IIT JEE 2003 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $|z| = 1$,ધારો કે $z = x + iy$,તેથી $x^2 + y^2 = 1$.
$\omega = \frac{z - 1}{z + 1} = \frac{(x - 1) + iy}{(x + 1) + iy}$.
વાસ્તવિક ભાગ શોધવા માટે,અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $(x + 1) - iy$ વડે ગુણતા:
$\omega = \frac{((x - 1) + iy)((x + 1) - iy)}{(x + 1)^2 + y^2} = \frac{(x^2 - 1) + i(y(x + 1) - y(x - 1)) + y^2}{(x + 1)^2 + y^2}$.
$\omega = \frac{(x^2 + y^2 - 1) + i(xy + y - xy + y)}{(x + 1)^2 + y^2} = \frac{(1 - 1) + 2iy}{(x + 1)^2 + y^2} = \frac{2iy}{(x + 1)^2 + y^2}$.
તેથી,વાસ્તવિક ભાગ $0$ છે,એટલે કે $\text{Re}(\omega) = 0$.

(A) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે.
$2b = a + c$ ......$(i)$
આપેલ છે કે $a^2, b^2, c^2$ એ $H.P.$ માં છે.
$b^2 = \frac{2a^2c^2}{a^2 + c^2}$
$b^2(a^2 + c^2) = 2a^2c^2$
$b^2((a+c)^2 - 2ac) = 2a^2c^2$
$(i)$ પરથી $a+c = 2b$ મૂકતા:
$b^2(4b^2 - 2ac) = 2a^2c^2$
$4b^4 - 2acb^2 - 2a^2c^2 = 0$
$2b^4 - acb^2 - a^2c^2 = 0$
$(2b^2 + ac)(b^2 - ac) = 0$
$a, b, c$ વાસ્તવિક હોવાથી,$b^2 = ac$ મળે.
જો $b^2 = ac$ હોય,તો $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે.
$a, b, c$ એ $A.P.$ અને $G.P.$ બંનેમાં હોવાથી,$a = b = c$ થાય.

(A) પદાવલિ $(1 + t^2)^{12}(1 + t^{12})(1 + t^{24})$ છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $(1 + t^2)^{12}$ નું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $\sum_{k=0}^{12} {^{12}C_k} t^{2k}$ મળે છે.
આપણે $(\sum_{k=0}^{12} {^{12}C_k} t^{2k})(1 + t^{12} + t^{24})$ ના ગુણાકારમાં $t^{24}$ નો સહગુણક જોઈએ છે.
પદોનું વિતરણ કરતા:
$1$. $1 \times (\dots)$ માંથી,$(1 + t^2)^{12}$ માં $t^{24}$ નો સહગુણક $^{12}C_{12} = 1$ છે.
$2$. $t^{12} \times (\dots)$ માંથી,$(1 + t^2)^{12}$ માં $t^{12}$ નો સહગુણક $^{12}C_6 = 924$ છે.
$3$. $t^{24} \times (\dots)$ માંથી,$(1 + t^2)^{12}$ માં $t^0$ નો સહગુણક $^{12}C_0 = 1$ છે.
આ સહગુણકોનો સરવાળો: $1 + ^{12}C_6 + 1 = ^{12}C_6 + 2$.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(0, 0)$,$B(4, 0)$ અને $C(3, 4)$ છે.
લંબકેન્દ્ર શોધવા માટે,આપણે વેધનું છેદબિંદુ શોધીએ છીએ.
$1$. $A$ માંથી $BC$ પરનો વેધ: $BC$ નો ઢાળ $\frac{4-0}{3-4} = -4$ છે. વેધ $BC$ ને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $\frac{1}{4}$ છે. તે $A(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y = \frac{1}{4}x$ અથવા $x - 4y = 0$ છે.
$2$. $C$ માંથી $AB$ પરનો વેધ: બાજુ $AB$ એ $x$-અક્ષ $(y=0)$ પર છે,તેથી $C(3, 4)$ માંથી પસાર થતો વેધ શિરોલંબ રેખા $x = 3$ છે.
$3$. છેદબિંદુ: $x = 3$ ને $x - 4y = 0$ માં મૂકતા,આપણને $3 - 4y = 0$ મળે છે,જેનો ઉકેલ $y = \frac{3}{4}$ છે.
આમ,લંબકેન્દ્ર $\left( 3, \frac{3}{4} \right)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $x^2 - 8x + 12 = 0$ અને $y^2 - 14y + 45 = 0$ છે.
$x^2 - 8x + 12 = 0$ ઉકેલતા,આપણને $(x - 2)(x - 6) = 0$ મળે છે,તેથી $x = 2$ અને $x = 6$.
$y^2 - 14y + 45 = 0$ ઉકેલતા,આપણને $(y - 5)(y - 9) = 0$ મળે છે,તેથી $y = 5$ અને $y = 9$.
ચોરસ બનાવતી રેખાઓ $x = 2, x = 6, y = 5$ અને $y = 9$ છે.
અંતર્ગત વર્તુળનું કેન્દ્ર એ ચોરસનું મધ્યબિંદુ છે,જે વિકર્ણોનું છેદબિંદુ છે.
કેન્દ્ર $(\frac{2 + 6}{2}, \frac{5 + 9}{2}) = (\frac{8}{2}, \frac{14}{2}) = (4, 7)$ દ્વારા મળે છે.

