System of circles Questions in Hindi

(B) दिए गए वृत्त $C_1: x^2+y^2+2x+4y-20=0$ और $C_2: x^2+y^2+6x-8y+9=0$ हैं।
$C_1$ के लिए,केंद्र $O_1 = (-1, -2)$ और त्रिज्या $r_1 = 5$ है।
$C_2$ के लिए,केंद्र $O_2 = (-3, 4)$ और त्रिज्या $r_2 = 4$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{40}$ है।
चूंकि $r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2$,इसलिए $n = 2$ है।
समानता के केंद्र से स्पर्श रेखा की लंबाई $l = 4\sqrt{39}$ प्राप्त होती है।
अतः,$\frac{l}{n^2} = \frac{4\sqrt{39}}{4} = \sqrt{39}$।

(C) वृत्तों के दिए गए समीकरण $S_1: x^2+y^2-6x-4y-23=0$ और $S_2: x^2+y^2+2x+2y+1=0$ हैं।
चूंकि दो वृत्तों की मूलाक्ष (radical axis) वह रेखा है जिस पर उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं या संपाती होती हैं,हम $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा मूलाक्ष ज्ञात करते हैं।
$(x^2+y^2-6x-4y-23) - (x^2+y^2+2x+2y+1) = 0$.
$-8x - 6y - 24 = 0$.
$-2$ से विभाजित करने पर,हमें $4x + 3y + 12 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण $4x + 3y + 12 = 0$ है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(A) वृत्त $x^2+y^2+2x=0$ के लिए,केंद्र $C_1(-1,0)$ और त्रिज्या $r_1=1$ है।
वृत्त $x^2+y^2-2y-3=0$ के लिए,केंद्र $C_2(0,1)$ और त्रिज्या $r_2=2$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{2}$ है।
बाह्य समानता का केंद्र $P$,$C_1C_2$ को $1:2$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है,जिससे $P(-2,-1)$ प्राप्त होता है।
$P(-2,-1)$ से गुजरने वाली रेखाएं $y+1 = m(x+2)$ हैं।
$C_1(-1,0)$ से रेखा की दूरी $1$ लेने पर,$m=0$ और अनंत ढाल प्राप्त होती है।
अतः स्पर्श रेखाएं $y+1=0$ और $x+2=0$ हैं।
संयुक्त समीकरण $(y+1)(x+2) = 0 \Rightarrow xy+x+2y+2=0$ है।

(A) दिए गए वृत्तों के समीकरण $x^2+y^2-2x-2y-23=0 \dots (1)$ और $x^2+y^2-4x-4y-1=0 \dots (2)$ हैं।
वृत्त $(1)$ के लिए,केंद्र $C_1 = (1, 1)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1^2+1^2-(-23)} = \sqrt{25} = 5$ है।
वृत्त $(2)$ के लिए,केंद्र $C_2 = (2, 2)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{2^2+2^2-(-1)} = \sqrt{9} = 3$ है।
केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(2-1)^2+(2-1)^2} = \sqrt{2} \approx 1.414$ है।
हम $d$ की तुलना त्रिज्याओं के अंतर $|r_1 - r_2| = |5 - 3| = 2$ से करते हैं।
चूंकि $d < |r_1 - r_2|$ (क्योंकि $\sqrt{2} < 2$),छोटा वृत्त बड़े वृत्त के पूरी तरह अंदर स्थित है।
अतः,खींची जा सकने वाली उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $0$ है।

(D) दो वृत्तों का मूलाक्ष उन बिंदुओं का बिंदु पथ है जहाँ से दोनों वृत्तों पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।
जब दो वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं,तो उनका मूलाक्ष स्पर्श बिंदु पर उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा होती है।
चूंकि वृत्त $(0,0)$ पर स्पर्श करते हैं,इसलिए उनका मूलाक्ष $(0,0)$ पर उनकी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है।

(B) दिए गए वृत्त हैं:
$S_1: x^2+y^2-8x-6y+21=0$
$S_2: x^2+y^2-2y-15=0$
वृत्त $S_1$ के लिए,केंद्र $C_1(4,3)$ है और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{4^2+3^2-21} = 2$ है।
वृत्त $S_2$ के लिए,केंद्र $C_2(0,1)$ है और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{0^2+1^2-(-15)} = 4$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(4-0)^2+(3-1)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ है।
चूंकि $|r_1-r_2| < C_1C_2 < r_1+r_2$ है,इसलिए वृत्तों का केवल एक बाह्य उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा प्रतिच्छेदन बिंदु है।
बाह्य समानता का केंद्र $P$,केंद्रों $C_1$ और $C_2$ को जोड़ने वाली रेखा को उनकी त्रिज्याओं के अनुपात $r_1:r_2 = 1:2$ में बाह्य रूप से विभाजित करता है।
बाह्य विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$P = \left( \frac{1(0) - 2(4)}{1-2}, \frac{1(1) - 2(3)}{1-2} \right) = (8,5)$।

