TS EAMCET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) बस का प्रारंभिक वेग,$u = 72 \ km/h = 72 \times \frac{5}{18} \ m/s = 20 \ m/s$.
मंदक (deceleration),$a = -5 \ m/s^2$.
अंतिम वेग,$v = 0 \ m/s$ (दुर्घटना से बचने के लिए)।
माना प्रतिक्रिया समय $t_r$ है और ब्रेकिंग समय $t_b$ है।
प्रतिक्रिया समय के दौरान तय की गई दूरी (समान वेग),$d_1 = u \times t_r = 20 \times t_r$.
ब्रेकिंग के दौरान तय की गई दूरी (मंदक),$d_2 = \frac{v^2 - u^2}{2a} = \frac{0^2 - 20^2}{2 \times (-5)} = \frac{-400}{-10} = 40 \ m$.
कुल उपलब्ध दूरी $50 \ m$ है,इसलिए $d_1 + d_2 = 50 \ m$.
$20 \times t_r + 40 = 50$.
$20 \times t_r = 10$.
$t_r = \frac{10}{20} = 0.5 \ s$.

(C)
1. पहले $3 \,s$ के लिए, कण विरामावस्था $(u=0)$ से $a_1 = 2 \,m/s^2$ के त्वरण के साथ गति शुरू करता है।
2. $t = 3 \,s$ पर वेग:
$v = u + a_1 t = 0 + 2(3) = 6 \,m/s$
3. $t = 3 \,s$ पर विस्थापन:
$s_1 = ut + \frac{1}{2} a_1 t^2 = 0 + \frac{1}{2}(2)(3^2) = 9 \,m$
4. $t = 3 \,s$ के बाद, त्वरण उलट जाता है, इसलिए $a_2 = -2 \,m/s^2$। मान लीजिए अतिरिक्त समय $t'$ है।
5. समय $t'$ पर स्थिति:
$s = s_1 + vt' + \frac{1}{2} a_2 (t')^2$
6. कण के अपनी प्रारंभिक स्थिति में वापस आने के लिए $s = 0$ होना चाहिए।
7. $0 = 9 + 6t' - \frac{1}{2}(2)(t')^2$
$0 = 9 + 6t' - (t')^2$
$(t')^2 - 6t' - 9 = 0$
8. द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
$t' = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4(1)(-9)}}{2}
= \frac{6 \pm \sqrt{72}}{2}
= 3 \pm 3\sqrt{2}$
9. चूँकि $t' > 0$, इसलिए:
$t' = 3 + 3\sqrt{2} = 3(1+\sqrt{2}) \,s$
10. कुल समय:
$T = 3 + t' = 3 + 3 + 3\sqrt{2} = 6 + 3\sqrt{2} = 3(2+\sqrt{2}) \,s$

(B) दिया गया है: हेलीकॉप्टर का वेग $u = 288 \ km/h = 288 \times \frac{5}{18} \ m/s = 80 \ m/s$। गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$। मान लीजिए हेलीकॉप्टर की ऊँचाई $h$ है और बम की क्षैतिज परास $R$ है। जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है। क्षैतिज परास $R = u \times t = u \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है। बम गिराने के बिंदु और प्रभाव बिंदु को जोड़ने वाली रेखा द्वारा क्षैतिज के साथ बनाया गया कोण $\theta$ है,जिसके लिए $\tan \theta = \frac{h}{R}$ होता है। दिया गया है $\theta = 45^{\circ}$,इसलिए $\tan 45^{\circ} = 1$,जिसका अर्थ है $h = R$। $R = u \sqrt{\frac{2h}{g}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $h = u \sqrt{\frac{2h}{g}}$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $h^2 = u^2 \frac{2h}{g} \implies h = \frac{2u^2}{g}$। मान रखने पर: $h = \frac{2 \times (80)^2}{10} = \frac{2 \times 6400}{10} = 1280 \ m$।

(C) प्रक्षेप्य गति में,अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने के लिए तय की गई क्षैतिज दूरी $x_1 = u \cos \theta \times t_1$ है,जहाँ $t_1 = \frac{u \sin \theta}{g}$ है।
अतः,$x_1 = \frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{u^2 \sin 2\theta}{2g}$।
दूसरे पिंड के लिए जिसे '$(90^{\circ}-\theta)$' कोण पर प्रक्षेपित किया गया है,अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने के लिए तय की गई दूरी $x_2 = u \cos(90^{\circ}-\theta) \times t_2 = u \sin \theta \times \frac{u \cos \theta}{g} = \frac{u^2 \sin 2\theta}{2g}$ है।
चूँकि पिंड विपरीत दिशाओं में प्रक्षेपित किए गए हैं,उनके बीच की कुल क्षैतिज दूरी $D = x_1 + x_2 = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ होगी।

(B) $\text{माना पिंड का प्रारंभिक वेग } u \text{ है। अधिकतम ऊँचाई } H \text{ पर, अंतिम वेग } v = 0 \text{ होता है। अधिकतम ऊँचाई का सूत्र } H = \frac{u^2}{2g} \text{ है।}
h \text{ ऊँचाई पर, वेग } v_h = 8 \,m/s \text{ है। गति के समीकरण } v^2 = u^2 - 2gh \text{ का उपयोग करते हुए } 8^2 = u^2 - 2gh, \text{ जिसका अर्थ है } u^2 = 64 + 2gh।
\text{यदि हम } h \text{ ऊँचाई से अधिकतम ऊँचाई } H \text{ तक की गति पर विचार करें, तो प्रारंभिक वेग } 8 \,m/s \text{ और अंतिम वेग } 0 \text{ है। तय की गई दूरी } (H - h) \text{ है।}
v^2 = u^2 - 2as \text{ का उपयोग करते हुए } 0^2 = 8^2 - 2g(H - h), \text{ इसलिए } 64 = 20(H - h), \text{ जो } (H - h) = 3.2 \,m \text{ देता है।}
\text{अतः, पिंड द्वारा प्राप्त अतिरिक्त ऊँचाई } 3.2 \,m \text{ है।}$

(B) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 19.6 \ m/s$,अधिकतम ऊँचाई $H = 9.8 \ m$.
हम जानते हैं कि अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
$g = 9.8 \ m/s^2$ मानते हुए,$9.8 = \frac{(19.6)^2 \sin^2 \theta}{2 \times 9.8}$।
$9.8 = \frac{384.16 \sin^2 \theta}{19.6} \implies 9.8 = 19.6 \sin^2 \theta$।
$\sin^2 \theta = \frac{9.8}{19.6} = 0.5$,अतः $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है कि $\theta = 45^\circ$।
परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
चूँकि $\theta = 45^\circ$,इसलिए $\sin(2\theta) = \sin(90^\circ) = 1$।
$R = \frac{(19.6)^2}{9.8} = \frac{384.16}{9.8} = 39.2 \ m$।

(A) मान लीजिए गेंद को $u$ प्रारंभिक वेग से $\theta = 45^{\circ}$ के कोण पर प्रक्षेपित किया गया है।
समय $t$ पर ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = (u \sin \theta)t - \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि गेंद $t_1 = 2 \ s$ और $t_2 = 8 \ s$ पर समान ऊँचाई $y$ पर है,इसलिए:
$(u \sin \theta)t_1 - \frac{1}{2}gt_1^2 = (u \sin \theta)t_2 - \frac{1}{2}gt_2^2$
$u \sin \theta (t_2 - t_1) = \frac{1}{2}g(t_2^2 - t_1^2)$
$u \sin \theta = \frac{g(t_1 + t_2)}{2} = \frac{10(2 + 8)}{2} = 50 \ m/s$.
चूंकि $\theta = 45^{\circ}$,इसलिए $u \sin 45^{\circ} = u \cos 45^{\circ} = 50 \ m/s$,अतः $u_x = 50 \ m/s$.
दोनों बिंदुओं के बीच की क्षैतिज दूरी $d$,$t_1$ और $t_2$ के बीच का क्षैतिज विस्थापन है:
$d = u_x(t_2 - t_1) = 50 \times (8 - 2) = 50 \times 6 = 300 \ m$.

(A) प्रक्षेप्य गति के लिए,यदि कोई पिंड $t_1$ समय पर एक बिंदु से गुजरता है और उसके बाद $t_2$ समय के बाद जमीन पर पहुंचता है,तो कुल उड़ान का समय $T = t_1 + t_2 = 2.3 \ s + 5.7 \ s = 8.0 \ s$ है।
अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने में लगा समय $t_{max} = \frac{T}{2} = \frac{8.0 \ s}{2} = 4.0 \ s$ है।
अधिकतम ऊंचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{1}{2} g t_{max}^2$ है।
मान रखने पर: $H = \frac{1}{2} \times 10 \ ms^{-2} \times (4.0 \ s)^2$.
$H = 5 \times 16 = 80 \ m$.
अतः,पिंड द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई $80 \ m$ है।

(B) प्रक्षेप्य के प्रक्षेप पथ का समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = \sqrt{3}x - 0.2x^2$ के साथ तुलना करने पर:
$1$. $\tan \theta = \sqrt{3} \implies \theta = 60^\circ$.
$2$. $\frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} = 0.2$.
यहाँ $g = 10 \ ms^{-2}$ और $\cos 60^\circ = 0.5$ रखने पर,$\frac{10}{2u^2 (0.5)^2} = 0.2$.
$\frac{10}{2u^2 (0.25)} = 0.2 \implies \frac{10}{0.5u^2} = 0.2 \implies \frac{20}{u^2} = 0.2 \implies u^2 = 100 \implies u = 10 \ ms^{-1}$.
उड्डयन काल $T$ का सूत्र $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ है।
$T = \frac{2 \times 10 \times \sin 60^\circ}{10} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \ s$.

(B) माना आयाम $A = 6 \ cm$ है और माध्य स्थिति से विस्थापन $x$ है।
सरल आवर्त गति में एक कण की स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ है।
कण की गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ है।
दिया गया है कि स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का अनुपात $U/K = 4/5$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\frac{1}{2} k x^2}{\frac{1}{2} k (A^2 - x^2)} = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{x^2}{A^2 - x^2} = \frac{4}{5}$ मिलता है।
तिर्यक गुणा करने पर $5x^2 = 4(A^2 - x^2) = 4A^2 - 4x^2$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$9x^2 = 4A^2$,जिसका अर्थ है $x^2 = \frac{4}{9} A^2$।
वर्गमूल लेने पर,$x = \frac{2}{3} A$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A = 6 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $x = \frac{2}{3} \times 6 \ cm = 4 \ cm$ प्राप्त होता है।

(B) सरल आवर्त गति में,बल $F = -kx = -m\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है। अधिकतम बल $F_{max} = m\omega^2 A$ है।
दिया गया है कि स्थिति $x$ पर बल $F_{max}$ का $86.6 \%$ है,इसलिए $F = 0.866 F_{max} = \frac{\sqrt{3}}{2} F_{max}$।
चूंकि $F = m\omega^2 x$ और $F_{max} = m\omega^2 A$,हमें $x = \frac{\sqrt{3}}{2} A$ प्राप्त होता है।
$SHM$ में स्थिति $x$ पर कण का वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ होता है।
$x = \frac{\sqrt{3}}{2} A$ प्रतिस्थापित करने पर,$v = \omega \sqrt{A^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2} A)^2} = \omega \sqrt{A^2 - \frac{3}{4} A^2} = \omega \sqrt{\frac{1}{4} A^2} = \frac{1}{2} \omega A$ प्राप्त होता है।
अधिकतम वेग $v_{max} = \omega A$ है।
अतः,उस बिंदु पर वेग और अधिकतम वेग का अनुपात $\frac{v}{v_{max}} = \frac{\frac{1}{2} \omega A}{\omega A} = \frac{1}{2}$ है।

