Hyperbola Questions in Gujarati

(A) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{\cos^2 \alpha} - \frac{y^2}{\sin^2 \alpha} = 4$ છે.
$4$ વડે ભાગતા,$\frac{x^2}{4\cos^2 \alpha} - \frac{y^2}{4\sin^2 \alpha} = 1$ મળે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 4\cos^2 \alpha$ અને $b^2 = 4\sin^2 \alpha$ મળે.
તેથી,$a = 2|\cos \alpha|$ અને $b = 2|\sin \alpha|$.
નાભિલંબની લંબાઈ $LR = \frac{2b^2}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$LR = \frac{2(4\sin^2 \alpha)}{2|\cos \alpha|} = \frac{4\sin^2 \alpha}{|\cos \alpha|}$.
નિત્યસમ $2\sin^2 \alpha = 1 - \cos 2\alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,$LR = \frac{2(1 - \cos 2\alpha)}{|\cos \alpha|} = 2\left| \frac{1 - \cos 2\alpha}{\cos \alpha} \right|$.

(D) આપેલ અતિવલય $4x^2 - y^2 = 12$ છે,જેને $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{12} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 3$ અને $b^2 = 12$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ છે.
ઢાળ $m = 4$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$c = \pm \sqrt{3(4)^2 - 12} = \pm \sqrt{3(16) - 12} = \pm \sqrt{48 - 12} = \pm \sqrt{36} = \pm 6$.
આમ,સમીકરણો $y = 4x + 6$ અને $y = 4x - 6$ છે,તેથી $c_1 = 6$ અને $c_2 = -6$.
તેથી,$|c_1 - c_2| = |6 - (-6)| = |12| = 12$.

(C) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ છે.
સ્પર્શક $C(0, -b)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$\frac{0 \cdot x_1}{a^2} - \frac{(-b)y_1}{b^2} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{y_1}{b} = 1$ એટલે કે $y_1 = b$ થાય છે.
અતિવલયના સમીકરણમાં $y_1 = b$ મૂકતા: $\frac{x_1^2}{a^2} - \frac{b^2}{b^2} = 1$ $\Rightarrow \frac{x_1^2}{a^2} = 2$ $\Rightarrow x_1 = \pm a\sqrt{2}$.
આમ,સ્પર્શ બિંદુઓ $A(a\sqrt{2}, b)$ અને $B(-a\sqrt{2}, b)$ છે.
ત્રિકોણ $\Delta ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $C(0, -b)$,$A(a\sqrt{2}, b)$ અને $B(-a\sqrt{2}, b)$ છે.
પાયો $AB$ ની લંબાઈ $2a\sqrt{2}$ છે. $C$ થી $AB$ પરની ઊંચાઈ $h = b - (-b) = 2b$ છે.
જો $\Delta ABC$ કાટકોણ ત્રિકોણ હોય,તો ખૂણો $C$ એ $90^{\circ}$ હોવો જોઈએ.
જો $\angle ACB = 90^{\circ}$ હોય,તો $CA$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{2b}{a\sqrt{2}} = \frac{b\sqrt{2}}{a}$ થાય.
$CB$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{b\sqrt{2}}{a}$ થાય.
$m_1 \cdot m_2 = -1$ હોવાથી,$-(\frac{b\sqrt{2}}{a})^2 = -1$ $\Rightarrow \frac{2b^2}{a^2} = 1$ $\Rightarrow \frac{a^2}{b^2} = 2$.

(C) આપેલ સમીકરણ $(a - 2)x^2 + ay^2 = 4$ છે.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{\frac{4}{a-2}} + \frac{y^2}{\frac{4}{a}} = 1$ મળે છે.
અતિવલય માટે,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવા જોઈએ. સમીકરણ $\frac{x^2}{A^2} - \frac{y^2}{B^2} = 1$ અથવા $\frac{y^2}{A^2} - \frac{x^2}{B^2} = 1$ સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ.
લંબકોણીય અતિવલય માટે,અર્ધ-અક્ષોના માપ સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે $A^2 = B^2$.
અહીં,સમીકરણ $\frac{x^2}{\frac{4}{a-2}} - \frac{y^2}{-\frac{4}{a}} = 1$ છે.
છેદને સરખાવતા: $\frac{4}{a-2} = -\frac{4}{a}$.
$a = -(a - 2)$.
$a = -a + 2$.
$2a = 2$.
$a = 1$.

(C) અતિવલય $x^2 - y^2 = a^2$ ના બિંદુ $P(a \sec \theta, a \tan \theta)$ પરનો સ્પર્શક:
$x \sec \theta - y \tan \theta = a$ --- $(1)$
અન્ય બે રેખાઓ:
$x - y = 0$ --- $(2)$
$x + y = 0$ --- $(3)$
$(1)$ અને $(2)$ નો છેદબિંદુ:
$x = a(\sec \theta + \tan \theta), y = a(\sec \theta + \tan \theta)$
$(1)$ અને $(3)$ નો છેદબિંદુ:
$x = a(\sec \theta - \tan \theta), y = -a(\sec \theta - \tan \theta)$
$(2)$ અને $(3)$ નો છેદબિંદુ $(0, 0)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1| = a^2$.

(A) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $25x^2 - 16y^2 = 400$ છે.
બંને બાજુ $400$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{25x^2}{400} - \frac{16y^2}{400} = 1$
$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{25} = 1$
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 25$ મળે છે.
તેથી,$a = 4$ અને $b = 5$.
નાભિલંબની લંબાઈનું સૂત્ર $\frac{2b^2}{a}$ છે.
લંબાઈ $= \frac{2 \times 25}{4} = \frac{50}{4} = \frac{25}{2}$.