(A) પરવલય $y^2 = 16x$ છે,તેથી $4a = 16$,જે $a = 4$ આપે છે. નાભિ $(4, 0)$ છે.
$(4, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી કોઈપણ નાભિ જીવાનું સમીકરણ $y - 0 = m(x - 4)$ એટલે કે $mx - y - 4m = 0$ થાય.
આ રેખા વર્તુળ $(x - 6)^2 + y^2 = 2$ ને સ્પર્શે છે,જેનું કેન્દ્ર $(6, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2}$ છે.
કેન્દ્ર $(6, 0)$ થી રેખા $mx - y - 4m = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{2}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{|m(6) - 0 - 4m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \sqrt{2}$.
$\frac{|2m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{4m^2}{m^2 + 1} = 2$.
$4m^2 = 2m^2 + 2$.
$2m^2 = 2$,તેથી $m^2 = 1$,જે $m = \pm 1$ આપે છે.
આમ,ઢાળના શક્ય મૂલ્યો $\{-1, 1\}$ છે.

(D) ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ માટે,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 5$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \frac{2}{3}$ મળે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(\pm 2, \pm \frac{5}{3})$ છે.
બિંદુ $(2, \frac{5}{3})$ આગળનો સ્પર્શક $\frac{2x}{9} + \frac{y}{3} = 1$ છે.
પ્રથમ ચરણમાં આ સ્પર્શક દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \frac{9}{2} \times 3 = \frac{27}{4}$ થાય.
આવા ચાર સમાન ત્રિકોણો હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $4 \times \frac{27}{4} = 27$ $sq. \text{ units}$ થાય.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ છે.
અહીં $a = 3\sqrt{3}$ અને $b = 1$ છે.
તેથી,સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{3\sqrt{3}} + y \sin \theta = 1$ થાય.
$x$-અંતઃખંડ $3\sqrt{3} \sec \theta$ અને $y$-અંતઃખંડ $\csc \theta$ છે.
અંતઃખંડોનો સરવાળો $f(\theta) = 3\sqrt{3} \sec \theta + \csc \theta$ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત માટે $f'(\theta) = 0$ લેતા,$\tan^3 \theta = \frac{1}{3\sqrt{3}}$ મળે.
આથી,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$,એટલે કે $\theta = \pi/6$.

(D) આપેલ લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{[(a - n)nx - \tan x]\sin nx}{x^2} = 0$
આ પદને આ રીતે લખી શકાય: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{(a - n)nx - \tan x}{x} \cdot \frac{\sin nx}{x} \right) = 0$
બીજા પદમાં $n$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( ((a - n)n - \frac{\tan x}{x}) \cdot n \cdot \frac{\sin nx}{nx} \right) = 0$
કારણ કે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ અને $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin nx}{nx} = 1$,તેથી સમીકરણ:
$n((a - n)n - 1) = 0$
$n \neq 0$ હોવાથી,$(a - n)n - 1 = 0$
$(a - n)n = 1$
$a - n = \frac{1}{n}$
$a = n + \frac{1}{n}$

