IIT JEE 2003 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया है $|z| = 1$,मान लीजिए $z = x + iy$,अतः $x^2 + y^2 = 1$.
$\omega = \frac{z - 1}{z + 1} = \frac{(x - 1) + iy}{(x + 1) + iy}$.
वास्तविक भाग ज्ञात करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(x + 1) - iy$ से गुणा करें:
$\omega = \frac{((x - 1) + iy)((x + 1) - iy)}{(x + 1)^2 + y^2} = \frac{(x^2 - 1) + i(y(x + 1) - y(x - 1)) + y^2}{(x + 1)^2 + y^2}$.
$\omega = \frac{(x^2 + y^2 - 1) + i(xy + y - xy + y)}{(x + 1)^2 + y^2} = \frac{(1 - 1) + 2iy}{(x + 1)^2 + y^2} = \frac{2iy}{(x + 1)^2 + y^2}$.
अतः वास्तविक भाग $0$ है,यानी $\text{Re}(\omega) = 0$.

(A) दिया गया है कि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं।
$2b = a + c$ ......$(i)$
दिया गया है कि $a^2, b^2, c^2$ $H.P.$ में हैं।
$b^2 = \frac{2a^2c^2}{a^2 + c^2}$
$b^2(a^2 + c^2) = 2a^2c^2$
$b^2((a+c)^2 - 2ac) = 2a^2c^2$
$(i)$ से $a+c = 2b$ प्रतिस्थापित करने पर:
$b^2(4b^2 - 2ac) = 2a^2c^2$
$4b^4 - 2acb^2 - 2a^2c^2 = 0$
$2b^4 - acb^2 - a^2c^2 = 0$
$(2b^2 + ac)(b^2 - ac) = 0$
चूंकि $a, b, c$ वास्तविक हैं,$b^2 = ac$ प्राप्त होता है।
यदि $b^2 = ac$ है,तो $a, b, c$ $G.P.$ में हैं।
चूंकि $a, b, c$ $A.P.$ और $G.P.$ दोनों में हैं,इसलिए $a = b = c$ होगा।

(A) व्यंजक $(1 + t^2)^{12}(1 + t^{12})(1 + t^{24})$ है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $(1 + t^2)^{12}$ का विस्तार करने पर,हमें $\sum_{k=0}^{12} {^{12}C_k} t^{2k}$ प्राप्त होता है।
हमें $(\sum_{k=0}^{12} {^{12}C_k} t^{2k})(1 + t^{12} + t^{24})$ के गुणनफल में $t^{24}$ का गुणांक चाहिए।
पदों का वितरण करने पर:
$1$. $1 \times (\dots)$ से,$(1 + t^2)^{12}$ में $t^{24}$ का गुणांक $^{12}C_{12} = 1$ है।
$2$. $t^{12} \times (\dots)$ से,$(1 + t^2)^{12}$ में $t^{12}$ का गुणांक $^{12}C_6 = 924$ है।
$3$. $t^{24} \times (\dots)$ से,$(1 + t^2)^{12}$ में $t^0$ का गुणांक $^{12}C_0 = 1$ है।
इन गुणांकों का योग: $1 + ^{12}C_6 + 1 = ^{12}C_6 + 2$।

(C) माना शीर्ष $A(0, 0)$,$B(4, 0)$ और $C(3, 4)$ हैं।
लंबकेंद्र ज्ञात करने के लिए,हम शीर्षलंबों (altitudes) का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$1$. $A$ से $BC$ पर शीर्षलंब: $BC$ की ढाल $\frac{4-0}{3-4} = -4$ है। शीर्षलंब $BC$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $\frac{1}{4}$ है। चूँकि यह $A(0, 0)$ से होकर गुजरता है,इसका समीकरण $y = \frac{1}{4}x$ या $x - 4y = 0$ है।
$2$. $C$ से $AB$ पर शीर्षलंब: भुजा $AB$,$x$-अक्ष $(y=0)$ पर स्थित है,इसलिए $C(3, 4)$ से गुजरने वाला शीर्षलंब एक ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 3$ है।
$3$. प्रतिच्छेदन: $x = 3$ को $x - 4y = 0$ में रखने पर,हमें $3 - 4y = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $y = \frac{3}{4}$ मिलता है।
अतः,लंबकेंद्र $\left( 3, \frac{3}{4} \right)$ है।

