MHT CET 2023 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$ છે,જ્યાં $\phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ અને $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $e(4.8) = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0 \quad ... (i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $e(1.6) = \frac{hc}{2\lambda} - \phi_0 \quad ... (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{4.8}{1.6} = \frac{\frac{hc}{\lambda} - \phi_0}{\frac{hc}{2\lambda} - \phi_0}$
$3 = \frac{\frac{hc}{\lambda} - \phi_0}{\frac{hc}{2\lambda} - \phi_0}$
$3 \left( \frac{hc}{2\lambda} - \phi_0 \right) = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$
$\frac{3hc}{2\lambda} - 3\phi_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$
$\frac{3hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda} = 2\phi_0$
$\frac{hc}{2\lambda} = 2\phi_0 \implies \phi_0 = \frac{hc}{4\lambda}$
કારણ કે $\phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$,તેથી $\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{hc}{4\lambda}$.
આમ,થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0 = 4\lambda$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V$ નીચે મુજબ મળે છે: $eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$,જ્યાં $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $e(\frac{V}{4}) = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$4 = \frac{\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}}{\frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}}$
$4 = \frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}$
$4(\frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}) = \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{2}{\lambda} - \frac{4}{\lambda_0} = \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{2}{\lambda} - \frac{1}{\lambda} = \frac{4}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{1}{\lambda} = \frac{3}{\lambda_0}$
$\lambda_0 = 3\lambda$.

(D) ધારો કે તકતીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $dr$ લંબાઈનો એક નાનો ત્રિજ્યાવર્તી ખંડ છે.
જેમ તકતી ભ્રમણ કરે છે,તેમ આ ખંડ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v = r\omega$ ના રેખીય વેગથી ગતિ કરે છે.
આ નાના ખંડ પર ઉદ્ભવતું ગતિકીય e.m.f. $de = Bv dr = B(r\omega) dr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્ર $(r=0)$ અને ધાર $(r=R)$ વચ્ચે કુલ પ્રેરિત e.m.f. $e$ શોધવા માટે,આપણે આ સમીકરણનું સંકલન કરીશું:
$e = \int_{0}^{R} B\omega r dr$
$e = B\omega \int_{0}^{R} r dr$
$e = B\omega \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{R}$
$e = \frac{B\omega R^2}{2}$
આમ,પ્રેરિત e.m.f. નું મૂલ્ય $|e| = \frac{B\omega R^2}{2}$ છે.

(D) $I_1$ પ્રવાહ ધરાવતા $R_1$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I_1}{2 R_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R_1$ > $R_2$ હોવાથી, આપણે ધારીએ છીએ કે $R_2$ ત્રિજ્યાનો નાનો લૂપ મોટા લૂપના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવ્યો છે.
નાના લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_2 = B \cdot A_2$ છે, જ્યાં $A_2 = \pi R_2^2$ એ નાના લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
કિંમતો મૂકતા, આપણને $\phi_2 = \left( \frac{\mu_0 I_1}{2 R_1} \right) (\pi R_2^2) = \left( \frac{\mu_0 \pi R_2^2}{2 R_1} \right) I_1$ મળે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ, અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ એ $\phi_2 = M I_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, તેથી $M = \frac{\mu_0 \pi R_2^2}{2 R_1}$.
આમ, $M$ એ $\frac{R_2^2}{R_1}$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(D) $R_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા મોટા લૂપ દ્વારા તેના કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 R_1}$ છે.
ધારો કે $R_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતો નાનો લૂપ આ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવ્યો છે,તો નાના લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A_2$ છે,જ્યાં $A_2 = \pi R_2^2$ એ નાના લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
$\phi = \left( \frac{\mu_0 I}{2 R_1} \right) (\pi R_2^2) = \left( \frac{\mu_0 \pi R_2^2}{2 R_1} \right) I$.
કારણ કે $\phi = M I$,બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $M = \frac{\mu_0 \pi R_2^2}{2 R_1}$ મળે છે.
તેથી,અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ એ $\frac{R_2^2}{R_1}$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(A) વર્તુળાકાર વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ તેની અક્ષની દિશામાં હોય છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનને વર્તુળાકાર વાહકની અક્ષ પર ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો વેગ સદિશ $v$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $B$ ને સમાંતર હોય છે.
તેથી,વેગ સદિશ $v$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ છે.
વિદ્યુતભારિત કણ દ્વારા અનુભવાતું ચુંબકીય બળ $F = qvB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta = 0^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $F = qvB \sin(0^{\circ}) = 0$ મળે છે.
આમ,ઇલેક્ટ્રોન કોઈ બળ અનુભવતું નથી.

(B) મીટર બ્રિજ પ્રયોગમાં,નલ પોઈન્ટ માટેની શરત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજના સિદ્ધાંત દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{P}{Q} = \frac{R_1}{R_2}$,જ્યાં $R_1$ અને $R_2$ એ તારના બે ભાગોના અવરોધ છે.
અવરોધનું સૂત્ર $R = \rho \frac{L}{A}$ હોવાથી,બે ભાગોના અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\rho (l/A)}{\rho ((100-l)/A)} = \frac{l}{100-l}$ થાય છે.
આ ગુણોત્તર માત્ર તારના લંબાઈના ભાગો પર આધાર રાખે છે અને તે તારની અવરોધકતા $\rho$ અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,તારના આડછેદના ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર કરવાથી સંતુલન સ્થિતિ પર કોઈ અસર થતી નથી.
નલ પોઈન્ટ તે જ સ્થાને રહેશે,એટલે કે ડાબી બાજુથી $l \text{ cm}$ અંતરે.

(B) મીટર બ્રિજમાં,તટસ્થ બિંદુ માટેની શરત ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$,જ્યાં $P$ એ ડાબા ગેપમાં રહેલો અવરોધ છે અને $Q$ એ જમણા ગેપમાં રહેલો અવરોધ છે.
શરૂઆતમાં,$\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$.
જ્યારે અવરોધોને બમણા કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે $2P$ અને $2Q$ બને છે. જ્યારે તેમની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો ડાબો અવરોધ $2Q$ અને નવો જમણો અવરોધ $2P$ બને છે.
નવું તટસ્થ બિંદુ $l'$ નીચે મુજબ સંતોષાય છે: $\frac{2Q}{2P} = \frac{l'}{100-l'}$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{Q}{P} = \frac{l'}{100-l'}$.
કારણ કે $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$,તેથી $\frac{Q}{P} = \frac{100-l}{l}$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{l'}{100-l'} = \frac{100-l}{l}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $l cdot l' = (100-l)(100-l')$.
$l cdot l' = 10000 - 100l' - 100l + l cdot l'$.
$100l' = 10000 - 100l$.
$l' = 100 - l$.
તેથી,તટસ્થ બિંદુનું નવું સ્થાન $(100-l)$ રહેશે.

