Hyperbola Questions in Gujarati

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $H_{n} \Rightarrow \frac{x^2}{1+n} - \frac{y^2}{3+n} = 1$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{3+n}{1+n}} = \sqrt{\frac{2n+4}{n+1}}$ છે.
$e$ સંમેય સંખ્યા હોવા માટે,$\frac{2n+4}{n+1}$ એ કોઈ સંમેય સંખ્યાનો વર્ગ હોવો જોઈએ.
$n=48$ લેતા,$e = \sqrt{\frac{2(48)+4}{48+1}} = \sqrt{\frac{100}{49}} = \frac{10}{7}$,જે સંમેય છે.
આમ,$k = 48$. નાભિલંબની લંબાઈ $l = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(48+3)}{\sqrt{48+1}} = \frac{102}{7}$ છે.
તેથી,$21l = 21 \times \frac{102}{7} = 306$.

(C) અતિવલય $\frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{16} = 1$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{25 - 16m^2}$ છે.
બિંદુ $P(4, 1)$ માંથી પસાર થતા સ્પર્શક માટે,$1 = 4m \pm \sqrt{25 - 16m^2}$.
આને ઉકેલતા,$4m^2 - m - 3 = 0$ મળે છે,જેના ઉકેલ $m_1 = 1$ અને $m_2 = -3/4$ છે.
બિંદુ $Q$ માટે ઢાળ $|m_1| = 1$ અને $|m_2| = 3/4$ છે.
ધન $x$-અંતઃખંડ માટે સ્પર્શકો $y = x - 3$ અને $y = \frac{3}{4}x - 4$ મળે છે,જ્યાં $\alpha = 16/3$ અને $\beta = 3$ છે.
બંને સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $Q(-4, -7)$ છે.
$PQ^2 = (4 - (-4))^2 + (1 - (-7))^2 = 128$.
તેથી,$\frac{PQ^2}{\alpha \beta} = \frac{128}{16} = 8$.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{A^2} - \frac{y^2}{B^2} = 1$ છે.
આપેલ નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 2, 0)$,તેથી $ae = 2$. $e = \frac{3}{2}$ હોવાથી,$a = \frac{4}{3}$ મળે.
$B^2 = A^2(e^2 - 1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$B^2 = \frac{16}{9}(\frac{9}{4} - 1) = \frac{16}{9} \cdot \frac{5}{4} = \frac{20}{9}$.
રેખા $2x + 3y = 6$ નો ઢાળ $-\frac{2}{3}$ છે. આ રેખાને લંબ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{3}{2}$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{A^2m^2 - B^2}$ છે.
$y = \frac{3}{2}x \pm \sqrt{\frac{16}{9} \cdot \frac{9}{4} - \frac{20}{9}} = \frac{3}{2}x \pm \sqrt{4 - \frac{20}{9}} = \frac{3}{2}x \pm \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{3}{2}x \pm \frac{4}{3}$.
બિંદુ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,આપણે અંતઃખંડ માટે ઋણ ચિહ્ન પસંદ કરીએ છીએ: $y = \frac{3}{2}x - \frac{4}{3}$.
$x$-અંતઃખંડ $a$ માટે,$y=0$ લેતા: $0 = \frac{3}{2}a - \frac{4}{3} \Rightarrow a = \frac{8}{9}$.
$y$-અંતઃખંડ $b$ માટે,$x=0$ લેતા: $b = -\frac{4}{3}$.
તેથી,$|6a| + |5b| = |6(\frac{8}{9})| + |5(-\frac{4}{3})| = \frac{16}{3} + \frac{20}{3} = \frac{36}{3} = 12$.

(C) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ નું નાભિલંબ નાભિ $(ae, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(ae, \frac{b^2}{a})$ અને $(ae, -\frac{b^2}{a})$ છે.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ આગળ આંતરેલો ખૂણો $\frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $\frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$ થાય.
તેથી,$\tan 30^{\circ} = \frac{b^2/a}{ae} = \frac{b^2}{a^2e} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
અહીં $a^2 = 9$ હોવાથી,$a = 3$ મળે. તેથી,$\frac{b^2}{9e} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow b^2 = 3\sqrt{3}e$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{b^2}{9} \Rightarrow b^2 = 9(e^2 - 1)$.
બંને સમીકરણો સરખાવતા: $9(e^2 - 1) = 3\sqrt{3}e \Rightarrow 3e^2 - \sqrt{3}e - 3 = 0$.
$e$ માટે ઉકેલતા: $e = \frac{1 + \sqrt{13}}{2\sqrt{3}}$.
તેથી $b^2 = 3\sqrt{3} \left( \frac{1 + \sqrt{13}}{2\sqrt{3}} \right) = \frac{3}{2}(1 + \sqrt{13})$.
સરખામણી કરતા $l=3, m=2, n=13$ મળે.
તેથી,$l^2+m^2+n^2 = 3^2 + 2^2 + 13^2 = 9 + 4 + 169 = 182$.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ: $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$.
અહીં,$a^2=9$ અને $b^2=4$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e$ માટે $b^2=a^2(e^2-1)$,તેથી $e^2=1+\frac{b^2}{a^2} = 1+\frac{4}{9} = \frac{13}{9}$.
આમ,$e=\frac{\sqrt{13}}{3}$.
બે નાભિઓ $S_1$ અને $S_2$ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 2 \times 3 \times \frac{\sqrt{13}}{3} = 2\sqrt{13}$ છે.
ધારો કે $P = (\alpha, \beta)$. $\Delta PS_1S_2$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (2ae) \times \beta = 2\sqrt{13}$.
$2ae = 2\sqrt{13}$ મૂકતા,$\frac{1}{2} \times (2\sqrt{13}) \times \beta = 2\sqrt{13}$,જે દર્શાવે છે કે $\beta=2$.
$P$ અતિવલય પર હોવાથી,$\frac{\alpha^2}{9}-\frac{\beta^2}{4}=1$. $\beta=2$ મૂકતા,$\frac{\alpha^2}{9}-\frac{4}{4}=1$ $\Rightarrow \frac{\alpha^2}{9}=2$ $\Rightarrow \alpha^2=18$.
ઉગમબિંદુથી $P$ ના અંતરનો વર્ગ $OP^2 = \alpha^2+\beta^2 = 18 + 2^2 = 18+4 = 22$ થાય.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ માટે,$a^2=9$ અને $b^2=25$ છે. $b > a$ હોવાથી,નાભિઓ $y$-અક્ષ પર છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$.
નાભિઓ $(0, \pm 4)$ છે.
અતિવલય માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_H = \frac{15}{8} \times \frac{4}{5} = \frac{3}{2}$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{y^2}{B^2} - \frac{x^2}{A^2} = 1$ સ્વરૂપનું છે.
$Be_H = 4 \implies B = \frac{8}{3}$.
$A^2 = B^2(e_H^2 - 1) = \frac{64}{9} \times (\frac{5}{4}) = \frac{80}{9}$.
બિંદુ $P$ માટે નાભિ અંતર $e_H y \pm B = \frac{3}{2} \times \frac{14}{3} \sqrt{\frac{2}{5}} \pm \frac{8}{3} = 7 \sqrt{\frac{2}{5}} \pm \frac{8}{3}$ છે.
નાનું નાભિ અંતર $7 \sqrt{\frac{2}{5}} - \frac{8}{3}$ છે.

