TS EAMCET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) $l$ लंबाई और $\theta$ कोण वाले नत समतल पर लुढ़कने वाली वस्तु के लिए त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + K^2/R^2}$ होता है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ में $u=0$ और $s=l$ रखने पर,$l = \frac{1}{2} \left( \frac{g \sin \theta}{1 + K^2/R^2} \right) t^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$t = \sqrt{\frac{2l(1 + K^2/R^2)}{g \sin \theta}}$,जिसका अर्थ है $t \propto \sqrt{1 + K^2/R^2}$।
खोखले बेलन के लिए,घूर्णन त्रिज्या $K^2 = R^2$,इसलिए $K^2/R^2 = 1$। अतः $t_1 \propto \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$।
ठोस बेलन के लिए,घूर्णन त्रिज्या $K^2 = R^2/2$,इसलिए $K^2/R^2 = 1/2$। अतः $t_2 \propto \sqrt{1 + 1/2} = \sqrt{3/2}$।
अनुपात लेने पर,$\frac{t_2}{t_1} = \frac{\sqrt{3/2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
दिया गया है $t_1 = 2 \ s$,इसलिए $t_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = \sqrt{3} \approx 1.732 \ s$।

(B) समान द्रव्यमान $m$ के लिए,विशिष्ट ऊष्मा $C_1, C_2$ और प्रारंभिक तापमान $T_1, T_2$ वाले दो द्रवों के मिश्रण का अंतिम तापमान $T_{mix} = \frac{T_1 C_1 + T_2 C_2}{C_1 + C_2}$ द्वारा दिया जाता है।
द्रवों $A$ और $B$ के लिए:
$20 = \frac{15 C_A + 24 C_B}{C_A + C_B} \Rightarrow 20 C_A + 20 C_B = 15 C_A + 24 C_B \Rightarrow 5 C_A = 4 C_B \Rightarrow C_A = \frac{4}{5} C_B$.
द्रवों $B$ और $C$ के लिए:
$26 = \frac{24 C_B + 30 C_C}{C_B + C_C} \Rightarrow 26 C_B + 26 C_C = 24 C_B + 30 C_C \Rightarrow 2 C_B = 4 C_C \Rightarrow C_B = 2 C_C$.
सभी को $C_C$ के पदों में व्यक्त करने पर:
$C_B = 2 C_C$
$C_A = \frac{4}{5} (2 C_C) = \frac{8}{5} C_C$
अतः,$C_A : C_B : C_C = \frac{8}{5} C_C : 2 C_C : C_C = 8 : 10 : 5$.

(B) दिया गया है: $m_{\text{ice}} = 54 \ g$,$T_{\text{ice}} = -20^{\circ} C$,$m_{\text{steam}} = 25 \ g$,$T_{\text{steam}} = 100^{\circ} C$.
बर्फ को $0^{\circ} C$ तक लाने के लिए आवश्यक ऊष्मा: $Q_1 = m_{\text{ice}} \cdot c_{\text{ice}} \cdot \Delta T = 54 \times 2.1 \times 20 = 2268 \ J$.
$0^{\circ} C$ पर बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा: $Q_2 = m_{\text{ice}} \cdot L_f = 54 \times 334 = 18036 \ J$.
$-20^{\circ} C$ की बर्फ को $0^{\circ} C$ के पानी में बदलने के लिए कुल आवश्यक ऊष्मा: $Q_{\text{total}} = Q_1 + Q_2 = 2268 + 18036 = 20304 \ J$.
$100^{\circ} C$ की $25 \ g$ भाप को $100^{\circ} C$ के पानी में संघनित करने पर मुक्त ऊष्मा: $Q_{\text{condense}} = m_{\text{steam}} \cdot L_v = 25 \times 2260 = 56500 \ J$.
चूंकि $Q_{\text{condense}} > Q_{\text{total}}$,इसलिए सारी बर्फ पिघल जाएगी और पानी का तापमान $100^{\circ} C$ तक बढ़ जाएगा।
$54 \ g$ पानी का तापमान $0^{\circ} C$ से $100^{\circ} C$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा: $Q_3 = m_{\text{ice}} \cdot c_{\text{water}} \cdot \Delta T = 54 \times 4.2 \times 100 = 22680 \ J$.
भाप के संघनन के लिए शेष ऊष्मा: $Q_{\text{rem}} = Q_{\text{condense}} - (Q_{\text{total}} + Q_3) = 56500 - (20304 + 22680) = 13516 \ J$.
इस शेष ऊष्मा द्वारा संघनित भाप का द्रव्यमान: $m_{\text{condensed}} = Q_{\text{rem}} / L_v = 13516 / 2260 \approx 6 \ g$.
पानी का अंतिम द्रव्यमान = $54 \ g$ (पिघली हुई बर्फ) + $(25 - 6) \ g$ (संघनित भाप) = $73 \ g$.
भाप का अंतिम द्रव्यमान = $6 \ g$ (शेष भाप)।
अतः,अंतिम मिश्रण में $100^{\circ} C$ पर $73 \ g$ पानी और $6 \ g$ भाप होगी।

(C) कैलोरीमिति के सिद्धांत के अनुसार,खोई गई ऊष्मा $=$ प्राप्त की गई ऊष्मा।
मान लीजिए कि अंतिम संतुलन तापमान $T$ है।
$74 \ g$ पानी द्वारा खोई गई ऊष्मा $= m_w c_w (T_i - T) = 74 \times 1 \times (70 - T)$।
$37 \ g$ बर्फ को $0^{\circ} C$ पर पिघलने के लिए आवश्यक ऊष्मा $= m_i L_f = 37 \times 80$।
पिघले हुए $37 \ g$ पानी को $T$ तापमान तक पहुँचने के लिए आवश्यक ऊष्मा $= m_i c_w (T - 0) = 37 \times 1 \times T$।
खोई गई और प्राप्त की गई ऊष्मा को बराबर करने पर:
$74(70 - T) = 37 \times 80 + 37T$।
$37$ से भाग देने पर:
$2(70 - T) = 80 + T$।
$140 - 2T = 80 + T$।
$3T = 60$।
$T = 20^{\circ} C$।

(A) पानी के लिए,$m_1 = 360 \ g$,$T_1 = 40^{\circ} C$,$T_f = 100^{\circ} C$।
पानी को $100^{\circ} C$ तक पहुँचने के लिए आवश्यक ऊष्मा $H_1 = m_1 C_w (T_f - T_1) = 360 \times 1 \times (100 - 40) = 21600 \ cal$ है।
साम्यावस्था पर,$100^{\circ} C$ पर संघनित होने वाली भाप द्वारा मुक्त ऊष्मा,पानी द्वारा आवश्यक ऊष्मा के बराबर होती है।
माना $m'$ भाप का वह द्रव्यमान है जो संघनित होता है। $m' \times L = H_1 \implies m' \times 540 = 21600 \implies m' = 40 \ g$।
शेष भाप का द्रव्यमान $m_s = 60 - 40 = 20 \ g$।
पानी का कुल द्रव्यमान $m_w = 360 + 40 = 400 \ g$।
भाप और पानी के द्रव्यमान का अनुपात $m_s : m_w = 20 : 400 = 1 : 20$ है।

(C) कैलोरीमिति के सिद्धांत के अनुसार,खोई हुई ऊष्मा = प्राप्त की गई ऊष्मा।
मान लीजिए अंतिम तापमान $T$ है।
$70^{\circ} C$ पर $74 \ g$ पानी द्वारा $T$ तापमान तक पहुँचने के लिए खोई गई ऊष्मा $Q_{lost} = m_w c_w (70 - T) = 74 \times 1 \times (70 - T)$ है।
$0^{\circ} C$ पर $37 \ g$ बर्फ द्वारा पिघलने और $T$ तापमान तक पहुँचने के लिए प्राप्त की गई ऊष्मा $Q_{gained} = m_i L_f + m_i c_w (T - 0) = 37 \times 80 + 37 \times 1 \times T$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $74(70 - T) = 2960 + 37T$.
$5180 - 74T = 2960 + 37T$.
$111T = 2220$.
$T = 20^{\circ} C$.

