System of circles Questions in Hindi

(D) दिए गए वृत्तों के समीकरण $x^2+y^2-4x+6y+13-a^2=0$ और $x^2+y^2-10x-2y+17=0$ हैं।
पहले वृत्त के लिए,केंद्र $C_1 = (2, -3)$ और त्रिज्या $r_1 = |a|$ है।
दूसरे वृत्त के लिए,केंद्र $C_2 = (5, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = C_1C_2 = 5$ है।
दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए शर्त $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ है।
मान रखने पर,$||a| - 3| < 5 < |a| + 3$ प्राप्त होता है।
$5 < |a| + 3$ से $|a| > 2$ मिलता है,जिसका अर्थ है $a \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$।
$||a| - 3| < 5$ से $-2 < |a| < 8$ मिलता है,जिसका अर्थ है $a \in (-8, 8)$।
दोनों शर्तों को मिलाने पर,$a \in (-8, -2) \cup (2, 8)$।

(D) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2+4x+4y-10=0$ और $S_2: x^2+y^2-6x-6y+10=0$ हैं।
$S_1$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-2, -2)$ और त्रिज्या $r_1 = 3\sqrt{2}$ है।
$S_2$ के लिए,केंद्र $C_2 = (3, 3)$ और त्रिज्या $r_2 = 2\sqrt{2}$ है।
स्पर्श बिंदु $P$,रेखाखंड $C_1C_2$ को $3:2$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
$P = (1, 1)$.
बाह्य समरूपता केंद्र $Q$,रेखाखंड $C_1C_2$ को $3:2$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।
$Q = (13, 13)$.
$P(1, 1)$ और $Q(13, 13)$ को व्यास के सिरों के रूप में लेने वाले वृत्त का समीकरण $(x-1)(x-13) + (y-1)(y-13) = 0$ है।
$x^2 + y^2 - 14x - 14y + 26 = 0$.

(D) वृत्त $x^2+y^2+2x-6y+1=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-1, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 - 1} = 3$ है।
वृत्त $x^2+y^2-4x+2y+4=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (2, -1)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{2^2 + (-1)^2 - 4} = 1$ है।
आंतरिक समानता केंद्र $(h, k)$ केंद्रों $C_1$ और $C_2$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $r_1 : r_2 = 3 : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$(h, k) = \left( \frac{3(2) + 1(-1)}{3+1}, \frac{3(-1) + 1(3)}{3+1} \right) = \left( \frac{5}{4}, 0 \right)$।
अतः,$h = \frac{5}{4}$,जिसका अर्थ है $4h = 5$।

(B) दो वृत्तों $S=0$ और $S'=0$ की रेडिकल अक्ष $S-S'=0$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ और $S' \equiv x^2+y^2-6x-4y+4=0$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(2g+6)x + (2f+4)y + (c-4) = 0$.
इसे दी गई रेडिकल अक्ष $x+y=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें मिलता है $\frac{2g+6}{1} = \frac{2f+4}{1} = \frac{c-4}{0}$.
$\frac{c-4}{0}$ से,$c-4=0$,अतः $c=4$.
$\frac{2g+6}{1} = \frac{2f+4}{1}$ से,$2g+6 = 2f+4$,जो $2g-2f = -2$ या $g-f = -1$ में सरल होता है।
साथ ही,वृत्त $S$ की त्रिज्या $1$ है,इसलिए $\sqrt{g^2+f^2-c} = 1$,जिसका अर्थ है $g^2+f^2-4 = 1$ या $g^2+f^2 = 5$.
चूंकि $f = g+1$,त्रिज्या समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $g^2 + (g+1)^2 = 5$.
$g^2 + g^2 + 2g + 1 = 5 \implies 2g^2 + 2g - 4 = 0 \implies g^2 + g - 2 = 0$.
$(g+2)(g-1) = 0$,इसलिए $g=1$ या $g=-2$.
यदि $g=1$,तो $f=2$,इसलिए $g+f=3$.
यदि $g=-2$,तो $f=-1$,इसलिए $g+f=-3$.
अतः,$g+f = \pm 3$.

(B) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-16x-20y+164-r^2=0$ और $S_2: x^2+y^2-8x-14y+29=0$ हैं।
$S_1$ के लिए,केंद्र $C_1 = (8, 10)$ और त्रिज्या $r_1 = r$ है।
$S_2$ के लिए,केंद्र $C_2 = (4, 7)$ और त्रिज्या $r_2 = 6$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(8-4)^2+(10-7)^2} = 5$ है।
दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए शर्त $|r_1-r_2| < d < r_1+r_2$ है।
अतः,$|r-6| < 5 < r+6$।
इसे हल करने पर $1 < r < 11$ प्राप्त होता है।
अतः $r$ का अधिकतम पूर्णांक मान $10$ है।

(A) वृत्त $S: x^2 + y^2 - a^2 = 0$ और रेखा $L: x \cos \alpha + y \sin \alpha - P = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों का परिवार $S + \lambda L = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$x^2 + y^2 - a^2 + \lambda(x \cos \alpha + y \sin \alpha - P) = 0$
$x^2 + y^2 + \lambda x \cos \alpha + \lambda y \sin \alpha - a^2 - \lambda P = 0$ $(i)$
इस वृत्त का केंद्र $\left(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}, -\frac{\lambda \sin \alpha}{2}\right)$ है।
चूंकि रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = P$ व्यास $\overline{AB}$ है,इसलिए वृत्त का केंद्र इस रेखा पर स्थित होना चाहिए।
केंद्र को रेखा के समीकरण में रखने पर:
$\left(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}\right) \cos \alpha + \left(-\frac{\lambda \sin \alpha}{2}\right) \sin \alpha = P$
$-\frac{\lambda}{2} (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = P$
$-\frac{\lambda}{2} = P \Rightarrow \lambda = -2P$
समीकरण $(i)$ में $\lambda = -2P$ रखने पर:
$x^2 + y^2 - 2Px \cos \alpha - 2Py \sin \alpha - a^2 - (-2P)P = 0$
$x^2 + y^2 - 2Px \cos \alpha - 2Py \sin \alpha + 2P^2 - a^2 = 0$