(C) ઉપવલયના નાભિઓ $(\pm 5, 0)$ આપેલ છે,તેથી $ae = 5$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ છે.
$ae = 5$ પરથી,$a = \frac{5}{e}$ મળે.
નાભિલંબના સૂત્રમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{2b^2}{5/e} = 5\sqrt{2} \Rightarrow b^2 = \frac{25\sqrt{2}e}{2}$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1-e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{25\sqrt{2}e}{2} = \frac{25}{e^2}(1-e^2)$ મળે.
સાદુરૂપ આપતા,$\frac{\sqrt{2}e}{2} = \frac{1-e^2}{e^2}$ $\Rightarrow \sqrt{2}e^3 = 2 - 2e^2$ $\Rightarrow \sqrt{2}e^3 + 2e^2 - 2 = 0$.
$e^2$ માટે ઉકેલતા,$a^2 = 50$ અને $b^2 = 25$ મળે છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2b^2} = 1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_1$ એ $e_1^2 = 1 + \frac{a^2b^2}{b^2} = 1 + a^2$ નું પાલન કરે છે.
$a^2 = 50$ હોવાથી,$e_1^2 = 1 + 50 = 51$.

(A) અતિવલય $H$ નું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ લો,જ્યાં $b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
$C_1$ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત છે અને શિરોબિંદુઓ $(\pm a, 0)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $a$ છે. $C_1$ નું ક્ષેત્રફળ $36 \pi$ હોવાથી,$\pi a^2 = 36 \pi$,તેથી $a = 6$.
$C_2$ નાભિ $(ae, 0)$ પર કેન્દ્રિત છે અને શિરોબિંદુ $(a, 0)$ પર સ્પર્શે છે. નાભિ અને શિરોબિંદુ વચ્ચેનું અંતર $|ae - a| = a(e - 1)$ છે. તેથી,$C_2$ ની ત્રિજ્યા $r = a(e - 1)$ છે.
$C_2$ નું ક્ષેત્રફળ $4 \pi$ હોવાથી,$\pi r^2 = 4 \pi$,તેથી $r^2 = 4$,એટલે કે $r = 2$.
$a = 6$ મૂકતા,$6(e - 1) = 2$,તેથી $e - 1 = \frac{1}{3}$,જે $e = \frac{4}{3}$ આપે છે.
હવે,$b^2 = a^2(e^2 - 1) = 36 \left( (\frac{4}{3})^2 - 1 \right) = 36 \left( \frac{16}{9} - 1 \right) = 36 \left( \frac{7}{9} \right) = 28$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 28}{6} = \frac{28}{3}$ છે.

(B) નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 9$ અને નિયામિકા $x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{4}{\sqrt{13}}$ આપેલ છે.
તેથી $a = \frac{4e}{\sqrt{13}}$.
$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ હોવાથી,$\frac{9a}{2} = a^2(e^2 - 1) \Rightarrow \frac{9}{2} = a(e^2 - 1) = \frac{4e}{\sqrt{13}}(e^2 - 1)$.
ઉકેલતા $e = \frac{\sqrt{13}}{2}$ અને $a = 2$ મળે,તેથી $b^2 = 9$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$ છે.
સ્પર્શક $y = \sqrt{3}x - \sqrt{3}$ માટે સ્પર્શકતાની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ ચકાસતા $(-\sqrt{3})^2 = 4(3) - 9 = 3$ મળે છે.
સ્પર્શબિંદુ $(x_0, y_0) = (4, 3\sqrt{3})$ છે.
નાભિ અંતરોનો ગુણાકાર $m = e^2x_0^2 - a^2 = \frac{13}{4}(16) - 4 = 48$.
તેથી $4e^2 + m = 4(\frac{13}{4}) + 48 = 13 + 48 = 61$.

(B) અતિવલય $H: \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ માટે ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{3}$ છે.
$e^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2}$ $\Rightarrow 3 = 1 + \frac{a^2}{b^2}$ $\Rightarrow a^2 = 2b^2$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2a^2}{b} = 4\sqrt{3}$ છે.
$a^2 = 2b^2$ મૂકતા,$\frac{4b^2}{b} = 4b = 4\sqrt{3} \Rightarrow b = \sqrt{3}$ અને $b^2 = 3$.
તેથી $a^2 = 6$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{y^2}{3} - \frac{x^2}{6} = 1$ છે.
બિંદુ $(\alpha, 6)$ $H$ પર હોવાથી,$\frac{36}{3} - \frac{\alpha^2}{6} = 1$ $\Rightarrow 12 - \frac{\alpha^2}{6} = 1$ $\Rightarrow \alpha^2 = 66$.
નાભિઓ $(0, \pm 3)$ છે.
નાભિ અંતરો $d_1, d_2 = |ey \pm b| = |\sqrt{3}(6) \pm \sqrt{3}| = 7\sqrt{3}$ અને $5\sqrt{3}$ છે.
$\beta = d_1 d_2 = 35 \cdot 3 = 105$.
તેથી,$\alpha^2 + \beta = 66 + 105 = 171$.

(C) અતિવલય $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{5}=1$ માટે,$a^2=3$ અને $b^2=5$ છે. ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+\frac{5}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}}$.
નાભિ $S$ એ $(ae, 0) = (\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{8}{3}}, 0) = (\sqrt{8}, 0)$ છે.
વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $A(\sqrt{6}, \sqrt{5})$ છે અને તે $S(\sqrt{8}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ અંતર $AS = \sqrt{(\sqrt{8}-\sqrt{6})^2 + (0-\sqrt{5})^2} = \sqrt{8+6-2\sqrt{48}+5} = \sqrt{19-8\sqrt{3}}$ છે.
કારણ કે $SAB$ એ વ્યાસ છે,$B$ એવું બિંદુ છે કે જેથી $A$ એ $SB$ નું મધ્યબિંદુ થાય. તેથી,$B = 2A - S = (2\sqrt{6}-\sqrt{8}, 2\sqrt{5})$.
ત્રિકોણ $OSB$ ના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$S(\sqrt{8}, 0)$,અને $B(2\sqrt{6}-\sqrt{8}, 2\sqrt{5})$ છે.
$\triangle OSB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times OS \times y_B = \frac{1}{2} \times \sqrt{8} \times 2\sqrt{5} = \sqrt{40}$.
ક્ષેત્રફળનો વર્ગ $(\sqrt{40})^2 = 40$ થાય.