(D) समय $t$ पर अवमंदित आवर्ती दोलक का आयाम $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $t = 10 \ s$ पर,$A(t) = A_0/2$ है।
अतः,$A_0/2 = A_0 e^{-b(10)/2m} \implies 1/2 = e^{-5b/m} \implies \ln(2) = 5b/m$।
दोलक की यांत्रिक ऊर्जा $E(t) = \frac{1}{2} k A(t)^2 = \frac{1}{2} k A_0^2 e^{-bt/m} = E_0 e^{-bt/m}$ होती है।
हमें वह समय $t'$ ज्ञात करना है जिसके लिए $E(t') = E_0/2$ हो।
अतः,$E_0/2 = E_0 e^{-bt'/m} \implies 1/2 = e^{-bt'/m} \implies \ln(2) = bt'/m$।
$\ln(2)$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $5b/m = bt'/m \implies t' = 5 \ s$।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
आवृत्ति $f$ (प्रति इकाई समय में दोलनों की संख्या) $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{L}}$ है।
चूंकि किसी दिए गए स्थान पर $g$ स्थिर है,इसलिए $f \propto \frac{1}{\sqrt{L}}$,जिसका अर्थ है $L \propto \frac{1}{f^2}$।
मान लीजिए प्रारंभिक आवृत्ति $f_1 = 72 \text{ दोलन/मिनट}$ और अंतिम आवृत्ति $f_2 = 90 \text{ दोलन/मिनट}$ है।
अतः,$\frac{L_2}{L_1} = \left( \frac{f_1}{f_2} \right)^2 = \left( \frac{72}{90} \right)^2 = \left( \frac{4}{5} \right)^2 = \frac{16}{25} = 0.64$।
इसका अर्थ है कि नई लंबाई $L_2$ मूल लंबाई $L_1$ का $64 \%$ है।
लंबाई में कमी $\Delta L = L_1 - L_2 = L_1 - 0.64 L_1 = 0.36 L_1$ है।
इसलिए,प्रतिशत कमी $36 \%$ है।

(D) एक अवमंदित हार्मोनिक ऑसिलेटर का किसी भी समय $t$ पर आयाम समीकरण $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A_0$ समय $t=0$ पर प्रारंभिक आयाम है और $b$ अवमंदन स्थिरांक है।
समय $t_1$ पर,आयाम $A_1 = A_0 e^{-bt_1/2m}$ है। अतः,$e^{-bt_1/2m} = \frac{A_1}{A_0}$ है।
समय $t_2$ पर,आयाम $A_2 = A_0 e^{-bt_2/2m}$ है। अतः,$e^{-bt_2/2m} = \frac{A_2}{A_0}$ है।
हमें समय $t = t_1 + t_2$ पर आयाम $A$ ज्ञात करना है,जो $A(t_1+t_2) = A_0 e^{-b(t_1+t_2)/2m}$ है।
इसे $A(t_1+t_2) = A_0 (e^{-bt_1/2m}) (e^{-bt_2/2m})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
घातांकीय पदों के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A(t_1+t_2) = A_0 \left(\frac{A_1}{A_0}\right) \left(\frac{A_2}{A_0}\right)$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,हमें $A(t_1+t_2) = \frac{A_1 A_2}{A_0}$ प्राप्त होता है।

(D) सरल आवर्त गति में एक कण के लिए गति का समीकरण $F = -ky$ होता है। दिए गए समीकरण $F + 0.04 \pi^2 y = 0$ से, हमें $F = -0.04 \pi^2 y$ प्राप्त होता है। इसकी तुलना $F = -ky$ से करने पर, बल नियतांक $k = 0.04 \pi^2 \text{ N/m}$ है।
कण का द्रव्यमान $m = 90 \text{ g} = 0.09 \text{ kg}$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{0.04 \pi^2}{0.09}} = \sqrt{\frac{4 \pi^2}{9}} = \frac{2 \pi}{3} \text{ rad/s}$ है।
आयाम $A = \frac{6}{\pi} \text{ m}$ है।
अधिकतम वेग $v_{\text{max}} = A \omega$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, $v_{\text{max}} = \left( \frac{6}{\pi} \right) \times \left( \frac{2 \pi}{3} \right) = 4 \text{ m/s}$।

(D) बाह्य टॉर्क की अनुपस्थिति में पृथ्वी एक विलगित निकाय है, इसलिए इसका कोणीय संवेग $L = I\omega$ स्थिर रहता है।
जब ध्रुवों पर बर्फ पिघलती है और पानी भूमध्य रेखा की ओर बहता है, तो पृथ्वी का द्रव्यमान वितरण इस प्रकार बदल जाता है कि अधिक द्रव्यमान घूर्णन अक्ष से दूर केंद्रित हो जाता है।
इससे पृथ्वी का जड़त्व आघूर्ण $I$ बढ़ जाता है $(I = \sum mr^2)$।
चूंकि $L = I\omega$ स्थिर है, इसलिए $I$ में वृद्धि के परिणामस्वरूप कोणीय वेग $\omega$ में कमी आनी चाहिए।
चूंकि $\omega = 2\pi / T$, जहाँ $T$ दिन की अवधि है, $\omega$ में कमी आने से दिन की अवधि $T$ में वृद्धि होती है।

(C) मान लीजिए $M$ द्रव्यमान,$R$ त्रिज्या और $L$ लंबाई का एक समान ठोस बेलन है।
बेलन का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2}MR^2$ है।
बेलन का उसके केंद्र से गुजरने वाले और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{MR^2}{4} + \frac{ML^2}{12}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$I_1 = \frac{1}{n} I_2$,जिसका अर्थ है $n I_1 = I_2$.
व्यंजक रखने पर: $n \left( \frac{1}{2} MR^2 \right) = \frac{MR^2}{4} + \frac{ML^2}{12}$.
$M$ से विभाजित करने पर: $\frac{nR^2}{2} = \frac{R^2}{4} + \frac{L^2}{12}$.
$12$ से गुणा करने पर: $6nR^2 = 3R^2 + L^2$.
$L^2$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $L^2 = 6nR^2 - 3R^2 = 3R^2(2n - 1)$.
अतः,$\frac{L^2}{R^2} = 3(2n - 1)$,जिससे $\frac{L}{R} = \sqrt{3(2n - 1)}$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि पतली वृत्ताकार वलय का द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ है।
वलय के केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = MR^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,उसके किनारे से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + MR^2 = MR^2 + MR^2 = 2MR^2$ होता है।
दिया गया है कि यह मान $I$ है,इसलिए $2MR^2 = I$,जिसका अर्थ है कि $MR^2 = \frac{I}{2}$।
वलय का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diameter} = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
$MR^2$ का मान रखने पर,हमें $I_{diameter} = \frac{1}{2} \times \frac{I}{2} = \frac{I}{4}$ प्राप्त होता है।

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक पतली वृत्ताकार वलय के लिए,उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diam} = \frac{1}{2}MR^2$ होता है। समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,उसके तल में स्पर्शरेखीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{ring} = I_{diam} + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$ होगा। घूर्णन त्रिज्या $k_{ring}$ का मान $Mk_{ring}^2 = \frac{3}{2}MR^2$ से प्राप्त होता है,अतः $k_{ring} = R\sqrt{\frac{3}{2}}$.
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार चकती के लिए,उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diam} = \frac{1}{4}MR^2$ होता है। समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,उसके तल में स्पर्शरेखीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{disc} = I_{diam} + MR^2 = \frac{1}{4}MR^2 + MR^2 = \frac{5}{4}MR^2$ होगा। घूर्णन त्रिज्या $k_{disc}$ का मान $Mk_{disc}^2 = \frac{5}{4}MR^2$ से प्राप्त होता है,अतः $k_{disc} = R\sqrt{\frac{5}{4}}$.
घूर्णन त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{k_{ring}}{k_{disc}} = \frac{R\sqrt{3/2}}{R\sqrt{5/4}} = \sqrt{\frac{3}{2} \times \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{12}{10}} = \sqrt{\frac{6}{5}}$ है।
$\sqrt{12}:\sqrt{K}$ के रूप में लाने के लिए,हम अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करते हैं: $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{10}}$। अतः,$K = 10$ है।

(A) $1$. वलय का द्रव्यमान $m$ है और इसका रैखिक घनत्व $\rho$ है। वलय की परिधि $L = \frac{m}{\rho}$ है।
$2$. चूंकि $L = 2 \pi R$,इसलिए वलय की त्रिज्या $R = \frac{m}{2 \pi \rho}$ है।
$3$. वलय के व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diam} = \frac{1}{2} m R^2$ होता है।
$4$. समानांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,व्यास के समानांतर स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{diam} + m R^2 = \frac{1}{2} m R^2 + m R^2 = \frac{3}{2} m R^2$ होगा।
$5$. $R = \frac{m}{2 \pi \rho}$ का मान रखने पर: $I = \frac{3}{2} m \left( \frac{m}{2 \pi \rho} \right)^2 = \frac{3}{2} m \left( \frac{m^2}{4 \pi^2 \rho^2} \right) = \frac{3 m^3}{8 \pi^2 \rho^2}$।

(A) $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई वाली एक पतली एकसमान छड़ की उसकी लंबाई के लंबवत और एक सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{3}ML^2$ द्वारा दिया जाता है।
परिभाषा के अनुसार,घूर्णन त्रिज्या $K$ जड़त्व आघूर्ण से $I = MK^2$ द्वारा संबंधित है।
$I$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $MK^2 = \frac{1}{3}ML^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $M$ को हटाने पर,हमें $K^2 = \frac{L^2}{3}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$K = \frac{L}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $K: L = \frac{1}{\sqrt{3}}$ या $1: \sqrt{3}$ है।

(B) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु का त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $I$ द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
ठोस गोले के लिए, $I_{sphere} = \frac{2}{5} MR^2$। अतः, $a_{sphere} = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{g \sin \theta}{7/5} = \frac{5}{7} g \sin \theta = 3 \,ms^{-2}$।
इससे $g \sin \theta = \frac{3 \times 7}{5} = 4.2 \,ms^{-2}$ प्राप्त होता है।
पतली एकसमान वृत्ताकार डिस्क के लिए, $I_{disc} = \frac{1}{2} MR^2$। अतः, $a_{disc} = \frac{g \sin \theta}{1 + 1/2} = \frac{g \sin \theta}{3/2} = \frac{2}{3} g \sin \theta$।
$g \sin \theta$ का मान रखने पर, हमें $a_{disc} = \frac{2}{3} \times 4.2 = 2.8 \,ms^{-2}$ प्राप्त होता है।

(B) एक वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
यहाँ $M = \frac{10}{\pi^2} \,kg$ और $R = 2 \,m$ दिया गया है,इसलिए $I = \frac{1}{2} \times \frac{10}{\pi^2} \times (2)^2 = \frac{20}{\pi^2} \,kg \cdot m^2$ है।
प्रारंभिक कोणीय गति $\omega_1 = 90 \,rev/min = 90 \times \frac{2\pi}{60} \,rad/s = 3\pi \,rad/s$ है।
अंतिम कोणीय गति $\omega_2 = 120 \,rev/min = 120 \times \frac{2\pi}{60} \,rad/s = 4\pi \,rad/s$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य $W$ घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta K = \frac{1}{2}I(\omega_2^2 - \omega_1^2)$।
मान रखने पर: $W = \frac{1}{2} \times \frac{20}{\pi^2} \times ((4\pi)^2 - (3\pi)^2) = \frac{10}{\pi^2} \times (16\pi^2 - 9\pi^2) = \frac{10}{\pi^2} \times 7\pi^2 = 70 \,J$।

(B) बिना फिसले लुढ़कने वाले एक ठोस गोले के लिए,उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(\frac{2}{5}MR^2)\omega^2 = \frac{1}{5}MR^2\omega^2$ है।
चूंकि गोला बिना फिसले लुढ़क रहा है,द्रव्यमान केंद्र का वेग $v = R\omega$ है,इसलिए $\omega = \frac{v}{R}$।
$\omega$ का मान घूर्णन गतिज ऊर्जा के व्यंजक में रखने पर: $K_{rot} = \frac{1}{5}MR^2(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{5}Mv^2$।
स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K_{trans} = \frac{1}{2}Mv^2$ है।
घूर्णन और स्थानांतरण गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_{rot}}{K_{trans}} = \frac{\frac{1}{5}Mv^2}{\frac{1}{2}Mv^2} = \frac{2}{5}$ है।
अतः,अनुपात $2: 5$ है।

