यदि एक चतुष्फलक (tetrahedron) का आयतन,जिसके शीर्षों के स्थिति सदिश $\hat{i}-6 \hat{j}+10 \hat{k}$,$-\hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}$,$5 \hat{i}-\hat{j}+\lambda \hat{k}$ और $7 \hat{i}-4 \hat{j}+7 \hat{k}$ हैं,$11$ घन इकाई है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1, \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 2$ और $\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = 3$ है,तो $[\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c}), \vec{b} \times(\vec{c} \times \vec{a}), \vec{c} \times(\vec{b} \times \vec{a})]$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि सदिशों $\bar{a}, \bar{b}$ और $\bar{c}$ के लिए $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 4$ है,तो $[\bar{a} \times \bar{b}, \bar{b} \times \bar{c}, \bar{c} \times \bar{a}] = \dots$

मान लीजिए $\alpha \in \mathbb{R}$ और तीन सदिश $\vec{a} = \alpha \hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - \alpha \hat{k}$,और $\vec{c} = \alpha \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ हैं। तो समुच्चय $S = \{ \alpha : \vec{a}, \vec{b}, \text{ और } \vec{c} \text{ समतलीय हैं} \}$

मान लीजिए कि एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन $1 \text{ cu. unit}$ है,जिसकी कोर $\overrightarrow{u}=\hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}$,$\overrightarrow{v}=\hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$ और $\overrightarrow{w}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ हैं। यदि $\theta$ कोर $\overrightarrow{u}$ और $\overrightarrow{w}$ के बीच का कोण है,तो $\cos \theta$ का मान क्या हो सकता है?

यदि $\bar{u}=\hat{\imath}-2 \hat{\jmath}+\hat{k}, \bar{v}=3 \hat{\imath}+\hat{k}$ और $\bar{w}=\hat{\jmath}-\hat{k}$ है,तो $\bar{u} \times \bar{v}, \bar{u}+\bar{w}$ और $\bar{v}+\bar{w}$ को को-टर्मिनस किनारों के रूप में रखने वाले समानांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन ज्ञात कीजिए।