(C) મીટર બ્રિજ માટે,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{X}{Y} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$l = 20 \text{ cm}$.
$\frac{X}{Y} = \frac{20}{100-20} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$Y = 4X$.
બીજા કિસ્સામાં,તટસ્થ બિંદુ $l' = 40 \text{ cm}$ પર ખસે છે. કારણ કે $X < Y$,આપણે $20 \text{ } \Omega$ ના અવરોધને $X$ સાથે શ્રેણીમાં જોડીએ છીએ.
તેથી,$X' = X + 20$ અને $Y' = Y = 4X$.
નવી સંતુલન સ્થિતિ $\frac{X+20}{4X} = \frac{40}{100-40} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$3(X + 20) = 2(4X)$.
$3X + 60 = 8X$.
$5X = 60$,જે આપણને $X = 12 \text{ } \Omega$ આપે છે.
કારણ કે $Y = 4X = 48 \text{ } \Omega$,તેથી નાનો અવરોધ $X = 12 \text{ } \Omega$ છે.

(A) આપેલ છે: $\frac{R}{C_{V}} = 0.4$
$C_{V} = \frac{R}{0.4} = \frac{R}{2/5} = \frac{5R}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે આદર્શ વાયુ માટે,$C_{P} = C_{V} + R$.
$C_{V}$ ની કિંમત મૂકતા:
$C_{P} = \frac{5R}{2} + R = \frac{7R}{2}$
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ એ $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\gamma = \frac{7R/2}{5R/2} = \frac{7}{5} = 1.4$
વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degree of freedom) $f$ એ $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ દ્વારા $\gamma$ સાથે સંબંધિત છે.
$1.4 = 1 + \frac{2}{f} \implies 0.4 = \frac{2}{f} \implies f = \frac{2}{0.4} = 5$.
$f = 5$ મુક્તિના અંશો ધરાવતો વાયુ દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય અણુઓ ધરાવે છે.

(D) વાયુ દ્વારા પાત્રની દીવાલો પર લાગતું દબાણ $P$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ $A$ દીઠ લાગતા બળ $F$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $P = \frac{F}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાત્રનું ક્ષેત્રફળ $A$ અચળ હોવાથી,બળ $F$ એ દબાણ $P$ ના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $F \propto P$.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $P = \frac{nRT}{V}$.
બંધ પાત્ર માટે,કદ $V$ અચળ રહે છે. તેથી,$P \propto T$.
આ સંબંધને બળના સમપ્રમાણતામાં મૂકતા,આપણને $F \propto T$ મળે છે.
આને આપેલ સમીકરણ $F \propto T^{x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 1$ મળે છે.

(C) વાયુના અણુઓનો રૂટ-મીન-સ્ક્વેર (rms) વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે આપેલ વાયુ માટે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ છે.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં,તંત્રનું તાપમાન $(T)$ અચળ રહે છે.
તાપમાન બદલાતું ન હોવાથી,વાયુના અણુઓનો r.m.s. વેગ સમાન રહે છે.

(B) આપેલ છે: ચોરસ લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = 25 \, cm^2 = 25 \times 10^{-4} \, m^2$.
બાજુની લંબાઈ $l = \sqrt{A} = 5 \, cm = 0.05 \, m$.
અવરોધ $R = 10 \, \Omega$, સમય $t = 1 \, s$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 40 \, T$.
લૂપને $1 \, s$ માં બહાર ખેંચવા માટે જરૂરી વેગ $v = l/t = 0.05/1 = 0.05 \, m/s$ છે.
પ્રેરિત ગતિકીય emf $\varepsilon = Blv$ છે.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \varepsilon/R = (Blv)/R$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $I = (40 \times 0.05 \times 0.05) / 10 = 0.01 \, A$.
લૂપ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = BIl$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $F = 40 \times 0.01 \times 0.05 = 0.02 \, N$.
કરેલું કાર્ય $W = F \times l = 0.02 \times 0.05 = 1 \times 10^{-3} \, J$ છે.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણ માટે,ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$q v B = \frac{m v^2}{R}$
$\therefore R = \frac{m v}{q B}$
આપેલ છે કે નવી ઝડપ $v' = \frac{v}{2}$ અને નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B' = 2 B$ છે.
નવી ત્રિજ્યા $R'$ નીચે મુજબ મળે:
$R' = \frac{m v'}{q B'} = \frac{m (v/2)}{q (2 B)}$
$R' = \frac{1}{4} \frac{m v}{q B}$
કારણ કે $R = \frac{m v}{q B}$,તેથી:
$R' = \frac{R}{4}$

(B) વર્તુળાકાર પ્રવાહધારિત લૂપ દ્વારા તેની અક્ષ પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર અક્ષની દિશામાં જ હોય છે.
ઇલેક્ટ્રોનને અક્ષની દિશામાં પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવતો હોવાથી,તેનો વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય છે.
ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનું મૂલ્ય $F = qvB \sin \theta$ છે.
અહીં,વેગ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $0^{\circ}$ અથવા $180^{\circ}$ છે.
કારણ કે $\sin(0^{\circ}) = 0$ અને $\sin(180^{\circ}) = 0$ થાય છે,તેથી ચુંબકીય બળ $F = 0$ મળે છે.
આમ,ઇલેક્ટ્રોન કોઈ પણ બળ અનુભવશે નહીં.

(C) ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટ માટે એવા પદાર્થની જરૂર હોય છે જેને સરળતાથી ચુંબકીય અને અચુંબકીય બનાવી શકાય.
$1$. ઉચ્ચ રિટેન્ટિવિટી પદાર્થને કોઇલમાંથી પ્રવાહ પસાર થાય ત્યારે મજબૂત ચુંબકીય ક્ષેત્ર પ્રાપ્ત કરવામાં મદદ કરે છે.
$2$. ઓછી કોર્સિવિટી એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે જ્યારે પ્રવાહ બંધ કરવામાં આવે ત્યારે પદાર્થ ઝડપથી તેનું ચુંબકત્વ ગુમાવે છે,જે કાર્યક્ષમ નિયંત્રણ માટે જરૂરી છે.
તેથી,નરમ લોખંડ (soft iron) જેવા પદાર્થો ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટ માટે આદર્શ છે કારણ કે તેમાં ઉચ્ચ રિટેન્ટિવિટી અને ઓછી કોર્સિવિટી હોય છે.

