मान लीजिए int frac{2-tan x}{3+tan x} dx = fra | vedclass

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Question

(C) हमारे पास $I = \int \frac{2-	an x}{3+	an x} dx = \int \frac{2 \cos x - \sin x}{3 \cos x + \sin x} dx$ है।मान लीजिए $2 \cos x - \sin x = A(3 \cos

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(C) हमारे पास $I = \int \frac{2-	an x}{3+	an x} dx = \int \frac{2 \cos x - \sin x}{3 \cos x + \sin x} dx$ है।मान लीजिए $2 \cos x - \sin x = A(3 \cos x + \sin x) + B(-3 \sin x + \cos x)$.$\cos x$ और $\sin x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:$3A + B = 2$ और $A - 3B = -1$.इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $A = \frac{1}{2}$ और $B = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।अतः,$I = \int \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{-3 \sin x + \cos x}{3 \cos x + \sin x} ight) dx$.$I = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \ln |3 \cos x + \sin x| + C$.इसकी तुलना $\frac{1}{2}(\alpha x + \ln |\beta \sin x + \gamma \cos x|) + C$ से करने पर,हमें $\alpha = 1$,$\beta = 1$,और $\gamma = 3$ प्राप्त होता है।इसलिए,$\alpha + \frac{\gamma}{\beta} = 1 + \frac{3}{1} = 4$.

मान लीजिए $\int \frac{2-\tan x}{3+\tan x} dx = \frac{1}{2}(\alpha x + \log_e |\beta \sin x + \gamma \cos x|) + C$,जहाँ $C$ समाकलन का स्थिरांक है। तो $\alpha + \frac{\gamma}{\beta}$ का मान ज्ञात कीजिए:

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यदि $\int \frac{2 \cos x+3 \sin x}{4 \cos x+5 \sin x} dx = \left(\frac{23}{41}\right) x + K \log |4 \cos x+5 \sin x| + c$ है,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।

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