(D) माना स्केल का द्रव्यमान $M = 100 \ g$ है जो इसके द्रव्यमान केंद्र $(50 \ cm)$ पर कार्य करता है। माना प्रत्येक प्लेट का द्रव्यमान $m = 200 \ g$ है जो $0 \ cm$ और $100 \ cm$ पर स्थित है। धुरी $45 \ cm$ पर है।
$45 \ cm$ के बिंदु के परितः आघूर्ण (moments) लेने पर:
दक्षिणावर्त आघूर्ण: $M_{veg} \times (100 - 45) + m \times (100 - 45) + M \times (50 - 45) = 300 \times (45 - 0) + m \times (45 - 0)$
$M_{veg} \times 55 + 200 \times 55 + 100 \times 5 = 300 \times 45 + 200 \times 45$
$55 M_{veg} + 11000 + 500 = 13500 + 9000$
$55 M_{veg} + 11500 = 22500$
$55 M_{veg} = 11000$
$M_{veg} = 200 \ g$.
वास्तविक वजन $300 \ g$ है और मापा गया वजन $200 \ g$ है। अतः त्रुटि $|300 - 200| = 100 \ g$ है।

(A) बर्फ का द्रव्यमान $m = 8 \ g = 0.008 \ kg$ है।
चरण $1$: बर्फ को $-20^{\circ}C$ से $0^{\circ}C$ तक गर्म करने के लिए आवश्यक ऊष्मा: $Q_1 = m \cdot c_{ice} \cdot \Delta T = 0.008 \times 2100 \times 20 = 336 \ J$।
चरण $2$: $0^{\circ}C$ पर बर्फ को $0^{\circ}C$ के पानी में पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा: $Q_2 = m \cdot L_f = 0.008 \times 336 \times 10^3 = 2688 \ J$।
चरण $3$: पानी को $0^{\circ}C$ से $100^{\circ}C$ तक गर्म करने के लिए आवश्यक ऊष्मा: $Q_3 = m \cdot c_{water} \cdot \Delta T = 0.008 \times 4200 \times 100 = 3360 \ J$।
चरण $4$: $100^{\circ}C$ के पानी को $100^{\circ}C$ की भाप में बदलने के लिए आवश्यक ऊष्मा: $Q_4 = m \cdot L_v = 0.008 \times 2.268 \times 10^6 = 18144 \ J$।
कुल ऊष्मा $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 = 336 + 2688 + 3360 + 18144 = 24528 \ J \approx 24.5 \ kJ$।

(B) दीवारों से ऊष्मा प्रवाह की दर $dQ/dt$ सूत्र द्वारा दी जाती है: $dQ/dt = (K \cdot A \cdot \Delta T) / d$.
यहाँ, $K = 10^{-2} \,W m^{-1} K^{-1}$, $A = 1000 \,cm^2 = 0.1 \,m^2$, $\Delta T = 42^{\circ}C - 0^{\circ}C = 42 \,K$, और $d = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$.
इन मानों को रखने पर: $dQ/dt = (10^{-2} \times 0.1 \times 42) / (2 \times 10^{-3}) = (4.2 \times 10^{-2}) / (2 \times 10^{-3}) = 21 \,W$ (या $21 \,J/s$).
कुल समय $t = 160 \,minutes = 160 \times 60 \,s = 9600 \,s$.
कुल स्थानांतरित ऊष्मा $Q = (dQ/dt) \times t = 21 \times 9600 = 201600 \,J$.
पिघली हुई बर्फ का द्रव्यमान $m_{melted} = Q / L$, जहाँ $L = 336 \times 10^3 \,J/kg$.
$m_{melted} = 201600 / (336 \times 10^3) = 0.6 \,kg$.
शेष बची बर्फ का द्रव्यमान = प्रारंभिक द्रव्यमान - पिघला हुआ द्रव्यमान = $1.5 \,kg - 0.6 \,kg = 0.9 \,kg$.

(C) छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $H$ सूत्र द्वारा दी जाती है: $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$.
दिया गया है: $K = 90 \ W \ m^{-1} \ K^{-1}$,$A = 4 \ cm^2 = 4 \times 10^{-4} \ m^2$,$L = 20 \ cm = 0.2 \ m$,$T_1 = 100^{\circ} C$,$T_2 = 0^{\circ} C$.
मान रखने पर: $H = \frac{90 \times 4 \times 10^{-4} \times (100 - 0)}{0.2} = \frac{90 \times 4 \times 10^{-4} \times 100}{0.2} = \frac{3.6}{0.2} = 18 \ J/s$.
$t = 7 \ minutes = 420 \ s$ समय में स्थानांतरित कुल ऊष्मा $Q = H \times t = 18 \times 420 = 7560 \ J$.
पिघली हुई बर्फ का द्रव्यमान $m$,$Q = mL_f$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L_f = 336 \times 10^3 \ J/kg$.
$m = \frac{Q}{L_f} = \frac{7560}{336 \times 10^3} = 0.0225 \ kg = 22.5 \ g$.

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ है,जहाँ $T_s$ परिवेश का तापमान है।
पहले अंतराल के लिए: $\frac{60 - 50}{10} = k \left( \frac{60 + 50}{2} - T_s \right) \Rightarrow 1 = k(55 - T_s) \quad (1)$
दूसरे अंतराल के लिए: $\frac{50 - 40}{15} = k \left( \frac{50 + 40}{2} - T_s \right) \Rightarrow \frac{2}{3} = k(45 - T_s) \quad (2)$
$(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{2/3} = \frac{55 - T_s}{45 - T_s} \Rightarrow 1.5 = \frac{55 - T_s}{45 - T_s} \Rightarrow 67.5 - 1.5T_s = 55 - T_s \Rightarrow 0.5T_s = 12.5 \Rightarrow T_s = 25^{\circ} C$.
$T_s = 25$ को $(1)$ में रखने पर: $1 = k(55 - 25) \Rightarrow 1 = 30k \Rightarrow k = \frac{1}{30}$.
तीसरे अंतराल $40^{\circ} C$ से $30^{\circ} C$ के लिए: $\frac{40 - 30}{t} = k \left( \frac{40 + 30}{2} - T_s \right) \Rightarrow \frac{10}{t} = \frac{1}{30} (35 - 25) \Rightarrow \frac{10}{t} = \frac{10}{30} \Rightarrow t = 30 \text{ मिनट}$।

(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_{max} T = b$,जहाँ $b = 2.9 \times 10^{-3} m K$ वीन का नियतांक है।
दिया गया है $\lambda_{max} = 2900 Å = 2900 \times 10^{-10} m = 2.9 \times 10^{-7} m$.
मान रखने पर,$T = \frac{b}{\lambda_{max}} = \frac{2.9 \times 10^{-3}}{2.9 \times 10^{-7}} = 10^4 K$.
एक आदर्श रेडिएटर (कृष्णिका) द्वारा उत्सर्जित विकिरण की तीव्रता स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम द्वारा दी जाती है: $E = \sigma T^4$.
दिया गया है $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} W m^{-2} K^{-4}$.
$E = (5.67 \times 10^{-8}) \times (10^4)^4 = 5.67 \times 10^{-8} \times 10^{16} = 5.67 \times 10^8 W m^{-2}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) रेखीय प्रसार का सूत्र $\Delta L = L \alpha \Delta T$ है,जहाँ $\Delta L$ लंबाई में परिवर्तन है,$L$ मूल लंबाई है,$\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
यहाँ लंबाई में $0.4 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $\frac{\Delta L}{L} = 0.4 \% = \frac{0.4}{100} = 0.004$ है।
रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = 20 \times 10^{-6} \ {}^{\circ}C^{-1}$ है।
इन मानों को सूत्र $\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T$ में रखने पर:
$0.004 = (20 \times 10^{-6}) \Delta T$ प्राप्त होता है।
$\Delta T$ के लिए हल करने पर:
$\Delta T = \frac{0.004}{20 \times 10^{-6}} = \frac{4 \times 10^{-3}}{20 \times 10^{-6}} = \frac{1}{5} \times 10^3 = 0.2 \times 1000 = 200 \ {}^{\circ}C$।
चूंकि सेल्सियस में तापमान का परिवर्तन केल्विन में तापमान के परिवर्तन के बराबर होता है,इसलिए $\Delta T = 200 \ K$।

(C) माना सेल्सियस पैमाने पर रीडिंग $C$ है और फ़ारेनहाइट पैमाने पर रीडिंग $F$ है।
प्रश्न के अनुसार,$F = C + 0.90C = 1.9C$ है।
सेल्सियस और फ़ारेनहाइट पैमानों के बीच संबंध का सूत्र है: $F = \frac{9}{5}C + 32$।
सूत्र में $F = 1.9C$ रखने पर: $1.9C = 1.8C + 32$।
दोनों पक्षों से $1.8C$ घटाने पर: $0.1C = 32$।
अतः,$C = 320^{\circ} C$।
अब,$F = 1.9C$ का उपयोग करके $F$ का मान ज्ञात करें: $F = 1.9 \times 320 = 608^{\circ} F$।
इसलिए,तापमान $608^{\circ} F$ है।

(B) सबसे पहले,सही फारेनहाइट थर्मामीटर द्वारा मापे गए तापमान को सेल्सियस पैमाने में बदलें।
सेल्सियस $(C)$ और फारेनहाइट $(F)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $C = \frac{5}{9}(F - 32)$.
$F = 122^{\circ} F$ रखने पर:
$C = \frac{5}{9}(122 - 32) = \frac{5}{9}(90) = 50^{\circ} C$.
यह शरीर का वास्तविक तापमान है।
दोषपूर्ण थर्मामीटर $49^{\circ} C$ पढ़ता है।
सुधार (Correction) को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $\text{वास्तविक मान} - \text{मापा गया मान}$.
सुधार $= 50^{\circ} C - 49^{\circ} C = +1^{\circ} C$.
अतः,लागू किया जाने वाला सुधार $+1^{\circ} C$ है।

(A) पेंडुलम घड़ी का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta \theta$ के कारण आवर्तकाल में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$ है,जहाँ $\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है।
दिया गया है: $\alpha = 12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$,$\Delta \theta = 47^{\circ} C - 32^{\circ} C = 15^{\circ} C$.
$\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \times 12 \times 10^{-6} \times 15 = 90 \times 10^{-6}$.
एक दिन $(86400 \ s)$ में खोया या प्राप्त किया गया समय $\Delta t = \frac{\Delta T}{T} \times 86400$ है।
$\Delta t = 90 \times 10^{-6} \times 86400 = 7.776 \ s \approx 7.8 \ s$.
चूंकि तापमान बढ़ता है,पेंडुलम की लंबाई बढ़ती है,आवर्तकाल बढ़ता है,और घड़ी धीमी हो जाती है।

(C) धातु की स्केल की लंबाई $L = 1 \ m = 1000 \ mm$ है। लंबाई में अधिकतम अनुमेय त्रुटि $\Delta L = 0.5 \ mm$ है। रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = 10^{-5} /{ }^{\circ} C$ है। तापमान परिवर्तन $\Delta T$ के कारण लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = L \alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है। मान रखने पर: $0.5 = 1000 \times 10^{-5} \times \Delta T$। इसे सरल करने पर $0.5 = 10^{-2} \times \Delta T$ प्राप्त होता है,जिससे $\Delta T = 0.5 / 10^{-2} = 50^{\circ} C$ मिलता है। चूंकि स्केल $25^{\circ} C$ पर अंशांकित है,इसलिए तापमान की सीमा $25^{\circ} C \pm 50^{\circ} C$ होगी। अतः,सीमा $25 - 50 = -25^{\circ} C$ से $25 + 50 = 75^{\circ} C$ तक है।

(D) स्थिर दाब पर दी गई ऊष्मा $Q = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $Q$ और $n$ समान हैं,इसलिए दोनों गैसों के लिए $C_p \Delta T$ स्थिर रहेगा।
एकपरमाणुक गैस के लिए,$C_{p,1} = \frac{5}{2}R$ और आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U_1 = n C_{v,1} \Delta T_1 = n (\frac{3}{2}R) \Delta T_1$ है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,$C_{p,2} = \frac{7}{2}R$ और आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U_2 = n C_{v,2} \Delta T_2 = n (\frac{5}{2}R) \Delta T_2$ है।
चूंकि $Q = n C_{p,1} \Delta T_1 = n C_{p,2} \Delta T_2$,इसलिए $\frac{5}{2}R \Delta T_1 = \frac{7}{2}R \Delta T_2$,जिसका अर्थ है $\Delta T_1 = \frac{7}{5} \Delta T_2$।
आंतरिक ऊर्जा परिवर्तनों का अनुपात $\frac{\Delta U_1}{\Delta U_2} = \frac{n (\frac{3}{2}R) \Delta T_1}{n (\frac{5}{2}R) \Delta T_2} = \frac{3}{5} \times \frac{\Delta T_1}{\Delta T_2} = \frac{3}{5} \times \frac{7}{5} = \frac{21}{25}$ है।