(B) दिया गया है: मोटाई $\Delta x = 5 \ mm = 5 \times 10^{-3} \ m$,क्षेत्रफल $A = 5 \ cm^2 = 5 \times 10^{-4} \ m^2$,तापमान का अंतर $\Delta T = 14^{\circ} C$,ऊष्मा प्रवाह की दर $Q = 42 \ J/s = 42 \ W$.
स्थिर अवस्था में ऊष्मा चालन का सूत्र $Q = \frac{K A \Delta T}{\Delta x}$ है।
ऊष्मीय चालकता $K$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $K = \frac{Q \Delta x}{A \Delta T}$.
मान रखने पर: $K = \frac{42 \times 5 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-4} \times 14}$.
सरल करने पर: $K = \frac{42 \times 10^{-3}}{10^{-4} \times 14} = \frac{3 \times 10^{-3}}{10^{-4}} = 3 \times 10 = 30 \ W \ m^{-1} \ K^{-1}$.

(C) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,प्रति सेकंड विकिरित ऊर्जा $E$ वस्तु के पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ के समानुपाती होती है,यह मानते हुए कि तापमान $T$ और उत्सर्जकता $e$ स्थिर रहते हैं।
$E = e \sigma A T^4 \implies E \propto A$
$r$ त्रिज्या वाले एक ठोस गोले के लिए,पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_{sphere} = 4 \pi r^2$ होता है।
जब गोले को दो अर्धगोलों में काटा जाता है,तो प्रत्येक अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \pi r^2$ और समतल वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल $\pi r^2$ होता है।
इसलिए,एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_{hemisphere} = 2 \pi r^2 + \pi r^2 = 3 \pi r^2$ है।
एक अर्धगोले द्वारा विकिरित ऊर्जा और पूरे गोले द्वारा विकिरित ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_{hemisphere}}{E_{sphere}} = \frac{A_{hemisphere}}{A_{sphere}} = \frac{3 \pi r^2}{4 \pi r^2} = \frac{3}{4}$ है।

(D) एक बेलनाकार छड़ से ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{kA \Delta \theta}{\ell}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ ऊष्मीय चालकता है,$A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$\Delta \theta$ तापमान का अंतर है,और $\ell$ लंबाई है।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए $k_A = k_B$ है।
दिया गया है: $\frac{\Delta \theta_A}{\Delta \theta_B} = \frac{2}{3}$,$\frac{H_A}{H_B} = \frac{5}{9}$,और $\frac{r_A}{r_B} = \frac{1}{2}$।
सूत्र $\frac{H_A}{H_B} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^2 \left( \frac{\Delta \theta_A}{\Delta \theta_B} \right) \left( \frac{\ell_B}{\ell_A} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{5}{9} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{\ell_B}{\ell_A} \right)$
$\frac{5}{9} = \left( \frac{1}{4} \right) \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{\ell_B}{\ell_A} \right)$
$\frac{5}{9} = \frac{2}{12} \left( \frac{\ell_B}{\ell_A} \right) = \frac{1}{6} \left( \frac{\ell_B}{\ell_A} \right)$
$\frac{\ell_B}{\ell_A} = \frac{5}{9} \times 6 = \frac{30}{9} = \frac{10}{3}$
अतः,$\frac{\ell_A}{\ell_B} = \frac{3}{10}$।

(C) फारेनहाइट $(F)$ और सेल्सियस $(C)$ तापमान पैमानों के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{9}{5} C + 32$.
प्रश्न के अनुसार,फारेनहाइट पैमाने पर तापमान सेल्सियस पैमाने के तापमान का दोगुना है,इसलिए $F = 2C$,जिसका अर्थ है $C = \frac{F}{2}$.
इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $F = \frac{9}{5} \left( \frac{F}{2} \right) + 32$.
$F = \frac{9F}{10} + 32$.
पूरे समीकरण को $10$ से गुणा करने पर: $10F = 9F + 320$.
$10F - 9F = 320$.
अतः,$F = 320^{\circ} F$.

(C) आदर्श गैस की कुल आंतरिक ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = n \frac{f}{2} R T$ है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ होती है।
दिया गया है: मोल की संख्या $n = 4$,तापमान $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$,और $R = 8.31 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$U = 4 \times \frac{5}{2} \times 8.31 \times 300$
$U = 2 \times 5 \times 8.31 \times 300$
$U = 10 \times 2493 = 24930 \ J$
$U = 24.93 \ kJ$.

(D) नियत दाब पर,$W = P \Delta V = nR \Delta T$,जिसका अर्थ है $W \propto \Delta T$.
दिया है $W_1 = W$ और $W_2 = 2W$,इसलिए $\frac{(\Delta T)_2}{(\Delta T)_1} = \frac{W_2}{W_1} = 2$,अतः $(\Delta T)_2 = 2(\Delta T)_1$.
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 3$ है। दी गई ऊष्मा $Q_1 = \Delta U_1 + W_1 = \frac{f_1}{2} nR(\Delta T)_1 + nR(\Delta T)_1 = (\frac{3}{2} + 1) nR(\Delta T)_1 = \frac{5}{2} nR(\Delta T)_1$.
द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 5$ है। दी गई ऊष्मा $Q_2 = \Delta U_2 + W_2 = \frac{f_2}{2} nR(\Delta T)_2 + 2W = \frac{5}{2} nR(2(\Delta T)_1) + 2nR(\Delta T)_1 = (5 + 2) nR(\Delta T)_1 = 7nR(\Delta T)_1$.
अतः,अनुपात $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{\frac{5}{2} nR(\Delta T)_1}{7nR(\Delta T)_1} = \frac{5}{14}$ है।
इस प्रकार,$Q_1 : Q_2 = 5 : 14$।

(A) एक उत्क्रमणीय ऊष्मा इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = 0.5$ द्वारा दी जाती है।
इससे हमें $\frac{T_2}{T_1} = 1 - 0.5 = 0.5$ प्राप्त होता है।
उन्हीं तापमानों के बीच कार्य करने वाले रेफ्रिजरेटर का निष्पादन गुणांक $(COP)$ $\beta = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$ द्वारा दिया जाता है।
अंश और हर को $T_1$ से विभाजित करने पर,हमें $\beta = \frac{T_2/T_1}{1 - T_2/T_1}$ प्राप्त होता है।
$\frac{T_2}{T_1} = 0.5$ का मान रखने पर,हमें $\beta = \frac{0.5}{1 - 0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1$ प्राप्त होता है।

(D) स्थिर दाब पर एक द्वि-परमाणुक गैस के लिए:
$1$. किया गया कार्य $dW = P dV = nR dT$ है।
$2$. आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $dU = n C_v dT$ है। द्वि-परमाणुक गैस के लिए स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{5}{2} R$ होती है,इसलिए $dU = n \left( \frac{5}{2} R \right) dT$ होगा।
$3$. अवशोषित ऊष्मा $dQ = n C_p dT$ है। द्वि-परमाणुक गैस के लिए स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = \frac{7}{2} R$ होती है,इसलिए $dQ = n \left( \frac{7}{2} R \right) dT$ होगा।
$4$. अनुपात $dW : dU : dQ$ इस प्रकार है:
$dW : dU : dQ = nR dT : n \left( \frac{5}{2} R \right) dT : n \left( \frac{7}{2} R \right) dT$
$nR dT$ से भाग देने पर:
$1 : \frac{5}{2} : \frac{7}{2}$
सरल बनाने के लिए $2$ से गुणा करने पर:
$2 : 5 : 7$.