(A) दिए गए समीकरण $x^2 - 8x + 12 = 0$ और $y^2 - 14y + 45 = 0$ हैं।
$x^2 - 8x + 12 = 0$ को हल करने पर,हमें $(x - 2)(x - 6) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 2$ और $x = 6$ है।
$y^2 - 14y + 45 = 0$ को हल करने पर,हमें $(y - 5)(y - 9) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = 5$ और $y = 9$ है।
वर्ग बनाने वाली रेखाएँ $x = 2, x = 6, y = 5$ और $y = 9$ हैं।
अंतर्निहित वृत्त का केंद्र वर्ग का मध्यबिंदु होता है,जो विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
केंद्र $(\frac{2 + 6}{2}, \frac{5 + 9}{2}) = (\frac{8}{2}, \frac{14}{2}) = (4, 7)$ द्वारा प्राप्त होता है।

(A) परवलय $y^2 = 16x$ है,इसलिए $4a = 16$,जिससे $a = 4$ प्राप्त होता है। नाभि $(4, 0)$ है।
$(4, 0)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली किसी भी नाभि जीवा का समीकरण $y - 0 = m(x - 4)$ अर्थात $mx - y - 4m = 0$ होता है।
यह रेखा वृत्त $(x - 6)^2 + y^2 = 2$ की स्पर्श रेखा है,जिसका केंद्र $(6, 0)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{2}$ है।
केंद्र $(6, 0)$ से रेखा $mx - y - 4m = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $\sqrt{2}$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{|m(6) - 0 - 4m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \sqrt{2}$.
$\frac{|2m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{4m^2}{m^2 + 1} = 2$.
$4m^2 = 2m^2 + 2$.
$2m^2 = 2$,इसलिए $m^2 = 1$,जिससे $m = \pm 1$ प्राप्त होता है।
अतः,ढाल के संभावित मान $\{-1, 1\}$ हैं।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ के लिए,$a^2 = 9$ और $b^2 = 5$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \frac{2}{3}$ है।
नाभिलंब के अंत बिंदु $(\pm 2, \pm \frac{5}{3})$ हैं।
बिंदु $(2, \frac{5}{3})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{2x}{9} + \frac{y}{3} = 1$ है।
प्रथम चतुर्थांश में इस स्पर्श रेखा द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \frac{9}{2} \times 3 = \frac{27}{4}$ है।
चूँकि ऐसे चार सममित त्रिभुज बनते हैं,इसलिए चतुर्भुज का कुल क्षेत्रफल $4 \times \frac{27}{4} = 27$ $sq. \text{ units}$ होगा।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ है।
यहाँ $a = 3\sqrt{3}$ और $b = 1$ है।
अतः,स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{3\sqrt{3}} + y \sin \theta = 1$ है।
$x$-अंतःखंड $3\sqrt{3} \sec \theta$ और $y$-अंतःखंड $\csc \theta$ है।
अंतःखंडों का योग $f(\theta) = 3\sqrt{3} \sec \theta + \csc \theta$ है।
न्यूनतम मान के लिए $f'(\theta) = 0$ रखने पर,$\tan^3 \theta = \frac{1}{3\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है $\theta = \pi/6$।

(D) दिया गया सीमा: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{[(a - n)nx - \tan x]\sin nx}{x^2} = 0$
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{(a - n)nx - \tan x}{x} \cdot \frac{\sin nx}{x} \right) = 0$
दूसरे पद में $n$ से गुणा और भाग करने पर: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( ((a - n)n - \frac{\tan x}{x}) \cdot n \cdot \frac{\sin nx}{nx} \right) = 0$
चूंकि $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ और $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin nx}{nx} = 1$,समीकरण बनता है:
$n((a - n)n - 1) = 0$
चूंकि $n \neq 0$,इसलिए $(a - n)n - 1 = 0$
$(a - n)n = 1$
$a - n = \frac{1}{n}$
$a = n + \frac{1}{n}$