(C) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$x^2+y^2-14 x+6 y+33=0$ $(i)$
$x^2+y^2+30 x-2 y+1=0$ $(ii)$
वृत्त $(i)$ के लिए,केंद्र $O_1(7, -3)$ है और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{7^2 + (-3)^2 - 33} = \sqrt{49+9-33} = \sqrt{25} = 5$ है।
वृत्त $(ii)$ के लिए,केंद्र $O_2(-15, 1)$ है और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-15)^2 + 1^2 - 1} = \sqrt{225+1-1} = \sqrt{225} = 15$ है।
समानता के केंद्र $C_1$ और $C_2$ केंद्रों $O_1$ और $O_2$ को जोड़ने वाली रेखा को उनकी त्रिज्याओं के अनुपात $r_1 : r_2 = 5 : 15 = 1 : 3$ में आंतरिक और बाह्य रूप से विभाजित करते हैं।
आंतरिक विभाजन बिंदु $C_1 = \left( \frac{1(-15) + 3(7)}{1+3}, \frac{1(1) + 3(-3)}{1+3} \right) = \left( \frac{-15+21}{4}, \frac{1-9}{4} \right) = \left( \frac{6}{4}, \frac{-8}{4} \right) = \left( \frac{3}{2}, -2 \right)$।
बाह्य विभाजन बिंदु $C_2 = \left( \frac{1(-15) - 3(7)}{1-3}, \frac{1(1) - 3(-3)}{1-3} \right) = \left( \frac{-15-21}{-2}, \frac{1+9}{-2} \right) = \left( \frac{-36}{-2}, \frac{10}{-2} \right) = (18, -5)$।
$C_1 C_2$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर,$(x - \frac{3}{2})(x - 18) + (y + 2)(y + 5) = 0$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,$(2x - 3)(x - 18) + 2(y^2 + 7y + 10) = 0$ प्राप्त होता है।
$2x^2 - 36x - 3x + 54 + 2y^2 + 14y + 20 = 0$।
$2x^2 + 2y^2 - 39x + 14y + 74 = 0$।

(D) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि वृत्त $(1,1)$ से गुजरता है,$1+1+2g+2f+c=0$,जो $2g+2f+c+2=0$ $(i)$ में सरल होता है।
वृत्त $x^2+y^2+3x-5y+7=0$ के लंबकोणीय होने के कारण,$2g(3/2) + 2f(-5/2) = c+7$,जो $3g-5f-c-7=0$ (ii) में सरल होता है।
वृत्त $x^2+y^2-6x-10y+9=0$ के लंबकोणीय होने के कारण,$2g(-3) + 2f(-5) = c+9$,जो $6g+10f+c+9=0$ (iii) में सरल होता है।
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर: $5g-3f-5=0$ (iv)।
$(i)$ से $c = -2g-2f-2$ को (iii) में प्रतिस्थापित करने पर: $4g+8f+7=0$ $(v)$।
(iv) और $(v)$ को हल करने पर,$g = 19/52$ और $f = -55/52$ प्राप्त होता है।
अतः केंद्र $(-g, -f) = (-19/52, 55/52)$ है।
इसलिए,विकल्प $(d)$ सही है।

(A) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ है।
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $g=-2$,$f=3$,और $c=-12$ प्राप्त होता है।
इस वृत्त का केंद्र $C$ $(-g, -f) = (2, -3)$ है और इसकी त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-2)^2+(3)^2-(-12)} = \sqrt{4+9+12} = \sqrt{25} = 5$ है।
मान लीजिए $O(-3, 2)$ वृत्त $S$ का केंद्र है। पहले वृत्त का व्यास वृत्त $S$ की एक जीवा है।
केंद्रों $O(-3, 2)$ और $C(2, -3)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है।
$S$ के केंद्र,पहले वृत्त के केंद्र और जीवा पर स्थित एक बिंदु द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,वृत्त $S$ की त्रिज्या $R$,$R^2 = r^2 + d^2$ द्वारा दी जाती है।
$R^2 = 5^2 + (5\sqrt{2})^2 = 25 + 50 = 75$.
$R = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$.

(D) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि यह $(1,-1)$ से गुजरता है,$1+1+2g-2f+c=0$,अर्थात $2g-2f+c=-2$ $(i)$।
$(1,-1)$ पर अभिलंब,स्पर्श रेखा $2x+3y+1=0$ के लंबवत है। स्पर्श रेखा की ढाल $-2/3$ है,इसलिए अभिलंब की ढाल $3/2$ है।
अभिलंब का समीकरण $y-(-1) = \frac{3}{2}(x-1)$,अर्थात $3x-2y-5=0$ है।
केंद्र $(-g, -f)$ अभिलंब पर स्थित है,इसलिए $-3g+2f=5$ (ii)।
वृत्त,व्यास के अंत बिंदुओं $(0,-1)$ और $(-2,3)$ वाले वृत्त $x^2+y^2+2x-2y-3=0$ के लंबकोणीय है।
लंबकोणीयता की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ से $2g(1) + 2f(-1) = c-3$,अर्थात $2g-2f-c=-3$ (iii)।
$(i)$ और (iii) को जोड़ने पर $4g-4f=-5$ प्राप्त होता है।
समीकरणों को हल करने पर $g=-5/2, f=-5/4, c=1/2$ प्राप्त होता है।
इन मानों को रखने पर वृत्त का समीकरण $2x^2+2y^2-10x-5y+1=0$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त $x^2+y^2+6x+8y+24=0$ के लिए,केंद्र $O_1 = (-3, -4)$ और त्रिज्या $r_1 = 1$ है।
वृत्त $x^2+y^2-6x-8y+9=0$ के लिए,केंद्र $O_2 = (3, 4)$ और त्रिज्या $r_2 = 4$ है।
केंद्रों $O_1$ और $O_2$ के बीच की दूरी $d = 10$ है।
समानता के केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी $\frac{2 d r_1 r_2}{|r_1^2 - r_2^2|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $d = 10, r_1 = 1, r_2 = 4$।
दूरी $= \frac{2 \times 10 \times 1 \times 4}{|1^2 - 4^2|} = \frac{80}{15} = \frac{16}{3}$।