(B) ડિસ્કની તેના કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
ચાકગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$\omega = \omega_0 + \alpha t$. ડિસ્ક સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી $\omega_0 = 0$,એટલે કે $\alpha = \frac{\omega}{t}$.
જરૂરી ટોર્ક $\tau = I \alpha = (\frac{1}{2} MR^2) \times (\frac{\omega}{t}) = \frac{MR^2 \omega}{2t}$ મળે છે.
સ્પર્શક બળ $F$ ધાર પર લગાડવામાં આવે છે,તેથી ટોર્ક $\tau = F \times R$ થાય.
ટોર્ક માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $F \times R = \frac{MR^2 \omega}{2t}$.
તેથી,સ્પર્શક બળ $F = \frac{MR \omega}{2t}$ મળે છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
$x = \frac{a}{2}$ સ્થાને,ઝડપ:
$v = \omega \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2}$
$v = \omega \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}}$
$v = \omega \sqrt{\frac{3a^2}{4}}$
$v = \omega \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ મૂકતા:
$v = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$
$v = \frac{\pi a \sqrt{3}}{T}$

(B) આપેલ છે: કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu_g = 1.5$,હવાનો વક્રીભવનાંક $\mu_a = 1$,પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક $\mu_l = 1.25$,અને વક્રતા ત્રિજ્યાઓ $R_1 = 20 ~cm, R_2 = -20 ~cm$.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $P = \frac{1}{f} = (\frac{\mu_g}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
હવામાં પાવર $(P_a)$: $P_a = (\frac{1.5}{1} - 1)(\frac{1}{20} - \frac{1}{-20}) = (0.5)(\frac{2}{20}) = 0.5 \times 0.1 = 0.05 ~cm^{-1}$.
પ્રવાહીમાં પાવર $(P_l)$: $P_l = (\frac{1.5}{1.25} - 1)(\frac{1}{20} - \frac{1}{-20}) = (1.2 - 1)(0.1) = 0.2 \times 0.1 = 0.02 ~cm^{-1}$.
પ્રવાહીમાં પાવર અને હવામાં પાવરનો ગુણોત્તર: $\frac{P_l}{P_a} = \frac{0.02}{0.05} = \frac{2}{5}$.

(B) માઇક્રોસ્કોપની વિભેદન શક્તિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{2n \sin \alpha}{0.61 \lambda}$ છે,જ્યાં $n$ એ વસ્તુ અને ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ વચ્ચેના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે,$\alpha$ એ અર્ધ-વર્ટિકલ ખૂણો છે,અને $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $R \propto n$.
તેથી,વસ્તુ અને ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ વચ્ચેના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n$ વધારીને માઇક્રોસ્કોપની વિભેદન શક્તિ વધારી શકાય છે.

(A) $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા કાચના સ્લેબ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું સામાન્ય સ્થાનાંતર $x$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$x = t \left( 1 - \frac{1}{\mu} \right)$
$t$ માટે ઉકેલવા માટે પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$x = t \left( \frac{\mu - 1}{\mu} \right)$
$t = \frac{x \mu}{\mu - 1}$
આમ,કાચના સ્લેબની જાડાઈ $\frac{\mu x}{\mu - 1}$ છે.

(D) ચાકગતિ ઉર્જા $K$,કોણીય વેગમાન $L$ અને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{L^2}{2I}$ છે.
કોણીય વેગમાન માટે સૂત્રને ગોઠવતા,$L = \sqrt{2KI}$ મળે છે.
અહીં બંને પદાર્થો માટે ચાકગતિ ઉર્જા $K$ સમાન હોવાથી,$L \propto \sqrt{I}$ થાય.
તેથી,બંને પદાર્થોના કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{L_1}{L_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}}$ થશે.
આપેલ છે કે $I_1 = I$ અને $I_2 = 2I$,આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{L_1}{L_2} = \sqrt{\frac{I}{2I}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: \sqrt{2}$ છે.

(A) કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\omega}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડિસ્કની તેના કેન્દ્રિય અક્ષની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} mR^2$ છે.
જરૂરી ટોર્ક $\tau = I \alpha = (\frac{1}{2} mR^2) (\frac{\omega}{t}) = \frac{mR^2 \omega}{2t}$ થાય.
ટોર્કનું સૂત્ર $\tau = F \cdot R$ પણ છે,જ્યાં $F$ એ કિનારી પર લગાડવામાં આવતું સ્પર્શક બળ છે.
તેથી,$F \cdot R = \frac{mR^2 \omega}{2t}$.
$F$ માટે ઉકેલતા,આપણને $F = \frac{mR \omega}{2t}$ મળે છે.

(B) આપાત વિકિરણ માટે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
પારગમણાંક $(t)$ + શોષણાંક $(a)$ + પરાવર્તનાંક $(r)$ $= 1$
આપેલ છે: $a = 0.8$,$r = 0.1$
તેથી,$t = 1 - 0.8 - 0.1 = 0.1$
આનો અર્થ એ છે કે આપાત ઉર્જાના $10\%$ સપાટી દ્વારા પારગમિત થાય છે.
$5 ~min$ માં કુલ આપાત ઉર્જા $= 1000 ~J/min \times 5 ~min = 5000 ~J$
પારગમિત ઉર્જા $= 5000 ~J \times 0.1 = 500 ~J$

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}$.
મોનોએટોમિક આદર્શ વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{5}{3}$ છે.
આમ,$\gamma - 1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$.
વાયુ અચળ આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ ધરાવતા સિલિન્ડરમાં હોવાથી,કદ $V$ એ વાયુના સ્તંભની લંબાઈ $L$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(V = AL)$.
$V_1 = AL_1$ અને $V_2 = AL_2$ મૂકતા,આપણને $\frac{V_1}{V_2} = \frac{L_1}{L_2}$ મળે છે.
આ કિંમતોને તાપમાનના ગુણોત્તરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{L_1}{L_2}\right)^{2/3}$.

(B) એકમ સમય દીઠ કુલ આપાત ઊર્જા $Q_{in} = 1000 ~J/min$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,શોષણ $(a)$,પરાવર્તન $(r)$ અને પ્રસરણ $(t)$ ના ગુણાંકોનો સરવાળો $1$ થાય છે:
$a + r + t = 1$
અહીં $a = 0.8$ અને $r = 0.1$ આપેલ છે,તેથી પ્રસરણનો ગુણાંક $(t)$ શોધી શકાય:
$0.8 + 0.1 + t = 1$
$0.9 + t = 1$
$t = 0.1$
હવે,પ્રસારિત થતી ઉષ્મા ઊર્જાનો દર $H = t \times Q_{in} = 0.1 \times 1000 = 100 ~J/min$ છે.
$5$ મિનિટમાં પ્રસારિત થતી કુલ ઉષ્મા ઊર્જા $E = H \times 5 = 100 \times 5 = 500 ~J$ થાય.

(B) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ છે.
આપેલ છે કે,પ્રારંભિક કદ $= V_i$,પ્રારંભિક તાપમાન $= T_i$,અને અંતિમ કદ $V_f = \frac{V_i}{32}$.
સમોષ્મી સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $T_i V_i^{\frac{7}{5}-1} = T_f \left(\frac{V_i}{32}\right)^{\frac{7}{5}-1}$.
$T_i V_i^{\frac{2}{5}} = T_f \left(\frac{V_i}{32}\right)^{\frac{2}{5}}$.
$T_i = T_f \left(\frac{1}{32}\right)^{\frac{2}{5}}$.
$T_f = T_i \times (32)^{\frac{2}{5}}$.
કારણ કે $32 = 2^5$,તેથી $(32)^{\frac{2}{5}} = (2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^2 = 4$.
આમ,$T_f = 4T_i$.
આને $T_f = xT_i$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 4$ મળે છે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma-1} = \text{constant}$ છે.
વાયુ મોનોએટોમિક હોવાથી,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{5}{3}$ છે.
તેથી,$\gamma - 1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ધરાવતા સિલિન્ડરમાં વાયુના સ્તંભનું કદ $V = A \times L$ છે.
તેથી,$T_1 (A L_1)^{\gamma-1} = T_2 (A L_2)^{\gamma-1}$.
ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2}$ માટે ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{T_1}{T_2} = \left(\frac{L_2}{L_1}\right)^{\gamma-1} = \left(\frac{L_2}{L_1}\right)^{2/3}$.

