Parabola Questions in Gujarati

(D) આપેલી રેખા $x - y + 1 = 0$ છે. વક્ર $x = y^2$ છે.
ધારો કે વક્ર પરનું બિંદુ $P(y^2, y)$ છે.
બિંદુ $P$ થી રેખા $x - y + 1 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|y^2 - y + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|y^2 - y + 1|}{\sqrt{2}}$ છે.
બધા વાસ્તવિક $y$ માટે $y^2 - y + 1 > 0$ હોવાથી,$d = \frac{y^2 - y + 1}{\sqrt{2}}$ મળે.
લઘુત્તમ અંતર શોધવા માટે,આપણે $f(y) = y^2 - y + 1$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધીએ.
વિકલન કરતા,$f'(y) = 2y - 1$. $f'(y) = 0$ લેતા $y = \frac{1}{2}$ મળે.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય $f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4}$ છે.
તેથી,લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{3/4}{\sqrt{2}} = \frac{3}{4 \sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{8}$ થાય.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 12y$ છે. આને $x^2 = 4ay$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 12$ મળે છે,તેથી $a = 3$.
પરવલયનું શિરોબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(2a, a)$ અને $(-2a, a)$ છે,જે $(6, 3)$ અને $(-6, 3)$ થાય છે.
ત્રિકોણ $(0, 0)$,$(6, 3)$ અને $(-6, 3)$ શિરોબિંદુઓ દ્વારા બને છે.
ત્રિકોણનો પાયો નાભિલંબની લંબાઈ છે,જે $4a = 12$ છે.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ શિરોબિંદુથી નાભિલંબ સુધીનું અંતર છે,જે $a = 3$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18$ ચોરસ એકમ છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત પદાવલિ $y = ax^2 + bx + c$ છે.
અહીં $a > 0$ હોવાથી,પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ સૂચવે છે કે દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બે સમાન વાસ્તવિક બીજ છે.
આનો અર્થ એ છે કે વક્ર $x$-અક્ષને માત્ર એક બિંદુએ સ્પર્શે છે.
$a > 0$ હોવાથી,પરવલયનું શિરોબિંદુ તેની ન્યૂનતમ કિંમત પર છે,જે $x$-અક્ષ પર $0$ છે,અને બાકીનો વક્ર $x$-અક્ષની ઉપર રહે છે.
તેથી,વક્ર $x$-અક્ષને સ્પર્શે છે અને તેની ઉપર રહે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 + 6x - 4y + 15 = 0$ છે.
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x^2 + 6x + 9) - 9 - 4y + 15 = 0$.
$(x + 3)^2 - 4y + 6 = 0$.
$(x + 3)^2 = 4y - 6$.
$(x + 3)^2 = 4(y - \frac{3}{2})$.
આને રૂપાંતરિત સમીકરણ $(x - \alpha)^2 = 8a(y - \beta)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$x - \alpha = x + 3 \Rightarrow \alpha = -3$.
$y - \beta = y - \frac{3}{2} \Rightarrow \beta = \frac{3}{2}$.
$8a = 4 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$.
હવે,$2\alpha + 8\beta^2$ ની ગણતરી કરતા:
$2(-3) + 8(\frac{3}{2})^2 = -6 + 8(\frac{9}{4}) = -6 + 18 = 12$.

(C) ધારો કે $P$ ના યામ $(x, y)$ છે. $P(x, y)$ નું $A(1, 1)$ થી અંતર $\sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2}$ છે.
$P(x, y)$ નું રેખા $x+y+2=0$ થી અંતર $\frac{|x+y+2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|x+y+2|}{\sqrt{2}}$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,આ અંતરો સમાન છે:
$(x-1)^2 + (y-1)^2 = \frac{(x+y+2)^2}{2}$
$2(x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1) = x^2 + y^2 + 4 + 2xy + 4x + 4y$
$2x^2 + 2y^2 - 4x - 4y + 4 = x^2 + y^2 + 2xy + 4x + 4y + 4$
$x^2 + y^2 - 2xy - 8x - 8y = 0$
આ સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $a=1, b=1, h=-1, g=-4, f=-4, c=0$.
અહીં,$h^2 - ab = (-1)^2 - (1)(1) = 1 - 1 = 0$.
કારણ કે $h^2 - ab = 0$,તેથી બિંદુપથ એક પરવલય છે.

(C) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના સ્પર્શકોની જોડનું સમીકરણ $SS_1 = T^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$S = y^2 - 4x$,$S_1 = (-2)^2 - 4(-1) = 8$,અને $T = -2y - 2x + 2$.
$SS_1 = T^2$ માં કિંમતો મૂકતા:
$(y^2 - 4x)(8) = (-2y - 2x + 2)^2$.
$4$ વડે ભાગતા:
$2(y^2 - 4x) = (x + y - 1)^2$.
$x^2 + 2xy - y^2 + 6x - 2y + 1 = 0$.
આ રેખાઓની જોડ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે,જ્યાં $a = 1, h = 1, b = -1$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = |\frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b}|$ છે.
અહીં $a + b = 1 + (-1) = 0$ હોવાથી,છેદ $0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = \infty$.

(D) વક્ર $y^2 = 4x$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 4$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$. બિંદુ $(2, -2)$ પર,$m_1 = \frac{2}{-2} = -1$.
વક્ર $x^2 = -2y$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2x = -2 \frac{dy}{dx}$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -x$. બિંદુ $(2, -2)$ પર,$m_2 = -2$.
ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 \times m_2 = (-1) \times (-2) = 2 \neq -1$. આમ,વક્રો $(2, -2)$ પર લંબરૂપે છેદતા નથી.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર,સ્પર્શકો $x=0$ (શિરોલંબ) અને $y=0$ (ક્ષૈતિજ) છે,જે લંબ છે,પરંતુ વિધાનમાં $(1,2)$ બિંદુનો ઉલ્લેખ છે જે ખોટું છે કારણ કે $(1,2)$ બિંદુ વક્રો પર નથી.
તેથી,વિધાન $(A)$ ખોટું છે અને કારણ $(R)$ સાચું છે.

