Hyperbola Questions in Gujarati

(C) અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
અહીં $a = 6$ હોવાથી,સમીકરણ $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ થાય.
બિંદુ $P(10, 16)$ સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{100}{36} - \frac{256}{b^2} = 1$.
$\frac{25}{9} - 1 = \frac{256}{b^2} \implies \frac{16}{9} = \frac{256}{b^2} \implies b^2 = 144$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{144} = 1$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2 x}{x_1} + \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 + b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{36x}{10} + \frac{144y}{16} = 36 + 144 = 180$.
$3.6x + 9y = 180 \implies 2x + 5y = 100$.

(D) $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{2x}{a^{2}}-\frac{2y}{b^{2}}\frac{dy}{dx}=0$ મળે છે.
આમ,$\frac{dy}{dx}=\frac{b^{2}x}{a^{2}y}$.
બિંદુ $(x_{0}, y_{0})$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{t} = \frac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y-y_{0} = \frac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}(x-x_{0})$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x x_{0}}{a^{2}}-\frac{y y_{0}}{b^{2}}=1$ થાય છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_{n} = -\frac{1}{m_{t}} = -\frac{a^{2}y_{0}}{b^{2}x_{0}}$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y-y_{0} = -\frac{a^{2}y_{0}}{b^{2}x_{0}}(x-x_{0})$ છે,જેને $\frac{y-y_{0}}{a^{2}y_{0}} + \frac{x-x_{0}}{b^{2}x_{0}} = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.

(D) ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે.
વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=25$ માટે મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $xh+yk=h^{2}+k^{2}$ છે.
આ રેખા અતિવલય $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ ને સ્પર્શે છે.
રેખા $y=mx+c$ એ અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^{2}=a^{2}m^{2}-b^{2}$ છે.
અહીં $m=-\frac{h}{k}$ અને $c=\frac{h^{2}+k^{2}}{k}$ લેતા,આપણને $(h^{2}+k^{2})^{2} = 9h^{2}-16k^{2}$ મળે છે.
તેથી,બિંદુપથ $(x^{2}+y^{2})^{2}-9x^{2}+16y^{2}=0$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ સાથે સરખાવતા:
$a^{2} = 9 \implies a = 3$
$b^{2} = 16 \implies b = 4$
અતિવલય માટે,$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
$1$. નાભિઓના યામ $(\pm c, 0) = (\pm 5, 0)$ છે.
$2$. શિરોબિંદુઓના યામ $(\pm a, 0) = (\pm 3, 0)$ છે.
$3$. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3}$ છે.
$4$. નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 16}{3} = \frac{32}{3}$ છે.

(N/A) સમીકરણને બંને બાજુ $16$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{1}=1$ મળે છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2}=16$ અને $b^{2}=1$ મળે છે,તેથી $a=4$ અને $b=1$.
$c$ ની ગણતરી કરતા: $c = \sqrt{a^{2}+b^{2}} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$.
નાભિઓના યામ $(0, \pm c) = (0, \pm \sqrt{17})$ છે.
શિરોબિંદુઓના યામ $(0, \pm a) = (0, \pm 4)$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{17}}{4}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^{2}}{a} = \frac{2(1)}{4} = \frac{1}{2}$ છે.

(A) નાભિ $y$-અક્ષ પર હોવાથી,અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ સ્વરૂપનું છે.
શિરોબિંદુઓ $(0, \pm \frac{\sqrt{11}}{2})$ આપેલા હોવાથી,$a = \frac{\sqrt{11}}{2}$,તેથી $a^{2} = \frac{11}{4}$.
નાભિ $(0, \pm 3)$ આપેલા હોવાથી,$c = 3$,તેથી $c^{2} = 9$.
અતિવલય માટે,$b^{2} = c^{2} - a^{2} = 9 - \frac{11}{4} = \frac{36 - 11}{4} = \frac{25}{4}$.
$a^{2}$ અને $b^{2}$ ની કિંમતો પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{y^{2}}{11/4} - \frac{x^{2}}{25/4} = 1$
$\frac{4y^{2}}{11} - \frac{4x^{2}}{25} = 1$
$275$ વડે ગુણતા:
$100y^{2} - 44x^{2} = 275$.

(A) નાભિઓ $(0, \pm 12)$ હોવાથી,અતિવલય શિરોલંબ છે અને $c = 12$ છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^{2}}{a} = 36$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b^{2} = 18a$.
અતિવલય માટે,$c^{2} = a^{2} + b^{2}$. કિંમતો મૂકતા,$144 = a^{2} + 18a$ મળે છે.
આને ગોઠવતા દ્વિઘાત સમીકરણ $a^{2} + 18a - 144 = 0$ મળે છે.
અવયવ પાડતા,$(a + 24)(a - 6) = 0$ મળે છે,તેથી $a = -24$ અથવા $a = 6$.
$a$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી આપણે $a = 6$ લઈએ છીએ. પછી $b^{2} = 18(6) = 108$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{y^{2}}{36} - \frac{x^{2}}{108} = 1$ છે.
$108$ વડે ગુણતા,$3y^{2} - x^{2} = 108$ મળે છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{4^{2}}-\frac{y^{2}}{3^{2}}=1$ તરીકે લખી શકાય.
આ સમીકરણને અતિવલયના પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=4$ અને $b=3$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $c^{2}=a^{2}+b^{2}$.
કિંમતો મૂકતા,$c^{2}=4^{2}+3^{2}=16+9=25$,તેથી $c=5$.
$1$. નાભિઓના યામ $(\pm c, 0) = (\pm 5, 0)$ છે.
$2$. શિરોબિંદુઓના યામ $(\pm a, 0) = (\pm 4, 0)$ છે.
$3$. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{c}{a} = \frac{5}{4}$ છે.
$4$. નાભિલંબની લંબાઈ $= \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 9}{4} = \frac{9}{2} = 4.5$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{27}=1$ છે,જેને $\frac{y^{2}}{3^{2}}-\frac{x^{2}}{(\sqrt{27})^{2}}=1$ તરીકે લખી શકાય.
આને ઉભા અતિવલયના પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$ સાથે સરખાવતા,$a=3$ અને $b=\sqrt{27}$ મળે છે.
અતિવલય માટે,$a, b,$ અને $c$ વચ્ચેનો સંબંધ $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$c^{2}=3^{2}+(\sqrt{27})^{2}=9+27=36$,તેથી $c=6$.
નાભિઓના યામ $(0, \pm c) = (0, \pm 6)$ છે.
શિરોબિંદુઓના યામ $(0, \pm a) = (0, \pm 3)$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{c}{a} = \frac{6}{3} = 2$ છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 27}{3} = 18$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $9 y^{2}-4 x^{2}=36$ છે.
બંને બાજુ $36$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{9 y^{2}}{36} - \frac{4 x^{2}}{36} = 1$
$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{9} = 1$
આ અતિવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ છે,જ્યાં $a^{2} = 4$ અને $b^{2} = 9$ છે.
તેથી,$a = 2$ અને $b = 3$ મળે.
અતિવલય માટે,$c^{2} = a^{2} + b^{2} = 4 + 9 = 13$,તેથી $c = \sqrt{13}$.
$1$. નાભિઓના યામ $(0, \pm c) = (0, \pm \sqrt{13})$ છે.
$2$. શિરોબિંદુઓના યામ $(0, \pm a) = (0, \pm 2)$ છે.
$3$. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{13}}{2}$ છે.
$4$. નાભિલંબની લંબાઈ $= \frac{2 b^{2}}{a} = \frac{2 \times 9}{2} = 9$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $16 x^{2}-9 y^{2}=576$ છે.
તેને આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{64}=1$
$\Rightarrow \frac{x^{2}}{6^{2}}-\frac{y^{2}}{8^{2}}=1$ $(1)$
સમીકરણ $(1)$ ને અતિવલયના પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=6$ અને $b=8$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $c^{2}=a^{2}+b^{2}$.
$\therefore c^{2}=36+64=100$
$\Rightarrow c=10$.
તેથી:
$1$. નાભિના યામ $(\pm 10, 0)$ છે.
$2$. શિરોબિંદુઓના યામ $(\pm 6, 0)$ છે.
$3$. ઉત્કેન્દ્રતા,$e = \frac{c}{a} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.
$4$. નાભિલંબની લંબાઈ $= \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 64}{6} = \frac{64}{3}$.

