MHT CET 2023 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) સમતાપી પ્રક્રિયા એટલે એવી પ્રક્રિયા જેમાં તંત્રનું તાપમાન અચળ રહે છે $(dT = 0)$.
આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $(U)$ માત્ર તાપમાનનું વિધેય છે $(U = f(T))$. તેથી,જો તાપમાન અચળ હોય,તો આંતરિક ઉર્જા અચળ રહે છે $(dU = 0)$.
જોકે,વાસ્તવિક વાયુઓ માટે એન્થાલ્પી $(H = U + PV)$ દબાણ પર પણ આધાર રાખે છે. તેથી,તાપમાન અચળ હોવા છતાં,જો દબાણ બદલાય તો એન્થાલ્પી બદલાઈ શકે છે.
આમ,તંત્રની એન્થાલ્પી અચળ રહે છે તે વિધાન તમામ સમતાપી પ્રક્રિયાઓ માટે સાચું નથી,તેથી તે ખોટું વિધાન છે.

(C) વાયુરૂપ ઘટકોના મોલની સંખ્યામાં થતો ફેરફાર $\Delta n_g = (n_{products, g} - n_{reactants, g})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રક્રિયા માટે: $NH_2CN_{(g)} + \frac{3}{2} O_{2_{(g)}} \longrightarrow N_{2_{(g)}} + CO_{2_{(g)}} + H_2O_{(l)}$
$\Delta n_g = (1 + 1) - (1 + 1.5) = 2 - 2.5 = -0.5 \ mol$.
આપેલ છે $\Delta U = -740.5 \ kJ$,$T = 25 + 273 = 298 \ K$,અને $R = 8.314 \times 10^{-3} \ kJ \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
સંબંધ $\Delta H = \Delta U + \Delta n_g RT$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta H = -740.5 \ kJ + (-0.5 \ mol) \times (8.314 \times 10^{-3} \ kJ \ K^{-1} \ mol^{-1}) \times 298 \ K$.
$\Delta H = -740.5 \ kJ - 1.2388 \ kJ = -741.7388 \ kJ \ mol^{-1}$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\Delta H \approx -741.7 \ kJ \ mol^{-1}$ મળે છે.

(C) $PV$ સિસ્ટમમાં થયેલ કાર્યનું સૂત્ર $W = -P_{ext} \Delta V = -P_{ext}(V_2 - V_1)$ છે.
પ્રારંભિક કદ $V_1 = 150 \ mL + 150 \ mL = 300 \ mL = 0.3 \ dm^3$.
અંતિમ કદ $V_2 = 150 \ mL = 0.15 \ dm^3$.
બાહ્ય દબાણ $P_{ext} = 1 \ bar$.
કિંમતો મૂકતા: $W = -1 \ bar \times (0.15 \ dm^3 - 0.3 \ dm^3) = -1 \times (-0.15) \ dm^3 \ bar = 0.15 \ dm^3 \ bar$.
કારણ કે $1 \ dm^3 \ bar = 100 \ J$,તેથી થયેલ કાર્ય $0.15 \times 100 \ J = 15.00 \ J$ થાય.

(B) થર્મોડાયનેમિક ગુણધર્મોને સ્ટેટ ફંક્શન અથવા પાથ ફંક્શન તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
સ્ટેટ ફંક્શન માત્ર સિસ્ટમની પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિ પર આધાર રાખે છે,જેમ કે $Internal \ energy$ $(U)$,$Enthalpy$ $(H)$,અને $Entropy$ $(S)$.
પાથ ફંક્શન અંતિમ સ્થિતિ સુધી પહોંચવા માટે લીધેલા માર્ગ પર આધાર રાખે છે,જેમ કે $Work$ $(w)$ અને $Heat$ $(q)$.
તેથી,$Work$ એ પાથ ફંક્શન છે.

(D) એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H)$,આંતરિક ઉર્જા ફેરફાર $(\Delta U)$ અને કાર્ય $(W)$ વચ્ચેનો સંબંધ: $\Delta H = \Delta U + P \Delta V$.
વાયુ દ્વારા થતું કાર્ય $W = -P \Delta V$ હોવાથી,$P \Delta V = -W$.
તેથી,$\Delta H = \Delta U - W$.
આપેલ છે:
આંતરિક ઉર્જા ફેરફાર $\Delta U = +432 \ J$.
વાયુ દ્વારા થતું કાર્ય $W = 200 \ J$.
સિસ્ટમ દ્વારા કાર્ય થતું હોવાથી,સિસ્ટમ પર થતું કાર્ય $-200 \ J$ ગણાય.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta H = 432 \ J - (-200 \ J) = 432 \ J + 200 \ J = 632 \ J$.

(C) દ્રાવણની એન્થાલ્પી,લેટીસ એન્થાલ્પી અને હાઇડ્રેશન એન્થાલ્પી વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\Delta_{soln} H = \Delta_{lattice} H + \Delta_{hyd} H$
હાઇડ્રેશન એન્થાલ્પી શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\Delta_{hyd} H = \Delta_{soln} H - \Delta_{lattice} H$
આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$\Delta_{hyd} H = 4 \ kJ \ mol^{-1} - 790 \ kJ \ mol^{-1}$
$\Delta_{hyd} H = -786 \ kJ \ mol^{-1}$

(D) ઇથેન બનાવવા માટેનું રાસાયણિક સમીકરણ:
$2 C_{(s)} + 3 H_{2(g)} \longrightarrow C_2 H_{6(g)} ; \Delta_{f} H^{\circ} = ?$
ઇથેન $(C_2 H_6)$ નું મોલર દળ $(2 \times 12) + (6 \times 1) = 30 \ g \ mol^{-1}$ છે.
$3 \ g \ C_2 H_6$ માં મોલની સંખ્યા $n = \frac{3 \ g}{30 \ g \ mol^{-1}} = 0.1 \ mol$ છે.
આપેલ છે કે $0.1 \ mol \ C_2 H_6$ માટે $8.84 \ kJ$ ઉષ્મા મુક્ત થાય છે,તેથી $1 \ mol$ માટે મુક્ત થતી ઉષ્મા:
$\Delta_{f} H^{\circ} = \frac{-8.84 \ kJ}{0.1 \ mol} = -88.4 \ kJ \ mol^{-1}$.
ઉષ્મા મુક્ત થતી હોવાથી,એન્થાલ્પી ફેરફાર ઋણ રહેશે.

(D) દ્રાવણની એન્થાલ્પી $(\Delta_{\text{soln}} H)$ એ લેટીસ એન્થાલ્પી $(\Delta_{L} H)$ અને હાઇડ્રેશન એન્થાલ્પી $(\Delta_{\text{hyd}} H)$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$\Delta_{\text{soln}} H = \Delta_{L} H + \Delta_{\text{hyd}} H$
આપેલ છે: $\Delta_{L} H = 699 \ kJ \ mol^{-1}$ અને $\Delta_{\text{hyd}} H = -681.8 \ kJ \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta_{\text{soln}} H = 699 \ kJ \ mol^{-1} + (-681.8 \ kJ \ mol^{-1})$
$\Delta_{\text{soln}} H = 17.2 \ kJ \ mol^{-1}$.

(A) પ્રક્રિયા માટે: $2 H_2 + O_2 \rightarrow 2 H_2 O$ (જેમાં $4 \times O-H$ બંધ હોય છે).
$\Delta_{r} H = [2 \times BE(H-H) + BE(O=O)] - [4 \times BE(O-H)]$
$-571 = [2 \times 435 + 498] - 4 \times BE(O-H)$
$-571 = [870 + 498] - 4 \times BE(O-H)$
$-571 = 1368 - 4 \times BE(O-H)$
$4 \times BE(O-H) = 1368 + 571$
$4 \times BE(O-H) = 1939$
$BE(O-H) = \frac{1939}{4} \approx 484.75 \ kJ/mol$
આમ,સરેરાશ બંધ ઉર્જા આશરે $484 \ kJ/mol$ છે.

(A) ઇલેક્ટ્રોન પ્રાપ્તિ એન્થાલ્પી એ તટસ્થ વાયુરૂપ પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન ઉમેરતી વખતે થતો ઉર્જાનો ફેરફાર છે.
$Ne$ જેવા નિષ્ક્રિય વાયુઓ સ્થાયી $ns^2 np^6$ ઇલેક્ટ્રોનિક રચના ધરાવે છે.
$Ne$ માં ઇલેક્ટ્રોન ઉમેરવા માટે તેને આગામી ઉચ્ચ ઉર્જા કક્ષામાં મૂકવા માટે ઉર્જાની જરૂર પડે છે,જે પ્રક્રિયાને ઉષ્માશોષક બનાવે છે.
તેથી,$Ne$ ધન ઇલેક્ટ્રોન પ્રાપ્તિ એન્થાલ્પી ધરાવે છે.

(A) પર્યાવરણમાં થતો એન્ટ્રોપી ફેરફાર $\Delta S_{surr} = \frac{-\Delta H}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\Delta H = 28.1 \ kJ \ mol^{-1} = 28100 \ J \ mol^{-1}$ અને $T = 300 \ K$.
$\Delta S_{surr} = \frac{-28100 \ J \ mol^{-1}}{300 \ K} = -93.67 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
કુલ એન્ટ્રોપી ફેરફાર $\Delta S_{total} = \Delta S_{sys} + \Delta S_{surr}$ છે.
$\Delta S_{total} = 108.7 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1} + (-93.67 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}) = 15.03 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $15.1 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$ મળે છે.