(C) दिए गए वृत्तों के केंद्र $C_1(1, 3+\sqrt{7})$ और $C_2(4, 3)$ हैं।
उनकी त्रिज्याएँ $r_1 = 3$ और $r_2 = \sqrt{25-k^2}$ हैं।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = 4$ है।
दो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के लिए,शर्त $|r_1 - r_2| < C_1C_2 < r_1 + r_2$ होनी चाहिए।
इस शर्त को हल करने पर $k^2 < 24$ प्राप्त होता है।
चूँकि $k \in \mathbb{Z}$,$k$ के संभावित मान $0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4$ हैं।
अतः,कुल $9$ मान संभव हैं।

(C) वृत्त $x^2+y^2-a^2=0$ और रेखा $x \cos \alpha+y \sin \alpha-p=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $x^2+y^2-a^2+\lambda(x \cos \alpha+y \sin \alpha-p)=0$ है।
इसके सबसे छोटा वृत्त होने के लिए,इसका केंद्र रेखा $x \cos \alpha+y \sin \alpha=p$ पर स्थित होना चाहिए।
वृत्त $x^2+y^2+\lambda x \cos \alpha+\lambda y \sin \alpha-(a^2+\lambda p)=0$ का केंद्र $\left(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}, -\frac{\lambda \sin \alpha}{2}\right)$ है।
केंद्र को रेखा के समीकरण $x \cos \alpha+y \sin \alpha=p$ में रखने पर:
$\left(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}\right) \cos \alpha + \left(-\frac{\lambda \sin \alpha}{2}\right) \sin \alpha = p$
$-\frac{\lambda}{2} (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = p$
$-\frac{\lambda}{2} (1) = p$
$\lambda = -2p$.

(C) माना $P(x_1, y_1)$ वह बिंदु है। वृत्त $S=0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S}$ होती है।
दिए गए वृत्तों को मानक रूप में बदलने पर:
$S_1: x^2+y^2-8x+40=0$
$S_2: x^2+y^2-5x+16=0$
$S_3: x^2+y^2-8x+16y+160=0$
चूंकि स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान है,$S_1 = S_2 = S_3$:
$S_1 = S_3$ लेने पर:
$-8x_1+40 = -8x_1+16y_1+160$ $\Rightarrow 16y_1 = -120$ $\Rightarrow y_1 = -\frac{15}{2}$
$S_1 = S_2$ लेने पर:
$-8x_1+40 = -5x_1+16$ $\Rightarrow 3x_1 = 24$ $\Rightarrow x_1 = 8$
अतः,बिंदु $P$ का मान $\left(8, -\frac{15}{2}\right)$ है।

(D) वृत्त $S = x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ के लिए, केंद्र $C_1 = (1, 2)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1^2 + 2^2 - (-4)} = 3$ है।
वृत्त $S^{\prime} = x^2 + y^2 + 4x + 4y + 4 = 0$ के लिए, केंद्र $C_2 = (-2, -2)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 - 4} = 2$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1 C_2 = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ है।
सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई $L = \sqrt{(C_1 C_2)^2 - (r_1 - r_2)^2}$ द्वारा दी जाती है।
$L = \sqrt{5^2 - (3 - 2)^2} = \sqrt{25 - 1} = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$।
अतः, $T_1$ और $T_1^{\prime}$ के बीच की दूरी $2 \sqrt{6}$ है।

(C) दो संकेंद्रित वृत्तों के समीकरण $x^2+y^2-4x-6y+9=0$ और $x^2+y^2-4x-6y+12=0$ हैं।
पहले वृत्त के लिए,केंद्र $C(2, 3)$ है और त्रिज्या $R = \sqrt{2^2+3^2-9} = \sqrt{4+9-9} = 2$ है।
दूसरे वृत्त के लिए,केंद्र $C(2, 3)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{2^2+3^2-12} = \sqrt{4+9-12} = 1$ है।
बिंदु $P$ बाहरी वृत्त पर स्थित है,इसलिए $PC = R = 2$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle PQC$ में (जहाँ $\angle PQC = 90^\circ$ है क्योंकि $PQ$ एक स्पर्श रेखा है),हमारे पास $\cos \theta = \frac{QC}{PC} = \frac{r}{R} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$ है।
$\triangle CQR$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times (CQ) \times (CR) \times \sin(2\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $CQ = CR = r = 1$ है,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 1^2 \times \sin(2 \times \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \times \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ वर्ग इकाई है।

(D) वृत्त $S \equiv x^2+y^2-2x-6y+3=0$ और रेखा $L \equiv 2x+y=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S + \lambda L = 0$ है।
$x^2+y^2-2x-6y+3 + \lambda(2x+y) = 0$
$x^2+y^2 + x(2\lambda-2) + y(\lambda-6) + 3 = 0$.
चूंकि जीवा $2x+y=0$ इस नए वृत्त का व्यास है,इसलिए वृत्त का केंद्र रेखा $2x+y=0$ पर स्थित होना चाहिए।
वृत्त का केंद्र $(1-\lambda, \frac{6-\lambda}{2})$ है।
केंद्र को रेखा के समीकरण में रखने पर: $2(1-\lambda) + \frac{6-\lambda}{2} = 0$.
$4 - 4\lambda + 6 - \lambda = 0$ $\Rightarrow 5\lambda = 10$ $\Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर: $x^2+y^2 + x(4-2) + y(2-6) + 3 = 0$.
$x^2+y^2+2x-4y+3 = 0$.
विकल्पों की जांच करने पर,बिंदु $(-2, 1)$ के लिए: $(-2)^2 + (1)^2 + 2(-2) - 4(1) + 3 = 4 + 1 - 4 - 4 + 3 = 0$.
अतः,वृत्त बिंदु $(-2, 1)$ से होकर गुजरता है।

