यदि अतिपरवलय frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1 | vedclass

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Question

(D) अतिपरवलय की नाभियाँ $S(ae, 0)$ और $S'(-ae, 0)$ हैं।$S$ से गुजरने वाले नाभिलंब के अंतिम बिंदु $A(ae, \frac{b^2}{a})$ और $B(ae, -\frac{b^2}{a})$ हैं

Vedclass · Accepted Answer

$\sqrt{3}$

Vedclass · Answer

(D) अतिपरवलय की नाभियाँ $S(ae, 0)$ और $S'(-ae, 0)$ हैं।$S$ से गुजरने वाले नाभिलंब के अंतिम बिंदु $A(ae, \frac{b^2}{a})$ और $B(ae, -\frac{b^2}{a})$ हैं।$AB$ द्वारा $S'$ पर अंतरित कोण $60^{\circ}$ है।चूँकि त्रिभुज $	riangle AS'B$ समद्विबाहु है,रेखा $S'S$ कोण $\angle AS'B$ को समद्विभाजित करती है,इसलिए $\angle AS'S = 30^{\circ}$।$S'A$ की ढाल $	an(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।अतः,$\frac{b^2/a}{ae - (-ae)} = \frac{b^2}{2a^2e} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।इससे $\frac{b^2}{a^2} = \frac{2e}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।संबंध $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ का उपयोग करने पर,$\frac{b^2}{a^2} = e^2 - 1$ मिलता है।दोनों पदों की तुलना करने पर: $e^2 - 1 = \frac{2e}{\sqrt{3}}$,जो सरल होकर $\sqrt{3}e^2 - 2e - \sqrt{3} = 0$ हो जाता है।द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(\sqrt{3}e + 1)(e - \sqrt{3}) = 0$।चूँकि उत्केंद्रता $e > 1$ होती है,इसलिए $e = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

यदि अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ का नाभिलंब दूसरे नाभि पर $60^{\circ}$ का कोण अंतरित करता है,तो अतिपरवलय की उत्केंद्रता क्या है?

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