(D) दिया गया है कि विशिष्ट ऊष्मा धारिताओं का अनुपात $\gamma = 1.5 = 3/2$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$P_i V_i^\gamma = P_f V_f^\gamma$। दिया गया है $V_f = 2V_i$ और $P_f = P_1$,इसलिए $P_{i,ad} V_i^{1.5} = P_1 (2V_i)^{1.5}$।
अतः,$P_{i,ad} = P_1 (2)^{1.5} = P_1 (2\sqrt{2})$।
समतापीय प्रक्रिया के लिए,$P_i V_i = P_f V_f$। दिया गया है $V_f = 2V_i$ और $P_f = P_2$,इसलिए $P_{i,iso} V_i = P_2 (2V_i)$।
अतः,$P_{i,iso} = 2P_2$।
यदि $P_1 = P_2$ है,तो प्रारंभिक दबावों का अनुपात $\frac{P_{i,ad}}{P_{i,iso}} = \frac{P_1 (2\sqrt{2})}{2P_1} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} : 1$ होगा।

(A) दिया गया समीकरण $m \frac{d^2 x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$ है।
विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,समीकरण के प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
अतः,$m \frac{d^2 x}{dt^2}$,$b \frac{dx}{dt}$,और $kx$ की विमाएँ समान हैं।
$b \frac{dx}{dt}$ और $kx$ की विमाओं की तुलना करने पर:
$[b] [v] = [k] [x] \implies [b] = [k] [x] / [v] = [k] [x] / ([x] / [t]) = [k] [t]$।
इसलिए,$[b] = [k] [T]$।
अब,व्यंजक $\frac{b}{\sqrt{km}}$ पर विचार करें।
इस व्यंजक में $[b] = [k] [T]$ रखने पर:
$\frac{[b]}{\sqrt{[k][m]}} = \frac{[k][T]}{\sqrt{[k][m]}}$।
चूँकि $k = F/x = ma/x$,इसलिए $k$ की विमाएँ $[M T^{-2}]$ हैं।
साथ ही,अवमंदित दोलक की कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{k/m}$ से संबंधित है,इसलिए $\sqrt{k/m}$ की विमाएँ $[T^{-1}]$ होती हैं।
वैकल्पिक रूप से,$[b] = [k] [T]$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{b}{\sqrt{km}} = \frac{k T}{\sqrt{km}} = \sqrt{\frac{k}{m}} T = [T^{-1}] [T] = [M^0 L^0 T^0]$।

(B) न्यूनीकरणवाद (Reductionism) वह वैज्ञानिक दृष्टिकोण है जो एक जटिल प्रणाली को उसके मौलिक,सरल घटकों में तोड़कर और उनके बीच की अंतःक्रियाओं को समझकर उसे समझाने का प्रयास करता है। इन घटक भागों का अध्ययन करके,कोई भी बड़ी प्रणाली के स्थूल (macroscopic) गुणों को प्राप्त कर सकता है।

(A) भौतिक नियम संरक्षण के सिद्धांतों पर आधारित होते हैं। संरक्षित राशियाँ अदिश (जैसे ऊर्जा,द्रव्यमान या आवेश) या सदिश (जैसे रैखिक संवेग या कोणीय संवेग) हो सकती हैं। इसलिए,यह कथन कि सभी संरक्षित राशियाँ अनिवार्य रूप से अदिश होती हैं,गलत है।

(D) तनी हुई डोरी में अनुप्रस्थ तरंग की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि $\mu = \text{क्षेत्रफल} \times \text{घनत्व} = (\pi r^2) \rho$,इसलिए गति $v = \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$ हो जाती है।
यह दिया गया है कि दोनों डोरियों के लिए तनाव $T$ और त्रिज्या $r$ समान हैं,इसलिए $v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$ होगा।
मान लीजिए $\rho_A = \rho$ है। तो $\rho_B = \rho + 0.02\rho = 1.02\rho$ होगा।
डोरी '$B$' में गति $v_B = \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 (1.02\rho)}} = \frac{1}{\sqrt{1.02}} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$ होगी।
अतः,$v_B = \frac{v}{\sqrt{1.02}}$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई आवृत्तियाँ $f_1 = n-1$,$f_2 = n$ और $f_3 = n+1$ हैं।
बीट्स ध्वनि स्रोतों की आवृत्तियों के अंतर के कारण उत्पन्न होते हैं।
प्रति सेकंड उत्पन्न बीट्स की संख्या प्रणाली में मौजूद अधिकतम और न्यूनतम आवृत्तियों के बीच के अंतर से निर्धारित होती है।
$\text{उत्पन्न बीट्स} = f_{\text{max}} - f_{\text{min}} = (n+1) - (n-1) = 2 \text{ बीट्स/सेकंड}$।
चूंकि तीनों स्रोत एक साथ कंपन कर रहे हैं,व्यतिकरण पैटर्न $2 \text{ Hz}$ की बीट आवृत्ति देता है।
इसलिए,उत्पन्न बीट्स की संख्या $2$ है और सुनाई देने वाले बीट्स की संख्या भी $2$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिए गए समीकरण $y_1 = 5 \sin(400 \pi t)$ और $y_2 = 8 \sin(408 \pi t)$ हैं।
इन्हें मानक समीकरण $y = A \sin(\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्तियाँ $\omega_1 = 400 \pi \text{ rad/s}$ और $\omega_2 = 408 \pi \text{ rad/s}$ प्राप्त होती हैं।
आवृत्तियाँ $f_1$ और $f_2$,$f = \frac{\omega}{2 \pi}$ द्वारा दी जाती हैं।
$f_1 = \frac{400 \pi}{2 \pi} = 200 \text{ Hz}$ और $f_2 = \frac{408 \pi}{2 \pi} = 204 \text{ Hz}$।
विस्पंद आवृत्ति $|f_2 - f_1| = |204 - 200| = 4 \text{ विस्पंद प्रति सेकंड}$ है।
प्रति मिनट विस्पंदों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $60$ से गुणा करते हैं:
$\text{विस्पंद प्रति मिनट} = 4 \times 60 = 240 \text{ विस्पंद/मिनट}$।

(D) कार की गति $v_s = 54 \ km/h = 15 \ m/s$ है।
व्यक्ति कार और दीवार के बीच खड़ा है।
सीधे कार से प्राप्त ध्वनि की आवृत्ति (स्रोत स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ रहा है) $f_1 = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ है।
दीवार से परावर्तित ध्वनि की आवृत्ति कार के प्रतिबिंब से आने वाली ध्वनि के समान है,जो प्रेक्षक की ओर समान गति $v_s$ से बढ़ रही है। अतः,$f_2 = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$।
चूंकि $f_1 = f_2$,आवृत्तियों में अंतर $f_2 - f_1 = 0 \ Hz$ है।

(A) डॉप्लर प्रभाव के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$1$) जब ट्रेन पास आती है तब आवृत्ति: $f_{\text{app}} = f_0 \times \frac{v}{v - v_s}$
$2$) जब ट्रेन दूर जाती है तब आवृत्ति: $f_{\text{rec}} = f_0 \times \frac{v}{v + v_s}$
दिया गया है: $v = 330 \text{ m/s}$,$v_s = 108 \text{ km/h} = 108 \times \frac{5}{18} = 30 \text{ m/s}$.
आवृत्ति में अंतर $\Delta f = f_{\text{app}} - f_{\text{rec}} = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} - \frac{v}{v + v_s} \right)$.
$\Delta f = f_0 \left( \frac{v(v + v_s) - v(v - v_s)}{v^2 - v_s^2} \right) = f_0 \left( \frac{2 v v_s}{v^2 - v_s^2} \right)$.
प्रतिशत परिवर्तन = $\frac{\Delta f}{f_0} \times 100 = \left( \frac{2 v v_s}{v^2 - v_s^2} \right) \times 100$.
मान रखने पर: $\frac{2 \times 330 \times 30}{330^2 - 30^2} \times 100 = \frac{19800}{108900 - 900} \times 100 = \frac{19800}{108000} \times 100 = \frac{11}{60} \times 100 \approx 18.33 \%$.

