Hyperbola Questions in Gujarati

(B) આપેલ બે રેખાઓના સમીકરણો:
$x \sqrt{3}-y=k \sqrt{3} \quad ...(1)$
$\sqrt{3} k x+k y=\sqrt{3} \quad ...(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$k = \frac{x \sqrt{3}-y}{\sqrt{3}}$.
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$k = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} x+y}$.
બંને સમીકરણોમાંથી $k$ ની કિંમતો સરખાવતા:
$\frac{x \sqrt{3}-y}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} x+y}$
$(x \sqrt{3}-y)(\sqrt{3} x+y) = (\sqrt{3})(\sqrt{3})$
$3x^{2} - y^{2} = 3$
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^{2}}{1} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ મળે છે.
આ અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ છે,$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ છે.
કારણ કે $2x+3y-6=0$ એ નાભિસ્થ જીવા છે,તે નાભિ $(ae, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
નાભિના યામ સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(ae) + 3(0) - 6 = 0$
$2ae = 6$
$ae = 3$
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{5}{4}$ આપેલ છે,તેથી:
$a \times \frac{5}{4} = 3$
$a = 3 \times \frac{4}{5} = \frac{12}{5}$
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a$ છે.
$2a = 2 \times \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$.

(D) આપેલ સમીકરણો $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ અને $xy=c^{2}$ છે.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y = \frac{c^{2}}{x}$ મૂકતા:
$x^{2} + (\frac{c^{2}}{x})^{2} = a^{2}$
$x^{2} + \frac{c^{4}}{x^{2}} = a^{2}$
$x^{4} - a^{2}x^{2} + c^{4} = 0$
આ $x$ માં દ્વિ-વર્ગ સમીકરણ છે. તેના બીજ $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Ax^{4} + Bx^{3} + Cx^{2} + Dx + E = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $B=0$ મળે છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો સરવાળો $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} = -\frac{B}{A} = 0$ થાય.

(D) આપેલ છે કે,નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 16$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{2}$ હોવાથી,$2a(\sqrt{2}) = 16$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$.
અતિવલય માટે,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
કિંમતો મૂકતા,$b^2 = (4\sqrt{2})^2 ((\sqrt{2})^2 - 1) = 32(2 - 1) = 32$.
અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
$a^2 = 32$ અને $b^2 = 32$ મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{32} - \frac{y^2}{32} = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - y^2 = 32$ થાય છે.

(A) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $= 2ae$.
નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $= \frac{2a}{e}$.
આપેલ ગુણોત્તર $3: 2$ છે,તેથી $\frac{2ae}{2a/e} = \frac{3}{2}$.
આ સાદું રૂપ આપતા $e^{2} = \frac{3}{2}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે અતિવલય માટે $e^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}$.
$e^{2} = \frac{3}{2}$ મૂકતા,$1 + \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{3}{2}$.
$\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $a: b = \sqrt{2}: 1$.

(D) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $x^{2}-y^{2}=4$ છે.
$4$ વડે ભાગતા,$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=1$ મળે.
અહીં,$a^{2}=4$ અને $b^{2}=4$ છે.
અતિવલય માટે,$b^{2}=a^{2}(e^{2}-1)$,તેથી $4=4(e^{2}-1)$,જે સૂચવે છે કે $e^{2}-1=1$,એટલે કે $e^{2}=2$ અને $e=\sqrt{2}$.
નાભિના યામ $(\pm ae, 0) = (\pm 2\sqrt{2}, 0)$ છે.
નિયામિકાના સમીકરણો $x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{2}{\sqrt{2}} = \pm \sqrt{2}$ છે.
નાભિ $(2\sqrt{2}, 0)$ અને તેની નજીકની નિયામિકા $x = \sqrt{2}$ લો.
તેમની વચ્ચેનું અંતર $|2\sqrt{2} - \sqrt{2}| = \sqrt{2}$ છે.

(B) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $3x^{2} - 3y^{2} = 25$ છે,જેને $x^{2} - y^{2} = \frac{25}{3}$ તરીકે લખી શકાય.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a^{2} = \frac{25}{3}$ અને $b^{2} = \frac{25}{3}$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e_{1} = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 + \frac{25/3}{25/3}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ થાય.
અનુબદ્ધ અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{x^{2}}{a^{2}} = 1$ છે,એટલે કે $-x^{2} + y^{2} = \frac{25}{3}$.
અનુબદ્ધ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_{2} = \sqrt{1 + \frac{a^{2}}{b^{2}}} = \sqrt{1 + \frac{25/3}{25/3}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ થાય.
તેથી,$e_{1}^{2} + e_{2}^{2} = (\sqrt{2})^{2} + (\sqrt{2})^{2} = 2 + 2 = 4$.

(C) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ: $\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{k^{2}}=1$.
$k^{2}$ માટે ગોઠવતા:
$\frac{y^{2}}{k^{2}} = \frac{x^{2}-36}{36}$
$k^{2} = \frac{36y^{2}}{x^{2}-36}$.
$k^{2} > 0$ હોવાથી,$x^{2}-36 > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x^{2} > 36$ અથવા $|x| > 6$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A$. $(-3, 1) \Rightarrow x^{2} = 9 < 36$ (ખોટું)
$B$. $(3, 1) \Rightarrow x^{2} = 9 < 36$ (ખોટું)
$C$. $(10, 4) \Rightarrow x^{2} = 100 > 36$ (સાચું)
$D$. $(5, 2) \Rightarrow x^{2} = 25 < 36$ (ખોટું)
તેથી,બિંદુ $(10, 4)$ અતિવલય પર હોઈ શકે છે.

