Hyperbola Questions in Gujarati

(B) આપેલ સમીકરણ $(x-3)^2+(y+1)^2=(4x+3y)^2$ છે.
આને $\sqrt{(x-3)^2+(y+1)^2} = 5 \left| \frac{4x+3y}{5} \right|$ તરીકે લખી શકાય.
આ $SP = ePM$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $S(3, -1)$ નાભિ છે,$e = 5$ ઉત્કેન્દ્રતા છે અને $4x+3y=0$ નિયામિકા છે.
મુખ્ય અક્ષ એ નાભિ $(3, -1)$ માંથી પસાર થતી અને નિયામિકા $4x+3y=0$ ને લંબ રેખા છે.
નિયામિકાનો ઢાળ $m_1 = -4/3$ છે.
મુખ્ય અક્ષ નિયામિકાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2 = 3/4$ થાય.
મુખ્ય અક્ષનું સમીકરણ $y - (-1) = \frac{3}{4}(x - 3)$ છે.
$4(y+1) = 3(x-3) \implies 4y+4 = 3x-9 \implies 3x-4y = 13$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $7x^2 - 49y^2 = 343$ છે.
બંને બાજુ $343$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{7x^2}{343} - \frac{49y^2}{343} = \frac{343}{343}$
$\frac{x^2}{49} - \frac{y^2}{7} = 1$.
આને અતિવલયના પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a^2 = 49$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 7$.
અતિવલયના શિરોબિંદુઓ $(\pm a, 0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,શિરોબિંદુઓ $(\pm 7, 0)$ છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે,નાભિ $(S) = (1, 2)$,ઉત્કેન્દ્રિયતા $(e) = \sqrt{3}$ અને નિયામિકા $2x + y - 1 = 0$.
શંકુના વ્યાખ્યા મુજબ,$SP = e \cdot PM$,જ્યાં $P(x, y)$ એ અતિવલય પરનું બિંદુ છે.
$SP^2 = e^2 \cdot PM^2$
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 3 \cdot \frac{(2x + y - 1)^2}{2^2 + 1^2}$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = \frac{3}{5}(4x^2 + y^2 + 1 + 4xy - 4x - 2y)$
$5(x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5) = 3(4x^2 + y^2 + 4xy - 4x - 2y + 1)$
$5x^2 + 5y^2 - 10x - 20y + 25 = 12x^2 + 3y^2 + 12xy - 12x - 6y + 3$
પદોને ગોઠવતા:
$7x^2 - 2y^2 + 12xy - 2x + 14y - 22 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા:
$2y^2 - 12xy - 7x^2 + 2x - 14y + 22 = 0$.

(A) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ લો.
શિરોબિંદુ $A^{\prime}$ ના યામ $(-a, 0)$ છે.
નાભિ $S$ એ $(ae, 0)$ છે અને નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $L$ અને $L^{\prime}$ એ $(ae, \frac{b^2}{a})$ અને $(ae, -\frac{b^2}{a})$ છે.
બાજુ $LL^{\prime}$ ની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a}$ છે.
$\triangle A^{\prime}LL^{\prime}$ સમબાજુ હોવાથી,$A^{\prime}$ થી $LL^{\prime}$ પરનો વેધ $\frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{બાજુની લંબાઈ} = \frac{\sqrt{3}b^2}{a}$ થાય.
$A^{\prime}(-a, 0)$ થી રેખા $x = ae$ નું અંતર $a(e+1)$ છે.
તેથી,$a(e+1) = \frac{\sqrt{3}b^2}{a}$.
$b^2 = a^2(e^2-1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$a(e+1) = \sqrt{3}a(e-1)(e+1)$ મળે.
$a(e+1)$ વડે ભાગતા,$1 = \sqrt{3}(e-1)$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $e = 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}$.

(B) આપેલા સમીકરણો છે:
$(i) \ 9x^2 - 16y^2 = 144 \Rightarrow \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$
$(ii) \ 9x^2 - 16y^2 = -144 \Rightarrow \frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1$
સમીકરણ $(i)$ એ અતિવલય દર્શાવે છે અને સમીકરણ $(ii)$ એ તેનો અનુબદ્ધ અતિવલય દર્શાવે છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_1$ એ $e_1^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$ દ્વારા મળે છે.
અનુબદ્ધ અતિવલય $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_2$ એ $e_2^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2} = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$ દ્વારા મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે અનુબદ્ધ અતિવલયો માટે,$\frac{1}{e_1^2} + \frac{1}{e_2^2} = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{25/16} + \frac{1}{25/9} = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1$.
હવે,$\frac{1}{e_1^2} + \frac{1}{e_2^2} = \frac{e_1^2 + e_2^2}{e_1^2 e_2^2} = 1$.
તેથી,$\frac{e_1^2 e_2^2}{e_1^2 + e_2^2} = 1$.

(B) $(0,0)$ કેન્દ્ર અને $X$-અક્ષ પર મુખ્ય અક્ષ ધરાવતા અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 12$ આપેલ છે,તેથી $a = 6$.
$a=6$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,$\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{b^2} = 1$.
બિંદુ $(8,2)$ અતિવલય પર હોવાથી,$\frac{8^2}{36} - \frac{2^2}{b^2} = 1$.
$\frac{64}{36} - \frac{4}{b^2} = 1 \implies \frac{16}{9} - 1 = \frac{4}{b^2}$.
$\frac{7}{9} = \frac{4}{b^2} \implies b^2 = \frac{36}{7}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$e = \sqrt{1 + \frac{36/7}{36}} = \sqrt{1 + \frac{1}{7}} = \sqrt{\frac{8}{7}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$.