આપેલ સમીકરણ $5y^{2} - 9x^{2} = 36$ છે.
$36$ વડે ભાગતા,$\frac{y^{2}}{(36/5)} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ મળે.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2} = \frac{36}{5}$ અને $b^{2} = 4$ મળે.
તેથી,$a = \frac{6}{\sqrt{5}}$ અને $b = 2$.
અતિવલય માટે,$c^{2} = a^{2} + b^{2} = \frac{36}{5} + 4 = \frac{56}{5}$.
તેથી,$c = \sqrt{\frac{56}{5}} = \frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{5}}$.
નાભિઓના યામ $(0, \pm c) = (0, \pm \frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{5}})$ છે.
શિરોબિંદુઓના યામ $(0, \pm a) = (0, \pm \frac{6}{\sqrt{5}})$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{14}/\sqrt{5}}{6/\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{14}}{3}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $= \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 4}{6/\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{3}$.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $49 y^{2}-16 x^{2}=784$ છે.
બંને બાજુ $784$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{49 y^{2}}{784} - \frac{16 x^{2}}{784} = 1$
$\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{49} = 1$
$\frac{y^{2}}{4^{2}} - \frac{x^{2}}{7^{2}} = 1$ $(1)$
સમીકરણ $(1)$ ને અતિવલયના પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 4$ અને $b = 7$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $c^{2} = a^{2} + b^{2}$.
$c^{2} = 16 + 49 = 65$
$c = \sqrt{65}$
નાભિઓના યામ $(0, \pm \sqrt{65})$ છે.
શિરોબિંદુઓના યામ $(0, \pm 4)$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{65}}{4}$ છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $= \frac{2 b^{2}}{a} = \frac{2 \times 49}{4} = \frac{49}{2} = 24.5$ છે.

(A) શિરોબિંદુઓ $(\pm 2, 0)$ છે,જે $x$-અક્ષ પર આવેલા છે.
તેથી,અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ સ્વરૂપનું છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(\pm a, 0) = (\pm 2, 0)$ પરથી,$a = 2$,તેથી $a^{2} = 4$.
આપેલ નાભિઓ $(\pm c, 0) = (\pm 3, 0)$ પરથી,$c = 3$,તેથી $c^{2} = 9$.
અતિવલય માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $c^{2} = a^{2} + b^{2}$.
કિંમતો મૂકતા,$9 = 4 + b^{2}$,જે $b^{2} = 5$ આપે છે.
તેથી,અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ છે.

(A) શિરોબિંદુઓ $(0, \pm 5)$ છે,જે $y$-અક્ષ પર આવેલા છે.
તેથી,અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ સ્વરૂપનું છે.
શિરોબિંદુઓ $(0, \pm a) = (0, \pm 5)$ હોવાથી,$a = 5$ અને $a^{2} = 25$.
નાભિઓ $(0, \pm c) = (0, \pm 8)$ હોવાથી,$c = 8$ અને $c^{2} = 64$.
અતિવલય માટે,સંબંધ $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ જાણીએ છીએ.
કિંમતો મૂકતા,$64 = 25 + b^{2}$,જે $b^{2} = 64 - 25 = 39$ આપે છે.
આમ,અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{y^{2}}{25} - \frac{x^{2}}{39} = 1$ છે.

(A) શિરોબિંદુઓ $(0, \pm 3)$ છે,જે સૂચવે છે કે અતિવલય $y$-અક્ષ પર છે.
પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ છે.
શિરોબિંદુઓ $(0, \pm a) = (0, \pm 3)$ આપેલ હોવાથી,$a = 3$,તેથી $a^{2} = 9$.
નાભિઓ $(0, \pm c) = (0, \pm 5)$ આપેલ હોવાથી,$c = 5$,તેથી $c^{2} = 25$.
અતિવલય માટે,$c^{2} = a^{2} + b^{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $25 = 9 + b^{2}$.
$b^{2} = 25 - 9 = 16$.
આમ,સમીકરણ $\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{16} = 1$ છે.

(A) નાભિઓ $(\pm 5, 0)$ છે,જે $x$-અક્ષ પર છે. અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ છે.
આપેલ નાભિઓ $(\pm c, 0) = (\pm 5, 0)$ પરથી,$c = 5$ મળે.
પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a = 8$ છે,તેથી $a = 4$ મળે.
સંબંધ $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$5^{2} = 4^{2} + b^{2}$.
$25 = 16 + b^{2} \Rightarrow b^{2} = 25 - 16 = 9$.
$a^{2} = 16$ અને $b^{2} = 9$ કિંમતો મૂકતા,અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ મળે.

(A) નાભિઓ $(0, \pm 13)$ હોવાથી,અતિવલય શિરોલંબ છે અને ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત છે. પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ છે.
નાભિઓ $(0, \pm c)$ હોવાથી,$c = 13$ મળે.
અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ $2b = 24$ છે,તેથી $b = 12$ મળે.
સંબંધ $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$13^{2} = a^{2} + 12^{2}$ મળે.
$169 = a^{2} + 144 \Rightarrow a^{2} = 169 - 144 = 25$.
$a^{2} = 25$ અને $b^{2} = 144$ ને પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા,$\frac{y^{2}}{25} - \frac{x^{2}}{144} = 1$ મળે.