(B) ઉપવલય $E: \frac{(x-1)^2}{100}+\frac{(y-1)^2}{75}=1$ માટે,$a^2=100$ અને $b^2=75$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e_1 = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1-\frac{75}{100}} = \sqrt{\frac{25}{100}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ છે.
ઉપવલયના નાભિઓ $(h \pm ae_1, k) = (1 \pm 10 \times \frac{1}{2}, 1) = (1 \pm 5, 1)$ છે,જે $F_1(6, 1)$ અને $F_2(-4, 1)$ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae_1 = 10$ છે.
અતિવલય $H$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_2 = \frac{1}{e_1} = 2$ છે.
અતિવલયના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae_2 = 10$ છે,તેથી $2a(2) = 10$,જે $a = \frac{5}{2}$ આપે છે.
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $\alpha = 2a = 5$ છે.
અતિવલય માટે,$b^2 = a^2(e_2^2-1) = a^2(2^2-1) = 3a^2$ છે.
તેથી,$b = a\sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$ છે.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $\beta = 2b = 5\sqrt{3}$ છે.
તેથી,$3\alpha^2 + 2\beta^2 = 3(5)^2 + 2(5\sqrt{3})^2 = 3(25) + 2(75) = 75 + 150 = 225$.

(A) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ છે.
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 3$ મળે.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$ છે.
નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 1, 0)$ છે.
અતિવલય માટે,મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a_1 = 2 \sin \theta$,તેથી $a_1 = \sin \theta$.
અતિવલય સહ-નાભિ હોવાથી,તેની નાભિઓ $(\pm a_1 e_1, 0) = (\pm 1, 0)$ છે,તેથી $a_1 e_1 = 1$.
આમ,$e_1 = \operatorname{cosec} \theta$.
અતિવલય માટે,$b_1^2 = a_1^2 (e_1^2 - 1) = \sin^2 \theta (\operatorname{cosec}^2 \theta - 1) = \cos^2 \theta$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{\sin^2 \theta} - \frac{y^2}{\cos^2 \theta} = 1$ અથવા $x^2 \operatorname{cosec}^2 \theta - y^2 \sec^2 \theta = 1$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{(x - \sqrt{2})^2}{4} - \frac{(y + \sqrt{2})^2}{2} = 1$ છે.
અહીં $a = 2, b = \sqrt{2}$ અને ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{\frac{3}{2}}$ છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times a(e - 1) \times \frac{b^2}{a} = \frac{1}{2} \times (\sqrt{6} - 2) \times 1 = \sqrt{\frac{3}{2}} - 1$.

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ છે.
આપેલ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{16} = 1$ માટે,$b^2 = 16$ છે.
આપેલ સ્પર્શક $2x - y + 1 = 0$ છે,જેને $y = 2x + 1$ તરીકે લખી શકાય.
આને $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,$m = 2$ અને $c = 1$ મળે છે.
સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1^2 = a^2(2)^2 - 16$.
$1 = 4a^2 - 16 \Rightarrow 4a^2 = 17 \Rightarrow a^2 = \frac{17}{4} \Rightarrow a = \frac{\sqrt{17}}{2}$.
હવે,આપણે કાટકોણ ત્રિકોણ માટે બાજુઓ તપાસીએ (જ્યાં બે નાની બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો સૌથી મોટી બાજુના વર્ગ જેટલો હોય):
$[A]$ $2a = \sqrt{17} \approx 4.12, 4, 1$. બાજુઓ: $\sqrt{17}, 4, 1$. $1^2 + 4^2 = 17 = (\sqrt{17})^2$. આ કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
$[B]$ $2a = \sqrt{17}, 8, 1$. બાજુઓ: $\sqrt{17}, 8, 1$. $1^2 + (\sqrt{17})^2 = 18 \neq 8^2 = 64$. કાટકોણ ત્રિકોણ નથી.
$[C]$ $a = \frac{\sqrt{17}}{2} \approx 2.06, 4, 1$. બાજુઓ: $2.06, 4, 1$. $1^2 + 2.06^2 \approx 5.24 \neq 4^2 = 16$. કાટકોણ ત્રિકોણ નથી.
$[D]$ $a = \frac{\sqrt{17}}{2}, 4, 2$. બાજુઓ: $2.06, 4, 2$. $2^2 + 2.06^2 \approx 8.24 \neq 4^2 = 16$. કાટકોણ ત્રિકોણ નથી.
આમ,વિકલ્પો $B, C,$ અને $D$ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ હોઈ શકે નહીં.

(B) રેખાનું સમીકરણ $y = -2x + 1$ છે,તેથી ઢાળ $m = -2$ છે.
નજીકની નિયામિકા $x = \frac{a}{e}$ છે. નિયામિકા અને $x$-અક્ષનું છેદબિંદુ $(\frac{a}{e}, 0)$ છે.
રેખા $(\frac{a}{e}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0 = -2(\frac{a}{e}) + 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{2a}{e} = 1$,અથવા $a = \frac{e}{2}$.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે રેખા $y = mx + c$ સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
અહીં $c = 1$ અને $m = -2$ છે,તેથી $1^2 = a^2(-2)^2 - b^2$,જે $1 = 4a^2 - b^2$ આપે છે.
$a^2 = \frac{e^2}{4}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $1 = 4(\frac{e^2}{4}) - b^2$,તેથી $1 = e^2 - b^2$,જેનો અર્થ છે $b^2 = e^2 - 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અતિવલય માટે $b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
$b^2 = e^2 - 1$ ને આમાં મૂકતા,આપણને $e^2 - 1 = a^2(e^2 - 1)$ મળે છે.
$e > 1$ હોવાથી,$e^2 - 1 \neq 0$,તેથી $a^2 = 1$,જેનો અર્થ છે $a = 1$.
$a = \frac{e}{2}$ હોવાથી,$1 = \frac{e}{2}$,તેથી $e = 2$.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ માટે,$a_e^2 = 4$ અને $b_e^2 = 1$ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e_e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_h = \frac{1}{e_e} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,$e_h^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} \implies \frac{4}{3} = 1 + \frac{b^2}{a^2} \implies a^2 = 3b^2$.
ઉપવલયની નાભિ $(\pm \sqrt{3}, 0)$ છે. અતિવલય $(\sqrt{3}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $a^2 = 3$ અને $b^2 = 1$ મળે.
અતિવલયનું સમીકરણ $x^2 - 3y^2 = 3$ છે. નાભિ $(2, 0)$ છે.
તેથી,$(B, D)$ સાચો વિકલ્પ છે.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} + \frac{b^2y}{y_1} = a^2 + b^2$ છે.
$(x_1, y_1) = (6, 3)$ મુકતા,અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{6} + \frac{b^2y}{3} = a^2 + b^2$ મળે.
આ અભિલંબ $(9, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 9$ અને $y = 0$ મુકતા:
$\frac{a^2(9)}{6} + \frac{b^2(0)}{3} = a^2 + b^2$
$\frac{3a^2}{2} = a^2 + b^2$
$\frac{a^2}{2} = b^2 \Rightarrow a^2 = 2b^2$.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
$a^2 = 2b^2$ મુકતા:
$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{2b^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.

