મળે છે.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે.
પરવલય બિંદુ $(-3, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = -3$ અને $y = 2$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2)^2 = 4a(-3)$
$4 = -12a$
$a = -4/12 = -1/3$.
નાભિલંબની લંબાઈ $|4a|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$|4a| = |4 \times (-1/3)| = |-4/3| = 4/3$.
આમ,નાભિલંબની લંબાઈ $4/3$ છે.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = -8y$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2 = -4ay$ સાથે સરખાવતા,$4a = 8$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a = 2$.
પરવલય $x^2 = -4ay$ નું નાભિ $(0, -a)$ છે,તેથી નાભિ $(0, -2)$ છે.
નાભિલંબ એ $x$-અક્ષને સમાંતર રેખા છે જે નાભિ $(0, -2)$ માંથી પસાર થાય છે,જેનું સમીકરણ $y = -2$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ શોધવા માટે,$y = -2$ ને પરવલયના સમીકરણ $x^2 = -8y$ માં મૂકતા:
$x^2 = -8(-2) = 16$
$x = \pm 4$.
આમ,નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(4, -2)$ અને $(-4, -2)$ છે.

(D) પરવલય $x^2 = 4ay$ માટે,નાભિ $(0, a)$ પર છે.
નાભિલંબ એ નાભિમાંથી પસાર થતી અને પરવલયની અક્ષને લંબ રેખા છે.
નાભિલંબ દર્શાવતી રેખાનું સમીકરણ $y = a$ છે.
પરવલયના સમીકરણ $x^2 = 4ay$ માં $y = a$ મૂકતા,આપણને $x^2 = 4a(a) = 4a^2$ મળે છે.
આમ,$x = \pm 2a$.
તેથી,નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(-2a, a)$ અને $(2a, a)$ છે.

(B) પરવલયની અક્ષ $y$-અક્ષ હોવાથી,તેનું સમીકરણ $x^2 = 4ay$ સ્વરૂપનું છે.
આ પરવલય $(6, -3)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી આ યામને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(6)^2 = 4a(-3)$
$36 = -12a$
$a = -3$
$a = -3$ ની કિંમત $x^2 = 4ay$ માં મૂકતા:
$x^2 = 4(-3)y$
$x^2 = -12y$.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ ${x^2} = -8ay$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ ${x^2} = -4Ay$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4A = 8a$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $A = 2a$.
પરવલય ${x^2} = -4Ay$ નું નાભિ $(0, -A)$ છે.
$A = 2a$ મૂકતા,નાભિ $(0, -2a)$ મળે છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $y = A$ છે.
$A = 2a$ મૂકતા,નિયામિકા $y = 2a$ મળે છે.
આમ,નાભિ $(0, -2a)$ અને નિયામિકા $y = 2a$ છે.

(C) પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,પરવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x, y)$ થી નાભિ $S(3, 0)$ સુધીનું અંતર એ $P$ થી નિયામિકા $x + 3 = 0$ સુધીના લંબ અંતર જેટલું હોય છે.
ધારો કે $S = (3, 0)$ અને નિયામિકા $x + 3 = 0$ છે.
વ્યાખ્યા $SP = PM$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $PM$ એ નિયામિકાનું લંબ અંતર છે:
$SP^2 = PM^2$
$(x - 3)^2 + (y - 0)^2 = (x + 3)^2$
$x^2 - 6x + 9 + y^2 = x^2 + 6x + 9$
$y^2 = 6x + 6x$
$y^2 = 12x$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4ax$ છે.
ધારો કે નાભિસ્થ જીવા એ નાભિ $(a, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા છે.
ધ્રુવ $(x_1, y_1)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
આ જીવા નાભિ $(a, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે $x = a$ અને $y = 0$ મૂકીએ:
$0 \cdot y_1 = 2a(a + x_1)$
$0 = 2a^2 + 2ax_1$
$2ax_1 = -2a^2$
$x_1 = -a$.
આમ,ધ્રુવ $(x_1, y_1)$ નો બિંદુપથ $x = -a$ છે,જે નિયામિકાનું સમીકરણ છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = x$ છે.
અહીં $y$ ની ઘાત બેકી હોવાથી,$y$ ને $-y$ વડે બદલતા સમીકરણમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
તેથી,પરવલય $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે કોટિ $(y)$ એ ભુજ $(x)$ કરતા ત્રણ ગણી છે,તેથી $y = 3x$.
$y = 3x$ ને પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 18x$ માં મૂકતા:
$(3x)^2 = 18x$
$9x^2 = 18x$
$9x^2 - 18x = 0$
$9x(x - 2) = 0$
આથી $x = 0$ અથવા $x = 2$ મળે.
જો $x = 0$,તો $y = 3(0) = 0$. બિંદુ $(0, 0)$ મળે.
જો $x = 2$,તો $y = 3(2) = 6$. બિંદુ $(2, 6)$ મળે.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો જવાબ $(2, 6)$ છે.