(A) $n^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_{n} = \frac{n \lambda_{1} D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $5^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત શલાકા માટે,$y_{5} = \frac{5 \lambda_{1} D}{d}$ છે.
$m^{\text{મી}}$ અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y'_{m} = \frac{(2m - 1) \lambda_{2} D}{2d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $6^{\text{મી}}$ અપ્રકાશિત શલાકા માટે,$y'_{6} = \frac{(2 \times 6 - 1) \lambda_{2} D}{2d} = \frac{11 \lambda_{2} D}{2d}$ છે.
શલાકાઓ સંપાત થતી હોવાથી,$y_{5} = y'_{6}$.
$\frac{5 \lambda_{1} D}{d} = \frac{11 \lambda_{2} D}{2d}$.
સાદુરૂપ આપતા,$5 \lambda_{1} = \frac{11 \lambda_{2}}{2}$.
તેથી,$\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}} = \frac{11}{10}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}} = \frac{10}{11}$.

(D) ધારો કે બે સ્લિટ્સ $S_1$ અને $S_2$ છે. પડદા પરનું બિંદુ $P$ એ સ્લિટ $S_1$ ની બરાબર સામે છે.
અંતર $S_1 P = D$ અને અંતર $S_2 P = \sqrt{D^2 + d^2}$ છે.
$S_2 P$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$S_2 P = D \left(1 + \frac{d^2}{D^2}\right)^{1/2} \approx D \left(1 + \frac{1}{2} \frac{d^2}{D^2}\right) = D + \frac{d^2}{2D}$.
બિંદુ $P$ પર પહોંચતા બે તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x$:
$\Delta x = S_2 P - S_1 P = (D + \frac{d^2}{2D}) - D = \frac{d^2}{2D}$.
અપ્રકાશિત શલાકા માટે,પથ તફાવત $\frac{\lambda}{2}$ નો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ. પ્રથમ અપ્રકાશિત શલાકા માટે:
$\Delta x = \frac{\lambda}{2}$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{d^2}{2D} = \frac{\lambda}{2}$.
તેથી,પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{d^2}{D}$ મળે છે.

(C) $n^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda_1 D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$5^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત શલાકા માટે $(n=5)$: $y_5 = \frac{5 \lambda_1 D}{d}$.
$n^{\text{મી}}$ અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n' = \frac{(2n-1) \lambda_2 D}{2d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$6^{\text{મી}}$ અપ્રકાશિત શલાકા માટે $(n=6)$: $y_6' = \frac{(2 \times 6 - 1) \lambda_2 D}{2d} = \frac{11 \lambda_2 D}{2d}$.
આપેલ છે કે શલાકાઓ સંપાત થાય છે,તેથી $y_5 = y_6'$,એટલે કે:
$\frac{5 \lambda_1 D}{d} = \frac{11 \lambda_2 D}{2d}$.
બંને બાજુથી $D$ અને $d$ દૂર કરતા:
$5 \lambda_1 = \frac{11 \lambda_2}{2}$.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ શોધતા:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{5 \times 2}{11} = \frac{10}{11}$.

(A) સાદા ઘન એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = 2r$ છે।
તેથી, $r = \frac{a}{2}$.
અહીં $a = 334.7 \ pm$ આપેલ છે।
$r = \frac{334.7 \ pm}{2} = 167.35 \ pm$.

(A) $ccp$ (ક્યુબિક ક્લોઝ-પેક્ડ) રચનાને $fcc$ (ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) રચના તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$Cu$ (કોપર) $fcc$ $(ccp)$ રચનામાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે.
$Zn$ (ઝિંક) અને $Mg$ (મેગ્નેશિયમ) $hcp$ (હેક્સાગોનલ ક્લોઝ-પેક્ડ) રચનામાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે.
$Po$ (પોલોનિયમ) સાદી ઘન (simple cubic) રચનામાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે.

(B) એકમ કોષ માટે ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{M \cdot n}{a^3 \cdot N_A}$ છે.
$fcc$ એકમ કોષ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(n)$ $4$ છે.
આપેલ છે: $\rho = 21 \ g \ cm^{-3}$ અને $a^3 \cdot N_A = 36 \ cm^3 \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $21 = \frac{M \times 4}{36}$.
$M$ માટે ઉકેલતા: $M = \frac{21 \times 36}{4} = 21 \times 9 = 189.00 \ g \ mol^{-1}$.

(C) $fcc$ એકમ કોષ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 4$ છે.
ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{M \times n}{a^3 \cdot N_A}$ છે.
આપેલ છે કે $\rho = 2.7 \ g \ cm^{-3}$ અને $a^3 \cdot N_A = 40 \ cm^3 \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $2.7 = \frac{M \times 4}{40}$.
$M$ માટે ઉકેલતા: $M = \frac{2.7 \times 40}{4} = 27 \ g \ mol^{-1}$.

(B) $bcc$ એકમ કોષ માટે, ત્રિજ્યા $r$ અને ધારની લંબાઈ $a$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{\sqrt{3}}{4} a$ છે।
તેથી, $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$.
આપેલ કિંમત $r = 173 \ pm$ મૂકતા:
$a = \frac{4 \times 173}{1.732} \approx 400 \ pm$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા:
$a = 400 \times 10^{-10} \ cm = 4.00 \times 10^{-8} \ cm$.

(D) $fcc$ સ્ફટિક રચના માટે, ધારની લંબાઈ $a$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $4r = \sqrt{2}a$ છે।
તેથી, $r = \frac{\sqrt{2}a}{4}$.
આપેલ કિંમત $a = 393 \ pm$ મૂકતા:
$r = \frac{1.414 \times 393}{4} = 138.93 \ pm$.

(B) મોલની સંખ્યા $= \frac{0.6 \ g}{60 \ g \ mol^{-1}} = 0.01 \ mol$
પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા $= 0.01 \times 6.022 \times 10^{23} = 6.022 \times 10^{21} \ {\text{પરમાણુઓ}}$
પ્રતિ એકમ કોષ પરમાણુઓની સંખ્યા $= 4$
એકમ કોષોની સંખ્યા $= \frac{\text{પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા}}{\text{પ્રતિ એકમ કોષ પરમાણુઓ}} = \frac{6.022 \times 10^{21}}{4} \approx 1.5 \times 10^{21} \ {\text{એકમ કોષો}}$

(C) $BCC$ એકમ કોષ માટે, એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 2$ છે。
ઘનતાનું સૂત્ર: $\rho = \frac{M \times n}{a^3 \times N_A}$
મોલર દળ $M$ માટે સૂત્ર: $M = \frac{\rho \times a^3 \times N_A}{n}$
આપેલ છે: $\rho = 10 \ g \ cm^{-3}$, $a = 300 \ pm = 3 \times 10^{-8} \ cm$, $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$, $n = 2$.
$M = \frac{10 \times (3 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{2}$
$M = \frac{10 \times 27 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}{2}$
$M = \frac{162.594}{2} \approx 81.3 \ g \ mol^{-1}$.