(A) આપેલ છે કે નાભિઓ $(\pm 3 \sqrt{5}, 0)$ છે. નાભિઓ $x$-અક્ષ પર હોવાથી,અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ સ્વરૂપનું છે.
અહીં,$c = 3 \sqrt{5}$,તેથી $c^{2} = 45$.
નાભિલંબની લંબાઈ $8$ છે,તેથી $\frac{2b^{2}}{a} = 8$,જેનો અર્થ છે કે $b^{2} = 4a$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $c^{2} = a^{2} + b^{2}$. કિંમતો મૂકતા,$a^{2} + 4a = 45$,અથવા $a^{2} + 4a - 45 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(a + 9)(a - 5) = 0$. $a > 0$ હોવાથી,$a = 5$.
તેથી $b^{2} = 4 \times 5 = 20$.
આમ,અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{20} = 1$ છે.

(A) નાભિઓ $(\pm 4, 0)$ છે,જે $x$-અક્ષ પર છે. અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ છે.
અહીં $c = 4$,તેથી $c^{2} = 16$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^{2}}{a} = 12$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b^{2} = 6a$.
સંબંધ $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a^{2} + 6a = 16$
$a^{2} + 6a - 16 = 0$
$(a + 8)(a - 2) = 0$
$a > 0$ હોવાથી,$a = 2$.
તેથી $b^{2} = 6(2) = 12$.
આમ,અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ છે.

(A) શિરોબિંદુઓ $(\pm 7, 0)$ છે,જે $x$-અક્ષ પર આવેલા છે. તેથી,સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સ્વરૂપનું છે.
આપેલ છે કે $a = 7$ અને ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \frac{c}{a} = \frac{4}{3}$.
$a = 7$ મૂકતા,$\frac{c}{7} = \frac{4}{3}$,તેથી $c = \frac{28}{3}$.
સંબંધ $c^2 = a^2 + b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = c^2 - a^2 = (\frac{28}{3})^2 - 7^2 = \frac{784}{9} - 49 = \frac{784 - 441}{9} = \frac{343}{9}$.
$a^2 = 49$ અને $b^2 = \frac{343}{9}$ ને પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{49} - \frac{y^2}{343/9} = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^2}{49} - \frac{9y^2}{343} = 1$ થાય છે.

(A) નાભિઓ $(0, \pm \sqrt{10})$ છે,જે $y$-અક્ષ પર છે.
તેથી,અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ સ્વરૂપનું છે.
અહીં,$c = \sqrt{10}$,તેથી $c^{2} = 10$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $c^{2} = a^{2} + b^{2}$,તેથી $a^{2} + b^{2} = 10$,એટલે કે $b^{2} = 10 - a^{2}$.
અતિવલય $(2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{9}{a^{2}} - \frac{4}{b^{2}} = 1$.
$b^{2} = 10 - a^{2}$ મૂકતા: $\frac{9}{a^{2}} - \frac{4}{10 - a^{2}} = 1$.
$9(10 - a^{2}) - 4a^{2} = a^{2}(10 - a^{2})$.
$90 - 13a^{2} = 10a^{2} - a^{4}$.
$a^{4} - 23a^{2} + 90 = 0$.
$(a^{2} - 18)(a^{2} - 5) = 0$.
$c^{2} > a^{2}$ હોવાથી,$10 > a^{2}$,તેથી $a^{2} = 5$.
તેથી $b^{2} = 10 - 5 = 5$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{y^{2}}{5} - \frac{x^{2}}{5} = 1$ છે.

(B) રેખા $2x - y = 0$ નો ઢાળ $2$ છે. સ્પર્શક આ રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $m = 2$ થશે.
અતિવલય $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ ના બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_{1}}{4} - \frac{yy_{1}}{2} = 1$ છે.
આ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{x_{1}/4}{y_{1}/2} = \frac{x_{1}}{2y_{1}}$ છે.
ઢાળ સરખાવતા: $\frac{x_{1}}{2y_{1}} = 2 \Rightarrow x_{1} = 4y_{1} \quad (1)$.
બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ અતિવલય પર હોવાથી,$\frac{x_{1}^{2}}{4} - \frac{y_{1}^{2}}{2} = 1 \quad (2)$.
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ માં મૂકતા: $\frac{(4y_{1})^{2}}{4} - \frac{y_{1}^{2}}{2} = 1 \Rightarrow 4y_{1}^{2} - \frac{y_{1}^{2}}{2} = 1$.
$\frac{7y_{1}^{2}}{2} = 1 \Rightarrow y_{1}^{2} = \frac{2}{7}$.
હવે,$x_{1}^{2} + 5y_{1}^{2} = (4y_{1})^{2} + 5y_{1}^{2} = 16y_{1}^{2} + 5y_{1}^{2} = 21y_{1}^{2}$.
$y_{1}^{2} = \frac{2}{7}$ મૂકતા: $21 \times \frac{2}{7} = 3 \times 2 = 6$.

(B) આપેલ ઉપવલય $3x^{2} + 4y^{2} = 12$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^{2} = 4$ અને $b^{2} = 3$. ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$.
નાભિ $(\pm ae, 0) = (\pm 1, 0)$ છે.
અતિવલય માટે,મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a_{h} = \sqrt{2}$,તેથી $a_{h}^{2} = \frac{1}{2}$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{1/2} - \frac{y^{2}}{b_{h}^{2}} = 1$ છે.
નાભિ $(\pm \sqrt{a_{h}^{2} + b_{h}^{2}}, 0) = (\pm \sqrt{\frac{1}{2} + b_{h}^{2}}, 0)$ છે.
નાભિ સમાન હોવાથી,$\frac{1}{2} + b_{h}^{2} = 1$,તેથી $b_{h}^{2} = \frac{1}{2}$.
અતિવલયનું સમીકરણ $x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}$ છે.
બિંદુ $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ માટે,$\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1 \neq \frac{1}{2}$.
તેથી,આ બિંદુ અતિવલય પર નથી.

(A) બિંદુ $(3,3)$ એ અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ પર હોવાથી,$\frac{9}{a^{2}}-\frac{9}{b^{2}}=1$ $(i)$.
અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ માટે $(x_{1}, y_{1})$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^{2}x}{x_{1}} + \frac{b^{2}y}{y_{1}} = a^{2} + b^{2}$ છે.
$(x_{1}, y_{1}) = (3,3)$ મૂકતા,અભિલંબ $\frac{a^{2}x}{3} + \frac{b^{2}y}{3} = a^{2} + b^{2}$ મળે.
આ અભિલંબ $(9,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{a^{2}(9)}{3} + 0 = a^{2} + b^{2}$ $\Rightarrow 3a^{2} = a^{2} + b^{2}$ $\Rightarrow b^{2} = 2a^{2}$ $(ii)$.
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $\frac{9}{a^{2}} - \frac{9}{2a^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{18-9}{2a^{2}} = 1$ $\Rightarrow 9 = 2a^{2}$ $\Rightarrow a^{2} = \frac{9}{2}$.
તેથી $b^{2} = 2(\frac{9}{2}) = 9$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $e^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}} = 1 + \frac{9}{9/2} = 1 + 2 = 3$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(a^{2}, e^{2})$ એ $(\frac{9}{2}, 3)$ છે.

