समाकलन int_{1/4}^{3/4} cos left(2 cot^{-1} sq | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{1/4}^{3/4} \cos \left(2 \cot^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}ight) dx$. सर्वसमिका $\cot^{-1} 	heta = 	an^{-1} (1/	heta)$ का उपयोग

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$-1/4$

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(D) माना $I = \int_{1/4}^{3/4} \cos \left(2 \cot^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}ight) dx$. सर्वसमिका $\cot^{-1} 	heta = 	an^{-1} (1/	heta)$ का उपयोग करने पर,$\cot^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = 	an^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ प्राप्त होता है। अतः,समाकल्य $\cos \left(2 	an^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}ight)$ बन जाता है। सूत्र $\cos(2 	an^{-1} 	heta) = \frac{1-	heta^2}{1+	heta^2}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $	heta = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ है। अतः $	heta^2 = \frac{1+x}{1-x}$। इस मान को सूत्र में रखने पर: $\frac{1 - \frac{1+x}{1-x}}{1 + \frac{1+x}{1-x}} = \frac{\frac{1-x-1-x}{1-x}}{\frac{1-x+1+x}{1-x}} = \frac{-2x}{2} = -x$। अब,समाकलन का मान ज्ञात करते हैं: $I = \int_{1/4}^{3/4} (-x) dx = -\left[ \frac{x^2}{2} ight]_{1/4}^{3/4}$. $I = -\frac{1}{2} \left( \left(\frac{3}{4}ight)^2 - \left(\frac{1}{4}ight)^2 ight) = -\frac{1}{2} \left( \frac{9}{16} - \frac{1}{16} ight) = -\frac{1}{2} \left( \frac{8}{16} ight) = -\frac{1}{2} 	imes \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.

समाकलन $\int_{1/4}^{3/4} \cos \left(2 \cot^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए:

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समाकलन $\int_{\pi / 6}^{\pi / 2} \left( \frac{1+\sin 2x+\cos 2x}{\sin x+\cos x} \right) dx$ का मान किसके बराबर है?

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