(C) નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 2, 0)$ પર છે,તેથી $ae = 2$.
આપેલ ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = 2$ છે,તેથી $a(2) = 2$,જેનો અર્થ છે કે $a = 1$.
અતિવલય માટે,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
કિંમતો મૂકતા,$b^2 = 1^2(2^2 - 1) = 4 - 1 = 3$.
અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
$a^2 = 1$ અને $b^2 = 3$ મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{3} = 1$ મળે છે.
$3$ વડે ગુણતા,આપણને $3x^2 - y^2 = 3$ મળે છે.

(B) લંબ અતિવલય માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{2}$ છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 2$ છે,જે સૂચવે છે કે $b^2 = a$.
લંબ અતિવલય માટે,$a^2 = b^2$,તેથી $a^2 = a$,જે $a = 1$ આપે છે ($a > 0$ હોવાથી).
આમ,$a = 1$ અને $b = 1$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 2(1)(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$ છે.
ધારો કે બીજી નાભિ $(h, k)$ છે. આપેલી નાભિ $S_1 = (1, 0)$ છે અને અતિવલય પરનું બિંદુ $P = (0, 0)$ છે.
અતિવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,$|PS_1 - PS_2| = 2a$.
$|\sqrt{(0-1)^2 + (0-0)^2} - \sqrt{(0-h)^2 + (0-k)^2}| = 2(1)$.
$|1 - \sqrt{h^2 + k^2}| = 2$.
આ સૂચવે છે કે $\sqrt{h^2 + k^2} = 3$ અથવા $\sqrt{h^2 + k^2} = -1$ (અશક્ય).
તેથી,$h^2 + k^2 = 9$,જે વક્ર $x^2 + y^2 = 9$ દર્શાવે છે.

(B) અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ માટે,નાભિઓમાંથી કોઈપણ સ્પર્શક પર દોરેલા લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $b^{2}$ થાય છે.
આપેલ સમીકરણ $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ માટે,$a^{2} = 1$ અને $b^{2} = 4$ છે.
તેથી,લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $b^{2} = 4$ થાય.

(C) આપેલ સમીકરણ $\frac{(3x - 4y - 1)^2}{100} - \frac{(4x + 3y - 1)^2}{225} = 1$ છે.
અંશને $25$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{(\frac{3x - 4y - 1}{5})^2}{4} - \frac{(\frac{4x + 3y - 1}{5})^2}{9} = 1$.
અહીં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 9$ છે.
તેથી,$a = 2$ અને $b = 3$.
નાભિલંબની લંબાઈ $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 9}{2} = 9$.

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{p^2} - \frac{y^2}{q^2} = 1$ ના બિંદુ $(p \sec \theta, q \tan \theta)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $px \cos \theta + qy \cot \theta = p^2 + q^2$ છે.
આપેલ અભિલંબના સમીકરણ $ax + by = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણે મેળવી શકીએ કે $\frac{p \cos \theta}{a} = \frac{q \cot \theta}{b} = p^2 + q^2$.
તેથી,$\sec \theta = \frac{p}{a(p^2 + q^2)}$ અને $\tan \theta = \frac{q}{b(p^2 + q^2)}$.
નિત્યસમ $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{p^2}{a^2(p^2 + q^2)^2} - \frac{q^2}{b^2(p^2 + q^2)^2} = 1$.
આમ,$\frac{p^2}{a^2} - \frac{q^2}{b^2} = (p^2 + q^2)^2$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $16x^2 - 9y^2 - 32x - 36y - 164 = 0$
પદોને ગોઠવતા: $16(x^2 - 2x) - 9(y^2 + 4y) = 164$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $16(x - 1)^2 - 9(y + 2)^2 = 144$
$144$ વડે ભાગતા: $\frac{(x - 1)^2}{9} - \frac{(y + 2)^2}{16} = 1$
અહીં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 16$ છે. સંયુગ્મી અતિવલય માટે ઉત્કેન્દ્રતા $e' = \sqrt{1 + \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $4x^2 - 9y^2 - 8x - 18y = 41$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$4(x - 1)^2 - 9(y + 1)^2 = 36$ મળે.
જેને $\frac{(x - 1)^2}{9} - \frac{(y + 1)^2}{4} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અતિવલયના કોઈપણ સ્પર્શક પર નાભિમાંથી દોરેલા લંબનો લંબપાદ તેના સહાયક વર્તુળ (auxiliary circle) પર હોય છે.
સહાયક વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 9$ થાય.
તેથી,$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 9$,એટલે કે $x^2 + y^2 - 2x + 2y = 7$.

(D) આપેલ વક્ર $\sqrt{(x + 5\sqrt{2})^2 + y^2} - \sqrt{(x - 5\sqrt{2})^2 + y^2} = 10$ છે. આ અતિવલયની જમણી બાજુની શાખા દર્શાવે છે.
આપેલ શરતો મુજબ,$|y| \geq |x|$ અને $x^2 + y^2 < 10$ હોય તેવા પૂર્ણાંક બિંદુઓ ગણતા:
$x = 0$ માટે,$y \in \{-3, -2, -1, 1, 2, 3\}$ ($6$ બિંદુઓ).
$x = 1$ માટે,$y \in \{-2, -1, 1, 2\}$ ($4$ બિંદુઓ).
$x = -1$ માટે,$y \in \{-2, -1, 1, 2\}$ ($4$ બિંદુઓ).
$x = 2$ માટે,$y \in \{-2, 2\}$ ($2$ બિંદુઓ).
$x = -2$ માટે,$y \in \{-2, 2\}$ ($2$ બિંદુઓ).
કુલ બિંદુઓ = $6 + 4 + 4 + 2 + 2 = 18$.