(B) રેખા $y=mx+c$ એ અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $c^{2}=a^{2}m^{2}-b^{2}$ છે.
આપેલ અતિવલય $\frac{x^{2}}{100}-\frac{y^{2}}{64}=1$ માટે,$a^{2}=100$ અને $b^{2}=64$ છે,તેથી $c^{2}=100m^{2}-64$.
રેખા $y=mx+c$ એ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $c^{2}=r^{2}(1+m^{2})$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=36$ માટે,$r^{2}=36$ છે,તેથી $c^{2}=36(1+m^{2})$.
$c^{2}$ માટેની બંને અભિવ્યક્તિઓને સરખાવતા:
$100m^{2}-64=36(1+m^{2})$
$100m^{2}-64=36+36m^{2}$
$64m^{2}=100$
$m^{2}=\frac{100}{64}=\frac{25}{16}$.
હવે,$m^{2}$ ની કિંમત વર્તુળની શરતમાં મૂકતા:
$c^{2}=36(1+\frac{25}{16})$
$c^{2}=36(\frac{16+25}{16})$
$c^{2}=36(\frac{41}{16})$
$c^{2}=\frac{9 \times 41}{4}$
$4c^{2}=369$.

(D) વક્ર $x^{2}y^{2}=1$ છે,જેનો અર્થ છે $xy=1$ અથવા $xy=-1$. ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(t_1, 1/t_1)$,$B(t_2, -1/t_2)$,$C(-t_1, -1/t_1)$,અને $D(-t_2, 1/t_2)$ છે.
$ABCD$ ચોરસ હોવાથી,$AB$ નું મધ્યબિંદુ વક્ર $xy=1$ અથવા $xy=-1$ પર હોવું જોઈએ. $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = (\frac{t_1+t_2}{2}, \frac{1/t_1 - 1/t_2}{2})$ છે.
$M$ એ $xy=1$ પર હોય તે માટે,$(\frac{t_1+t_2}{2})(\frac{t_2-t_1}{2t_1t_2}) = 1$,જેનું સાદું રૂપ $t_2^2 - t_1^2 = 4t_1t_2$ થાય છે.
વળી,$AB$ નો ઢાળ $-1$ હોવો જોઈએ. $AB$ નો ઢાળ $\frac{-1/t_2 - 1/t_1}{t_2 - t_1} = -1$ છે,જેનો અર્થ છે $t_1+t_2 = t_1t_2(t_2-t_1)$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $t_1t_2 = 1$ અને $t_2^2 - t_1^2 = 4$ મળે છે. તેથી $t_2^2 + t_1^2 = \sqrt{4^2 + 4(1)^2} = 2\sqrt{5}$.
બાજુની લંબાઈનો વર્ગ $AB^2 = (t_2-t_1)^2 + (-1/t_2 - 1/t_1)^2 = 4\sqrt{5}$.
$ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= AB^2 = 4\sqrt{5}$.
તેથી,ક્ષેત્રફળનો વર્ગ $(4\sqrt{5})^2 = 80$ થાય.

(C) આપેલ અતિવલય $x^{2}-2y^{2}=4$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^{2}=4$ અને $b^{2}=2$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1+\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ છે.
નાભિ $F$ એ $(ae, 0) = (2 \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}, 0) = (\sqrt{6}, 0)$ છે.
અતિવલય $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$ માટે $P(4, \sqrt{6})$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x x_{1}}{4}-\frac{y y_{1}}{2}=1$ છે.
$(x_{1}, y_{1}) = (4, \sqrt{6})$ મૂકતા,આપણને $\frac{4x}{4}-\frac{\sqrt{6}y}{2}=1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x - \frac{\sqrt{6}}{2}y = 1$ અથવા $2x - y\sqrt{6} = 2$ થાય છે.
$Q$ શોધવા માટે,સ્પર્શકના સમીકરણમાં $y=0$ મૂકો: $2x=2 \Rightarrow x=1$. તેથી,$Q(1, 0)$.
$R$ શોધવા માટે,સ્પર્શકના સમીકરણમાં $x=\sqrt{6}$ (નાભિલંબ) મૂકો: $2(\sqrt{6}) - y\sqrt{6} = 2 \Rightarrow y\sqrt{6} = 2\sqrt{6}-2 \Rightarrow y = 2 - \frac{2}{\sqrt{6}}$.
આમ,$R(\sqrt{6}, 2 - \frac{2}{\sqrt{6}})$.
શિરોબિંદુઓ $Q(1, 0)$,$F(\sqrt{6}, 0)$,અને $R(\sqrt{6}, 2 - \frac{2}{\sqrt{6}})$ ધરાવતા $\Delta QFR$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ છે.
પાયો $QF = |\sqrt{6}-1|$.
વેધ $FR = |2 - \frac{2}{\sqrt{6}}|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (\sqrt{6}-1) \times 2(1 - \frac{1}{\sqrt{6}}) = (\sqrt{6}-1) \times \frac{\sqrt{6}-1}{\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{6}-1)^{2}}{\sqrt{6}} = \frac{6+1-2\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{7}{\sqrt{6}}-2$.

(B) આપેલ રેખાઓ $(\sqrt{3})kx + ky = 4\sqrt{3}$ અને $\sqrt{3}x - y = 4\sqrt{3}k$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$k = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}x + y}$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$k = \frac{\sqrt{3}x - y}{4\sqrt{3}}$.
$k$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}x + y} = \frac{\sqrt{3}x - y}{4\sqrt{3}}$
$(\sqrt{3}x - y)(\sqrt{3}x + y) = 48$
$3x^2 - y^2 = 48$
$48$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{48} = 1$ મળે છે.
આ અતિવલયનું સમીકરણ છે જ્યાં $a^2 = 16$ અને $b^2 = 48$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$48 = 16(e^2 - 1)$
$3 = e^2 - 1$
$e^2 = 4$
$e = 2$.

(B) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$ માટે,$a^{2}=25$ અને $b^{2}=16$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e_{1} = \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1-\frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ છે.
ઉપવલયની નાભિઓ $(\pm ae_{1}, 0) = (\pm 5 \times \frac{3}{5}, 0) = (\pm 3, 0)$ છે.
આપેલ છે કે ઉપવલય અને અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતાનો ગુણાકાર $1$ છે,તેથી $e_{1} \times e_{2} = 1$ $\Rightarrow \frac{3}{5} \times e_{2} = 1$ $\Rightarrow e_{2} = \frac{5}{3}$ છે.
ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ છે.
અતિવલય ઉપવલયની નાભિઓ $(\pm 3, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$\frac{3^{2}}{a^{2}} = 1 \Rightarrow a^{2} = 9$ મળે.
અતિવલય માટે,$b^{2} = a^{2}(e_{2}^{2}-1) = 9((\frac{5}{3})^{2}-1) = 9(\frac{25}{9}-1) = 9(\frac{16}{9}) = 16$ મળે.
તેથી,અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ છે.