(D) $bcc$ (બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) એકમ કોષમાં,પરમાણુઓ બોડી ડાયાગોનલ (શરીરના વિકર્ણ) પર એકબીજાને સ્પર્શે છે.
બોડી ડાયાગોનલની લંબાઈ $\sqrt{3} a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે બોડી ડાયાગોનલમાં ખૂણાના પરમાણુઓની બે ત્રિજ્યા અને કેન્દ્રના પરમાણુનો એક સંપૂર્ણ વ્યાસ હોય છે,તેથી $\sqrt{3} a = 4r$ થાય છે.
ધારની લંબાઈ $a$ માટે આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$ મળે છે.

(C) $fcc$ સ્ફટિક રચના માટે, ત્રિજ્યા $r$ અને ધારની લંબાઈ $a$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{a}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} a$ છે।
આપેલ છે કે $a = 405 \ pm$.
કિંમત મૂકતા: $r = \frac{1.414 \times 405}{4} = \frac{572.67}{4} = 143.1675 \ pm \approx 143.2 \ pm$.

(A) સાદા ઘન એકમ કોષ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 1$ છે.
ઘનતા $(\rho)$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{M \cdot n}{a^3 \cdot N_A}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $9.3 = \frac{M \cdot 1}{22.6}$.
મોલર દળ $M$ માટે ગણતરી કરતા: $M = 9.3 \times 22.6 = 210.2 \ g \ mol^{-1}$.

(A) $bcc$ એકમ કોષ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 2$ છે.
ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{M \cdot n}{a^3 \cdot N_{A}}$ છે.
આપેલ છે કે $\rho = 7.8 \ g \ cm^{-3}$ અને $a^3 \cdot N_{A} = 16.2 \ cm^3 \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $7.8 = \frac{M \times 2}{16.2}$.
$M$ માટે ગણતરી કરતા: $M = \frac{7.8 \times 16.2}{2} = 63.18 \ g \ mol^{-1}$.

(A) $0.3 \ mol$ માં પરમાણુઓની સંખ્યા $= 0.3 \times N_A = 0.3 \times 6.022 \times 10^{23} = 1.8066 \times 10^{23}$.
$I$. $hcp$ બંધારણ માટે,અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $=$ પરમાણુઓની સંખ્યા.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 1.8066 \times 10^{23}$.
$II$. $hcp$ બંધારણ માટે,ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 2 \times$ પરમાણુઓની સંખ્યા.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 2 \times 1.8066 \times 10^{23} = 3.6132 \times 10^{23}$.

(B) સાદા ઘન એકમ કોષ માટે, પરમાણુઓ ઘનની ધાર પર એકબીજાને સ્પર્શે છે।
તેથી, ધારની લંબાઈ $a$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = 2r$ છે।
આપેલ છે કે $r = 167.3 \ pm$.
આમ, $a = 2 \times 167.3 \ pm = 334.6 \ pm$.

(A) ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર: $\rho = \frac{M \times Z}{a^3 \cdot N_A}$
$fcc$ એકમ કોષ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 4$ છે.
આપેલ છે: $M = 27 \ g \ mol^{-1}$ અને $a^3 \cdot N_A = 38.5 \ cm^3 \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\rho = \frac{27 \ g \ mol^{-1} \times 4}{38.5 \ cm^3 \ mol^{-1}}$
$\rho = \frac{108}{38.5} \ g \ cm^{-3} \approx 2.8 \ g \ cm^{-3}$.

(A) $bcc$ એકમ કોષ માટે, ત્રિજ્યા $r$ અને ધારની લંબાઈ $a$ વચ્ચેનો સંબંધ $4r = \sqrt{3}a$ છે।
આપેલ $a = 287 \ pm$ કિંમત મૂકતા:
$r = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 287$
$r = \frac{1.732 \times 287}{4} = 124.27 \ pm$.

(B) $Zn$ (ઝિંક) $hcp$ (ષટ્કોણીય ક્લોઝ-પેક્ડ) સ્ફટિક રચના ધરાવે છે.
$Cu$ (કોપર) અને $Ag$ (સિલ્વર) $ccp$ (ક્યુબિક ક્લોઝ-પેક્ડ) સ્ફટિક રચના ધરાવે છે.
$Po$ (પોલોનિયમ) સાદી ઘન (simple cubic) રચના ધરાવે છે.

(B) $bcc$ એકમ કોષ માટે, પરમાણુની ત્રિજ્યા $(r)$ અને ધારની લંબાઈ $(a)$ વચ્ચેનો સંબંધ $4r = \sqrt{3}a$ છે।
આપેલ ધારની લંબાઈ $a = 450 \ pm$ મૂકતા:
$r = \frac{\sqrt{3} \times 450}{4} = \frac{1.732 \times 450}{4} = 194.85 \ pm$.

(A) $fcc$ એકમ કોષ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(n)$ $4$ છે.
ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{M \times n}{a^3 \times N_A}$ છે.
એકમ કોષના કદ $(a^3)$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,$a^3 = \frac{M \times n}{\rho \times N_A}$ મળે.
આપેલી કિંમતો મૂકતા: $M = 180 \ g \ mol^{-1}$,$n = 4$,અને $\rho \cdot N_A = 120 \times 10^{21} \ g \ cm^{-3} \ mol^{-1}$.
$a^3 = \frac{180 \times 4}{120 \times 10^{21}} = \frac{720}{120 \times 10^{21}} = 6.00 \times 10^{-21} \ cm^3$.

(A) $Y$ તત્વના પરમાણુઓ $hcp$ રચના બનાવે છે. ધારો કે $Y$ પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ છે.
ઉદ્ભવતા ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $2N$ છે.
$X$ તત્વના પરમાણુઓ આ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોના $1/3$ ભાગને રોકે છે.
તેથી,$X$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= 2N \times 1/3 = 2/3 N$ થાય.
$X$ અને $Y$ પરમાણુઓનો ગુણોત્તર $(2/3 N) : N = 2/3 : 1 = 2 : 3$ છે.
આમ,સંયોજનનું અણુસૂત્ર $X_2 Y_3$ છે.

(D) એકમ કોષની ઘનતા $\rho = \frac{M \cdot n}{a^3 \cdot N_A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$M = 56 \ g \ mol^{-1}$,$n = 2$ ($bcc$ રચના માટે),અને $\rho \cdot N_A = 4.8 \times 10^{24} \ g \ cm^{-3} \ mol^{-1}$.
એકમ કોષનું કદ $V = a^3 = \frac{M \cdot n}{\rho \cdot N_A}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{56 \times 2}{4.8 \times 10^{24}} \ cm^3$.
$V = \frac{112}{4.8} \times 10^{-24} \ cm^3 = 23.33 \times 10^{-24} \ cm^3 = 2.33 \times 10^{-23} \ cm^3$.