(B) આસપાસનો એન્ટ્રોપી ફેરફાર સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta S_{surr} = -\frac{\Delta H_{sys}}{T}$.
આપેલ છે,$\Delta H_{sys} = +7 \ kJ \ mol^{-1} = +7000 \ J \ mol^{-1}$ અને $T = 300 \ K$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta S_{surr} = -\frac{7000 \ J \ mol^{-1}}{300 \ K} = -23.33 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ છે:
$\Delta H = 7 \ kJ$
$\Delta S = 24.8 \ J \ K^{-1} = 24.8 \times 10^{-3} \ kJ \ K^{-1}$
$T = 300 \ K$
ગિબ્સ મુક્ત ઊર્જા ફેરફારનું સૂત્ર:
$\Delta G = \Delta H - T \Delta S$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta G = 7 \ kJ - (300 \ K \times 24.8 \times 10^{-3} \ kJ \ K^{-1})$
$\Delta G = 7 \ kJ - 7.44 \ kJ$
$\Delta G = -0.44 \ kJ$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sec \left(\frac{y}{x}\right)$ છે.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v + \sec(v)$.
આ સાદું રૂપ આપતા $x \frac{dv}{dx} = \sec(v)$ મળે,જેને $\cos(v) dv = \frac{1}{x} dx$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \cos(v) dv = \int \frac{1}{x} dx$,જે $\sin(v) = \log(x) + c$ આપે છે.
$v = \frac{y}{x}$ પાછું મૂકતા,આપણને $\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log(x) + c$ મળે છે.
વક્ર બિંદુ $\left(1, \frac{\pi}{6}\right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\sin \left(\frac{\pi/6}{1}\right) = \log(1) + c$.
કારણ કે $\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ અને $\log(1) = 0$,તેથી $c = \frac{1}{2}$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log(x) + \frac{1}{2}$ છે.

(A) આપેલ વક્રો $y^2=6x$ $(i)$ અને $9x^2+by^2=16$ (ii) છે.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx} = 6 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3}{y}$.
(ii) નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $18x + 2by \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{9x}{by}$.
વક્રો કાટખૂણે છેદતા હોવાથી,તેમના સ્પર્શકોના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$\left(\frac{3}{y}\right) \times \left(-\frac{9x}{by}\right) = -1$.
$\Rightarrow \frac{27x}{by^2} = 1 \Rightarrow by^2 = 27x$.
$(i)$ માંથી $y^2=6x$ ની કિંમત મૂકતા: $b(6x) = 27x$.
$x \neq 0$ લેતા,$6b = 27 \Rightarrow b = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.

(B) ધારો કે શીટની ઊંચાઈ અને પહોળાઈ અનુક્રમે $y \ m$ અને $x \ m$ છે.
ક્ષેત્રફળ $18 \ m^2$ હોવાથી,$x y = 18$ મળે.
$cm$ માં ફેરવતા,$x y = 180000 \ cm^2$,તેથી $y = \frac{180000}{x}$.
ઉપર અને નીચે $75 \ cm$ (કુલ $150 \ cm = 1.5 \ m$) અને દરેક બાજુએ $50 \ cm$ (કુલ $100 \ cm = 1 \ m$) માર્જિન છે.
છાપવા માટે ઉપલબ્ધ ક્ષેત્રફળ $A = (y - 1.5)(x - 1)$ છે.
$y = \frac{18}{x}$ મૂકતા,$A = (\frac{18}{x} - 1.5)(x - 1) = 18 - \frac{18}{x} - 1.5x + 1.5 = 19.5 - 1.5x - \frac{18}{x}$.
$A$ ને મહત્તમ કરવા માટે,$\frac{dA}{dx} = -1.5 + \frac{18}{x^2} = 0$ લો.
$\frac{18}{x^2} = 1.5 \Rightarrow x^2 = \frac{18}{1.5} = 12$.
$x = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3} \ m$.
તેથી $y = \frac{18}{2 \sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3 \sqrt{3} \ m$.
આમ,પરિમાણો ઊંચાઈ $3 \sqrt{3} \ m$ અને પહોળાઈ $2 \sqrt{3} \ m$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,અસમતા $x^2+30 \leq 11x$ ઉકેલીને ગણ $S$ નક્કી કરીએ.
$x^2-11x+30 \leq 0$
$(x-5)(x-6) \leq 0$
આમ,$S = [5, 6]$.
હવે,$f(x) = 3x^3-18x^2+27x-40$ નું વિકલન કરીએ:
$f'(x) = 9x^2-36x+27 = 9(x^2-4x+3) = 9(x-1)(x-3)$.
$x \in [5, 6]$ માટે,$(x-1)$ અને $(x-3)$ બંને ધન છે,તેથી $f'(x) > 0$.
અંતરાલ $[5, 6]$ પર $f'(x) > 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ આ અંતરાલ પર વધતું વિધેય છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત અંતિમ બિંદુ $x=6$ પર મળે છે.
$f(6) = 3(6)^3 - 18(6)^2 + 27(6) - 40$
$f(6) = 3(216) - 18(36) + 162 - 40$
$f(6) = 648 - 648 + 162 - 40 = 122$.

(D) વિધેય $x = \frac{\pi}{4}$ અને $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ સતત હોવાથી,આ બિંદુઓ પર ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ સમાન હોવું જોઈએ.
$x = \frac{\pi}{4}$ આગળ:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^-} (x + a \sqrt{2} \sin x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} (2x \cot x + b)$
$\frac{\pi}{4} + a \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2(\frac{\pi}{4}) \cdot 1 + b$
$\frac{\pi}{4} + a = \frac{\pi}{2} + b \implies a - b = \frac{\pi}{4} \quad (i)$
$x = \frac{\pi}{2}$ આગળ:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (2x \cot x + b) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} (a \cos 2x - b \sin x)$
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} x \cot x = 0$ હોવાથી:
$0 + b = a \cos(\pi) - b \sin(\frac{\pi}{2})$
$b = -a - b \implies a + 2b = 0 \quad (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,$a = -2b$. તેને $(i)$ માં મૂકતા:
$-2b - b = \frac{\pi}{4} \implies -3b = \frac{\pi}{4} \implies b = -\frac{\pi}{12}$
તેથી $a = -2(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{6}$.
આમ,$a = \frac{\pi}{6}$ અને $b = -\frac{\pi}{12}$.

(B) ધારો કે $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sec^{\frac{2}{3}} x \operatorname{cosec}^{\frac{4}{3}} x \, dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\cos^{\frac{2}{3}} x \sin^{\frac{4}{3}} x} \, dx$
અંશ અને છેદને $\cos^{\frac{4}{3}} x$ વડે ભાગતા:
$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\frac{1}{\cos^{\frac{4}{3}} x}}{\frac{\cos^{\frac{2}{3}} x \sin^{\frac{4}{3}} x}{\cos^{\frac{4}{3}} x}} \, dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sec^2 x}{\tan^{\frac{4}{3}} x} \, dx$
$\tan x = t$ લેતા,તેથી $\sec^2 x \, dx = dt$.
જ્યારે $x = \frac{\pi}{6}$,ત્યારે $t = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
જ્યારે $x = \frac{\pi}{3}$,ત્યારે $t = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
$I = \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} t^{-\frac{4}{3}} \, dt = \left[ \frac{t^{-\frac{4}{3} + 1}}{-\frac{4}{3} + 1} \right]_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} = \left[ \frac{t^{-\frac{1}{3}}}{-\frac{1}{3}} \right]_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} = -3 \left[ t^{-\frac{1}{3}} \right]_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}}$
$I = -3 \left( (\sqrt{3})^{-\frac{1}{3}} - (\frac{1}{\sqrt{3}})^{-\frac{1}{3}} \right) = -3 \left( (3^{\frac{1}{2}})^{-\frac{1}{3}} - (3^{-\frac{1}{2}})^{-\frac{1}{3}} \right)$
$I = -3 \left( 3^{-\frac{1}{6}} - 3^{\frac{1}{6}} \right) = 3 \cdot 3^{\frac{1}{6}} - 3 \cdot 3^{-\frac{1}{6}} = 3^{1+\frac{1}{6}} - 3^{1-\frac{1}{6}} = 3^{\frac{7}{6}} - 3^{\frac{5}{6}}$

(A) વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનું કેન્દ્ર $Y$-અક્ષ પર છે. ધારો કે કેન્દ્ર $(0, k)$ છે. તે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતું હોવાથી,ત્રિજ્યા $k$ થશે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-0)^2 + (y-k)^2 = k^2$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 + y^2 - 2yk + k^2 = k^2$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 = 2yk$ મળે છે.
આના પરથી,$k = \frac{x^2+y^2}{2y}$ મળે છે.
$x^2 + y^2 = 2yk$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2k \frac{dy}{dx}$.
સમીકરણમાં $k = \frac{x^2+y^2}{2y}$ મૂકતા:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2 \left( \frac{x^2+y^2}{2y} \right) \frac{dy}{dx}$.
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = \left( \frac{x^2+y^2}{y} \right) \frac{dy}{dx}$.
$y$ વડે ગુણતા: $2xy + 2y^2 \frac{dy}{dx} = (x^2+y^2) \frac{dy}{dx}$.
પદોને ગોઠવતા: $2xy = (x^2+y^2-2y^2) \frac{dy}{dx}$.
$2xy = (x^2-y^2) \frac{dy}{dx}$.
આમ,$(x^2-y^2) \frac{dy}{dx} - 2xy = 0$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(2+\sin x) \frac{dy}{dx} + (y+1) \cos x = 0$
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{dy}{y+1} = -\frac{\cos x}{2+\sin x} dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{dy}{y+1} = -\int \frac{\cos x}{2+\sin x} dx$
$\ln(y+1) = -\ln(2+\sin x) + C$
$\ln(y+1) + \ln(2+\sin x) = C$
$\ln((y+1)(2+\sin x)) = C$
$(y+1)(2+\sin x) = e^C = K$
આપેલ છે કે $y(0) = 1$,તેથી $x=0$ અને $y=1$ મુકતા:
$(1+1)(2+\sin 0) = K \Rightarrow 2(2+0) = K \Rightarrow K = 4$
તેથી,$(y+1)(2+\sin x) = 4$
$x = \frac{\pi}{2}$ માટે:
$(y+1)(2+\sin \frac{\pi}{2}) = 4$
$(y+1)(2+1) = 4$
$3(y+1) = 4$
$y+1 = \frac{4}{3}$
$y = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$