(D) શિરોબિંદુ આગળના સ્પર્શક $(x + y - 12 = 0)$ અને નાભિલંબ $(x + y - 8 = 0)$ વચ્ચેનું અંતર એ શિરોબિંદુ અને નાભિ વચ્ચેના અંતર $a$ જેટલું હોય છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a = \frac{|-12 - (-8)|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $4a$ છે.
લંબાઈ $= 4 \times (2\sqrt{2}) = 8\sqrt{2}$.

(D) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2 + 2y + x = 0$ છે.
$y$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(y^2 + 2y + 1) - 1 + x = 0$
$(y + 1)^2 = -(x - 1)$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y - k)^2 = -4a(x - h)$ સાથે સરખાવતા,આપણને શિરોબિંદુ $(h, k) = (1, -1)$ મળે છે.
અહીં $x$-યામ ધન છે અને $y$-યામ ઋણ હોવાથી,બિંદુ $(1, -1)$ એ $IV$ ચરણમાં આવેલું છે.

(D) આપેલ પ્રચલ સમીકરણો:
$x - 2 = t^2$
$y = 2t$
બીજા સમીકરણ પરથી,આપણને $t = \frac{y}{2}$ મળે છે.
$t$ ની આ કિંમતને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$x - 2 = (\frac{y}{2})^2$
$x - 2 = \frac{y^2}{4}$
$y^2 = 4(x - 2)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $9x^2 - 6x + 36y + 9 = 0$.
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $9x^2 - 6x = -36y - 9$.
$9$ વડે ભાગતા: $x^2 - \frac{2}{3}x = -4y - 1$.
બંને બાજુ $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$ ઉમેરતા: $x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = -4y - 1 + \frac{1}{9}$.
$(x - \frac{1}{3})^2 = -4y - \frac{8}{9}$.
$(x - \frac{1}{3})^2 = -4(y + \frac{2}{9})$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ સાથે સરખાવતા,શિરોબિંદુ $(h, k) = (\frac{1}{3}, -\frac{2}{9})$ મળે છે.

(A) શિરોલંબ અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $y = ax^2 + bx + c$ છે.
પરવલય $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0 = a(0)^2 + b(0) + c$,જે $c = 0$ આપે છે.
તે $(3, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0 = a(3)^2 + b(3) + 0$,જે $9a + 3b = 0$ અથવા $3a + b = 0$ આપે છે,તેથી $b = -3a$.
તે $(-1, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $4 = a(-1)^2 + b(-1) + 0$,જે $4 = a - b$ આપે છે.
$b = -3a$ ને $4 = a - b$ માં મૂકતા,આપણને $4 = a - (-3a) = 4a$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 1$.
તેથી $b = -3(1) = -3$.
આમ,સમીકરણ $y = x^2 - 3x$ છે,જેને $x^2 - 3x - y = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) પરવલયની અક્ષ શિરોલંબ હોવાથી,સમીકરણ $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $(h, k)$ શિરોબિંદુ છે.
આપેલ શિરોબિંદુ $(h, k) = (-1, -2)$ હોવાથી,સમીકરણ $(x + 1)^2 = 4a(y + 2)$ થશે.
પરવલય બિંદુ $(3, 6)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(3 + 1)^2 = 4a(6 + 2)$
$4^2 = 4a(8)$
$16 = 32a$
$a = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.
$a = \frac{1}{2}$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x + 1)^2 = 4(\frac{1}{2})(y + 2)$
$(x + 1)^2 = 2(y + 2)$
$x^2 + 2x + 1 = 2y + 4$
$x^2 + 2x - 2y - 3 = 0$.