(B) माना $v$ ध्वनि की गति है और $f = 102 \ Hz$ स्रोत की आवृत्ति है।
चूंकि स्रोत स्थिर है $(v_s = 0)$,स्रोत से $v_o$ गति से दूर जाने वाले प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f'$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है: $f' = f \left( \frac{v - v_o}{v} \right)$.
यह देखते हुए कि दोनों प्रेक्षक स्रोत से $v_o = 10 \% \text{ of } v = \frac{v}{10}$ की गति से दूर जा रहे हैं,प्रेक्षक $1$ द्वारा सुनी गई आवृत्ति है:
$f_1 = f \left( \frac{v - v/10}{v} \right) = f \left( \frac{0.9v}{v} \right) = 0.9f$.
इसी प्रकार,प्रेक्षक $2$ द्वारा सुनी गई आवृत्ति है:
$f_2 = f \left( \frac{v - v/10}{v} \right) = f \left( \frac{0.9v}{v} \right) = 0.9f$.
अतः,प्रेक्षकों द्वारा सुनी गई आवृत्तियों का अनुपात है:
$\frac{f_1}{f_2} = \frac{0.9f}{0.9f} = 1: 1$.

(A) मान लीजिए कि $v$ ध्वनि की गति है और $l$ पाइप की लंबाई है।
खुली ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_{o} = \frac{v}{2l}$ है।
बंद ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_{c} = \frac{v}{4l}$ है।
यह दिया गया है कि इन मूल आवृत्तियों के बीच का अंतर $100 \ Hz$ है:
$f_{o} - f_{c} = 100 \ Hz \implies \frac{v}{2l} - \frac{v}{4l} = 100 \ Hz \implies \frac{v}{4l} = 100 \ Hz$.
खुली पाइप का दूसरा हार्मोनिक $f_{2,o} = 2 \times f_{o} = 2 \times \frac{v}{2l} = \frac{v}{l}$ है।
बंद पाइप का तीसरा हार्मोनिक $f_{3,c} = 3 \times f_{c} = 3 \times \frac{v}{4l} = \frac{3v}{4l}$ है।
इन आवृत्तियों के बीच का अंतर है:
$f_{2,o} - f_{3,c} = \frac{v}{l} - \frac{3v}{4l} = \frac{4v - 3v}{4l} = \frac{v}{4l}$.
चूंकि $\frac{v}{4l} = 100 \ Hz$,इसलिए आवश्यक अंतर $100 \ Hz$ है।

(C) दिया गया है: पथ अंतर $\Delta x = 50 \ cm = 0.5 \ m$,कलांतर $\Delta \phi = 1.8 \pi$,ध्वनि की गति $v = 340 \ ms^{-1}$।
हम जानते हैं कि पथ अंतर और कलांतर के बीच का संबंध $\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \cdot \Delta \phi$ है।
मान रखने पर: $0.5 = \frac{\lambda}{2 \pi} \times 1.8 \pi$.
$0.5 = \lambda \times 0.9 \Rightarrow \lambda = \frac{0.5}{0.9} = \frac{5}{9} \ m$.
आवृत्ति $f$ का मान $f = \frac{v}{\lambda}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$f = \frac{340}{5/9} = \frac{340 \times 9}{5} = 68 \times 9 = 612 \ Hz$.

(B) दिया गया है: त्रिज्या $r = 9 \ km = 9000 \ m$,गति $v = 540 \ kmh^{-1} = 540 \times \frac{5}{18} = 150 \ ms^{-1}$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ ms^{-2}$.
क्षैतिज लूप में उड़ने वाले विमान के लिए बैंकिंग कोण $\theta$ का संबंध है: $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$.
मान रखने पर: $\tan \theta = \frac{150 \times 150}{9000 \times 10} = \frac{22500}{90000} = \frac{1}{4}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(0.25) = \cot^{-1}(4)$.

(D) मान लीजिए कि पिंड विराम अवस्था में आने से पहले '$s$' दूरी तक ऊपर की ओर फिसलता है।
प्राप्त ऊँचाई $h = s \sin \theta$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W_{friction} + W_{gravity} = K_f - K_i$
$-\mu mg \cos \theta \cdot s - mg \sin \theta \cdot s = 0 - E$
$\mu mgs \cos \theta + mgs \sin \theta = E$
$s(mg(\mu \cos \theta + \sin \theta)) = E$
$s = \frac{E}{mg(\mu \cos \theta + \sin \theta)}$
घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W_{against\ friction} = |W_{friction}| = \mu mg \cos \theta \cdot s$ है।
'$s$' का मान रखने पर:
$W_{against\ friction} = \mu mg \cos \theta \cdot \left( \frac{E}{mg(\mu \cos \theta + \sin \theta)} \right)$
$W_{against\ friction} = \frac{\mu E \cos \theta}{\sin \theta + \mu \cos \theta}$

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 4 \ kg$. वेग सदिश $\vec{v} = (2 \hat{i} - 4 \hat{j} - \hat{k}) \ ms^{-1}$.
सबसे पहले,वेग का परिमाण $v = |\vec{v}| = \sqrt{(2)^2 + (-4)^2 + (-1)^2}$ ज्ञात करें।
$v = \sqrt{4 + 16 + 1} = \sqrt{21} \ ms^{-1}$.
गतिज ऊर्जा $K.E.$ का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2} mv^2$ है।
मान रखने पर: $K.E. = \frac{1}{2} \times 4 \times (\sqrt{21})^2$.
$K.E. = 2 \times 21 = 42 \ J$.

(B) मान लीजिए वस्तु का द्रव्यमान $m$ है और प्रारंभिक वेग $u$ है। अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,कुल ऊर्जा $E = mgh$ है।
जमीन से $y = 0.4h$ की ऊँचाई पर,स्थितिज ऊर्जा $PE = mgy = mg(0.4h) = 0.4mgh$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल ऊर्जा स्थिर रहती है।
इसलिए,$KE + PE = E$.
$KE = E - PE = mgh - 0.4mgh = 0.6mgh$.
गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{KE}{PE} = \frac{0.6mgh}{0.4mgh} = \frac{0.6}{0.4} = \frac{3}{2}$ है।
अतः,अनुपात $3: 2$ है।

(A) बाह्य चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली के दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I_{moment}}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I_{moment}$ जड़त्व आघूर्ण है और $M$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है।
चूंकि चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M = NIA$ होता है,इसलिए $M \propto I$ है।
अतः,$T \propto \frac{1}{\sqrt{M}} \propto \frac{1}{\sqrt{I}}$.
दिया गया है कि $I_1 = 2.5 \ A$ और $I_2 = 10 \ A$,इसलिए:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{2.5}{10}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
इस प्रकार,$T_2 = \frac{T_1}{2} = \frac{T}{2}$.