(A) આપેલ સમીકરણ: $\log(x+y) = 2xy$ ... $(i)$
$x = 0$ મુકતા,$(i)$ માં: $\log(0+y) = 2(0)y \implies \log(y) = 0 \implies y = e^0 = 1$.
હવે,$(i)$ ના બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\log(x+y)) = \frac{d}{dx}(2xy)$
$\frac{1}{x+y} \cdot (1 + y') = 2(y + xy')$
વિકલિત સમીકરણમાં $x = 0$ અને $y = 1$ મુકતા:
$\frac{1}{0+1} \cdot (1 + y'(0)) = 2(1 + 0 \cdot y'(0))$
$1 \cdot (1 + y'(0)) = 2(1)$
$1 + y'(0) = 2$
$y'(0) = 2 - 1 = 1$
આમ,$y'(0)$ નું મૂલ્ય $1$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\log(x+y)=2xy$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{x+y} \cdot (1 + y') = 2y + 2xy'$
$x=0$ માટે,સમીકરણ $\log(0+y) = 2(0)y$ બને છે,જેનો અર્થ છે કે $\log(y) = 0$,તેથી $y = e^0 = 1$.
વિકલિત સમીકરણમાં $x=0$ અને $y=1$ મૂકતા:
$\frac{1}{0+1} \cdot (1 + y'(0)) = 2(1) + 2(0)y'(0)$
$1 \cdot (1 + y'(0)) = 2 + 0$
$1 + y'(0) = 2$
$y'(0) = 2 - 1 = 1$

(C) આપેલ છે કે $f(x)=x^3+x^2 f^{\prime}(1)+x f^{\prime \prime}(2)+6$. $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$f^{\prime}(x)=3 x^2+2 x f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(2)$. (ii)
ફરીથી વિકલન કરતા,$f^{\prime \prime}(x)=6 x+2 f^{\prime}(1)$. (iii)
(ii) માં $x=1$ મૂકતા,$f^{\prime}(1)=3(1)^2+2(1) f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(2) \Rightarrow f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(2)=-3$. (iv)
(iii) માં $x=2$ મૂકતા,$f^{\prime \prime}(2)=6(2)+2 f^{\prime}(1) \Rightarrow f^{\prime \prime}(2)=12+2 f^{\prime}(1)$. $(v)$
$(v)$ ને (iv) માં મૂકતા,$f^{\prime}(1)+12+2 f^{\prime}(1)=-3 \Rightarrow 3 f^{\prime}(1)=-15 \Rightarrow f^{\prime}(1)=-5$.
$(v)$ પરથી,$f^{\prime \prime}(2)=12+2(-5)=2$.
હવે,$f(2)=2^3+2^2(-5)+2(2)+6 = 8-20+4+6 = -2$.

(B) $f(x)=x^3+x^2 f^{\prime}(1)+x f^{\prime \prime}(2)+6$
$\therefore f^{\prime}(x)=3 x^2+2 x f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(2)$ ...$(i)$
$\therefore f^{\prime \prime}(x)=6 x+2 f^{\prime}(1)$ ...(ii)
$(i)$ માં $x=1$ મુકતા,આપણને મળે
$f^{\prime}(1)=3(1)^2+2(1) f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(2)$
$\Rightarrow f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(2)=-3$ ...(iii)
(ii) માં $x=2$ મુકતા,આપણને મળે
$f^{\prime \prime}(2)=6(2)+2 f^{\prime}(1)$
$\Rightarrow f^{\prime \prime}(2)=12+2 f^{\prime}(1)$ ...(iv)
(iii) અને (iv) પરથી,આપણને મળે
$f^{\prime}(1)+12+2 f^{\prime}(1)=-3$
$\Rightarrow 3 f^{\prime}(1)=-15$
$\Rightarrow f^{\prime}(1)=-5$
(iii) પરથી,$-5+f^{\prime \prime}(2)=-3$
$\Rightarrow f^{\prime \prime}(2)=2$
$\therefore f(2) = 2^3+2^2(-5)+2(2)+6$
$= 8-20+4+6$
$= -2$

(B) આપેલ છે કે $f^{\prime}(x)=f(x)$ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે.
આ એક પ્રથમ ક્રમનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $\ln|f(x)| = x + C$ મળે છે.
તેથી,$f(x) = e^{x+C} = k e^x$,જ્યાં $k = e^C$ એક અચળાંક છે.
$f(1)=2$ આપેલ હોવાથી,$k e^1 = 2$,જેનો અર્થ છે કે $k = \frac{2}{e}$.
તેથી,$f(x) = \frac{2}{e} \cdot e^x = 2 e^{x-1}$.
હવે,$h(x) = f(f(x))$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$h^{\prime}(x) = f^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x)$.
કારણ કે $f^{\prime}(x) = f(x)$,આપણને $h^{\prime}(x) = f(f(x)) \cdot f(x)$ મળે છે.
$x=1$ માટે,$h^{\prime}(1) = f(f(1)) \cdot f(1)$.
$f(1)=2$ હોવાથી,$h^{\prime}(1) = f(2) \cdot 2$.
$f(x) = 2 e^{x-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$f(2) = 2 e^{2-1} = 2e$.
તેથી,$h^{\prime}(1) = (2e) \cdot 2 = 4e$.

(C) આપણને $f(x) = \int \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2} \, dx$ આપેલ છે.
આપણે $f(3) - f(1) = \int_1^3 \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2} \, dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ધારો કે $\sqrt{x} = \tan \theta$,તો $x = \tan^2 \theta$ અને $dx = 2 \tan \theta \sec^2 \theta \, d\theta$.
જ્યારે $x = 1$,$\tan \theta = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}$.
જ્યારે $x = 3$,$\tan \theta = \sqrt{3} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{3}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\tan \theta \cdot 2 \tan \theta \sec^2 \theta}{(1 + \tan^2 \theta)^2} \, d\theta = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{2 \tan^2 \theta \sec^2 \theta}{\sec^4 \theta} \, d\theta = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} 2 \sin^2 \theta \, d\theta$.
નિત્યસમ $2 \sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} (1 - \cos 2\theta) \, d\theta = [\theta - \frac{\sin 2\theta}{2}]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}$.
$I = (\frac{\pi}{3} - \frac{\sin(2\pi/3)}{2}) - (\frac{\pi}{4} - \frac{\sin(\pi/2)}{2}) = (\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}) - (\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2})$.
$I = \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}$.

(D) ધારો કે $y = \log \left(t+\sqrt{1+t^2}\right)$.
હવે,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$dy = \frac{1}{t+\sqrt{1+t^2}} \left(1 + \frac{2t}{2\sqrt{1+t^2}}\right) dt$ મળે.
કૌંસમાં રહેલા પદનું સાદુંરૂપ આપતા: $1 + \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} = \frac{\sqrt{1+t^2}+t}{\sqrt{1+t^2}}$.
આમ,$dy = \frac{1}{t+\sqrt{1+t^2}} \cdot \frac{\sqrt{1+t^2}+t}{\sqrt{1+t^2}} dt = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} dt$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા: $\int y \, dy = \frac{y^2}{2} + c$.
આપેલ પદ $\frac{1}{2}[g(t)]^2 + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g(t) = y = \log \left(t+\sqrt{1+t^2}\right)$ મળે છે.
તેથી,$g(2) = \log \left(2+\sqrt{1+2^2}\right) = \log (2+\sqrt{5})$.

(D) આપેલ છે કે $\tan ^{-1} a+\tan ^{-1} b+\tan ^{-1} c=\pi$.
સૂત્ર $\tan ^{-1} a+\tan ^{-1} b+\tan ^{-1} c = \tan ^{-1} \left( \frac{a+b+c-abc}{1-ab-bc-ca} \right) = \pi$ નો ઉપયોગ કરતા.
બંને બાજુ $\tan$ લેતા,આપણને $\frac{a+b+c-abc}{1-ab-bc-ca} = \tan \pi$ મળે છે.
કારણ કે $\tan \pi = 0$,તેથી $\frac{a+b+c-abc}{1-ab-bc-ca} = 0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $a+b+c-abc = 0$.
તેથી,$a+b+c=abc$.

(A) ધારો કે $\sin^{-1} x = \theta$,જેનો અર્થ છે કે $x = \sin \theta$. કારણ કે $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$,તેથી $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}$ છે.
ત્યારે $\sqrt{1-x^2} = \cos \theta$ થાય.
પદાવલિ આ મુજબ બને છે: $\tan \left[ \sin^{-1} \left( \frac{\sin \theta}{\sqrt{2}} + \frac{\cos \theta}{\sqrt{2}} \right) - \theta \right]$.
નિત્યસમ $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sqrt{2}} = \sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right)$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \tan \left[ \sin^{-1} \left( \sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) \right) - \theta \right]$.
કારણ કે $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}$,તેથી $\frac{\pi}{4} \leq \theta + \frac{\pi}{4} \leq \frac{5\pi}{12}$ થાય.
આ વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ માં હોવાથી,$\sin^{-1}(\sin(\theta + \frac{\pi}{4})) = \theta + \frac{\pi}{4}$ મળે.
આમ,પદાવલિનું સાદું રૂપ $\tan \left( \theta + \frac{\pi}{4} - \theta \right) = \tan \frac{\pi}{4} = 1$ થાય છે.

