किन्हीं भी शून्येतर सदिशों $a, b, c$ के लिए,$a \cdot[(b+c) \times(a+b+c)] = \ldots .$

कथन $1$: सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ एक ही समतल में स्थित हैं यदि और केवल यदि $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ है।
कथन $2$: सदिश $\vec{u}$ और $\vec{v}$ लंबवत हैं यदि और केवल यदि $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ है,जहाँ $\vec{u} \times \vec{v}$ एक सदिश है जो $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के समतल के लंबवत है।

मान लीजिए $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + \lambda\hat{j} + 4\hat{k}$,और $\vec{c} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + (\lambda^2 - 1)\hat{k}$ समतलीय सदिश हैं। तो शून्येतर सदिश $\vec{a} \times \vec{c}$ क्या है?

मान लीजिए कि $a, b$ और $c$ भिन्न गैर-ऋणात्मक संख्याएँ हैं। यदि सदिश $a\hat{i} + a\hat{j} + c\hat{k}$,$\hat{i} + \hat{k}$ और $c\hat{i} + c\hat{j} + b\hat{k}$ समतलीय हैं,तो $c = \dots$

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय सदिश हैं और $(\vec{a} - \lambda \vec{b}) \cdot (\vec{b} - 2\vec{c}) \times (\vec{c} + 2\vec{a}) = 0$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\overline{a}, \overline{b}$ और $\overline{c}$ तीन असमतलीय सदिश हैं,तो $(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}) \cdot[(\overline{a}+\overline{b}) \times(\overline{a}+\overline{c})]$ किसके बराबर है?