int log x cdot [log (ex)]^{-2} dx = . . . . . | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \log x \cdot [\log (ex)]^{-2} dx$ चूंकि $\log(ex) = \log e + \log x = 1 + \log x$,इसलिए समाकलन इस प्रकार हो जाता है: $I = \int \fra

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$\frac{x}{1 + \log x} + c$

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(A) माना $I = \int \log x \cdot [\log (ex)]^{-2} dx$ चूंकि $\log(ex) = \log e + \log x = 1 + \log x$,इसलिए समाकलन इस प्रकार हो जाता है: $I = \int \frac{\log x}{(1 + \log x)^{2}} dx$ $\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $x = e^{t}$ और $dx = e^{t} dt$। $I = \int \frac{t}{(1 + t)^{2}} e^{t} dt$ अंश को $(t + 1 - 1)$ के रूप में लिखने पर: $I = \int e^{t} \left( \frac{t + 1 - 1}{(1 + t)^{2}} \right) dt$ $I = \int e^{t} \left( \frac{1}{1 + t} - \frac{1}{(1 + t)^{2}} \right) dt$ मानक समाकलन सूत्र $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = \frac{1}{1 + t}$ और $f'(t) = -\frac{1}{(1 + t)^{2}}$ है: $I = e^{t} \cdot \frac{1}{1 + t} + C$ $t = \log x$ और $e^{t} = x$ वापस रखने पर: $I = \frac{x}{1 + \log x} + C$

$\int \log x \cdot [\log (ex)]^{-2} dx = . . . . . .$

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$\int \frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2}\left[\left(\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2}\right)^2+\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right] d x$,जहाँ $x>0$ है,का मान है

फलन का समाकलन कीजिए : $e^{x}(\sin x + \cos x)$

$\int \frac{(x-1) e^{x}}{(x+1)^{3}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int \frac{3-x^2}{1-2 x+x^2} e^x d x=e^x f(x)+c$ है,तो $f(x)$ ज्ञात कीजिए।

$\int e^x \left( \log x + \frac{1}{x} \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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