(A) . $x^2+y^2+2x+8y-23=0$ के लिए,केंद्र $C_1(-1,-4)$,त्रिज्या $r_1=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$। $x^2+y^2-4x-10y+19=0$ के लिए,केंद्र $C_2(2,5)$,त्रिज्या $r_2=\sqrt{10}$। दूरी $C_1C_2=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$। चूंकि $C_1C_2=r_1+r_2$,वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए $3$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं।
$B$. $x^2+y^2=1$ के लिए,केंद्र $C_1(0,0)$,त्रिज्या $r_1=1$। $x^2+y^2-2x-6y+6=0$ के लिए,केंद्र $C_2(1,3)$,त्रिज्या $r_2=2$। दूरी $C_1C_2=\sqrt{10}$। चूंकि $C_1C_2 > r_1+r_2$ $(\sqrt{10} > 3)$,वृत्त अलग हैं,इसलिए $4$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं।
$C$. $x^2+y^2-8x+2y=0$ के लिए,केंद्र $C_1(4,-1)$,त्रिज्या $r_1=\sqrt{17}$। $x^2+y^2-2x-16y+25=0$ के लिए,केंद्र $C_2(1,8)$,त्रिज्या $r_2=2\sqrt{10}$। दूरी $C_1C_2=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$। चूंकि $|r_1-r_2| < C_1C_2 < r_1+r_2$,वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं,इसलिए $2$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं।
$D$. $x^2+y^2=4$ के लिए,केंद्र $C_1(0,0)$,त्रिज्या $r_1=2$। $x^2+y^2-2x=0$ के लिए,केंद्र $C_2(1,0)$,त्रिज्या $r_2=1$। दूरी $C_1C_2=1$। चूंकि $C_1C_2=|r_1-r_2|=1$,वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए $1$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है।
अतः,सही मिलान $A-IV, B-V, C-III, D-II$ है।

(B) दिए गए वृत्त $S_1 \equiv x^2+y^2-14x+6y+33=0$ और $S_2 \equiv x^2+y^2-a^2=0$ हैं।
दो वृत्तों की $4$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ होने के लिए,उन्हें अलग होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d > r_1 + r_2$ होनी चाहिए।
$S_1$ का केंद्र $C_1 = (7, -3)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{7^2 + (-3)^2 - 33} = \sqrt{49 + 9 - 33} = \sqrt{25} = 5$ है।
$S_2$ का केंद्र $C_2 = (0, 0)$ और त्रिज्या $r_2 = a$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(7-0)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$ है।
शर्त: $r_1 + r_2 < d \Rightarrow 5 + a < \sqrt{58}$।
चूंकि $\sqrt{58} \approx 7.61$,इसलिए $5 + a < 7.61$,जिसका अर्थ है $a < 2.61$।
चूंकि $a \in N$ (प्राकृत संख्याएँ),$a$ के लिए संभावित मान $1$ और $2$ हैं।
अतः,$2$ संभावित वृत्त हैं।

(B) प्रथम वृत्त $x^2+y^2+4x=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-2, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 - 0} = 2$ है।
दूसरे वृत्त $x^2+y^2-2x=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (1, 0)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(1)^2 + 0^2 - 0} = 1$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{3^2} = 3$ है।
चूंकि $r_1 + r_2 = 2 + 1 = 3$,इसलिए $C_1C_2 = r_1 + r_2$ है।
यह स्थिति दर्शाती है कि दोनों वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
जब दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,तो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $3$ होती है (दो सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं और एक अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा)।

(B) वृत्तों के समीकरण $x^2+y^2-8x+2y=0$ और $x^2+y^2-2x-16y+25=0$ हैं।
पहले वृत्त के लिए,केंद्र $C_1 = (4, -1)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{17}$ है।
दूसरे वृत्त के लिए,केंद्र $C_2 = (1, 8)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{40}$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{90}$ है।
चूंकि $|r_1 - r_2| < C_1C_2 < r_1 + r_2$ है,इसलिए दोनों वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $2$ है।

(D) दिया गया वृत्त $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ है,जिसे $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इसका केंद्र $(-1, -1)$ और त्रिज्या $1$ है।
वृत्तों $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ और $x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c=0$ की मूल अक्ष $(2g-\frac{3}{2})x+(2f-4)y=0$ है।
चूंकि यह रेखा पहले वृत्त की स्पर्श रेखा है,इसलिए केंद्र $(-1, -1)$ से रेखा की लंबवत दूरी $1$ होनी चाहिए।
अतः,$\frac{|-(2g-\frac{3}{2})-(2f-4)|}{\sqrt{(2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2}} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(2g+2f-\frac{11}{2})^2 = (2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2$.
माना $A = 2g-\frac{3}{2}$ और $B = 2f-4$ है। समीकरण $(A+B+4)^2 = A^2+B^2$ बन जाता है,जो सरल होकर $AB+4A+4B+8=0$ हो जाता है।
इसके गुणनखंड $(A+4)(B+4)=0$ हैं।
अतः,$A=-4$ या $B=-4$ है।
यदि $A=-4$,तो $2g-\frac{3}{2}=-4 \implies g=-\frac{5}{4}$।
यदि $B=-4$,तो $2f-4=-4 \implies f=0$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $g=\frac{3}{4}$ या $f=2$ है।