(D) वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2+y^2-2x+ky+1=0$ और $S_2: x^2+y^2-kx-2y+1=0$ हैं।
मूल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा प्राप्त होती है,जो $(-2+k)x + (k+2)y = 0$ है।
दिए गए विकल्पों की जांच करने पर,सही विकल्प $(1, 3)$ है।

(B) माना वृत्त $C$ का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि $C$,$(1, 1)$ से गुजरता है,$2g+2f+c = -2$ (समीकरण $1$)।
वृत्त $C$,$x^2+y^2-2x=0$ की परिधि को समद्विभाजित करता है। उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $2(g+1)x+2fy+c=0$ है।
यह रेखा $x^2+y^2-2x=0$ के केंद्र $(1, 0)$ से गुजरती है।
अतः $2(g+1)(1)+c=0$,जिससे $2g+c = -2$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और $2$ से $f=0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $C$,$x^2+y^2+2y-3=0$ के लंबकोणीय है,$2g_1g_2+2f_1f_2 = c_1+c_2$ की शर्त से $c=3$ प्राप्त होता है।
समीकरण $2$ में $c=3$ रखने पर $g = -\frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः वृत्त $C$ का केंद्र $(-g, -f) = (\frac{5}{2}, 0)$ है।

(A) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+C=0 \quad (i)$ है।
चूंकि वृत्त $(1,1)$ से गुजरता है,$2g+2f+C=-2 \quad (ii)$।
दो वृत्तों के लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2+2f_1f_2=C_1+C_2$ है।
वृत्त $x^2+y^2+4x-5=0$ के लिए,$4g=C-5 \quad (iii)$।
वृत्त $x^2+y^2-4y+3=0$ के लिए,$-4f=C+3 \quad (iv)$।
$(iii)$ और $(iv)$ से,$g+f=-2 \quad (v)$।
$(ii)$ और $(v)$ को हल करने पर,$g=-\frac{3}{4}$ और $f=-\frac{5}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्र $(-g, -f) = \left(\frac{3}{4}, \frac{5}{4}\right)$ है।

(A) माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2px-2qy+C=0$ है।
चूंकि यह वृत्त दिए गए वृत्तों को लंबकोणीय रूप से काटता है,हम शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ का उपयोग करते हैं।
प्रथम वृत्त $x^2+y^2-2x-4y+4=0$ के लिए: $2(-p)(-1) + 2(-q)(-2) = C+4 \Rightarrow 2p+4q = C+4$ $(i)$.
द्वितीय वृत्त $x^2+y^2+2x-4y+1=0$ के लिए: $2(-p)(1) + 2(-q)(-2) = C+1 \Rightarrow -2p+4q = C+1$ $(ii)$.
तृतीय वृत्त $x^2+y^2-4x-2y-11=0$ के लिए: $2(-p)(-2) + 2(-q)(-1) = C-11 \Rightarrow 4p+2q = C-11$ $(iii)$.
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर: $(2p+4q) - (-2p+4q) = (C+4) - (C+1)$ $\Rightarrow 4p = 3$ $\Rightarrow p = 3/4$.
$p=3/4$ को $(i)$ और $(iii)$ में रखने पर:
$(i)$ $\Rightarrow 2(3/4) + 4q = C+4$ $\Rightarrow 3/2 + 4q = C+4$ $\Rightarrow 4q - C = 5/2$.
$(iii)$ $\Rightarrow 4(3/4) + 2q = C-11$ $\Rightarrow 3 + 2q = C-11$ $\Rightarrow 2q - C = -14$.
इन दोनों को घटाने पर: $(4q-C) - (2q-C) = 5/2 - (-14)$ $\Rightarrow 2q = 33/2$ $\Rightarrow q = 33/4$.
अतः,$p+q = 3/4 + 33/4 = 36/4 = 9$.

(B) माना वृत्त का समीकरण $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy=0$ है (क्योंकि यह मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है)।
वृत्त $S_1 \equiv x^2+y^2+6x-15=0$ के लिए,$2g_1=6, 2f_1=0, c_1=-15$ है। लंबकोणीयता की शर्त $2gg_1+2ff_1=c+c_1$ है,जो $2g(3)+2f(0)=0-15$ $\Rightarrow 6g=-15$ $\Rightarrow g=-\frac{5}{2}$ देती है।
वृत्त $S_2 \equiv x^2+y^2-8y-10=0$ के लिए,$2g_2=0, 2f_2=-8, c_2=-10$ है। लंबकोणीयता की शर्त $2gg_2+2ff_2=c+c_2$ है,जो $2g(0)+2f(-4)=0-10$ $\Rightarrow -8f=-10$ $\Rightarrow f=\frac{5}{4}$ देती है।
$g$ और $f$ के मानों को $S$ के समीकरण में रखने पर,हमें $x^2+y^2+2(-\frac{5}{2})x+2(\frac{5}{4})y=0$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2x^2+2y^2-10x+5y=0$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्तों के समीकरण $x^2+y^2-2x+2y+1=0$ और $x^2+y^2+2x-2y+k=0$ हैं।
पहले वृत्त के लिए,केंद्र $C_1 = (1, -1)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1^2+(-1)^2-1} = 1$ है।
दूसरे वृत्त के लिए,केंद्र $C_2 = (-1, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-1)^2+1^2-k} = \sqrt{2-k}$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।
वृत्तों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\theta = \frac{\pi}{3}$,इसलिए $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{2} = \frac{1^2 + (\sqrt{2-k})^2 - (2\sqrt{2})^2}{2(1)(\sqrt{2-k})} = \frac{1 + 2 - k - 8}{2\sqrt{2-k}} = \frac{-5-k}{2\sqrt{2-k}}$।
अतः,$\sqrt{2-k} = -5-k$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2-k = (-5-k)^2 = 25 + k^2 + 10k$।
$k^2 + 11k + 23 = 0$।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$k = \frac{-11 \pm \sqrt{121 - 4(23)}}{2} = \frac{-11 \pm \sqrt{121 - 92}}{2} = \frac{-11 \pm \sqrt{29}}{2}$।
चूंकि $\sqrt{29}$ अपरिमेय है,इसलिए $k$ एक अपरिमेय संख्या है।