(B) વર્તુળોના સમીકરણો $C_1: x^2+y^2-6x-6y+13=0$ અને $C_2: x^2+y^2-8y+9=0$ છે.
સામાન્ય જીવા $AB$ નું સમીકરણ $C_1 - C_2 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2-6x-6y+13) - (x^2+y^2-8y+9) = 0$
$-6x+2y+4 = 0 \Rightarrow 3x-y-2 = 0$.
આ પરવલયની નિયામિકા છે.
નિયામિકાનો ઢાળ $m_D = 3$ છે.
પરવલયની અક્ષ નિયામિકાને લંબ છે અને શિરોબિંદુ $O(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
અક્ષનો ઢાળ $m_A = -1/3$ છે.
અક્ષનું સમીકરણ $y - 0 = -1/3(x - 0) \Rightarrow x+3y = 0$ છે.
શિરોબિંદુથી નિયામિકા પરના લંબપાદનું બિંદુ $3x-y-2=0$ અને $x+3y=0$ નું છેદબિંદુ છે.
આ ઉકેલતા,આપણને $x = 3/5$ અને $y = -1/5$ મળે છે. આ બિંદુ $Z(3/5, -1/5)$ છે.
શિરોબિંદુ $O(0,0)$ એ નાભિ $S(\alpha, \beta)$ અને લંબપાદ $Z(3/5, -1/5)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$0 = (\alpha + 3/5)/2 \Rightarrow \alpha = -3/5$
$0 = (\beta - 1/5)/2 \Rightarrow \beta = 1/5$.
આમ,નાભિ $(-3/5, 1/5)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2-4x+4y-8=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગની રીતે:
$x^2-4x+4 = -4y+8+4$
$(x-2)^2 = -4(y-3)$
$(x-h)^2 = 4a(y-k)$ સાથે સરખાવતા,$h=2, k=3$ અને $4a = -4 \Rightarrow a = -1$ મળે છે.
$(B)$ શિરોબિંદુ $(h, k) = (2, 3)$ છે.
$(A)$ નાભિ $(h, k+a) = (2, 3-1) = (2, 2)$ છે.
$(C)$ નાભિલંબનું એક અંત્યબિંદુ $(h+2a, k+a) = (2-2, 3-1) = (0, 2)$ અથવા $(h-2a, k+a) = (2+2, 3-1) = (4, 2)$ છે. વિકલ્પો મુજબ,$(4, 2)$ સાચું છે.
$(D)$ અક્ષ અને નિયામિકાનું છેદબિંદુ $(h, k-a) = (2, 3-(-1)) = (2, 4)$ છે.
આમ,સાચી જોડણી $A-V, B-III, C-I, D-IV$ છે.

(D) પરવલય માટે,પરવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x, y)$ થી નાભિ $S$ સુધીનું અંતર એ $P$ થી નિયામિકા $L$ સુધીના લંબ અંતર જેટલું હોય છે.
$PS = PN$
$\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y+3)^2} = \left|\frac{3x-2y+5}{\sqrt{3^2+(-2)^2}}\right|$
$\Rightarrow (x-2)^2+(y+3)^2 = \frac{(3x-2y+5)^2}{13}$
$\Rightarrow 13(x^2-4x+4+y^2+6y+9) = 9x^2+4y^2+25-12xy-20y+30x$
$\Rightarrow 13x^2-52x+52+13y^2+78y+117 = 9x^2+4y^2-12xy+30x-20y+25$
$\Rightarrow 4x^2+12xy+9y^2-82x+98y+144 = 0$
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2-82x+98y+144=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=4, h=6, b=9$ મળે છે.
હવે,સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ એ $4x^2+12xy+9y^2=0$ બને છે.
જેને $(2x+3y)^2=0$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં વિવેચક $h^2-ab = 6^2-(4)(9) = 36-36=0$ હોવાથી,તે બે સંપાતી રેખાઓ દર્શાવે છે.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $(2 x - 3 y - 5)^2 = 20(3 x + 2 y + 1)$ છે.
આપણે આને $\left( \frac{2 x - 3 y - 5}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} \right)^2 = \frac{20}{13} \left( \frac{3 x + 2 y + 1}{\sqrt{3^2 + 2^2}} \right) \sqrt{13}$ સ્વરૂપમાં ફરીથી લખીએ.
ધારો કે $Y = \frac{2 x - 3 y - 5}{\sqrt{13}}$ અને $X = \frac{3 x + 2 y + 1}{\sqrt{13}}$.
સમીકરણ $Y^2 = \frac{20}{\sqrt{13}} X$ બને છે.
$Y^2 = 4 a X$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4 a = \frac{20}{\sqrt{13}}$ મળે છે,તેથી $a = \frac{5}{\sqrt{13}}$.
નિયામિકા $X = -a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $\frac{3 x + 2 y + 1}{\sqrt{13}} = -\frac{5}{\sqrt{13}}$ છે.
આમ,$3 x + 2 y + 1 = -5$,અથવા $3 x + 2 y + 6 = 0$.

(A) પરવલયની નાભિ $S(0,0)$ આપેલ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x+y-4=0$ છે.
ધારો કે $P(x, y)$ એ પરવલય પરનું કોઈ બિંદુ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$P$ નું નાભિથી અંતર એ $P$ નું નિયામિકાથી અંતર જેટલું હોય છે,તેથી $SP^2 = PM^2$.
$SP^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 = x^2 + y^2$.
$P(x, y)$ થી રેખા $x+y-4=0$ નું લંબ અંતર $PM = \frac{|x+y-4|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|x+y-4|}{\sqrt{2}}$ છે.
તેથી,$x^2 + y^2 = \left(\frac{x+y-4}{\sqrt{2}}\right)^2$.
$x^2 + y^2 = \frac{(x+y-4)^2}{2}$.
$2(x^2 + y^2) = x^2 + y^2 + 16 + 2xy - 8x - 8y$.
$x^2 + y^2 - 2xy + 8x + 8y - 16 = 0$.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $x^2 - 2x - 4y + 5 = 0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $x^2 - 2x + 1 = 4y - 5 + 1$.
$(x - 1)^2 = 4(y - 1)$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ સાથે સરખાવતા,$h = 1, k = 1$ અને $4a = 4$ મળે,તેથી $a = 1$.
પરવલય $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ પરના બિંદુ $(x_1, y_1)$ નું નાભિ અંતર $|y_1 - k + a|$ છે.
બિંદુ $(5, 5)$ અને કિંમતો $k = 1, a = 1$ મૂકતા:
નાભિ અંતર $= |5 - 1 + 1| = |5| = 5$.