(D) एक द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ होती है।
स्थिर दाब पर,अवशोषित ऊष्मा $dQ = n C_p dT$ द्वारा दी जाती है।
किया गया कार्य $dW = P dV = n R dT$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $dU = n C_v dT$ है।
हम जानते हैं कि $C_v = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$ और $C_p = C_v + R = \frac{7}{2} R$ होता है।
अतः,$dW : dU : dQ$ का अनुपात $nR dT : \frac{5}{2} nR dT : \frac{7}{2} nR dT$ है।
$nR dT$ से विभाजित करने पर,हमें $1 : \frac{5}{2} : \frac{7}{2}$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2 : 5 : 7$ प्राप्त होता है।

(B) कार्नोट इंजन के लिए,दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
रुद्धोष्म विस्तार प्रक्रिया के दौरान,तापमान और आयतन के बीच संबंध $T V^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$ होता है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1.4 = \frac{7}{5}$ है।
अतः,$\gamma - 1 = 0.4 = \frac{2}{5}$ होगा।
दिया गया है कि आयतन $32$ के गुणक में बढ़ता है,अर्थात $V_2 = 32 V_1$।
रुद्धोष्म संबंध का उपयोग करते हुए: $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$।
$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1} = \left( \frac{1}{32} \right)^{2/5}$।
$\frac{T_2}{T_1} = \left( (2^5)^{-1} \right)^{2/5} = (2^{-5})^{2/5} = 2^{-2} = \frac{1}{4} = 0.25$।
अब,दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = 1 - 0.25 = 0.75$।
प्रतिशत में बदलने पर,$\eta = 75 \%$।

(B) निकाली जाने वाली कुल ऊष्मा $(Q)$ दो भागों में विभाजित है: पानी को $30^{\circ}C$ से $0^{\circ}C$ तक ठंडा करना और $0^{\circ}C$ पर पानी को बर्फ में जमाना।
$1$. पानी को ठंडा करने के लिए ऊष्मा: $Q_1 = m \cdot c \cdot \Delta T = 15 \ kg \times 4200 \ J/(kg \cdot K) \times 30 \ K = 1,890,000 \ J$.
$2$. पानी को बर्फ में बदलने के लिए ऊष्मा: $Q_2 = m \cdot L_f = 15 \ kg \times 3.36 \times 10^5 \ J/kg = 5,040,000 \ J$.
कुल ऊष्मा $Q = Q_1 + Q_2 = 1,890,000 + 5,040,000 = 6,930,000 \ J$.
समय $t = 1 \ hour = 3600 \ s$.
शक्ति $P = Q / t = 6,930,000 / 3600 = 1925 \ W$.

(A) दिया गया है: मोलों की संख्या $n = 2$,प्रारंभिक तापमान $T_1 = 327 + 273 = 600 \ K$,विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = \frac{4}{3}$।
आयतन में $700 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $V_2 = V_1 + 7V_1 = 8V_1$।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$।
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1} = 600 \left( \frac{1}{8} \right)^{\frac{4}{3}-1} = 600 \left( \frac{1}{8} \right)^{1/3} = 600 \times \frac{1}{2} = 300 \ K$।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ होता है।
$W = \frac{2 \times 8.3 \times (600 - 300)}{\frac{4}{3} - 1} = \frac{2 \times 8.3 \times 300}{1/3} = 2 \times 8.3 \times 300 \times 3 = 14940 \ J = 14.94 \ kJ$।

(D) एक बंद पात्र में गैस के लिए आयतन $V$ स्थिर रहता है। गे-लुसाक के नियम के अनुसार,$P \propto T$,जहाँ $T$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान है।
माना प्रारंभिक दबाव $P$ है और प्रारंभिक तापमान $T$ (केल्विन में) है।
जब तापमान में $\Delta T = 2.4 \ K$ की वृद्धि होती है,तो दबाव में $\Delta P = 0.005 P$ की वृद्धि होती है।
$P/T = (P + \Delta P) / (T + \Delta T)$ से:
$P/T = (P + 0.005 P) / (T + 2.4)$
$1/T = 1.005 / (T + 2.4)$
$T + 2.4 = 1.005 T$
$0.005 T = 2.4$
$T = 2.4 / 0.005 = 480 \ K$.
सेल्सियस में प्रारंभिक तापमान $t = T - 273 = 480 - 273 = 207^{\circ} C$ है।

(D) अचानक संपीड़न के लिए,प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) होती है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\gamma = 1.5$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक अवस्था $(T_1, V_1)$ है और अंतिम अवस्था $(T_2, V_2)$ है।
दिया गया है कि $T_2 = 2T_1$ और $\gamma = 1.5$ है।
संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$T_1 V_1^{1.5-1} = 2T_1 V_2^{1.5-1}$
$V_1^{0.5} = 2 V_2^{0.5}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $V_1 = 4 V_2$,जिसका अर्थ है $V_2 = \frac{V_1}{4} = 0.25 V_1$।
आयतन में कमी $\Delta V = V_1 - V_2 = V_1 - 0.25 V_1 = 0.75 V_1$ है।
प्रतिशत कमी $\frac{\Delta V}{V_1} \times 100 = 0.75 \times 100 = 75\%$ है।

(A) चक्र $ABCA$ में किया गया कुल कार्य $W_{ABCA} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA}$ है।
$1$. प्रक्रिया $AB$ एक समतापीय प्रक्रिया है क्योंकि $T_A = T_B = T_1$ है। किया गया कार्य $W_{AB} = nRT_1 \ln(V_B/V_A) = 3RT_1 \ln(3V_1/V_1) = 3RT_1 \ln(3)$ है।
$2$. प्रक्रिया $BC$ एक समदाबी प्रक्रिया है क्योंकि $P_B = P_C = P_2$ है। किया गया कार्य $W_{BC} = P_2(V_C - V_B) = P_2(V_1 - 3V_1) = -2P_2V_1$ है। बिंदु $B$ पर आदर्श गैस नियम के अनुसार,$P_2(3V_1) = nRT_1 = 3RT_1$,इसलिए $P_2V_1 = RT_1$ है। अतः,$W_{BC} = -2RT_1$ है।
$3$. प्रक्रिया $CA$ एक समआयतनिक प्रक्रिया है क्योंकि $V_C = V_A = V_1$ है। किया गया कार्य $W_{CA} = 0$ है।
$4$. कुल कार्य $W_{ABCA} = 3RT_1 \ln(3) - 2RT_1 + 0 = RT_1[3 \ln(3) - 2]$ है।

(C) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,केवल समान विमाओं वाली भौतिक राशियों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है।
यह दिया गया है कि $A, B$ और $C$ के विमीय सूत्र अलग-अलग हैं,इसलिए $(A-C)$ और $(AC-B)$ जैसे व्यंजक भौतिक रूप से अर्थहीन हैं क्योंकि इनमें अलग-अलग विमाओं वाली राशियों की घटाव की गई है।
प्रश्न के अनुसार,विकल्प $(C)$ में $(A-C)$ पद विमीय रूप से अमान्य है। इसी प्रकार विकल्प $(D)$ में $(AC-B)$ भी अमान्य है। सामान्यतः ऐसे प्रश्नों में,$\frac{A-C}{B}$ को अमान्य माना जाता है क्योंकि अंश $(A-C)$ परिभाषित नहीं है।

(A) मूल छड़ की लंबाई $43.4 \ m$ है (जिसमें $3$ सार्थक अंक हैं और यह दशमलव के पहले स्थान तक सटीक है)।
काटे गए टुकड़े की लंबाई $3.532 \ m$ है (जिसमें $4$ सार्थक अंक हैं और यह दशमलव के तीसरे स्थान तक सटीक है)।
घटाते समय,परिणाम को उतने ही दशमलव स्थानों तक रिपोर्ट किया जाना चाहिए जितने उस माप में हैं जिसमें सबसे कम दशमलव स्थान हैं।
शेष लंबाई $= 43.4 \ m - 3.532 \ m = 39.868 \ m$.
चूंकि $43.4$ में केवल एक दशमलव स्थान है,इसलिए हमें परिणाम को एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित (round off) करना होगा।
$39.868$ को एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर $39.9 \ m$ प्राप्त होता है।

(D) चरण $1$: अवलोकनों का माध्य मान ज्ञात करें।
माध्य मान $\bar{x} = \frac{2.62 + 2.68 + 2.58 + 2.57 + 2.54 + 2.55}{6} = \frac{15.54}{6} = 2.59 \ mPa \cdot s$.
चरण $2$: प्रत्येक अवलोकन के लिए निरपेक्ष त्रुटि $|\Delta x_i| = |x_i - \bar{x}|$ ज्ञात करें।
$|\Delta x_1| = |2.62 - 2.59| = 0.03$
$|\Delta x_2| = |2.68 - 2.59| = 0.09$
$|\Delta x_3| = |2.58 - 2.59| = 0.01$
$|\Delta x_4| = |2.57 - 2.59| = 0.02$
$|\Delta x_5| = |2.54 - 2.59| = 0.05$
$|\Delta x_6| = |2.55 - 2.59| = 0.04$
चरण $3$: माध्य निरपेक्ष त्रुटि ज्ञात करें।
माध्य निरपेक्ष त्रुटि $\Delta \bar{x} = \frac{0.03 + 0.09 + 0.01 + 0.02 + 0.05 + 0.04}{6} = \frac{0.24}{6} = 0.04 \ mPa \cdot s$.

(C) दाब $P$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल $A$ पर कार्य करने वाले बल $F$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए $P = F/A$।
$s$ भुजा वाली वर्गाकार प्लेट के लिए,क्षेत्रफल $A = s^2$ होता है।
अतः,$P = F/s^2$।
दाब में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta F}{F} + 2 \frac{\Delta s}{s}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है,$\frac{\Delta F}{F} \times 100 = 3 \%$ और $\frac{\Delta s}{s} \times 100 = 1 \%$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,दाब में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 3 \% + 2(1 \%) = 3 \% + 2 \% = 5 \%$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) भौतिकी को मोटे तौर पर दो डोमेन में विभाजित किया गया है: स्थूलदर्शीय (Macroscopic) और सूक्ष्मदर्शीय (Microscopic)।
$1$. स्थूलदर्शीय डोमेन में प्रयोगशाला,स्थलीय और खगोलीय स्तर की घटनाएं शामिल हैं।
$2$. सूक्ष्मदर्शीय डोमेन परमाणुओं और नाभिकों के सूक्ष्म स्तर पर पदार्थ के गठन और संरचना,तथा इलेक्ट्रॉनों,फोटॉनों और अन्य प्राथमिक कणों के साथ उनकी परस्पर क्रिया से संबंधित है।
अतः,सही उत्तर सूक्ष्मदर्शीय डोमेन है।

(D) सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार:
$1$. सभी गैर-शून्य अंक सार्थक होते हैं।
$2$. दशमलव बिंदु के बिना किसी संख्या में अंत में आने वाले शून्य आमतौर पर सार्थक नहीं माने जाते हैं,जब तक कि माप की सटीकता द्वारा निर्दिष्ट न किया गया हो।
संख्या $830600$ में,अंक $8, 3, 0, 6$ सार्थक हैं।
अंतिम दो शून्य सार्थक नहीं हैं क्योंकि इसमें कोई दशमलव बिंदु नहीं है।
इसलिए,सार्थक अंक $8, 3, 0, 6$ हैं,जो कुल $4$ सार्थक अंक प्रदान करते हैं।

(C) अनुप्रस्थ तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(kx + \omega t)$ है।
दिए गए समीकरण $y = 3 \sin(4x + 200t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
तरंग संख्या $k = 4 \ m^{-1}$
कोणीय आवृत्ति $\omega = 200 \ rad \ s^{-1}$
तरंग की चाल $v = \frac{\omega}{k} = \frac{200}{4} = 50 \ m/s$ है।
तनी हुई डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की चाल $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा भी दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$v^2 = \frac{T}{\mu}$,जिसका अर्थ है $\mu = \frac{T}{v^2}$।
दिए गए मान $T = 500 \ N$ और $v = 50 \ m/s$ रखने पर:
$\mu = \frac{500}{(50)^2} = \frac{500}{2500} = \frac{1}{5} = 0.2 \ kg \ m^{-1}$।
अतः,डोरी का रैखिक घनत्व $0.2 \ kg \ m^{-1}$ है।

(A) दिया गया विद्युत क्षेत्र $E_z = 60 \sin(0.5 \times 10^3 x + 1.5 \times 10^{11} t) \ Vm^{-1}$ है।
इसे मानक समीकरण $E_z = E_0 \sin(kx + \omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $E_0 = 60 \ Vm^{-1}$ प्राप्त होता है।
चुंबकीय क्षेत्र का आयाम $B_0$,$B_0 = \frac{E_0}{c}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \ ms^{-1}$ प्रकाश की गति है।
$B_0 = \frac{60}{3 \times 10^8} = 20 \times 10^{-8} = 2 \times 10^{-7} \ T$.
चूंकि तरंग ऋणात्मक $x$-दिशा में संचरित होती है (जो $+kx$ पद द्वारा इंगित है) और विद्युत क्षेत्र $z$-दिशा में है,इसलिए संचरण की दिशा $\vec{E} \times \vec{B} \propto \vec{v}$ को संतुष्ट करने के लिए चुंबकीय क्षेत्र को $y$-दिशा में होना चाहिए।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र $B_y = 2 \times 10^{-7} \sin(0.5 \times 10^3 x + 1.5 \times 10^{11} t) \ T$ होगा।

(A) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉनों द्वारा उत्पन्न $X$-किरणों की न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{min})$ डुआन-हंट नियम द्वारा दी जाती है: $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$.
यहाँ $V = 20 \ kV = 20 \times 10^3 \ V$ दिया गया है।
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,और $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ के मानों का उपयोग करने पर:
$\lambda_{min} = \frac{12400 \ Å \cdot V}{V \text{ (वोल्ट में)}}$.
$\lambda_{min} = \frac{12400}{20000} \ Å = 0.62 \ Å = 0.062 \ nm$.