(B) ધારો કે અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_1$ અને તેના અનુબદ્ધ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_2$ છે.
તેથી,તેમની વચ્ચેનો સંબંધ $\frac{1}{e_1^2} + \frac{1}{e_2^2} = 1$ છે.
આપેલ છે કે $e_1 = \frac{5}{3}$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{(\frac{5}{3})^2} + \frac{1}{e_2^2} = 1$
$\Rightarrow \frac{9}{25} + \frac{1}{e_2^2} = 1$
$\Rightarrow \frac{1}{e_2^2} = 1 - \frac{9}{25}$
$\Rightarrow \frac{1}{e_2^2} = \frac{16}{25}$
$\Rightarrow e_2^2 = \frac{25}{16}$
ઉત્કેન્દ્રતા હંમેશા $1$ કરતા મોટી હોવાથી,આપણે ધન વર્ગમૂળ લઈશું:
$e_2 = \frac{5}{4}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{c-12} + \frac{y^2}{7-c} = 1$ છે.
આ સમીકરણ અતિવલય દર્શાવે તે માટે છેદનો ગુણાકાર ઋણ હોવો જોઈએ,એટલે કે $(c-12)(7-c) < 0$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $(c-12)(c-7) > 0$ મળે છે.
આ અસમતા ઉકેલતા,આપણને $c < 7$ અથવા $c > 12$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ નું સહાયક વર્તુળ $x^2+y^2=a^2$ છે.
$\therefore a^2=16 \Rightarrow a=4$.
અતિવલય $(4 \sqrt{2}, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$\frac{(4 \sqrt{2})^2}{16} - \frac{3^2}{b^2} = 1$
$\Rightarrow \frac{32}{16} - \frac{9}{b^2} = 1$
$\Rightarrow 2 - \frac{9}{b^2} = 1$
$\Rightarrow \frac{9}{b^2} = 1$ $\Rightarrow b^2 = 9$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ એ $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$e = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.

(A) આપેલ અતિવલય $2x^2 - 3y^2 = 6$ છે,જેને $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{2} = 1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^2 = 3$ અને $b^2 = 2$ છે.
રેખા $x - 2y + 5 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{1}{2}$ છે.
સ્પર્શકો આ રેખાને લંબ છે,તેથી તેમનો ઢાળ $m$ એ $m \times \frac{1}{2} = -1$ નું પાલન કરે છે,જે $m = -2$ આપે છે.
$m$ ઢાળવાળા અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ છે.
$m = -2, a^2 = 3, b^2 = 2$ મૂકતા,આપણને $y = -2x \pm \sqrt{3(-2)^2 - 2} = -2x \pm \sqrt{10}$ મળે છે.
તેથી,બે સ્પર્શકો $2x + y - \sqrt{10} = 0$ અને $2x + y + \sqrt{10} = 0$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
અહીં,$d = \frac{|\sqrt{10} - (-\sqrt{10})|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{2}$.

(C) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $5x^2 - 9y^2 - 20x - 18y - 34 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા: $5(x - 2)^2 - 9(y + 1)^2 = 45$,એટલે કે $\frac{(x - 2)^2}{9} - \frac{(y + 1)^2}{5} = 1$.
અહીં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 5$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - k = m(x - h) \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ મુજબ: $y + 1 = 1(x - 2) \pm \sqrt{9 - 5}$.
$y + 1 = x - 2 \pm 2$.
કિસ્સો $1$: $x - y - 1 = 0 \implies b^2 + c^2 = (-1)^2 + (-1)^2 = 2$.
કિસ્સો $2$: $x - y - 5 = 0 \implies b^2 + c^2 = (-1)^2 + (-5)^2 = 26$.
તેથી,$b^2 + c^2 = 2$ અથવા $26$.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2 m^2 - b^2}$ છે.
આપેલ સ્પર્શક $3 \sqrt{2} x - 4 y = 12$ ને $y = \frac{3 \sqrt{2}}{4} x - 3$ તરીકે લખી શકાય. તેથી,$m = \frac{3 \sqrt{2}}{4}$ અને અચળ પદ $-3$ છે,તેથી $\sqrt{a^2 m^2 - b^2} = 3$,જેનો અર્થ છે કે $a^2 m^2 - b^2 = 9$.
$m^2 = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$ મૂકતા,આપણને $\frac{9}{8} a^2 - b^2 = 9$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{5}{4}$ આપેલ હોવાથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$,તેથી $\frac{25}{16} = 1 + \frac{b^2}{a^2}$,જે $\frac{b^2}{a^2} = \frac{9}{16}$ અથવા $b^2 = \frac{9}{16} a^2$ આપે છે.
સ્પર્શકની શરતમાં $b^2$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{9}{8} a^2 - \frac{9}{16} a^2 = 9$.
$16$ વડે ગુણતા: $18 a^2 - 9 a^2 = 144$,તેથી $9 a^2 = 144$,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 16$.
ત્યારબાદ $b^2 = \frac{9}{16} \times 16 = 9$.
અંતે,$a^2 - b^2 = 16 - 9 = 7$.