(C) અનંતસ્પર્શકોનું સંયુક્ત સમીકરણ $(3x - 4y + 7)(4x + 3y + 1) = 0$ છે.
અતિવલયનું સમીકરણ અને તેના અનંતસ્પર્શકોનું સંયુક્ત સમીકરણ એક અચળાંક $k$ દ્વારા અલગ પડે છે.
તેથી,અતિવલયનું સમીકરણ $(3x - 4y + 7)(4x + 3y + 1) + k = 0$ છે.
અતિવલય ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$(7)(1) + k = 0
k = -7$.
આમ,સમીકરણ $(3x - 4y + 7)(4x + 3y + 1) - 7 = 0$ થાય છે.
સાદું રૂપ આપતા: $12x^2 - 7xy - 12y^2 + 31x + 17y = 0$.

(C) ધારો કે અતિવલય $xy = c^2$ પરનું બિંદુ $P(ct, c/t)$ છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x}{ct} + \frac{y}{c/t} = 2$ છે,જે $\frac{x}{t} + ty = 2c$ તરીકે લખી શકાય.
$x$-અંત:ખંડ $a_1 = 2ct$ અને $y$-અંત:ખંડ $b_1 = 2c/t$ છે.
$P$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - \frac{c}{t} = t^2(x - ct)$ છે,જે $t^2x - y = ct^3 - c/t$ તરીકે લખી શકાય.
$x$-અંત:ખંડ $a_2 = \frac{ct^3 - c/t}{t^2} = ct - \frac{c}{t^3}$ છે.
$y$-અંત:ખંડ $b_2 = -(ct^3 - c/t) = \frac{c}{t} - ct^3$ છે.
હવે,$a_1a_2 + b_1b_2$ ની ગણતરી કરીએ:
$a_1a_2 = (2ct)(ct - \frac{c}{t^3}) = 2c^2t^2 - \frac{2c^2}{t^2}$.
$b_1b_2 = (\frac{2c}{t})(\frac{c}{t} - ct^3) = \frac{2c^2}{t^2} - 2c^2t^2$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા $a_1a_2 + b_1b_2 = (2c^2t^2 - \frac{2c^2}{t^2}) + (\frac{2c^2}{t^2} - 2c^2t^2) = 0$ મળે છે.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $4x^2 - 3y^2 = 1$ છે,જેને $\frac{x^2}{1/4} - \frac{y^2}{1/3} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $y = mx + c$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
અહીં,$m = h$,$c = k$,$a^2 = \frac{1}{4}$,અને $b^2 = \frac{1}{3}$ છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા,આપણને $k^2 = \frac{1}{4}h^2 - \frac{1}{3}$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{h^2}{4} - k^2 = \frac{1}{3}$ મળે છે,જે એક અતિવલય દર્શાવે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{x^2}{4/3} - \frac{y^2}{1/3} = 1$ મળે છે,જે એક અતિવલય છે.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $2x^2 + 3y^2 = 6$ છે,જેને $\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $a^2 = 3$ અને $b^2 = 2$ છે.
રેખા $y = kx + 2h$ એ ઉપવલયને સ્પર્શે છે જો $c^2 = a^2m^2 + b^2$ હોય,જ્યાં $y = mx + c$.
$y = kx + 2h$ ની $y = mx + c$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણને $m = k$ અને $c = 2h$ મળે છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા: $(2h)^2 = 3(k)^2 + 2$,જેનું સાદું રૂપ $4h^2 = 3k^2 + 2$ થાય છે.
$P(h, k)$ નો બિંદુપથ $4x^2 - 3y^2 = 2$ છે,અથવા $\frac{x^2}{1/2} - \frac{y^2}{2/3} = 1$.
આ એક અતિવલય છે જેમાં $a^2 = \frac{1}{2}$ અને $b^2 = \frac{2}{3}$ છે.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ એ $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$e^2 = 1 + \frac{2/3}{1/2} = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}$.
તેથી,$e = \sqrt{\frac{7}{3}}$.

(C) આપેલ અતિવલય $\frac{x^2}{4a^2} - \frac{y^2}{12} = 1$ છે.
અહીં,$A^2 = 4a^2$ અને $B^2 = 12$,તેથી $A = 2a$ અને $B = 2\sqrt{3}$.
અનંતસ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 2 \tan^{-1}(\frac{B}{A}) = \frac{\pi}{3}$.
તેથી,$\tan^{-1}(\frac{B}{A}) = \frac{\pi}{6}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{B}{A} = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{2\sqrt{3}}{2a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow a = 3$.
તેથી $A^2 = 4(3)^2 = 36$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{12} = 1$ છે.
તેથી સંયુગ્મી અતિવલય $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{12} = -1$ એટલે કે $\frac{y^2}{12} - \frac{x^2}{36} = 1$ થાય.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,જે પ્રદેશમાંથી બે અલગ અલગ શાખાઓ પર બે સ્પર્શકો દોરી શકાય તે પ્રદેશ બે અનંતસ્પર્શકો $y = \pm \frac{b}{a}x$ ની વચ્ચેનો ભાગ છે. અહીં,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 16$ છે,તેથી અનંતસ્પર્શકો $y = \pm \frac{4}{5}x$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આ પ્રદેશમાં હોવા માટે,તેણે $\left| \frac{y_1}{x_1} \right| > \frac{4}{5}$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(1, 6) \implies |6/1| = 6 > 0.8$ (સાચું)
$(1, 3) \implies |3/1| = 3 > 0.8$ (સાચું)
$(7, 1) \implies |1/7| \approx 0.14 < 0.8$ (ખોટું)
$(1, 0.5) \implies |0.5/1| = 0.5 < 0.8$ (ખોટું)
હવે,વર્તુળ $x^2 + y^2 = 36$ માટે,જો બિંદુ $(x_1, y_1)$ વર્તુળની બહાર હોય તો $x_1^2 + y_1^2 > 36$ થાય અને બે સ્પર્શકો દોરી શકાય.
$(1, 6)$ માટે,$1^2 + 6^2 = 37 > 36$. તેથી,વર્તુળ પર બે સ્પર્શકો દોરી શકાય છે.
$(1, 3)$ માટે,$1^2 + 3^2 = 10 < 36$. તેથી,બિંદુ વર્તુળની અંદર છે અને કોઈ સ્પર્શક દોરી શકાતો નથી.
તેથી,સાચો જવાબ $(1, 3)$ છે.

