$x-y \geq 0$,$x+3y \leq 12$,$x \geq 0$,$y \geq 0$ के अंतर्गत $z=6x+8y$ का अधिकतम मान क्या है?

निम्नलिखित आकृति में छायांकित क्षेत्र एक निश्चित रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के लिए समाधान सेट का प्रतिनिधित्व करता है। इस क्षेत्र के लिए रैखिक बाधाएं हैं:

एक व्यापारी दो प्रकार के पर्सनल कंप्यूटर बेचने की योजना बना रहा है - एक डेस्कटॉप मॉडल और एक पोर्टेबल मॉडल,जिनकी लागत क्रमशः $Rs.\,25000$ और $Rs.\,40000$ है। वह अनुमान लगाता है कि कंप्यूटरों की कुल मासिक मांग $250$ यूनिट से अधिक नहीं होगी। यदि वह $Rs.\,70$ लाख से अधिक का निवेश नहीं करना चाहता है और यदि डेस्कटॉप मॉडल पर उसका लाभ $Rs.\,4500$ और पोर्टेबल मॉडल पर $Rs.\,5000$ है,तो अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए व्यापारी को प्रत्येक प्रकार के कितने यूनिट का स्टॉक रखना चाहिए?

एक फर्म को $1200$ पैकेज परिवहन करने हैं,जिसके लिए बड़ी वैन $200$ पैकेज और छोटी वैन $80$ पैकेज ले जा सकती है। प्रत्येक बड़ी वैन का खर्च $Rs. 400$ और प्रत्येक छोटी वैन का खर्च $Rs. 200$ है। इस कार्य पर $Rs. 3000$ से अधिक खर्च नहीं किया जा सकता है और बड़ी वैनों की संख्या छोटी वैनों की संख्या से अधिक नहीं हो सकती है। यदि उद्देश्य लागत को कम करना है,तो इस समस्या को $LPP$ के रूप में तैयार करें।

एक उत्पादन इकाई तांबे और पीतल को मिलाकर एक विशेष प्रकार की मेटल चिप बनाती है। चिप का मानक वजन कम से कम $5 \text{ gms}$ होना चाहिए। मूल सामग्री,यानी तांबा और पीतल,की लागत क्रमशः $₹8$ और $₹5$ प्रति $\text{gm}$ है। स्थायित्व संबंधी विचारों के अनुसार,मेटल चिप में $4 \text{ gms}$ से अधिक पीतल नहीं होना चाहिए और इसमें कम से कम $2 \text{ gms}$ तांबा होना चाहिए। तो,उपरोक्त शर्तों को पूरा करने वाली मेटल चिप की न्यूनतम लागत है:

उद्देश्य फलन $Z = 4 x_1 + 5 x_2$,प्रतिबंधों $2 x_1 + x_2 \geq 7$,$2 x_1 + 3 x_2 \leq 15$,$x_2 \leq 3$,$x_1, x_2 \geq 0$ के अंतर्गत न्यूनतम मान किस बिंदु पर है?