(A) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 5$ છે. ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 + \frac{5}{4}} = \frac{3}{2}$ છે.
નાભિ $(ae, 0) = (3, 0)$ છે.
પ્રથમ ચરણમાં નાભિલંબનું અંત્યબિંદુ $(3, \frac{5}{2})$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{3x}{4} - \frac{y}{2} = 1$ મળે છે.
$A$ બિંદુ માટે $y=0$ લેતા,$x = \frac{4}{3}$,તેથી $(OA)^2 = \frac{16}{9}$.
$B$ બિંદુ માટે $x=0$ લેતા,$y = -2$,તેથી $(OB)^2 = 4$.
આમ,$(OA)^2 - (OB)^2 = \frac{16}{9} - 4 = -\frac{20}{9}$.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
આપેલ નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 2, 0)$ છે,તેથી $ae = 2$.
વળી,$b^2 = a^2(e^2 - 1) = a^2e^2 - a^2 = 4 - a^2$.
અતિવલય $P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$\frac{2}{a^2} - \frac{3}{4 - a^2} = 1$.
ધારો કે $u = a^2$. તો $\frac{2}{u} - \frac{3}{4 - u} = 1 \implies 2(4 - u) - 3u = u(4 - u) \implies u^2 - 9u + 8 = 0$.
ઉકેલતા,$(u - 8)(u - 1) = 0$. $a^2 < 4$ હોવાથી,$a^2 = 1$.
તેથી $b^2 = 3$. સમીકરણ $x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$ છે.
$P$ આગળ સ્પર્શક $\sqrt{2}x - \frac{y}{\sqrt{3}} = 1$ છે.
વિકલ્પ $C$ માટે,$x = 2\sqrt{2}$ અને $y = 3\sqrt{3}$ મૂકતા,$\sqrt{2}(2\sqrt{2}) - \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 - 3 = 1$.
આમ,બિંદુ $(2\sqrt{2}, 3\sqrt{3})$ સ્પર્શક પર છે.

(A) રેખા $Ax + By = k$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ને સ્પર્શે છે જો $k^2 = a^2 A^2 - b^2 B^2$ હોય.
આપેલ અતિવલય $7x^2 - 5y^2 = 232$ ને $\frac{x^2}{(232/7)} - \frac{y^2}{(232/5)} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = \frac{232}{7}$ અને $b^2 = \frac{232}{5}$.
રેખા $21x + 5y = k$ છે,તેથી $A = 21$ અને $B = 5$.
શરત $k^2 = a^2 A^2 - b^2 B^2$ માં કિંમતો મૂકતા:
$k^2 = \left(\frac{232}{7}\right)(21)^2 - \left(\frac{232}{5}\right)(5)^2$
$k^2 = 232 \times 63 - 232 \times 5 = 232(58) = 13456$
$k = 116$.

(A) બે રેખાઓ $l_1x + m_1y + n_1 = 0$ અને $l_2x + m_2y + n_2 = 0$ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોય તેની શરત $a^2l_1l_2 - b^2m_1m_2 = n_1n_2$ છે.
આપેલ અતિવલય $5x^2 - 6y^2 = 15$ ને $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{5/2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 3$ અને $b^2 = \frac{5}{2}$ છે.
રેખાઓ $2x - ky + 3 = 0$ અને $3x - y + 1 = 0$ માટે,$l_1 = 2, m_1 = -k, n_1 = 3$ અને $l_2 = 3, m_2 = -1, n_2 = 1$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$3(2)(3) - (\frac{5}{2})(-k)(-1) = (3)(1)$
$18 - \frac{5}{2}k = 3$
$15 = \frac{5}{2}k$
$k = \frac{15 \times 2}{5} = 6$.

(B) અતિવલય પરનું બિંદુ $P$ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ લો.
$P$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \sec \theta}{a} - \frac{y \tan \theta}{b} = 1$ છે.
રેખાઓ $L_1: bx - ay = 0$ અને $L_2: bx + ay = 0$ છે.
$Q$ શોધવા માટે,$\frac{x \sec \theta}{a} - \frac{y \tan \theta}{b} = 1$ અને $bx = ay \implies y = \frac{bx}{a}$ ઉકેલો.
$y$ ની કિંમત મૂકતા: $x(\frac{\sec \theta}{a} - \frac{\tan \theta}{a}) = 1 \implies x = a(\sec \theta + \tan \theta)$.
તેથી $y = b(\sec \theta + \tan \theta)$. એટલે કે $Q = (a(\sec \theta + \tan \theta), b(\sec \theta + \tan \theta))$.
$CQ^2 = (a^2+b^2)(\sec \theta + \tan \theta)^2$.
તે જ રીતે,$R$ માટે,$bx = -ay$ સાથે ઉકેલતા:
$x = a(\sec \theta - \tan \theta)$ અને $y = -b(\sec \theta - \tan \theta)$.
$CR^2 = (a^2+b^2)(\sec \theta - \tan \theta)^2$.
$CQ \cdot CR = (a^2+b^2)|\sec^2 \theta - \tan^2 \theta| = a^2+b^2$.