(B) चूंकि वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ प्रत्येक दिए गए वृत्त को व्यास के सिरों पर काटता है,इसलिए उभयनिष्ठ जीवा संबंधित वृत्त के केंद्र से होकर गुजरेगी।
$x^2+y^2=4$ के लिए,केंद्र $(0,0)$ है। उभयनिष्ठ जीवा $2gx+2fy+c+4=0$ है। चूंकि यह $(0,0)$ से गुजरती है,इसलिए $c+4=0$,अर्थात $c=-4$ प्राप्त होता है।
$x^2+y^2-6x-8y+10=0$ के लिए,केंद्र $(3,4)$ है। उभयनिष्ठ जीवा $(2g+6)x+(2f+8)y+(c-10)=0$ है। $(3,4)$ और $c=-4$ रखने पर,$3(2g+6)+4(2f+8)-14=0$ प्राप्त होता है,जो $3g+4f+18=0$ $(i)$ में सरल हो जाता है।
$x^2+y^2+2x-4y-2=0$ के लिए,केंद्र $(-1,2)$ है। उभयनिष्ठ जीवा $(2g-2)x+(2f+4)y+(c+2)=0$ है। $(-1,2)$ और $c=-4$ रखने पर,$-1(2g-2)+2(2f+4)-2=0$ प्राप्त होता है,जो $g-2f-4=0$ $(ii)$ में सरल हो जाता है।
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,$f=-3$ और $g=-2$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$g+f+c = -2-3-4 = -9$।

(D) माना दिए गए वृत्त $S_1: 2x^2+2y^2-2x+6y-3=0$ और $S_2: x^2+y^2+4x+2y+1=0$ हैं।
$S_1$ को $x^2+y^2-x+3y-\frac{3}{2}=0$ के रूप में लिखें।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - 2S_2 = 0$ है:
$(2x^2+2y^2-2x+6y-3) - 2(x^2+y^2+4x+2y+1) = 0$
$-10x + 2y - 5 = 0 \Rightarrow 10x - 2y + 5 = 0$.
$S_1$ और $S_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों का परिवार $S_1 + \lambda S_2 = 0$ है:
$(2+\lambda)x^2 + (2+\lambda)y^2 + (4\lambda-2)x + (2\lambda+6)y + (\lambda-3) = 0$.
$(2+\lambda)$ से विभाजित करने पर,केंद्र $(h, k) = \left(-\frac{2\lambda-1}{\lambda+2}, -\frac{\lambda+3}{\lambda+2}\right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि केंद्र उभयनिष्ठ जीवा $10x - 2y + 5 = 0$ पर स्थित है:
$10\left(-\frac{2\lambda-1}{\lambda+2}\right) - 2\left(-\frac{\lambda+3}{\lambda+2}\right) + 5 = 0$.
$-13\lambda + 26 = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ का मान रखने पर: $4x^2+4y^2+6x+10y-1=0$ प्राप्त होता है।

(D) दो वृत्तों $S_1 = x^2+y^2+4x-6y+c=0$ और $S_2 = x^2+y^2-6x+4y-12=0$ की उभयनिष्ठ जीवा $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है।
$(x^2+y^2+4x-6y+c) - (x^2+y^2-6x+4y-12) = 0$
$10x - 10y + c + 12 = 0$ $(i)$
यदि एक वृत्त दूसरे वृत्त की परिधि को समद्विभाजित करता है,तो उभयनिष्ठ जीवा उस वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है जिसे समद्विभाजित किया जा रहा है।
दूसरे वृत्त $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ का केंद्र $(3, -2)$ है।
समीकरण $(i)$ में $(3, -2)$ रखने पर:
$10(3) - 10(-2) + c + 12 = 0$
$30 + 20 + c + 12 = 0$
$62 + c = 0$
$c = -62$

(A) वृत्तों $S_1: x^2+y^2+2x-2y+1=0$ और $S_2: x^2+y^2-2x+2y-2=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ है।
उभयनिष्ठ जीवा $S_1 - S_2 = 0$ ज्ञात करने पर:
$4x - 4y + 3 = 0$।
वृत्तों के परिवार का समीकरण $x^2+y^2+(2+4\lambda)x + (-2-4\lambda)y + (1+3\lambda) = 0$ है।
केंद्र $(h, k) = (-(1+2\lambda), (1+2\lambda))$ है।
अतः,$h = -k$,यानी $x+y=0$।
केंद्र हमेशा $x+y=0$ रेखा पर स्थित है।

(A) वृत्त $C_1$ का केंद्र $O_1 = (2, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = 5$ है।
वृत्त $C_2$ का केंद्र $O_2 = (-3, -9)$ और त्रिज्या $r_2 = 8$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $O_1O_2 = 13$ है,जो $r_1+r_2$ के बराबर है,अतः वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
स्पर्श बिंदु $P$,$O_1O_2$ को $5:8$ के अनुपात में विभाजित करता है,जिससे $P = \left(\frac{1}{13}, -\frac{21}{13}\right)$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(h, k)$,$O_1$ और $O_2$ को जोड़ने वाली रेखा $12x-5y-9=0$ पर स्थित है।
विकल्प $A$ की जाँच करने पर,यह रेखा पर स्थित है। अतः सही उत्तर $\left(\frac{1}{3}, -1\right)$ है।

(B) प्रथम वृत्त $(x-2)^2+(y-3)^2=5^2$ के लिए,केंद्र $C_1 = (2, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = 5$ है।
दूसरे वृत्त $25x^2+25y^2-40x-70y-160=0$ के लिए,$25$ से भाग देने पर $x^2+y^2-\frac{8}{5}x-\frac{14}{5}y-\frac{32}{5}=0$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x-\frac{4}{5})^2+(y-\frac{7}{5})^2 = \frac{32}{5} + \frac{16}{25} + \frac{49}{25} = 9 = 3^2$।
अतः,केंद्र $C_2 = (\frac{4}{5}, \frac{7}{5})$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
चूंकि वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,स्पर्श बिंदु $(\alpha, \beta)$ केंद्रों $C_1$ और $C_2$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $r_1 : r_2$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।
$(\alpha, \beta) = \left(\frac{5(\frac{4}{5}) - 3(2)}{5-3}, \frac{5(\frac{7}{5}) - 3(3)}{5-3}\right) = (-1, -1)$।
इसलिए,$\alpha + \beta = -1 + (-1) = -2$।