(A) આપેલ છે,$x-y=1$ $(i)$ અને $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$ (ii).
$(i)$ માંથી $y=x-1$ ની કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$\frac{x^{2}}{4}-\frac{(x-1)^{2}}{3}=1$
$12$ વડે ગુણતા:
$3x^{2}-4(x-1)^{2}=12$
$3x^{2}-4(x^{2}-2x+1)=12$
$3x^{2}-4x^{2}+8x-4=12$
$-x^{2}+8x-16=0$
$x^{2}-8x+16=0$
$(x-4)^{2}=0$
$x=4$.
$x=4$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$4-y=1 \Rightarrow y=3$.
તેથી,સ્પર્શબિંદુ $(4,3)$ છે.

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ છે.
તેને $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2} = 16$ અને $b^{2} = 9$ મળે છે.
બિંદુ $(-4, 0)$ અતિવલય પર આવેલું છે કારણ કે $\frac{(-4)^{2}}{16} - \frac{0^{2}}{9} = 1$ થાય છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{9x}{16y}$ છે.
$(-4, 0)$ આગળ,સ્પર્શક શિરોલંબ છે $(x = -4)$,તેથી અભિલંબ સમક્ષિતિજ રેખા હશે.
આમ,અભિલંબનું સમીકરણ $y = 0$ છે.

(D) અતિવલયના અનંતસ્પર્શકોનું સમીકરણ $3x \pm 5y = 0$ આપેલ છે.
અતિવલયનું સમીકરણ $(3x + 5y)(3x - 5y) = \lambda$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $\lambda$ એક અચળાંક છે.
આ સાદું રૂપ આપતા $9x^2 - 25y^2 = \lambda$ મળે છે.
અતિવલયના શિરોબિંદુઓ $(\pm 5, 0)$ હોવાથી,બિંદુ $(5, 0)$ અતિવલયના સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણ $9x^2 - 25y^2 = \lambda$ માં $(x, y) = (5, 0)$ મૂકતા:
$9(5)^2 - 25(0)^2 = \lambda$
$9(25) = \lambda$
$\lambda = 225$
તેથી,અતિવલયનું સમીકરણ $9x^2 - 25y^2 = 225$ છે.

(A) બિંદુઓ $(ct_1, c/t_1)$ અને $(ct_2, c/t_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m$ નીચે મુજબ છે:
$m = \frac{\frac{c}{t_2} - \frac{c}{t_1}}{ct_2 - ct_1} = \frac{c(t_1 - t_2)}{t_1 t_2} \cdot \frac{1}{c(t_2 - t_1)} = -\frac{1}{t_1 t_2}$
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $(y - y_1) = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરીને:
$y - \frac{c}{t_1} = -\frac{1}{t_1 t_2}(x - ct_1)$
બંને બાજુ $t_1 t_2$ વડે ગુણતા:
$t_1 t_2 y - ct_2 = -(x - ct_1)$
$t_1 t_2 y - ct_2 = -x + ct_1$
$x + t_1 t_2 y = c(t_1 + t_2)$

(A) ધારો કે $P(x, y)$ બિંદુ છે. આપેલ છે $A(4, 0)$ અને $B(-4, 0)$.
શરત $PA - PB = 4$ મુજબ.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sqrt{(x-4)^2 + y^2} - \sqrt{(x+4)^2 + y^2} = 4$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $3x^2 - y^2 = 12$ મળે છે.

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{1} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 1$.
ઢાળ $m$ વાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{9m^2 - 1}$ છે. તે $(3, 2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$2 = 3m \pm \sqrt{9m^2 - 1}$.
$(2 - 3m)^2 = 9m^2 - 1$ $\Rightarrow 4 - 12m + 9m^2 = 9m^2 - 1$ $\Rightarrow 12m = 5$ $\Rightarrow m = \frac{5}{12}$.
બીજો સ્પર્શક શિરોલંબ રેખા $x = 3$ છે (કારણ કે બિંદુ $(3, 2)$ રેખા $x = 3$ પર આવેલું છે).
પ્રથમ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 2 = \frac{5}{12}(x - 3) \Rightarrow 5x - 12y + 9 = 0$ છે.
બિંદુ $(3, 2)$ માટે સ્પર્શજીવાનું સમીકરણ $\frac{3x}{9} - \frac{2y}{1} = 1 \Rightarrow x - 6y = 3$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(3, 2)$,$(3, 0)$ અને $(-5, -4/3)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |3(0 - (-4/3)) + 3(-4/3 - 2) + (-5)(2 - 0)| = 8$ ચોરસ એકમ.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $e'$ નીચે મુજબ છે:
$e' = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
અતિવલય $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ એ $e'$ નો વ્યસ્ત છે,તેથી:
$e = \frac{1}{e'} = \sqrt{2}$
અતિવલય માટે $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$,તેથી:
$\sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{2} \implies 1 + \frac{b^2}{a^2} = 2 \implies b^2 = a^2$
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1$ છે.
બિંદુ $(5, 4)$ અતિવલય પર હોવાથી:
$\frac{25}{a^2} - \frac{16}{a^2} = 1 \implies \frac{9}{a^2} = 1 \implies a^2 = 9 \implies a = 3$
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 2 \times 3 = 6$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$x = \frac{a}{2} (t + \frac{1}{t}) \dots (i)$
$y = \frac{a}{2} (t - \frac{1}{t}) \dots (ii)$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$x^2 - y^2 = \frac{a^2}{4} (t + \frac{1}{t})^2 - \frac{a^2}{4} (t - \frac{1}{t})^2$
$= \frac{a^2}{4} [(t^2 + \frac{1}{t^2} + 2) - (t^2 + \frac{1}{t^2} - 2)]$
$= \frac{a^2}{4} [t^2 + \frac{1}{t^2} + 2 - t^2 - \frac{1}{t^2} + 2]$
$= \frac{a^2}{4} (4) = a^2$
તેથી,કાર્તેઝિયન સ્વરૂપ $x^2 - y^2 = a^2$ છે.