(D) दो प्रोटॉन के बीच स्थिर विद्युत बल $F_e = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दो प्रोटॉन के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = G \frac{m_p^2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
इन बलों का अनुपात $\frac{F_e}{F_g} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{G m_p^2}$ है।
मान रखने पर: $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$m_p = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$,$G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \cdot m^2/kg^2$,और $\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$.
$\frac{F_e}{F_g} = \frac{(9 \times 10^9) \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{(6.67 \times 10^{-11}) \times (1.67 \times 10^{-27})^2} \approx 1.24 \times 10^{36}$.
इसे $10^n$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n \approx 36$ प्राप्त होता है।

(B) दो बिंदु आवेशों के बीच का बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$.
मान लीजिए कि आवेश $q_0 = 2 \mu C$ ($x=0$ पर),$q_1 = Q$ ($x=1 \ cm$ पर),$q_2 = 4 \mu C$ ($x=2 \ cm$ पर),और $q_3 = 12 \mu C$ ($x=4 \ cm$ पर) हैं।
मूल बिंदु पर स्थित आवेश $(q_0)$ पर कार्य करने वाला कुल बल $q_1, q_2$ और $q_3$ द्वारा लगाए गए बलों का योग है।
$F_{net} = k q_0 \left( \frac{Q}{(1 \times 10^{-2})^2} + \frac{4 \times 10^{-6}}{(2 \times 10^{-2})^2} + \frac{12 \times 10^{-6}}{(4 \times 10^{-2})^2} \right) = 0$.
चूंकि $k q_0 \neq 0$,हमें प्राप्त होता है: $\frac{Q}{10^{-4}} + \frac{4 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-4}} + \frac{12 \times 10^{-6}}{16 \times 10^{-4}} = 0$.
$10^4 Q + 10^{-2} + 0.75 \times 10^{-2} = 0$.
$10^4 Q + 1.75 \times 10^{-2} = 0$.
$Q = -1.75 \times 10^{-6} \ C = -1.75 \mu C$.

(C) माना कि दो आवेशों के बीच की दूरी $d$ है। हवा में बल $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d^2}$ है।
जब $t = 0.3d$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाला माध्यम रखा जाता है,तो प्रभावी दूरी $d_{eff} = (d - t) + t\sqrt{K} = (0.7d) + 0.3d\sqrt{K} = d(0.7 + 0.3\sqrt{K})$ हो जाती है।
नया बल $F' = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d_{eff}^2} = \frac{F}{2.56}$ है।
अतः,$d_{eff}^2 = 2.56 d^2$,जिसका अर्थ है $d_{eff} = 1.6d$.
समीकरणों की तुलना करने पर: $0.7 + 0.3\sqrt{K} = 1.6$.
$0.3\sqrt{K} = 0.9$.
$\sqrt{K} = 3$.
$K = 9$.

(B) विद्युत क्षेत्र $E$ में आवेश $q$ पर लगने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,$q = -e$,इसलिए बल $F_e = -eE$ है। त्वरण $a_e = \frac{-eE}{m}$ है।
पॉज़िट्रॉन के लिए,$q = +e$,इसलिए बल $F_p = +eE$ है। त्वरण $a_p = \frac{eE}{m}$ है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,और चूंकि क्षेत्र की दिशा में प्रारंभिक वेग शून्य है $(u = 0)$:
क्षेत्र की दिशा में इलेक्ट्रॉन का विस्थापन: $y_e = \frac{1}{2} a_e t^2 = -\frac{eE t^2}{2m}$।
क्षेत्र की दिशा में पॉज़िट्रॉन का विस्थापन: $y_p = \frac{1}{2} a_p t^2 = \frac{eE t^2}{2m}$।
क्षेत्र की दिशा में उनके बीच की दूरी $d = |y_p - y_e| = |\frac{eE t^2}{2m} - (-\frac{eE t^2}{2m})| = \frac{eE t^2}{m}$ है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \ mg = 10 \times 10^{-6} \ kg = 10^{-5} \ kg$,आवेश $q = 2 \ \mu C = 2 \times 10^{-6} \ C$,विभवांतर $V = 160 \ V$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य कण की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K$
$qV = \frac{1}{2}mv^2 - 0$
$v^2 = \frac{2qV}{m}$
$v^2 = \frac{2 \times (2 \times 10^{-6} \ C) \times 160 \ V}{10^{-5} \ kg}$
$v^2 = \frac{640 \times 10^{-6}}{10^{-5}} = 640 \times 10^{-1} = 64$
$v = \sqrt{64} = 8 \ ms^{-1}$.

(C) एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में $q$ आवेश और $m$ द्रव्यमान वाले कण का त्वरण $a = \frac{qE}{m}$ द्वारा दिया जाता है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,चूंकि कण विरामावस्था से शुरू होते हैं $(u = 0)$,हमें $s = \frac{1}{2}at^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$t = \sqrt{\frac{2s}{a}} = \sqrt{\frac{2sm}{qE}}$.
समान विस्थापन $s$ के लिए,समय $t$,$\sqrt{\frac{m}{q}}$ के समानुपाती होता है।
मान लीजिए $m_p$ और $q_p$ प्रोटॉन का द्रव्यमान और आवेश हैं,और $m_\alpha$ और $q_\alpha$ अल्फा कण का द्रव्यमान और आवेश हैं।
हम जानते हैं कि $m_\alpha = 4m_p$ और $q_\alpha = 2q_p$.
समय का अनुपात $\frac{t_p}{t_\alpha} = \sqrt{\frac{m_p}{q_p} \cdot \frac{q_\alpha}{m_\alpha}} = \sqrt{\frac{m_p}{q_p} \cdot \frac{2q_p}{4m_p}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(D) अनंत लंबाई के सीधे तार से $x$ त्रिज्यीय दूरी पर रेखीय आवेश घनत्व $\lambda$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र है: $E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 x}$.
दिया गया है: $\lambda = 2.5 \times 10^{-7} \ Cm^{-1}$,$E = 7.5 \times 10^4 \ NC^{-1}$,और $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ Nm^2C^{-2}$.
$x$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $x = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 E} = \frac{2 \lambda}{4 \pi \epsilon_0 E}$.
मान रखने पर: $x = \frac{2 \times (2.5 \times 10^{-7}) \times (9 \times 10^9)}{7.5 \times 10^4}$.
$x = \frac{5 \times 10^{-7} \times 9 \times 10^9}{7.5 \times 10^4} = \frac{45 \times 10^2}{7.5 \times 10^4} = \frac{45}{7.5} \times 10^{-2} \ m$.
$x = 6 \times 10^{-2} \ m = 6 \ cm$.

(A) गोलीय कोश पर कुल आवेश $Q = \text{पृष्ठ क्षेत्रफल} \times \text{पृष्ठ आवेश घनत्व} = (4 \pi R^2) \sigma$ द्वारा दिया जाता है।
गॉस के नियम के अनुसार,$Q$ आवेश को घेरने वाली किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{\text{total}} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ होता है।
$Q$ का मान रखने पर,हमें $\phi_{\text{total}} = \frac{4 \pi R^2 \sigma}{\varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।
चूंकि घन एक सममित बंद सतह है और गोलीय कोश इसके केंद्र में रखा गया है,इसलिए कुल फ्लक्स घन के $6$ फलकों के बीच समान रूप से वितरित होता है।
अतः,घन के एक फलक से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi_{\text{face}} = \frac{\phi_{\text{total}}}{6} = \frac{4 \pi R^2 \sigma}{6 \varepsilon_0} = \frac{2 \pi R^2 \sigma}{3 \varepsilon_0}$ होगा।

(C) बिंदु $B$ से बिंदु $C$ तक एक आवेश $q$ को ले जाने में किया गया कार्य $W = q(V_C - V_B)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V_C$ और $V_B$ क्रमशः बिंदु $C$ और $B$ पर विद्युत विभव हैं।
किसी भी बिंदु पर विभव तीन आवेशों के कारण विभव का योग है: एक $O$ पर $(q)$,एक $A$ पर $(q)$,और एक $B$ पर $(q)$।
बिंदु $B$ पर विभव $(V_B)$: $O$ से $B$ की दूरी $R$ है,$A$ से $B$ की दूरी $2R$ है,और $B$ पर स्थित आवेश वह है जिसे स्थानांतरित किया जा रहा है,इसलिए हम अन्य दो आवेशों के कारण विभव पर विचार करते हैं: $V_B = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{q}{R} + \frac{q}{2R} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{3q}{2R}$.
बिंदु $C$ पर विभव $(V_C)$: $O$ से $C$ की दूरी $R$ है,$A$ से $C$ की दूरी $\sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$ है,और $B$ से $C$ की दूरी $R\sqrt{2}$ है। $C$ पर स्थित आवेश वह है जिसे स्थानांतरित किया जा रहा है,इसलिए हम अन्य दो आवेशों के कारण विभव पर विचार करते हैं: $V_C = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{q}{R} + \frac{q}{R\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{R} \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$.
किया गया कार्य $W = q(V_C - V_B) = q \cdot \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \frac{q}{R} (1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) - \frac{3q}{2R} \right] = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_{0} R} \left[ 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} - 1.5 \right] = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_{0} R} \left[ \frac{\sqrt{2}}{2} - 0.5 \right] = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_{0} R} \left( \frac{\sqrt{2}-1}{2} \right)$.

(D) माना $n = 729$ छोटे गोलों की संख्या है,जिनकी त्रिज्या $r$ और विभव $V_s = 3 \ V$ है।
छोटे गोले का विभव $V_s = \frac{k q}{r} = 3 \ V$ द्वारा दिया जाता है।
जब $n$ छोटे गोले मिलकर $R$ त्रिज्या का एक बड़ा गोला बनाते हैं,तो कुल आवेश $Q = nq$ होता है और आयतन संरक्षित रहता है।
बड़े गोले का आयतन = $n \times$ छोटे गोले का आयतन $\implies \frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
अतः,$R^3 = n r^3$,जिसका अर्थ है $R = n^{1/3} r$.
$n = 729$ के लिए,$R = (729)^{1/3} r = 9r$.
बड़े गोले का विभव $V_B = \frac{k Q}{R} = \frac{k (nq)}{n^{1/3} r} = n^{2/3} \times \frac{k q}{r} = n^{2/3} V_s$ होता है।
मान रखने पर: $V_B = (729)^{2/3} \times 3 \ V = (9^3)^{2/3} \times 3 \ V = 9^2 \times 3 \ V = 81 \times 3 \ V = 243 \ V$.