(A) दो वृत्तों $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ और $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ के लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ है।
दिया गया है $S: x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + 4 = 0$ और $C_1: x^2 + y^2 - 4x - 4y - 4 = 0$.
शर्त लागू करने पर: $2g(-2) + 2f(-2) = 4 - 4$ $\Rightarrow -4g - 4f = 0$ $\Rightarrow g + f = 0$.
माना $r_1$ वृत्त $S$ की त्रिज्या है,अतः $r_1^2 = g^2 + f^2 - 4$.
दिया गया है कि $S$,$C_2: x^2 + y^2 + 4x + 4y + 4 = 0$ के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाता है।
केंद्र $O_1 = (-g, -f)$ और $O_2 = (-2, -2)$ हैं। दूरी $d^2 = (-g + 2)^2 + (-f + 2)^2 = (g - 2)^2 + (f - 2)^2$.
$C_2$ की त्रिज्या $r_2 = \sqrt{2^2 + 2^2 - 4} = 2$ है।
वृत्तों के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2}$.
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} = \frac{r_1^2 + 4 - ((g - 2)^2 + (f - 2)^2)}{2r_1(2)}$.
$2r_1 = r_1^2 + 4 - (g^2 - 4g + 4 + f^2 - 4f + 4) = r_1^2 + 4 - (g^2 + f^2 - 4(g + f) + 8)$.
चूंकि $g + f = 0$ और $g^2 + f^2 = r_1^2 + 4$,इसलिए $2r_1 = r_1^2 + 4 - (r_1^2 + 4 - 0 + 8) = r_1^2 + 4 - r_1^2 - 12 = -8$.
मापांक लेने पर,$2r_1 = 8$,अतः $r_1 = 4$.

(C) दो वृत्त लंबकोणीय (orthogonal) होते हैं यदि उनके बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ हो।
वृत्तों $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ के लिए,लंबकोणीयता की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ है।
दिए गए समीकरणों की तुलना मानक रूप से करने पर:
वृत्त $1$: $g_1 = -2, f_1 = -3, c_1 = k$.
वृत्त $2$: $g_2 = 4, f_2 = -2, c_2 = 11$.
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$2(-2)(4) + 2(-3)(-2) = k + 11$
$-16 + 12 = k + 11$
$-4 = k + 11$
$k = -15$.

(C) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2+y^2+6x+4y-12) + \lambda(x^2+y^2-4x-6y-12) = 0$
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + (6-4\lambda)x + (4-6\lambda)y - 12(1+\lambda) = 0$
$(1+\lambda)$ से विभाजित करने पर,$x^2 + y^2 + 2\left(\frac{3-2\lambda}{1+\lambda}\right)x + 2\left(\frac{2-3\lambda}{1+\lambda}\right)y - 12 = 0$ प्राप्त होता है।
वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ की त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ होती है।
दिया है $r = \sqrt{13}$,अतः $g^2+f^2-c = 13$.
$\left(\frac{3-2\lambda}{1+\lambda}\right)^2 + \left(\frac{2-3\lambda}{1+\lambda}\right)^2 - (-12) = 13$
$\frac{9+4\lambda^2-12\lambda + 4+9\lambda^2-12\lambda}{(1+\lambda)^2} = 1$
$13\lambda^2 - 24\lambda + 13 = 1 + 2\lambda + \lambda^2$
$12\lambda^2 - 26\lambda + 12 = 0 \Rightarrow 6\lambda^2 - 13\lambda + 6 = 0$.
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $(2\lambda-3)(3\lambda-2) = 0$,अतः $\lambda = \frac{3}{2}$ या $\lambda = \frac{2}{3}$.
$\lambda = \frac{2}{3}$ के लिए,समीकरण $x^2+y^2+2x-12=0$ है।
$\lambda = \frac{3}{2}$ के लिए,समीकरण $x^2+y^2-2y-12=0$ है।

(A) वृत्तों के परिवार का उपयोग करते हुए,$S_1: x^2+y^2+13x-3y=0$ और $S_2: 2x^2+2y^2+4x-7y-25=0$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S_2 + \lambda S_1 = 0$ है।
समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर:
$2x^2+2y^2+4x-7y-25 + \lambda(x^2+y^2+13x-3y) = 0$.
चूँकि वृत्त $(1,1)$ से गुजरता है,$x=1$ और $y=1$ रखने पर:
$2(1)^2+2(1)^2+4(1)-7(1)-25 + \lambda(1^2+1^2+13(1)-3(1)) = 0$.
$-24 + 12\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ को समीकरण में रखने पर:
$2x^2+2y^2+4x-7y-25 + 2(x^2+y^2+13x-3y) = 0$.
$4x^2+4y^2+30x-13y-25 = 0$.

(C) दिए गए वृत्त हैं:
$x^2+y^2-4x-6y+12=0 \dots(1)$
केंद्र $C_1 = (2, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = 1$ है।
$x^2+y^2+4x-2y-4=0 \dots(2)$
केंद्र $C_2 = (-2, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
आंतरिक समानता केंद्र केंद्रों को जोड़ने वाले रेखाखंड को $r_1 : r_2 = 1 : 3$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$C = \left(\frac{1(-2) + 3(2)}{1+3}, \frac{1(1) + 3(3)}{1+3}\right) = \left(1, \frac{5}{2}\right)$.