(B) ધારો કે રેખા $CP$ નું સમીકરણ $y = mx$ છે. તેને અતિવલયના સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{a^2} - \frac{m^2 x^2}{b^2} = 1$ મળે છે.
$x^2$ માટે ઉકેલતા,$x^2 = \frac{a^2 b^2}{b^2 - a^2 m^2}$ મળે.
$y^2 = m^2 x^2$ હોવાથી,$y^2 = \frac{a^2 b^2 m^2}{b^2 - a^2 m^2}$ મળે.
તેથી $(CP)^2 = x^2 + y^2 = x^2(1 + m^2) = \frac{a^2 b^2(1 + m^2)}{b^2 - a^2 m^2}$.
$CP \perp CQ$ હોવાથી,$CQ$ નો ઢાળ $-\frac{1}{m}$ છે. $(CP)^2$ ના સમીકરણમાં $m$ ને બદલે $-\frac{1}{m}$ મૂકતા,$(CQ)^2 = \frac{a^2 b^2(1 + m^2)}{b^2 m^2 - a^2}$ મળે.
હવે,$\frac{1}{(CP)^2} + \frac{1}{(CQ)^2} = \frac{b^2 - a^2 m^2}{a^2 b^2(1 + m^2)} + \frac{b^2 m^2 - a^2}{a^2 b^2(1 + m^2)} = \frac{b^2 - a^2}{a^2 b^2} = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$.

(D) લંબચોરસ અતિવલય $xy = c^2$ માટે બિંદુ $t_1$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $x t_1^2 - y = c(t_1^4 - 1)/t_1$ છે.
આ અભિલંબ વક્રને ફરીથી બિંદુ $t_2$ પર મળે છે,તેથી બિંદુ $(c t_2, c/t_2)$ અભિલંબના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
$x = c t_2$ અને $y = c/t_2$ ને અભિલંબના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(c t_2) t_1^2 - c/t_2 = c(t_1^4 - 1)/t_1$
$c$ વડે ભાગતા:
$t_2 t_1^2 - 1/t_2 = (t_1^4 - 1)/t_1$
આ સંબંધ પરથી સાબિત થાય છે કે $t_1^3 t_2 = -1$.

(D) ધારો કે $P$ ના યામ $(\alpha, \beta)$ છે. $PQ$ એ બેવડી કોટિ હોવાથી,$Q$ ના યામ $(\alpha, -\beta)$ થાય.
$PQ = 2|\beta|$ અને $OP = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$.
$\triangle OPQ$ સમબાજુ હોવાથી,$OP = PQ$,તેથી $OP^2 = PQ^2$.
$\alpha^2 + \beta^2 = 4\beta^2 \Rightarrow \alpha^2 = 3\beta^2$.
$P(\alpha, \beta)$ અતિવલય પર હોવાથી,$\frac{\alpha^2}{a^2} - \frac{\beta^2}{b^2} = 1$.
$\alpha^2 = 3\beta^2$ મૂકતા,$\frac{3\beta^2}{a^2} - \frac{\beta^2}{b^2} = 1$.
$\beta^2 \left( \frac{3}{a^2} - \frac{1}{b^2} \right) = 1$.
$\beta^2 > 0$ હોવાથી,$\frac{3}{a^2} - \frac{1}{b^2} > 0$,એટલે કે $\frac{b^2}{a^2} > \frac{1}{3}$.
$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$e^2 - 1 > \frac{1}{3}$.
$e^2 > \frac{4}{3} \Rightarrow e > \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(B) આપેલ અતિવલય $x^2 - 2y^2 = 2$ છે,જેને $\frac{x^2}{2} - y^2 = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના અનંતસ્પર્શકો $\frac{x}{a} \pm \frac{y}{b} = 0$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a^2 = 2$ અને $b^2 = 1$,તેથી $a = \sqrt{2}$ અને $b = 1$.
અનંતસ્પર્શકો $x - \sqrt{2}y = 0$ અને $x + \sqrt{2}y = 0$ છે.
ધારો કે $P(x_1, y_1)$ અતિવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ છે,તેથી $x_1^2 - 2y_1^2 = 2$.
$P(x_1, y_1)$ થી રેખાઓ પરના લંબનો ગુણાકાર:
$p_1 p_2 = \frac{|x_1^2 - 2y_1^2|}{3} = \frac{2}{3}$.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો કોઈપણ સ્પર્શક $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ છે.
આ રેખા અતિવલય $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ ને સ્પર્શે તે માટે,$y = mx + c$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{(mx + c)^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$
$b^2(m^2x^2 + 2mcx + c^2) - a^2x^2 = a^2b^2$
$x^2(b^2m^2 - a^2) + 2b^2mcx + (b^2c^2 - a^2b^2) = 0$.
સ્પર્શક હોવાથી,વિવેચક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$D = (2b^2mc)^2 - 4(b^2m^2 - a^2)(b^2c^2 - a^2b^2) = 0$
$b^2m^2 + c^2 - a^2 = 0 \Rightarrow c^2 = a^2 - b^2m^2$.
$c^2$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$a^2m^2 - b^2 = a^2 - b^2m^2$
$m^2(a^2 + b^2) = a^2 + b^2$ $\Rightarrow m^2 = 1$ $\Rightarrow m = \pm 1$.
$m^2 = 1$ ને $c^2 = a^2m^2 - b^2$ માં મૂકતા:
$c^2 = a^2 - b^2 \Rightarrow c = \pm \sqrt{a^2 - b^2}$.
આમ,સામાન્ય સ્પર્શકો $y = \pm x \pm \sqrt{a^2 - b^2}$ છે.