(D) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^2 - 4x - 3y + 10 = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $x^2 - 4x = 3y - 10$ મળે છે.
ડાબી બાજુએ પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $x^2 - 4x + 4 = 3y - 10 + 4$.
આનું સાદું રૂપ $(x - 2)^2 = 3y - 6$ થાય છે.
$(x - 2)^2 = 3(y - 2)$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ સાથે સરખાવતા,પરવલયની અક્ષ $x - h = 0$ મળે છે.
તેથી,અક્ષ $x - 2 = 0$ છે.

(B) ધારો કે $P(x, y)$ એ પરવલય પરનું કોઈ બિંદુ છે. પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,બિંદુ $P$ થી નાભિ $S(-8, -2)$ સુધીનું અંતર એ બિંદુ $P$ થી નિયામિકા $2x - y - 9 = 0$ સુધીના લંબ અંતર જેટલું હોય છે.
$PS = \frac{|2x - y - 9|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}$
$\sqrt{(x + 8)^2 + (y + 2)^2} = \frac{|2x - y - 9|}{\sqrt{5}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x + 8)^2 + (y + 2)^2 = \frac{(2x - y - 9)^2}{5}$
$5(x^2 + 16x + 64 + y^2 + 4y + 4) = 4x^2 + y^2 + 81 - 4xy - 36x + 18y$
$5x^2 + 5y^2 + 80x + 20y + 340 = 4x^2 + y^2 - 4xy - 36x + 18y + 81$
$x^2 + 4y^2 + 4xy + 116x + 2y + 259 = 0$.

(A) પરવલયની નાભિ $S = (-3, 0)$ છે અને નિયામિકા $x + 5 = 0$ છે.
નિયામિકા શિરોલંબ રેખા $(x = -5)$ હોવાથી,પરવલયની અક્ષ $x$-અક્ષ $(y = 0)$ છે.
શિરોબિંદુ એ નાભિ અને અક્ષ તથા નિયામિકાના છેદબિંદુનું મધ્યબિંદુ છે.
અક્ષ $(y = 0)$ અને નિયામિકા $(x = -5)$ નું છેદબિંદુ $(-5, 0)$ છે.
શિરોબિંદુ $V = \left( \frac{-3 + (-5)}{2}, 0 \right) = (-4, 0)$.
શિરોબિંદુથી નાભિનું અંતર $a = -3 - (-4) = 1$ છે.
પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ છે,જ્યાં $(h, k)$ શિરોબિંદુ છે.
$h = -4, k = 0$,અને $a = 1$ મૂકતા,આપણને $(y - 0)^2 = 4(1)(x - (-4))$ મળે છે.
આમ,સમીકરણ $y^2 = 4(x + 4)$ છે.

