मान लीजिए ABCD एक समलंब चतुर्भुज है जिसकी समा | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $O$,$AB$ व्यास वाले वृत्त $S$ का केंद्र है। मान लीजिए $P$,$CD$ पर स्पर्श बिंदु है। चूँकि $AB \parallel CD$,त्रिज्या $OP$,$CD$ पर लंब है।

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$\frac{\pi}{6}$

Vedclass · Answer

(D) मान लीजिए $O$,$AB$ व्यास वाले वृत्त $S$ का केंद्र है। मान लीजिए $P$,$CD$ पर स्पर्श बिंदु है। चूँकि $AB \parallel CD$,त्रिज्या $OP$,$CD$ पर लंब है। मान लीजिए $R$,$AC$ का मध्य-बिंदु है। चूँकि $R$,$AB$ व्यास वाले वृत्त पर स्थित है,$\angle ARB = 90^{\circ}$ है। $	riangle ABC$ में,$BR$,$AC$ पर माध्यिका है और $BR \perp AC$ है,इसलिए $	riangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AB = BC$ है। इसी प्रकार,यदि $Q$,$BD$ का मध्य-बिंदु है,तो $\angle AQB = 90^{\circ}$ है,जिसका अर्थ है कि $	riangle ABD$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AB = AD$ है। अतः,$AB = BC = AD$ है। मान लीजिए $AB = 2r$,तो वृत्त की त्रिज्या $r$ है। समलंब चतुर्भुज की ऊँचाई $r$ है। $A$ से $CD$ पर $M$ बिंदु तक लंब डालने पर बनने वाले समकोण त्रिभुज में,$AM = r$ और $AD = AB = 2r$ है। अतः,$\sin(\angle ADM) = \frac{AM}{AD} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$ है। इसलिए,$\angle ADM = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6}$ है। समलंब चतुर्भुज के कोण $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ हैं। सबसे छोटा कोण $\frac{\pi}{6}$ है।

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