(C) આપેલ અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ અને ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^{2} = a^{2}(e^{2}-1) = a^{2}(\frac{5}{4}-1) = \frac{a^{2}}{4}$,તેથી $a^{2} = 4b^{2}$.
બિંદુ $P(-2 \sqrt{6}, \sqrt{3})$ અતિવલય પર હોવાથી,$\frac{(-2 \sqrt{6})^{2}}{4b^{2}} - \frac{(\sqrt{3})^{2}}{b^{2}} = 1$.
$\frac{24}{4b^{2}} - \frac{3}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{6}{b^{2}} - \frac{3}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{3}{b^{2}} = 1 \Rightarrow b^{2} = 3$,તેથી $b = \sqrt{3}$ અને $a^{2} = 12$,તેથી $a = 2 \sqrt{3}$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ છે.
$P(x_{1}, y_{1})$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_{1}}{a^{2}} - \frac{yy_{1}}{b^{2}} = 1$ છે.
$\frac{x(-2 \sqrt{6})}{12} - \frac{y(\sqrt{3})}{3} = 1 \Rightarrow -\frac{x \sqrt{6}}{6} - \frac{y}{\sqrt{3}} = 1$.
અનુબદ્ધ અક્ષ માટે,$x = 0$ લેતા: $-\frac{y}{\sqrt{3}} = 1 \Rightarrow y = -\sqrt{3}$. આમ $Q = (0, -\sqrt{3})$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}} = \frac{3(-2 \sqrt{6})}{12(\sqrt{3})} = \frac{-6 \sqrt{6}}{12 \sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
અભિલંબનો ઢાળ $m' = -\frac{1}{m} = \sqrt{2}$.
$P$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - \sqrt{3} = \sqrt{2}(x + 2 \sqrt{6})$ છે.
અનુબદ્ધ અક્ષ માટે,$x = 0$ લેતા: $y - \sqrt{3} = \sqrt{2}(2 \sqrt{6}) = 2 \sqrt{12} = 4 \sqrt{3}$.
$y = 4 \sqrt{3} + \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}$. આમ $R = (0, 5 \sqrt{3})$.
અંતર $QR = |5 \sqrt{3} - (-\sqrt{3})| = |6 \sqrt{3}| = 6 \sqrt{3}$.

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $2x^2 - y^2 = 2$ છે,જેને $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{2} = 1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^2 = 1$ અને $b^2 = 2$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} + \frac{b^2y}{y_1} = a^2 + b^2$ છે.
બિંદુ $A(\sec \theta, 2 \tan \theta)$ માટે,અભિલંબ $\frac{1 \cdot x}{\sec \theta} + \frac{2 \cdot y}{2 \tan \theta} = 1 + 2 = 3$ છે,જે $x \cos \theta + y \cot \theta = 3$ માં પરિણમે છે.
બિંદુ $B(\sec \phi, 2 \tan \phi)$ માટે,અભિલંબ $x \cos \phi + y \cot \phi = 3$ છે.
આપેલ છે કે $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$,તેથી $\cos \phi = \sin \theta$ અને $\cot \phi = \tan \theta$.
આમ સમીકરણો છે:
$1) x \cos \theta + y \cot \theta = 3$
$2) x \sin \theta + y \tan \theta = 3$
$x$ નો લોપ કરીને $y = \beta$ માટે ઉકેલતા:
$y(\cos \theta - \sin \theta) = 3(\sin \theta - \cos \theta)$
$y = -3$
તેથી,$\beta = -3$. આમ $(2\beta)^2 = (2 \times -3)^2 = (-6)^2 = 36$.

(B) આપેલ અતિવલય $16(x+1)^{2}-9(y-2)^{2}=144$ છે.
જે $\frac{(x+1)^{2}}{9}-\frac{(y-2)^{2}}{16}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અતિવલયનું કેન્દ્ર $(-1, 2)$ છે.
અહીં $a^{2}=9$ અને $b^{2}=16$,તેથી $e=\sqrt{1+\frac{16}{9}}=\frac{5}{3}$.
નાભિઓ $(h \pm ae, k) = (-1 \pm 3 \times \frac{5}{3}, 2) = (-1 \pm 5, 2)$ એટલે કે $(4, 2)$ અને $(-6, 2)$ છે.
ધારો કે $P(\alpha, \beta)$ અતિવલય પરનું બિંદુ છે.
ધારો કે $G(x, y)$ એ $P(\alpha, \beta)$,$(4, 2)$,અને $(-6, 2)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર છે.
તેથી $x=\frac{\alpha+4-6}{3} = \frac{\alpha-2}{3} \Rightarrow \alpha=3x+2$.
અને $y=\frac{\beta+2+2}{3} = \frac{\beta+4}{3} \Rightarrow \beta=3y-4$.
$P(\alpha, \beta)$ અતિવલય પર હોવાથી,$\alpha$ અને $\beta$ ની કિંમત મૂકતા:
$16(3x+2+1)^{2}-9(3y-4-2)^{2}=144$
$16(3x+3)^{2}-9(3y-6)^{2}=144$
$144(x+1)^{2}-81(y-2)^{2}=144$
$9$ વડે ભાગતા:
$16(x+1)^{2}-9(y-2)^{2}=16$
$16x^{2}+32x+16-9y^{2}+36y-36=16$
$16x^{2}-9y^{2}+32x+36y-36=0$.

(D) આપેલ અતિવલય $a^{2}x^{2} - y^{2} = b^{2}$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{(b/a)^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $y = mx + c$ એ અતિવલય $\frac{x^{2}}{A^{2}} - \frac{y^{2}}{B^{2}} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તો તેની શરત $c^{2} = A^{2}m^{2} - B^{2}$ છે.
અહીં,રેખા $\lambda x - 2y = \mu$ છે,જેને $y = \frac{\lambda}{2}x - \frac{\mu}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
$y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,$m = \frac{\lambda}{2}$ અને $c = -\frac{\mu}{2}$ મળે.
અહીં $A^{2} = \frac{b^{2}}{a^{2}}$ અને $B^{2} = b^{2}$ છે.
શરત $c^{2} = A^{2}m^{2} - B^{2}$ માં કિંમતો મૂકતા:
$(-\frac{\mu}{2})^{2} = \frac{b^{2}}{a^{2}}(\frac{\lambda}{2})^{2} - b^{2}$
$\frac{\mu^{2}}{4} = \frac{b^{2}\lambda^{2}}{4a^{2}} - b^{2}$
$\frac{4}{b^{2}}$ વડે ગુણતા:
$\frac{\mu^{2}}{b^{2}} = \frac{\lambda^{2}}{a^{2}} - 4$
પદોને ગોઠવતા,$\frac{\lambda^{2}}{a^{2}} - \frac{\mu^{2}}{b^{2}} = 4$ મળે.