(D) $L$'Hopital के नियम का उपयोग करते हुए,हम अंश और हर का $h$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(2h + 2 + {h^2}) - f(2)}}{{f(h - {h^2} + 1) - f(1)}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f'(2h + 2 + {h^2}) \cdot (2 + 2h)}}{{f'(h - {h^2} + 1) \cdot (1 - 2h)}}$
जैसे ही $h \to 0$,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\frac{{f'(2) \cdot 2}}{{f'(1) \cdot 1}} = \frac{{6 \times 2}}{{4 \times 1}} = \frac{{12}}{{4}} = 3$.

(D) दिया गया है $f(x) = x^2 + 2bx + 2c^2$। पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें $f(x) = (x + b)^2 + 2c^2 - b^2$ प्राप्त होता है। $f(x)$ का न्यूनतम मान $2c^2 - b^2$ है।
दिया गया है $g(x) = -x^2 - 2cx + b^2$। पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें $g(x) = b^2 + c^2 - (x + c)^2$ प्राप्त होता है। $g(x)$ का अधिकतम मान $b^2 + c^2$ है।
शर्त $\min f(x) > \max g(x)$ के अनुसार,हमारे पास $2c^2 - b^2 > b^2 + c^2$ है।
असमिका को सरल करने पर,हमें $c^2 > 2b^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $|c| > |b|\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(D) $6$ संख्याओं में से $2$ संख्याओं को बिना प्रतिस्थापन के चुनने के कुल तरीके $P(6, 2) = 6 \times 5 = 30$ हैं।
मान लीजिए दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं। हमें $\min(x, y) < 4$ होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
पूरक घटना की प्रायिकता ज्ञात करना आसान है: $\min(x, y) \geq 4$ होना।
इसका अर्थ है कि दोनों संख्याएँ समुच्चय $\{4, 5, 6\}$ से चुनी जानी चाहिए।
$\{4, 5, 6\}$ से $2$ संख्याएँ चुनने के तरीके $P(3, 2) = 3 \times 2 = 6$ हैं।
$\min(x, y) \geq 4$ होने की प्रायिकता $\frac{6}{30} = \frac{1}{5}$ है।
अतः,$\min(x, y) < 4$ होने की प्रायिकता $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।

(B) त्रिभुज के शीर्ष $(0, 0)$,$(0, 21)$ और $(21, 0)$ हैं।
आंतरिक बिंदुओं $(x, y)$ को $x > 0$,$y > 0$ और $x + y < 21$ को संतुष्ट करना चाहिए।
एक निश्चित $x$ के लिए,$y$ का मान $1$ से $21 - x - 1 = 20 - x$ तक हो सकता है।
चूँकि $y > 0$,इसलिए $20 - x \geq 1$ होना चाहिए,अतः $x$ का मान $1$ से $19$ तक हो सकता है।
प्रत्येक $x \in \{1, 2, \dots, 19\}$ के लिए,$y$ के संभावित मानों की संख्या $20 - x$ है।
पूर्णांक बिंदुओं की कुल संख्या $\sum_{x=1}^{19} (20 - x) = 19 + 18 + \dots + 1$ है।
योग सूत्र $\frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करते हुए,$n = 19$ के लिए,हमें $\frac{19 \times 20}{2} = 190$ प्राप्त होता है।