(A) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-4x-6y+k=0$ और $S_2: x^2+y^2+8x-4y+11=0$ हैं।
$S_1$ के लिए,केंद्र $C_1(2, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{13-k}$ है।
$S_2$ के लिए,केंद्र $C_2(-4, 2)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{37}$ है।
दो वृत्तों के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \left| \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2} \right|$ है।
$\theta = \frac{\pi}{3}$ होने पर,$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$।
$\frac{1}{2} = \left| \frac{13-k + 9 - 37}{6\sqrt{13-k}} \right| \Rightarrow 3\sqrt{13-k} = |15+k|$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $9(13-k) = (15+k)^2$।
$k^2 + 39k + 108 = 0 \Rightarrow (k+36)(k+3) = 0$।
अतः $k = -36$ या $k = -3$। विकल्प के अनुसार सही उत्तर $-36$ है।

(C) दो वृत्तों $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ के लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ है।
$S$ और $S'$ के लिए,$2g(-2)+2f(-3)=c+11 \implies -4g-6f=c+11$ $(i)$.
$S$ और $S''$ के लिए,$2g(-5)+2f(-2)=c+21 \implies -10g-4f=c+21$ $(ii)$.
$S$ का केंद्र $(-g, -f)$ है। चूंकि यह धनात्मक निर्देशांक अक्षों के बीच के कोण के समद्विभाजक $(y=x)$ पर स्थित है,इसलिए $-f = -g$,अर्थात $f=g$ $(iii)$.
$f=g$ को $(i)$ और $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-10f = c+11$ $(iv)$
$-14f = c+21$ $(v)$
$(iv)$ में से $(v)$ घटाने पर: $4f = -10 \implies f = -2.5$.
अतः $g = -2.5$.
$(iv)$ से,$c = -10(-2.5) - 11 = 25 - 11 = 14$.
अंत में,$2g+2f+c = 2(-2.5)+2(-2.5)+14 = -5-5+14 = 4$.

(C) माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है। केंद्र $(-g,-f)$ है।
दिए गए वृत्त $C_1: x^2+y^2-2x-4y-4=0$ और $C_2: x^2+y^2-10x+12y+52=0$ हैं।
$C_1$ के लिए,$g_1=-1, f_1=-2, c_1=-4$। $C_2$ के लिए,$g_2=-5, f_2=6, c_2=52$।
दो वृत्तों के लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ है।
$C_1$ के लिए: $2g(-1)+2f(-2)=c-4 \Rightarrow 2g+4f=-c+4$ $(i)$।
$C_2$ के लिए: $2g(-5)+2f(6)=c+52 \Rightarrow 10g-12f=-c-52$ (ii)।
$(i)$ से,$c = 4-2g-4f$। (ii) में रखने पर: $10g-12f = -(4-2g-4f)-52 = 2g+4f-56$।
$8g-16f = -56$ $\Rightarrow g-2f = -7$ $\Rightarrow g = 2f-7$ (iii)।
$c = 18-8f$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{5f^2-20f+31} = \sqrt{5(f-2)^2+11}$।
न्यूनतम के लिए $f=2$ रखने पर,$g = -3$ प्राप्त होता है।
अतः केंद्र $(-g,-f) = (3,-2)$ है।

(D) माना अभीष्ट वृत्त $S_3: x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-4x-6y+4=0$ और $S_2: x^2+y^2+6x-4y+15=0$ हैं।
चूंकि $S_3, S_1$ को लंबकोणीय काटता है,$2g(-2) + 2f(-3) = c + 4 \implies 4g + 6f + c = -4 \dots(1)$.
चूंकि $S_3, S_2$ को लंबकोणीय काटता है,$2g(3) + 2f(-2) = c + 15 \implies 6g - 4f - c = 15 \dots(2)$.
चूंकि $S_3, (1,1)$ से गुजरता है,$2g + 2f + c = -2 \dots(3)$.
समीकरणों को हल करने पर,$g=\frac{4}{3}, f=-\frac{7}{6}, c=-\frac{7}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$5g + 2f + c = 5(\frac{4}{3}) + 2(-\frac{7}{6}) - \frac{7}{3} = 2$.

(C) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2+ax+4=0$ और $S_2: x^2+y^2+by+4=0$ हैं।
केंद्र $C_1 = (\frac{-a}{2}, 0)$ और $C_2 = (0, \frac{-b}{2})$ हैं।
त्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\sqrt{a^2-16}}{2}$ और $r_2 = \frac{\sqrt{b^2-16}}{2}$ हैं।
वृत्तों के एक-दूसरे को स्पर्श करने के लिए,केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = r_1 + r_2$ होनी चाहिए।
$\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{a^2-16} + \sqrt{b^2-16}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $a^2+b^2 = a^2-16 + b^2-16 + 2\sqrt{(a^2-16)(b^2-16)}$.
$32 = 2\sqrt{(a^2-16)(b^2-16)} \Rightarrow 16 = \sqrt{(a^2-16)(b^2-16)}$.
पुनः वर्ग करने पर: $256 = a^2b^2 - 16a^2 - 16b^2 + 256$.
$a^2b^2 = 16(a^2+b^2)$.
$16a^2b^2$ से भाग देने पर: $\frac{1}{16} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2}$.

(A-IV, B-I, C-III, D-II) दिए गए वृत्त $S_\alpha: x^2+y^2+2\alpha x+k=0$ और $S_\beta: x^2+y^2+2\beta y-k=0$ हैं,जहाँ $k>0$ है।
$(A)$ $S_\alpha=0$ के लिए,त्रिज्या $r = \sqrt{\alpha^2-k}$ है। बिंदु वृत्त के लिए,$r=0$,अतः $\alpha^2-k=0 \Rightarrow \alpha = \pm \sqrt{k}$। केंद्र $(-\alpha, 0) = (\mp \sqrt{k}, 0)$ है। अतः,बिंदु वृत्त $(\pm \sqrt{k}, 0)$ हैं। यह (iv) से मेल खाता है।
$(B)$ $S_\beta=0$ के लिए,त्रिज्या $r = \sqrt{\beta^2-(-k)} = \sqrt{\beta^2+k}$ है। चूंकि $k>0$,सभी वास्तविक $\beta$ के लिए $\beta^2+k > 0$ है। अतः,$r$ कभी भी $0$ नहीं हो सकता। बिंदु वृत्त अस्तित्व में नहीं हैं। यह $(i)$ से मेल खाता है।
$(C)$ $S_\alpha=0$ के लिए,त्रिज्या $r = \sqrt{\alpha^2-k}$ है। यदि $\alpha^2 < k$ है,तो त्रिज्या काल्पनिक है,जिसका अर्थ है कि वृत्त अस्तित्व में नहीं हैं। यदि $\alpha^2 > k$ है,तो वृत्त वास्तविक और गैर-प्रतिच्छेदी हैं। यह (iii) से मेल खाता है।
$(D)$ $S_\beta=0$ के लिए,त्रिज्या $r = \sqrt{\beta^2+k}$ है। ये $y$-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्तों का एक परिवार है। विभिन्न $\beta$ के लिए उनकी त्रिज्या अलग-अलग होने के कारण,वे प्रतिच्छेदी हैं। यह (ii) से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $A-(iv), B-(i), C-(iii), D-(ii)$ है।