(D) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में छड़ चुंबक पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = MB \sin \theta$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है और $\theta$ चुंबकीय आघूर्ण और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
प्रारंभिक टॉर्क $\tau_1 = MB \sin 30^{\circ} = MB \times 0.5$.
अंतिम टॉर्क $\tau_2 = MB \sin 45^{\circ} = MB \times \frac{1}{\sqrt{2}} \approx MB \times 0.707$.
टॉर्क का अनुपात $\frac{\tau_2}{\tau_1} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \sqrt{2} \approx 1.414$ है।
अतः,$\tau_2 = 1.414 \tau_1$.
टॉर्क में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\tau_2 - \tau_1}{\tau_1} \times 100 = (1.414 - 1) \times 100 = 41.4 \%$ है।
इस प्रकार,टॉर्क $41.4 \%$ बढ़ जाता है।

(D) $236$ द्रव्यमान संख्या वाले नाभिक के क्षय में,$\alpha$-कण $(m_{\alpha} = 4)$ और संतति नाभिक $(m_d = 232)$ उत्पन्न होते हैं।
दिया गया है कि $\alpha$-कण की गतिज ऊर्जा $(KE)_{\alpha} = E$ है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$\alpha$-कण और संतति नाभिक के संवेग का परिमाण समान होता है: $P_{\alpha} = P_d = P$.
गतिज ऊर्जा का सूत्र $KE = \frac{P^2}{2m}$ है,जिसका अर्थ है $KE \propto \frac{1}{m}$.
अतः,गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{(KE)_d}{(KE)_{\alpha}} = \frac{m_{\alpha}}{m_d} = \frac{4}{232} = \frac{1}{58}$ है।
इस प्रकार,$(KE)_d = \frac{E}{58}$.
इस प्रक्रिया में मुक्त कुल ऊर्जा $(Q)$ उत्पादों की गतिज ऊर्जा का योग है: $Q = (KE)_{\alpha} + (KE)_d = E + \frac{E}{58} = \frac{59 E}{58}$.

(D) प्रति विखंडन मुक्त ऊर्जा $E = 200 \text{ MeV} = 200 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 3.2 \times 10^{-11} \text{ J}$.
शक्ति $P = 128 \text{ W} = 128 \text{ J/s}$.
माना प्रति सेकंड विखंडनों की संख्या $n$ है।
अतः,$P = n \times E$.
$n = \frac{P}{E} = \frac{128}{3.2 \times 10^{-11}}$.
$n = \frac{1280}{3.2} \times 10^{10} = 400 \times 10^{10} = 4 \times 10^{12} \text{ विखंडन/सेकंड}$.

(C) न्यूट्रॉन गुणन कारक $K$ (जिसे $k$ के रूप में भी दर्शाया जाता है) को एक दी गई पीढ़ी में उत्पन्न न्यूट्रॉन की संख्या और पिछली पीढ़ी में उत्पन्न न्यूट्रॉन की संख्या के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
जब $K = 1$ होता है,तो न्यूट्रॉन उत्पादन की दर न्यूट्रॉन हानि की दर के बराबर होती है,जिसका अर्थ है कि श्रृंखला अभिक्रिया (chain reaction) एक स्थिर शक्ति स्तर पर स्वयं-स्थायी बनी रहती है।
इस स्थिति को परमाणु रिएक्टर की क्रिटिकल स्थिति के रूप में जाना जाता है।
यदि $K < 1$ है,तो रिएक्टर सबक्रिटिकल है और श्रृंखला अभिक्रिया समाप्त हो जाती है।
यदि $K > 1$ है,तो रिएक्टर सुपरक्रिटिकल है और शक्ति स्तर तेजी से बढ़ता है।

(A) तत्व का औसत द्रव्यमान उसके समस्थानिकों की सापेक्ष प्रचुरता के आधार पर उनके द्रव्यमानों का भारित औसत (weighted average) लेकर निकाला जाता है।
दी गई प्रचुरता का अनुपात $2:3:5$ है,इसलिए कुल भाग $2 + 3 + 5 = 10$ है।
प्रत्येक समस्थानिक का भिन्नात्मक मान:
समस्थानिक $A$ के लिए: $2/10 = 0.2$
समस्थानिक $B$ के लिए: $3/10 = 0.3$
समस्थानिक $C$ के लिए: $5/10 = 0.5$
औसत द्रव्यमान का सूत्र: $\text{औसत द्रव्यमान} = (\text{भिन्न}_A \times m_1) + (\text{भिन्न}_B \times m_2) + (\text{भिन्न}_C \times m_3)$.
मान रखने पर: $\text{औसत द्रव्यमान} = 0.2 m_1 + 0.3 m_2 + 0.5 m_3$.

(D) दी गई अर्ध-आयु $T_{1/2} = 12 \text{ मिनट}$ है।
$28 \%$ क्षय पर, शेष मात्रा $100 - 28 = 72 \%$ है।
$82 \%$ क्षय पर, शेष मात्रा $100 - 82 = 18 \%$ है।
हम जानते हैं कि रेडियोधर्मी पदार्थ की मात्रा एक अर्ध-आयु काल में आधी हो जाती है।
$72 \%$ से शुरू होकर, एक अर्ध-आयु $(12 \text{ मिनट})$ के बाद, मात्रा $72 / 2 = 36 \%$ हो जाती है।
अगली अर्ध-आयु $(12 \text{ मिनट})$ के बाद, मात्रा $36 / 2 = 18 \%$ हो जाती है।
अतः, कुल समयांतराल $12 + 12 = 24 \text{ मिनट}$ है।

(A) समय $t$ के बाद बचे हुए रेडियोधर्मी पदार्थ का द्रव्यमान $M = M_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M_0$ प्रारंभिक द्रव्यमान है और $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
पदार्थ $A$ के लिए: $M_A = M_{0A} (1/2)^{t/T}$.
पदार्थ $B$ के लिए: $M_B = M_{0B} (1/2)^{t/2T}$.
प्रारंभिक द्रव्यमानों का अनुपात $M_{0A} / M_{0B} = 8/1$ और शेष द्रव्यमानों का अनुपात $M_A / M_B = 4/1$ दिया गया है।
अतः,$\frac{M_A}{M_B} = \frac{M_{0A}}{M_{0B}} \cdot \frac{(1/2)^{t/T}}{(1/2)^{t/2T}} = 4/1$.
मान रखने पर: $8 \cdot (1/2)^{t/T - t/2T} = 4$.
$8 \cdot (1/2)^{t/2T} = 4$.
$(1/2)^{t/2T} = 4/8 = 1/2$.
$(1/2)^{t/2T} = (1/2)^1$.
घातांकों की तुलना करने पर,$t/2T = 1$,जिससे $t = 2T$ प्राप्त होता है।

(A) माना उत्सर्जित $\alpha$-कणों की संख्या $n_{\alpha}$ है और उत्सर्जित $\beta^{-}$-कणों की संख्या $n_{\beta}$ है।
द्रव्यमान संख्या के लिए: $238 = 214 + 4n_{\alpha} \implies 4n_{\alpha} = 24 \implies n_{\alpha} = 6$.
परमाणु क्रमांक के लिए: $92 = 82 + 2n_{\alpha} - 1n_{\beta}$.
$n_{\alpha} = 6$ रखने पर: $92 = 82 + 2(6) - n_{\beta} \implies 92 = 82 + 12 - n_{\beta} \implies 92 = 94 - n_{\beta} \implies n_{\beta} = 2$.
अतः,$\alpha$-कणों की संख्या $6$ है और $\beta^{-}$-कणों की संख्या $2$ है।

(B) नाभिक का $\beta$-क्षय इस प्रकार दर्शाया जाता है:
${ }_{Z}^{A} X \longrightarrow{ }_{Z+1}^{A} Y+{ }_{-1}^{0} e + \bar{\nu}$
इस प्रक्रिया में,द्रव्यमान संख्या $A$ स्थिर रहती है,जबकि परमाणु क्रमांक $Z$ में $1$ की वृद्धि होती है।
चूंकि जनक नाभिक $X$ और संतति नाभिक $Y$ दोनों के लिए द्रव्यमान संख्या $A$ समान है,इसलिए वे समभारिक (isobars) हैं।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली के दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है,और $B$ चुंबकीय क्षेत्र है।
चूंकि $M = NIA$ होता है,इसलिए $M \propto I_{curr}$ है।
अतः,$T \propto \frac{1}{\sqrt{M}} \propto \frac{1}{\sqrt{I_{curr}}}$।
दिया गया है कि $I_{curr1} = 2.5 \ A$ और $I_{curr2} = 10 \ A$,इसलिए $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{I_{curr1}}{I_{curr2}}} = \sqrt{\frac{2.5}{10}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
इस प्रकार,$T_2 = \frac{T_1}{2} = \frac{T}{2}$ होगा।