(B) આપેલ ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{5}{4}$,તેથી $e^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{25}{16}$ $\Rightarrow \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{9}{16}$ $\Rightarrow b^{2} = \frac{9}{16}a^{2}$.
બિંદુ $\left(\frac{8}{\sqrt{5}}, \frac{12}{5}\right)$ અતિવલય પર છે,તેથી $\frac{64}{5a^{2}} - \frac{144}{25b^{2}} = 1$.
$b^{2} = \frac{9}{16}a^{2}$ મૂકતા,આપણને $a^{2} = \frac{64}{25}$ અને $b^{2} = \frac{36}{25}$ મળે છે.
$(x_{1}, y_{1})$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^{2}x}{x_{1}} + \frac{b^{2}y}{y_{1}} = a^{2} + b^{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $8\sqrt{5}x + 15y = 100$ મળે છે.
$8\sqrt{5}x + \beta y = \lambda$ સાથે સરખાવતા,$\beta = 15$ અને $\lambda = 100$ મળે છે.
તેથી,$\lambda - \beta = 100 - 15 = 85$.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1$ છે.
બિંદુ $(8, 3\sqrt{3})$ અતિવલય પર હોવાથી:
$\frac{64}{a^{2}}-\frac{27}{9}=1$ $\Rightarrow \frac{64}{a^{2}}=4$ $\Rightarrow a^{2}=16$.
અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^{2}x}{x_{1}}+\frac{b^{2}y}{y_{1}}=a^{2}+b^{2}$ મુજબ:
$\frac{16x}{8}+\frac{9y}{3\sqrt{3}}=16+9 \Rightarrow 2x+\sqrt{3}y=25$.
વિકલ્પ $C$ ચકાસતા: $2(-1)+\sqrt{3}(9\sqrt{3}) = -2+27 = 25$.
તેથી,અભિલંબ $(-1, 9\sqrt{3})$ માંથી પસાર થાય છે.

(B) અતિવલય $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}=1$ ના બિંદુ $(4 \sec \theta, 2 \tan \theta)$ આગળ સ્પર્શક $L_{1}$ નું સમીકરણ $\frac{x \sec \theta}{4}-\frac{y \tan \theta}{2}=1$ છે.
$L_{1}$ નો ઢાળ $m_{1} = \frac{\sec \theta}{2 \tan \theta}$ છે.
ધારો કે છેદબિંદુ $(h, k)$ છે. $L_{2}$ એ $(0, 0)$ અને $(h, k)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_{2} = \frac{k}{h}$ છે.
$L_{1} \perp L_{2}$ હોવાથી,$m_{1} m_{2} = -1$,તેથી $\frac{k}{h} \cdot \frac{\sec \theta}{2 \tan \theta} = -1$,જે $\sin \theta = -\frac{k}{2h}$ આપે છે.
તેથી $\cos^{2} \theta = 1 - \frac{k^{2}}{4h^{2}} = \frac{4h^{2}-k^{2}}{4h^{2}}$,એટલે કે $\cos \theta = \frac{\sqrt{4h^{2}-k^{2}}}{2h}$.
આ કિંમતોને સ્પર્શકના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{h}{4} \cdot \frac{2h}{\sqrt{4h^{2}-k^{2}}} - \frac{k}{2} \cdot \left( \frac{-k}{\sqrt{4h^{2}-k^{2}}} \right) = 1$
$\frac{2h^{2}+k^{2}}{2\sqrt{4h^{2}-k^{2}}} = 1 \implies 2h^{2}+k^{2} = 2\sqrt{4h^{2}-k^{2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(2h^{2}+k^{2})^{2} = 4(4h^{2}-k^{2}) = 16h^{2}-4k^{2}$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,આપણને $(x^{2}+y^{2})^{2} = 16x^{2}-4y^{2}$ મળે છે.
આમ $\alpha=16$ અને $\beta=-4$.
$\alpha+\beta = 16-4 = 12$.

(D) અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ માટે,$e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$ અને $\ell=\frac{2b^{2}}{a}$ છે.
આપેલ છે કે $e^{2}=\frac{11}{14}\ell$,તેથી $1+\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{11}{14} \cdot \frac{2b^{2}}{a}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}=\frac{11b^{2}}{7a} \dots (1)$ થાય.
અનુબદ્ધ અતિવલય $\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1$ માટે,$e^{\prime}=\sqrt{1+\frac{a^{2}}{b^{2}}}$ અને $\ell^{\prime}=\frac{2a^{2}}{b}$ છે.
આપેલ છે કે $(e^{\prime})^{2}=\frac{11}{8}\ell^{\prime}$,તેથી $1+\frac{a^{2}}{b^{2}}=\frac{11}{8} \cdot \frac{2a^{2}}{b}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{a^{2}+b^{2}}{b^{2}}=\frac{11a^{2}}{4b} \dots (2)$ થાય.
$(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા,$\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{4b^{3}}{7a^{3}}$ મળે.
તેથી,$7a=4b \dots (3)$.
$(2)$ માં $a=\frac{4b}{7}$ મૂકતા,$b = \frac{65}{44}$ મળે.
તેથી $a = \frac{65}{77}$ મળે.
અંતે,$77a+44b = 77(\frac{65}{77}) + 44(\frac{65}{44}) = 65+65 = 130$.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે રેખા $y = mx + c$ સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
અહીં $m = 2$ હોવાથી,$c^2 = 4a^2 - b^2$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$.
$e^2 = \frac{5}{2}$ મુકતા,$\frac{5}{2} = 1 + \frac{b^2}{a^2}$,તેથી $\frac{b^2}{a^2} = \frac{3}{2}$ અથવા $b^2 = \frac{3a^2}{2}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 6\sqrt{2}$ છે.
$b^2 = \frac{3a^2}{2}$ મુકતા,$\frac{2}{a} \times \frac{3a^2}{2} = 6\sqrt{2}$,જેનું સાદુંરૂપ $3a = 6\sqrt{2}$ એટલે કે $a = 2\sqrt{2}$ મળે.
તેથી $a^2 = 8$ અને $b^2 = \frac{3}{2} \times 8 = 12$.
આમ,$c^2 = 4a^2 - b^2 = 4(8) - 12 = 32 - 12 = 20$.