(D) $L$'Hopital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે અંશ અને છેદનું $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(2h + 2 + {h^2}) - f(2)}}{{f(h - {h^2} + 1) - f(1)}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f'(2h + 2 + {h^2}) \cdot (2 + 2h)}}{{f'(h - {h^2} + 1) \cdot (1 - 2h)}}$
જ્યારે $h \to 0$,ત્યારે પદ આ મુજબ બને છે:
$\frac{{f'(2) \cdot 2}}{{f'(1) \cdot 1}} = \frac{{6 \times 2}}{{4 \times 1}} = \frac{{12}}{{4}} = 3$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = x^2 + 2bx + 2c^2$. પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,આપણને મળે છે $f(x) = (x + b)^2 + 2c^2 - b^2$. $f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2c^2 - b^2$ છે.
આપેલ છે કે $g(x) = -x^2 - 2cx + b^2$. પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,આપણને મળે છે $g(x) = b^2 + c^2 - (x + c)^2$. $g(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $b^2 + c^2$ છે.
શરત $\min f(x) > \max g(x)$ મુજબ,આપણી પાસે $2c^2 - b^2 > b^2 + c^2$ છે.
અસમતાનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $c^2 > 2b^2$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|c| > |b|\sqrt{2}$ મળે છે.

(D) $6$ સંખ્યાઓમાંથી $2$ સંખ્યાઓ બદલ્યા વગર પસંદ કરવાની કુલ રીતો $P(6, 2) = 6 \times 5 = 30$ છે.
ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે. આપણે $\min(x, y) < 4$ હોય તેની સંભાવના શોધવી છે.
તેના પૂરક ઘટનાની સંભાવના શોધવી સરળ છે: $\min(x, y) \geq 4$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે બંને સંખ્યાઓ ગણ $\{4, 5, 6\}$ માંથી પસંદ કરવી જોઈએ.
$\{4, 5, 6\}$ માંથી $2$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $P(3, 2) = 3 \times 2 = 6$ છે.
$\min(x, y) \geq 4$ હોય તેની સંભાવના $\frac{6}{30} = \frac{1}{5}$ છે.
તેથી,$\min(x, y) < 4$ હોય તેની સંભાવના $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$,$(0, 21)$ અને $(21, 0)$ છે.
અંદરના બિંદુઓ $(x, y)$ માટે $x > 0$,$y > 0$ અને $x + y < 21$ શરતોનું પાલન થવું જોઈએ.
નિશ્ચિત $x$ માટે,$y$ એ $1$ થી $21 - x - 1 = 20 - x$ સુધીની પૂર્ણાંક કિંમતો લઈ શકે છે.
$y > 0$ હોવાથી,$20 - x \geq 1$ હોવું જોઈએ,તેથી $x$ ની કિંમત $1$ થી $19$ સુધી હોઈ શકે.
દરેક $x \in \{1, 2, \dots, 19\}$ માટે,$y$ ની શક્ય કિંમતોની સંખ્યા $20 - x$ છે.
પૂર્ણાંક બિંદુઓની કુલ સંખ્યા $\sum_{x=1}^{19} (20 - x) = 19 + 18 + \dots + 1$ છે.
સરવાળાના સૂત્ર $\frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરીને,$n = 19$ માટે,આપણને $\frac{19 \times 20}{2} = 190$ મળે છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $(x, y)$ છે. બિંદુ $(a_1, b_1)$ અને $(a_2, b_2)$ થી સમાન અંતરે હોવાથી:
$(x - a_1)^2 + (y - b_1)^2 = (x - a_2)^2 + (y - b_2)^2$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 - 2a_1x + a_1^2 + y^2 - 2b_1y + b_1^2 = x^2 - 2a_2x + a_2^2 + y^2 - 2b_2y + b_2^2$
$x^2$ અને $y^2$ ને બંને બાજુથી દૂર કરતા:
$-2a_1x - 2b_1y + a_1^2 + b_1^2 = -2a_2x - 2b_2y + a_2^2 + b_2^2$
પદોને $(a_1 - a_2)x + (b_1 - b_2)y + c = 0$ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$2(a_1 - a_2)x + 2(b_1 - b_2)y + (a_2^2 + b_2^2 - a_1^2 - b_1^2) = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$(a_1 - a_2)x + (b_1 - b_2)y + \frac{1}{2}(a_2^2 + b_2^2 - a_1^2 - b_1^2) = 0$
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,$c = \frac{1}{2}(a_2^2 + b_2^2 - a_1^2 - b_1^2)$ મળે છે.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = \cos^2 \alpha$ અને $b^2 = \sin^2 \alpha$ છે.
અતિવલય માટે,નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ પર હોય છે,જ્યાં $e$ એ ઉત્કેન્દ્રતા છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = \sqrt{1 + \tan^2 \alpha} = \sec \alpha$ છે.
નાભિઓના અભિસિસા $\pm ae = \pm \sqrt{\cos^2 \alpha} \cdot \sec \alpha = \pm \cos \alpha \cdot \frac{1}{\cos \alpha} = \pm 1$ છે.
આમ,$\pm 1$ નું મૂલ્ય $\alpha$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,નાભિઓના અભિસિસા અચળ રહે છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ $4x, x$ અને $x$ છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$4x + x + x = 180^{\circ}$,એટલે કે $6x = 180^{\circ}$,તેથી $x = 30^{\circ}$.
ખૂણાઓ $120^{\circ}, 30^{\circ}$ અને $30^{\circ}$ છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$,જ્યાં $a$ એ $120^{\circ}$ ની સામેની સૌથી મોટી બાજુ છે.
તેથી $a = k \sin 120^{\circ}$,$b = k \sin 30^{\circ}$ અને $c = k \sin 30^{\circ}$.
સૌથી મોટી બાજુ અને પરિમિતિનો ગુણોત્તર $\frac{a}{a+b+c} = \frac{\sin 120^{\circ}}{\sin 120^{\circ} + \sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}+2}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$.