(A) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓના યામ $(ae, b^2/a)$ અને $(ae, -b^2/a)$ છે.
ધારો કે કેન્દ્ર $(0,0)$ આગળ નાભિલંબ દ્વારા બનતો ખૂણો $2\theta$ છે. તેથી $\tan \theta = \frac{b^2/a}{ae} = \frac{b^2}{a^2e}$.
આપેલ છે કે $2\theta = 2 \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)$,તેથી $\tan \theta = \frac{3}{2}$.
આમ,$\frac{b^2}{a^2e} = \frac{3}{2}$.
$b^2 = 36$ આપેલ હોવાથી,$\frac{36}{a^2e} = \frac{3}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $a^2e = 24$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(e^2 - 1)$,તેથી $36 = a^2e^2 - a^2$. $a^2e = 24$ હોવાથી,$a^2 = \frac{24}{e}$.
$a^2$ ની કિંમત મૂકતા,$36 = (\frac{24}{e})e^2 - \frac{24}{e} \implies 36 = 24e - \frac{24}{e}$.
$12$ વડે ભાગતા,$3 = 2e - \frac{2}{e} \implies 2e^2 - 3e - 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા,$(2e+1)(e-2) = 0$. $e > 1$ હોવાથી,$e = 2$.
તેથી $a^2 = \frac{24}{2} = 12$.
અંતે,$\sqrt{a^2 + e^2} = \sqrt{12 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$.

(C) નાભિઓ $F_1(8,3)$ અને $F_2(0,3)$ છે. અતિવલયનું કેન્દ્ર નાભિઓનું મધ્યબિંદુ છે: $(\frac{8+0}{2}, \frac{3+3}{2}) = (4,3)$. તેથી,$\alpha = 4$ અને $\beta = 3$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 8 - 0 = 8$ છે. $e = \frac{4}{3}$ આપેલ હોવાથી,$2a(\frac{4}{3}) = 8$,જેનો અર્થ છે કે $a = 3$.
સંબંધ $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 3^2((\frac{4}{3})^2 - 1) = 9(\frac{16}{9} - 1) = 9(\frac{7}{9}) = 7$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{(x-\alpha)^2}{a^2} - \frac{(y-\beta)^2}{b^2} = 1$ માં,$p = a^2 = 9$ અને $q = b^2 = 7$ મળે છે.
તેથી,$p+q = 9+7 = 16$.
અહીં $\alpha = 4$ અને $\beta = 3$ હોવાથી,$\alpha^2 = 16$. આમ,$p+q = \alpha^2$.

(A) ધારો કે અતિવલય $H$ એ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 26$ છે,તેથી $ae = 13$.
નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2a}{e} = \frac{50}{13}$ છે,તેથી $\frac{a}{e} = \frac{25}{13}$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{25e}{13}$.
$a$ ની કિંમત $ae = 13$ માં મૂકતા: $(\frac{25e}{13})e = 13 \implies e^2 = \frac{169}{25} \implies e = \frac{13}{5}$.
હવે,$a = \frac{25}{13} \times \frac{13}{5} = 5$.
$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ હોવાથી,$b^2 = 25(\frac{169}{25} - 1) = 169 - 25 = 144$,તેથી $b = 12$.
અનુબદ્ધ અતિવલય $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ છે.
તેની ઉત્કેન્દ્રતા $e'$ માટે $e'^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2} = 1 + \frac{25}{144} = \frac{169}{144}$.
તેથી,$e' = \sqrt{\frac{169}{144}} = \frac{13}{12}$.