(A) આપેલ પરવલય $y = x^2 - 3x + 2$ છે. તેને $(x - \frac{3}{2})^2 = y + \frac{1}{4}$ તરીકે લખી શકાય.
$(x-h)^2 = 4a(y-k)$ સાથે સરખાવતા,$h = \frac{3}{2}$,$k = -\frac{1}{4}$,અને $4a = 1 \implies a = \frac{1}{4}$ મળે.
$1$. $Q$ એ શિરોબિંદુ છે,જે $(h, k) = (\frac{3}{2}, -\frac{1}{4})$ છે. તેથી,$B-II$.
$2$. $S$ એ નાભિ $(h, k+a) = (\frac{3}{2}, -\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) = (\frac{3}{2}, 0)$ છે. તેથી,$C-III$.
$3$. $Z$ એ અક્ષ $(x = \frac{3}{2})$ અને નિયામિકા $(y = k-a = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2})$ નું છેદબિંદુ છે,તેથી $Z = (\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$. તેથી,$D-IV$.
$4$. $P$ એ નાભિલંબનું અંત્યબિંદુ $(h \pm 2a, k+a) = (\frac{3}{2} \pm \frac{1}{2}, 0)$ છે. $(2, 0)$ માટે,આપણને $A-I$ મળે છે.
તેથી,સાચી જોડ $A-I, B-II, C-III, D-IV$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $25[(x-2)^2+(y+5)^2]=(3x+4y-1)^2$ છે. આ $SP^2 = e^2 PM^2$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $S(2, -5)$ નાભિ છે અને $3x+4y-1=0$ નિયામિકા છે,જ્યાં $e=1$.
$I$. શિરોબિંદુ: શિરોબિંદુ એ નાભિ $S(2, -5)$ અને નિયામિકા પર નાભિના પ્રક્ષેપનું મધ્યબિંદુ છે. $S(2, -5)$ નો $3x+4y-1=0$ પરનો પ્રક્ષેપ $P' = (x, y)$ છે,જ્યાં $\frac{x-2}{3} = \frac{y+5}{4} = -\frac{3(2)+4(-5)-1}{3^2+4^2} = \frac{3}{5}$. તેથી $x = \frac{19}{5}$ અને $y = -\frac{13}{5}$. શિરોબિંદુ એ $S(2, -5)$ અને $(\frac{19}{5}, -\frac{13}{5})$ નું મધ્યબિંદુ છે,જે $(\frac{29}{10}, \frac{-38}{10})$ છે. આમ,$I-B$.
$II$. નાભિલંબની લંબાઈ: નાભિ $(2, -5)$ થી નિયામિકા $3x+4y-1=0$ નું અંતર $d = \frac{|3(2)+4(-5)-1|}{5} = 3$ છે. નાભિલંબની લંબાઈ $2d = 6$ છે. આમ,$II-E$.
$III$. નિયામિકા: $3x+4y-1=0$ આપેલ છે. આમ,$III-C$.
$IV$. નાભિલંબનો એક અંત્યબિંદુ: નાભિલંબ એ નાભિ $(2, -5)$ માંથી પસાર થતી અને નિયામિકાને સમાંતર રેખા છે,એટલે કે $3x+4y+14=0$. આ રેખા અને પરવલયનું છેદબિંદુ $(\frac{-2}{5}, \frac{-16}{5})$ છે. આમ,$IV-D$.

(B) ધારો કે નાભિ $(2,3)$ માંથી નિયામિકા $x-y+3=0$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $(h, k)$ છે.
નાભિમાંથી પસાર થતી અને નિયામિકાને લંબ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-2}{1} = \frac{y-3}{-1} = \lambda$ છે,તેથી $x = 2+\lambda$ અને $y = 3-\lambda$ મળે.
નિયામિકાના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(2+\lambda) - (3-\lambda) + 3 = 0$ $\Rightarrow 2\lambda + 2 = 0$ $\Rightarrow \lambda = -1$.
આમ,લંબપાદ $(1, 4)$ મળે છે.
શિરોબિંદુ એ નાભિ $(2,3)$ અને લંબપાદ $(1,4)$ નું મધ્યબિંદુ છે,જે $(\frac{2+1}{2}, \frac{3+4}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$ થાય.
શિરોબિંદુ આગળનો સ્પર્શક નિયામિકા $x-y+3=0$ ને સમાંતર હોય,તેથી તેનું સમીકરણ $x-y+c=0$ સ્વરૂપનું હોય.
શિરોબિંદુ $(\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{3}{2} - \frac{7}{2} + c = 0$ $\Rightarrow -2 + c = 0$ $\Rightarrow c = 2$.
તેથી,શિરોબિંદુ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $x-y+2=0$ છે.

(C) નિયામિકા $x+y+1=0$ નો ઢાળ $-1$ છે. પરવલયની અક્ષ નિયામિકાને લંબ હોવાથી,અક્ષનો ઢાળ $1$ થાય.
શિરોબિંદુ $(1, 1)$ આપેલ છે,તેથી અક્ષનું સમીકરણ $y-1=1(x-1)$ એટલે કે $y=x$ થાય.
બિંદુ $(c, d)$ શોધવા માટે,નિયામિકા અને અક્ષના સમીકરણો ઉકેલતા:
$x+y+1=0$ અને $y=x$.
$y=x$ ને નિયામિકાના સમીકરણમાં મૂકતા: $x+x+1=0$ $\Rightarrow 2x=-1$ $\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$.
આમ,$c=-\frac{1}{2}$ અને $d=-\frac{1}{2}$ મળે.
શિરોબિંદુ $(1, 1)$ એ નાભિ $(a, b)$ અને બિંદુ $(c, d)$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્ર મુજબ: $1=\frac{a+c}{2}$ $\Rightarrow 1=\frac{a-1/2}{2}$ $\Rightarrow 2=a-\frac{1}{2}$ $\Rightarrow a=\frac{5}{2}$.
તે જ રીતે,$1=\frac{b+d}{2}$ $\Rightarrow 1=\frac{b-1/2}{2}$ $\Rightarrow 2=b-\frac{1}{2}$ $\Rightarrow b=\frac{5}{2}$.
અંતે,$a+b+c+d = \frac{5}{2} + \frac{5}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 5 - 1 = 4$.