(A) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ સમઘાત (homogeneous) છે:
$x + ay + 0z = 0$
$0x + y + az = 0$
$ax + 0y + z = 0$
સમઘાત સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો (બિન-તુચ્છ ઉકેલો) હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \\ a & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(1 \times 1 - a \times 0) - a(0 \times 1 - a \times a) + 0(0 \times 0 - 1 \times a) = 0$
$1(1) - a(-a^2) + 0 = 0$
$1 + a^3 = 0$
$a^3 = -1$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,આપણને $a = -1$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે $A^2$ ની ગણતરી નીચે મુજબ કરીએ છીએ:
$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha^2 + 0 & 0 + 0 \\ \alpha + 1 & 0 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha^2 & 0 \\ \alpha + 1 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણને આપેલ છે કે $A^2 = B$,તેથી:
$\begin{bmatrix} \alpha^2 & 0 \\ \alpha + 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}$.
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$1$) $\alpha^2 = 1 \implies \alpha = \pm 1$
$2$) $\alpha + 1 = 5 \implies \alpha = 4$
આમ,$\alpha$ ની એવી કોઈ કિંમત નથી જે બંને સમીકરણોને એકસાથે સંતોષે,તેથી $A^2 = B$ થાય તેવી $\alpha$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી.

(C) સદિશો $\vec{u} = i + aj + k$,$\vec{v} = j + ak$ અને $\vec{w} = ai + k$ દ્વારા બનતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ $V$ એ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ ના માનાંક જેટલું હોય છે.
$V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})| = \left| \det \begin{bmatrix} 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \\ a & 0 & 1 \end{bmatrix} \right|$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $1(1 - 0) - a(0 - a^2) + 1(0 - a) = 1 + a^3 - a$.
ધારો કે $f(a) = a^3 - a + 1$. ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ: $f'(a) = 3a^2 - 1$.
$f'(a) = 0$ લેતા,$3a^2 = 1$,તેથી $a^2 = \frac{1}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,ઘનફળ ન્યૂનતમ થાય તે માટે $a$ ની કિંમત $\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.

(B) આપેલ છે $f(x) = \frac{x}{1+x}$,જ્યાં $x \in [0, \infty)$.
એક-એક ચકાસવા માટે: ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$,તો $\frac{x_1}{1+x_1} = \frac{x_2}{1+x_2}$.
$x_1(1+x_2) = x_2(1+x_1) \implies x_1 + x_1x_2 = x_2 + x_1x_2 \implies x_1 = x_2$.
આમ,$f$ એ એક-એક છે.
વ્યાપ્ત ચકાસવા માટે: $f(x) = \frac{x}{1+x} = \frac{1+x-1}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x}$ નો વિસ્તાર શોધીએ.
જેમ $x$ એ $0$ થી $\infty$ સુધી બદલાય છે,તેમ $1+x$ એ $1$ થી $\infty$ સુધી બદલાય છે,તેથી $\frac{1}{1+x}$ એ $1$ થી $0$ સુધી બદલાય છે.
તેથી,$f(x)$ નો વિસ્તાર $1-1=0$ થી $1-0=1$,એટલે કે $[0, 1)$ મળે છે.
અહીં સહપ્રદેશ $[0, \infty)$ છે અને વિસ્તાર $[0, 1)$ છે,તેથી વિસ્તાર $\neq$ સહપ્રદેશ.
આમ,$f$ એ વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,$f$ એ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.