(C) ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ આપેલ છે. છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,$e = \frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{7-3} = \frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{4} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$ મળે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓના યામ $(ae, \pm \frac{b^2}{a})$ છે.
કેન્દ્ર $(0,0)$ પર નાભિલંબ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{b^2/a}{ae} = \frac{b^2}{a^2e}$ થાય.
$b^2 = a^2(e^2-1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{a^2(e^2-1)}{a^2e} = \frac{e^2-1}{e}$ મળે.
$e = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$ આપેલ હોવાથી,$e^2 = \frac{7+3+2\sqrt{21}}{4} = \frac{10+2\sqrt{21}}{4} = \frac{5+\sqrt{21}}{2}$.
તેથી,$\tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{\frac{5+\sqrt{21}}{2} - 1}{\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}} = \frac{3+\sqrt{21}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{7})}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.
આમ,$\frac{\theta}{2} = 60^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 120^{\circ}$.
તેથી,$\sin \theta = \sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(A) આપેલ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{4} = 1$ છે. અહીં,$b^2 = 4$,તેથી $b = 2$.
વર્તુળ અતિવલય સાથે સમકેન્દ્રી હોવાથી અને તેની નાભિઓ $(\pm c, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,વર્તુળની ત્રિજ્યા કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી નાભિઓનું અંતર છે.
તેથી,$c = 4$.
સંબંધ $c^2 = a^2 + b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$16 = a^2 + 4$,જે $a^2 = 12$ આપે છે,તેથી $a = 2 \sqrt{3}$.
અનુબદ્ધ અતિવલય $\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{12} = 1$ છે.
આ અનુબદ્ધ અતિવલય માટે,અર્ધ-અનુપ્રસ્થ અક્ષ $b = 2$ અને અર્ધ-અનુબદ્ધ અક્ષ $a = 2 \sqrt{3}$ છે.
ધારો કે $e'$ એ અનુબદ્ધ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા છે. અનુબદ્ધ અતિવલય માટે $c'^2 = a^2 + b^2 = 12 + 4 = 16$,તેથી $c' = 4$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e'$ એ $c' = b e'$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$4 = 2 e'$,જે $e' = 2$ આપે છે.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
તે $(4, -2 \sqrt{3})$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{16}{a^2} - \frac{12}{b^2} = 1$.
$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{16}{a^2} - \frac{12}{a^2(e^2 - 1)} = 1$,જેનું સાદુંરૂપ $16(e^2 - 1) - 12 = a^2(e^2 - 1) \Rightarrow 16e^2 - 28 = a^2(e^2 - 1) \quad (i)$ થાય છે.
નિયામિકા $x = \frac{a}{e}$ છે,તેથી $\frac{a}{e} = \frac{4}{\sqrt{5}} \Rightarrow a^2 = \frac{16e^2}{5} \quad (ii)$.
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $16e^2 - 28 = \frac{16e^2}{5}(e^2 - 1)$.
$5$ વડે ગુણતા: $80e^2 - 140 = 16e^4 - 16e^2 \Rightarrow 16e^4 - 96e^2 + 140 = 0$.
$4$ વડે ભાગતા: $4e^4 - 24e^2 + 35 = 0$.
$e^2$ માં દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(2e^2 - 7)(2e^2 - 5) = 0$.
આમ,$e^2 = \frac{7}{2}$ અથવા $e^2 = \frac{5}{2}$.
વિકલ્પો મુજબ,$e^2 = \frac{7}{2}$ એ સાચો જવાબ છે.

(D) : નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર તેની નિયામિકાઓ વચ્ચેના અંતર કરતાં ત્રણ ગણું છે.
$2ae = 3 \times \frac{2a}{e}$ $\Rightarrow e^2 = 3$ $\Rightarrow e = \sqrt{3} \approx 1.732$
$B$: પ્રધાન અક્ષ એ ગૌણ અક્ષ કરતાં બમણી છે.
$2a = 2(2b)$ $\Rightarrow a = 2b$ $\Rightarrow b = \frac{a}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a^2e^2 = a^2 + b^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}$.
$e^2 = \frac{5}{4} \Rightarrow e = \frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1.118$
$C$: અનંતસ્પર્શકોના ઢાળ $m_1 = -1$ અને $m_2 = 1$ છે.
$m_1 \cdot m_2 = -1$ હોવાથી,તે લંબ અતિવલય છે.
$e = \sqrt{2} \approx 1.414$
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $1.732 > 1.414 > 1.118$.
તેથી,ઉતરતો ક્રમ $A, C, B$ છે.

(A) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_1 = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$ છે.
તેના સંયુગ્મી અતિવલય $\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_2 = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{b}$ છે.
આપેલ રેખા $\frac{x}{2 e_1} + \frac{y}{2 e_2} = 1$ છે.
$e_1$ અને $e_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{ax}{2\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{by}{2\sqrt{a^2+b^2}} = 1$
$ax + by = 2\sqrt{a^2+b^2}$.
આ રેખા ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળને સ્પર્શે છે,તેથી ઉગમબિંદુથી રેખાનું લંબ અંતર એ ત્રિજ્યા $r$ જેટલું થાય.
$r = \frac{|2\sqrt{a^2+b^2}|}{\sqrt{a^2+b^2}} = 2$.
આમ,ત્રિજ્યા $2$ છે.

(A) શંકુ આકારનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
આ સમીકરણ અતિવલય દર્શાવે તે માટે $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવા જોઈએ.
ધારો કે $A = \frac{1}{7 - k}$ અને $B = \frac{1}{5 - k}$.
અતિવલય માટે,$A \times B < 0$ હોવું જોઈએ.
$\left( \frac{1}{7 - k} \right) \left( \frac{1}{5 - k} \right) < 0$
છેદને સરળ બનાવવા માટે $-1$ વડે ગુણતા:
$\left( \frac{1}{k - 7} \right) \left( \frac{1}{k - 5} \right) < 0$
ચિહ્ન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,ગુણાકાર ત્યારે જ ઋણ મળે જ્યારે $k$ એ $5$ અને $7$ ની વચ્ચે હોય.
તેથી,$5 < k < 7$.