(D) ધારો કે $p$ : ચુકવણી કરવામાં આવશે.
ધારો કે $q$ : કામ સમયસર પૂર્ણ થાય છે.
આપેલ વિધાન દ્વિ-શરતી વિધાન છે: $p \iff q$,જે $(p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$ ને સમાન છે.
$p \iff q$ નું નકારાત્મક વિધાન $\sim(p \iff q)$ છે,જે $(p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim p)$ ને સમાન છે.
આનો અર્થ થાય છે: "ચુકવણી કરવામાં આવે છે અને કામ સમયસર પૂર્ણ થતું નથી,અથવા કામ સમયસર પૂર્ણ થાય છે અને ચુકવણી કરવામાં આવતી નથી."
તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $[\sim(\sim p \vee q) \vee (p \wedge r)] \wedge (\sim q \wedge r)$
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $[(p \wedge \sim q) \vee (p \wedge r)] \wedge (\sim q \wedge r)$
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $[p \wedge (\sim q \vee r)] \wedge (\sim q \wedge r)$
જૂથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $p \wedge [(\sim q \vee r) \wedge (\sim q \wedge r)]$
કારણ કે $(\sim q \vee r) \wedge (\sim q \wedge r) = (\sim q \wedge r)$,તેથી પદાવલિ બને છે: $p \wedge (\sim q \wedge r)$
ક્રમના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ગોઠવતા: $(p \wedge r) \wedge \sim q$

(C) આપેલ પદાવલિ: $[(\sim(\sim p \vee q)) \vee (p \wedge r)] \wedge (\sim q \wedge r)$
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(\sim p \vee q) \equiv (p \wedge \sim q)$.
તેથી,પદાવલિ આ મુજબ બને છે: $[(p \wedge \sim q) \vee (p \wedge r)] \wedge (\sim q \wedge r)$
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $[p \wedge (\sim q \vee r)] \wedge (\sim q \wedge r)$
જૂથના નિયમ અને ક્રમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $p \wedge [(\sim q \vee r) \wedge (\sim q \wedge r)]$
કારણ કે શોષણના નિયમ મુજબ $(\sim q \vee r) \wedge (\sim q \wedge r) \equiv (\sim q \wedge r)$:
આમ,પદાવલિનું સાદું રૂપ: $p \wedge (\sim q \wedge r)$
જે $(p \wedge r) \wedge \sim q$ ને સમકક્ષ છે.

(B) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n(n-3)}{2}$ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $54$ છે,તેથી:
$\frac{n(n-3)}{2} = 54$
$n(n-3) = 108$
$n^2 - 3n - 108 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(n - 12)(n + 9) = 0$
બાજુઓની સંખ્યા $n$ હંમેશા ધન પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ,તેથી $n = 12$.

(D) ધારો કે અવલોકનો $x_1, x_2, \dots, x_n$ છે અને તેમનું વિચરણ $\sigma^2 = 5$ છે.
જ્યારે દરેક અવલોકનને અચળ $k$ વડે ગુણવામાં આવે,ત્યારે નવું વિચરણ $\sigma'^2 = k^2 \times \sigma^2$ થાય છે.
અહીં,$k = 2$ અને $\sigma^2 = 5$ છે.
તેથી,નવું વિચરણ $= 2^2 \times 5 = 4 \times 5 = 20$ થાય.

(C) $(2,1,0)$,$(4,1,1)$ અને $(5,0,1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z-0 \\ 4-2 & 1-1 & 1-0 \\ 5-2 & 0-1 & 1-0 \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $(x-2)(0+1) - (y-1)(2-3) + z(-2-0) = 0$
$\Rightarrow (x-2) + (y-1) - 2z = 0 \Rightarrow x+y-2z = 3$.
ધારો કે $R'(x, y, z)$ એ સમતલ $x+y-2z-3=0$ ની સાપેક્ષે $R(2,1,6)$ નું પ્રતિબિંબ છે.
સમતલ $ax+by+cz+d=0$ માં બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ ના પ્રતિબિંબ $(x, y, z)$ માટેનું સૂત્ર: $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} = -2 \frac{ax_1+by_1+cz_1+d}{a^2+b^2+c^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-6}{-2} = -2 \frac{2+1-2(6)-3}{1^2+1^2+(-2)^2} = -2 \frac{3-12-3}{6} = -2 \frac{-12}{6} = 4$.
આમ,$x-2 = 4 \Rightarrow x=6$,$y-1 = 4 \Rightarrow y=5$,અને $z-6 = -8 \Rightarrow z=-2$.
તેથી,પ્રતિબિંબ $R'$ એ $(6, 5, -2)$ છે.

(A) ધારો કે $\frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-6}{-1}=\lambda$.
તેથી $x = \lambda+3, y = 3\lambda-1, z = 6-\lambda$.
ધારો કે $\frac{x+5}{7}=\frac{y-2}{-6}=\frac{z-3}{4}=\mu$.
તેથી $x = 7\mu-5, y = -6\mu+2, z = 4\mu+3$.
રેખાઓ છેદતી હોવાથી,આપણે યામોને સરખાવીએ:
$\lambda+3 = 7\mu-5 \Rightarrow \lambda - 7\mu = -8$ $(i)$
$3\lambda-1 = -6\mu+2 \Rightarrow 3\lambda + 6\mu = 3 \Rightarrow \lambda + 2\mu = 1$ (ii)
(ii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $9\mu = 9 \Rightarrow \mu = 1$.
(ii) માં $\mu=1$ મૂકતા: $\lambda + 2(1) = 1 \Rightarrow \lambda = -1$.
પ્રથમ રેખાના સમીકરણોમાં $\lambda = -1$ મૂકતા: $x = -1+3 = 2, y = 3(-1)-1 = -4, z = 6-(-1) = 7$.
આમ,છેદબિંદુ $R(2, -4, 7)$ છે.
$xy$-સમતલમાં બિંદુ $(x, y, z)$ નું પ્રતિબિંબ $(x, y, -z)$ થાય છે.
તેથી,$xy$-સમતલમાં $R(2, -4, 7)$ નું પ્રતિબિંબ $(2, -4, -7)$ છે.

(B) બિંદુ $(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-1) + b(y-1) + c(z-1) = 0$ છે.
સમતલ એ $(1, 0, -1)$ અને $(-1, 1, 0)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાઓને સમાંતર હોવાથી,અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ બંને દિશા સદિશોને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$a(1) + b(0) + c(-1) = 0 \Rightarrow a = c$ અને $a(-1) + b(1) + c(0) = 0 \Rightarrow a = b$.
આમ,$a = b = c$ મળે છે. $a = b = c = 1$ લેતા,સમતલનું સમીકરણ $1(x-1) + 1(y-1) + 1(z-1) = 0$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $x + y + z = 3$ છે.
તેને $3$ વડે ભાગતા,અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$ મળે છે.
તેથી અંતઃખંડો $A(3, 0, 0)$,$B(0, 3, 0)$ અને $C(0, 0, 3)$ છે.
ચતુષ્ફલક $OABC$ નું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |x_A y_B z_C| = \frac{1}{6} |3 \times 3 \times 3| = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \text{ ઘન એકમો}$ થાય.

(C) ધારો કે $\theta$ એ $\overline{AB}$ અને $\overline{AD}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\cos \theta = \frac{\overline{AB} \cdot \overline{AD}}{|\overline{AB}||\overline{AD}|} = \frac{(2 \hat{i}+10 \hat{j}+11 \hat{k}) \cdot(-\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k})}{\sqrt{4+100+121} \sqrt{1+4+4}} = \frac{-2+20+22}{\sqrt{225} \sqrt{9}} = \frac{40}{15 \times 3} = \frac{40}{45} = \frac{8}{9}$.
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી $\sin \theta = \sqrt{1 - (\frac{8}{9})^2} = \sqrt{\frac{81-64}{81}} = \frac{\sqrt{17}}{9}$.
ધારો કે $\alpha$ એ $AD$ ના પરિભ્રમણનો ખૂણો છે જેથી $AD^{\prime} \perp AB$ થાય. $AB$ અને $AD^{\prime}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
આમ,$\alpha + \theta = 90^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 90^{\circ} - \theta$.
તેથી,$\cos \alpha = \cos(90^{\circ} - \theta) = \sin \theta$.
$\sin \theta$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\cos \alpha = \frac{\sqrt{17}}{9}$ મળે છે.

(A) સદિશ ત્રિગુણન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c}$.
આપેલ છે કે $\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = \frac{\overline{b} + \overline{c}}{\sqrt{2}}$,તેથી $(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c} = \frac{1}{\sqrt{2}} \overline{b} + \frac{1}{\sqrt{2}} \overline{c}$.
પદોને ગોઠવતા,$(\overline{a} \cdot \overline{c} - \frac{1}{\sqrt{2}}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b} + \frac{1}{\sqrt{2}}) \overline{c} = 0$ મળે.
કારણ કે $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ અસમતલીય છે,$\overline{b}$ અને $\overline{c}$ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે.
તેથી,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ: $\overline{a} \cdot \overline{b} + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\overline{a} \cdot \overline{b} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\overline{a}$ અને $\overline{b}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|\overline{a}| |\overline{b}| \cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$,જ્યાં $\theta$ એ $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આમ,$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$,જે દર્શાવે છે કે $\theta = \frac{3 \pi}{4}$.

(D) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $E = (2 \bar{a}-\bar{b}) \cdot ((\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{a}+2 \bar{b}))$ છે.
વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ નિત્યસમ $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w}) \vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w}) \vec{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{a}+2 \bar{b}) = (\bar{a} \cdot (\bar{a}+2 \bar{b})) \bar{b} - (\bar{b} \cdot (\bar{a}+2 \bar{b})) \bar{a}$.
અહીં $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$\bar{a} \cdot \bar{a} = 1$ અને $\bar{b} \cdot \bar{b} = 1$ થાય.
વળી,$\bar{a} \cdot \bar{b} = \frac{1}{7\sqrt{10}} (3 \times 2 + 0 \times 3 + 1 \times (-6)) = 0$.
તેથી,$(\bar{a} \cdot (\bar{a}+2 \bar{b})) = \bar{a} \cdot \bar{a} + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 1 + 0 = 1$.
અને $(\bar{b} \cdot (\bar{a}+2 \bar{b})) = \bar{b} \cdot \bar{a} + 2(\bar{b} \cdot \bar{b}) = 0 + 2(1) = 2$.
આમ,$(\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{a}+2 \bar{b}) = 1 \bar{b} - 2 \bar{a} = - (2 \bar{a} - \bar{b})$.
હવે,$E = (2 \bar{a}-\bar{b}) \cdot (-(2 \bar{a}-\bar{b})) = - |2 \bar{a}-\bar{b}|^2$.
$|2 \bar{a}-\bar{b}|^2 = (2 \bar{a}-\bar{b}) \cdot (2 \bar{a}-\bar{b}) = 4|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 - 4(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 4(1) + 1 - 4(0) = 5$.
તેથી,$E = -5$.