(A) શિરોબિંદુ $(h, k)$ અને $x$-અક્ષને સમાંતર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(y - k)^2 = 4A(x - h)$ છે.
અહીં શિરોબિંદુ $(a, 0)$ આપેલ છે,તેથી $h = a$ અને $k = 0$.
આથી,સમીકરણ $y^2 = 4A(x - a)$ થશે.
નાભિ $(a', 0)$ પર છે. પરવલય $y^2 = 4A(x - h)$ માટે નાભિ $(h + A, k)$ પર હોય છે.
તેથી,$a + A = a'$,જેનો અર્થ છે કે $A = a' - a$.
$A$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $y^2 = 4(a' - a)(x - a)$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $y^2 = 4y - 4x$
પદોને ગોઠવતા: $y^2 - 4y = -4x$
ડાબી બાજુ પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $y^2 - 4y + 4 = -4x + 4$
$(y - 2)^2 = -4(x - 1)$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y - k)^2 = -4a(x - h)$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં શિરોબિંદુ $(h, k)$ છે અને નાભિ $(h - a, k)$ છે:
અહીં,$h = 1$,$k = 2$,અને $4a = 4$,તેથી $a = 1$.
નાભિ $(h - a, k) = (1 - 1, 2) = (0, 2)$ છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $x^2 + 4x + 2y - 7 = 0$
$x$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(x^2 + 4x + 4) - 4 + 2y - 7 = 0$
$(x + 2)^2 + 2y - 11 = 0$
$(x + 2)^2 = -2y + 11$
$(x + 2)^2 = -2(y - 11/2)$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં શિરોબિંદુ $(h, k)$ છે:
$h = -2$ અને $k = 11/2$
તેથી,શિરોબિંદુ $(-2, 11/2)$ છે.

(D) આડી ધરી ધરાવતા પરવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $x = ay^2 + by + c$ છે.
પરવલય $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0 = a(0)^2 + b(0) + c$,જેનો અર્થ છે કે $c = 0$.
તેથી,સમીકરણ $x = ay^2 + by$ છે.
$(0, -1)$ બિંદુનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $0 = a(-1)^2 + b(-1)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a - b = 0$,એટલે કે $a = b$.
$(6, 1)$ બિંદુનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $6 = a(1)^2 + b(1)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a + b = 6$.
$a + b = 6$ માં $a = b$ મૂકતા,આપણને $2a = 6$ મળે છે,તેથી $a = 3$ અને $b = 3$.
સમીકરણ $x = 3y^2 + 3y$ અથવા $3y^2 + 3y - x = 0$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,કોઈ પણ વિકલ્પ સાચો નથી.

(C) આપેલ સમીકરણ: ${y^2} + 2By + 2Ax + C = 0$
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(y + B)^2 - B^2 + 2Ax + C = 0$
$(y + B)^2 = -2Ax + B^2 - C$
$(y + B)^2 = -2A(x - \frac{B^2 - C}{2A})$
આ સમીકરણ $(y - k)^2 = -4a(x - h)$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $4a = 2A$,તેથી $a = \frac{A}{2}$.
શિરોબિંદુ $(h, k) = (\frac{B^2 - C}{2A}, -B)$ છે.
પરવલય $(y - k)^2 = -4a(x - h)$ નું નાભિ $(h - a, k)$ છે.
નાભિ $= (\frac{B^2 - C}{2A} - \frac{A}{2}, -B) = (\frac{B^2 - C - A^2}{2A}, -B)$.
લેટસ રેક્ટમનું સમીકરણ $x = h - a$ છે.
$x = \frac{B^2 - C}{2A} - \frac{A}{2} = \frac{B^2 - C - A^2}{2A}$.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ ના પ્રમાણિત પ્રચલ સમીકરણો $x = at^2$ અને $y = 2at$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y^2 = 8x$ ને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 8$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 2$.
$a = 2$ ને પ્રચલ સમીકરણોમાં મૂકતા:
$x = 2t^2$
$y = 2(2)t = 4t$
આમ,પ્રચલ સમીકરણો $x = 2t^2$ અને $y = 4t$ છે.