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ માટે,$a^2=16$ અને $b^2=9$ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e_1 = \sqrt{1+\frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$ છે. નાભિઓ $(\pm 5, 0)$ છે.
અનુબદ્ધ અતિવલય $\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1$ માટે,$a^2=9$ અને $b^2=16$ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e_2 = \sqrt{1+\frac{16}{9}} = \frac{5}{3}$ છે. નાભિઓ $(0, \pm 5)$ છે.
આ ચાર બિંદુઓ $(\pm 5, 0)$ અને $(0, \pm 5)$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ બનાવે છે જેના વિકર્ણોની લંબાઈ $10$ અને $10$ છે.
ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 50$ ચોરસ એકમ.

(C) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $5x^2 - 6y^2 = 30$ છે,જેને $\frac{x^2}{6} - \frac{y^2}{5} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 6$ અને $b^2 = 5$ છે.
ધારો કે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે. તે $(2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $3 = 2m + c$,એટલે કે $c = 3 - 2m$.
રેખા $y = mx + c$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(3 - 2m)^2 = 6m^2 - 5$ મળે.
$9 - 12m + 4m^2 = 6m^2 - 5$.
$2m^2 + 12m - 14 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $m^2 + 6m - 7 = 0$ થાય છે.
અવયવ પાડતા $(m + 7)(m - 1) = 0$ મળે,તેથી ઢાળ $m_1 = 1$ અને $m_2 = -7$ છે.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2} \right|$ દ્વારા મળે છે.
$\tan \theta = \left| \frac{1 - (-7)}{1 + (1)(-7)} \right| = \left| \frac{8}{1 - 7} \right| = \left| \frac{8}{-6} \right| = \frac{4}{3}$.

(D) અતિવલય પરના કોઈપણ બિંદુના નાભિ અંતરોનો તફાવત તેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a$ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે કે $2a = 6$,તેથી $a = 3$.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓના યામ $(\pm ae, \pm \frac{b^2}{a})$ છે.
બિંદુ $(\sqrt{13}, k)$ એ નાભિલંબનું અંત્યબિંદુ હોવાથી,$ae = \sqrt{13}$ મળે.
સંબંધ $c^2 = a^2 + b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $c = ae = \sqrt{13}$,આપણને $13 = a^2 + b^2$ મળે છે.
$a = 3$ મૂકતા,$13 = 9 + b^2$,તેથી $b^2 = 4$.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુનો $y$-યામ $k = \pm \frac{b^2}{a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$k = \pm \frac{4}{3}$.

(A) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $4 x^2-y^2-8 x-2 y-13=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવીને ફરીથી લખતા:
$4(x-1)^2 - (y+1)^2 = 16$
$\frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y+1)^2}{16} = 1$.
અહીં $h=1, k=-1, a=2, b=4$ છે.
પ્રાચલ યામ $x = 1 + 2 \sec \theta$ અને $y = -1 + 4 \tan \theta$ છે.
બિંદુ $P(\frac{\pi}{4})$ માટે:
$x_P = 1 + 2\sqrt{2}, y_P = 3$.
બિંદુ $Q(\frac{3\pi}{4})$ માટે:
$x_Q = 1 - 2\sqrt{2}, y_Q = -5$.
અંતર $PQ = \sqrt{(1+2\sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{2})^2 + (3 - (-5))^2}$
$PQ = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (8)^2} = \sqrt{32 + 64} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$.

(A) ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $S(x, y) = \frac{x^2}{a^2} - y^2 - 1 = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ અને બિંદુ $(1,1)$ એક જ પ્રદેશમાં હોવાથી,$S(0,0)$ અને $S(1,1)$ ની કિંમત સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે.
$S(0,0) = \frac{0^2}{a^2} - 0^2 - 1 = -1$.
$S(0,0) < 0$ હોવાથી,$S(1,1) < 0$ થવું જોઈએ.
$S(1,1) = \frac{1^2}{a^2} - 1^2 - 1 = \frac{1}{a^2} - 2$.
$\frac{1}{a^2} - 2 < 0$ લેતા,આપણને $\frac{1}{a^2} < 2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 > \frac{1}{2}$.
$a > 0$ હોવાથી,$a > \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$a$ નો વિસ્તાર $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \infty\right)$ છે.

(A) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ આપેલ છે,જ્યાં $a=3$ અને $b=4$ છે.
પ્રચલિત યામ $x=3 \sec \theta$ અને $y=4 \tan \theta$ છે.
દરેક બિંદુ માટે યામ:
$P_1\left(\frac{\pi}{4}\right) = (3\sqrt{2}, 4)$
$P_2\left(\frac{3\pi}{4}\right) = (-3\sqrt{2}, -4)$
$P_3\left(\frac{5\pi}{4}\right) = (-3\sqrt{2}, 4)$
$P_4\left(\frac{7\pi}{4}\right) = (3\sqrt{2}, -4)$
આ બિંદુઓ એક લંબચોરસ બનાવે છે જેના શિરોબિંદુઓ $(3\sqrt{2}, 4), (-3\sqrt{2}, 4), (-3\sqrt{2}, -4)$ અને $(3\sqrt{2}, -4)$ છે.