(A) સાદા ઘન એકમ કોષ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(n) = 1$ છે.
ઘનતા $(\rho)$ નું સૂત્ર: $\rho = \frac{n \cdot M}{a^3 \cdot N_{A}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\rho = \frac{1 \times 210}{21.5} \ g \ cm^{-3}$.
$\rho = 9.77 \ g \ cm^{-3}$.

(B) $bcc$ એકમ કોષ માટે, ત્રિજ્યા $r$ અને ધારની લંબાઈ $a$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{\sqrt{3}}{4} a$ છે।
તેથી, $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$.
$r = 227 \ pm$ કિંમત મૂકતા:
$a = \frac{4 \times 227}{1.732} \approx 524.83 \ pm$.
$pm$ ને $cm$ માં ફેરવતા: $1 \ pm = 10^{-10} \ cm$.
$a = 524.83 \times 10^{-10} \ cm = 5.2483 \times 10^{-8} \ cm$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, આપણને $5.24 \times 10^{-8} \ cm$ મળે છે।

(B) સાંદ્રતાના જે પદોમાં કદનો સમાવેશ થાય છે તે તાપમાન પર આધારિત હોય છે કારણ કે તાપમાન સાથે કદ બદલાય છે.
$Molarity$ $(M)$ એ દ્રાવણના પ્રતિ લિટર દીઠ દ્રાવ્યના મોલની સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે $(mol/L)$.
કદ એ છેદનો ભાગ હોવાથી,$Molarity$ તાપમાન સાથે બદલાય છે.
તેની સામે,$Molality$,$Mole fraction$ અને $Percent by mass$ દળ પર આધારિત છે,જે તાપમાનથી સ્વતંત્ર છે.

(A) પ્રવાહીમાં વાયુઓની દ્રાવ્યતા વાયુ અને દ્રાવકના સ્વભાવ પર આધાર રાખે છે.
$O_2$ એ અધ્રુવીય વાયુ છે અને ઓરડાના તાપમાને પાણીમાં ખૂબ ઓછી દ્રાવ્યતા દર્શાવે છે.
તેનાથી વિપરીત,$CO_2$,$NH_3$ અને $HCl$ જેવા વાયુઓ પાણીમાં વધુ દ્રાવ્ય છે કારણ કે તેઓ કાં તો પાણી સાથે પ્રક્રિયા કરે છે અથવા સ્વભાવે ધ્રુવીય છે.

(C) પાણીમાં ઇથાઇલ આલ્કોહોલનું દ્રાવણ એ પ્રવાહી દ્રાવ્ય (ઇથાઇલ આલ્કોહોલ) ને પ્રવાહી દ્રાવક (પાણી) માં ઓગાળીને બનાવવામાં આવે છે. તેથી,તેને $Liquid$ માં $Liquid$ પ્રકારના દ્રાવણ તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.

(A) કાર્બનિક સંયોજનોની પાણીમાં દ્રાવ્યતા પાણીના અણુઓ સાથે હાઇડ્રોજન બંધ બનાવવાની તેમની ક્ષમતા પર આધાર રાખે છે.
આલ્કોહોલ $(R-OH)$ ઓક્સિજનની નાઈટ્રોજનની તુલનામાં વધુ વિદ્યુતઋણતાને કારણે પાણી સાથે મજબૂત હાઇડ્રોજન બંધ બનાવે છે.
એમાઈન $(R-NH_2)$ પણ પાણી સાથે હાઇડ્રોજન બંધ બનાવે છે,પરંતુ તે આલ્કોહોલ કરતા નબળા હોય છે કારણ કે નાઈટ્રોજન ઓક્સિજન કરતા ઓછો વિદ્યુતઋણ છે.
આલ્કેન અધ્રુવીય છે અને પાણી સાથે હાઇડ્રોજન બંધ બનાવી શકતા નથી,તેથી તે વ્યવહારીક રીતે અદ્રાવ્ય છે.
તેથી,દ્રાવ્યતાનો ઘટતો ક્રમ છે: $\text{Alcohol} > \text{Amine} > \text{Alkane}$.

(D) $\text{આપેલ છે: } n_2 = 1 \ mol \text{ (દ્રાવ્ય)}, w_1 = 36 \ g \text{ (દ્રાવક)}, P_1^0 = 32 \ mm \ Hg$.
$\text{પાણીના મોલ } (n_1) = \frac{36 \ g}{18 \ g/mol} = 2 \ mol$.
$\text{અબાષ્પશીલ દ્રાવ્ય માટે રાઉલ્ટના નિયમ મુજબ: } \frac{P_1^0 - P_1}{P_1^0} = \frac{n_2}{n_1 + n_2}$.
$\text{કિંમતો મૂકતા: } \frac{32 - P_1}{32} = \frac{1}{2 + 1} = \frac{1}{3}$.
$3(32 - P_1) = 32$.
$96 - 3P_1 = 32$.
$3P_1 = 96 - 32 = 64$.
$P_1 = \frac{64}{3} = 21.33 \ mm \ Hg$.

(D) આદર્શ દ્રાવણ માટે,બાષ્પ દબાણ હંમેશા શુદ્ધ ઘટકોના બાષ્પ દબાણની વચ્ચે હોય છે. તેથી,તે શુદ્ધ ઘટકો કરતા વધારે અથવા ઓછું હોય છે તે વિધાન ખોટું છે.

(A) હેન્રીના નિયમ મુજબ,વાયુની દ્રાવ્યતા $(S)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $S = K_{H} \times P$.
આપેલ છે: $K_{H} = 0.16 \ mol \ dm^{-3} \ atm^{-1}$ અને $P = 0.18 \ atm$.
કિંમતો મૂકતા: $S = 0.16 \times 0.18 = 0.0288 \ mol \ dm^{-3}$.
બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $0.029 \ mol \ dm^{-3}$ મળે છે.

(A) હેન્રીના નિયમ મુજબ,પ્રવાહીમાં વાયુની દ્રાવ્યતા એ પ્રવાહીની સપાટી પરના વાયુના આંશિક દબાણના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$P = K_H \cdot x$,જ્યાં $P$ એ આંશિક દબાણ છે,$x$ એ મોલ અંશ (દ્રાવ્યતા) છે,અને $K_H$ એ હેન્રીના નિયમનો અચળાંક છે.

(A) હેન્રીના નિયમ મુજબ,વાયુની દ્રાવ્યતા $(S)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$S = K_{H} \times P$
આપેલ છે:
$K_{H} = 0.159 \ mol \ dm^{-3} \ bar^{-1}$
$P = 0.346 \ bar$
ગણતરી:
$S = 0.159 \ mol \ dm^{-3} \ bar^{-1} \times 0.346 \ bar = 0.055 \ mol \ dm^{-3}$
આમ,વાયુની દ્રાવ્યતા $0.055 \ mol \ dm^{-3}$ છે.