(A) નિયામિકા $x+2y-1=0$ છે અને નાભિ $S(1,0)$ છે.
ધારો કે $P(x, y)$ એ પરવલય પરનું કોઈ બિંદુ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$P$ થી નાભિનું અંતર એ $P$ થી નિયામિકાના લંબ અંતર જેટલું હોય છે $(PS = PM)$.
$PS^2 = PM^2$
$(x-1)^2 + (y-0)^2 = \frac{(x+2y-1)^2}{1^2+2^2}$
$5((x-1)^2 + y^2) = (x+2y-1)^2$
$5(x^2 - 2x + 1 + y^2) = x^2 + 4y^2 + 1 + 4xy - 2x - 4y$
$5x^2 - 10x + 5 + 5y^2 = x^2 + 4y^2 + 4xy - 2x - 4y + 1$
$4x^2 - 4xy + y^2 - 8x + 4y + 4 = 0$

(C) આપેલ પરવલયો $P_1: y^2=5x$ અને $P_2: x^2=5y$ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $y = \frac{x^2}{5}$ ને $y^2=5x$ માં મૂકતા $(\frac{x^2}{5})^2 = 5x$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x^4 = 125x$ થાય છે. તેથી,$x(x^3 - 125) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x=0$ અથવા $x=5$.
છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(5,5)$ છે.
$(0,0)$ અને $(5,5)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ એ $y=x$ છે.
$P_1$ ની નિયામિકા ($y^2=4ax$ જ્યાં $4a=5 \Rightarrow a=5/4$) એ $x = -\frac{5}{4}$ છે.
$P_2$ નો નાભિલંબ ($x^2=4ay$ જ્યાં $4a=5 \Rightarrow a=5/4$) એ $y = \frac{5}{4}$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આ ત્રણ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$1$. $x = -\frac{5}{4}$ અને $y = \frac{5}{4}$ નું છેદબિંદુ $C(-\frac{5}{4}, \frac{5}{4})$ છે.
$2$. $x = -\frac{5}{4}$ અને $y=x$ નું છેદબિંદુ $B(-\frac{5}{4}, -\frac{5}{4})$ છે.
$3$. $y = \frac{5}{4}$ અને $y=x$ નું છેદબિંદુ $A(\frac{5}{4}, \frac{5}{4})$ છે.
શિરોબિંદુઓ $A(\frac{5}{4}, \frac{5}{4})$,$B(-\frac{5}{4}, -\frac{5}{4})$,અને $C(-\frac{5}{4}, \frac{5}{4})$ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\frac{5}{4}(-\frac{5}{4} - \frac{5}{4}) + (-\frac{5}{4})(\frac{5}{4} - \frac{5}{4}) + (-\frac{5}{4})(\frac{5}{4} - (-\frac{5}{4}))|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-\frac{50}{16} - \frac{50}{16}| = \frac{25}{8}$.

(D) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $a$ છે।
એક શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે અને ત્રિકોણ $x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત હોવાથી, અન્ય બે શિરોબિંદુઓ પરવલય $y^2=12x$ પર $x$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ અને $-30^{\circ}$ ના ખૂણે આવેલા છે।
શિરોબિંદુ $A$ ના યામ $(a \cos 30^{\circ}, a \sin 30^{\circ})$ છે।
$A$ પરવલય પર હોવાથી:
$(a \sin 30^{\circ})^2 = 12(a \cos 30^{\circ})$
$a^2 (1/4) = 12a (\sqrt{3}/2)$
$a = 24\sqrt{3}$.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (24\sqrt{3})^2 = 432\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ।

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=16x$ છે,જે $y^2=4ax$ સ્વરૂપમાં છે. તેથી,$4a=16$,એટલે કે $a=4$.
ધારો કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના પ્રાચલો $t_1$ અને $t_2$ છે. $AB$ નાભિ જીવા હોવાથી,$t_1 \cdot t_2 = -1$.
બિંદુ $A(1, -4)$ માટે,$at_1^2 = 1$ અને $2at_1 = -4$.
$a=4$ મૂકતા,$4t_1^2 = 1$ $\Rightarrow t_1^2 = 1/4$ $\Rightarrow t_1 = -1/2$ (કારણ કે $A$ આગળ $y < 0$ છે).
$t_1 \cdot t_2 = -1$ હોવાથી,$(-1/2) \cdot t_2 = -1$,જે $t_2 = 2$ આપે છે.
બિંદુ $B$ એ $(at_2^2, 2at_2) = (4(2)^2, 2(4)(2)) = (16, 16)$ છે.
પરવલય $y^2=4ax$ માટે બિંદુ $t$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y + tx = 2at + at^3$ છે.
$t_2 = 2$ અને $a=4$ માટે,$B$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y + 2x = 2(4)(2) + 4(2)^3$ થાય.
$y + 2x = 16 + 32$.
$y + 2x = 48$.
તેથી,અભિલંબનું સમીકરણ $2x + y - 48 = 0$ છે.