(D) રેખા $2x - y = 1$ નો ઢાળ $m = 2$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ છે.
અહીં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ છે,તેથી સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = 2x \pm \sqrt{9(2)^2 - 4} = 2x \pm \sqrt{32} = 2x \pm 4\sqrt{2}$ મળે.
સ્પર્શબિંદુ $(x_1, y_1)$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\left(\frac{a^2m}{c}, \frac{b^2}{c}\right)$ છે.
$c = 4\sqrt{2}$ માટે,બિંદુ $\left(\frac{9(2)}{4\sqrt{2}}, \frac{4}{4\sqrt{2}}\right) = \left(\frac{9}{2\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ મળે,જે $(A)$ છે.
$c = -4\sqrt{2}$ માટે,બિંદુ $\left(-\frac{9}{2\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ મળે,જે $(B)$ છે.
આમ,સ્પર્શબિંદુઓ $(A)$ અને $(B)$ છે.

(A) અનુબદ્ધ અક્ષના શિરોબિંદુઓ $L(0, b)$ અને $M(0, -b)$ છે. અતિવલયનું શિરોબિંદુ $N(a, 0)$ છે.
અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ $LM = 2b$.
$\triangle LMN$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (2b) \times a = ab = 4\sqrt{3}$.
$\angle LNM = 60^{\circ}$ હોવાથી,ખૂણો $\angle LNO = 30^{\circ}$ (જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે).
$\triangle LNO$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{OL}{ON} = \frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $a = b\sqrt{3}$.
$a = b\sqrt{3}$ ને $ab = 4\sqrt{3}$ માં મૂકતા,આપણને $b(b\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}$ $\Rightarrow b^2 = 4$ $\Rightarrow b = 2$ મળે છે.
તેથી $a = 2\sqrt{3}$.
$P$. અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ $= 2b = 2(2) = 4$.
$Q$. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{4}{12}} = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
$R$. નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $= 2ae = 2(2\sqrt{3})(\frac{2}{\sqrt{3}}) = 8$.
$S$. નાભિલંબની લંબાઈ $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2(4)}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$.
આમ,$P$ $\rightarrow 4, Q$ $\rightarrow 3, R$ $\rightarrow 1, S$ $\rightarrow 2$.

(A, D) $P$ આગળનો અભિલંબ યામ અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ બનાવે છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $-1$ છે. આમ,$P$ આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ $1$ છે.
સ્પર્શક બિંદુ $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $1$ છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y - 0 = 1(x - 1)$,એટલે કે $x - y = 1$ છે.
$P(x_1, y_1)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ છે. આને $x - y = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{x_1}{a^2} = 1$ અને $\frac{y_1}{b^2} = 1$ મળે છે,તેથી $x_1 = a^2$ અને $y_1 = b^2$.
$P(a^2, b^2)$ એ અતિવલય પર હોવાથી,$\frac{(a^2)^2}{a^2} - \frac{(b^2)^2}{b^2} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $a^2 - b^2 = 1$ થાય છે.
$P(a^2, b^2)$ આગળના અભિલંબનો ઢાળ $-1$ છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y - b^2 = -1(x - a^2)$,એટલે કે $x + y = a^2 + b^2$ છે.
અભિલંબનો $x$-અંતઃખંડ $x = a^2 + b^2$ છે. સ્પર્શક $x - y = 1$ નો $x$-અંતઃખંડ $x = 1$ છે.
ત્રિકોણ સ્પર્શક,અભિલંબ અને $x$-અક્ષ દ્વારા બને છે. પાયો $x$-અંતઃખંડો વચ્ચેનું અંતર છે: $(a^2 + b^2) - 1 = (a^2 - 1) + b^2 = b^2 + b^2 = 2b^2$. ઊંચાઈ $P$ નો $y$-યામ છે,જે $b^2$ છે.
આમ,$\Delta = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times (2b^2) \times b^2 = b^4$. તેથી $(D)$ સાચું છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે,$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{a^2 - 1}{a^2} = 2 - \frac{1}{a^2}$.
$a > 1$ હોવાથી,$0 < \frac{1}{a^2} < 1$,તેથી $1 < 2 - \frac{1}{a^2} < 2$,જેનો અર્થ છે કે $1 < e^2 < 2$,તેથી $1 < e < \sqrt{2}$. આમ $(A)$ સાચું છે.

(B) અતિવલય $H: x^2 - y^2 = 1$ ના બિંદુ $P(x_1, y_1)$ આગળનો સ્પર્શક $xx_1 - yy_1 = 1$ છે.
$y = 0$ લેતા,$x$-અક્ષ સાથેનું છેદબિંદુ $M(\frac{1}{x_1}, 0)$ મળે છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{x_1}{y_1}$ છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{y_1}{x_1}$ થાય.
અભિલંબ કેન્દ્ર $N(x_2, 0)$ અને $P(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $-\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_1 - 0}{x_1 - x_2}$.
આનું સાદું રૂપ $x_2 - x_1 = x_1$ એટલે કે $x_2 = 2x_1$ મળે છે. આમ $N = (2x_1, 0)$.
$\triangle PMN$ ના શિરોબિંદુઓ $P(x_1, y_1)$,$M(\frac{1}{x_1}, 0)$,અને $N(2x_1, 0)$ માટે મધ્યકેન્દ્ર $(l, m)$ એ $l = \frac{x_1 + \frac{1}{x_1} + 2x_1}{3} = x_1 + \frac{1}{3x_1}$ અને $m = \frac{y_1}{3}$ થાય.
વિકલન કરતા:
$\frac{dl}{dx_1} = 1 - \frac{1}{3x_1^2}$,જે વિકલ્પ $(A)$ છે.
$y_1 = \sqrt{x_1^2 - 1}$ હોવાથી,$\frac{dm}{dx_1} = \frac{1}{3} \frac{dy_1}{dx_1} = \frac{x_1}{3\sqrt{x_1^2 - 1}}$,જે વિકલ્પ $(B)$ છે.
$\frac{dm}{dy_1} = \frac{1}{3}$,જે વિકલ્પ $(D)$ છે.
તેથી,સાચા વિકલ્પો $(A, B, D)$ છે.