(B) આપેલ છે કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}| = 1$ અને $|\bar{b}| = 1$.
કારણ કે $(\bar{a}+2\bar{b})$ અને $(5\bar{a}-4\bar{b})$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(\bar{a}+2\bar{b}) \cdot (5\bar{a}-4\bar{b}) = 0$
$5|\bar{a}|^2 - 4(\bar{a} \cdot \bar{b}) + 10(\bar{a} \cdot \bar{b}) - 8|\bar{b}|^2 = 0$
$5(1)^2 + 6(\bar{a} \cdot \bar{b}) - 8(1)^2 = 0$
$5 + 6(\bar{a} \cdot \bar{b}) - 8 = 0$
$6(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 3$
$\bar{a} \cdot \bar{b} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}||\bar{b}| \cos \theta$,તેથી:
$(1)(1) \cos \theta = \frac{1}{2}$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
$\theta = \frac{\pi}{3}$

(D) પ્રથમ,આપણે $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ ના માન શોધીએ:
$|\overline{a}| = \frac{1}{\sqrt{10}} \sqrt{3^2 + 0^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = 1$
$|\overline{b}| = \frac{1}{7} \sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2} = \frac{1}{7} \sqrt{4 + 9 + 36} = \frac{7}{7} = 1$
હવે,ડોટ ગુણાકાર $\overline{a} \cdot \overline{b}$ શોધીએ:
$\overline{a} \cdot \overline{b} = \frac{1}{7\sqrt{10}} (3 \times 2 + 0 \times 3 + 1 \times (-6)) = \frac{1}{7\sqrt{10}} (6 + 0 - 6) = 0$
$\overline{a} \cdot \overline{b} = 0$ હોવાથી,સદિશો લંબ છે.
હવે,પદ $E = (2 \overline{a}-\overline{b}) \cdot [(\overline{a} \times \overline{b}) \times (\overline{a}+2 \overline{b})]$ ધ્યાનમાં લો.
સદિશ ત્રિગુણાકારના નિયમ $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w})\vec{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\overline{a} \times \overline{b}) \times (\overline{a}+2 \overline{b}) = (\overline{a} \cdot (\overline{a}+2 \overline{b}))\overline{b} - (\overline{b} \cdot (\overline{a}+2 \overline{b}))\overline{a}$
$= (\overline{a} \cdot \overline{a} + 2(\overline{a} \cdot \overline{b}))\overline{b} - ((\overline{b} \cdot \overline{a}) + 2(\overline{b} \cdot \overline{b}))\overline{a}$
$= (1 + 0)\overline{b} - (0 + 2(1))\overline{a} = \overline{b} - 2\overline{a}$
હવે આ કિંમત મૂળ પદમાં મૂકતા:
$E = (2 \overline{a}-\overline{b}) \cdot (\overline{b} - 2\overline{a})$
$= -(2 \overline{a}-\overline{b}) \cdot (2 \overline{a}-\overline{b}) = -|2 \overline{a}-\overline{b}|^2$
$= -(4|\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 - 4(\overline{a} \cdot \overline{b}))$
$= -(4(1) + 1 - 4(0)) = -5$.

(B) ધારો કે $\overline{AB}$ અને $\overline{AD}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
$\cos \theta = \frac{\overline{AB} \cdot \overline{AD}}{|\overline{AB}||\overline{AD}|} = \frac{(2 \hat{i}+10 \hat{j}+11 \hat{k}) \cdot(-\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k})}{\sqrt{4+100+121} \sqrt{1+4+4}} = \frac{-2+20+22}{15 \times 3} = \frac{40}{45} = \frac{8}{9}$.
$\sin \theta = \sqrt{1 - (\frac{8}{9})^2} = \frac{\sqrt{17}}{9}$.
જ્યારે $AD$ ને $\alpha$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે નવો સદિશ $AD^{\prime}$ એ $AB$ ને લંબ બને છે.
તેથી,$AB$ અને $AD$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} - \alpha$ થાય.
તેથી,$\alpha = 90^{\circ} - \theta$.
$\cos \alpha = \cos(90^{\circ} - \theta) = \sin \theta = \frac{\sqrt{17}}{9}$.

(A) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\phi = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\tan 45^{\circ} = 1$.
$X_L = 2 \pi fL$ અને $X_C = \frac{1}{2 \pi fC}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$1 = \frac{2 \pi fL - \frac{1}{2 \pi fC}}{R}$
$R = 2 \pi fL - \frac{1}{2 \pi fC}$
$R = \frac{(2 \pi f)^2 LC - 1}{2 \pi fC}$
$2 \pi fCR = 4 \pi^2 f^2 LC - 1$
$4 \pi^2 f^2 LC = 1 + 2 \pi fCR$
$L = \frac{1 + 2 \pi fCR}{4 \pi^2 f^2 C}$.

(A) અનુનાદની સ્થિતિમાં,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે $(X_L = X_C)$.
આપેલ છે: $R = 2 \Omega$,$L = 100 \times 10^{-6} \text{ H}$,$C = 400 \times 10^{-12} \text{ F}$,$e_{rms} = 0.1 \text{ V}$.
અનુનાદ સમયે ઇમ્પિડન્સ $Z = R = 2 \Omega$ થાય છે.
પરિપથમાં પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{e_{rms}}{Z} = \frac{0.1}{2} = 0.05 \text{ A}$ છે.
અનુનાદિત કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{100 \times 10^{-6} \times 400 \times 10^{-12}}} = \frac{1}{\sqrt{4 \times 10^{-14}}} = 5 \times 10^6 \text{ rad/s}$ છે.
ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_L = I_{rms} \times X_L = I_{rms} \times L\omega$ છે.
$V_L = 0.05 \times (100 \times 10^{-6}) \times (5 \times 10^6) = 25 \text{ V}$.

(B) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં ફેઝ એંગલ $\phi$ નું સૂત્ર $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ છે.
અહીં વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા $45^{\circ}$ આગળ છે,તેથી $\phi = 45^{\circ}$.
તેથી,$\tan 45^{\circ} = \frac{X_L - X_C}{R} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $X_L - X_C = R$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2 \pi f L$ અને કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$2 \pi f L - \frac{1}{2 \pi f C} = R$
$2 \pi f L = R + \frac{1}{2 \pi f C}$
$2 \pi f L = \frac{2 \pi f C R + 1}{2 \pi f C}$
$L = \frac{1 + 2 \pi f C R}{4 \pi^2 f^2 C}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(D) ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ $f$ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f = c \cdot \frac{1}{\lambda} = cR \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$
અહીં,ઇલેક્ટ્રોન $n_2 = 3$ થી $n_1 = 2$ માં કૂદકો મારે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$f = cR \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right]$
$f = cR \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right]$
$f = cR \left[ \frac{9 - 4}{36} \right]$
$f = \frac{5RC}{36}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) તંત્રની પ્રારંભિક ઊર્જા $U_1 = \frac{1}{2} CV_1^2 + \frac{1}{2} CV_2^2 = \frac{C}{2}(V_1^2 + V_2^2)$ છે.
જ્યારે કેપેસિટરોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V = \frac{V_1 + V_2}{2}$ થાય છે.
તંત્રની અંતિમ ઊર્જા $U_2 = \frac{1}{2}(C + C)V^2 = C \left(\frac{V_1 + V_2}{2}\right)^2 = \frac{C}{4}(V_1 + V_2)^2$ છે.
ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta U = U_1 - U_2$ છે.
$\Delta U = \frac{C}{2}(V_1^2 + V_2^2) - \frac{C}{4}(V_1 + V_2)^2$.
$\Delta U = \frac{C}{4} [2(V_1^2 + V_2^2) - (V_1^2 + V_2^2 + 2V_1V_2)]$.
$\Delta U = \frac{C}{4} [V_1^2 + V_2^2 - 2V_1V_2] = \frac{1}{4} C(V_1 - V_2)^2$.

(B) ધારો કે પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ $I$ છે અને ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_g$ છે.
આપેલ છે કે $I_g = 4\% \text{ of } I = 0.04 I$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{I}{I_g} = \frac{1}{0.04} = 25$ થાય.
$G$ અવરોધ ધરાવતા ગેલ્વેનોમીટર સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ શંટ અવરોધ $S$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$S = \frac{I_g \times G}{I - I_g}$.
અંશ અને છેદને $I_g$ વડે ભાગતા:
$S = \frac{G}{\frac{I}{I_g} - 1}$.
$\frac{I}{I_g} = 25$ ની કિંમત મૂકતા:
$S = \frac{G}{25 - 1} = \frac{G}{24}$.

(D) મોટાભાગના ક્ષારોની દ્રાવ્યતા તાપમાન વધવાની સાથે વધે છે. જોકે,$Na_2SO_4$ (ખાસ કરીને ડેકાહાઇડ્રેટ સ્વરૂપ,$Na_2SO_4 \cdot 10H_2O$) જેવા અમુક ક્ષારો માટે,તાપમાન વધવાની સાથે દ્રાવ્યતા ઘટે છે,કારણ કે તે નિર્જળ સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત થાય છે.