(A) પરવલયની ધરી $y=x$ છે. શિરોબિંદુ $A$ અને નાભિ $S$ પ્રથમ ચરણમાં આ રેખા પર આવેલા છે.
$A$ નું $(0,0)$ થી અંતર $\sqrt{2}$ હોવાથી,$A$ ના યામ $(1,1)$ છે.
$S$ નું $(0,0)$ થી અંતર $2\sqrt{2}$ હોવાથી,$S$ ના યામ $(2,2)$ છે.
અંતર $AS = a = \sqrt{(2-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{2}$.
નિયામિકા રેખા $y=x$ ને લંબ છે અને તે બિંદુ $Z$ માંથી પસાર થાય છે જ્યાં $A$ એ $SZ$ નું મધ્યબિંદુ છે. $S=(2,2)$ અને $A=(1,1)$ હોવાથી,$Z=(0,0)$.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x+y=0$ છે.
પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,કોઈપણ બિંદુ $(x,y)$ નું નાભિ $(2,2)$ થી અંતર એ નિયામિકા $x+y=0$ થી અંતર જેટલું હોય છે:
$(x-2)^2 + (y-2)^2 = \frac{(x+y)^2}{2}$.
$2(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4) = x^2 + y^2 + 2xy$.
$x^2 + y^2 - 2xy - 8x - 8y + 16 = 0$,જે $(x-y)^2 = 8(x+y-2)$ છે.
$x=(t+1)^2$ અને $y=(t-1)^2$ મૂકતા:
$((t+1)^2 - (t-1)^2)^2 = (4t)^2 = 16t^2$.
$8((t+1)^2 + (t-1)^2 - 2) = 8(t^2 + 2t + 1 + t^2 - 2t + 1 - 2) = 8(2t^2) = 16t^2$.
બંને બાજુ સમાન છે,તેથી પ્રાચલિત સ્વરૂપ $x=(t+1)^2, y=(t-1)^2$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $2x^2 + 5y - 6x + 1 = 0$
$2$ વડે ભાગતા: $x^2 - 3x + \frac{5}{2}y + \frac{1}{2} = 0$
પદોને ગોઠવતા: $x^2 - 3x = -\frac{5}{2}y - \frac{1}{2}$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $x^2 - 3x + (\frac{3}{2})^2 = -\frac{5}{2}y - \frac{1}{2} + \frac{9}{4}$
$(x - \frac{3}{2})^2 = -\frac{5}{2}y + \frac{7}{4}$
$(x - \frac{3}{2})^2 = -\frac{5}{2}(y - \frac{7}{10})$
$(x - h)^2 = -4a(y - k)$ સાથે સરખાવતા,$h = \frac{3}{2}$,$k = \frac{7}{10}$,અને $4a = \frac{5}{2} \Rightarrow a = \frac{5}{8}$.
શિરોબિંદુ $(h, k) = (\frac{3}{2}, \frac{7}{10})$ છે.
નાભિ $(h, k - a) = (\frac{3}{2}, \frac{7}{10} - \frac{5}{8}) = (\frac{3}{2}, \frac{3}{40})$ છે.

(D) આપેલ પરવલય $y^2=16x$ છે,જે $y^2=4ax$ સ્વરૂપમાં છે,તેથી $a=4$.
પરવલયની નાભિ $S$ એ $(4, 0)$ છે.
નાભિલંબ $LL^{\prime}$ ના અંત્યબિંદુઓ $(a, 2a)$ અને $(a, -2a)$ છે,તેથી $L=(4, 8)$ અને $L^{\prime}=(4, -8)$.
$PQ$ એ $P(1, 4)$ અને $S(4, 0)$ માંથી પસાર થતી નાભિ જીવા હોવાથી,$PQ$ નો ઢાળ $m = \frac{0-4}{4-1} = -\frac{4}{3}$ છે.
$PQ$ રેખાનું સમીકરણ $y - 0 = -\frac{4}{3}(x - 4)$ એટલે કે $4x + 3y - 16 = 0$ છે.
$Q$ ના યામ શોધવા માટે,$x = \frac{y^2}{16}$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $y^2 + 12y - 64 = 0$.
અવયવ પાડતા $(y+16)(y-4) = 0$ મળે,તેથી $y=4$ (બિંદુ $P$) અથવા $y=-16$ (બિંદુ $Q$).
$y=-16$ માટે,$x = 16$,તેથી $Q=(16, -16)$.
હવે,અંતર $LQ = \sqrt{(16-4)^2 + (-16-8)^2} = \sqrt{12^2 + (-24)^2} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5}$.

(D) પરવલયનું આપેલ સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે,જે $y^2 = 4ax$ સ્વરૂપમાં છે. સરખામણી કરતા,$a = 2$ મળે છે.
પરવલયની નાભિ $(a, 0) = (2, 0)$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના બિંદુ $(x_1, y_1)$ નું નાભિ અંતર $|x_1 + a|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $(2t^2, 4t)$ છે અને નાભિ અંતર $3$ છે,તેથી:
$|2t^2 + 2| = 3$
વાસ્તવિક $t$ માટે $2t^2 + 2$ હંમેશા ધન હોવાથી:
$2t^2 + 2 = 3$
$2t^2 = 1$
$t^2 = \frac{1}{2}$
$t = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $y^2-4x-8y-12=0$
પદોને ગોઠવતા: $y^2-8y = 4x+12$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $y^2-8y+16 = 4x+12+16$
$(y-4)^2 = 4x+28$
$(y-4)^2 = 4(x+7)$
ધારો કે $Y = y-4$ અને $X = x+7$. તેથી સમીકરણ $Y^2 = 4X$ બને છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Y^2 = 4aX$ સાથે સરખાવતા,$4a = 4$,તેથી $a = 1$.
$Y^2 = 4aX$ માટે પ્રાચલિત સમીકરણો $X = at^2$ અને $Y = 2at$ છે.
$a = 1$ મૂકતા: $X = t^2$ અને $Y = 2t$.
$X = x+7$ અને $Y = y-4$ પાછા મૂકતા:
$x+7 = t^2 \Rightarrow x = -7+t^2$
$y-4 = 2t \Rightarrow y = 4+2t$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) પરવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ છે,જ્યાં $(h, k)$ શિરોબિંદુ છે.
આપેલ શિરોબિંદુ $(h, k) = (1, -2)$ અને નાભિ $(h + a, k) = \left(\frac{5}{4}, -2\right)$ છે.
$a$ ની ગણતરી કરતા: $h + a = \frac{5}{4}$ $\Rightarrow 1 + a = \frac{5}{4}$ $\Rightarrow a = \frac{1}{4}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$(y + 2)^2 = 4 \times \frac{1}{4}(x - 1)$
$(y + 2)^2 = (x - 1)$.
હવે,આપેલા વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $(D)$ માટે,$(10, 1)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(1 + 2)^2 = 3^2 = 9$
$(10 - 1) = 9$.
તેથી,બિંદુ $(10, 1)$ પરવલય પર આવેલું છે.