(A) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{b^2 x}{a^2 y}$ મળે.
બિંદુ $P(6, 3)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{2b^2}{a^2}$ છે.
તેથી,અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{a^2}{2b^2}$ થાય.
$P(6, 3)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 3 = -\frac{a^2}{2b^2}(x - 6)$ છે.
તે $(10, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $-3 = -\frac{a^2}{2b^2}(10 - 6)$ $\Rightarrow 3 = \frac{2a^2}{b^2}$ $\Rightarrow \frac{a^2}{b^2} = \frac{3}{2}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
તેથી,$e = \sqrt{\frac{5}{3}}$.

(D) ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે. વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ માટે મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $xh + yk = h^2 + k^2$ છે.
આને $y = -\frac{h}{k}x + \frac{h^2 + k^2}{k}$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,$m = -\frac{h}{k}$ અને $c = \frac{h^2 + k^2}{k}$ મળે.
આ જીવા અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ને સ્પર્શતી હોવાથી,સ્પર્શકતાની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ નું પાલન થાય છે.
$m$ અને $c$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\left(\frac{h^2 + k^2}{k}\right)^2 = a^2\left(-\frac{h}{k}\right)^2 - b^2$
$(h^2 + k^2)^2 = a^2h^2 - b^2k^2$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $(x^2 + y^2)^2 = a^2x^2 - b^2y^2$ મળે છે.

(A) ધારો કે અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ $(2b)$ અને મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $(2a)$ નો ગુણોત્તર $3:2$ આપેલ છે,તેથી $\frac{2b}{2a} = \frac{3}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b}{a} = \frac{3}{2}$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae$ છે.
બે નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2a}{e}$ છે.
નાભિઓ વચ્ચેના અંતર અને નિયામિકાઓ વચ્ચેના અંતરનો ગુણોત્તર $\frac{2ae}{2a/e} = e^2$ થાય.
અતિવલય માટે,$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$.
$\frac{b}{a} = \frac{3}{2}$ મૂકતા,$e^2 = 1 + (\frac{3}{2})^2 = 1 + \frac{9}{4} = \frac{13}{4}$.
આમ,માંગેલ ગુણોત્તર $13:4$ છે.

(B) ધારો કે $P(x, y)$ એ અતિવલય $x^2 - y^2 = 4$ પરનું બિંદુ છે,તેથી $x^2 = y^2 + 4$.
ધારો કે $Q$ એ $(0, -1)$ બિંદુ છે. અંતર $PQ$ એ $PQ^2 = (x - 0)^2 + (y - (-1))^2 = x^2 + (y + 1)^2$ દ્વારા મળે છે.
$x^2 = y^2 + 4$ મૂકતા,આપણને $PQ^2 = y^2 + 4 + y^2 + 2y + 1 = 2y^2 + 2y + 5$ મળે છે.
$PQ^2$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $f(y) = 2y^2 + 2y + 5$.
$f'(y) = 4y + 2 = 0 \implies y = -\frac{1}{2}$.
$x$-અક્ષથી $P$ નું અંતર $|y| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$ છે.

(A) આપેલ અતિવલય $4x^2 - 9y^2 = 36$ છે,જેને $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ છે.
રેખા $5x + 2y - 10 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{5}{2}$ છે.
આ રેખાને લંબ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{1}{m_1} = \frac{2}{5}$ થાય.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે સ્પર્શકની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $c^2 = 9\left(\frac{2}{5}\right)^2 - 4 = \frac{36}{25} - 4 = -\frac{64}{25}$.
$c^2 < 0$ હોવાથી,કોઈ વાસ્તવિક સ્પર્શક શક્ય નથી.
તેથી,શક્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $0$ છે.

(D) લંબકોણીય અતિવલય માટે,અનંતસ્પર્શકો પરસ્પર લંબ હોય છે. આપેલ અનંતસ્પર્શક $3x - 4y - 6 = 0$ હોવાથી,બીજો અનંતસ્પર્શક $4x + 3y + \lambda = 0$ સ્વરૂપનો હશે.
અતિવલયનું કેન્દ્ર એ બંને અનંતસ્પર્શકોનું છેદબિંદુ છે.
$3x - 4y - 6 = 0$ અને $4x + 3y + \lambda = 0$ નો ઉકેલ મેળવતા,કેન્દ્ર $(\frac{18 - 4\lambda}{25}, \frac{-24 - 3\lambda}{25})$ મળે છે.
આ બિંદુ $x - y - 1 = 0$ પર હોવાથી,$\frac{18 - 4\lambda}{25} - (\frac{-24 - 3\lambda}{25}) - 1 = 0$ મળે છે.
જેથી $\lambda = 17$ મળે છે.
આમ,બીજા અનંતસ્પર્શકનું સમીકરણ $4x + 3y + 17 = 0$ છે.

