माना फलन f(x) = 2x^{2} - log_{e} x,x 0,अंतर | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = 2x^{2} - \log_{e} x$. अवकलज $f'(x) = 4x - \frac{1}{x} = \frac{4x^{2} - 1}{x}$ है।चूँकि $f(x)$ अंतराल $(0, a)$ में ह्रासमान और

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$45$

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(A) दिया गया है $f(x) = 2x^{2} - \log_{e} x$. अवकलज $f'(x) = 4x - \frac{1}{x} = \frac{4x^{2} - 1}{x}$ है।चूँकि $f(x)$ अंतराल $(0, a)$ में ह्रासमान और $(a, 4)$ में वर्धमान है,$f'(x) = 0$ रखने पर $4x^{2} = 1$,अतः $x = \frac{1}{2}$ (क्योंकि $x > 0$)। इस प्रकार,$a = \frac{1}{2}$ है।परवलय $y^{2} = 4(\frac{1}{2})x = 2x$ है।$y^{2} = 4ax$ पर बिंदु $P(at^{2}, 2at)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $ty = x + at^{2}$ है।बिंदु $(8a, 8a-1)$ से गुजरने पर,$t(8a-1) = 8a + at^{2} \Rightarrow at^{2} - t(8a-1) + 8a = 0$ प्राप्त होता है।$a = 1/2$ रखने पर,$\frac{1}{2}t^{2} - 3t + 4 = 0 \Rightarrow t^{2} - 6t + 8 = 0$ प्राप्त होता है।हल $t = 2, 4$ हैं। $t=4$ के लिए $P = (8, 4)$ प्राप्त होता है।$P(at^{2}, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^{3}$ है।$t=4, a=1/2$ के लिए: $y = -4x + 2(1/2)(4) + (1/2)(64) = -4x + 36$ है।$4x + y = 36 \Rightarrow \frac{x}{9} + \frac{y}{36} = 1$। अतः $\alpha = 9, \beta = 36$ है।$\alpha + \beta = 9 + 36 = 45$।

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