(B) રેખાનું સમીકરણ $y=mx+2$ છે ... $(i)$
અતિવલયનું સમીકરણ $4x^2-9y^2=36$ છે ... $(ii)$
$(ii)$ ને $36$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ મળે છે.
રેખા $y=mx+c$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
અહીં,$a^2=9$,$b^2=4$,અને $c=2$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$2^2 = 9m^2 - 4$
$4 = 9m^2 - 4$
$9m^2 = 8$
$m^2 = \frac{8}{9}$
$m = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

(C) આપેલ અતિવલય $5x^2 - 9y^2 = 90$ છે,જેને $\frac{x^2}{18} - \frac{y^2}{10} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $a^2 = 18$ અને $b^2 = 10$ છે.
ઢાળ $m$ વાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{18m^2 - 10}$ છે.
જો આ સ્પર્શક $P(h, k)$ માંથી પસાર થાય,તો $(k - mh)^2 = 18m^2 - 10$.
આને સાદું રૂપ આપતા $m^2(h^2 - 18) - 2mhk + (k^2 + 10) = 0$ મળે.
ધારો કે $m_1 = \tan \alpha$ અને $m_2 = \tan \beta$ છે.
$\alpha + \beta = 90^\circ$ હોવાથી,$m_1 m_2 = 1$.
સમીકરણ પરથી,$m_1 m_2 = \frac{k^2 + 10}{h^2 - 18} = 1$.
તેથી $h^2 - k^2 = 28$.
આમ,બિંદુપથ $x^2 - y^2 = 28$ છે.

(A) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{4} = 1$ છે.
અહીં $a^2 = 5$ અને $b^2 = 4$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{5m^2 - 4}$ છે.
બિંદુ $(1,1)$ માંથી પસાર થતા,$1 = m \pm \sqrt{5m^2 - 4}$ મળે.
તેથી $(1 - m)^2 = 5m^2 - 4$,જેનું સાદુરૂપ $4m^2 + 2m - 5 = 0$ થાય છે.
ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ માટે,$m_1 + m_2 = -\frac{1}{2}$ અને $m_1m_2 = -\frac{5}{4}$.
$\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2}|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\tan \theta = 2\sqrt{21}$ મળે છે.

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે ઉત્કેન્દ્રતા $e = 2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$,તેથી $4 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b^2}{a^2} = 3$,અથવા $b^2 = 3a^2$.
અતિવલય $(4, 6)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{16}{a^2} - \frac{36}{b^2} = 1$.
$b^2 = 3a^2$ મૂકતા,આપણને $\frac{16}{a^2} - \frac{36}{3a^2} = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{16}{a^2} - \frac{12}{a^2} = 1$ થાય છે,તેથી $\frac{4}{a^2} = 1$,એટલે કે $a^2 = 4$.
તેથી $b^2 = 3(4) = 12$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$ છે.
$(x_1, y_1) = (4, 6)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{4x}{4} - \frac{6y}{12} = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x - \frac{y}{2} = 1$ થાય છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2x - y = 2$,અથવા $2x - y - 2 = 0$ મળે છે.

(D) $(0, 1)$ માંથી પસાર થતા અને $m$ ઢાળ ધરાવતા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 1 = m(x - 0)$ એટલે કે $y = mx + 1$ છે.
અતિવલય $45x^2 - 4y^2 = 5$ માં કિંમત મૂકતા:
$45x^2 - 4(mx + 1)^2 = 5$
$(45 - 4m^2)x^2 - 8mx - 9 = 0$
સ્પર્શક માટે વિવેચક $D = 0$ હોવો જોઈએ:
$(-8m)^2 - 4(45 - 4m^2)(-9) = 0$
$64m^2 + 1620 - 144m^2 = 0$
$80m^2 = 1620$ $\Rightarrow m^2 = \frac{81}{4}$ $\Rightarrow m = \pm \frac{9}{2}$
$m = \frac{9}{2}$ લેતા,$y = \frac{9}{2}x + 1 \Rightarrow 9x - 2y + 2 = 0$
$m = -\frac{9}{2}$ લેતા,$y = -\frac{9}{2}x + 1 \Rightarrow 9x + 2y - 2 = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{2} = 1$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$b^2 = 2$ મળે.
રેખા $y = mx + c$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
આપેલ સ્પર્શક $y = x + \sqrt{2}$ માટે,$m = 1$ અને $c = \sqrt{2}$ છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા: $(\sqrt{2})^2 = a^2(1)^2 - 2$ $\Rightarrow 2 = a^2 - 2$ $\Rightarrow a^2 = 4$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ મળે.
નિયામિકાઓના સમીકરણો $x = \pm \frac{a}{e}$ છે.
અહીં $a = 2$ હોવાથી,$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3/2}} = \pm \sqrt{\frac{8}{3}}$.

(D) ધારો કે $P(x, y)$ એ અતિવલય $H$ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે. નાભિ $S(1, 2)$ છે અને નિયામિકા $x+y+1=0$ છે.
શંકુછેદની વ્યાખ્યા મુજબ,$\frac{PS}{PM} = e$,જ્યાં $e = \sqrt{3}$ એ ઉત્કેન્દ્રિયતા છે અને $PM$ એ $P$ થી નિયામિકાનું લંબ અંતર છે.
તેથી,$PS^2 = e^2 PM^2$.
$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 3 \left( \frac{x+y+1}{\sqrt{1^2+1^2}} \right)^2$.
$(x^2-2x+1) + (y^2-4y+4) = 3 \left( \frac{(x+y+1)^2}{2} \right)$.
$2(x^2+y^2-2x-4y+5) = 3(x^2+y^2+1+2xy+2x+2y)$.
$2x^2+2y^2-4x-8y+10 = 3x^2+3y^2+6xy+6x+6y+3$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $x^2+6xy+y^2+10x+14y-7=0$ મળે છે.