(D) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ છે.
અહીં $b^2 > a^2$ $(9 > 4)$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ મળે.
ધારો કે અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_H = \frac{1}{e} = \frac{3}{\sqrt{5}}$ છે.
અતિવલય અને તેના અનુબદ્ધ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_H$ અને $e_C$ માટેનો સંબંધ $\frac{1}{e_H^2} + \frac{1}{e_C^2} = 1$ છે.
કિંમત મૂકતા,$\frac{5}{9} + \frac{1}{e_C^2} = 1 \Rightarrow \frac{1}{e_C^2} = \frac{4}{9}$.
તેથી,$e_C = \frac{3}{2}$ મળે.

(B) આપેલ છે કે કેન્દ્ર $(0, 0)$ છે,નાભિઓ $(\pm 3, 0)$ છે અને ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{3}{2}$ છે.
નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 3, 0)$ હોવાથી,$ae = 3$ મળે.
$e = \frac{3}{2}$ મુકતા,$a(\frac{3}{2}) = 3$,તેથી $a = 2$ મળે.
સંબંધ $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 2^2((\frac{3}{2})^2 - 1) = 4(\frac{9}{4} - 1) = 5$ મળે.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ એટલે કે $5x^2 - 4y^2 = 20$ થાય.
રેખા $y = 2x - 1$ સાથે છેદનબિંદુ ચકાસવા માટે,$y$ ની કિંમત અતિવલયના સમીકરણમાં મુકતા:
$5x^2 - 4(2x - 1)^2 = 20$
$5x^2 - 4(4x^2 - 4x + 1) = 20$
$-11x^2 + 16x - 24 = 0$ અથવા $11x^2 - 16x + 24 = 0$.
વિવેચક $D = (-16)^2 - 4(11)(24) = 256 - 1056 = -800$.
$D < 0$ હોવાથી,રેખા અતિવલયને છેદતી નથી.

(D) આપેલ છે કે શિરોબિંદુઓ $(\pm a, 0) = (\pm 3, 0)$ છે,તેથી $a = 3$.
નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 4, 0)$ છે,તેથી $ae = 4$.
$a=3$ મૂકતા,$3e = 4$,જેનો અર્થ છે કે $e = \frac{4}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
કિંમતો મૂકતા,$b^2 = 3^2 \left( (\frac{4}{3})^2 - 1 \right) = 9 \left( \frac{16}{9} - 1 \right) = 16 - 9 = 7$.
તેથી,$b = \sqrt{7}$.
અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{7} = 1$ છે.
અતિવલયના પ્રચલ સમીકરણો $x = a \sec \theta$ અને $y = b \tan \theta$ છે.
$a=3$ અને $b=\sqrt{7}$ મૂકતા,આપણને $x = 3 \sec \theta$ અને $y = \sqrt{7} \tan \theta$ મળે છે.

(B) આપેલ અતિવલય $16 x^2 - 9 y^2 = 1$ છે.
આને $\frac{x^2}{(1/4)^2} - \frac{y^2}{(1/3)^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = \frac{1}{16}$ અને $b^2 = \frac{1}{9}$ છે.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_1$ એ $e_1^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{1/9}{1/16} = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$e_1 = \frac{5}{3}$.
અનુબદ્ધ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_2$ એ $e_2^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2} = 1 + \frac{1/16}{1/9} = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$e_2 = \frac{5}{4}$.
હવે,$3 e_1 = 3 \times \frac{5}{3} = 5$.
તેમજ,$4 e_2 = 4 \times \frac{5}{4} = 5$.
તેથી,$3 e_1 = 4 e_2$.

(A) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} + 1 = 0$ છે,જેને $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આ સંયુગ્મી અતિવલય છે.
આ અતિવલય માટે નિયામિકાનું સમીકરણ $y = \frac{b}{e}$ છે.
આને આપેલ નિયામિકા $\sqrt{5} y - \sqrt{8} = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $y = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{b}{e} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}}$.
આપેલ છે કે $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$,તેથી $b = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{8}}{2} = \sqrt{2}$.
સંયુગ્મી અતિવલય માટે,$e^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2}$.
કિંમતો મૂકતા,$(\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = 1 + \frac{a^2}{(\sqrt{2})^2} \implies \frac{5}{4} = 1 + \frac{a^2}{2}$.
$\frac{a^2}{2} = \frac{5}{4} - 1 = \frac{1}{4} \implies a^2 = \frac{1}{2} \implies a = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\frac{1}{a} = \sqrt{2}$.

(B) નાભિ $S$ ના યામ $(ae, 0)$ છે અને પ્રથમ ચરણમાં નાભિલંબનું અંત્યબિંદુ $L$ ના યામ $(ae, b^2/a)$ છે.
આપેલ છે કે $S(8, y_1)$,તેથી $ae = 8$.
આપેલ છે કે $L(x_1, 4)$,તેથી $b^2/a = 4$,એટલે કે $b^2 = 4a$.
અતિવલય માટે,$c^2 = a^2 + b^2$,જ્યાં $c = ae = 8$.
$c = 8$ અને $b^2 = 4a$ ને $c^2 = a^2 + b^2$ માં મૂકતા:
$64 = a^2 + 4a$
$a^2 + 4a - 64 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$a = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 256}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{17}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{17}$.
$a > 0$ હોવાથી,$a = 2\sqrt{17} - 2 = 2(\sqrt{17} - 1)$.
પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a = 4(\sqrt{17} - 1)$ થાય.