(A) અતિવલય $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1$ માટે બિંદુ $(5 \sec \theta, 4 \tan \theta)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $5x \cos \theta + 4y \cot \theta = 41$ છે.
આ રેખા $2x + y = 1$ ને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m = -\frac{5 \sin \theta}{4}$ થશે.
લંબ રેખાઓ માટે $m_1 m_2 = -1$ હોવાથી,$(-\frac{5 \sin \theta}{4})(-2) = -1$ મળે.
તેથી,$\sin \theta = -\frac{2}{5}$ અને $\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{21}}{5}$ તથા $\cot \theta = \mp \frac{\sqrt{21}}{2}$ મળે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મુકતા,$\sqrt{21}(x - 2y) = 41$ મળે છે.

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $4y^2 - x^2 = 1$ છે.
સ્પર્શબિંદુ $P(x_1, y_1)$ લો. $P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $4yy_1 - xx_1 = 1$ છે.
આ સ્પર્શક $x$-અક્ષને $A$ બિંદુએ છેદે છે જ્યાં $y=0$,તેથી $-xx_1 = 1 \Rightarrow x = -1/x_1$. આમ,$A = (-1/x_1, 0)$.
આ સ્પર્શક $y$-અક્ષને $B$ બિંદુએ છેદે છે જ્યાં $x=0$,તેથી $4yy_1 = 1 \Rightarrow y = 1/(4y_1)$. આમ,$B = (0, 1/(4y_1))$.
ધારો કે $AB$ નું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે.
તેથી $h = -1/(2x_1) \Rightarrow x_1 = -1/(2h)$ અને $k = 1/(8y_1) \Rightarrow y_1 = 1/(8k)$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ એ અતિવલય $4y_1^2 - x_1^2 = 1$ પર હોવાથી,કિંમતો મૂકતા:
$4(1/(8k))^2 - (-1/(2h))^2 = 1$
$4/(64k^2) - 1/(4h^2) = 1$
$1/(16k^2) - 1/(4h^2) = 1$
$16h^2k^2$ વડે ગુણતા:
$h^2 - 4k^2 = 16h^2k^2$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 - 4y^2 - 16x^2y^2 = 0$ મળે છે.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $4x^2 - 9y^2 = 36$ છે,જેને $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $(x_0, y_0)$ પર અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_0} + \frac{b^2y}{y_0} = a^2 + b^2$ છે.
અહીં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ હોવાથી,સમીકરણ $\frac{9x}{x_0} + \frac{4y}{y_0} = 13$ મળે.
આ અભિલંબ $x$-અક્ષને $A(\frac{13x_0}{9}, 0)$ અને $y$-અક્ષને $B(0, \frac{13y_0}{4})$ માં મળે છે.
$OABP$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$P(x, y) = A + B = (\frac{13x_0}{9}, \frac{13y_0}{4})$.
તેથી,$x_0 = \frac{9x}{13}$ અને $y_0 = \frac{4y}{13}$.
$(x_0, y_0)$ અતિવલય પર હોવાથી,$4(\frac{9x}{13})^2 - 9(\frac{4y}{13})^2 = 36$ મળે.
સાદું રૂપ આપતા,$9x^2 - 4y^2 = 169$ મળે છે.

(A) ઉત્કેન્દ્રતા માટેનું સમીકરણ: $9e^2 - 18e + 5 = 0$.
$e$ માટે ઉકેલતા: $(3e - 1)(3e - 5) = 0$,તેથી $e = 1/3$ અથવા $e = 5/3$. અતિવલય માટે $e > 1$ હોવાથી,$e = 5/3$ મળે.
નાભિ $S(ae, 0)$ અને નિયામિકા $x = a/e$ ધરાવતા અતિવલય માટે,$ae = 5$ અને $a/e = 9/5$ થાય.
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા: $(ae)(a/e) = 5 \times (9/5) \Rightarrow a^2 = 9$.
$ae = 5$ અને $e = 5/3$ નો ઉપયોગ કરતા,$a(5/3) = 5 \Rightarrow a = 3$ મળે.
અતિવલય માટે,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
$b^2 = 9((5/3)^2 - 1) = 9(25/9 - 1) = 9(16/9) = 16$.
આમ,$a^2 - b^2 = 9 - 16 = -7$.

(C) આપેલ શંકુ $\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{16} = 1$ છે.
તેની નાભિ $(0, \pm 2)$ છે.
અતિવલયના શિરોબિંદુઓ $(0, \pm 2)$ છે,તેથી $a = 2$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{3}{2}$ હોવાથી,$b^2 = a^2(e^2 - 1) = 4(\frac{9}{4} - 1) = 5$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{5} = 1$ છે.
બિંદુ $(5, 2\sqrt{3})$ આ સમીકરણનું સમાધાન કરતું નથી.