(A) कांच के स्लैब के लिए,तुल्य फोकस दूरी $F = \infty$ होती है।
$f_1$ और $f_2$ फोकस दूरी वाले दो पतले लेंसों के लिए जो $d$ दूरी पर स्थित हैं,तुल्य फोकस दूरी $F$ का सूत्र है:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
चूंकि संयोजन एक कांच के स्लैब के रूप में कार्य करता है,इसलिए $F = \infty$ रखने पर,$\frac{1}{F} = 0$ होगा।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$0 = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
$0 = \frac{f_2 + f_1}{f_1 f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
$\frac{d}{f_1 f_2} = \frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2}$
$d = f_1 + f_2$
अतः,लेंसों के बीच की दूरी $f_1 + f_2$ होनी चाहिए।

(B) दिया गया है,लेंस की शक्ति $P = 2 \ D$ है।
लेंस की फोकस दूरी $f = \frac{1}{P} = \frac{100}{2} = 50 \ cm$ है।
निकट दृष्टि दोष (हाइपरमेट्रोपिया) वाले व्यक्ति के लिए,लेंस मानक निकट बिंदु $(u = -25 \ cm)$ पर रखी वस्तु का प्रतिबिंब व्यक्ति के वास्तविक निकट बिंदु $(v)$ पर बनाता है।
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$।
मान रखने पर: $\frac{1}{50} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-25}$।
$\frac{1}{50} = \frac{1}{v} + \frac{1}{25}$।
$\frac{1}{v} = \frac{1}{50} - \frac{1}{25} = \frac{1 - 2}{50} = -\frac{1}{50}$।
अतः,$v = -50 \ cm$।
इस प्रकार,निकट बिंदु $50 \ cm$ है।

(C) एक पतले उत्तल लेंस के लिए,$P = +4 \ D$,$\mu_{\ell} = \frac{3}{2}$,$\mu_m = \frac{5}{3}$ है।
चूंकि $P = \frac{1}{f_a}$,इसलिए $f_a = \frac{1}{4} \ m = 25 \ cm$ है।
हवा में,लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f_a} = (\mu_{\ell} - 1) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$ ... $(i)$ है।
द्रव माध्यम में,फोकस दूरी $f_m$ के लिए $\frac{1}{f_m} = \left(\frac{\mu_{\ell}}{\mu_m} - 1\right) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$ ... (ii) है।
समीकरण (ii) को $(i)$ से विभाजित करने पर,$\frac{f_a}{f_m} = \frac{(\mu_{\ell} - 1)}{(\frac{\mu_{\ell}}{\mu_m} - 1)}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\frac{f_a}{f_m} = \frac{(\frac{3}{2} - 1)}{(\frac{3/2}{5/3} - 1)} = \frac{1/2}{(9/10 - 1)} = \frac{1/2}{-1/10} = -5$ है।
अतः,$f_m = -5 \times f_a = -5 \times 25 \ cm = -125 \ cm$ है।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि लेंस $125 \ cm$ फोकस दूरी वाले अवतल लेंस की तरह व्यवहार करता है।

(C) एक समतल-उत्तल लेंस के लिए,वक्रता त्रिज्या $R$,द्वारक की त्रिज्या $r$ और मोटाई $t$ के बीच का संबंध ज्यामिति से प्राप्त होता है: $R^2 = r^2 + (R-t)^2$. चूंकि $t$ बहुत छोटा है,$R^2 = r^2 + R^2 - 2Rt + t^2 \approx r^2 + R^2 - 2Rt$,जो सरल होकर $R = \frac{r^2}{2t}$ हो जाता है।
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = (n-1) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$. समतल-उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = R$ और $R_2 = \infty$,इसलिए $\frac{1}{f} = (n-1) \frac{1}{R}$,जिससे $R = f(n-1)$ प्राप्त होता है।
$R$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $f(n-1) = \frac{r^2}{2t}$.
यहाँ $f = 73.5 \ cm$,$n = \frac{5}{3}$,और व्यास $d = 8.4 \ cm$ है,इसलिए $r = \frac{d}{2} = 4.2 \ cm$.
मान रखने पर: $73.5 \times \left(\frac{5}{3} - 1\right) = \frac{(4.2)^2}{2t}$.
$73.5 \times \frac{2}{3} = \frac{17.64}{2t} \Rightarrow 49 = \frac{8.82}{t}$.
$t = \frac{8.82}{49} \ cm = 0.18 \ cm = 1.8 \ mm$.

(C) उत्तल लेंस के लिए,विस्थापन विधि के अनुसार,जब वस्तु और पर्दे के बीच की दूरी निश्चित होती है,तो लेंस की दो ऐसी स्थितियाँ होती हैं जहाँ पर्दे पर स्पष्ट प्रतिबिंब बनता है।
मान लीजिए $h_0$ वस्तु की ऊँचाई है,$h_1$ पहले प्रतिबिंब की ऊँचाई है और $h_2$ दूसरे प्रतिबिंब की ऊँचाई है।
इन ऊँचाइयों के बीच का संबंध सूत्र $h_0 = \sqrt{h_1 \times h_2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $h_0 = 12 \ cm$ और $h_1 = 18 \ cm$.
सूत्र में मान रखने पर:
$12 = \sqrt{18 \times h_2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$144 = 18 \times h_2$
$h_2 = \frac{144}{18} = 8 \ cm$.
अतः,दूसरे प्रतिबिंब की ऊँचाई $8 \ cm$ है।

(B) दिया गया है:
ऑब्जेक्टिव का व्यास,$d = 3.6 \ m$
प्रकाश की तरंगदैर्ध्य,$\lambda = 540 \ nm = 540 \times 10^{-9} \ m$
टेलीस्कोप की विभेदन सीमा $(d\theta)$ का सूत्र:
$d\theta = \frac{1.22 \lambda}{d}$
मान रखने पर:
$d\theta = \frac{1.22 \times 540 \times 10^{-9} \ m}{3.6 \ m}$
$d\theta = \frac{658.8 \times 10^{-9}}{3.6} \ rad$
$d\theta = 183 \times 10^{-9} \ rad$
$d\theta = 1.83 \times 10^{-7} \ rad$

(D) प्रिज्म के लिए,कोणों के बीच का संबंध $A + \delta = i + e$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ प्रिज्म का कोण है,$\delta$ विचलन कोण है,$i$ आपतन कोण है और $e$ निर्गत कोण है।
यह दिया गया है कि प्रिज्म समबाहु है,इसलिए प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ है।
आपतन कोण $i$ और निर्गत कोण $e$ दोनों प्रिज्म के कोण का $70 \%$ हैं।
इसलिए,$i = e = 0.70 \times 60^{\circ} = 42^{\circ}$।
इन मानों को सूत्र $A + \delta = i + e$ में रखने पर:
$60^{\circ} + \delta = 42^{\circ} + 42^{\circ}$
$60^{\circ} + \delta = 84^{\circ}$
$\delta = 84^{\circ} - 60^{\circ} = 24^{\circ}$।
अतः,विचलन कोण $24^{\circ}$ है।