(B) बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी उन कणों के सांख्यिकीय व्यवहार का वर्णन करती है जिन्हें बोसॉन कहा जाता है।
बोसॉन वे कण होते हैं जिनका स्पिन पूर्णांक होता है,अर्थात स्पिन $s = 0, 1, 2, \dots$।
ये कण पाउली के अपवर्जन सिद्धांत का पालन नहीं करते हैं,जिसका अर्थ है कि कई कण एक ही क्वांटम अवस्था में रह सकते हैं।
इसके विपरीत,फर्मी-डिराक सांख्यिकी फर्मिऑन पर लागू होती है,जिनका स्पिन अर्ध-विषम पूर्णांक $(s = 1/2, 3/2, 5/2, \dots)$ होता है और वे पाउली के अपवर्जन सिद्धांत का पालन करते हैं।
इसलिए,बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी पूर्णांक स्पिन वाले कणों पर लागू होती है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में स्थित धारावाही कुंडली पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\tau = N I A B \sin(\theta)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ कुंडली के तल के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र की दिशा के बीच का कोण है।
दिया गया है: भुजा की लंबाई $a = 10 \ cm = 0.1 \ m$,क्षेत्रफल $A = a^2 = (0.1)^2 = 0.01 \ m^2$,फेरों की संख्या $N = 200$,चुंबकीय क्षेत्र $B = 2 \ T$,धारा $I = 3 \ mA = 3 \times 10^{-3} \ A$.
कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर है,जिसका अर्थ है कि कुंडली के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 90^\circ$ है।
अतः,$\sin(90^\circ) = 1$.
मान रखने पर: $\tau = 200 \times (3 \times 10^{-3}) \times 0.01 \times 2 \times 1$.
$\tau = 200 \times 3 \times 10^{-3} \times 10^{-2} \times 2 = 1200 \times 10^{-5} = 12 \times 10^{-3} \ Nm$.

(D) तार की कुल लंबाई $L = 30 \sqrt{3} \text{ cm} = 0.3 \sqrt{3} \text{ m}$ है।
चूंकि यह एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए प्रत्येक भुजा की लंबाई $l = L / 3 = 0.1 \sqrt{3} \text{ m}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ भुजा $BC$ के समानांतर है। भुजा $AC$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का कोण $60^\circ$ है (क्योंकि त्रिभुज समबाहु है)।
धारावाही चालक पर लगने वाला बल $\vec{F} = I(\vec{l} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए इसका परिमाण $F = I l B \sin \theta$ होता है।
यहाँ,$I = 2 \text{ A}$,$l = 0.1 \sqrt{3} \text{ m}$,$B = 2 \text{ T}$,और $\theta = 60^\circ$ है।
$F = 2 \times (0.1 \sqrt{3}) \times 2 \times \sin(60^\circ) = 0.4 \sqrt{3} \times (\sqrt{3} / 2) = 0.2 \times 3 = 0.6 \text{ N}$.

(D) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -\vec{M} \cdot \vec{B} = -MB \cos \theta$ द्वारा दी जाती है।
सबसे स्थिर स्थिति $\theta_1 = 0^\circ$ पर होती है,जहाँ $U_1 = -MB \cos(0^\circ) = -MB$ है।
सबसे अस्थिर स्थिति $\theta_2 = 180^\circ$ पर होती है,जहाँ $U_2 = -MB \cos(180^\circ) = MB$ है।
किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है: $W = U_2 - U_1 = MB - (-MB) = 2MB$।
यहाँ $M = 2.5 \text{ Am}^2$ और $B = 4 \times 10^{-5} \text{ T}$ दिया गया है।
$W = 2 \times 2.5 \times 4 \times 10^{-5} \text{ J} = 20 \times 10^{-5} \text{ J}$।

(C) एक आदर्श परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
दिया गया है: लंबाई $L = 0.5 \ m$,त्रिज्या $R = 0.1 \ m$,धारा $I = 2.5 \ A$.
कुल फेरे $N = 2 \times 100 = 200$.
प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n = N / L = 200 / 0.5 = 400 \ turns/m$.
चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I = (4 \pi \times 10^{-7}) \times 400 \times 2.5$.
$B = (4 \pi \times 10^{-7}) \times 1000 = 4 \pi \times 10^{-4} \ T$.
चूंकि बिंदु अक्ष से $5 \ cm$ की दूरी पर है,यह परिनालिका के अंदर स्थित है (क्योंकि $5 \ cm < 10 \ cm$ है)।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र $4 \pi \times 10^{-4} \ T$ है।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक तार की लंबाई $L$ है और उनमें प्रवाहित धारा $I$ है।
$N$ फेरों और $R$ त्रिज्या वाली कुंडली के लिए, तार की लंबाई $L = N(2\pi R)$ होती है, इसलिए $R = L / (2\pi N)$।
वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
$R$ का मान रखने पर, हमें $B = \frac{\mu_0 N I}{2(L / 2\pi N)} = \frac{\mu_0 \pi N^2 I}{L}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\mu_0$, $\pi$, $I$, और $L$ दोनों कुंडलियों के लिए स्थिर हैं, इसलिए $B \propto N^2$ होगा।
कुंडली $A$ के लिए, $N_A = 2$, इसलिए $B_A \propto (2)^2 = 4$।
कुंडली $B$ के लिए, $N_B = 3$, इसलिए $B_B \propto (3)^2 = 9$।
अतः, चुंबकीय क्षेत्रों का अनुपात $B_A / B_B = 4 / 9$ है।

(D) धारा एक कोने पर प्रवेश करती है और वर्गाकार लूप के निकटतम कोने से बाहर निकलती है।
यह लूप को दो समानांतर पथों में विभाजित करता है: एक पथ में वर्ग की एक भुजा (लंबाई $l = 5 \ cm$) होती है,और दूसरे पथ में वर्ग की तीन भुजाएँ (लंबाई $3l = 15 \ cm$) होती हैं।
चूंकि तार एक समान है,पथों का प्रतिरोध उनकी लंबाई के समानुपाती होता है। मान लीजिए एक भुजा का प्रतिरोध $R$ है। तो पहले पथ का प्रतिरोध $R_1 = R$ और दूसरे पथ का प्रतिरोध $R_2 = 3R$ होगा।
धारा $I = 4 \ A$,$I_1$ और $I_2$ में इस प्रकार विभाजित होती है कि $I_1 R_1 = I_2 R_2$,जिसका अर्थ है $I_1 R = I_2 (3R)$,इसलिए $I_1 = 3I_2$।
चूंकि $I_1 + I_2 = 4 \ A$,हमें $4I_2 = 4 \ A$ प्राप्त होता है,इसलिए $I_2 = 1 \ A$ और $I_1 = 3 \ A$।
$I$ धारा ले जाने वाले $L$ लंबाई के सीधे तार के टुकड़े के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र,जो लंबवत दूरी $a$ पर है,$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ है।
$a = 5 \ cm = 0.05 \ m$ भुजा वाले वर्ग के लिए,केंद्र से प्रत्येक भुजा की दूरी $d = a/2 = 2.5 \ cm = 0.025 \ m$ है।
प्रत्येक भुजा के लिए,$\theta_1 = \theta_2 = 45^\circ$,इसलिए $\sin 45^\circ + \sin 45^\circ = \sqrt{2}$।
$I$ धारा ले जाने वाली एक भुजा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (a/2)} (\sqrt{2}) = \frac{\mu_0 I \sqrt{2}}{2 \pi a}$ है।
$I_1 = 3 \ A$ (एक भुजा) वाले पथ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 (3) \sqrt{2}}{2 \pi (0.05)}$ है।
$I_2 = 1 \ A$ (तीन भुजाएँ) वाले पथ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = 3 \times \frac{\mu_0 (1) \sqrt{2}}{2 \pi (0.05)}$ है।
चूंकि धाराएँ केंद्र के चारों ओर विपरीत दिशाओं में बहती हैं,इसलिए क्षेत्र $B_1$ और $B_2$ विपरीत दिशाओं में हैं।
इस प्रकार,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = |B_1 - B_2| = |\frac{3 \mu_0 \sqrt{2}}{2 \pi (0.05)} - \frac{3 \mu_0 \sqrt{2}}{2 \pi (0.05)}| = 0$ है।

(B) $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली की अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ है।
यहाँ व्यास $d = 2R$ दिया गया है,इसलिए त्रिज्या $R = d/2$ है।
दूरी $x = \sqrt{2} d = 2\sqrt{2} R$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + (2\sqrt{2} R)^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + 8R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(9R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(27 R^3)} = \frac{\mu_0 I}{54 R}$.
कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{centre} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ होता है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$B_{centre} = \frac{\mu_0 I}{2R} = 27 \times \left( \frac{\mu_0 I}{54 R} \right) = 27 B$.

(C) दूरी पर एक छोटे छड़ चुंबक की अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{axis} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3} = B$ द्वारा दिया जाता है।
दूसरे चुंबक के लिए,बिंदु $P$ उसकी निरक्षीय रेखा पर स्थित है क्योंकि अक्षें लंबवत हैं। $2M$ चुंबकीय आघूर्ण वाले छोटे छड़ चुंबक की निरक्षीय रेखा पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{equatorial} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M'}{d^3} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3} = B$ होता है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{res} = \sqrt{B_{axis}^2 + B_{equatorial}^2} = \sqrt{B^2 + B^2} = \sqrt{2} B$ होगा।

(A) परिनालिका के अंदर चुंबकीय तीव्रता $H$ का सूत्र $H = nI$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ परिनालिका से प्रवाहित होने वाली धारा है।
दिया गया है:
प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या,$n = 1000 \ turns/m = 10^3 \ m^{-1}$.
धारा,$I = 2 \ A$.
सापेक्ष पारगम्यता,$\mu_r = 400$ (नोट: चुंबकीय तीव्रता $H$ क्रोड सामग्री से स्वतंत्र होती है)।
मान रखने पर:
$H = 10^3 \ m^{-1} \times 2 \ A = 2000 \ Am^{-1} = 2 \times 10^3 \ Am^{-1}$.
अतः,परिनालिका के अंदर चुंबकीय तीव्रता $2 \times 10^3 \ Am^{-1}$ है।

(C) एक लंबे सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि $I_1 = 8 \ A$ वाला तार $x = 0$ पर है और $I_2 = 10 \ A$ वाला तार $x = 9 \ cm$ पर है।
बिंदु $x = 4 \ cm$ पर स्थित है।
पहले तार के लिए $(I_1 = 8 \ A)$: $r_1 = 4 \ cm = 0.04 \ m$. चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 \times 8}{2 \pi \times 0.04} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 8}{0.04} = 4 \times 10^{-5} \ T$.
दूसरे तार के लिए $(I_2 = 10 \ A)$: $r_2 = 9 \ cm - 4 \ cm = 5 \ cm = 0.05 \ m$. चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 \times 10}{2 \pi \times 0.05} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 10}{0.05} = 4 \times 10^{-5} \ T$.
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,दाएं हाथ के नियम के अनुसार,तारों के बीच के बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में होंगे।
इसलिए,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 + B_2 = 4 \times 10^{-5} \ T + 4 \times 10^{-5} \ T = 8 \times 10^{-5} \ T$.