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે બિંદુ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ છે.
અહીં $a=3$ અને $b=2$ છે,તેથી $P$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $3x \cos \theta + 2y \cot \theta = 13$ થાય.
$Q$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $3x \cos \phi + 2y \cot \phi = 13$ થાય.
$\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$ મૂકતા,સમીકરણ $3x \sin \theta + 2y \tan \theta = 13$ મળે.
છેદબિંદુ $(h, k)$ માટે,$3h \cos \theta + 2k \cot \theta = 13$ અને $3h \sin \theta + 2k \tan \theta = 13$ ને સરખાવતા,સાદુરૂપ આપતા $k = -\frac{13}{2}$ મળે છે.

(A) આપેલ અતિવલય $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ છે.
અહીં,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 5$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{5}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.
પ્રથમ ચરણમાં નાભિલંબનું અંત્યબિંદુ $L = (ae, \frac{b^2}{a}) = (2 \times \frac{3}{2}, \frac{5}{2}) = (3, \frac{5}{2})$ છે.
$(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ છે.
$(x_1, y_1) = (3, \frac{5}{2})$ મૂકતા,આપણને $\frac{3x}{4} - \frac{y(5/2)}{5} = 1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{3x}{4} - \frac{y}{2} = 1$ થાય.
આને $\frac{x}{4/3} + \frac{y}{-2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
$x$-અંતઃખંડ $OA = \frac{4}{3}$ અને $y$-અંતઃખંડ $OB = -2$ છે.
તેથી,$(OA)^2 - (OB)^2 = (\frac{4}{3})^2 - (-2)^2 = \frac{16}{9} - 4 = \frac{16 - 36}{9} = -\frac{20}{9}$.

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \sec \theta}{a} - \frac{y \tan \theta}{b} = 1$ છે.
$y=0$ લેતા,$x = a \cos \theta$ મળે,તેથી $P = (a \cos \theta, 0)$.
$x=0$ લેતા,$y = -b \cot \theta$ મળે,તેથી $Q = (0, -b \cot \theta)$.
$OPRQ$ એ $O(0,0)$ સાથેનો લંબચોરસ હોવાથી,$R$ ના યામ $(h, k) = (a \cos \theta, -b \cot \theta)$ છે.
આથી,$\cos \theta = \frac{h}{a}$ અને $\cot \theta = -\frac{k}{b}$.
નિત્યસમ $\csc^2 \theta - \cot^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a^2}{h^2} - \frac{b^2}{k^2} = 1$ મળે છે.
અહીં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 2$ આપેલ છે,તેથી $R(x, y)$ નો બિંદુપથ $\frac{4}{x^2} - \frac{2}{y^2} = 1$ છે.

(A) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
તે $(K, 2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$\frac{K^2}{9} - \frac{4}{b^2} = 1$ $(1).$
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$ આપેલ છે.
અહીં $a^2 = 9$ હોવાથી,$\sqrt{1 + \frac{b^2}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}.$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1 + \frac{b^2}{9} = \frac{13}{9}.$
$\frac{b^2}{9} = \frac{13}{9} - 1 = \frac{4}{9},$ તેથી $b^2 = 4.$
સમીકરણ $(1)$ માં $b^2 = 4$ મૂકતા,$\frac{K^2}{9} - \frac{4}{4} = 1.$
$\frac{K^2}{9} - 1 = 1 \Rightarrow \frac{K^2}{9} = 2.$
તેથી,$K^2 = 18.$

(A) અતિવલયનું સમીકરણ: $\frac{x^2}{\cos^2 \theta} - \frac{y^2}{\sin^2 \theta} = 1$.
અહીં,$a^2 = \cos^2 \theta$ અને $b^2 = \sin^2 \theta$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$.
આપેલ છે કે $e > 2$,તેથી $e^2 > 4$,એટલે કે $\sec^2 \theta > 4$,અથવા $\tan^2 \theta > 3$.
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$\tan \theta > \sqrt{3}$,એટલે કે $\theta \in (\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})$.
નાભિલંબની લંબાઈ $L = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \sin^2 \theta}{\cos \theta} = 2 \tan \theta \sin \theta$.
જ્યારે $\theta$ એ $\frac{\pi}{3}$ થી $\frac{\pi}{2}$ તરફ વધે છે,ત્યારે $L = 2 \tan \theta \sin \theta > 2(\sqrt{3})(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 3$.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $(3, \infty)$ અંતરાલમાં છે.