(B) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $\frac{(x-1)^2}{1}-\frac{(y-2)^2}{2}=1$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2(x-1) - (y-2) \frac{dy}{dx} = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{2(x-1)}{y-2}$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $x=2$ આપેલ છે,જે શિરોલંબ રેખા છે.
શિરોલંબ સ્પર્શક માટે,ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ અવ્યાખ્યાયિત હોવો જોઈએ,એટલે કે છેદ $y-2 = 0$,તેથી $y=2$.
બિંદુ $(h, k)$ એ સ્પર્શક $x=2$ પર હોવાથી,$h=2$ મળે.
બિંદુ $(h, k)$ એ અતિવલય પર હોવાથી,$y=k=2$ ને અતિવલયના સમીકરણમાં મૂકતા $\frac{(x-1)^2}{1} - 0 = 1$ મળે,તેથી $(x-1)^2 = 1$,જેનો અર્થ છે $x-1 = \pm 1$.
આમ $x=2$ અથવા $x=0$. $h=2$ હોવાથી,$k=2$ મળે.
તેથી,$h+k = 2+2 = 4$.

(D) આપેલ અતિવલયનું સમીકરણ: $3x^2 - 4y^2 = 300$.
$300$ વડે ભાગતા: $\frac{x^2}{100} - \frac{y^2}{75} = 1$.
અહીં,$a^2 = 100$ અને $b^2 = 75$.
રેખા $3x - my + 5 = 0$ ને $y = \frac{3}{m}x + \frac{5}{m}$ તરીકે લખી શકાય.
$y = Mx + c$ સાથે સરખાવતા,$M = \frac{3}{m}$ અને $c = \frac{5}{m}$.
સ્પર્શકની શરત $c^2 = a^2M^2 - b^2$ મુજબ: $(\frac{5}{m})^2 = 100(\frac{3}{m})^2 - 75$.
$\frac{25}{m^2} = \frac{900}{m^2} - 75$.
$75 = \frac{875}{m^2} \Rightarrow m^2 = \frac{35}{3}$.
$Y$-અંતઃખંડનો વર્ગ $c^2 = \frac{25}{m^2} = 25 \times \frac{3}{35} = \frac{15}{7}$.

(C) રેખા $y=x$ ને લંબ રેખાનો ઢાળ $-1$ છે. તેથી,સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ $y = -x + c$ અથવા $x + y - c = 0$ છે.
આપેલ અતિવલયનું સમીકરણ $x^2 - 2y^2 = 18$ છે,જેને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં $\frac{x^2}{18} - \frac{y^2}{9} = 1$ લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 18$ અને $b^2 = 9$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે સ્પર્શક $y = mx + c$ ની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $c^2 = 18(-1)^2 - 9 = 18 - 9 = 9$,તેથી $c = \pm 3$.
સ્પર્શક રેખાઓના સમીકરણો $x + y + 3 = 0$ અને $x + y - 3 = 0$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{|3 - (-3)|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ એકમ.

(C) ધારો કે અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરનું બિંદુ $(x_0, y_0)$ છે.
બિંદુ $(x_0, y_0)$ માંથી અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2$ પર દોરેલી સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ $\frac{x x_0}{a^2} - \frac{y y_0}{b^2} = 2$ છે.
અતિવલયના અનંતસ્પર્શકો $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ અને $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ છે.
એક જાણીતો ગુણધર્મ છે કે અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = k$ પરના કોઈપણ બિંદુ માટે,સ્પર્શક જીવા અને અનંતસ્પર્શકો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ અચળ હોય છે અને તે $a b k$ જેટલું થાય છે.
અહીં,$k = 2$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $a b (2) = 2ab$ થશે.

(B) આપેલ વક્ર $x=a \cosh(t)$ અને $y=b \sinh(t)$ છે,જે અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ દર્શાવે છે.
બિંદુ $t$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{b \cosh(t)}{a \sinh(t)}$ છે.
તેથી,અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{a \sinh(t)}{b \cosh(t)}$ થશે.
બિંદુ $(a \cosh(t), b \sinh(t))$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - b \sinh(t) = -\frac{a \sinh(t)}{b \cosh(t)} (x - a \cosh(t))$.
સાદું રૂપ આપતા:
$ax \operatorname{sech}(t) + by \operatorname{cosech}(t) = a^2+b^2$ મળે છે.