(D) एक वृत्ताकार कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $M$ सूत्र $M = NIA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$I$ धारा है,और $A$ कुंडली का क्षेत्रफल है।
चूंकि कुंडली वृत्ताकार है,क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,जहाँ $r$ कुंडली की त्रिज्या है।
अतः,$M = NI(\pi r^2)$.
कुंडली $A$ के लिए: $N_A = 300$,$M_A = M_1$,$r_A = r_1$.
कुंडली $B$ के लिए: $N_B = 200$,$M_B = M_2$,$r_B = r_2$.
हमें $M_A / M_B = 1/2$ और $I_A = I_B = I$ दिया गया है।
चुंबकीय आघूर्णों का अनुपात लेने पर:
$\frac{M_A}{M_B} = \frac{N_A I_A \pi r_A^2}{N_B I_B \pi r_B^2} = \frac{N_A}{N_B} \cdot \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^2$.
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} = \frac{300}{200} \cdot \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^2$.
$\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^2$.
$\left(\frac{r_A}{r_B}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
इसलिए,$\frac{r_A}{r_B} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति कर रहे आवेशित कण का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = \frac{2\pi m}{qB}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $q$ कण का आवेश है।
प्रोटॉन के लिए,$m_p = m$ और $q_p = e$ है। अतः,$T_p = \frac{2\pi m}{eB}$ है।
अल्फा कण के लिए,$m_{\alpha} = 4m$ और $q_{\alpha} = 2e$ है। अतः,$T_{\alpha} = \frac{2\pi (4m)}{(2e)B} = \frac{4\pi m}{eB}$ है।
प्रोटॉन द्वारा लिए गए समय और अल्फा कण द्वारा लिए गए समय का अनुपात $\frac{T_p}{T_{\alpha}} = \frac{2\pi m / eB}{4\pi m / eB} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,अनुपात $1: 2$ है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला बल लॉरेंट्ज़ बल सूत्र $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,वेग $\vec{v}$ पूर्व की ओर (मान लीजिए $+x$ दिशा) है और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर (मान लीजिए $+z$ दिशा) है।
बल की दिशा $\vec{v}$ और $\vec{B}$ के क्रॉस प्रोडक्ट द्वारा दी जाती है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,$\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ होता है।
अतः,बल दक्षिण दिशा ($-y$ दिशा) में कार्य करता है।
चूंकि बल हमेशा वेग के लंबवत होता है,इसलिए कण एक वृत्ताकार पथ पर गति करता है। चूंकि बल क्षैतिज है ($xy$-समतल में),कण एक क्षैतिज वृत्ताकार पथ पर गति करेगा।
इसके अलावा,चूंकि चुंबकीय बल आवेशित कण पर कोई कार्य नहीं करता है,इसलिए इसकी गति स्थिर रहती है।

(B) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति करने वाले आवेशित कण की त्रिज्या $r$ का सूत्र है: $r = \frac{mv}{qB}$।
$B$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $B = \frac{mv}{qr}$।
दिए गए मान:
$m = 1.66 \times 10^{-27} \ kg$
$v = 8 \times 10^5 \ m/s$
$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$r = 8.3 \ cm = 8.3 \times 10^{-2} \ m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{(1.66 \times 10^{-27}) \times (8 \times 10^5)}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (8.3 \times 10^{-2})}$
$B = \frac{13.28 \times 10^{-22}}{13.28 \times 10^{-21}}$
$B = 0.1 \ T = 100 \ mT$।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $100 \ mT$ है।

(C) पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $B_H = B \cos \delta$ और ऊर्ध्वाधर घटक $B_V = B \sin \delta$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $B$ कुल चुंबकीय क्षेत्र है और $\delta$ नमन कोण है।
यहाँ नमन कोण $\delta = 60^{\circ}$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $B_V = B \sin 60^{\circ} = B \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः, कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{2 B_V}{\sqrt{3}}$.
वैकल्पिक रूप से, $B = \sqrt{B_H^2 + B_V^2}$ संबंध का उपयोग करते हुए, चूँकि $\tan \delta = \frac{B_V}{B_H} = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$, इसलिए $B_V = \sqrt{3} B_H$.
इस मान को $B$ के व्यंजक में रखने पर, हमें $B = \frac{2 B_V}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है, जो विकल्प $C$ से मेल खाता है।

(A) मान लीजिए कि $B$ पृथ्वी का कुल चुंबकीय क्षेत्र है,$B_H$ क्षैतिज घटक है,और $B_V$ ऊर्ध्वाधर घटक है।
दिया गया है कि कुल चुंबकीय क्षेत्र उसके ऊर्ध्वाधर घटक का दोगुना है,इसलिए $B = 2 B_V$ है।
हम जानते हैं कि ऊर्ध्वाधर घटक $B_V = B \sin \delta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\delta$ नमन कोण (angle of dip) है।
दिए गए समीकरण में $B_V$ का मान रखने पर: $B = 2 (B \sin \delta) \implies \sin \delta = 1/2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि नमन कोण $\delta = 30^\circ$ है।
क्षैतिज घटक $B_H = B \cos \delta$ द्वारा दिया जाता है।
हमें क्षैतिज घटक और कुल चुंबकीय क्षेत्र का अनुपात ज्ञात करना है,जो $B_H / B = \cos \delta$ है।
चूँकि $\delta = 30^\circ$ है,इसलिए $B_H / B = \cos 30^\circ = \sqrt{3}/2$ होगा।

(A) सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r$ और चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi_m$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\mu_r = 1 + \chi_m$.
दिया गया है कि चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi_m = 0.6$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\mu_r = 1 + 0.6 = 1.6$.
हम जानते हैं कि सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r$,पदार्थ की पारगम्यता $\mu$ और मुक्त स्थान की पारगम्यता $\mu_0$ का अनुपात है,अर्थात $\mu_r = \frac{\mu}{\mu_0}$.
इसलिए,$\frac{\mu}{\mu_0} = 1.6$.
$1.6$ को भिन्न में बदलने पर: $1.6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$.
अतः,पदार्थ की पारगम्यता और मुक्त स्थान की पारगम्यता का अनुपात $8:5$ है।

(B) ${ }_{92}^{235} U$ के विखंडन में उत्पन्न न्यूट्रॉन तीव्रगामी न्यूट्रॉन होते हैं।
इन न्यूट्रॉनों में गतिज ऊर्जा का वितरण होता है,लेकिन उनकी औसत ऊर्जा लगभग $2 \,MeV$ होती है।
हम जानते हैं कि $1 \,eV = 1.6 \times 10^{-19} \,J$ होता है।
अतः,$2 \,MeV = 2 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \,J$।
$2 \,MeV = 3.2 \times 10^{-13} \,J$।
इसे $320 \times 10^{-15} \,J$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) शक्ति $P = 64 \text{ kW} = 64 \times 10^3 \text{ W} = 64 \times 10^3 \text{ J/s}$ है।
एक घंटे $(t = 3600 \text{ s})$ में उत्पन्न कुल ऊर्जा $E = P \times t = 64 \times 10^3 \times 3600 \text{ J} = 2304 \times 10^5 \text{ J} = 2.304 \times 10^8 \text{ J}$ है।
नाभिकों की संख्या $N = 7.2 \times 10^{18}$ है।
प्रति विखंडन मुक्त ऊर्जा $\epsilon = E / N = (2.304 \times 10^8) / (7.2 \times 10^{18}) \text{ J}$ है।
$\epsilon = 0.32 \times 10^{-10} \text{ J}$।

(A) माना जनक नाभिक की द्रव्यमान संख्या $A = 208$ है। अल्फा कण का द्रव्यमान $m_{\alpha} \approx 4$ परमाणु द्रव्यमान इकाई है।
दो अल्फा कण उत्सर्जित होते हैं,प्रत्येक की गतिज ऊर्जा $E$ है। अल्फा कणों की कुल गतिज ऊर्जा $K_{\alpha} = 2E$ है।
प्रत्येक अल्फा कण का संवेग $p_{\alpha} = \sqrt{2 m_{\alpha} E}$ है।
चूंकि जनक नाभिक स्थिर है,कुल संवेग शून्य होना चाहिए: $\vec{p}_{d} + \vec{p}_{\alpha 1} + \vec{p}_{\alpha 2} = 0$,जहाँ $\vec{p}_{d}$ संतति नाभिक का संवेग है।
संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,कुल गतिज ऊर्जा $K_{total} = 2E(1 + \frac{m_{\alpha}}{M_{d}})$ होती है।
यहाँ $M_{d} = 200$ है,इसलिए $K_{total} = 2E(1 + \frac{4}{200}) = 2E(1 + \frac{1}{50}) = 2E(\frac{51}{50}) = \frac{51E}{25}$।

(D) $\text{दुर्बल नाभिकीय बल प्रकृति के चार मूलभूत बलों में से एक है।}$
$\text{यह नाभिक में बीटा क्षय जैसी प्रक्रियाओं के लिए जिम्मेदार है।}$
$\text{प्रबल नाभिकीय बल, जिसकी परास लगभग } 10^{-15} \,m \text{ होती है, के विपरीत दुर्बल नाभिकीय बल की परास अत्यंत कम होती है।}$
$\text{दुर्बल नाभिकीय बल की परास लगभग } 10^{-16} \,m \text{ से } 10^{-18} \,m \text{ तक होती है।}$
$\text{अतः, दिए गए विकल्पों में से सही कोटि } 10^{-16} \,m \text{ है।}$

(B) नाभिक की त्रिज्या $R$ और उसकी द्रव्यमान संख्या $A$ के बीच संबंध $R = R_0 A^{1/3}$ है, जहाँ $R_0$ एक स्थिरांक है।
गोलाकार नाभिक का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi R^2$ द्वारा दिया जाता है।
$R$ का मान रखने पर, $S = 4 \pi (R_0 A^{1/3})^2 = 4 \pi R_0^2 A^{2/3}$ प्राप्त होता है।
अतः, पृष्ठीय क्षेत्रफल $A^{2/3}$ के समानुपाती है, यानी $S \propto A^{2/3}$।
द्रव्यमान संख्याओं का दिया गया अनुपात $A_1 : A_2 = 27 : 125$ है, इसलिए उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $S_1 : S_2 = (A_1 / A_2)^{2/3}$ होगा।
मान रखने पर: $S_1 / S_2 = (27 / 125)^{2/3} = ((3^3) / (5^3))^{2/3} = (3/5)^2 = 9/25$।
अतः, उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $9 : 25$ है।

(D) क्षय के बाद शेष बचे रेडियोधर्मी पदार्थ की मात्रा $N = N_0 - 0.96875 N_0 = 0.03125 N_0$ है।
हम जानते हैं कि $N = N_0 (1/2)^n$,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
$0.03125 N_0 = N_0 (1/2)^n$
$0.03125 = (1/2)^n$
चूंकि $0.03125 = 1/32 = (1/2)^5$,इसलिए $n = 5$ है।
कुल समय $t$,अर्ध-आयु की संख्या $n$ और अर्ध-आयु $T_{1/2}$ से $t = n \times T_{1/2}$ द्वारा संबंधित है।
दिया गया है कि $t = 10 \text{ दिन}$ और $n = 5$,इसलिए $10 = 5 \times T_{1/2}$।
अतः,$T_{1/2} = 10 / 5 = 2 \text{ दिन}$।

(B) $\beta^{-}$ क्षय में,नाभिक के अंदर एक न्यूट्रॉन एक प्रोटॉन,एक इलेक्ट्रॉन ($\beta^{-}$ कण),और एक एंटी-न्यूट्रिनो $(\bar{\nu}_{e})$ में क्षयित होता है।
समीकरण इस प्रकार है: $n \rightarrow p + e^{-} + \bar{\nu}_{e}$।
यहाँ,कण '$x$' एंटी-न्यूट्रिनो को दर्शाता है।
यह प्रक्रिया लेप्टॉन संख्या के संरक्षण के नियम द्वारा शासित होती है,जहाँ इलेक्ट्रॉन की लेप्टॉन संख्या $+1$ होती है और एंटी-न्यूट्रिनो की लेप्टॉन संख्या $-1$ होती है,जिससे कुल लेप्टॉन संख्या $0$ बनी रहती है,जैसा कि न्यूट्रॉन के लिए थी।

(A) $t$ समय के बाद शेष नाभिकों की संख्या $N = N_0 (1/2)^n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = t / T_{1/2}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
पदार्थ $A$ के लिए: $T_{1/2, A} = 1.5 \ days$,$t = 9 \ days$। अर्ध-आयु की संख्या $n_A = 9 / 1.5 = 6$। शेष नाभिक $N_A = N_0 (1/2)^6 = N_0 / 64$।
पदार्थ $B$ के लिए: $T_{1/2, B} = 4.5 \ days$,$t = 9 \ days$। अर्ध-आयु की संख्या $n_B = 9 / 4.5 = 2$। शेष नाभिक $N_B = N_0 (1/2)^2 = N_0 / 4$।
अनुपात $N_A / N_B = (N_0 / 64) / (N_0 / 4) = 4 / 64 = 1 / 16$।
अतः,अनुपात $1: 16$ है।

(D) $t$ समय पर रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A = A_0 (1/2)^n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = t/T_{1/2}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है कि प्रारंभिक सक्रियता $A_0 = 32 A_{safe}$ है और हमें अंतिम सक्रियता $A = A_{safe}$ चाहिए।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $A_{safe} = 32 A_{safe} \times (1/2)^n$.
दोनों पक्षों को $A_{safe}$ से विभाजित करने पर,हमें $1 = 32 \times (1/2)^n$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $(1/2)^n = 1/32$ हो जाता है।
चूंकि $32 = 2^5$,इसलिए $(1/2)^n = (1/2)^5$,जिसका अर्थ है $n = 5$।
चूंकि $n = t/T_{1/2}$,इसलिए $5 = t / 2.5$ प्राप्त होता है।
अतः,$t = 5 \times 2.5 = 12.5 \text{ घंटे}$।