(C) અતિવલય $\frac{x^2}{100}-\frac{y^2}{64}=1$ માટે,$a^2=100$ અને $b^2=64$ છે. નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 2\sqrt{164} = 4\sqrt{41}$ છે.
અતિવલયના ગુણધર્મ મુજબ,$S_1P - SP = 2a = 20$. ધારો કે $SP = r$. તો $S_1P = r+20$,તેથી $\beta = r+20$.
$\triangle SPP_1$ માં,$\angle SPP_1 = \frac{\alpha}{2}$ છે.
$\triangle SPP_1$ માં,$\delta = SP \sin(\angle SPP_1) = r \sin \frac{\alpha}{2}$.
$\triangle SPS_1$ માં કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ગણતરી કરતા $\frac{\beta \delta}{9} \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{64}{9} \approx 7.11$ મળે છે.
તેથી,મહત્તમ પૂર્ણાંક $7$ છે.

(C) નાભિઓ $F_1 = (1, 14)$ અને $F_2 = (1, -12)$ છે. અતિવલયનું કેન્દ્ર નાભિઓનું મધ્યબિંદુ છે: $(\frac{1+1}{2}, \frac{14-12}{2}) = (1, 1)$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = \sqrt{(1-1)^2 + (14 - (-12))^2} = 26$,તેથી $ae = 13$.
અતિવલય $(1, 6)$ માંથી પસાર થાય છે. મુખ્ય અક્ષ શિરોલંબ હોવાથી,અતિવલય પરના બિંદુ $P$ માટે $|PF_1 - PF_2| = 2a$.
$PF_1 = 8$ અને $PF_2 = 18$.
$2a = |8 - 18| = 10$,તેથી $a = 5$.
$ae = 13$ હોવાથી,$5e = 13$,એટલે કે $e = \frac{13}{5}$.
અતિવલય માટે,$b^2 = a^2(e^2 - 1) = (ae)^2 - a^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$.
તેથી,$b^2 = 144$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 144}{5} = \frac{288}{5}$.

(D) $H_1: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે,નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 15\sqrt{2}$ અને $e_1^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = \frac{5}{2}$ છે.
$e_1^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = \frac{5}{2}$ પરથી,આપણને $\frac{b^2}{a^2} = \frac{3}{2}$ મળે છે,તેથી $b^2 = \frac{3}{2}a^2$.
નાભિલંબના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{2(\frac{3}{2}a^2)}{a} = 15\sqrt{2} \implies 3a = 15\sqrt{2} \implies a = 5\sqrt{2}$.
તેથી $b^2 = \frac{3}{2}(50) = 75$,એટલે કે $b = 5\sqrt{3}$.
$H_1$ ની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 10\sqrt{2}$ છે.
$H_2: \frac{y^2}{B^2}-\frac{x^2}{A^2}=1$ માટે,નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2A^2}{B} = 12\sqrt{5}$ છે.
મુખ્ય અક્ષોનો ગુણાકાર $(2a)(2B) = 100\sqrt{10}$ છે.
$(10\sqrt{2})(2B) = 100\sqrt{10} \implies 20\sqrt{2}B = 100\sqrt{10} \implies B = 5\sqrt{5}$.
$\frac{2A^2}{B} = 12\sqrt{5}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{2A^2}{5\sqrt{5}} = 12\sqrt{5} \implies 2A^2 = 60(5) = 300 \implies A^2 = 150$ મળે છે.
$H_2$ માટે,$e_2^2 = 1 + \frac{A^2}{B^2} = 1 + \frac{150}{125} = 1 + \frac{6}{5} = \frac{11}{5}$ છે.
તેથી,$25e_2^2 = 25 \times \frac{11}{5} = 55$.

(C) આપેલ છે કે નાભિ $ae = \sqrt{10}$ અને નિયામિકા $\frac{a}{e} = \frac{9}{\sqrt{10}}$.
બંનેનો ગુણાકાર કરતા,$a^2 = \sqrt{10} \times \frac{9}{\sqrt{10}} = 9$,તેથી $a = 3$.
ત્યારબાદ $e = \frac{\sqrt{10}}{a} = \frac{\sqrt{10}}{3}$.
અતિવલય માટે,$b^2 = a^2(e^2 - 1) = a^2e^2 - a^2 = (ae)^2 - a^2$.
કિંમતો મૂકતા,$b^2 = 10 - 9 = 1$.
નાભિલંબની લંબાઈ $l = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(1)}{3} = \frac{2}{3}$.
હવે,$9(e^2 + l) = 9\left(\left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^2 + \frac{2}{3}\right) = 9\left(\frac{10}{9} + \frac{2}{3}\right) = 10 + 6 = 16$.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના બિંદુ $P$ માટે નાભિ અંતરોનો ગુણાકાર $PS_1 \cdot PS_2 = b^2 + \frac{b^2}{a^2}x_1^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ છે કે $PS_1 \cdot PS_2 = 32$ અને $P(4, 2\sqrt{3})$,તેથી $b^2 + \frac{b^2}{a^2}(16) = 32 \Rightarrow b^2(\frac{a^2+16}{a^2}) = 32$.
બિંદુ $P$ અતિવલય પર હોવાથી,$\frac{16}{a^2} - \frac{12}{b^2} = 1 \Rightarrow b^2 = \frac{12a^2}{16-a^2}$.
આ કિંમત મૂકતા,$a^2 = 8$ અને $b^2 = 12$ મળે છે.
$p = 2b = 4\sqrt{3} \Rightarrow p^2 = 48$.
$q = \frac{2b^2}{a} = 6\sqrt{2} \Rightarrow q^2 = 72$.
$p^2 + q^2 = 48 + 72 = 120$.

(A) અતિવલયનું કેન્દ્ર નાભિઓ $(4,2)$ અને $(8,2)$ નું મધ્યબિંદુ છે,જે $C = (6,2)$ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 4$ છે,તેથી $ae = 2$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{(x-6)^2}{a^2} - \frac{(y-2)^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $b^2 = 4 - a^2$.
આપેલ સમીકરણ $3x^2 - y^2 - \alpha x + \beta y + \gamma = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ફેરવતા,કેન્દ્ર $(\frac{\alpha}{6}, \frac{\beta}{2}) = (6,2)$ મળે છે,તેથી $\alpha = 36$ અને $\beta = 4$.
સમીકરણ $3(x-6)^2 - (y-2)^2 = 104 - \gamma$ બને છે.
અતિવલયના ગુણધર્મો મુજબ,$104 - \gamma = 3$ લેતા $\gamma = 101$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma = 36 + 4 + 101 = 141$.