(A) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ એ નિયામક વર્તુળ છે,જેનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2 - b^2$ છે.
આપેલ અતિવલય $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{2} = 1$ માટે,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 2$ છે.
આ કિંમતો નિયામક વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x^2 + y^2 = 4 - 2 = 2$ મળે છે.
આમ,છેદબિંદુ $x^2 + y^2 = 2$ વર્તુળ પર આવેલું છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $16x^2 - 25y^2 - 96x + 100y - 356 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$16(x - 3)^2 - 25(y - 2)^2 = 400$ મળે.
જેને $\frac{(x - 3)^2}{25} - \frac{(y - 2)^2}{16} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $a^2 = 25$ અને $b^2 = 16$ છે.
સ્પર્શક અનુપ્રસ્થ અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી ઢાળ $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y = mX \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ છે,જ્યાં $X = x - 3$ અને $Y = y - 2$.
કિંમતો મૂકતા,$y - 2 = 1(x - 3) \pm \sqrt{25(1)^2 - 16} = x - 3 \pm 3$.
આથી $y - 2 = x$ અથવા $y - 2 = x - 6$.
જે $x - y + 2 = 0$ અથવા $x - y - 4 = 0$ આપે છે.
તેથી વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) આપેલ અતિવલયનું સમીકરણ $9 b^2 x^2 - 4 a^2 y^2 = 36 a^2 b^2$ છે,જેને $\frac{x^2}{4 a^2} - \frac{y^2}{9 b^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(x_0, y_0) = (2 a \sec \theta, 3 b \tan \theta)$ છે.
$(x_0, y_0)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x x_0}{4 a^2} - \frac{y y_0}{9 b^2} = 1$ થાય.
બિંદુ મૂકતા,$\frac{x (2 a \sec \theta)}{4 a^2} - \frac{y (3 b \tan \theta)}{9 b^2} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x \sec \theta}{2 a} - \frac{y \tan \theta}{3 b} = 1$ થાય.
અક્ષો પરના અંતઃખંડો $x = 2 a \cos \theta$ અને $y = -3 b \cot \theta$ છે.
અંતઃખંડો એકમ લંબાઈના હોવાથી,$|2 a \cos \theta| = 1$ અને $|-3 b \cot \theta| = 1$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2 a}$ અને $\cot \theta = -\frac{1}{3 b}$.
નિત્યસમ $\csc^2 \theta - \cot^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{\cos^2 \theta} - \frac{1}{\cot^2 \theta} = 1$ મળે.
કિંમતો મુકતા,$(2 a)^2 - (-3 b)^2 = 1$,જે $4 a^2 - 9 b^2 = 1$ આપે છે.
તેથી,બિંદુ $(a, b)$ નો બિંદુપથ $4 x^2 - 9 y^2 = 1$ છે.

(B) ધારો કે અભિલંબ જીવાના અંત્યબિંદુઓ $P(a \sec \theta_1, b \tan \theta_1)$ અને $Q(a \sec \theta_2, b \tan \theta_2)$ છે.
$P$ પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \sec \theta_1}{a} - \frac{y \tan \theta_1}{b} = 1$ છે.
સ્પર્શકોના છેદબિંદુ $(h, k)$ માટે,બિંદુપથ $\frac{a^4}{x^2} - \frac{b^4}{y^2} = (a^2 + b^2)^2$ મળે છે.

(B) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $5 x^2-7 y^2-35=0$ ... $(i)$ છે.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$10 x-14 y \cdot y^{\prime}=0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $y^{\prime}=\frac{5 x}{7 y}$.
બિંદુ $P(h, k)$ પર,સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{5 h}{7 k}$ છે.
સ્પર્શક રેખા $\sqrt{2} x-y+\lambda=0$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $\sqrt{2}$ છે.
તેથી,$\frac{5 h}{7 k} = \sqrt{2} \Rightarrow h = \frac{7 \sqrt{2} k}{5}$.
બિંદુ $P(h, k)$ અતિવલય પર હોવાથી,$5 h^2-7 k^2-35=0$.
$h^2 = \frac{49 \times 2 k^2}{25} = \frac{98 k^2}{25}$ ને અતિવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$5 \left(\frac{98 k^2}{25}\right) - 7 k^2 = 35$ $\Rightarrow \frac{98 k^2}{5} - 7 k^2 = 35$ $\Rightarrow \frac{98 k^2 - 35 k^2}{5} = 35$ $\Rightarrow 63 k^2 = 175$ $\Rightarrow k^2 = \frac{175}{63} = \frac{25}{9}$.
$P$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,$k$ ઋણ હોવો જોઈએ,તેથી $k = -\frac{5}{3}$.
ત્યારબાદ $h^2 = \frac{98}{25} \times \frac{25}{9} = \frac{98}{9}$.
અંતે,$3 h^2 - 2 k = 3 \left(\frac{98}{9}\right) - 2 \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{98}{3} + \frac{10}{3} = \frac{108}{3} = 36$.

(A) અનંતસ્પર્શકો $2x + 3y = 0$ અને $3x + 2y = 0$ ને સમાંતર હોય તેવા અતિવલયનું સમીકરણ $(2x + 3y + c_1)(3x + 2y + c_2) = k$ છે.
કેન્દ્ર $(1, 2)$ હોવાથી,રેખાઓ $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
પ્રથમ રેખા માટે: $2(1) + 3(2) + c_1 = 0 \implies c_1 = -8$.
બીજી રેખા માટે: $3(1) + 2(2) + c_2 = 0 \implies c_2 = -7$.
તેથી સમીકરણ $(2x + 3y - 8)(3x + 2y - 7) = k$ થાય.
બિંદુ $(5, 3)$ મૂકતા:
$(2(5) + 3(3) - 8)(3(5) + 2(3) - 7) = k$
$(11)(14) = k \implies k = 154$.
આમ,સમીકરણ $(2x + 3y - 8)(3x + 2y - 7) = 154$ છે.