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ છે.
આપેલ ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{\sqrt{11}}{2}$ માટે,$e^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}$.
કિંમત મૂકતા,$\frac{11}{4} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{7}{4}$,તેથી $b = \frac{\sqrt{7}}{2}a$.
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $(2a)$ અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $(2b)$ નો સરવાળો $2a + 2b = 4(2\sqrt{2} + \sqrt{14})$ છે.
$b = \frac{\sqrt{7}}{2}a$ મૂકતા,$2a + 2(\frac{\sqrt{7}}{2}a) = 4(2\sqrt{2} + \sqrt{14})$.
$2a + \sqrt{7}a = 4\sqrt{2}(2 + \sqrt{7})$.
$a(2 + \sqrt{7}) = 4\sqrt{2}(2 + \sqrt{7})$.
તેથી,$a = 4\sqrt{2}$,જેનો અર્થ છે કે $a^{2} = 32$.
$b^{2} = \frac{7}{4}a^{2} = \frac{7}{4} \times 32 = 56$.
તેથી,$a^{2} + b^{2} = 32 + 56 = 88$.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2} + y^{2} - 2x + 2fy + 1 = 0$ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, -f)$ છે.
વ્યાસ કેન્દ્રમાંથી પસાર થતા હોવાથી,આપણે $(1, -f)$ ને વ્યાસના સમીકરણોમાં મૂકીએ:
$2p(1) - (-f) = 1 \implies 2p + f = 1 \implies f = 1 - 2p$.
$2(1) + p(-f) = 4p \implies 2 - pf = 4p$.
બીજા સમીકરણમાં $f = 1 - 2p$ મૂકતા:
$2 - p(1 - 2p) = 4p \implies 2 - p + 2p^{2} = 4p \implies 2p^{2} - 5p + 2 = 0$.
$p$ માટે ઉકેલતા: $(2p - 1)(p - 2) = 0$,તેથી $p = 1/2$ અથવા $p = 2$.
જો $p = 1/2$,તો $f = 1 - 2(1/2) = 0$. કેન્દ્ર $(1, 0)$ છે.
જો $p = 2$,તો $f = 1 - 2(2) = -3$. કેન્દ્ર $(1, 3)$ છે.
અતિવલય $3x^{2} - y^{2} = 3$ છે,જે $x^{2} - y^{2}/3 = 1$ છે. સ્પર્શક $y = mx + c$ માટે $c^{2} = a^{2}m^{2} - b^{2} = m^{2} - 3$.
કિસ્સો $1$: કેન્દ્ર $(1, 0)$. $0 = m(1) + c \implies c = -m$. તેથી $c^{2} = m^{2} = m^{2} - 3$,જે શક્ય નથી.
કિસ્સો $2$: કેન્દ્ર $(1, 3)$. $3 = m(1) + c \implies c = 3 - m$. તેથી $c^{2} = (3 - m)^{2} = m^{2} - 3$.
$9 - 6m + m^{2} = m^{2} - 3 \implies 6m = 12 \implies m = 2$.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $kx^{2}-y^{2}=6$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{6/k} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $a^{2} = \frac{6}{k}$ અને $b^{2} = 6$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e$ માટે $e^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}} = 1 + \frac{6}{6/k} = 1 + k$.
તેથી $e = \sqrt{1+k}$.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x = \frac{a}{e}$ છે.
આપેલ નિયામિકા $x = 1$ હોવાથી,$1 = \frac{\sqrt{6/k}}{\sqrt{1+k}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1 = \frac{6}{k(1+k)} \Rightarrow k^{2} + k - 6 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા $(k+3)(k-2) = 0$,તેથી $k = 2$ મળે.
અતિવલયનું સમીકરણ $2x^{2} - y^{2} = 6$ છે.
વિકલ્પ $C$ ચકાસતા: $2(\sqrt{5})^{2} - (-2)^{2} = 2(5) - 4 = 6$. તેથી બિંદુ $(\sqrt{5}, -2)$ અતિવલય પર છે.

(D) પરવલય $y^2 = 24x$ માટે $(\alpha, \beta)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y\beta = 12(x + \alpha)$ છે. સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = \frac{12}{\beta}$ છે.
રેખા $2x + 2y = 5$ નો ઢાળ $m_2 = -1$ છે. સ્પર્શક લંબ હોવાથી $m_1 \times m_2 = -1$,તેથી $\frac{12}{\beta} \times (-1) = -1$,એટલે કે $\beta = 12$.
બિંદુ $(\alpha, \beta)$ પરવલય પર હોવાથી $12^2 = 24\alpha$,તેથી $144 = 24\alpha$,એટલે કે $\alpha = 6$.
અતિવલય $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{144} = 1$ છે. બિંદુ $(\alpha + 4, \beta + 4) = (10, 16)$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{36x}{10} + \frac{144y}{16} = 180$ એટલે કે $2x + 5y = 100$ મળે છે.
વિકલ્પો તપાસતા,બિંદુ $(15, 13)$ માટે $2(15) + 5(13) = 95 \neq 100$ થાય છે,તેથી તે બિંદુમાંથી પસાર થતો નથી.

(B) લંબચોરસ અતિવલય $x^2-y^2=a^2$ છે.
ધારો કે $B$ ના યામ $(a \sec \theta, a \tan \theta)$ અને $C$ ના યામ $(a \sec \theta, -a \tan \theta)$ છે.
$\triangle ABC$ સમબાજુ હોવાથી,$AB^2 = BC^2$.
બાજુ $BC = 2a \tan \theta$.
$AB^2 = (a \sec \theta + a)^2 + (a \tan \theta)^2 = a^2(\sec \theta + 1)^2 + a^2 \tan^2 \theta$.
$AB^2 = BC^2$ લેતા:
$a^2(\sec \theta + 1)^2 + a^2 \tan^2 \theta = 4a^2 \tan^2 \theta$.
$(\sec \theta + 1)^2 = 3 \tan^2 \theta = 3(\sec^2 \theta - 1) = 3(\sec \theta + 1)(\sec \theta - 1)$.
$\sec \theta + 1 = 3 \sec \theta - 3 \implies 2 \sec \theta = 4 \implies \sec \theta = 2$.
તેથી $\tan \theta = \sqrt{3}$.
બાજુની લંબાઈ $BC = 2a \sqrt{3}$.
બાજુની લંબાઈ $ka$ હોવાથી,$k = 2 \sqrt{3} \approx 3.464$.
આમ,$k \in (2, 4]$.