(C) અતિવલય પરના બિંદુ $P(x, y)$ ના નાભિ અંતરોનો સરવાળો $2ex = 8\sqrt{\frac{5}{3}}$ છે.
$x = 4$ આપેલ હોવાથી,$2e(4) = 8\sqrt{\frac{5}{3}}$,જેનો અર્થ છે કે $e = \sqrt{\frac{5}{3}}$.
$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ હોવાથી,$\frac{5}{3} = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ $\Rightarrow \frac{b^2}{a^2} = \frac{2}{3}$ $\Rightarrow b^2 = \frac{2}{3}a^2$.
બિંદુ $P(4, 3)$ ને અતિવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{16}{a^2} - \frac{9}{b^2} = 1$.
$b^2 = \frac{2}{3}a^2$ મૂકતા: $\frac{16}{a^2} - \frac{9}{(2/3)a^2} = 1$ $\Rightarrow \frac{16}{a^2} - \frac{27}{2a^2} = 1$ $\Rightarrow \frac{32 - 27}{2a^2} = 1$ $\Rightarrow 2a^2 = 5$ $\Rightarrow a^2 = \frac{5}{2}$.
તેથી $b^2 = \frac{2}{3} \times \frac{5}{2} = \frac{5}{3}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $l = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(5/3)}{\sqrt{5/2}} = \frac{10}{3} \times \sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{2\sqrt{10}}{3}$.
$l^2 = \frac{4 \times 10}{9} = \frac{40}{9} \Rightarrow 9l^2 = 40$.
નાભિ અંતરોનો ગુણાકાર $m = e^2x^2 - a^2 = \frac{5}{3}(16) - \frac{5}{2} = \frac{80}{3} - \frac{5}{2} = \frac{160 - 15}{6} = \frac{145}{6}$.
આમ,$6m = 145$.
અંતે,$9l^2 + 6m = 40 + 145 = 185$.

(C) ધારો કે નાભિઓ $F_1(-ae, 0)$ અને $F_2(ae, 0)$ છે. આપેલ છે કે $F_1 = P(-3, 0)$,તેથી $ae = 3$.
લેટસ રેક્ટમ $F_2(ae, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેના અંતિમ બિંદુઓ $L_1(ae, b^2/a)$ અને $L_2(ae, -b^2/a)$ છે.
ખૂણો $\angle L_1 P L_2 = 90^\circ$. ત્રિકોણ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,ખૂણો $\angle L_1 P F_2 = 45^\circ$.
$\triangle L_1 P F_2$ માં,$\tan 45^\circ = \frac{L_1 F_2}{P F_2} = \frac{b^2/a}{2ae} = 1$.
આમ,$b^2 = 2a(ae) = 2a(3) = 6a$.
હાયપરબોલાના ગુણધર્મ $b^2 = a^2(e^2 - 1) = a^2e^2 - a^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $6a = 9 - a^2$ મળે છે,તેથી $a^2 + 6a - 9 = 0$.
$a$ માટે ઉકેલતા,$a = -3 \pm 3\sqrt{2}$. $a > 0$ હોવાથી,$a = 3\sqrt{2} - 3$.
પછી $a^2 = 27 - 18\sqrt{2}$ અને $b^2 = 18\sqrt{2} - 18$.
$a^2b^2 = (27 - 18\sqrt{2})(18\sqrt{2} - 18) = 810\sqrt{2} - 1134$.
$\alpha\sqrt{2} - \beta$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 810$ અને $\beta = 1134$.
તેથી,$\alpha + \beta = 810 + 1134 = 1944$.

(D) આપેલ નાભિ $S = (-5, 0)$ અને નિયામિકા $x = -9/5$ છે. નાભિ $x$-અક્ષ પર હોવાથી,અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
$ae = 5$ અને $\frac{a}{e} = \frac{9}{5}$.
બંનેનો ગુણાકાર કરતા: $a^2 = 9 \Rightarrow a = 3$.
તેથી $e = 5/3$. $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ હોવાથી,$b^2 = 9(\frac{25}{9} - 1) = 16$,તેથી $b = 4$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ છે.
અતિવલય પરના બિંદુ $(\alpha, 2\sqrt{5})$ માટે: $\frac{\alpha^2}{9} - \frac{20}{16} = 1$ $\Rightarrow \frac{\alpha^2}{9} = 1 + \frac{5}{4} = \frac{9}{4}$ $\Rightarrow \alpha^2 = \frac{81}{4}$.
બિંદુ $P(x, y)$ ના નાભિ અંતરો $r_1 = |ex - a|$ અને $r_2 = |ex + a|$ છે.
ગુણાકાર $p = |e^2x^2 - a^2| = |\frac{25}{9} \cdot \frac{81}{4} - 9| = |\frac{225}{4} - 9| = |\frac{225 - 36}{4}| = \frac{189}{4}$.
આમ,$4p = 4 \cdot \frac{189}{4} = 189$.

(A) આપેલ રેખાઓ: $4x - 3y = 12\alpha$ અને $4\alpha x + 3\alpha y = 12$.
બંને સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતા: $(4x - 3y)(4\alpha x + 3\alpha y) = 144\alpha \implies 16\alpha x^2 - 9\alpha y^2 = 144\alpha$.
$\alpha$ વડે ભાગતા: $16x^2 - 9y^2 = 144 \implies \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$. આ અતિવલય $S$ છે.
રેખા $4x - \frac{3}{\sqrt{2}}y = 0$ નો ઢાળ $m = \frac{4\sqrt{2}}{3}$ છે.
અતિવલય માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ છે.
અહીં $a^2 = 9, b^2 = 16$, તેથી $y = \frac{4\sqrt{2}}{3}x \pm 4$.
સ્પર્શક $(p, 0)$ અને $(0, q)$ માંથી પસાર થાય છે, તેથી $y = -\frac{q}{p}x + q$.
સરખામણી કરતા, $q = 4$ અને $-\frac{q}{p} = \frac{4\sqrt{2}}{3} \implies p = -\frac{3}{\sqrt{2}}$.
તેથી, $pq = -6\sqrt{2}$.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $3x^2 - y^2 = 8$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$6x - 2y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{3x}{y}$.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{3x}{y}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી હોય છે,એટલે કે $-\frac{y}{3x}$.
અભિલંબ રેખા $x + 3y = 10$ ને સમાંતર છે,જેનો ઢાળ $-\frac{1}{3}$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $-\frac{y}{3x} = -\frac{1}{3} \Rightarrow y = x$.
$y = x$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $3x^2 - x^2 = 8 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
આમ,બિંદુઓ $(2, 2)$ અને $(-2, -2)$ મળે છે.
બિંદુ $(2, 2)$ માટે,અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 2) \Rightarrow 3y - 6 = -x + 2 \Rightarrow x + 3y - 8 = 0$.
બિંદુ $(-2, -2)$ માટે,અભિલંબનું સમીકરણ $y + 2 = -\frac{1}{3}(x + 2) \Rightarrow 3y + 6 = -x - 2 \Rightarrow x + 3y + 8 = 0$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$x + 3y + 8 = 0$ સાચો જવાબ છે.