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ છે।
અહીં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ છે।
અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_0} + \frac{b^2y}{y_0} = a^2 + b^2$ છે।
આપેલ સમીકરણ $3x + 2\sqrt{2}y = -k$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\lambda = \sqrt{2}$ મળે છે।
તેથી,$k = -13\sqrt{2}$।

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $xy = 16$ છે. $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ છે. $(8, 2)$ આગળ,ઢાળ $m = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m} = 4$ છે.
$(8, 2)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2 = 4(x - 8)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = 4x - 30$ થાય છે.
અતિવલય સાથે છેદબિંદુ શોધવા માટે,$y = 4x - 30$ ને $xy = 16$ માં મૂકતા:
$x(4x - 30) = 16 \implies 4x^2 - 30x - 16 = 0 \implies 2x^2 - 15x - 8 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(2x + 1)(x - 8) = 0$.
બીજ $x = 8$ (મૂળ બિંદુ) અને $x = -\frac{1}{2}$ મળે છે.
$x = \alpha = -\frac{1}{2}$ માટે,$\beta = \frac{16}{\alpha} = \frac{16}{-1/2} = -32$ મળે છે.
આપણે $|\beta| + \frac{1}{|\alpha|} = |-32| + \frac{1}{|-1/2|} = 32 + 2 = 34$ ની ગણતરી કરવાની છે.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ છે.
બિંદુ $P$ માટે,અભિલંબ $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ છે.
બિંદુ $Q$ માટે,અભિલંબ $ax \cos \phi + by \cot \phi = a^2 + b^2$ છે.
આપેલ છે કે $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$,તેથી $\cos \phi = \sin \theta$ અને $\cot \phi = \tan \theta$.
તેથી,બીજો અભિલંબ $ax \sin \theta + by \tan \theta = a^2 + b^2$ છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $ax(\cos \theta - \sin \theta) + by(\cot \theta - \tan \theta) = 0$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા,$k = -\left(\frac{a^2+b^2}{b}\right)$ મળે છે.

(C) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $5x^2 - ky^2 = 12$ છે,જેને $\frac{x^2}{12/5} - \frac{y^2}{12/k} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $a^2 = \frac{12}{5}$ અને $b^2 = \frac{12}{k}$ છે.
રેખા $y = mx + c$ એ અતિવલયનો સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
રેખા $5x - 2y - 6 = 0$ ને $y = \frac{5}{2}x - 3$ તરીકે લખતા,$m = \frac{5}{2}$ અને $c = -3$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $(-3)^2 = \frac{12}{5} \times (\frac{5}{2})^2 - \frac{12}{k}$ $\Rightarrow 9 = 15 - \frac{12}{k}$ $\Rightarrow k = 2$.
હવે,અતિવલય $5x^2 - 2y^2 = 12$ છે. બિંદુ $(\sqrt{6}, p)$ તેના પર હોવાથી,$5(6) - 2p^2 = 12 \Rightarrow p^2 = 9$. $p < 0$ હોવાથી $p = -3$.
અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} + \frac{b^2y}{y_1} = a^2 + b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{(12/5)x}{\sqrt{6}} + \frac{6y}{-3} = \frac{12}{5} + 6 \Rightarrow \sqrt{6}x - 5y = 21$.

(B) લંબચોરસ અતિવલયનું સમીકરણ $x^2 - y^2 = 1$ છે,જ્યાં $a=1$ અને $b=1$ છે.
અતિવલય પરના બિંદુ $P(\theta)$ ના યામ $(\sec \theta, \tan \theta)$ છે.
$\theta_1 = \frac{\pi}{4}$ માટે,બિંદુ $P$ એ $(\sec \frac{\pi}{4}, \tan \frac{\pi}{4}) = (\sqrt{2}, 1)$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \sin \theta$ છે.
$P$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
$P$ પર અભિલંબનો ઢાળ $-\sqrt{2}$ છે.
$P(\sqrt{2}, 1)$ પર અભિલંબનું સમીકરણ $y - 1 = -\sqrt{2}(x - \sqrt{2})$ એટલે કે $y = -\sqrt{2}x + 3$ છે.
આને અતિવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2 - (-\sqrt{2}x + 3)^2 = 1$
$x^2 - 6\sqrt{2}x + 10 = 0$.
બીજ $x_1 = \sqrt{2}$ હોવાથી,બીજનો ગુણાકાર $x_1 x_2 = 10$,તેથી $x_2 = 5\sqrt{2}$ મળે.
બિંદુ $Q$ માટે,$x_2 = \sec \theta_2 = 5\sqrt{2}$.
તેથી $\tan^2 \theta_2 = \sec^2 \theta_2 - 1 = 50 - 1 = 49$,તેથી $\tan \theta_2 = 7$.
આમ,$\sec^2 \theta_2 + \tan \theta_2 = 50 + 7 = 57$.

(B) અતિવલય $xy=4$ માટે બિંદુ $(2t, 2/t)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $2t^4 - xt^3 + yt - 2 = 0$ છે.
આ અભિલંબ $(a, b)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $2t^4 - at^3 + bt - 2 = 0$.
ધારો કે બીજ $t_1, t_2, t_3, t_4$ છે,જ્યાં $\alpha_i = 2t_i$ અને $\beta_i = 2/t_i$.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ: $\sum \alpha_i = a$,$\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 = -16$ અને $\sum \beta_i = b$.
તેથી,$\frac{\sum \alpha_i}{\sum \beta_i} (\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4) = \frac{a}{b} (-16) = -16 \frac{a}{b}$.

(D) અભિલંબનું આપેલ સમીકરણ $lx + my = 1$ છે,જેને $y = -(\frac{l}{m})x + \frac{1}{m}$ તરીકે લખી શકાય.
આને $y = Mx + C$ સાથે સરખાવતા,$M = -\frac{l}{m}$ અને $C = \frac{1}{m}$ મળે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે રેખા $y = Mx + C$ અભિલંબ હોવાની શરત $C^2 = \frac{M^2(a^2 + b^2)^2}{a^2 M^2 - b^2}$ છે.
$M$ અને $C$ ની કિંમતો મૂકતા:
$(\frac{1}{m})^2 = \frac{(-\frac{l}{m})^2(a^2 + b^2)^2}{a^2(-\frac{l}{m})^2 - b^2}$
$\frac{1}{m^2} = \frac{\frac{l^2}{m^2}(a^2 + b^2)^2}{\frac{a^2 l^2 - b^2 m^2}{m^2}}$
$\frac{1}{m^2} = \frac{l^2(a^2 + b^2)^2}{a^2 l^2 - b^2 m^2}$
$a^2 l^2 - b^2 m^2 = l^2 m^2(a^2 + b^2)^2$.