(B) दो वृत्तों $S_1: x^2+y^2+2x-2y-2=0$ और $S_2: x^2+y^2-2x+2y-7=0$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2+y^2+2x-2y-2) + \lambda(x^2+y^2-2x+2y-7) = 0$
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + 2(1-\lambda)x + 2(\lambda-1)y - (2+7\lambda) = 0$
$(1+\lambda)$ से विभाजित करने पर,हमें वृत्त का समीकरण प्राप्त होता है:
$x^2 + y^2 + 2\left(\frac{1-\lambda}{1+\lambda}\right)x + 2\left(\frac{\lambda-1}{1+\lambda}\right)y - \frac{2+7\lambda}{1+\lambda} = 0$
इस वृत्त का केंद्र $\left(-\frac{1-\lambda}{1+\lambda}, -\frac{\lambda-1}{1+\lambda}\right) = \left(\frac{\lambda-1}{\lambda+1}, \frac{1-\lambda}{\lambda+1}\right)$ है।
चूंकि केंद्र रेखा $x-y-1=0$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{\lambda-1}{\lambda+1} - \frac{1-\lambda}{\lambda+1} - 1 = 0$
$\frac{\lambda-1 - 1 + \lambda - \lambda - 1}{\lambda+1} = 0$
$\lambda - 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 3$.
केंद्र के निर्देशांकों में $\lambda = 3$ रखने पर:
$x = \frac{3-1}{3+1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$y = \frac{1-3}{3+1} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
अतः,केंद्र $\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)$ है।

(A) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x^2+y^2+2x+3y+1) + \lambda(x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$.
चूंकि वृत्त बिंदु $(-1, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $x = -1$ और $y = 1$ रखने पर:
$((-1)^2 + (1)^2 + 2(-1) + 3(1) + 1) + \lambda((-1)^2 + (1)^2 + 4(-1) + 3(1) + 2) = 0$.
$4 + 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{4}{3}$.
$\lambda = -\frac{4}{3}$ का मान समीकरण में रखने पर:
$3(x^2+y^2+2x+3y+1) - 4(x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$.
$x^2+y^2+10x+3y+5 = 0$.

(C) दिए गए वृत्त $S_1: x^2 + y^2 + kx - 4y - 1 = 0$ और $S_2: x^2 + y^2 - \frac{14}{3}x + \frac{23}{3}y - 5 = 0$ हैं।
चूंकि वृत्त लंबकोणीय हैं,शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ का पालन होता है।
यहाँ $g_1 = \frac{k}{2}, f_1 = -2, c_1 = -1$ और $g_2 = -\frac{7}{3}, f_2 = \frac{23}{6}, c_2 = -5$ है।
मान रखने पर: $2(\frac{k}{2})(-\frac{7}{3}) + 2(-2)(\frac{23}{6}) = -1 - 5$.
$-\frac{7k}{3} - \frac{46}{3} = -6$ $\Rightarrow -7k - 46 = -18$ $\Rightarrow k = -4$.
प्रतिच्छेदन बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda(S_2') = 0$ है।
$x^2 + y^2 - 4x - 4y - 1 + \lambda(x^2 + y^2 - \frac{14}{3}x + \frac{23}{3}y - 5) = 0$.
$(-1, -1)$ से गुजरने पर,$9 - 6\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{3}{2}$.
समीकरण में $\lambda = \frac{3}{2}$ रखने पर,$5x^2 + 5y^2 - 22x + 15y - 17 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-4x-2y-4=0$ है।
इस वृत्त का केंद्र $(2,1)$ है।
व्यास मूलबिंदु $(0,0)$ और केंद्र $(2,1)$ से गुजरता है,इसलिए व्यास का समीकरण $x-2y=0$ है।
वृत्त $S=0$ और रेखा $L=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S+\lambda L=0$ है।
अतः,$x^2+y^2-4x-2y-4+\lambda(x-2y)=0$।
यह वृत्त $(1,2)$ से गुजरता है,इसलिए $x=1$ और $y=2$ रखने पर:
$1+4-4-4-4+\lambda(1-4)=0$
$-7-3\lambda=0 \implies \lambda = -\frac{7}{3}$।
मान रखने पर:
$x^2+y^2-4x-2y-4-\frac{7}{3}(x-2y)=0$
$3x^2+3y^2-19x+8y-12=0$।