(B) આપેલ પ્રચલિત સમીકરણો:
$x = \frac{t}{4} \Rightarrow t = 4x$
$t = 4x$ ને $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = \frac{(4x)^2}{4} = \frac{16x^2}{4} = 4x^2$
પુનઃગોઠવણી કરતા $x^2 = \frac{1}{4}y$ મળે છે,જે $x^2 = 4ay$ (જ્યાં $a = \frac{1}{16}$) સ્વરૂપનું છે,જે પરવલય દર્શાવે છે.

(C) આપેલ છે: શિરોબિંદુ $(h, k) = (0, 4)$ અને નાભિ $(0, 2)$.
શિરોબિંદુ અને નાભિના $x$-યામ સમાન હોવાથી,પરવલયની અક્ષ શિરોલંબ છે.
શિરોબિંદુ અને નાભિ વચ્ચેનું અંતર $a = |4 - 2| = 2$ છે.
નાભિ શિરોબિંદુની નીચે હોવાથી,પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે.
નીચેની તરફ ખુલતા પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x - h)^2 = -4a(y - k)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(x - 0)^2 = -4(2)(y - 4)$.
$x^2 = -8(y - 4)$.
$x^2 = -8y + 32$.
$x^2 + 8y = 32$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $9x^2 - 6x + 36y + 19 = 0$
પદોને ગોઠવતા: $9x^2 - 6x = -36y - 19$
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(3x - 1)^2 - 1 = -36y - 19$
$(3x - 1)^2 = -36y - 18$
$9(x - 1/3)^2 = -36(y + 1/2)$
$(x - 1/3)^2 = -4(y + 1/2)$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x - h)^2 = -4a(y - k)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 4$ મળે છે,તેથી $a = 1$.
નાભિલંબની લંબાઈ $4a = 4$ છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $9y^2 - 16x - 12y - 57 = 0$
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$9(y^2 - \frac{4}{3}y) = 16x + 57$
$9(y^2 - \frac{4}{3}y + \frac{4}{9}) = 16x + 57 + 4$
$9(y - \frac{2}{3})^2 = 16x + 61$
$(y - \frac{2}{3})^2 = \frac{16}{9}(x + \frac{61}{16})$
આ સમીકરણ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં પરવલયની અક્ષ $y - k = 0$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$k = \frac{2}{3}$,તેથી અક્ષ $y - \frac{2}{3} = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3y = 2$ થાય છે.

(B) ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર શિરોબિંદુ અને $y$-અક્ષની ધન દિશામાં અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $X^2 = 4AY$ છે,જ્યાં નાભિલંબની લંબાઈ $l = 4A$ છે,તેથી $A = \frac{l}{4}$ થાય.
$A$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $X^2 = lY$ મળે છે.
શિરોબિંદુ $(a, b)$ પર હોવાથી,આપણે $X = x - a$ અને $Y = y - b$ રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(x - a)^2 = l(y - b)$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે મેળવવા માટે,આપણે જમણી બાજુને $(x - a)^2 = \frac{l}{2}(2y - 2b)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.

(A) આપેલ સમીકરણ $y = x^2 - 8x + c$ છે.
પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$y = (x^2 - 8x + 16) - 16 + c$
$y = (x - 4)^2 + (c - 16)$.
પરવલય $y = a(x - h)^2 + k$ નું શિરોબિંદુ $(h, k)$ છે.
સરખામણી કરતા,શિરોબિંદુ $(4, c - 16)$ મળે છે.
શિરોબિંદુ $x$-અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $y$-યામ $0$ થાય.
તેથી,$c - 16 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $c = 16$.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ ${y^2} = 5x + 4y + 1$ છે.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
${y^2} - 4y = 5x + 1$.
બંને બાજુ $4$ ઉમેરતા:
${y^2} - 4y + 4 = 5x + 1 + 4$.
${(y - 2)^2} = 5x + 5$.
${(y - 2)^2} = 5(x + 1)$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ ${(y - k)^2} = 4a(x - h)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 5$ મળે છે.
આમ,નાભિલંબની લંબાઈ $5$ છે.