(A) હેન્રીના નિયમ મુજબ,વાયુની દ્રાવ્યતા $(S)$ તેના આંશિક દબાણ $(P)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $S = K_{H} \times P$.
અહીં,$S = 0.028 \ mol \ dm^{-3}$ અને $P = 0.346 \ bar$ છે.
તેથી,હેન્રીના નિયમનો અચળાંક $(K_{H})$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$K_{H} = \frac{S}{P} = \frac{0.028 \ mol \ dm^{-3}}{0.346 \ bar} \approx 0.081 \ mol \ dm^{-3} \ bar^{-1}$.

(C) દ્રાવ્યના મોલર દળ માટેનું સૂત્ર: $M_2 = \frac{K_b \times W_2 \times 1000}{\Delta T_b \times W_1}$
આપેલ છે: $K_b = 2.5 \ K \ kg \ mol^{-1}$,$W_2 = 3.5 \ g$,$W_1 = 100 \ g$,અને $\Delta T_b = 0.35 \ K$.
કિંમતો મૂકતા: $M_2 = \frac{2.5 \times 3.5 \times 1000}{0.35 \times 100}$
$M_2 = \frac{8750}{35} = 250 \ g \ mol^{-1}$.

(D) અભિસરણ દબાણ $\pi$ માટેનું સૂત્ર $\pi = M \times R \times T$ છે,જ્યાં $M$ એ મોલર સાંદ્રતા છે,$R$ એ વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં તાપમાન છે.
બંને કિસ્સાઓ માટે $R$ અને $T$ અચળ હોવાથી,આપણને $\frac{\pi_1}{M_1} = \frac{\pi_2}{M_2}$ સંબંધ મળે છે.
આપેલ છે કે $\pi_1 = 4.9 \ atm$,$M_1 = 0.2 \ M$,અને $\pi_2 = 1.5 \ atm$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{4.9}{0.2} = \frac{1.5}{M_2}$.
$M_2 = \frac{1.5 \times 0.2}{4.9} = \frac{0.3}{4.9} \approx 0.0612 \ M$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,સાંદ્રતા $0.06 \ M$ છે.

(D) ઠારબિંદુ અવનયનનું સૂત્ર $\Delta T_{f} = K_{f} \times m$ છે,જ્યાં $m$ એ મોલાલિટી છે.
$m = \frac{W_2 \times 1000}{M_2 \times W_1} = \frac{1 \ g \times 1000}{60 \ g \ mol^{-1} \times 100 \ g} = \frac{1}{6} \ mol \ kg^{-1}$.
આપેલ છે $\Delta T_{f} = 0.3 \ K$.
$\Delta T_{f} = K_{f} \times m$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0.3 \ K = K_{f} \times \frac{1}{6} \ mol \ kg^{-1}$.
$K_{f} = 0.3 \times 6 = 1.8 \ K \ kg \ mol^{-1}$.

(B) અભિસરણ દબાણનું સૂત્ર $\pi = \frac{W_2 RT}{M_2 V}$ છે.
મોલર દળ $M_2$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,$M_2 = \frac{W_2 RT}{\pi V}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $W_2 = 8 \ g$,$R = 0.082 \ atm \ dm^3 \ K^{-1} \ mol^{-1}$,$T = 300 \ K$,$\pi = 0.6 \ atm$,અને $V = 2 \ dm^3$.
$M_2 = \frac{8 \times 0.082 \times 300}{0.6 \times 2} \ g \ mol^{-1}$.
$M_2 = \frac{196.8}{1.2} \ g \ mol^{-1} = 164 \ g \ mol^{-1}$.

(B) ઉત્કલનબિંદુ ઉન્નયન એ સંખ્યાત્મક ગુણધર્મ છે જે $\Delta T_b = i \cdot K_b \cdot m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સંપૂર્ણ વિયોજન ધારતા,આપણે દરેક દ્રાવણ માટે $i \cdot m$ ગુણાકારની સરખામણી કરીએ છીએ:
$(A)$ $0.1 \text{ m } AlCl_3$ માટે: $i = 4$,$i \cdot m = 4 \times 0.1 = 0.4$
$(B)$ $0.01 \text{ m } MgCl_2$ માટે: $i = 3$,$i \cdot m = 3 \times 0.01 = 0.03$
$(C)$ $1 \text{ m } KCl$ માટે: $i = 2$,$i \cdot m = 2 \times 1 = 2.0$
$(D)$ $0.5 \text{ m } NaCl$ માટે: $i = 2$,$i \cdot m = 2 \times 0.5 = 1.0$
$i \cdot m$ નું સૌથી ઓછું મૂલ્ય $0.03$ છે,તેથી $0.01 \text{ m } MgCl_2$ નું ઉત્કલનબિંદુ ઉન્નયન સૌથી ઓછું છે.

(B) ઠારબિંદુમાં થતા ઘટાડાનું સૂત્ર $\Delta T_{f} = K_{f} \times m$ છે,જ્યાં $m$ એ દ્રાવણની મોલાલિટી છે.
મોલાલિટી $m = \frac{W_2 \times 1000}{M_2 \times W_1}$,જ્યાં $W_2$ એ દ્રાવ્યનું દળ,$M_2$ એ દ્રાવ્યનું મોલર દળ અને $W_1$ એ દ્રાવકનું દળ ગ્રામમાં છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $W_2 = 3.2 \ g$,$M_2 = 128 \ g \ mol^{-1}$,$W_1 = 80 \ g$,અને $K_{f} = 4.8 \ K \ kg \ mol^{-1}$.
$\Delta T_{f} = \frac{4.8 \ K \ kg \ mol^{-1} \times 3.2 \ g \times 1000 \ g \ kg^{-1}}{128 \ g \ mol^{-1} \times 80 \ g}$.
$\Delta T_{f} = \frac{15360}{10240} \ K = 1.5 \ K$.

(B) અભિસરણ દબાણનું સૂત્ર $\pi = iMRT = \frac{i \times W_2 \times R \times T}{M_2 \times V}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $i = 2.47$,$W_2 = 1.7 \ g$,$R = 0.082 \ dm^3 \ atm \ mol^{-1} \ K^{-1}$,$T = 300 \ K$,$M_2 = 111 \ g \ mol^{-1}$,અને $V = 1.25 \ dm^3$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\pi = \frac{2.47 \times 1.7 \times 0.082 \times 300}{111 \times 1.25} \ atm$.
$\pi = \frac{103.3638}{138.75} \ atm$.
$\pi = 0.744 \ atm$.

(D) દ્રાવણની મોલાલિટી $m$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
ગ્લુકોઝનું દળ $(W_2)$ $= 36 \ g$.
ગ્લુકોઝનું મોલર દળ $(M_2)$ $= 180 \ g \ mol^{-1}$.
દ્રાવણનું કદ $= 1 \ dm^3 = 1 \ L$.
દ્રાવણની ઘનતા આશરે $1 \ g \ mL^{-1}$ ધારતા,દ્રાવક (પાણી) $W_1$ નું દળ $1000 \ g = 1 \ kg$ થાય.
મોલાલિટી $m = \frac{W_2}{M_2 \times W_1 (\text{in } kg)} = \frac{36}{180 \times 1} = 0.2 \ mol \ kg^{-1} = \frac{2}{10} \ mol \ kg^{-1}$.
ઉત્કલનબિંદુમાં ઉન્નયન $\Delta T_b = K_b \times m = K_b \times \frac{2}{10} = \frac{2 \ K_b}{10}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાણીનું ઉત્કલનબિંદુ $100^{\circ} C$ છે.
તેથી,દ્રાવણનું ઉત્કલનબિંદુ $T_b = 100 + \Delta T_b = (100 + \frac{2 \ K_b}{10})^{\circ} C$ થાય.