(A) दिए गए वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ लें।
इसे हल करने पर,हमें $\lambda = -\frac{21}{31}$ प्राप्त होता है।
इस मान को केंद्र के सूत्र $(-g, -f)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें केंद्र $\left(-\frac{27}{2}, -\frac{25}{2}\right)$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त $x^2+y^2+2kx-4y+1=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-k, 2)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{k^2+3}$ है।
वृत्त $x^2+y^2-8x-12y+43=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (4, 6)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
यदि दो वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं,तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d = |r_1 \pm r_2|$ होती है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(4+k)^2 + 4^2} = \sqrt{k^2+8k+32}$ है।
$d = r_1 + r_2$ लेने पर,$\sqrt{k^2+8k+32} = \sqrt{k^2+3} + 3$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$k^2+8k+32 = k^2+3 + 9 + 6\sqrt{k^2+3}$ $\Rightarrow 8k+20 = 6\sqrt{k^2+3}$ $\Rightarrow 4k+10 = 3\sqrt{k^2+3}$.
पुनः वर्ग करने पर,$16k^2+80k+100 = 9k^2+27 \Rightarrow 7k^2+80k+73 = 0$.
हल करने पर $k = -1$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए वृत्त $x^2+y^2+8x-4y+c=0$ के लिए,इसका केंद्र $C_1 = (-4, 2)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 - c} = \sqrt{20-c}$ है।
वृत्त $x^2+y^2+2x+4y-11=0$ के लिए,इसका केंद्र $C_2 = (-1, -2)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 - (-11)} = \sqrt{1+4+11} = 4$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,$C_1C_2 = r_1 + r_2$ होगा।
$C_1C_2 = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5$ है।
अतः,$5 = \sqrt{20-c} + 4$,जिसका अर्थ है $\sqrt{20-c} = 1$,इसलिए $20-c = 1$,अर्थात $c = 19$ है।
अब,वृत्त $x^2+y^2+8x-4y+19=0$,वृत्त $x^2+y^2-6x+8y+k=0$ को लंबकोणीय काटता है।
लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ है।
यहाँ,$g_1 = 4, f_1 = -2, c_1 = 19$ और $g_2 = -3, f_2 = 4, c_2 = k$ है।
$2(4)(-3) + 2(-2)(4) = 19 + k$ है।
$-24 - 16 = 19 + k$ है।
$-40 = 19 + k$ है।
$k = -59$ है।

(A) माना वृत्त $S$ का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि $S$,$S_1, S_2, S_3$ को लंबकोणीय प्रतिच्छेद करता है,इसलिए $S_1, S_2, S_3$ का मूल केंद्र (radical center) ही $S$ का केंद्र है।
$S_1$ और $S_2$ की मूल अक्ष $S_1-S_2=0 \implies 4x-y-7=0$ है।
$S_2$ और $S_3$ की मूल अक्ष $S_2-S_3=0 \implies x+y-3=0$ है।
इन समीकरणों को हल करने पर,$S$ का केंद्र $(2, 1)$ प्राप्त होता है।
अतः $S=0$ और $S_1=0$ की मूल अक्ष $4x-y-7=0$ है।

(C) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ की मूल अक्ष $S_1-S_2=0$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $S_1: x^2+y^2-5x+6y+12=0$ और $S_2: x^2+y^2+6x-4y-14=0$।
$S_1$ में से $S_2$ घटाने पर:
$(x^2+y^2-5x+6y+12) - (x^2+y^2+6x-4y-14) = 0$
$-11x+10y+26=0$ या $11x-10y-26=0$।
मूल अक्ष की ढाल $m_1 = \frac{11}{10}$ है।
मूल अक्ष के लंबवत रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{10}{11}$ होगी।
$(1,1)$ से गुजरने वाली और $m_2 = -\frac{10}{11}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y-1 = -\frac{10}{11}(x-1)$
$11(y-1) = -10(x-1)$
$11y-11 = -10x+10$
$10x+11y-21=0$।

(D) माना वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2+y^2-1=0$,$S_2: x^2+y^2-2x-3=0$ और $S_3: x^2+y^2-2y-3=0$ हैं।
रेडिकल केंद्र ज्ञात करने के लिए,हम रेडिकल अक्षों का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$S_1-S_2=0 \implies 2x+2=0 \implies x=-1$.
$S_1-S_3=0 \implies 2y+2=0 \implies y=-1$.
अतः,रेडिकल केंद्र $C(\alpha, \beta)$ $(-1, -1)$ है।
वृत्तों की त्रिज्याएँ: $r_1 = 1$,$r_2 = 2$,$r_3 = 2$.
त्रिज्याओं का योग $r = 1+2+2 = 5$.
केंद्र $(-1, -1)$ और त्रिज्या $5$ वाले वृत्त का समीकरण $(x+1)^2+(y+1)^2=25$ है।

(C) $S$ और $S^{\prime}$ की रेडिकल अक्ष $S-S^{\prime}=0$ द्वारा दी जाती है:
$\Rightarrow (x^2+y^2+\alpha x+6y) - (x^2+y^2+2\alpha x+\alpha y+6) = 0$
$\Rightarrow -\alpha x + (6-\alpha)y - 6 = 0$
चूंकि $\left(0, \frac{3}{4}\right)$ इस अक्ष पर स्थित है:
$-\alpha(0) + (6-\alpha)(\frac{3}{4}) - 6 = 0$
$\Rightarrow \frac{18-3\alpha}{4} = 6$
$\Rightarrow 18-3\alpha = 24$
$\Rightarrow -3\alpha = 6$ $\Rightarrow \alpha = -2$.
अब,वृत्त $S^{\prime}$ का समीकरण $x^2+y^2-4x-2y+6 = 0$ है।
$S^{\prime}$ का केंद्र $C = (2, 1)$ है।
रेडिकल केंद्र $P = \left(0, \frac{3}{4}\right)$ है।
दूरी $PC = \sqrt{(2-0)^2 + (1-\frac{3}{4})^2} = \sqrt{4 + \frac{1}{16}} = \frac{\sqrt{65}}{4}$.