(A) ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર અને $x$-અક્ષ પર મુખ્ય અક્ષ ધરાવતા અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 4$ આપેલ હોવાથી,$a = 2$ મળે,તેથી $a^2 = 4$.
સમીકરણ $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ બને છે.
અતિવલય $(4, 2)$ બિંદુમાંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\frac{4^2}{4} - \frac{2^2}{b^2} = 1$
$4 - \frac{4}{b^2} = 1$
$3 = \frac{4}{b^2}$
$b^2 = \frac{4}{3}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
$a^2$ અને $b^2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$e = \sqrt{1 + \frac{4/3}{4}} = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(A) આપેલ અતિવલય $4x^2 - 5y^2 = 20$ છે,જેને $\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{4} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
તેને $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 5$ અને $b^2 = 4$ મળે છે.
આપેલ રેખા $x - y = 2$ છે,જેને $y = x - 2$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m = 1$ છે.
$m$ ઢાળવાળા અતિવલયના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ છે.
$m = 1$,$a^2 = 5$,અને $b^2 = 4$ મૂકતા,$y = 1(x) \pm \sqrt{5(1)^2 - 4} = x \pm \sqrt{5 - 4} = x \pm 1$ મળે છે.
આમ,સ્પર્શકો $y = x + 1$ અથવા $y = x - 1$ છે,જેને $x - y + 1 = 0$ અથવા $x - y - 1 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$x - y + 1 = 0$ એ સાચો વિકલ્પ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{y^2}{1+r} - \frac{x^2}{1-r} = 1$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $r > 1$,તો $1-r < 0$. સમીકરણ $\frac{y^2}{1+r} + \frac{x^2}{r-1} = 1$ બને છે,જે ઉપવલય છે.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
અહીં $a^2 = 1+r$ અને $b^2 = r-1$ હોવાથી,$e = \sqrt{1 - \frac{r-1}{r+1}} = \sqrt{\frac{2}{r+1}}$.
કિસ્સો $2$: જો $0 < r < 1$,તો $1-r > 0$. આ અતિવલય છે.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
અહીં $a^2 = 1+r$ અને $b^2 = 1-r$ હોવાથી,$e = \sqrt{1 + \frac{1-r}{1+r}} = \sqrt{\frac{2}{1+r}}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ $2b = 5$ છે,તેથી $b = \frac{5}{2}$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 13$ છે,તેથી $ae = \frac{13}{2}$.
અતિવલય માટે,$a$,$b$ અને $e$ વચ્ચેનો સંબંધ $a^2e^2 = a^2 + b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(ae)^2 = a^2 + b^2$.
$\left(\frac{13}{2}\right)^2 = a^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2$.
$\frac{169}{4} = a^2 + \frac{25}{4}$.
$a^2 = \frac{169 - 25}{4} = \frac{144}{4} = 36$.
તેથી,$a = 6$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{ae}{a} = \frac{13/2}{6} = \frac{13}{12}$.

(D) અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
અહીં શિરોબિંદુઓ $(\pm 2, 0)$ છે,તેથી $a = 2$ અને $a^2 = 4$.
નાભિ $(\pm ae, 0)$ છે,તેથી $ae = 3$.
અતિવલય માટે $b^2 = a^2e^2 - a^2$ હોવાથી,$b^2 = 3^2 - 2^2 = 5$.
તેથી અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $\frac{6^2}{4} - \frac{(5\sqrt{2})^2}{5} = 9 - 10 = -1 \neq 1$.
આમ,બિંદુ $(6, 5\sqrt{2})$ અતિવલય પર આવેલું નથી.

(C) ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
તે $(4, 6)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{16}{a^2} - \frac{36}{b^2} = 1 \dots (i)$.
આપેલ ઉત્કેન્દ્રતા $e = 2$ છે,તેથી $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ $\Rightarrow 4 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ $\Rightarrow b^2 = 3a^2 \dots (ii)$.
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$\frac{16}{a^2} - \frac{36}{3a^2} = 1$ $\Rightarrow \frac{16 - 12}{a^2} = 1$ $\Rightarrow a^2 = 4$.
તેથી $b^2 = 3(4) = 12$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$ છે.
$(x_1, y_1) = (4, 6)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ છે.
$\frac{4x}{4} - \frac{6y}{12} = 1$ $\Rightarrow x - \frac{y}{2} = 1$ $\Rightarrow 2x - y = 2$ $\Rightarrow 2x - y - 2 = 0$.

(A) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{24} - \frac{y^2}{18} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 24$ અને $b^2 = 18$ છે.
અભિલંબની શરત મુજબ,$c^2 = \frac{m^2(a^2 + b^2)^2}{a^2 - b^2m^2}$.
અહીં $c = 7\sqrt{3}$ હોવાથી $c^2 = 147$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $147 = \frac{m^2(24 + 18)^2}{24 - 18m^2} = \frac{1764m^2}{24 - 18m^2}$.
સાદુરૂપ આપતા: $24 - 18m^2 = 12m^2$ $\Rightarrow 30m^2 = 24$ $\Rightarrow m^2 = \frac{4}{5}$.
તેથી,$m = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}$.

(B) ધારો કે અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. તે $(4, -2\sqrt{3})$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{16}{a^2} - \frac{12}{b^2} = 1 \dots (i)$.
નિયામિકા $x = \frac{a}{e}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{a}{e} = \frac{4\sqrt{5}}{5} = \frac{4}{\sqrt{5}}$,એટલે કે $a^2 = \frac{16e^2}{5} \dots (ii)$.
$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ નો ઉપયોગ કરીને,$(i)$ માં $a^2$ અને $b^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{16}{a^2} - \frac{12}{a^2(e^2 - 1)} = 1$.
$a^2 = \frac{16e^2}{5}$ મૂકતા:
$\frac{5}{e^2} - \frac{60}{16e^2(e^2 - 1)} = 1$.
$4e^2(e^2 - 1)$ વડે ગુણતા:
$20(e^2 - 1) - 15 = 4e^2(e^2 - 1) \Rightarrow 20e^2 - 35 = 4e^4 - 4e^2$.
તેથી $4e^4 - 24e^2 + 35 = 0$ મળે છે.

(C) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $16x^2 - 9y^2 = 144$ છે. $144$ વડે ભાગતા,$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ મળે.
અહીં,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 16,$ તેથી $a = 3$ અને $b = 4.$
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{16}{9}} = \frac{5}{3}.$
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની નિયામિકા $x = \pm \frac{a}{e}$ છે.
આપેલ નિયામિકા $5x + 9 = 0$ એટલે કે $x = -\frac{9}{5}$ છે.
અહીં $\frac{a}{e} = \frac{3}{5/3} = \frac{9}{5}$ હોવાથી,નિયામિકા $x = -\frac{9}{5}$ એ નાભિ $(-ae, 0)$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,નાભિ $(-3 \times \frac{5}{3}, 0) = (-5, 0)$ થાય.