ધારો કે a અને b એવા ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે કે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A, D) $P$ આગળનો અભિલંબ યામ અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ બનાવે છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $-1$ છે. આમ,$P$ આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ $1$ છે.સ્પર્શક બિંદુ $(1, 0)$ માંથી પ

Vedclass · Accepted Answer

$A, D$

Vedclass · Answer

(A, D) $P$ આગળનો અભિલંબ યામ અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ બનાવે છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $-1$ છે. આમ,$P$ આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ $1$ છે.સ્પર્શક બિંદુ $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $1$ છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y - 0 = 1(x - 1)$,એટલે કે $x - y = 1$ છે.$P(x_1, y_1)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ છે. આને $x - y = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{x_1}{a^2} = 1$ અને $\frac{y_1}{b^2} = 1$ મળે છે,તેથી $x_1 = a^2$ અને $y_1 = b^2$.$P(a^2, b^2)$ એ અતિવલય પર હોવાથી,$\frac{(a^2)^2}{a^2} - \frac{(b^2)^2}{b^2} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $a^2 - b^2 = 1$ થાય છે.$P(a^2, b^2)$ આગળના અભિલંબનો ઢાળ $-1$ છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y - b^2 = -1(x - a^2)$,એટલે કે $x + y = a^2 + b^2$ છે.અભિલંબનો $x$-અંતઃખંડ $x = a^2 + b^2$ છે. સ્પર્શક $x - y = 1$ નો $x$-અંતઃખંડ $x = 1$ છે.ત્રિકોણ સ્પર્શક,અભિલંબ અને $x$-અક્ષ દ્વારા બને છે. પાયો $x$-અંતઃખંડો વચ્ચેનું અંતર છે: $(a^2 + b^2) - 1 = (a^2 - 1) + b^2 = b^2 + b^2 = 2b^2$. ઊંચાઈ $P$ નો $y$-યામ છે,જે $b^2$ છે.આમ,$\Delta = \frac{1}{2} 	imes 	ext{પાયો} 	imes 	ext{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} 	imes (2b^2) 	imes b^2 = b^4$. તેથી $(D)$ સાચું છે.ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે,$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{a^2 - 1}{a^2} = 2 - \frac{1}{a^2}$.$a > 1$ હોવાથી,$0 < \frac{1}{a^2} < 1$,તેથી $1 < 2 - \frac{1}{a^2} < 2$,જેનો અર્થ છે કે $1 < e^2 < 2$,તેથી $1 < e < \sqrt{2}$. આમ $(A)$ સાચું છે.

Similar Questions

અતિવલય $16x^2 - 25y^2 - 96x + 100y - 356 = 0$ ને સ્પર્શકનું સમીકરણ જે તેની અનુપ્રસ્થ અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે તે શોધો.

જો $A(4,0)$ અને $B(-4,0)$ બે બિંદુઓ હોય,તો બિંદુ $P$ નો બિંદુપથ શોધો જેથી $PA - PB = 4$ થાય.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module