(C) ધારો કે $y = \frac{x^2 + x + 2}{x^2 + x + 1}$.
આપણે વિધેયને $y = \frac{(x^2 + x + 1) + 1}{x^2 + x + 1} = 1 + \frac{1}{x^2 + x + 1}$ તરીકે લખી શકીએ.
ધારો કે $g(x) = x^2 + x + 1$. $g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $x = -1/2$ પર મળે છે,જે $g(-1/2) = 3/4$ છે.
આમ,$x^2 + x + 1$ નો વિસ્તાર $[3/4, \infty)$ છે.
તેથી,$\frac{1}{x^2 + x + 1}$ નો વિસ્તાર $(0, 4/3]$ છે.
આમાં $1$ ઉમેરતા,$f(x)$ નો વિસ્તાર $(1, 7/3]$ મળે છે.

(D) લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ જણાવે છે કે વિધેય $f(x)$ માટે $[a, b]$ પર તે લાગુ પાડવા માટે,તે $[a, b]$ પર સતત અને $(a, b)$ પર વિકલનીય હોવું જોઈએ.
વિકલ્પ $(d)$ તપાસતા: $f(x) = |x|$.
આ વિધેય $[0, 1]$ પર સતત છે,પરંતુ તે $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી,જે $[0, 1]$ અંતરાલની અંદર આવે છે.
તેથી,$[0, 1]$ પર $f(x) = |x|$ માટે $LMVT$ લાગુ પડતું નથી.

(D) $f(x)$ ક્યાં વધે છે તે શોધવા માટે,આપણે લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx} \int_{x^2}^{x^2 + 1} e^{-t^2} dt = e^{-(x^2+1)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2+1) - e^{-(x^2)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$
$f'(x) = e^{-(x^4 + 2x^2 + 1)} \cdot (2x) - e^{-x^4} \cdot (2x)$
$f'(x) = 2x e^{-x^4} \left( e^{-(2x^2 + 1)} - 1 \right)$
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $e^{-(2x^2 + 1)} < 1$ હોવાથી,પદ $(e^{-(2x^2 + 1)} - 1)$ હંમેશા ઋણ છે.
$f'(x) > 0$ માટે,$2x$ ઋણ હોવું જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે કે $x < 0$.
આમ,$f(x)$ એ $(-\infty, 0)$ માં વધે છે.

(A) આપેલ વક્રો $y = \sqrt{x}$ (અથવા $x = y^2$) અને $2y + 3 = x$ (અથવા $y = \frac{x-3}{2}$) છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y^2 = 2y + 3$ લો,જે $y^2 - 2y - 3 = 0$ આપે છે.
$(y - 3)(y + 1) = 0$,તેથી $y = 3$ અથવા $y = -1$.
આપણે $1^{st}$ ચરણમાં હોવાથી,$y = 3$ લેતા,જે $x = 9$ સૂચવે છે.
રેખા $2y + 3 = x$ એ $x$-અક્ષને $y = 0$ પર છેદે છે,તેથી $x = 3$.
ક્ષેત્રફળ $x = 0$ થી $x = 3$ સુધી $y = \sqrt{x}$ દ્વારા અને $x = 3$ થી $x = 9$ સુધી વક્રોના તફાવત દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^3 \sqrt{x} \, dx + \int_3^9 \left( \sqrt{x} - \frac{x-3}{2} \right) \, dx$
$= \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^3 + \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} - 3x \right) \right]_3^9$
$= \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) + \left( \left[ \frac{2}{3}(27) - \frac{1}{2} \left( \frac{81}{2} - 27 \right) \right] - \left[ \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) - \frac{1}{2} \left( \frac{9}{2} - 9 \right) \right] \right)$
$= 2\sqrt{3} + 18 - \frac{1}{2} \left( \frac{27}{2} \right) - 2\sqrt{3} + \frac{1}{2} \left( -\frac{9}{2} \right)$
$= 18 - \frac{27}{4} - \frac{9}{4} = 18 - \frac{36}{4} = 18 - 9 = 9 \text{ ચોરસ એકમ.}$