(C) दो वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ की रेडिकल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है।
पहले दो वृत्तों के लिए:
$(x^2 + y^2 + 2gx - 4y + 4) - (x^2 + y^2 + 6x + 2fy + 12) = 0$
$(2g - 6)x - (4 + 2f)y - 8 = 0$
चूंकि $(-1, -1)$ रेडिकल केंद्र है,यह रेडिकल अक्ष के समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$(2g - 6)(-1) - (4 + 2f)(-1) - 8 = 0$
$-2g + 6 + 4 + 2f - 8 = 0$
$-2g + 2f + 2 = 0$
$2f - 2g = -2$
$g - f = 1$.

(B) दिए गए वृत्त हैं:
$S_1 \equiv x^2+y^2-8x-2y+8=0$
$S_2 \equiv x^2+y^2+6x+8y-24=0$
$S_3 \equiv x^2+y^2-2x+2y+2=0$
$S_1$ और $S_2$ की रेडिकल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है:
$(x^2+y^2-8x-2y+8) - (x^2+y^2+6x+8y-24) = 0$
$-14x - 10y + 32 = 0 \Rightarrow 7x + 5y = 16 \quad \dots(1)$
$S_2$ और $S_3$ की रेडिकल अक्ष $S_2 - S_3 = 0$ द्वारा दी जाती है:
$(x^2+y^2+6x+8y-24) - (x^2+y^2-2x+2y+2) = 0$
$8x + 6y - 26 = 0 \Rightarrow 4x + 3y = 13 \quad \dots(2)$
रेडिकल केंद्र $(a, b)$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों $(1)$ और $(2)$ को हल करते हैं:
समीकरण $(2)$ से,$y = \frac{13-4x}{3}$। इसे $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$7x + 5(\frac{13-4x}{3}) = 16$
$21x + 65 - 20x = 48$
$x = -17$
$x = -17$ को $y$ के व्यंजक में रखने पर:
$y = \frac{13 - 4(-17)}{3} = \frac{13 + 68}{3} = \frac{81}{3} = 27$
अतः,रेडिकल केंद्र $(a, b) = (-17, 27)$ है।
इसलिए,$a+b = -17 + 27 = 10$.

(B) $S=0$ और $S^{\prime}=0$ का रेडिकल अक्ष $S-S^{\prime}=0$ द्वारा दिया जाता है।
$ (x^2+y^2-6x-6y+4) - (x^2+y^2-2x-4y+3) = 0 $
$ -4x-2y+1=0 \Rightarrow 4x+2y-1=0 $.
$S$ और $S^{\prime}$ की कोएक्सियल प्रणाली का कोई भी वृत्त $S+\lambda(S-S^{\prime})=0$ द्वारा दिया जाता है।
$ (x^2+y^2-6x-6y+4) + \lambda(4x+2y-1) = 0 $
$ x^2+y^2 + x(4\lambda-6) + y(2\lambda-6) + (4-\lambda) = 0 $.
केंद्र $C = (3-2\lambda, 3-\lambda)$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(3-2\lambda)^2 + (3-\lambda)^2 - (4-\lambda)} = \sqrt{14}$.
$ (9-12\lambda+4\lambda^2) + (9-6\lambda+\lambda^2) - 4 + \lambda = 14 $.
$ 5\lambda^2 - 17\lambda + 14 = 14 \Rightarrow 5\lambda^2 - 17\lambda = 0 $.
चूंकि $\lambda \neq 0$,इसलिए $\lambda = \frac{17}{5}$.
केंद्र $C = (3-2(\frac{17}{5}), 3-\frac{17}{5}) = (-\frac{19}{5}, -\frac{2}{5})$ है।

(A) रेडिकल केंद्र रेडिकल अक्षों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है। चूँकि $\left(0, \frac{3}{4}\right)$ रेडिकल केंद्र है,यह रेडिकल अक्षों $S_1-S_2=0$ और $S_2-S_3=0$ के समीकरणों को संतुष्ट करता है।
पहले,रेडिकल अक्ष $S_1-S_2=0$ पर विचार करें:
$(x^2+y^2-2x+6y) - (x^2+y^2+2gx-2y+6) = 0$
$(-2-2g)x + 8y - 6 = 0$.
इस समीकरण में $\left(0, \frac{3}{4}\right)$ रखने पर:
$(-2-2g)(0) + 8\left(\frac{3}{4}\right) - 6 = 0 \Rightarrow 6 - 6 = 0$. यह सुसंगत है।
अब,रेडिकल अक्ष $S_2-S_3=0$ पर विचार करें:
$(x^2+y^2+2gx-2y+6) - (x^2+y^2-12x+2fy+3) = 0$
$(2g+12)x + (-2-2f)y + 3 = 0$.
इस समीकरण में $\left(0, \frac{3}{4}\right)$ रखने पर:
$(2g+12)(0) + (-2-2f)\left(\frac{3}{4}\right) + 3 = 0$
$(-2-2f)\left(\frac{3}{4}\right) = -3
$ $\Rightarrow -2-2f = -4$ $\Rightarrow 2f = 2$ $\Rightarrow f = 1$.
चूँकि $S_2$ और $S_3$ लंबकोणीय रूप से प्रतिच्छेद करते हैं,शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ लागू होती है:
$2(g)(-6) + 2(-1)(f) = 6 + 3$
$-12g - 2f = 9$.
$f=1$ रखने पर:
$-12g - 2(1) = 9$ $\Rightarrow -12g = 11$ $\Rightarrow g = \frac{-11}{12}$.
अतः,$(g, f) = \left(\frac{-11}{12}, 1\right)$.