(A) અભિસરણ દબાણનું સૂત્ર $\pi = iMRT$ છે.
આપેલ છે:
$i = 1.83$
$M = 0.2 \ M$
$T = 0^{\circ} C = 273 \ K$
$R = 0.082 \ dm^3 \ atm \ mol^{-1} \ K^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\pi = 1.83 \times 0.2 \times 0.082 \times 273$
$\pi = 8.196 \ atm \approx 8.2 \ atm$.

(A) ઉત્કલનબિંદુ ઉન્નયનનું સૂત્ર $\Delta T_b = K_b \times m$ છે,જ્યાં $m$ એ મોલાલિટી છે.
મોલાલિટી $m = \frac{W_2 \times 1000}{M_2 \times W_1}$,જ્યાં $W_2 = 1.5 \ g$,$M_2 = 150 \ g \ mol^{-1}$,અને $W_1 = 30 \ g$ છે.
સમીકરણ $\Delta T_b = K_b \times \frac{W_2 \times 1000}{M_2 \times W_1}$ માં કિંમતો મૂકતા:
$0.65 = K_b \times \frac{1.5 \times 1000}{150 \times 30}$
$0.65 = K_b \times \frac{1500}{4500}$
$0.65 = K_b \times \frac{1}{3}$
$K_b = 0.65 \times 3 = 1.95 \ K \ kg \ mol^{-1}$.

(C) ઉત્કલનબિંદુ ઉન્નયનનું સૂત્ર $\Delta T_{b} = K_{b} \times m$ છે.
આપેલ છે: $\Delta T_{b} = 1.89 \ K$ અને $K_{b} = 3.15 \ K \ kg \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $1.89 = 3.15 \times m$.
તેથી,$m = \frac{1.89}{3.15} = 0.6 \ mol \ kg^{-1}$ અથવા $0.6 \ m$.

(C) અભિસરણ દબાણનું સૂત્ર $\pi = M R T = \frac{n_2 R T}{V}$ છે.
આપેલ છે:
$n_2 = 0.025 \ mol$
$V = 100 \ mL = 0.1 \ dm^3$
$T = 300 \ K$
$R = 0.082 \ atm \ dm^3 \ mol^{-1} \ K^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\pi = \frac{0.025 \ mol \times 0.082 \ atm \ dm^3 \ mol^{-1} \ K^{-1} \times 300 \ K}{0.1 \ dm^3}$
$\pi = \frac{0.615}{0.1} \ atm = 6.15 \ atm$.

(D) ઉત્કલનબિંદુ ઉન્નયન $\Delta T_b$ એ $\Delta T_b = i \times K_b \times m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $i$ એ વોન્ટ હોફ અવયવ છે અને $m$ એ મોલાલિટી છે. $i \times m$ નું મૂલ્ય ઉન્નયનનું પ્રમાણ નક્કી કરે છે.
$A) \ 0.1 \ m \ NaCl: i \times m = 2 \times 0.1 = 0.2 \ m$
$B) \ 0.2 \ m \ KNO_3: i \times m = 2 \times 0.2 = 0.4 \ m$
$C) \ 0.1 \ m \ Na_2SO_4: i \times m = 3 \times 0.1 = 0.3 \ m$
$D) \ 0.05 \ m \ CaCl_2: i \times m = 3 \times 0.05 = 0.15 \ m$
$0.05 \ m \ CaCl_2$ માટે $i \times m$ નું મૂલ્ય સૌથી ઓછું $(0.15)$ હોવાથી,તે ન્યૂનતમ ઉત્કલનબિંદુ ઉન્નયન દર્શાવે છે.

(C) ઠારબિંદુમાં અવનયન $\Delta T_{f} = T_{f}^0 - T_{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $T_{f}^0 = 0^{\circ} C$ અને $T_{f} = -0.51^{\circ} C$ છે,તેથી $\Delta T_{f} = 0 - (-0.51) = 0.51 \ K$.
ઠારબિંદુમાં અવનયનનું સૂત્ર $\Delta T_{f} = i \times K_{f} \times m$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.51 = i \times 1.86 \times 0.15$.
$i$ માટે ગણતરી કરતા: $i = \frac{0.51}{1.86 \times 0.15} = \frac{0.51}{0.279} \approx 1.828$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,વોન્ટ હોફ અવયવ $i = 1.82$ મળે છે.

(A) ઉત્કલન બિંદુ ઉન્નયનનું સૂત્ર $\Delta T_{b} = K_{b} \times m$ છે,જ્યાં $m$ એ દ્રાવણની મોલાલિટી છે.
મોલાલિટી $(m)$ એટલે દ્રાવકના પ્રતિ કિલોગ્રામ દીઠ દ્રાવ્યના મોલની સંખ્યા.
અહીં $1 \ \text{mole}$ દ્રાવ્ય $1 \ kg$ દ્રાવકમાં ઓગળેલ છે,તેથી મોલાલિટી $m = \frac{1 \ \text{mol}}{1 \ \text{kg}} = 1 \ \text{mol} \ kg^{-1}$ થાય.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $x \ K = K_{b} \times 1 \ \text{mol} \ kg^{-1}$.
તેથી,$K_{b} = x \ K \ kg \ mol^{-1}$.

(A) ઉત્કલનબિંદુમાં ઉન્નયન માટેનું સૂત્ર $\Delta T_{b} = K_{b} \times m$ છે,જ્યાં $m$ એ મોલાલિટી છે.
મોલાલિટી $m = \frac{W_2 \times 1000}{M_2 \times W_1}$,જ્યાં $W_2$ એ દ્રાવ્યનું દળ,$M_2$ એ દ્રાવ્યનું મોલર દળ અને $W_1$ એ દ્રાવકનું દળ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1.75 = \frac{3 \times 5.6 \times 1000}{M_2 \times 50}$.
$M_2$ માટે ગોઠવતા: $M_2 = \frac{3 \times 5.6 \times 1000}{1.75 \times 50}$.
$M_2 = \frac{16800}{87.5} = 192 \ g \ mol^{-1}$.

(A) ઠારબિંદુ અવનયન માટેનું સૂત્ર $\Delta T_f = i \cdot K_f \cdot m$ છે.
આપેલ છે: $\Delta T_f = 0 - (-0.43) = 0.43 \ K$,$K_f = 1.86 \ K \ kg \ mol^{-1}$,અને $m = 0.1 \ m$.
કિંમતો મૂકતા: $0.43 = i \times 1.86 \times 0.1$.
$i$ માટે ગણતરી કરતા: $i = \frac{0.43}{0.186} \approx 2.31$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $2.3$ છે.