(D) પોલીમોર્ફિઝમ એ ઘન પદાર્થની એક કરતાં વધુ સ્વરૂપ અથવા સ્ફટિક બંધારણમાં અસ્તિત્વ ધરાવવાની ક્ષમતા છે.
આ સ્વરૂપોના સ્ફટિક બંધારણો અલગ હોવાથી,તેમના ભૌતિક ગુણધર્મો જેવા કે સ્ફટિક આકાર,ઘનતા અને ગલનબિંદુ અલગ હોય છે.
તેથી,એ વિધાન કે બહુરૂપી પદાર્થોનો સ્ફટિક આકાર સમાન હોય છે,તે ખોટું છે.

(B) ગેલેના એ લેડ$(II)$ સલ્ફાઈડનું કુદરતી રીતે મળી આવતું ખનિજ સ્વરૂપ છે.
તેનું રાસાયણિક સૂત્ર $PbS$ છે.

(B) પ્રક્રિયા મધ્યવર્તી એવો પદાર્થ છે જે પ્રક્રિયાના એક તબક્કામાં ઉત્પન્ન થાય છે અને પછીના તબક્કામાં વપરાય છે.
આપેલ પ્રક્રિયામાં:
તબક્કો $(i)$: $2 SO_{2(g)} + 2 NO_{2(g)} \rightarrow 2 SO_{3(g)} + 2 NO_{(g)}$
તબક્કો $(ii)$: $2 NO_{(g)} + O_{2(g)} \rightarrow 2 NO_{2(g)}$
અહીં,$NO_{(g)}$ તબક્કા $(i)$ માં ઉત્પન્ન થાય છે અને તબક્કા $(ii)$ માં વપરાય છે.
$NO_{2(g)}$ ઉદ્દીપક તરીકે કાર્ય કરે છે કારણ કે તે તબક્કા $(i)$ માં વપરાય છે અને તબક્કા $(ii)$ માં પુનઃપ્રાપ્ત થાય છે.
તેથી,$NO_{(g)}$ એ પ્રક્રિયા મધ્યવર્તી છે.

(B) આપેલા તત્વોમાં,$Se$ (સેલેનિયમ),$I$ (આયોડિન),અને $S$ (સલ્ફર) ઓરડાના તાપમાને ઘન અવસ્થામાં હોય છે.
$Br$ (બ્રોમિન) એ અધાતુ તત્વ છે જે ઓરડાના તાપમાને પ્રવાહી અવસ્થામાં જોવા મળે છે.

(D) સમૂહ $16$ ના તત્વોના હાઇડ્રાઇડ્સનો એસિડિક ગુણધર્મ સમૂહમાં નીચે તરફ જતાં વધે છે કારણ કે બંધ વિયોજન એન્થાલ્પી ઘટે છે.
તેથી,એસિડિક પ્રબળતાનો ક્રમ $H_2O < H_2S < H_2Se < H_2Te$ છે.
આમ,આપેલા વિકલ્પોમાંથી $H_2Te$ સૌથી વધુ એસિડિક અણુ છે.

(B) આપેલા તત્વોમાં,$S$ (સલ્ફર) તેના મધ્યમ કદ અને ઇલેક્ટ્રોનિક રચનાને કારણે કેટેનેશનનો સૌથી વધુ ગુણધર્મ ધરાવે છે.
આ ગુણધર્મને લીધે તે $S_8$,$S_6$ અને અન્ય ચક્રીય બંધારણો જેવા મોટી સંખ્યામાં અપરરૂપો બનાવી શકે છે.

(B) સમૂહ $16$ ના તત્વોના હાઇડ્રાઇડ્સની ઉષ્મીય સ્થિરતા $E-H$ બંધની બંધ વિયોજન ઉર્જા પર આધાર રાખે છે.
જેમ જેમ સમૂહમાં નીચે જઈએ તેમ કેન્દ્રીય પરમાણુનું કદ વધે છે $(O < S < Se < Te)$,તેમ બંધ લંબાઈ વધે છે અને બંધ વિયોજન ઉર્જા ઘટે છે.
તેથી,ઉષ્મીય સ્થિરતાનો ક્રમ $H_2O > H_2S > H_2Se > H_2Te$ છે.
આમ,$H_2Te$ સૌથી ઓછી ઉષ્મીય સ્થિરતા ધરાવે છે.

(A) સમૂહ $16$ ના તત્વોના ગલનબિંદુ અને ઉત્કલનબિંદુ પરમાણ્વીય ક્રમાંક વધવાની સાથે વધે છે કારણ કે વાન્ડર વાલ્સ બળોનું મૂલ્ય વધે છે.
તેથી,સલ્ફરનું ઉત્કલનબિંદુ ઓક્સિજન કરતા વધારે હોય છે.
આમ,સલ્ફરનું ઉત્કલનબિંદુ ઓક્સિજન કરતા ઓછું છે તે વિધાન ખોટું છે.

(B) સલ્ફ્યુરિક એસિડના ઔદ્યોગિક ઉત્પાદનની સંપર્ક પ્રક્રિયામાં,$SO_2$ અને $O_2$ ઉદ્દીપકની હાજરીમાં પ્રક્રિયા કરીને $SO_3$ બનાવે છે.
ઐતિહાસિક રીતે,પ્લેટિનમયુક્ત એસ્બેસ્ટોસનો ઉદ્દીપક તરીકે ઉપયોગ થતો હતો.
હાલમાં,વેનેડિયમ પેન્ટોક્સાઇડ $(V_2O_5)$ નો વધુ ઉપયોગ થાય છે,પરંતુ આપેલા વિકલ્પોમાંથી $Platinum$ એ સાચી ધાતુ છે.

(D) ઉદ્યોગોમાં,સલ્ફર ડાયોક્સાઇડ ઝિંક સલ્ફાઇડ અને આયર્ન પાયરાઇટ્સ જેવી સલ્ફાઇડ અયસ્કને હવામાં શેકીને (roasting) મેળવવામાં આવે છે.
$2 ZnS_{(s)} + 3 O_{2(g)} \xrightarrow{\Delta} 2 ZnO_{(s)} + 2 SO_{2(g)}$
$4 FeS_{2(s)} + 11 O_{2(g)} \xrightarrow{\Delta} 2 Fe_2O_{3(s)} + 8 SO_{2(g)}$

(D) ક્લોરિનના ઓક્સોએસિડની એસિડિક પ્રબળતા મધ્યસ્થ ક્લોરિન પરમાણુના ઓક્સિડેશન આંકમાં વધારા સાથે વધે છે.
એસિડિક પ્રબળતાનો વધતો ક્રમ આ મુજબ છે: $HOCl < HClO_2 < HClO_3 < HClO_4$.
$HClO_4$ માં,ક્લોરિન પરમાણુ $+7$ ઓક્સિડેશન અવસ્થામાં છે,જે તેને સૌથી વધુ સ્થાયી સંયુગ્મી બેઝ બનાવે છે.
તેથી,પરક્લોરિક એસિડ $(HClO_4)$ એ ક્લોરિનના આપેલા ઓક્સોએસિડમાં સૌથી પ્રબળ એસિડ છે.

(C) હેલોજન એસિડની એસિડિક પ્રબળતા $HF < HCl < HBr < HI$ ના ક્રમમાં વધે છે.
તેથી,સૌથી નિર્બળ હેલોજન એસિડ $HF$ છે.

(A) ચાલકોજન પરિવારમાં આવર્ત કોષ્ટકના સમૂહ $16$ ના તત્વોનો સમાવેશ થાય છે,જે ઓક્સિજન $(O)$,સલ્ફર $(S)$,સેલેનિયમ $(Se)$,ટેલુરિયમ $(Te)$ અને પોલોનિયમ $(Po)$ છે.
એસ્ટેટાઇન $(At)$ સમૂહ $17$ માં આવે છે,જે હેલોજન પરિવાર છે.
તેથી,$At$ ચાલકોજન પરિવારનો સભ્ય નથી.

(A) $He$,$Ne$,$Ar$ અને $Kr$ ની તુલનામાં ઝેનોન $(Xe)$ નું પરમાણ્વીય કદ મોટું અને આયનીકરણ એન્થાલ્પી ઓછી હોય છે.
તેની ઓછી આયનીકરણ ઉર્જાને કારણે,તે ફ્લોરિન અને ઓક્સિજન જેવા અત્યંત વિદ્યુતઋણ તત્વો સાથે સરળતાથી સંયોજનો બનાવી શકે છે.
પરિણામે,ઉમદા વાયુઓમાં ઝેનોન સૌથી વધુ સંખ્યામાં વિવિધ ઓક્સિડેશન અવસ્થાઓ (જેમ કે $+2, +4, +6, +8$) દર્શાવે છે.

(A) હોમોપોલિમર એ માત્ર એક જ પ્રકારના મોનોમર એકમોમાંથી બનતો પોલિમર છે.
પોલીએક્રિલોનાઈટ્રાઈલ માત્ર એક્રિલોનાઈટ્રાઈલ $(CH_2=CH-CN)$ મોનોમર્સના પોલિમરાઈઝેશન દ્વારા બને છે,તેથી તે હોમોપોલિમર છે.
ગ્લિપ્ટલ એ ઇથિલિન ગ્લાયકોલ અને થાલિક એસિડમાંથી બનતો કોપોલિમર છે.
પોલીકાર્બોનેટ એ બિસ્ફેનોલ-$A$ અને ફોસજીનમાંથી બનતો કોપોલિમર છે.
બ્યુના-$S$ એ $1,3$-બ્યુટાડાઈન અને સ્ટાયરીનમાંથી બનતો કોપોલિમર છે.

