दिए गए दीर्घवृत्त $(E) 4x^2 + 9y^2 - 36 = 0$,वृत्त $(C) x^2 + y^2 - 9 = 0$ और दो बिंदुओं $A(1, 2), B(2, 1)$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

दो दीर्घवृत्तों के समीकरण $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ और $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{b^2}=1$ हैं। यदि उनकी उत्केंद्रताओं का गुणनफल $\frac{\sqrt{2}}{3}$ है,तो दूसरे दीर्घवृत्त के दीर्घ अक्ष और लघु अक्ष की लंबाई का गुणनफल $\qquad$ है।

$100$ व्यक्तियों के एक समूह में $75$ अंग्रेजी बोलते हैं और $40$ हिंदी बोलते हैं। प्रत्येक व्यक्ति कम से कम एक भाषा बोलता है। यदि केवल अंग्रेजी बोलने वाले व्यक्तियों की संख्या $\alpha$ है और केवल हिंदी बोलने वाले व्यक्तियों की संख्या $\beta$ है,तो दीर्घवृत्त $25(\beta^2 x^2 + \alpha^2 y^2) = \alpha^2 \beta^2$ की उत्केंद्रता $.......$ है।

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ की नाभियों और लघु अक्ष के सिरों को मिलाने वाली सरल रेखाओं के बीच का कोण $90^{\circ}$ है,तो इसकी उत्केंद्रता क्या है?

यदि $F_1$ और $F_2$ दीर्घवृत्त $16 x^2+25 y^2=400$ की नाभियाँ हैं और $P$ उस पर कोई बिंदु है,तो गुणनफल $P F_1 \cdot P F_2$ का मान किस अंतराल में स्थित है?

दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{100}=1$ के लिए नाभियों के निर्देशांक,शीर्षों,दीर्घ अक्ष की लंबाई,लघु अक्ष की लंबाई,उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।