(A) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2 g x + 2 f y + c = 0$ है।
चूंकि यह दिए गए वृत्तों को लंबकोणीय रूप से काटता है,हम शर्त $2 g g_1 + 2 f f_1 = c + c_1$ का उपयोग करते हैं।
$S_1: x^2 + y^2 - 2 x + 6 y = 0$ के लिए,$-2 g + 6 f = c$ प्राप्त होता है।
$S_2: x^2 + y^2 - 4 x - 2 y + 6 = 0$ के लिए,$-4 g - 2 f = c + 6$ प्राप्त होता है।
$S_3: x^2 + y^2 - 12 x + 2 y + 3 = 0$ के लिए,$-12 g + 2 f = c + 3$ प्राप्त होता है।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $g = 0$,$f = -3/4$,और $c = -9/2$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 3/2 y - 9/2 = 0$ है।
बिंदु $(0, 3)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x x_1 + y y_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x_1, y_1) = (0, 3)$,$g = 0$,$f = -3/4$,और $c = -9/2$ रखने पर:
$x(0) + y(3) + 0(x + 0) - 3/4(y + 3) - 9/2 = 0$.
$3 y - 3/4 y - 9/4 - 18/4 = 0$.
$9/4 y = 27/4$.
$y = 3$.

(D) माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि यह $(1,0)$ से गुजरता है,इसलिए $1^2+0^2+2g(1)+2f(0)+c=0$,जिससे $2g+c=-1$ प्राप्त होता है (समीकरण $1$)।
वृत्त $x^2+y^2-2x+4y+1=0$ के लंबकोणीय है। लंबकोणीयता की शर्त $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ का उपयोग करने पर $-2g+4f=c+1$ (समीकरण $2$)।
वृत्त $x^2+y^2+6x-2y+1=0$ के भी लंबकोणीय है। इससे $6g-2f=c+1$ (समीकरण $3$)।
समीकरण $3$ से समीकरण $2$ घटाने पर $8g-6f=0$ प्राप्त होता है,अर्थात $f = \frac{4}{3}g$।
इन मानों को हल करने पर $g=0, f=0, c=-1$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (0,0)$ है।

(C) माना $S_1$ केंद्र $(2, 3)$ और त्रिज्या $a$ वाला वृत्त है। समीकरण $(x-2)^2 + (y-3)^2 = a^2$ है,जिसे $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13 - a^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $S_2$ केंद्र $(5, 6)$ और त्रिज्या $a$ वाला वृत्त है। समीकरण $(x-5)^2 + (y-6)^2 = a^2$ है,जिसे $x^2 + y^2 - 10x - 12y + 61 - a^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है:
$(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13 - a^2) - (x^2 + y^2 - 10x - 12y + 61 - a^2) = 0$
$6x + 6y - 48 = 0 \Rightarrow x + y = 8$.
चूंकि वृत्त लंबकोणीय काटते हैं,इसलिए $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$.
यहाँ $g_1 = -2, f_1 = -3, c_1 = 13 - a^2$ और $g_2 = -5, f_2 = -6, c_2 = 61 - a^2$.
$2(-2)(-5) + 2(-3)(-6) = (13 - a^2) + (61 - a^2)$
$20 + 36 = 74 - 2a^2$ $\Rightarrow 56 = 74 - 2a^2$ $\Rightarrow 2a^2 = 18$ $\Rightarrow a^2 = 9$ $\Rightarrow a = 3$.
$a = 3$ को विकल्पों में रखने पर:
$(C)$ $(3, 5) \Rightarrow 3 + 5 = 8$. यह समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(C) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ होता है।
यहाँ,$S_1 = x^2+y^2-8x-6y+21$ और $S_2 = x^2+y^2-2x-15$.
समीकरण: $(x^2+y^2-8x-6y+21) + \lambda(x^2+y^2-2x-15) = 0$.
चूंकि वृत्त $(1,2)$ से गुजरता है,$x=1$ और $y=2$ रखने पर:
$(1+4-8-12+21) + \lambda(1+4-2-15) = 0$
$6 - 12\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
$\lambda = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$(x^2+y^2-8x-6y+21) + \frac{1}{2}(x^2+y^2-2x-15) = 0$
$2$ से गुणा करने पर:
$2x^2+2y^2-16x-12y+42 + x^2+y^2-2x-15 = 0$
$3x^2+3y^2-18x-12y+27 = 0$
$3$ से भाग देने पर:
$x^2+y^2-6x-4y+9 = 0$.

(C) दिए गए वृत्तों के समीकरण $x^2+y^2-4x-4y+7=0$ और $x^2+y^2-12x-10y+45=0$ हैं।
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,केंद्र और त्रिज्याएँ हैं:
पहले वृत्त के लिए: $C_1 = (2, 2)$ और $r_1 = \sqrt{2^2+2^2-7} = \sqrt{8-7} = 1$.
दूसरे वृत्त के लिए: $C_2 = (6, 5)$ और $r_2 = \sqrt{6^2+5^2-45} = \sqrt{36+25-45} = \sqrt{16} = 4$.
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(6-2)^2+(5-2)^2} = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{16+9} = 5$.
चूँकि $C_1C_2 = r_1+r_2 = 1+4 = 5$,वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
स्पर्श बिंदु $P$,रेखाखंड $C_1C_2$ को $r_1:r_2 = 1:4$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P = \left(\frac{1(6)+4(2)}{1+4}, \frac{1(5)+4(2)}{1+4}\right) = \left(\frac{6+8}{5}, \frac{5+8}{5}\right) = \left(\frac{14}{5}, \frac{13}{5}\right)$.