(B) ઇલાસ્ટોમર એવા પોલિમર છે જેમાં પોલિમર શૃંખલાઓ સૌથી નિર્બળ આંતરઆણ્વીય બળો દ્વારા જોડાયેલી હોય છે. આ નિર્બળ બળો પોલિમરને ખેંચવાની ક્ષમતા આપે છે. શૃંખલાઓ વચ્ચે થોડા ક્રોસ-લિંક્સ હોય છે,જે બળ દૂર કર્યા પછી પોલિમરને તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછા આવવામાં મદદ કરે છે. ઉદાહરણોમાં બ્યુના-$S$,બ્યુના-$N$ અને કુદરતી રબરનો સમાવેશ થાય છે. નાયલોન $6,6$ એ રેસા છે,ટેરિલીન એ રેસા છે અને પોલિથીન એ થર્મોપ્લાસ્ટિક પોલિમર છે.

(A) રેખીય પોલિમર લાંબી અને સીધી સાંકળો ધરાવે છે. $High \ density \ polythene$ $(HDPE)$ એ ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓમાં (ઓછા દબાણ અને $Ziegler-Natta$ ઉદ્દીપકનો ઉપયોગ કરીને) ઈથીનના યોગશીલ પોલિમરાઈઝેશન દ્વારા બનતો રેખીય પોલિમર છે.
$Low \ density \ polythene$ $(LDPE)$ એ શાખિત-સાંકળ ધરાવતો પોલિમર છે.
$Bakelite$ અને $Melamine$ એ ક્રોસ-લિંક્ડ અથવા નેટવર્ક પોલિમર છે.

(A) જૈવ-વિઘટનીય પોલિમર એવા છે જે સૂક્ષ્મજીવો દ્વારા વિઘટિત થઈ શકે છે.
નાયલોન $2$-નાયલોન $6$ એ ગ્લાયસીન $(H_2N-CH_2-COOH)$ અને એમિનો કેપ્રોઈક એસિડ $(H_2N-(CH_2)_5-COOH)$ નો પોલીએમાઈડ કોપોલિમર છે.
તે એક જાણીતો જૈવ-વિઘટનીય પોલિમર છે જેનો ઉપયોગ તબીબી ટાંકા (sutures) અને અન્ય ઉપયોગોમાં થાય છે.
ટેરિલીન,નાયલોન $6$ અને નાયલોન $6,6$ જેવા અન્ય વિકલ્પો કૃત્રિમ પોલિમર છે જે જૈવ-વિઘટનીય નથી.

(D) થર્મોકોલ એ વિસ્તૃત પોલિસ્ટાયરીન $(EPS)$ માટેનું વ્યાપારી નામ છે.
તે મોનોમર $Styrene$ $(C_6H_5CH=CH_2)$ ના પોલિમરાઇઝેશન દ્વારા તૈયાર કરવામાં આવે છે.
તેથી,થર્મોકોલની તૈયારી માટે વપરાતો સાચો મોનોમર $Styrene$ છે.

(D) ટેરિલીન એ બે અલગ-અલગ મોનોમર્સ,ઇથિલિન ગ્લાયકોલ અને ટેરેપ્થેલિક એસિડના પોલિમરાઇઝેશન દ્વારા બનતું કોપોલિમર છે.
કુદરતી રબર,પોલિપ્રોપીન અને $PVC$ (પોલિવિનાઇલ ક્લોરાઇડ) એ હોમોપોલિમર્સ છે કારણ કે તે એક જ પ્રકારના મોનોમર એકમમાંથી બને છે.

(D) $PHBV$ એ બે બાયફંક્શનલ $\beta$-હાઇડ્રોક્સી કાર્બોક્સિલિક એસિડ,એટલે કે $3$-હાઇડ્રોક્સીબ્યુટેનોઇક એસિડ અને $3$-હાઇડ્રોક્સીપેન્ટેનોઇક એસિડનું કો-પોલિમર છે.
$SBR$ (સ્ટાયરીન-બ્યુટાડાઇન રબર) એ સ્ટાયરીન અને $1,3$-બ્યુટાડાઇનનું કો-પોલિમર છે.
આમ,$SBR$ અને $PHBV$ બંને કો-પોલિમરના ઉદાહરણો છે.

(A) રબરના વલ્કેનાઈઝેશનની પ્રક્રિયામાં,ક્રોસલિંકિંગ પ્રક્રિયાને ઝડપી બનાવવા માટે એક્સિલરેટર ઉમેરવામાં આવે છે. આ હેતુ માટે $Zinc \ butyl \ xanthate$ સામાન્ય રીતે વપરાતો એક્સિલરેટર છે.

(A) થર્મોસેટિંગ પોલિમર એ ક્રોસ-લિંક્ડ અથવા ભારે શાખાયુક્ત અણુઓ છે જે મોલ્ડિંગ દરમિયાન વ્યાપક ક્રોસ-લિંકિંગમાંથી પસાર થાય છે,જે તેમને સખત અને અગલનશીલ બનાવે છે.
$A$. યુરિયા ફોર્માલ્ડિહાઈડ રેઝિન એ થર્મોસેટિંગ પોલિમરનું ઉત્તમ ઉદાહરણ છે.
$B$. પોલિથીન એ થર્મોપ્લાસ્ટિક પોલિમર છે.
$C$. પોલિસ્ટાયરીન એ થર્મોપ્લાસ્ટિક પોલિમર છે.
$D$. પોલિવિનાઇલ્સ (જેમ કે $PVC$) એ થર્મોપ્લાસ્ટિક પોલિમર છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ઇલાસ્ટોમર્સ એવા પોલીમર છે જેમાં આંતરઆણ્વીય આકર્ષણ બળો નબળા હોય છે,જે પોલીમરને ખેંચવાની ક્ષમતા આપે છે.
$Neoprene$ એ કૃત્રિમ રબર છે અને તેને ઇલાસ્ટોમર તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
$Terylene$ એ પોલિએસ્ટર (ફાઇબર) છે,$Polystyrene$ એ થર્મોપ્લાસ્ટિક છે,અને $Bakelite$ એ થર્મોસેટિંગ પોલીમર છે.

(D) ટેફલોનની બનાવટમાં વપરાતો મોનોમર ટેટ્રાફ્લોરોઈથીલીન,$(CF_2=CF_2)$ છે.
પેરોક્સાઈડ અથવા પરસલ્ફેટ ઉદ્દીપકની હાજરીમાં ઊંચા દબાણે ટેટ્રાફ્લોરોઈથીલીનનું પોલીમરાઈઝેશન કરવાથી ટેફલોન મળે છે,જે $(CF_2-CF_2)_n$ છે.

(B) હાઈ ડેન્સિટી પોલિથીન $(HDP)$ એ $333 \ K$ થી $343 \ K$ તાપમાન અને $6-7 \ atm$ દબાણે ઝિગલર-નાટા ઉદ્દીપકની હાજરીમાં ઈથીનના પોલિમરાઈઝેશન દ્વારા મેળવવામાં આવે છે.
લો ડેન્સિટી પોલિથીન $(LDP)$ માટે ઉચ્ચ દબાણ $(1000-2000 \ atm)$ ની જરૂર પડે છે.
તેથી,$HDP$ ને ઉચ્ચ દબાણની જરૂર છે તે વિધાન ખોટું છે.
તેનું ગલનબિંદુ ($144-150^{\circ}C$ ની રેન્જમાં) $LDP$ ($110^{\circ}C$ ગલનબિંદુ) કરતા વધારે હોય છે.

(B) કુદરતી રબર એ આઈસોપ્રીન ($2$-મિથાઈલબ્યુટા-$1,3$-ડાયિન) નો ઉચ્ચ આણ્વીય દળ ધરાવતો રેખીય પોલીમર છે.

(A) $LDP$ (લો ડેન્સિટી પોલીઈથીલીન) તેના અત્યંત શાખિત બંધારણને કારણે સ્વભાવે અસ્ફટિકમય છે. $HDP$ (હાઈ ડેન્સિટી પોલીઈથીલીન) તેના રેખીય બંધારણને કારણે સ્ફટિકમય છે. તેથી,સ્ફટિકમય હોવાનો ગુણધર્મ $HDP$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,$LDP$ દ્વારા નહીં.

(A) તેની ઉચ્ચ તણાવ શક્તિ (tensile strength) અને ચમકને કારણે,નાયલોન $6$ ફાઈબરનો ઉપયોગ ટાયર કોર્ડના ઉત્પાદન માટે થાય છે.

(C) $LDP$ (લો ડેન્સિટી પોલિઇથિલિન) એ ઇથિલિનના પોલિમરાઇઝેશન દ્વારા ઉચ્ચ દબાણ $(1000-2000 \ atm)$ અને તાપમાન $(350-570 \ K)$ પર $O_2$ અથવા પેરોક્સાઇડની હાજરીમાં બનાવવામાં આવે છે.
તેથી,$6-7 \ atm$ ના ઓછા દબાણની જરૂર હોય છે તે વિધાન ખોટું છે.

(D) ટેફલોન એ ટેટ્રાફ્લોરોઇથિલિનનો પોલિમર છે.
ટેટ્રાફ્લોરોઇથિલિન મોનોમરનું રાસાયણિક સૂત્ર $CF_2=CF_2$ છે,જેને $C_2F_4$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(D) કુદરતી રબર એ $2$-મિથાઈલ-$1,3$-બ્યુટાડાઈન,જેને આઈસોપ્રીન તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તેનો ઉચ્ચ આણ્વીય દળ ધરાવતો રેખીય પોલિમર છે.
તેમાં વિવિધ શૃંખલાઓ નિર્બળ વાન ડર વાલ્સ બળો દ્વારા જોડાયેલી હોય છે અને તે ગૂંચળાદાર બંધારણ ધરાવે છે.
ક્લોરોપ્રીન એ નિયોપ્રીન બનાવવા માટે વપરાતો મોનોમર છે,કુદરતી રબર માટે નહીં.
તેથી,કુદરતી રબર ક્લોરોપ્રીનમાંથી મેળવવામાં આવે છે તે વિધાન ખોટું છે.