(D) दिया गया है कि पदार्थ $16 \text{ घंटे}$ में $10 \%$ क्षयित होता है,इसलिए $16 \text{ घंटे}$ बाद शेष मात्रा प्रारंभिक मात्रा का $90 \%$ या $0.9$ गुना है।
कुल समय $2 \text{ दिन} = 2 \times 24 \text{ घंटे} = 48 \text{ घंटे}$ है।
$48 \text{ घंटे}$ में $16 \text{ घंटे}$ के अंतरालों की संख्या $n = \frac{48}{16} = 3$ है।
$n$ अंतरालों के बाद शेष पदार्थ का अंश $N = N_0 \times (0.9)^n$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$N = N_0 \times (0.9)^3$.
$N = N_0 \times 0.729$.
अतः,शेष प्रतिशत $0.729 \times 100 = 72.9 \%$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(A) मान लीजिए कि नाभिक $P$ को $_{Z}^{A}P$ के रूप में दर्शाया गया है,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
एक अल्फा कण को $_{2}^{4}\alpha$ के रूप में और एक $\beta^{-}$ कण (इलेक्ट्रॉन) को $_{-1}^{0}e$ के रूप में दर्शाया जाता है।
क्षय प्रक्रिया है: $_{Z}^{A}P \rightarrow _{Z'}^{A'}Q + 1(_{2}^{4}\alpha) + 2(_{-1}^{0}e)$.
द्रव्यमान संख्या का संरक्षण: $A = A' + 4 + 2(0) \Rightarrow A' = A - 4$.
परमाणु क्रमांक का संरक्षण: $Z = Z' + 2 + 2(-1) \Rightarrow Z = Z' + 2 - 2 \Rightarrow Z = Z'$.
चूंकि परमाणु क्रमांक $Z$ समान रहता है $(Z = Z')$,नाभिक $P$ और $Q$ में प्रोटॉन की संख्या समान है।
समान परमाणु क्रमांक लेकिन अलग-अलग द्रव्यमान संख्या वाले नाभिकों को समस्थानिक (Isotopes) कहा जाता है।

(D) $t$ समय के बाद बचे हुए परमाणुओं की संख्या $N(t) = N_0 (1/2)^{t/T}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $T$ अर्ध-आयु है।
दिया गया है कि $6 \ days$ में $87.5 \%$ परमाणु क्षय हो जाते हैं, इसलिए शेष अंश $100 \% - 87.5 \% = 12.5 \% = 1/8$ है।
अतः, $1/8 = (1/2)^{6/T}$।
चूंकि $1/8 = (1/2)^3$, हमें $6/T = 3$ प्राप्त होता है, जिससे $T = 2 \ days$ मिलता है।
अब, हमें $8 \ days$ में क्षय होने वाले परमाणुओं का अंश ज्ञात करना है।
$8 \ days$ के बाद शेष अंश $N(8)/N_0 = (1/2)^{8/T} = (1/2)^{8/2} = (1/2)^4 = 1/16$ है।
क्षय होने वाले परमाणुओं का अंश $1 - (\text{शेष अंश}) = 1 - 1/16 = 15/16$ है।

(A) मान लीजिए कि उत्सर्जित $\alpha$-कणों की संख्या $n$ है और $\beta^{-}$-कणों की संख्या $m$ है।
$\alpha$-क्षय में,द्रव्यमान संख्या $4$ से घटती है और परमाणु क्रमांक $2$ से घटता है।
$\beta^{-}$-क्षय में,द्रव्यमान संख्या अपरिवर्तित रहती है और परमाणु क्रमांक $1$ से बढ़ता है।
द्रव्यमान संख्या में परिवर्तन: $232 - 208 = 4n + 0m = 24$.
अतः,$n = 24 / 4 = 6$.
परमाणु क्रमांक में परिवर्तन: $90 - 82 = 2n - m$.
$n = 6$ रखने पर: $8 = 2(6) - m$,जिससे $8 = 12 - m$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$m = 12 - 8 = 4$.
अतः,$6$ $\alpha$-कण और $4$ $\beta^{-}$-कण उत्सर्जित होते हैं।

(A) कैसेग्रेन टेलीस्कोप के लिए,प्राथमिक दर्पण $R_1 = 25 \ cm$ वक्रता त्रिज्या वाला एक अवतल दर्पण है,इसलिए इसकी फोकस दूरी $f_1 = R_1/2 = 12.5 \ cm$ है।
द्वितीयक दर्पण $R_2 = 16 \ cm$ वक्रता त्रिज्या वाला एक उत्तल दर्पण है,इसलिए इसकी फोकस दूरी $f_2 = R_2/2 = 8 \ cm$ है।
अनंत पर स्थित वस्तु से आने वाला प्रकाश प्राथमिक दर्पण पर पड़ता है और दर्पण के पीछे $12.5 \ cm$ की दूरी पर अपने फोकस पर एक प्रतिबिंब बनाता है।
हालाँकि,द्वितीयक दर्पण को प्राथमिक दर्पण से $d = 2.5 \ cm$ की दूरी पर रखा गया है।
द्वितीयक दर्पण के लिए आभासी वस्तु की दूरी $u = 12.5 - 2.5 = 10 \ cm$ है।
द्वितीयक दर्पण के लिए दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $1/v + 1/u = 1/f$.
यहाँ,$f = +8 \ cm$ (उत्तल दर्पण) और $u = +10 \ cm$ (आभासी वस्तु)।
$1/v + 1/10 = 1/8 \implies 1/v = 1/8 - 1/10 = (5-4)/40 = 1/40$.
अतः,$v = 40 \ cm$.
प्रतिबिंब उत्तल दर्पण से $40 \ cm$ की दूरी पर बनता है।

(C) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\mu_{rel} = \frac{\mu_{lens}}{\mu_{liquid}} = \frac{1.5}{1.3} = \frac{15}{13}$ है।
उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = +6 \ cm$ और $R_2 = -12 \ cm$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{15}{13} - 1 \right) \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{-12} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( \frac{2}{13} \right) \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{12} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( \frac{2}{13} \right) \left( \frac{2+1}{12} \right) = \left( \frac{2}{13} \right) \left( \frac{3}{12} \right) = \left( \frac{2}{13} \right) \left( \frac{1}{4} \right) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$ है।
अतः,$f = 26 \ cm$।

(A) दिया गया है: वस्तु की ऊँचाई $h_o = 3.6 \ cm$,वक्रता त्रिज्या $R = 30 \ cm$।
फोकस दूरी $f = R/2 = 30/2 = 15 \ cm$।
चूंकि यह एक अवतल दर्पण है,$f = -15 \ cm$।
वस्तु मुख्य फोकस से $10 \ cm$ की दूरी पर है।
वस्तु की स्थिति $u = -(f + 10) = -(15 + 10) = -25 \ cm$।
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $1/v + 1/u = 1/f$।
$1/v = 1/f - 1/u = 1/(-15) - 1/(-25) = -1/15 + 1/25 = (-5 + 3)/75 = -2/75$।
$v = -75/2 = -37.5 \ cm$।
आवर्धन $m = -v/u = h_i/h_o$।
$m = -(-37.5) / (-25) = -37.5 / 25 = -1.5$।
प्रतिबिंब की ऊँचाई $h_i = m \times h_o = -1.5 \times 3.6 = -5.4 \ cm$।
अतः,वास्तविक प्रतिबिंब की ऊँचाई का परिमाण $5.4 \ cm$ है।

(B) अवतल दर्पण के लिए,मुख्य फोकस से वस्तु की दूरी $(x_1)$ और वास्तविक प्रतिबिंब की दूरी $(x_2)$ का फोकस दूरी $(f)$ के साथ संबंध न्यूटन के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $f^2 = x_1 \cdot x_2$.
दिया गया है,$x_1 = 16 \ cm$ और $x_2 = 9 \ cm$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$f^2 = 16 \ cm \times 9 \ cm = 144 \ cm^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$f = \sqrt{144} \ cm = 12 \ cm$.
अतः,दर्पण की फोकस दूरी $12 \ cm$ है।

(D) दिया गया है: फोकस दूरी $f = -9 \ cm$ (अवतल दर्पण)। छड़ को मुख्य अक्ष के अनुदिश रखा गया है। दर्पण के निकट वाला सिरा $u_1 = -15 \ cm$ पर है। छड़ की लंबाई $6 \ cm$ है,इसलिए दूर वाला सिरा $u_2 = -15 - 6 = -21 \ cm$ पर है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करके,हम प्रतिबिंब की स्थिति $v_1$ और $v_2$ ज्ञात करते हैं।
$u_1 = -15 \ cm$ के लिए: $\frac{1}{v_1} = \frac{1}{-9} - \frac{1}{-15} = \frac{-5 + 3}{45} = \frac{-2}{45} \implies v_1 = -22.5 \ cm$.
$u_2 = -21 \ cm$ के लिए: $\frac{1}{v_2} = \frac{1}{-9} - \frac{1}{-21} = \frac{-7 + 3}{63} = \frac{-4}{63} \implies v_2 = -15.75 \ cm$.
प्रतिबिंब की लंबाई $|v_1 - v_2| = |-22.5 - (-15.75)| = |-6.75| = 6.75 \ cm$ है।

(A) जब अंतिम प्रतिबिंब स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी $(D = 25 \ cm)$ पर बनता है,तो संयुक्त सूक्ष्मदर्शी का कुल आवर्धन $M$ सूत्र $M = m_o \times m_e$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m_o$ अभिदृश्यक का आवर्धन है और $m_e$ नेत्रिका का आवर्धन है।
नेत्रिका के लिए जो एक सरल आवर्धक के रूप में कार्य करती है,आवर्धन $m_e$ का सूत्र है: $m_e = (1 + D/f_e)$।
यहाँ $D = 25 \ cm$ और $f_e = 5 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $m_e = (1 + 25/5) = (1 + 5) = 6$ प्राप्त होता है।
कुल आवर्धन $M = 24$ दिया गया है,इसलिए हम सूत्र में मान रखते हैं: $24 = m_o \times 6$।
$m_o$ के लिए हल करने पर,हमें $m_o = 24 / 6 = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,अभिदृश्यक द्वारा उत्पन्न आवर्धन $4$ है।

(B) संयुक्त सूक्ष्मदर्शी के लिए,जब अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है,तो नेत्रिका एक सरल आवर्धक के रूप में कार्य करती है जहाँ वस्तु (अभिदृश्यक द्वारा निर्मित प्रतिबिंब) उसके मुख्य फोकस $f_e$ पर रखी जाती है।
दिया गया है:
अभिदृश्यक की फोकस दूरी,$f_o = 1.25 \ cm$
नेत्रिका की फोकस दूरी,$f_e = 5 \ cm$
नली की लंबाई (लेंसों के बीच की दूरी),$L = 7.5 \ cm$
सामान्य समायोजन में (अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर),अभिदृश्यक और नेत्रिका के बीच की दूरी $v_o + f_e = L$ होती है।
अतः,$v_o = L - f_e = 7.5 \ cm - 5 \ cm = 2.5 \ cm$.
अभिदृश्यक के लिए लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $1/v_o - 1/u_o = 1/f_o$.
$1/u_o = 1/v_o - 1/f_o = 1/2.5 - 1/1.25 = (1 - 2) / 2.5 = -1/2.5$.
अतः,$u_o = -2.5 \ cm$.
अभिदृश्यक का आवर्धन $m_o = v_o / u_o = 2.5 / (-2.5) = -1$.
नेत्रिका का आवर्धन $m_e = D / f_e$,जहाँ $D = 25 \ cm$ (स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी)।
$m_e = 25 / 5 = 5$.
कुल आवर्धन $M = m_o \times m_e = (-1) \times 5 = -5$.
यहाँ आवर्धन का परिमाण $30$ प्राप्त होता है यदि हम $M = (L/f_o) \times (D/f_e)$ सूत्र का उपयोग करें,जो आमतौर पर ऐसे प्रश्नों में अपेक्षित होता है: $M = (7.5/1.25) \times (25/5) = 6 \times 5 = 30$.