(A) આપેલ અતિવલય $\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{2}=1$ છે. અહીં,$a^{2}=3$ અને $b^{2}=2$ છે.
$y-x+5=0$ ને સમાંતર સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=x+c$ સ્વરૂપમાં હોય.
$y=mx+c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m=1$ મળે છે.
રેખા $y=mx+c$ એ અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^{2}=a^{2}m^{2}-b^{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$c^{2}=3(1)^{2}-2 = 3-2 = 1$.
આમ,$c=\pm 1$.
સ્પર્શકોના સમીકરણો $y=x+1$ અથવા $y=x-1$ છે,જેને $x-y+1=0$ અથવા $x-y-1=0$ તરીકે લખી શકાય છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$x-y-1=0$ એ સાચો વિકલ્પ છે.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ માટે,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 9$ છે.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રિયતા $e_e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$ છે.
તેથી,નાભિઓ $(\pm 4, 0)$ છે.
અતિવલય માટે,$ae_h = 4$ અને $e_h = 2$ હોવાથી,$a = 2$ મળે.
અતિવલય માટે $b^2 = a^2(e_h^2 - 1) = 4(4 - 1) = 12$ મળે.
તેથી,અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$ થાય.

(B) ધારો કે $y=mx+c$ એ અતિવલય $9x^{2}-16y^{2}=144$ અને વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=9$ નો સામાન્ય સ્પર્શક છે.
અતિવલયને $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ તરીકે લખતા,$a^{2}=16$ અને $b^{2}=9$ મળે.
$y=mx+c$ એ અતિવલયનો સ્પર્શક હોવાની શરત $c^{2}=a^{2}m^{2}-b^{2}$ છે,તેથી $c^{2}=16m^{2}-9$ $(i)$.
$y=mx+c$ એ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=3^{2}$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $c^{2}=r^{2}(1+m^{2})$ છે,તેથી $c^{2}=9(1+m^{2})$ (ii).
$(i)$ અને (ii) ને સરખાવતા: $16m^{2}-9=9+9m^{2}$.
$7m^{2}=18$ $\Rightarrow m^{2}=\frac{18}{7}$ $\Rightarrow m=\pm 3\sqrt{\frac{2}{7}}$.
$m^{2}=\frac{18}{7}$ ની કિંમત (ii) માં મૂકતા: $c^{2}=9(1+\frac{18}{7})=9(\frac{25}{7})=\frac{225}{7}$.
તેથી,$c=\pm \frac{15}{\sqrt{7}}$.
આમ,સામાન્ય સ્પર્શક $y=3\sqrt{\frac{2}{7}}x+\frac{15}{\sqrt{7}}$ છે.

(C) આપેલ અતિવલય $16x^{2}-9y^{2}=144$ છે. $144$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ મળે છે.
અહીં,$a^{2}=9$ અને $b^{2}=16$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ એ $b^{2}=a^{2}(e^{2}-1)$ દ્વારા મળે છે,તેથી $16=9(e^{2}-1)$,જે $e^{2}-1=\frac{16}{9}$ આપે છે,તેથી $e^{2}=\frac{25}{9}$,$e=\frac{5}{3}$.
અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ની નિયામિકાઓ $x=\pm \frac{a}{e}$ છે.
અહીં,$a=3$ અને $e=\frac{5}{3}$ છે,તેથી $x=\pm \frac{3}{5/3} = \pm \frac{9}{5}$.
આમ,$5x-9=0$ અને $5x+9=0$.
સંયુક્ત સમીકરણ $(5x-9)(5x+9)=0$ છે,જે $25x^{2}-81=0$ થાય છે.
આને $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=25, h=0, b=0, g=0, f=0, c=-81$ મળે છે.
તેથી,$g+f-c = 0+0-(-81) = 81$.

(C) ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
તે $(3,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{3^2}{a^2} - \frac{0^2}{b^2} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 9$.
હવે,સમીકરણ $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
તે $(3\sqrt{2}, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$\frac{(3\sqrt{2})^2}{9} - \frac{2^2}{b^2} = 1$
$\frac{18}{9} - \frac{4}{b^2} = 1$
$2 - \frac{4}{b^2} = 1$
$1 = \frac{4}{b^2} \implies b^2 = 4$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$e = \sqrt{1 + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $16x^{2} - 3y^{2} - 32x - 12y - 44 = 0$
પદોને ગોઠવતા: $16(x^{2} - 2x) - 3(y^{2} + 4y) = 44$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $16(x^{2} - 2x + 1) - 3(y^{2} + 4y + 4) = 44 + 16 - 12$
$16(x - 1)^{2} - 3(y + 2)^{2} = 48$
$48$ વડે ભાગતા: $\frac{(x - 1)^{2}}{3} - \frac{(y + 2)^{2}}{16} = 1$
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{(x - h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2} = 3$ અને $b^{2} = 16$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}}$
$e = \sqrt{1 + \frac{16}{3}} = \sqrt{\frac{3 + 16}{3}} = \sqrt{\frac{19}{3}}$.

(B) અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ પરના બિંદુ $P$ ના પ્રચલ યામ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ છે.
નાભિઓ $S(ae, 0)$ અને $S^{\prime}(-ae, 0)$ છે,જ્યાં ઉત્કેન્દ્રિયતા $e$ માટે $e^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}$ એટલે કે $a^{2}e^{2} = a^{2} + b^{2}$.
અંતર સૂત્ર મુજબ $SP = |ae \sec \theta - a|$ અને $S^{\prime}P = |ae \sec \theta + a|$.
તેથી,$SP \cdot S^{\prime}P = |a^{2}e^{2} \sec ^{2} \theta - a^{2}|$.
$a^{2}e^{2} = a^{2} + b^{2}$ મૂકતા,$SP \cdot S^{\prime}P = |(a^{2} + b^{2}) \sec ^{2} \theta - a^{2}| = |a^{2}(\sec ^{2} \theta - 1) + b^{2} \sec ^{2} \theta| = a^{2} \tan ^{2} \theta + b^{2} \sec ^{2} \theta$.

(D) લંબકોણીય અતિવલયનું સમીકરણ $x^2 - y^2 = a^2$ છે,જેને $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a$ અને અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ $2a$ સમાન છે.
તેથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{a^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $9x^{2} - 36x - 16y^{2} + 96y - 252 = 0$
$x$ અને $y$ પદોને જૂથમાં લેતા: $9(x^{2} - 4x) - 16(y^{2} - 6y) = 252$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$9(x^{2} - 4x + 4) - 16(y^{2} - 6y + 9) = 252 + 36 - 144$
$9(x - 2)^{2} - 16(y - 3)^{2} = 144$
$144$ વડે ભાગતા: $\frac{(x - 2)^{2}}{16} - \frac{(y - 3)^{2}}{9} = 1$
અતિવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{(x - h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1$ છે,જ્યાં $(h, k)$ એ કેન્દ્ર છે.
સરખામણી કરતા,કેન્દ્ર $(2, 3)$ મળે છે.