(A) આપેલ છે કે,મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 8$,તેથી $a = 4$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 2\sqrt{41}$,તેથી $ae = \sqrt{41}$.
સંબંધ $a^2e^2 = a^2 + b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\sqrt{41})^2 = 4^2 + b^2$
$41 = 16 + b^2$
$b^2 = 41 - 16 = 25$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{2 \times 25}{4} = \frac{50}{4} = \frac{25}{2}$.

(B) શંકુ આકારની વ્યાખ્યા મુજબ $SP^2 = e^2 PM^2$,જ્યાં $S$ એ નાભિ છે,$P(x,y)$ એ વક્ર પરનું બિંદુ છે,$e$ એ ઉત્કેન્દ્રતા છે અને $PM$ એ $P$ થી નિયામિકાનું લંબ અંતર છે.
આપેલ નાભિ $S = (1,2)$,નિયામિકા $x+2y=0$,અને $e = \sqrt{2}$.
$(x-1)^2 + (y-2)^2 = (\sqrt{2})^2 \frac{(x+2y)^2}{1^2+2^2}$
$(x^2-2x+1) + (y^2-4y+4) = 2 \frac{(x+2y)^2}{5}$
$5(x^2+y^2-2x-4y+5) = 2(x^2+4y^2+4xy)$
$5x^2+5y^2-10x-20y+25 = 2x^2+8y^2+8xy$
$3x^2-8xy-3y^2-10x-20y+25 = 0$

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 5x - 14 = 0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 7)(x + 2) = 0$,તેથી બીજ $x_1 = 7$ અને $x_2 = -2$ મળે છે.
અક્ષની લંબાઈ ધન હોવી જોઈએ,તેથી આપણે $b = 7$ લઈએ છીએ.
બીજા બીજનો વર્ગ એ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a = (-2)^2 = 4$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,કેન્દ્રથી નાભિનું અંતર $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $c = \sqrt{4^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}$.
તેથી,ધન $x$-અક્ષ પરનું નાભિ $(\sqrt{65}, 0)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $9x^2-16y^2-72x+96y-144=0$
પદોને ગોઠવતા: $9(x^2-8x)-16(y^2-6y)=144$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $9(x^2-8x+16)-16(y^2-6y+9)=144+144-144$
$9(x-4)^2-16(y-3)^2=144$
$144$ વડે ભાગતા: $\frac{(x-4)^2}{16}-\frac{(y-3)^2}{9}=1$
$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ સાથે સરખાવતા,$a^2=16$ અને $b^2=9$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+\frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.
આમ,વિધાન $I$ સાચું છે અને વિધાન $II$ એ તેની સાચી સમજૂતી છે.

(B) નાભિ અને નિયામિકા વચ્ચેનું અંતર $a(e - 1/e) = a(5/4 - 4/5) = 9a/20$ છે.
નાભિ $(3,0)$ થી નિયામિકા $4x - 3y - 3 = 0$ નું લંબ અંતર $\frac{|12-0-3|}{5} = 9/5$ છે.
તેથી,$9a/20 = 9/5 \implies a = 4$.
અક્ષનો ઢાળ $-3/4$ છે. નાભિથી શિરોબિંદુનું અંતર $ae - a = 4(5/4) - 4 = 1$ છે.
શિરોબિંદુ $(3,0) + 1 \times (-4/5, 3/5) = (11/5, 3/5)$ મળે છે.

(C) ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. નાભિ $(ae, 0)$ પર છે.
નાભિસ્થ જીવા મુખ્ય અક્ષને લંબ હોવાથી,તેનું સમીકરણ $x = ae$ છે.
અતિવલયના સમીકરણમાં $x = ae$ મૂકતા: $\frac{a^2e^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ $\Rightarrow e^2 - 1 = \frac{y^2}{b^2}$ $\Rightarrow y^2 = b^2(e^2 - 1)$.
$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ હોવાથી,$e^2 - 1 = \frac{b^2}{a^2}$,તેથી $y^2 = b^2(\frac{b^2}{a^2}) = \frac{b^4}{a^2} \Rightarrow y = \pm \frac{b^2}{a}$.
જીવાના અંત્યબિંદુઓ $A(ae, \frac{b^2}{a})$ અને $B(ae, -\frac{b^2}{a})$ છે.
કેન્દ્ર $O(0, 0)$ છે. જીવા કેન્દ્ર આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $OA$ નો ઢાળ $\times$ $OB$ નો ઢાળ $= -1$.
$OA$ નો ઢાળ $= \frac{b^2/a}{ae} = \frac{b^2}{a^2e}$. $OB$ નો ઢાળ $= -\frac{b^2}{a^2e}$.
$(\frac{b^2}{a^2e}) \times (-\frac{b^2}{a^2e}) = -1$ $\Rightarrow \frac{b^4}{a^4e^2} = 1$ $\Rightarrow b^4 = a^4e^2$.
$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ હોવાથી,$(a^2(e^2 - 1))^2 = a^4e^2 \Rightarrow (e^2 - 1)^2 = e^2$.
$e^4 - 2e^2 + 1 = e^2 \Rightarrow e^4 - 3e^2 + 1 = 0$.
$u = e^2$ લેતા,$u^2 - 3u + 1 = 0$. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.
$e > 1$ હોવાથી,$e^2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{(\sqrt{5} + 1)^2}{4} \Rightarrow e = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$.