(B) પોલીમરના બંધારણના આધારે તેમનું વર્ગીકરણ નીચે મુજબ છે:
$1$. હાઈ ડેન્સિટી પોલીથીન $(HDPE)$: રેખીય શૃંખલા ધરાવતો પોલીમર.
$2$. લો ડેન્સિટી પોલીથીન $(LDPE)$: શાખિત શૃંખલા ધરાવતો પોલીમર.
$3$. બેકેલાઈટ: ક્રોસ-લિંક્ડ પોલીમર.
$4$. મેલામાઈન: ક્રોસ-લિંક્ડ પોલીમર.
તેથી,સાચો જવાબ $B$ છે.

(C) નોવોલેક એ એસિડ ઉદ્દીપકની હાજરીમાં $Phenol$ અને $Formaldehyde$ ના સંઘનન પોલિમરાઇઝેશન દ્વારા બનતો રેખીય પોલિમર છે.
તે ફિનોલ-ફોર્માલ્ડિહાઇડ રેઝિનનો એક પ્રકાર છે.

(C) મેલામાઇન-ફોર્માલ્ડિહાઇડ રેઝિન એ મેલામાઇન અને ફોર્માલ્ડિહાઇડના સંઘનન પોલિમરાઇઝેશન દ્વારા બનતું થર્મોસેટિંગ પોલિમર છે.
તે અત્યંત ટકાઉ,ગરમી-પ્રતિરોધક અને અતૂટ હોય છે,જે તેને પ્લેટ,બાઉલ અને કપ જેવા અતૂટ પ્લાસ્ટિકના ડિનરવેર બનાવવા માટે આદર્શ સામગ્રી બનાવે છે.

(B) $CH_2=CH-CN$ (એક્રિલોનાઈટ્રાઈલ) અને $CH_2=CH-CH=CH_2$ ($1$,$3$-બ્યુટાડાઈન) ના કોપોલિમરાઈઝેશનથી બ્યુના-$N$ (જેને નાઈટ્રાઈલ રબર અથવા $NBR$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) બને છે.
આ એક કૃત્રિમ રબર છે જેનો ઉપયોગ તેલ-પ્રતિરોધક એપ્લિકેશન્સમાં થાય છે.

(B) $HDP$ એટલે હાઈ ડેન્સિટી પોલીથીન. તે એક મજબૂત,સખત અને રાસાયણિક રીતે નિષ્ક્રિય પોલિમર છે. તેનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે ડોલ,કચરાપેટી,બોટલ અને પાઈપ જેવા પાત્રો બનાવવા માટે,તેમજ રમકડાંના ઉત્પાદન માટે થાય છે.

(C) પોલિમરને આંતરઆણ્વીય બળોના આધારે ઇલાસ્ટોમર્સ,રેસા,થર્મોપ્લાસ્ટિક અને થર્મોસેટિંગ પોલિમરમાં વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
રેસા એ દોરા જેવા ઘન પદાર્થો છે જે ઉચ્ચ તણાવ શક્તિ અને ઉચ્ચ મોડ્યુલસ ધરાવે છે.
આ લાક્ષણિકતાઓ હાઇડ્રોજન બોન્ડિંગ અથવા ડાયપોલ-ડાયપોલ આંતરક્રિયા જેવા મજબૂત આંતરઆણ્વીય બળોને કારણે હોય છે.
રેસાના ઉદાહરણોમાં પોલિએમાઇડ્સ (નાયલોન-$6,6$) અને પોલિએસ્ટર (ટેરિલીન) નો સમાવેશ થાય છે.
વલ્કેનાઈઝ્ડ રબર,બ્યુના-$S$ અને પોલિસ્ટાયરીન એ ઇલાસ્ટોમર્સ અથવા થર્મોપ્લાસ્ટિક તરીકે વર્ગીકૃત થયેલ છે,જે રેસાની લાક્ષણિકતા ધરાવતા મજબૂત આંતરઆણ્વીય બળો દર્શાવતા નથી.

(A) $Na_2SO_4$ નું પાણીમાં ઓગળવું એ ઉષ્માક્ષેપક પ્રક્રિયા છે.
જ્યારે કોઈ પદાર્થ ઉષ્માક્ષેપક પ્રક્રિયા દ્વારા પાણીમાં ઓગળે છે,ત્યારે તાપમાન વધવાની સાથે તેની દ્રાવ્યતા ઘટે છે.
તેથી,$Na_2SO_4$ ની પાણીમાં દ્રાવ્યતા તાપમાન વધવાની સાથે ઘટે છે.

(D) $Cu^{+}$ ની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $3d^{10}$ છે.
અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોનની ગેરહાજરી અને સંપૂર્ણ ભરાયેલી $d$-પેટાકોષને કારણે,$d-d$ સંક્રમણ શક્ય નથી,જેના પરિણામે તે રંગહીન જલીય દ્રાવણ આપે છે.
તેનાથી વિપરીત,$Fe^{3+}$ $(3d^5)$,$Fe^{2+}$ $(3d^6)$,અને $Cu^{2+}$ $(3d^9)$ માં અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન હોવાથી તે રંગીન હોય છે.

(D) ધાતુ હેલાઈડની આયનીય લાક્ષણિકતાનો ક્રમ $MF > MCl > MBr > MI$ છે,જ્યાં $M$ એ એક સંયોજક ધાતુ છે.
ફાજન્સના નિયમ મુજબ,આયનનું કદ જેટલું નાનું,તેટલી બંધની આયનીય લાક્ષણિકતા વધારે હોય છે.
ફ્લોરાઈડ આયન $(F^-)$ હેલાઈડ આયનોમાં સૌથી નાનો હોવાથી,તે સૌથી વધુ આયનીય લાક્ષણિકતા ધરાવતા ધાતુ હેલાઈડ બનાવે છે.

(A) દ્રાવણની મોલાલિટી $(m)$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે: $m = \frac{\text{દ્રાવ્યના મોલ}}{\text{દ્રાવકનું દળ (kg માં)}}$.
ગ્લુકોઝનું આપેલ દળ $= 36 \ g$,મોલર દળ $= 180 \ g/mol$.
ગ્લુકોઝના મોલ $= \frac{36}{180} = 0.2 \ mol$.
દ્રાવણની ઘનતા આશરે $1 \ g/mL$ ધારીએ તો,$1 \ dm^3$ દ્રાવણમાં $1000 \ g$ પાણી હોય છે,જે $1 \ kg$ છે.
તેથી,$m = 0.2 \ mol / 1 \ kg = 0.2 \ m$.
ઉત્કલનબિંદુમાં ઉન્નયન $\Delta T_{b} = K_{b} \times m = K_{b} \times 0.2 = 0.2 K_{b}$ દ્વારા મળે છે.
દ્રાવણનું ઉત્કલનબિંદુ $= 100 + \Delta T_{b} = 100 + 0.2 K_{b}$.

(D) સ્ફટિકમય ઘન પદાર્થો સ્વભાવે વિષમદિગ્ધર્મી (anisotropic) હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ અલગ-અલગ દિશામાં માપવામાં આવે ત્યારે અલગ-અલગ ભૌતિક ગુણધર્મો (જેમ કે વક્રીભવનાંક) દર્શાવે છે. તેથી,તેઓ સમદિગ્ધર્મી છે તે વિધાન ખોટું છે.

(D) હીરો એ સ્ફટિકમય ઘન પદાર્થ છે કારણ કે તેના ઘટક કણો સમગ્ર બંધારણમાં નિયમિત અને પુનરાવર્તિત ભાતમાં ગોઠવાયેલા હોય છે.
તેની સામે,કાચ,પ્લાસ્ટિક અને રબર એ અસ્ફટિકમય ઘન પદાર્થો છે કારણ કે તેમાં કણોની લાંબા ગાળાની વ્યવસ્થિત ગોઠવણીનો અભાવ હોય છે.

(A) પ્રકૃતિમાં $7$ આદિમ સ્ફટિક પ્રણાલીઓ છે.
આ $7$ સ્ફટિક પ્રણાલીઓને એકમ કોષમાં લેટિસ બિંદુઓની ગોઠવણીના આધારે $14$ પ્રકારના બ્રાવેસ લેટિસમાં વર્ગીકૃત કરી શકાય છે.

(A) સ્ફટિક વિજ્ઞાનમાં કુલ $7$ અલગ-અલગ સ્ફટિક પ્રણાલીઓ છે. આ $7$ સ્ફટિક પ્રણાલીઓ એકમ કોષોમાં લેટિસ બિંદુઓની ગોઠવણીના આધારે $14$ શક્ય બ્રાવેસ લેટિસ બનાવે છે. તેથી,સ્ફટિક પ્રણાલીઓની કુલ સંખ્યા $7$ છે.

(A) એક મોલ ધાતુમાં પરમાણુઓની સંખ્યા $6.022 \times 10^{23}$ છે.
સાદા ઘન એકમ કોષમાં પ્રતિ એકમ કોષ પરમાણુઓની સંખ્યા $1$ છે.
તેથી,એકમ કોષોની સંખ્યા $= \frac{\text{કુલ પરમાણુઓની સંખ્યા}}{\text{પ્રતિ એકમ કોષ પરમાણુઓની સંખ્યા}} = \frac{6.022 \times 10^{23}}{1} = 6.022 \times 10^{23}$.

(D) ચાંદી $(Ag)$ એ ફલક-કેન્દ્રિત ઘન $(fcc)$ લેટીસ બંધારણમાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે.
$fcc$ એકમ કોષમાં પેકિંગ ક્ષમતા $74.0 \%$ હોય છે.

(C) એકમ કોષ દીઠ $A$ ના પરમાણુઓની સંખ્યા (ખૂણાઓ પર) = $8 \times (1/8) = 1$.
એકમ કોષ દીઠ $B$ ના પરમાણુઓની સંખ્યા (ફલકના કેન્દ્રો પર) = $6 \times (1/2) = 3$.
તેથી,પરમાણુઓનો ગુણોત્તર $A:B = 1:3$ છે.
આમ,સંયોજનનું અણુસૂત્ર $AB_3$ છે.