(C) वृत्तों $x^2+y^2+2 \alpha x+2 \beta y+c=0$ और $x^2+y^2+\frac{3}{2} x+4 y+c=0$ की रेडिकल अक्ष समीकरणों को घटाकर प्राप्त होती है:
$(2 \alpha - \frac{3}{2})x + (2 \beta - 4)y = 0$
$(4 \alpha - 3)x + 4(\beta - 2)y = 0$
$(4 \alpha - 3)x + (4 \beta - 8)y = 0$.
यह रेखा वृत्त $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ को स्पर्श करती है,जिसका केंद्र $(-1, -1)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{1^2+1^2-1} = 1$ है।
केंद्र $(-1, -1)$ से रेखा $(4 \alpha - 3)x + (4 \beta - 8)y = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $1$ के बराबर होनी चाहिए:
$1 = \frac{|(4 \alpha - 3)(-1) + (4 \beta - 8)(-1)|}{\sqrt{(4 \alpha - 3)^2 + (4 \beta - 8)^2}}$
$|-(4 \alpha - 3 + 4 \beta - 8)| = \sqrt{(4 \alpha - 3)^2 + (4 \beta - 8)^2}$
$|-(4 \alpha + 4 \beta - 11)| = \sqrt{(4 \alpha - 3)^2 + (4 \beta - 8)^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(4 \alpha + 4 \beta - 11)^2 = (4 \alpha - 3)^2 + (4 \beta - 8)^2$
$16 \alpha^2 + 16 \beta^2 + 121 + 32 \alpha \beta - 88 \alpha - 88 \beta = 16 \alpha^2 - 24 \alpha + 9 + 16 \beta^2 - 64 \beta + 64$
$32 \alpha \beta - 64 \alpha - 24 \beta = -48$
$8$ से भाग देने पर:
$4 \alpha \beta - 8 \alpha - 3 \beta = -6$
दोनों पक्षों में $10$ जोड़ने पर:
$4 \alpha \beta - 8 \alpha - 3 \beta + 10 = -6 + 10 = 4$.

(B) पहले वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-36=0$ है।
मान लीजिए कि दूसरे वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ की रेडिकल अक्ष $S_1-S_2=0$ द्वारा दी जाती है।
दी गई रेडिकल अक्ष $x-4=0$ है,इसलिए दूसरे वृत्त को $x^2+y^2-36+k(x-4)=0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो $x^2+y^2+kx-4k-36=0$ में सरल हो जाता है।
दो वृत्तों $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ के लंबकोणीय प्रतिच्छेद के लिए शर्त $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ है।
यहाँ,$g_1=0, f_1=0, c_1=-36$ और $g_2=k/2, f_2=0, c_2=-4k-36$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर: $2(0)(k/2) + 2(0)(0) = -36 + (-4k-36)$.
$0 = -72 - 4k$ $\Rightarrow 4k = -72$ $\Rightarrow k = -18$.
$k=-18$ को दूसरे वृत्त के समीकरण में रखने पर: $x^2+y^2-18x-4(-18)-36=0$.
$x^2+y^2-18x+72-36=0 \Rightarrow x^2+y^2-18x+36=0$.

(C) दो वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ की मूलाक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है।
माना वृत्त $C$ का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
$C$ और $x^2 + y^2 - a^2 = 0$ की मूलाक्ष $(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c) - (x^2 + y^2 - a^2) = 0$ है,जो $2gx + 2fy + c + a^2 = 0$ में सरल हो जाती है।
दी गई मूलाक्ष $2x = a$ या $x - a/2 = 0$ है।
तुलना करने पर,$f = 0$ और वृत्त $C$,$x^2 + y^2 + 2gx + c = 0$ है।
वृत्तों के परिवार की विधि का उपयोग करने पर,समीकरण $(x^2 + y^2 - a^2) + \lambda(x - a/2) = 0$ प्राप्त होता है।
$(2a, 0)$ से गुजरने पर,$\lambda = -2a$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त $C$ का समीकरण $x^2 + y^2 - 2ax = 0$ है,जिसका केंद्र $(a, 0)$ है और यह $(0, 0)$ और $(a, a)$ से होकर गुजरता है।

(D) वृत्तों के समीकरण इस प्रकार हैं:
$S_1: x^2+y^2-4x-6y+5=0$
$S_2: x^2+y^2-2x-4y-1=0$
$S_3: x^2+y^2-6x-2y=0$
रेडिकल केंद्र ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों को घटाकर रेडिकल अक्ष प्राप्त करते हैं:
$S_1 - S_2 = 0$ $\Rightarrow -2x-2y+6=0$ $\Rightarrow x+y-3=0$ (समीकरण $i$)
$S_2 - S_3 = 0 \Rightarrow 4x-2y-1=0$ (समीकरण $ii$)
समीकरणों $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
$x = \frac{7}{6}$ और $y = \frac{11}{6}$ प्राप्त होता है।
रेडिकल केंद्र $(\frac{7}{6}, \frac{11}{6})$ है।
विकल्प $D$ में मान रखने पर: $18(\frac{7}{6}) - 12(\frac{11}{6}) + 1 = 21 - 22 + 1 = 0$.
अतः,रेडिकल केंद्र रेखा $18x-12y+1=0$ पर स्थित है।