(C) આપેલ પ્રચલ સમીકરણો $y=2+4t$ અને $x=-2+2t^2$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$t = \frac{y-2}{4}$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $x = -2 + 2\left(\frac{y-2}{4}\right)^2 = -2 + 2\frac{(y-2)^2}{16} = -2 + \frac{(y-2)^2}{8}$.
તેથી $(y-2)^2 = 8(x+2)$ મળે.
આને $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ સાથે સરખાવતા,$h=-2, k=2$ અને $4a=8$ મળે,તેથી $a=2$.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(h+a, k \pm 2a)$ પર હોય છે,જે $(-2+2, 2 \pm 4)$ એટલે કે $(0, 6)$ અને $(0, -2)$ છે.
$y=6$ માટે,$2+4t=6 \implies 4t=4 \implies t=1$.
$y=-2$ માટે,$2+4t=-2 \implies 4t=-4 \implies t=-1$.
આમ,$\alpha=1$ અને $\beta=-1$.
તેથી,$\alpha \beta = (1)(-1) = -1$.

(B) આડી ધરી ધરાવતા પરવલયનું સમીકરણ $x = ay^2 + by + c$ છે.
આપેલા બિંદુઓ $(-2, 1)$,$(1, 2)$ અને $(-1, 3)$ મૂકતા:
$1) -2 = a + b + c$
$2) 1 = 4a + 2b + c$
$3) -1 = 9a + 3b + c$
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા: $3a + b = 3$ $(4)$
$(3)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $5a + b = -2$ $(5)$
$(5)$ માંથી $(4)$ બાદ કરતા: $2a = -5 \Rightarrow a = -\frac{5}{2}$.
$a$ ની કિંમત $(4)$ માં મૂકતા: $3(-\frac{5}{2}) + b = 3 \Rightarrow b = 3 + \frac{15}{2} = \frac{21}{2}$.
$a$ અને $b$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા: $-\frac{5}{2} + \frac{21}{2} + c = -2$ $\Rightarrow 8 + c = -2$ $\Rightarrow c = -10$.
પરવલયનું સમીકરણ $x = -\frac{5}{2}y^2 + \frac{21}{2}y - 10$ છે.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $x = -\frac{5}{2}(y - \frac{21}{10})^2 + \frac{41}{40}$.
ગોઠવતા: $(y - \frac{21}{10})^2 = -\frac{2}{5}(x - \frac{41}{40})$.
આ $(y - k)^2 = 4A(x - h)$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $k = \frac{21}{10}$.
તેથી નાભિનો $y$-યામ $k = \frac{21}{10}$ છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^2-8 x+12 y+15=0$ છે.
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$x^2-8 x+16 = -12 y - 15 + 16$
$(x-4)^2 = -12 y + 1$
$(x-4)^2 = -12(y - \frac{1}{12})$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x-h)^2 = -4a(y-k)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $h=4$,$k=\frac{1}{12}$,અને $4a=12$,એટલે કે $a=3$ મળે છે.
$(x-h)^2 = -4a(y-k)$ માટે પ્રચલ સમીકરણો $x = h + 2at$ અને $y = k - at^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x = 4 + 2(3)t = 4 + 6t$ અને $y = \frac{1}{12} - 3t^2$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^2=16y$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2=4ay$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a=16$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a=4$.
પરવલયનું નાભિ $F(0, a) = (0, 4)$ છે.
નાભિલંબ એ $y=4$ રેખા છે.
પરવલયના સમીકરણ $x^2=16y$ માં $y=4$ મૂકતા,આપણને $x^2=16(4)=64$ મળે છે,તેથી $x=\pm 8$.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $P(8, 4)$ અને $Q(-8, 4)$ છે.
પરવલયનું શિરોબિંદુ $O(0, 0)$ છે.
ત્રિકોણ શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$P(8, 4)$,અને $Q(-8, 4)$ દ્વારા રચાય છે.
ત્રિકોણનો પાયો $PQ$ ની લંબાઈ $8 - (-8) = 16$ એકમ છે.
શિરોબિંદુ $O$ થી રેખા $PQ$ સુધીની ત્રિકોણની ઊંચાઈ એ નાભિલંબનો $y$-યામ છે,જે $4$ એકમ છે.
$\triangle OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 16 \times 4 = 32$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2+2x+2y-3=0$ છે.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવીને સમીકરણ ફરીથી લખતા:
$(y^2+2y+1)-1+2x-3=0$
$(y+1)^2+2x-4=0$
$(y+1)^2 = -2(x-2)$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y-k)^2 = -4a(x-h)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
શિરોબિંદુ $(h, k) = (2, -1)$
$-4a = -2 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$
અક્ષ: $y-k=0 \Rightarrow y+1=0$
નાભિ: $(h-a, k) = (2-\frac{1}{2}, -1) = (\frac{3}{2}, -1)$
નિયામિકા: $x = h+a$ $\Rightarrow x = 2+\frac{1}{2}$ $\Rightarrow x = \frac{5}{2}$ $\Rightarrow 2x-5=0$
આમ,જોડ આ મુજબ છે:
$A \rightarrow III$ (નિયામિકાનું સમીકરણ $2x-5=0$ છે)
$B \rightarrow II$ (નાભિ $(\frac{3}{2}, -1)$ છે)
$C \rightarrow IV$ (અક્ષનું સમીકરણ $y+1=0$ છે)
$D \rightarrow I$ (શિરોબિંદુ $(2, -1)$ છે)
તેથી,સાચી જોડ $A-III, B-II, C-IV, D-I$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $y = \frac{h^3}{3} x^2 + \frac{h^2}{2} x - h + \frac{3}{4 h^3}$.
પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરતા,સમીકરણને $(x - h_0)^2 = 4a(y - k_0)$ સ્વરૂપમાં ફેરવતા.
નિયામિકાનું સમીકરણ $y = k_0 - a$ છે.
ગણતરી કરતા,$k = -\frac{19h}{16}$ મળે છે.
તેથી,$k : h = -19 : 16$.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 2px$ છે. નાભિ $F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$ છે અને નિયામિકા $x = -\frac{p}{2}$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર નાભિ પર છે અને તે નિયામિકાને સ્પર્શે છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r = p$ થશે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - \frac{p}{2})^2 + y^2 = p^2$ છે.
$y^2 = 2px$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x - \frac{p}{2})^2 + 2px = p^2$
$x^2 + px - \frac{3p^2}{4} = 0$
$(x + \frac{3p}{2})(x - \frac{p}{2}) = 0$.
તેથી $x = \frac{p}{2}$ મળે છે.
$x = \frac{p}{2}$ ને $y^2 = 2px$ માં મૂકતા $y = \pm p$ મળે છે.
છેદબિંદુઓ $\left(\frac{p}{2}, p\right)$ અને $\left(\frac{p}{2}, -p\right)$ છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=16x$ છે. પરવલયનું શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ પર છે. ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(4t^2, 8t)$,અને $B(4t^2, -8t)$ છે.
ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,$\angle AOM = 30^{\circ}$ થાય,જ્યાં $M$ એ $A$ નો $X$-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ છે.
$\triangle AOM$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{AM}{OM} = \frac{8t}{4t^2} = \frac{2}{t}$.
$\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{t}$,જે આપણને $t = 2\sqrt{3}$ આપે છે.
બિંદુ $A$ ના યામ $(4(2\sqrt{3})^2, 8(2\sqrt{3})) = (48, 16\sqrt{3})$ છે.
ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $OA = \sqrt{(48-0)^2 + (16\sqrt{3}-0)^2} = \sqrt{2304 + 768} = \sqrt{3072} = 32\sqrt{3}$ થાય.
આમ,સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $32\sqrt{3}$ છે.