(A) एक पतले प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन कोण $\delta$ का सूत्र $\delta = A(\mu - 1)$ है,जहाँ $A$ प्रिज्म का कोण है और $\mu$ आसपास के माध्यम के सापेक्ष प्रिज्म का अपवर्तनांक है।
$1$. जब प्रिज्म हवा में हो:
हवा के सापेक्ष प्रिज्म का अपवर्तनांक $\mu_1 = \frac{3}{2}$ है।
इसलिए,न्यूनतम विचलन कोण $\delta_1 = A(\frac{3}{2} - 1) = A(\frac{1}{2}) = \frac{A}{2}$ है।
$2$. जब प्रिज्म पानी में हो:
पानी का अपवर्तनांक $\mu_w = \frac{4}{3}$ है। पानी के सापेक्ष प्रिज्म का अपवर्तनांक $\mu_2 = \frac{\mu_g}{\mu_w} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$ है।
इसलिए,न्यूनतम विचलन कोण $\delta_2 = A(\frac{9}{8} - 1) = A(\frac{1}{8}) = \frac{A}{8}$ है।
$3$. न्यूनतम विचलन कोणों का अनुपात:
$\frac{\delta_1}{\delta_2} = \frac{A/2}{A/8} = \frac{8}{2} = \frac{4}{1}$ है।
अतः,अनुपात $4: 1$ है।

(B) दिया गया है: अपवर्तनांक $\mu = 1.6$,न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m = 4.2^{\circ}$।
छोटे कोण वाले प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $\delta$,अपवर्तनांक $\mu$ और प्रिज्म कोण $A$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $\delta = (\mu - 1)A$।
सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$4.2^{\circ} = (1.6 - 1)A$
$4.2^{\circ} = (0.6)A$
$A = \frac{4.2^{\circ}}{0.6} = 7^{\circ}$।
अतः,प्रिज्म का कोण $7^{\circ}$ है।

(A) चरण $1$: लोड प्रतिरोधक से होकर बहने वाली धारा $(I_L)$
चूंकि ज़ेनर डायोड वोल्टेज को $30 \text{ V}$ पर नियंत्रित करता है,इसलिए लोड प्रतिरोधक $(R_L = 6 \text{ k}\Omega)$ के सिरों पर वोल्टेज भी $30 \text{ V}$ होगा।
लोड प्रतिरोधक से होकर बहने वाली धारा,$I_L$:
$I_L = \frac{V_Z}{R_L} = \frac{30 \text{ V}}{6 \text{ k}\Omega} = 5 \text{ mA}$
चरण $2$: सर्किट में कुल धारा $(I_{\text{total}})$
स्रोत द्वारा आपूर्ति की गई कुल धारा,$I_{\text{total}}$:
$I_{\text{total}} = \frac{V_{\text{in}} - V_Z}{R_{\text{total}}}$
जहाँ $R_{\text{total}} = 5 \text{ k}\Omega + 2 \text{ k}\Omega = 7 \text{ k}\Omega$.
अधिकतम $I_{\text{total}}$ के लिए,हम अधिकतम इनपुट वोल्टेज $V_{\text{in}} = 100 \text{ V}$ का उपयोग करते हैं:
$I_{\text{total}} = \frac{100 \text{ V} - 30 \text{ V}}{7 \text{ k}\Omega} = \frac{70 \text{ V}}{7 \text{ k}\Omega} = 10 \text{ mA}$
चरण $3$: ज़ेनर डायोड की अधिकतम धारा $(I_{Z \max})$
ज़ेनर डायोड धारा $I_Z$,कुल धारा और लोड धारा के बीच का अंतर है:
$I_{Z \max} = I_{\text{total}} - I_L = 10 \text{ mA} - 5 \text{ mA} = 5 \text{ mA}$
अंतिम उत्तर:
ज़ेनर डायोड से होकर बहने वाली अधिकतम धारा $5 \text{ mA}$ है।

(A) एक ट्रांजिस्टर अपने एक्टिव रीजन (सक्रिय क्षेत्र) में एम्पलीफायर के रूप में कार्य करता है।
एक्टिव रीजन में,एमिटर-बेस जंक्शन फॉरवर्ड-बायस्ड होता है और कलेक्टर-बेस जंक्शन रिवर्स-बायस्ड होता है।
यह विन्यास ट्रांजिस्टर को करंट और वोल्टेज गेन प्रदान करने की अनुमति देता है,जिससे यह प्रवर्धन (amplification) के उद्देश्यों के लिए उपयुक्त हो जाता है।
इसके विपरीत,कट-ऑफ रीजन एक ओपन स्विच ($OFF$ स्थिति) के रूप में कार्य करता है,और सैचुरेशन रीजन एक क्लोज्ड स्विच ($ON$ स्थिति) के रूप में कार्य करता है।

(A) कॉमन एमिटर कॉन्फ़िगरेशन में ट्रांजिस्टर के लिए, वोल्टेज गेन $A_V$, करंट गेन $\beta$ और रेजिस्टेंस गेन $R_C/R_B$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$A_V = \beta \times \frac{R_C}{R_B}$
दिया गया है: $A_V = 160$, $R_B = 1 \text{ k}\Omega$, $R_C = 4 \text{ k}\Omega$, और $\Delta I_B = 100 \mu A$.
हम जानते हैं कि $\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B}$.
इस मान को वोल्टेज गेन के सूत्र में रखने पर:
$A_V = \left(\frac{\Delta I_C}{\Delta I_B}\right) \times \frac{R_C}{R_B}$
$160 = \left(\frac{\Delta I_C}{100 \times 10^{-6} \text{ A}}\right) \times \left(\frac{4 \text{ k}\Omega}{1 \text{ k}\Omega}\right)$
$160 = \left(\frac{\Delta I_C}{100 \times 10^{-6}}\right) \times 4$
$40 = \frac{\Delta I_C}{100 \times 10^{-6}}$
$\Delta I_C = 40 \times 100 \times 10^{-6} \text{ A} = 4000 \times 10^{-6} \text{ A} = 4 \times 10^{-3} \text{ A} = 4 \text{ mA}$.
अतः, आउटपुट करंट में परिवर्तन $4 \text{ mA}$ है।

(B) यह परिपथ एक $NOR$ गेट से बना है जिसके बाद एक $AND$ गेट और एक $OR$ गेट जुड़े हैं।
मान लीजिए $NOR$ गेट का आउटपुट $C = \overline{A + B}$ है।
दिया गया है कि $A = 1$ और $B = 1$,इसलिए $NOR$ गेट का आउटपुट $C = \overline{1 + 1} = \overline{1} = 0$ होगा।
आउटपुट $y_1$ एक $AND$ गेट का आउटपुट है जिसके इनपुट $A$ और $C$ हैं। अतः,$y_1 = A \cdot C = 1 \cdot 0 = 0$।
आउटपुट $y_2$ एक $OR$ गेट का आउटपुट है जिसके इनपुट $B$ और $C$ हैं। अतः,$y_2 = B + C = 1 + 0 = 1$।
इसलिए,$y_1 = 0$ और $y_2 = 1$ प्राप्त होते हैं।

(B) यह परिपथ एक $NOR$ गेट और एक $NAND$ गेट से बना है।
$1$. $NOR$ गेट के इनपुट $A=1$ और $B=0$ हैं। $NOR$ गेट का आउटपुट $y_2 = \overline{A+B} = \overline{1+0} = \overline{1} = 0$ है।
$2$. $NAND$ गेट के इनपुट $A=1$ और $NOR$ गेट का आउटपुट $y_2=0$ हैं। $NAND$ गेट का आउटपुट $y_1 = \overline{A \cdot y_2} = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$ है।
अतः,$y_1$ और $y_2$ के मान क्रमशः $1$ और $0$ हैं।

(D) एक रेक्टिफायर $AC$ को स्पंदित (pulsating) $DC$ में परिवर्तित करता है। रिपल्स को हटाने और एक सुचारू या स्थिर $DC$ आउटपुट प्राप्त करने के लिए,आउटपुट टर्मिनलों के समानांतर एक कैपेसिटर जोड़ा जाता है। कैपेसिटर पल्स के शिखर के दौरान चार्ज होकर और घाटी (valley) के दौरान डिस्चार्ज होकर एक फिल्टर के रूप में कार्य करता है,जिससे वोल्टेज में होने वाले उतार-चढ़ाव को कम किया जा सके।