(D) माना वृत्तों के समीकरण इस प्रकार हैं:
$C_1: x^2+y^2-1=0$
$C_2: x^2+y^2-2x-3=0$
$C_3: x^2+y^2-2y-3=0$
$C_1$ और $C_2$ की मूल अक्ष (radical axis) $C_1 - C_2 = 0$ द्वारा दी जाती है:
$(x^2+y^2-1) - (x^2+y^2-2x-3) = 0$
$2x+2 = 0 \implies x = -1$
$C_1$ और $C_3$ की मूल अक्ष $C_1 - C_3 = 0$ द्वारा दी जाती है:
$(x^2+y^2-1) - (x^2+y^2-2y-3) = 0$
$2y+2 = 0 \implies y = -1$
अतः,मूल केंद्र मूल अक्षों का प्रतिच्छेदन बिंदु है,जो $(-1, -1)$ है।

(B) मान लीजिए कि $(a, 0)$ केंद्र और $r$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण $(x-a)^2 + y^2 = r^2$ है,जिसे $S_1 \equiv x^2 + y^2 - 2ax + a^2 - r^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए कि $(b, 0)$ केंद्र और $R$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण $(x-b)^2 + y^2 = R^2$ है,जिसे $S_2 \equiv x^2 + y^2 - 2bx + b^2 - R^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों वृत्तों की रेडिकल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा प्राप्त होती है।
$(x^2 + y^2 - 2ax + a^2 - r^2) - (x^2 + y^2 - 2bx + b^2 - R^2) = 0$.
$-2ax + 2bx + a^2 - b^2 - r^2 + R^2 = 0$.
$2x(b-a) + (a^2 - b^2 - r^2 + R^2) = 0$.
चूंकि रेडिकल अक्ष $y$-अक्ष है,इसलिए इसका समीकरण $x = 0$ है।
$2x(b-a) + (a^2 - b^2 - r^2 + R^2) = 0$ की तुलना $x = 0$ से करने पर,अचर पद शून्य होना चाहिए:
$a^2 - b^2 - r^2 + R^2 = 0$.
$R^2 = r^2 + b^2 - a^2$.
$R = (r^2 + b^2 - a^2)^{1/2}$.

(C) वृत्तों के समीकरण $7x^2+7y^2-7x+14y+18=0$ और $4x^2+4y^2-7x+8y+20=0$ हैं।
पहले समीकरण को $7$ से विभाजित करने पर: $x^2+y^2-x+2y+\frac{18}{7}=0$ $(S_1=0)$।
दूसरे समीकरण को $4$ से विभाजित करने पर: $x^2+y^2-\frac{7}{4}x+2y+5=0$ $(S_2=0)$।
मूलाक्ष $S_1-S_2=0$ द्वारा प्राप्त होता है।
$(x^2+y^2-x+2y+\frac{18}{7}) - (x^2+y^2-\frac{7}{4}x+2y+5) = 0$।
$(-x + \frac{7}{4}x) + (\frac{18}{7} - 5) = 0$।
$\frac{3}{4}x + (\frac{18-35}{7}) = 0$।
$\frac{3}{4}x - \frac{17}{7} = 0$।
$21x - 68 = 0$।

(B) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ के मूलाक्ष का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $S_1: x^2+y^2+5x+4y-5=0$
दिया गया है $S_2: x^2+y^2-3x+5y-6=0$
$S_1$ में से $S_2$ को घटाने पर:
$(x^2+y^2+5x+4y-5) - (x^2+y^2-3x+5y-6) = 0$
$(5x - (-3x)) + (4y - 5y) + (-5 - (-6)) = 0$
$8x - y + 1 = 0$

(A) दी गई कोएक्सियल वृत्त प्रणाली $4x^2 + 4y^2 - 12x + 6y - 3 + \lambda(x + 2y - 6) = 0$ है।
$4$ से विभाजित करने पर,$x^2 + y^2 - 3x + \frac{3}{2}y - \frac{3}{4} + \frac{\lambda}{4}(x + 2y - 6) = 0$ प्राप्त होता है।
रेडिकल अक्ष $x + 2y - 6 = 0$ है। केंद्रों की रेखा रेडिकल अक्ष के लंबवत होती है,इसलिए यह $2x - y + k = 0$ के रूप में है।
आधार वृत्त $x^2 + y^2 - 3x + \frac{3}{2}y - \frac{3}{4} = 0$ का केंद्र $(\frac{3}{2}, -\frac{3}{4})$ है।
चूंकि केंद्रों की रेखा इस बिंदु से गुजरती है,हम इसे $2x - y + k = 0$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(\frac{3}{2}) - (-\frac{3}{4}) + k = 0 \implies 3 + \frac{3}{4} + k = 0 \implies k = -\frac{15}{4}$.
अतः,केंद्रों की रेखा का समीकरण $2x - y - \frac{15}{4} = 0$ है,जिसे सरल करने पर $8x - 4y - 15 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) कोएक्सियल सिस्टम का दिया गया समीकरण $x^2+y^2+2 \lambda x+c=0$ है।
लिमिटिंग पॉइंट्स सिस्टम के पॉइंट सर्कल के केंद्र होते हैं।
पॉइंट सर्कल तब प्राप्त होता है जब त्रिज्या $r=0$ होती है।
वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ की त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$g=\lambda$,$f=0$,और अचर पद $c$ है।
अतः,$r = \sqrt{\lambda^2-c}$।
लिमिटिंग पॉइंट्स के अलग होने के लिए,त्रिज्या काल्पनिक होनी चाहिए,जिसका अर्थ है $\lambda^2-c < 0$,या $c > \lambda^2$।
हालाँकि,सिस्टम के पास वास्तविक और अलग लिमिटिंग पॉइंट्स होने के लिए शर्त $c > 0$ है।