(A) આપણને આપેલ છે $I(m, n) = \int_0^1 t^m (1 + t)^n dt$.
ખંડશઃ સંકલન (Integration by parts) નો ઉપયોગ કરતા,$u = (1 + t)^n$ અને $dv = t^m dt$ લો.
તેથી $du = n(1 + t)^{n-1} dt$ અને $v = \frac{t^{m+1}}{m+1}$ મળે.
સૂત્ર $\int u dv = uv - \int v du$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I(m, n) = \left[ \frac{t^{m+1}(1 + t)^n}{m+1} \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{t^{m+1}}{m+1} \cdot n(1 + t)^{n-1} dt$.
સીમાઓનું મૂલ્ય મુકતા:
$t=1$ માટે,$\frac{1^{m+1}(1+1)^n}{m+1} = \frac{2^n}{m+1}$ મળે.
$t=0$ માટે,પદ $0$ થાય છે.
તેથી,$I(m, n) = \frac{2^n}{m+1} - \frac{n}{m+1} \int_0^1 t^{m+1}(1 + t)^{n-1} dt$.
કારણ કે $I(m+1, n-1) = \int_0^1 t^{m+1}(1 + t)^{n-1} dt$,તેથી:
$I(m, n) = \frac{2^n}{m+1} - \frac{n}{m+1} I(m+1, n-1)$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1 + t)\frac{dy}{dt} - ty = 1$ છે.
$(1 + t)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dt} - \frac{t}{1 + t}y = \frac{1}{1 + t}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dt} + P(t)y = Q(t)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(t) = -\frac{t}{1 + t}$ અને $Q(t) = \frac{1}{1 + t}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(t) dt} = e^{\int -\frac{t}{1 + t} dt} = e^{\int (-1 + \frac{1}{1 + t}) dt} = e^{-t + \ln(1 + t)} = (1 + t)e^{-t}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(t) \cdot (I.F.) dt + C$ છે.
$y(1 + t)e^{-t} = \int \frac{1}{1 + t} \cdot (1 + t)e^{-t} dt + C = \int e^{-t} dt + C = -e^{-t} + C$.
$y(0) = -1$ આપેલ હોવાથી,$t = 0$ મૂકતા: $-1(1 + 0)e^{0} = -e^{0} + C \Rightarrow -1 = -1 + C \Rightarrow C = 0$.
તેથી,$y(1 + t)e^{-t} = -e^{-t}$,જેનું સાદું રૂપ $y = -\frac{1}{1 + t}$ થાય છે.
$t = 1$ માટે,$y(1) = -\frac{1}{1 + 1} = -\frac{1}{2}$.

(A) ગણ $B$ ને ચાર અલગ-અલગ ભાગોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
$B = (A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \bar{C}) \cup (\bar{A} \cap B \cap C) \cup (\bar{A} \cap B \cap \bar{C})$
નોંધો કે $(A \cap B \cap C) \cup (\bar{A} \cap B \cap C) = B \cap C$ થાય.
તેથી,$P(B) = P(A \cap B \cap \bar{C}) + P(\bar{A} \cap B \cap \bar{C}) + P(B \cap C)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{3}{4} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + P(B \cap C)$
$\frac{3}{4} = \frac{2}{3} + P(B \cap C)$
$P(B \cap C) = \frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{9-8}{12} = \frac{1}{12}$.

(C) રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-k}{2}$ છે. રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} = (1, 1, 2)$ છે અને સમતલ $2x-4y+z=7$ નો અભિલંબ $\vec{n} = (2, -4, 1)$ છે.
પ્રથમ,રેખા સમતલને સમાંતર છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{b} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (1)(-4) + (2)(1) = 2 - 4 + 2 = 0$ ગણો. ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,રેખા સમતલને સમાંતર છે.
રેખા સમતલમાં આવેલી હોય તે માટે,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરવું જોઈએ. રેખા પરનું બિંદુ $(4, 2, k)$ લો.
આ બિંદુને સમતલના સમીકરણ $2x-4y+z=7$ માં મૂકતા:
$2(4) - 4(2) + k = 7$
$8 - 8 + k = 7$
$k = 7$.