(A) ધારો કે તોપનું સ્થાન $P$ છે અને અવાજની ઝડપ $S$ છે.
ધારો કે તોપનો અવાજ $A$ પર સંભળાય તે સમય $t$ છે.
તેથી,$B$ પર તે $t+1$ સમયે સંભળાય છે.
તેથી,અંતર $PA = \text{ઝડપ} \times \text{સમય} = St$.
તે જ રીતે,અંતર $PB = S(t+1) = St + S$.
બંને અંતરોની બાદબાકી કરતા,$PB - PA = (St + S) - St = S$.
અહીં $S$ એ અવાજની ઝડપ (અચળ) છે,તેથી $PB - PA = \text{અચળ}$.
અતિવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,જે બિંદુનું બે નિશ્ચિત બિંદુઓ (નાભિઓ) થી અંતરનો તફાવત અચળ હોય તે બિંદુનો બિંદુપથ અતિવલય છે.
આમ,$A$ અને $B$ એ અતિવલયના નાભિઓ છે અને તોપનું સ્થાન $P$ એ અતિવલયની એક શાખા પર છે.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $xy=1$ છે,જેને $y = \frac{1}{x}$ તરીકે લખી શકાય.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ મળે.
બિંદુ $(2, 1/2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2, 1/2)} = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4}$ છે.
$(2, 1/2)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $n = -\frac{1}{(-1/4)} = 4$ થાય.
ધારો કે આપાત કિરણનો ઢાળ $m$ છે. પરાવર્તિત કિરણ $Y$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી તેનો ઢાળ $\infty$ છે.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાત કિરણ અને અભિલંબ વચ્ચેનો ખૂણો એ પરાવર્તિત કિરણ અને અભિલંબ વચ્ચેના ખૂણા જેટલો હોય છે. બે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ હોય ત્યારે તેમની વચ્ચેના ખૂણાનું સૂત્ર $\tan \theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left|\frac{4 - m}{1 + 4m}\right| = \left|\frac{\infty - 4}{1 + 4(\infty)}\right| = \left|\frac{1}{4}\right|$.
$\frac{4 - m}{1 + 4m} = \frac{1}{4}$ ને ઉકેલતા:
$16 - 4m = 1 + 4m$
$8m = 15 \Rightarrow m = \frac{15}{8}$.
$\frac{4 - m}{1 + 4m} = -\frac{1}{4}$ ને ઉકેલતા:
$16 - 4m = -1 - 4m$
$16 = -1$,જે અશક્ય છે.
આમ,આપાત કિરણનો ઢાળ $\frac{15}{8}$ છે.

(B) અતિવલયના શિરોબિંદુઓ $(\pm 6, 0)$ આપેલ હોવાથી,$a = 6$ મળે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(e^2 - 1) = 36 \left( \frac{5}{4} - 1 \right) = 36 \left( \frac{1}{4} \right) = 9$.
તેથી,અતિવલય $H$ નું સમીકરણ $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{9} = 1$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{ax}{\sec \theta} + \frac{by}{\tan \theta} = a^2 + b^2$ છે.
$a=6, b=3$ મૂકતા,સમીકરણ $\frac{6x}{\sec \theta} + \frac{3y}{\tan \theta} = 36 + 9 = 45$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $6x \cos \theta + 3y \cot \theta = 45$ થાય.
આ અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{6 \cos \theta}{3 \cot \theta} = -2 \sin \theta$ છે.
અભિલંબ રેખા $\sqrt{2}x + y = 2\sqrt{2}$ ને સમાંતર છે,જેનો ઢાળ $-\sqrt{2}$ છે.
તેથી,$-2 \sin \theta = -\sqrt{2} \Rightarrow \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}$.
અભિલંબના સમીકરણમાં $\theta = \frac{\pi}{4}$ મૂકતા: $6x \cos(\frac{\pi}{4}) + 3y \cot(\frac{\pi}{4}) = 45 \Rightarrow 6x(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 3y(1) = 45 \Rightarrow 3\sqrt{2}x + 3y = 45 \Rightarrow \sqrt{2}x + y = 15$.
અતિવલય પરનું બિંદુ $P$ એ $(6 \sec(\frac{\pi}{4}), 3 \tan(\frac{\pi}{4})) = (6\sqrt{2}, 3)$ છે.
અભિલંબનું $y$-અક્ષ $(x=0)$ સાથેનું છેદબિંદુ $K(0, 15)$ છે.
લંબાઈ $d$ એ $P(6\sqrt{2}, 3)$ અને $K(0, 15)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$d^2 = (6\sqrt{2} - 0)^2 + (3 - 15)^2 = (6\sqrt{2})^2 + (-12)^2 = 72 + 144 = 216$.

(A) નાભિઓ $(h \pm ae, k) = (1 \pm \sqrt{2}, 0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સરખામણી કરતા,આપણને કેન્દ્ર $(h, k) = (1, 0)$ અને $ae = \sqrt{2}$ મળે છે.
આપેલ ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{2}$ હોવાથી,$a(\sqrt{2}) = \sqrt{2}$,જેનો અર્થ છે કે $a = 1$.
અતિવલય માટે,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
કિંમતો મૂકતા,$b^2 = 1^2((\sqrt{2})^2 - 1) = 1(2 - 1) = 1$.
આમ,$b = 1$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \frac{2(1)^2}{1} = 2$ છે.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{12} - \frac{y^2}{9} = 1$ છે.
બિંદુ $P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ રેખા $3x + 2y = 1$ ના ઢાળ $(m = -\frac{3}{2})$ જેટલો હોવો જોઈએ.
વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{3x_0}{4y_0} = -\frac{3}{2} \implies x_0 = -2y_0$.
અતિવલયના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા,$3(-2y_0)^2 - 4y_0^2 = 36 \implies 8y_0^2 = 36 \implies y_0 = \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$.
$y_0 = -\frac{3}{\sqrt{2}}$ લેતા,$x_0 = \frac{6}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\sqrt{2}(y_0 - x_0) = \sqrt{2}(-\frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{6}{\sqrt{2}}) = -9$.

(B) લંબચોરસ $R$ નું ક્ષેત્રફળ $2 \times 5 = 10$ ચોરસ એકમ છે.
રેખાખંડ $AB$ એ લંબચોરસમાંથી ત્રિકોણ $OAB$ કાપે છે,જ્યાં $O$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે.
ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \alpha \times \beta = \frac{\alpha \beta}{2}$ છે.
રેખાખંડ $AB$ લંબચોરસને $4:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. ત્રિકોણ $OAB$ એ નાનો ભાગ હોવાથી,તેનું ક્ષેત્રફળ કુલ ક્ષેત્રફળના $\frac{1}{5}$ ભાગનું હોવું જોઈએ.
$\frac{\text{Area}(OAB)}{\text{Area}(R)} = \frac{1}{5} \implies \frac{\alpha \beta / 2}{10} = \frac{1}{5} \implies \frac{\alpha \beta}{20} = \frac{1}{5} \implies \alpha \beta = 4$.
ધારો કે $M(h, k)$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી $h = \frac{\alpha}{2}$ અને $k = \frac{\beta}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 2h$ અને $\beta = 2k$.
આ કિંમતો $\alpha \beta = 4$ માં મૂકતા,આપણને $(2h)(2k) = 4 \implies 4hk = 4 \implies hk = 1$ મળે છે.
મધ્યબિંદુ $M(x, y)$ નો બિંદુપથ $xy = 1$ છે,જે અતિવલય દર્શાવે છે.