(B) પરવલય $y^2=4x$ છે,જે $y^2=4ax$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a=1$. નાભિ $S(a,0) = (1,0)$ છે.
$PQ$ એ નાભિ જીવા હોવાથી,$PS$ અને $SQ$ નો હરાત્મક મધ્યક એ અર્ધ-નાભિલંબ $l=2a=2$ સાથે સંબંધિત છે: $\frac{1}{PS} + \frac{1}{SQ} = \frac{1}{a} = \frac{1}{1} = 1$.
$P=(4,4)$ અને $S=(1,0)$ આપેલ છે,તેથી અંતર $PS = \sqrt{(4-1)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.
સંબંધમાં $PS=5$ મૂકતા: $\frac{1}{5} + \frac{1}{SQ} = 1$.
$\frac{1}{SQ} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
તેથી,$SQ = \frac{5}{4}$.

(C) વિધાન $I$ માટે: $x = ly^2 + my + n \Rightarrow x - n = l(y^2 + \frac{m}{l}y) \Rightarrow x - n + \frac{m^2}{4l} = l(y + \frac{m}{2l})^2 \Rightarrow (y + \frac{m}{2l})^2 = \frac{1}{l}(x - (n - \frac{m^2}{4l}))$. શિરોબિંદુ $(n - \frac{m^2}{4l}, -\frac{m}{2l})$ છે. આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ માટે: $y = lx^2 + mx + n \Rightarrow y - n = l(x^2 + \frac{m}{l}x) \Rightarrow y - n + \frac{m^2}{4l} = l(x + \frac{m}{2l})^2 \Rightarrow (x + \frac{m}{2l})^2 = \frac{1}{l}(y - (n - \frac{m^2}{4l}))$. અહીં $4a = \frac{1}{l} \Rightarrow a = \frac{1}{4l}$. નાભિ $(h, k+a) = (-\frac{m}{2l}, n - \frac{m^2-1}{4l})$ થાય. પ્રશ્નમાં આપેલ નાભિ ખોટું છે. આમ,વિધાન $II$ ખોટું છે.
વિધાન $III$ માટે: પરવલય $x^2 = 4ay$ માટે રેખા $lx + my + n = 0$ નો ધ્રુવ શોધતા,તે $(-\frac{2al}{m}, -\frac{n}{m})$ મળે છે. તેથી વિધાન $III$ પણ ખોટું છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=4ax$ છે,જ્યાં $4a=4$,તેથી $a=1$.
રેખા $y=mx+c$ એ પરવલય $y^2=4ax$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c = \frac{a}{m}$ છે.
આપેલ રેખા $y=mx+1$ માટે,$c=1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $1 = \frac{1}{m}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $m=1$.

(C) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $l$ છે. એક શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે અને ત્રિકોણ $x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત છે,તેથી અન્ય બે શિરોબિંદુઓ $A\left(\frac{\sqrt{3}l}{2}, \frac{l}{2}\right)$ અને $B\left(\frac{\sqrt{3}l}{2}, -\frac{l}{2}\right)$ છે.
શિરોબિંદુ $A$ એ પરવલય $y^2=16ax$ પર હોવાથી,આપણે તેના યામ મૂકીએ:
$\left(\frac{l}{2}\right)^2 = 16a\left(\frac{\sqrt{3}l}{2}\right)$
$\frac{l^2}{4} = 8\sqrt{3}al$
$l \neq 0$ હોવાથી,$l = 32\sqrt{3}a$.
હવે,શિરોબિંદુઓના યામ $O(0,0)$,$A(48a, 16\sqrt{3}a)$ અને $B(48a, -16\sqrt{3}a)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$:
$G = \left(\frac{0+48a+48a}{3}, \frac{0+16\sqrt{3}a-16\sqrt{3}a}{3}\right) = \left(\frac{96a}{3}, 0\right) = (32a, 0)$.