(A) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2 - b^2$ છે.
આપેલ નિયામક વર્તુળ $x^2 + y^2 = 16$ હોવાથી,$a^2 - b^2 = 16$ $(i)$.
અતિવલયના કેન્દ્ર $(0,0)$ થી તેના નાભિલંબનું લંબઅંતર $ae$ છે.
આપેલ છે કે $ae = \sqrt{34}$,તેથી $c^2 = a^2 + b^2 = 34$ $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા: $(a^2 - b^2) + (a^2 + b^2) = 16 + 34$ $\Rightarrow 2a^2 = 50$ $\Rightarrow a^2 = 25$ $\Rightarrow a = 5$.
$a^2 = 25$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $25 + b^2 = 34$ $\Rightarrow b^2 = 9$ $\Rightarrow b = 3$.
તેથી,$a + b = 5 + 3 = 8$.

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ના નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ છે,જ્યાં $a^2e^2 = a^2+b^2$.
નાભિઓને જોડતી રેખાને વ્યાસ તરીકે લઈને દોરેલા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2+b^2$ છે.
બિંદુ $P(x_1, y_1)$ માટે સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ છે.
આ રેખા વર્તુળને સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(0,0)$ થી લંબ અંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{a^2+b^2}$ જેટલું થાય.
$\frac{|-a^2b^2|}{\sqrt{b^4x_1^2 + a^4y_1^2}} = \sqrt{a^2+b^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{x_1^2}{a^4} + \frac{y_1^2}{b^4} = \frac{1}{a^2+b^2}$ મળે છે.
તેથી,બિંદુપથ $\frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} = \frac{1}{a^2+b^2}$ છે.

(D) આપેલ અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ અતિવલયની જીવા $PQ$ નો ધ્રુવ છે.
સ્પર્શકની જીવા $PQ$ નું સમીકરણ $\frac{xh}{a^2}-\frac{yk}{b^2}=1$ છે.
ઉગમબિંદુને અતિવલય અને જીવાના છેદબિંદુઓ સાથે જોડતી રેખાઓનું સંયુક્ત સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે જીવાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને અતિવલયના સમીકરણને સમઘાત બનાવીએ:
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = \left(\frac{xh}{a^2}-\frac{yk}{b^2}\right)^2$.
જીવા $PQ$ ઉગમબિંદુ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ.
સાદુરૂપ આપતા: $\left(\frac{1}{a^2}-\frac{h^2}{a^4}\right) + \left(-\frac{1}{b^2}-\frac{k^2}{b^4}\right) = 0$.
$\Rightarrow \frac{h^2}{a^4} + \frac{k^2}{b^4} = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $P(h, k)$ એ અતિવલય $x^2 - y^2 = a^2$ ની અભિલંબ જીવાના અંત્યબિંદુઓ આગળના સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ છે. સ્પર્શકનું સમીકરણ $hx - ky = a^2$ છે. અભિલંબનું સમીકરણ $x \cos \theta + y \cot \theta = 2a$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a^2(y^2 - x^2) = 4x^2y^2$ મળે છે.

(B) ધારો કે $P(h, k)$ એ અભિલંબ જીવાના અંત્યબિંદુઓ આગળના સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે અભિલંબ જીવાનું સમીકરણ $ax \sec \theta + by \tan \theta = a^2+b^2$ છે.
બિંદુ $P(h, k)$ માટે સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ $\frac{hx}{a^2}-\frac{ky}{b^2}=1$ છે.
બંને સમીકરણો એક જ રેખા દર્શાવતા હોવાથી,સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{a \sec \theta}{h/a^2} = \frac{b \tan \theta}{-k/b^2} = a^2+b^2$
$\sec \theta = \frac{h(a^2+b^2)}{a^3}$ અને $\tan \theta = \frac{-k(a^2+b^2)}{b^3}$ મળે.
$\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{a^6}{x^2}-\frac{b^6}{y^2}=(a^2+b^2)^2$ મળે છે.

(D) આપેલ રેખાઓ:
$(i) \sqrt{3}x - y = 4\sqrt{3}k$
$(ii) \sqrt{3}kx + ky = 4\sqrt{3}$
$(i)$ પરથી,$k = \frac{\sqrt{3}x - y}{4\sqrt{3}}$.
$k$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$\sqrt{3}x \left(\frac{\sqrt{3}x - y}{4\sqrt{3}}\right) + y \left(\frac{\sqrt{3}x - y}{4\sqrt{3}}\right) = 4\sqrt{3}$
$\frac{3x^2 - \sqrt{3}xy + \sqrt{3}xy - y^2}{4\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$
$3x^2 - y^2 = 48$
$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{48} = 1$
આ એક અતિવલય છે જ્યાં $a^2 = 16$ અને $b^2 = 48$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{48}{16} = 4$.
તેથી,$4e^2 = 4(4) = 16$.