(D) एक रेक्टिफायर $AC$ को स्पंदित (pulsating) $DC$ में परिवर्तित करता है। स्थिर $DC$ आउटपुट प्राप्त करने के लिए,एक फिल्टर सर्किट का उपयोग किया जाता है। आउटपुट टर्मिनलों के समानांतर जुड़ा एक कैपेसिटर फिल्टर के रूप में कार्य करता है क्योंकि यह स्पंदित $DC$ के शिखर के दौरान चार्ज होता है और वोल्टेज गिरने पर डिस्चार्ज होता है,जिससे आउटपुट सुचारू हो जाता है और एक स्थिर $DC$ वोल्टेज प्राप्त होता है।

(C) $\text{एक आंतरिक अर्धचालक के लिए, द्रव्यमान क्रिया का नियम बताता है कि } n_i^2 = n_e n_h, \text{ जहाँ } n_i \text{ आंतरिक वाहक सांद्रता है, } n_e \text{ इलेक्ट्रॉन सांद्रता है और } n_h \text{ होल सांद्रता है।}
\text{दिया गया है कि } n_i = 6 \times 10^{15} \,m^{-3} \text{ और डोपित इलेक्ट्रॉन सांद्रता } n_e = 4 \times 10^{22} \,m^{-3} \text{ है।}
\text{इन मानों को सूत्र में रखने पर:}
(6 \times 10^{15})^2 = (4 \times 10^{22}) \times n_h
36 \times 10^{30} = 4 \times 10^{22} \times n_h
n_h = \frac{36 \times 10^{30}}{4 \times 10^{22}}
n_h = 9 \times 10^8 \,m^{-3}$.

(C) $n$-प्रकार का अर्धचालक एक आंतरिक अर्धचालक में पंचसंयोजी (pentavalent) परमाणुओं को मिलाकर बनाया जाता है। यद्यपि मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या होल्स की संख्या से अधिक होती है,लेकिन कुल ऋणात्मक आवेश (इलेक्ट्रॉन) की संख्या कुल धनात्मक आवेश (नाभिक में प्रोटॉन और आयनित दाता परमाणु) द्वारा पूरी तरह से संतुलित होती है। इसलिए,$n$-प्रकार के अर्धचालक का कुल आवेश शून्य होता है,जो इसे विद्युत रूप से उदासीन बनाता है।

(C) ब्रूस्टर का नियम बताता है कि ब्रूस्टर कोण $i_p$ माध्यम के अपवर्तनांक $\mu$ से इस सूत्र द्वारा संबंधित है: $i_p = \tan ^{-1}(\mu)$.
दिया गया है कि कांच का अपवर्तनांक $\mu = 1.5$ है।
सूत्र में $\mu$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $i_p = \tan ^{-1}(1.5)$.
चूंकि $1.5 = \frac{3}{2}$,इसलिए ब्रूस्टर कोण $i_p = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)$ होगा।

(D) दिया गया है: बल्ब की शक्ति $P = 60 \ W$,दक्षता $\eta = 16 \% = 0.16$,दूरी $r = 2 \ m$।
सबसे पहले,$r$ दूरी पर बल्ब द्वारा उत्सर्जित विद्युत चुम्बकीय विकिरण की तीव्रता की गणना करें:
विद्युत चुम्बकीय तरंगों के रूप में उत्सर्जित शक्ति $P_{rad} = \eta \times P = 0.16 \times 60 = 9.6 \ W$ है।
$r$ दूरी पर तीव्रता $I = \frac{P_{rad}}{4 \pi r^2} = \frac{9.6}{4 \pi (2)^2} = \frac{9.6}{16 \pi} = \frac{0.6}{\pi} \ W/m^2$ है।
विद्युत चुम्बकीय तरंग की तीव्रता और शिखर विद्युत क्षेत्र $E_0$ के बीच का संबंध $I = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$ है।
तीव्रता के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{0.6}{\pi} = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$।
हम जानते हैं कि $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ और $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9$,इसलिए $\epsilon_0 = \frac{1}{36 \pi \times 10^9}$ है।
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$ का उपयोग करते हुए,$E_0^2 = \frac{2 \times I}{c \epsilon_0} = \frac{2 \times 0.6 / \pi}{3 \times 10^8 \times (1 / (36 \pi \times 10^9))}$ है।
$E_0^2 = \frac{1.2}{\pi} \times \frac{36 \pi \times 10^9}{3 \times 10^8} = 1.2 \times 12 \times 10 = 144$ है।
अतः,$E_0 = \sqrt{144} = 12 \ Vm^{-1}$।

(A) द्वि-स्लिट प्रयोग में प्रकाश की तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\frac{\pi \Delta x}{\lambda})$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $\Delta x$ पथ अंतर है।
प्रथम बिंदु के लिए,$\Delta x_1 = 2000 \ Å$ और $\lambda = 6000 \ Å$ है।
कलांतर $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x_1 = \frac{2\pi}{6000} \times 2000 = \frac{2\pi}{3} = 120^{\circ}$ है।
तीव्रता $I_1 = I_{max} \cos^2(\frac{120^{\circ}}{2}) = I_{max} \cos^2(60^{\circ}) = I_{max} (1/2)^2 = I_{max}/4$ है।
दूसरे बिंदु के लिए,$\Delta x_2 = 1000 \ Å$ है।
कलांतर $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x_2 = \frac{2\pi}{6000} \times 1000 = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$ है।
तीव्रता $I_2 = I_{max} \cos^2(\frac{60^{\circ}}{2}) = I_{max} \cos^2(30^{\circ}) = I_{max} (\sqrt{3}/2)^2 = 3I_{max}/4$ है।
अतः,अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{I_{max}/4}{3I_{max}/4} = \frac{1}{3}$ है।
इस प्रकार,$I_1: I_2 = 1: 3$ है।

(A) व्यतिकरण प्रतिरूप में तीव्रता $I_{res} = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
पथ अंतर $\Delta x = \lambda$ के लिए,कलांतर $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \lambda = 2\pi$ होता है।
तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max}(1)^2 = I_{max}$ होती है।
पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{3}$ के लिए,कलांतर $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$ होता है।
इस बिंदु पर तीव्रता $I' = I_{max} \cos^2(\frac{\phi_2}{2}) = I_{max} \cos^2(\frac{2\pi/3}{2}) = I_{max} \cos^2(\frac{\pi}{3})$ होती है।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $I' = I_{max} (\frac{1}{2})^2 = \frac{I_{max}}{4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $I_{max} = I$,इसलिए तीव्रता $\frac{I}{4}$ होगी।

(A) एकसमान विद्युत क्षेत्र $E$ में आवेशित कण का त्वरण $a = \frac{qE}{m}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण विरामावस्था $(u = 0)$ से शुरू होते हैं,इसलिए $t$ समय के बाद वेग $v = at = \left(\frac{qE}{m}\right)t$ होगा।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W$,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K$ के बराबर होता है:
$W = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2$.
$v$ का मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2}m\left(\frac{qEt}{m}\right)^2 = \frac{q^2 E^2 t^2}{2m}$.
चूंकि $E$ और $t$ दोनों कणों के लिए समान हैं,इसलिए $W \propto \frac{q^2}{m}$ होगा।
प्रोटॉन के लिए,$q_p = e$ और $m_p = m$। $\alpha$-कण के लिए,$q_\alpha = 2e$ और $m_\alpha = 4m$।
अतः,अनुपात है:
$\frac{W_p}{W_\alpha} = \left(\frac{q_p}{q_\alpha}\right)^2 \left(\frac{m_\alpha}{m_p}\right) = \left(\frac{e}{2e}\right)^2 \left(\frac{4m}{m}\right) = \left(\frac{1}{4}\right) \times 4 = 1: 1$.