(A-(IV), B-(VI), C-(I), D-(II)) . પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $(x_1, y_1)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
$y^2 = 4x$ માટે,$a = 1$. $(2, \sqrt{8})$ બિંદુએ,સ્પર્શક $y(\sqrt{8}) = 2(1)(x + 2) \Rightarrow \sqrt{8}y = 2x + 4 \Rightarrow 2\sqrt{2}y = 2x + 4 \Rightarrow x - \sqrt{2}y + 2 = 0$. આમ,$A \rightarrow (iv)$.
$B$. $y^2 = 4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2am - am^3$ છે.
$y^2 = 16x$ માટે,$4a = 16 \Rightarrow a = 4$. અભિલંબ અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી $m = \tan(135^{\circ}) = -1$ અથવા $m = \tan(45^{\circ}) = 1$.
$m = 1$ માટે,$y = 1(x) - 2(4)(1) - 4(1)^3 = x - 8 - 4 = x - 12 \Rightarrow x - y - 12 = 0$. આમ,$B \rightarrow (vi)$.
$C$. $y^2 = 12x$ માટે,$4a = 12 \Rightarrow a = 3$. પરવલય પરના બિંદુઓ $(at_1^2, 2at_1)$ અને $(at_2^2, 2at_2)$ છે.
જીવા નાભિસ્થ જીવા હોય જો $t_1 t_2 = -1$.
તેથી $y_1 y_2 = (2at_1)(2at_2) = 4a^2(t_1 t_2) = 4(3)^2(-1) = 36(-1) = -36$. આમ,$C \rightarrow (i)$.
$D$. સમીકરણ $y^2 - kx + 16 = 0$ ને $y^2 = k(x - 16/k)$ તરીકે લખી શકાય.
$Y^2 = 4AX$ સાથે સરખાવતા,$4A = k \Rightarrow A = k/4$.
નિયામિકા $X = -A \Rightarrow x - 16/k = -k/4 \Rightarrow x = 16/k - k/4$ છે.
આપેલ નિયામિકા $x = 3$ છે,તેથી $16/k - k/4 = 3 \Rightarrow 64 - k^2 = 12k \Rightarrow k^2 + 12k - 64 = 0$.
$(k + 16)(k - 4) = 0 \Rightarrow k = 4$ અથવા $k = -16$. આમ,$D \rightarrow (ii)$.

(A) નાભિ $S$ એ $(-1, -1)$ છે અને નિયામિકા $x+y+4=0$ છે.
શિરોબિંદુ એ નાભિ અને પરવલયની અક્ષ તથા નિયામિકાના છેદબિંદુનું મધ્યબિંદુ છે.
પરવલયની અક્ષ નિયામિકાને લંબ હોય છે અને નાભિમાંથી પસાર થાય છે. નિયામિકાનો ઢાળ $-1$ હોવાથી,અક્ષનો ઢાળ $1$ થશે અને તે $(-1, -1)$ માંથી પસાર થાય છે.
અક્ષનું સમીકરણ $y - (-1) = 1(x - (-1)) \Rightarrow y = x$ છે.
અક્ષ $y=x$ અને નિયામિકા $x+y+4=0$ નું છેદબિંદુ $x+x+4=0$ $\Rightarrow 2x = -4$ $\Rightarrow x = -2$ છે. તેથી,$y = -2$.
છેદબિંદુ $Z(-2, -2)$ છે.
શિરોબિંદુ એ $S(-1, -1)$ અને $Z(-2, -2)$ નું મધ્યબિંદુ છે.
શિરોબિંદુ $= \left(\frac{-1-2}{2}, \frac{-1-2}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}\right)$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $y^2+6y-2x=-5$
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$y^2+6y+9 = 2x-5+9$
$(y+3)^2 = 2x+4$
$(y+3)^2 = 2(x+2)$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ સાથે સરખાવતા:
શિરોબિંદુ $(h, k) = (-2, -3)$. તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
અહીં,$4a = 2$,તેથી $a = \frac{1}{2}$.
પરવલય $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ ની નિયામિકા $x = h-a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = -2 - \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}$
$2x = -5 \Rightarrow 2x+5 = 0$.
વિધાન $II$ કહે છે કે નિયામિકા $y+3=0$ છે,જે ખોટું છે.
તેથી,$I$ સાચું છે અને $II$ ખોટું છે.

(C) પરવલયોના આપેલા સમીકરણો:
$y^2=5x$ $(i)$
$x^2=5y$ (ii)
સમીકરણ (ii) પરથી,$y = \frac{x^2}{5}$ મળે.
આ કિંમતને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(\frac{x^2}{5})^2 = 5x$
$\frac{x^4}{25} = 5x$
$x^4 = 125x$
$x^4 - 125x = 0$
$x(x^3 - 125) = 0$
આથી $x = 0$ અથવા $x^3 = 125$,જેનો અર્થ છે $x = 5$.
જો $x = 0$,તો $y = 0$. જો $x = 5$,તો $y = \frac{5^2}{5} = 5$.
છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(5,5)$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા,બંને બિંદુઓ રેખા $x - y = 0$ નું સમાધાન કરે છે.

(A) ધારો કે $P(x, y)$ એ પરવલય પરનું કોઈ બિંદુ છે. $P$ નું નાભિ $S(1, -1)$ થી અંતર એ તેની નિયામિકા $x+y+3=0$ થી લંબ અંતર જેટલું હોય છે.
$\therefore PS = PQ \implies PS^2 = PQ^2$
અંતર સૂત્ર અને લંબ અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$(x-1)^2 + (y+1)^2 = \left(\frac{x+y+3}{\sqrt{1^2+1^2}}\right)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = \frac{(x+y+3)^2}{2}$
$2(x^2 + y^2 - 2x + 2y + 2) = x^2 + y^2 + 9 + 2xy + 6y + 6x$
$2x^2 + 2y^2 - 4x + 4y + 4 = x^2 + y^2 + 2xy + 6x + 6y + 9$
$x^2 + y^2 - 2xy - 10x - 2y - 5 = 0$

(D) પરવલય $y^2=lx$ ની અક્ષ $x$-અક્ષ છે,જેનું સમીકરણ $y=0$ છે.
રેખા $y=mx+c$ એ $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $m=0$ થશે.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $y=c$ બને છે.
આપેલ છે કે રેખા પરવલયને $\left(\frac{c^2}{8}, c\right)$ બિંદુમાં છેદે છે,તેથી આ બિંદુ પરવલયના સમીકરણ $y^2=lx$ નું સમાધાન કરશે.
સમીકરણ $y^2=lx$ માં $y=c$ અને $x=\frac{c^2}{8}$ મૂકતા:
$c^2 = l \left(\frac{c^2}{8}\right)$
$c \neq 0$ ધારીને,બંને બાજુ $c^2$ વડે ભાગતા:
$1 = \frac{l}{8}$
$l = 8$
પરવલય $y^2=lx$ ના નાભિલંબની લંબાઈ $l$ છે.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $8$ છે.