(C) माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy=0$ है।
दो वृत्त $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ लंबकोणीय काटते हैं यदि $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ हो।
प्रथम वृत्त $x^2+y^2-6x+8=0$ के लिए,$g_1=-3, f_1=0, c_1=8$. अतः,$2g(-3)+2f(0)=0+8$ $\Rightarrow -6g=8$ $\Rightarrow g=-\frac{4}{3}$.
द्वितीय वृत्त $x^2+y^2-2x-2y-7=0$ के लिए,$g_2=-1, f_2=-1, c_2=-7$. अतः,$2g(-1)+2f(-1)=0-7 \Rightarrow -2g-2f=-7$.
$g=-\frac{4}{3}$ रखने पर,$-2(-\frac{4}{3})-2f=-7$ $\Rightarrow \frac{8}{3}+7=2f$ $\Rightarrow 2f=\frac{29}{3}$.
समीकरण में $g$ और $f$ का मान रखने पर: $x^2+y^2+2(-\frac{4}{3})x+2(\frac{29}{6})y=0 \Rightarrow x^2+y^2-\frac{8}{3}x+\frac{29}{3}y=0$.
$3$ से गुणा करने पर,$3x^2+3y^2-8x+29y=0$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए वृत्त $S_1: x^2 + y^2 - 2x + 8y + 13 = 0$ और $S_2: x^2 + y^2 - 4x + 6y + 11 = 0$ हैं।
$S_1$ के लिए,केंद्र $C_1 = (1, -4)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1^2 + (-4)^2 - 13} = 2$ है।
$S_2$ के लिए,केंद्र $C_2 = (2, -3)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{2^2 + (-3)^2 - 11} = \sqrt{2}$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = C_1C_2 = \sqrt{(2 - 1)^2 + (-3 - (-4))^2} = \sqrt{2}$ है।
वृत्तों के बीच का कोण $\theta$ निकालने के लिए $\cos \theta = \frac{d^2 - r_1^2 - r_2^2}{2r_1r_2}$ का उपयोग करते हुए:
$\cos \theta = \frac{2 - 4 - 2}{4\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$\theta = 135^{\circ}$।

(D) दिया गया है कि वृत्त $S_1 \equiv x^2+y^2+6x-2y+k=0$ और $S_2 \equiv x^2+y^2+2x-6y-15=0$ है।
चूंकि $S_1$,$S_2$ की परिधि को समद्विभाजित करता है,इसलिए $S_1$ और $S_2$ की उभयनिष्ठ जीवा $S_2$ का व्यास होगी।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ है।
$(x^2+y^2+6x-2y+k) - (x^2+y^2+2x-6y-15) = 0$.
$4x + 4y + k + 15 = 0$.
चूंकि यह जीवा $S_2$ का व्यास है,इसलिए यह $S_2$ के केंद्र से होकर गुजरती है।
$S_2$ का केंद्र $(-g, -f) = (-1, 3)$ है।
$(-1, 3)$ को जीवा के समीकरण में रखने पर:
$4(-1) + 4(3) + k + 15 = 0$.
$-4 + 12 + k + 15 = 0$.
$8 + k + 15 = 0$.
$k + 23 = 0$.
$k = -23$.

(A) दिए गए वृत्त $C_1: x^2+y^2-2x-8y+8=0$ हैं,जिसका केंद्र $C_1(1, 4)$ और त्रिज्या $r_1 = 3$ है।
दूसरा वृत्त $C_2: x^2+y^2-8x+15=0$ है,जिसका केंद्र $C_2(4, 0)$ और त्रिज्या $r_2 = 1$ है।
बाह्य केंद्र $P$ केंद्रों $C_1(1, 4)$ और $C_2(4, 0)$ को $3:1$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।
$P = \left(\frac{11}{2}, -2\right)$।
स्पर्श रेखा की ढाल $m$ मान लें। $P$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $2mx - 2y - 11m - 4 = 0$ है।
$C_2(4, 0)$ से इस रेखा की दूरी $r_2 = 1$ है:
$\left|\frac{-3m-4}{\sqrt{4m^2+4}}\right| = 1$
$(3m+4)^2 = 4(m^2+1)$
$5m^2 + 24m + 12 = 0$।
मूलों के योग के सूत्र के अनुसार,$m_1+m_2 = -\frac{24}{5}$।

(D) वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2+y^2-4x+6y+4=0$ और $S_2: x^2+y^2+2x-2y-2=0$ हैं।
$S_1$ के लिए,केंद्र $C_1 = (2, -3)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{2^2+(-3)^2-4} = 3$ है।
$S_2$ के लिए,केंद्र $C_2 = (-1, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-1)^2+1^2-(-2)} = 2$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-3 - 1)^2} = 5$ है।
चूंकि $r_1 + r_2 = 3 + 2 = 5 = C_1C_2$,वृत्त एक-दूसरे को बिंदु $P$ पर बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
संपर्क बिंदु $P$,$C_1C_2$ को $3:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$P = \left( \frac{1}{5}, -\frac{3}{5} \right)$।
$P$ पर उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा दोनों वृत्तों की मूल अक्ष (radical axis) है,जो $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है।
$(x^2+y^2-4x+6y+4) - (x^2+y^2+2x-2y-2) = 0$
$-6x + 8y + 6 = 0$
$-2$ से विभाजित करने पर,$3x - 4y - 3 = 0$ प्राप्त होता है।
$ax+by+c=0$ के साथ तुलना करने पर,$a=3, b=-4, c=-3$ है।
अतः,$\frac{a}{c} = \frac{3}{-3} = -1$।