(A) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $25x^2 - 9y^2 = 225$ છે.
બંને બાજુ $225$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{25} = 1$.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 25$ મળે છે.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ શોધવાનું સૂત્ર $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$e = \sqrt{1 + \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{34}{9}} = \frac{\sqrt{34}}{3}$.

(B) અનુપ્રસ્થ અક્ષની લંબાઈ $2a = 6$ આપેલ છે,તેથી $a = 3$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \frac{8}{3}$ આપેલ છે.
$a = 3$ કિંમત મૂકતા: $\frac{2b^2}{3} = \frac{8}{3} \implies 2b^2 = 8 \implies b^2 = 4$.
અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
$a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ મળે છે.
$36$ વડે ગુણતા,$4x^2 - 9y^2 = 36$ મળે છે.

(B) આપેલ અતિવલય $x^2 - y^2 = a^2$ છે,જે $e = \sqrt{2}$ ઉત્કેન્દ્રતા ધરાવતો લંબ અતિવલય છે.
નાભિઓ $S(a\sqrt{2}, 0)$ અને $S'(-a\sqrt{2}, 0)$ છે.
અતિવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x_1, y_1)$ માટે,નાભિ અંતર $SP = |\sqrt{2}x_1 - a|$ અને $S'P = |\sqrt{2}x_1 + a|$ થાય.
તેથી,$SP \cdot S'P = |2x_1^2 - a^2|$.
$x_1^2 - y_1^2 = a^2$ હોવાથી,$x_1^2 = a^2 + y_1^2$ મળે.
આ કિંમત મૂકતા,$SP \cdot S'P = x_1^2 + y_1^2$ મળે છે.

(B) આપેલ વક્રોના સમીકરણો $16x^{2}-9y^{2}=144$ અને $9x^{2}-16y^{2}=144$ છે.
બંનેને $144$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ અને $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ મળે છે.
અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$ છે.
પ્રથમ વક્ર માટે,$a^{2}=9$ અને $b^{2}=16$,તેથી $e_{1} = \sqrt{1+\frac{16}{9}} = \frac{5}{3}$.
બીજા વક્ર માટે,$a^{2}=16$ અને $b^{2}=9$,તેથી $e_{2} = \sqrt{1+\frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$.
હવે,$\frac{1}{e_{1}^{2}}+\frac{1}{e_{2}^{2}} = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$.

(A) આપેલ છે કે નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 3, 0)$ છે,તેથી $ae = 3$ અને $a^{2}e^{2} = 9$.
અતિવલય માટે,$b^{2} = a^{2}e^{2} - a^{2}$,તેથી $a^{2} + b^{2} = 9$ (સમીકરણ $i$).
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = -2x + 4$ છે,જ્યાં $m = -2$ અને $c = 4$.
અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ માટે સ્પર્શક હોવાની શરત $c^{2} = a^{2}m^{2} - b^{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $4^{2} = a^{2}(-2)^{2} - b^{2} \Rightarrow 4a^{2} - b^{2} = 16$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા: $5a^{2} = 25 \Rightarrow a^{2} = 5$.
સમીકરણ $(i)$ માં $a^{2} = 5$ મૂકતા: $5 + b^{2} = 9 \Rightarrow b^{2} = 4$.
તેથી અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ એટલે કે $4x^{2} - 5y^{2} = 20$ થાય.

(B) અતિવલય $xy = c^{2}$ પરના બિંદુના પ્રચલિત યામ $(ct, c/t)$ છે.
બિંદુ $t$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $xt^{3} - yt - ct^{4} + c = 0$ છે.
જો આ અભિલંબ વક્રને ફરીથી $t'$ બિંદુએ મળે,તો યામ $(ct', c/t')$ અભિલંબના સમીકરણનું સમાધાન કરે.
$(ct', c/t')$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $(ct')t^{3} - (c/t')t - ct^{4} + c = 0$.
$c$ વડે ભાગતા ($c \neq 0$ ધારીને): $t't^{3} - t/t' - t^{4} + 1 = 0$.
$t'$ વડે ગુણતા: $t'^{2}t^{3} - t - t't^{4} + t' = 0$.
પદોની ગોઠવણી કરતા: $t^{3}t'(t' - t) + (t' - t) = 0$.
$(t' - t)(t^{3}t' + 1) = 0$.
$t \neq t'$ હોવાથી,$t^{3}t' + 1 = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $t^{3}t' = -1$.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1$ છે. અહીં $a^2=20$ અને $b^2=5$ છે.
રેખા $4x+3y=7$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{4}{3}$ છે.
સ્પર્શક આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m = \frac{3}{4}$ થાય.
$m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2-b^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y = \frac{3}{4}x \pm \sqrt{20(\frac{9}{16})-5} = \frac{3}{4}x \pm \sqrt{\frac{45}{4}-5} = \frac{3}{4}x \pm \frac{5}{2}$.
કિસ્સો $1$: $y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{2} \implies \frac{3}{4}x - y = -\frac{5}{2} \implies \frac{x}{-10/3} + \frac{y}{5/2} = 1$. અંત:ખંડો $-\frac{10}{3}, \frac{5}{2}$ છે.
કિસ્સો $2$: $y = \frac{3}{4}x - \frac{5}{2} \implies \frac{3}{4}x - y = \frac{5}{2} \implies \frac{x}{10/3} + \frac{y}{-5/2} = 1$. અંત:ખંડો $\frac{10}{3}, -\frac{5}{2}$ છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ બીજા કિસ્સા સાથે મેળ ખાય છે.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ છે.
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ સાથે સરખાવતા,$a=2$ અને $b=3$ મળે.
બિંદુ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \sec \theta}{a} - \frac{y \tan \theta}{b} = 1$ છે.
$a=2$ અને $b=3$ મૂકતા,સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \sec \theta}{2} - \frac{y \tan \theta}{3} = 1$ મળે.
આને $y = \left( \frac{3 \sec \theta}{2 \tan \theta} \right) x - \frac{3}{\tan \theta}$ તરીકે લખી શકાય.
આ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = \frac{3 \sec \theta}{2 \tan \theta} = \frac{3}{2 \sin \theta}$ છે.
આપેલ રેખા $3x-y+4=0$ છે,જેને $y=3x+4$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m_2 = 3$ છે.
સ્પર્શક રેખાને સમાંતર હોવાથી,$m_1 = m_2$.
$\frac{3}{2 \sin \theta} = 3 \implies \sin \theta = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = 30^{\circ}$.