(B) આપેલ છે કે અતિવલયની અનુપ્રસ્થ અક્ષ અને સંયુગ્મી અક્ષ સમાન છે.
ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
અનુપ્રસ્થ અક્ષની લંબાઈ $2a$ છે અને સંયુગ્મી અક્ષની લંબાઈ $2b$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$2a = 2b$,જેનો અર્થ છે કે $a = b$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અતિવલય માટે,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$,જ્યાં $e$ એ ઉત્કેન્દ્રતા છે.
$b = a$ ને સંબંધમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $a^2 = a^2(e^2 - 1)$.
બંને બાજુ $a^2$ વડે ભાગતા ($a \neq 0$ હોવાથી),આપણને મળે છે $1 = e^2 - 1$.
તેથી,$e^2 = 2$,જે આપે છે $e = \sqrt{2}$ (કારણ કે અતિવલય માટે ઉત્કેન્દ્રતા $e > 1$ હોય છે).

(A) આપેલ છે કે,અતિવલયમાં અનુપ્રસ્થ અક્ષની લંબાઈ અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ કરતા બમણી છે. પ્રમાણિત અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
અનુપ્રસ્થ અક્ષની લંબાઈ $= 2 \times$ અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ હોવાથી,$2a = 2(2b)$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2b$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
$b^2 = \frac{a^2}{4}$ મૂકતા,આપણને $\frac{a^2}{4} = a^2(e^2 - 1)$ મળે છે.
$a^2$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{4} = e^2 - 1$,તેથી $e^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.
આમ,$e = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2a}{e}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a = 2b$ અને $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$ મૂકતા,અંતર $\frac{2(2b)}{\sqrt{5}/2} = \frac{8b}{\sqrt{5}}$ એકમ થાય છે.

(D) આપેલ છે,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{5}{3}$ અને નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 10$.
$2a(\frac{5}{3}) = 10 \Rightarrow a = 3$.
અતિવલય માટે,$c^2 = a^2 + b^2$,જ્યાં $c = ae$.
$(ae)^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow 5^2 = 3^2 + b^2$.
$25 = 9 + b^2 \Rightarrow b^2 = 16$.
અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ મળે છે.
$144$ વડે ગુણતા,$16x^2 - 9y^2 = 144$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે,નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 10$ અને મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 8$ છે.
તેથી,$ae = 5$ અને $a = 4$ મળે.
અતિવલય માટે,સંબંધ $(ae)^2 = a^2 + b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$25 = 16 + b^2$,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = 9$.
નાભિલંબની લંબાઈનું સૂત્ર $\frac{2b^2}{a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{2 \times 9}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$ મળે.

(C) આપેલ છે કે,હાયપરબોલાનું લેટસ રેક્ટમ તેના કેન્દ્ર પર $90^{\circ}$ નો ખૂણો આંતરે છે.
ધારો કે હાયપરબોલાનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
તેથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
લેટસ રેક્ટમના અંત્યબિંદુઓ $L = (ae, \frac{b^2}{a})$ અને $L' = (ae, -\frac{b^2}{a})$ છે.
કેન્દ્ર $C = (0, 0)$ છે.
$\angle LCL' = 90^{\circ}$ હોવાથી,$CL$ અને $CL'$ ના ઢાળ $m_1 = \frac{b^2}{a^2e}$ અને $m_2 = -\frac{b^2}{a^2e}$ થાય.
$CL \perp CL'$ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$.
$\left(\frac{b^2}{a^2e}\right) \times \left(-\frac{b^2}{a^2e}\right) = -1$ $\Rightarrow \frac{b^4}{a^4e^2} = 1$ $\Rightarrow b^4 = a^4e^2$.
$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ મૂકતા:
$[a^2(e^2 - 1)]^2 = a^4e^2$ $\Rightarrow (e^2 - 1)^2 = e^2$ $\Rightarrow e^2 - 1 = \pm e$.
$e > 1$ હોવાથી,$e^2 - e - 1 = 0$ લેતા,$e = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ મળે છે.

(C) ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. નાભિઓ $F_1(-ae, 0)$ અને $F_2(ae, 0)$ છે. $F_1$ માંથી પસાર થતા નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $A(-ae, b^2/a)$ અને $A'(-ae, -b^2/a)$ છે.
નાભિલંબ દ્વારા બીજી નાભિ $F_2$ આગળ બનતો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
નાભિ $F_2$,નાભિલંબનું મધ્યબિંદુ $B(-ae, 0)$ અને એક અંત્યબિંદુ $A(-ae, b^2/a)$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$F_2$ આગળનો ખૂણો $30^{\circ}$ થાય.
$\triangle ABF_2$ માં,$AB = \frac{b^2}{a}$ અને $BF_2 = 2ae$ છે.
તેથી,$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{BF_2} = \frac{b^2}{2a^2e}$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{b^2}{2a^2e}$ અને $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ હોવાથી:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{e^2 - 1}{2e}$.
આથી $2e = \sqrt{3}(e^2 - 1)$,એટલે કે $\sqrt{3}e^2 - 2e - \sqrt{3} = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $e = \frac{2 \pm 4}{2\sqrt{3}}$.
$e > 1$ હોવાથી,$e = \sqrt{3}$ મળે.