मान लीजिए [x] महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता | vedclass

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Question

(D) तीन फलनों को परिभाषित करें: $g(x) = 1+x+[x]$,$h(x) = 2+x$,और $k(x) = x+2[x]$।$x \in [0, 1)$ के लिए: $g(x) = 1+x$,$h(x) = 2+x$,$k(x) = x$। अतः $f(x

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$3$

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(D) तीन फलनों को परिभाषित करें: $g(x) = 1+x+[x]$,$h(x) = 2+x$,और $k(x) = x+2[x]$।$x \in [0, 1)$ के लिए: $g(x) = 1+x$,$h(x) = 2+x$,$k(x) = x$। अतः $f(x) = \max\{1+x, 2+x, x\} = 2+x$।$x \in [1, 2)$ के लिए: $g(x) = 2+x$,$h(x) = 2+x$,$k(x) = x+2$। $2+x$ और $x+2$ समान हैं। अतः $f(x) = 2+x$।$x = 2$ पर: $g(2) = 1+2+2 = 5$,$h(2) = 2+2 = 4$,$k(2) = 2+2(2) = 6$। अतः $f(2) = \max\{5, 4, 6\} = 6$।अतः,$x \in [0, 2)$ के लिए $f(x) = 2+x$ और $f(2) = 6$ है।सांतत्य की जाँच: $\lim_{x 	o 2^-} f(x) = 2+2 = 4$,लेकिन $f(2) = 6$ है। अतः,$f$ बिंदु $x = 2$ पर असतत है। इसलिए $m = 1$।$(0, 2)$ में अवकलनीयता की जाँच: चूँकि $f(x) = 2+x$ एक बहुपद है,यह सभी $x \in (0, 2)$ के लिए अवकलनीय है। इसलिए $n = 0$।अतः,$(m+n)^2+2 = (1+0)^2+2 = 1+2 = 3$।

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यदि $f(x) = \left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)^{\operatorname{cosec} x}$,$x=0$ पर सतत है,तो $f(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि $f(x)=\cos \left(x^{2}\right)$ द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।

मान लीजिए $f(x) = \frac{1-\tan x}{4x-\pi}$,जहाँ $x \neq \frac{\pi}{4}$ और $x \in [0, \frac{1}{2}]$ है। यदि $f(x)$ अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में सतत है,तो $f(\frac{\pi}{4})$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $f(x) = \frac{1 - \tan x}{4x - \pi }, x \ne \frac{\pi }{4}, x \in [0, \frac{\pi }{2}]$ है। यदि $f(x)$ अंतराल $[0, \frac{\pi }{2}]$ में सतत है,तो $f(\frac{\pi }{4})$ का मान ज्ञात कीजिए।

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