(A) माना बिंदु $(x, y)$ है। चूँकि बिंदु $(a_1, b_1)$ और $(a_2, b_2)$ से समान दूरी पर है,इसलिए:
$(x - a_1)^2 + (y - b_1)^2 = (x - a_2)^2 + (y - b_2)^2$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$x^2 - 2a_1x + a_1^2 + y^2 - 2b_1y + b_1^2 = x^2 - 2a_2x + a_2^2 + y^2 - 2b_2y + b_2^2$
दोनों पक्षों से $x^2$ और $y^2$ को हटाने पर:
$-2a_1x - 2b_1y + a_1^2 + b_1^2 = -2a_2x - 2b_2y + a_2^2 + b_2^2$
पदों को $(a_1 - a_2)x + (b_1 - b_2)y + c = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$2(a_1 - a_2)x + 2(b_1 - b_2)y + (a_2^2 + b_2^2 - a_1^2 - b_1^2) = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$(a_1 - a_2)x + (b_1 - b_2)y + \frac{1}{2}(a_2^2 + b_2^2 - a_1^2 - b_1^2) = 0$
दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर,$c = \frac{1}{2}(a_2^2 + b_2^2 - a_1^2 - b_1^2)$ प्राप्त होता है।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a^2 = \cos^2 \alpha$ और $b^2 = \sin^2 \alpha$ है।
अतिपरवलय के लिए,नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ पर स्थित होती हैं,जहाँ $e$ उत्केंद्रता है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = \sqrt{1 + \tan^2 \alpha} = \sec \alpha$ है।
नाभियों का भुज $\pm ae = \pm \sqrt{\cos^2 \alpha} \cdot \sec \alpha = \pm \cos \alpha \cdot \frac{1}{\cos \alpha} = \pm 1$ है।
चूँकि $\pm 1$ का मान $\alpha$ से स्वतंत्र है,इसलिए नाभियों के भुज स्थिर रहते हैं।

(A) माना त्रिभुज के कोण $4x, x$ और $x$ हैं।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $4x + x + x = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $6x = 180^{\circ}$,अतः $x = 30^{\circ}$।
कोण $120^{\circ}, 30^{\circ}$ और $30^{\circ}$ हैं।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$,जहाँ $a$ सबसे लंबी भुजा है जो $120^{\circ}$ के सम्मुख है।
तब $a = k \sin 120^{\circ}$,$b = k \sin 30^{\circ}$ और $c = k \sin 30^{\circ}$।
सबसे लंबी भुजा और परिमाप का अनुपात $\frac{a}{a+b+c} = \frac{\sin 120^{\circ}}{\sin 120^{\circ} + \sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ}}$ है।
मान रखने पर: $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}+2}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$।

(A) समीकरणों की दी गई प्रणाली समघात (homogeneous) है:
$x + ay + 0z = 0$
$0x + y + az = 0$
$ax + 0y + z = 0$
एक समघात प्रणाली के अनंत हल (गैर-तुच्छ हल) होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \\ a & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(1 \times 1 - a \times 0) - a(0 \times 1 - a \times a) + 0(0 \times 0 - 1 \times a) = 0$
$1(1) - a(-a^2) + 0 = 0$
$1 + a^3 = 0$
$a^3 = -1$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,हमें $a = -1$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}$ है।
हम $A^2$ की गणना इस प्रकार करते हैं:
$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha^2 + 0 & 0 + 0 \\ \alpha + 1 & 0 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha^2 & 0 \\ \alpha + 1 & 1 \end{bmatrix}$.
हमें दिया गया है कि $A^2 = B$,इसलिए:
$\begin{bmatrix} \alpha^2 & 0 \\ \alpha + 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}$.
संगत अवयवों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1$) $\alpha^2 = 1 \implies \alpha = \pm 1$
$2$) $\alpha + 1 = 5 \implies \alpha = 4$
चूंकि $\alpha$ का ऐसा कोई मान नहीं है जो दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करे,इसलिए $\alpha$ का कोई वास्तविक मान नहीं है जिसके लिए $A^2 = B$ हो।

(C) सदिशों $\vec{u} = i + aj + k$,$\vec{v} = j + ak$ और $\vec{w} = ai + k$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $V$,अदिश त्रिगुणनफल $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ के निरपेक्ष मान के बराबर होता है।
$V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})| = \left| \det \begin{bmatrix} 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \\ a & 0 & 1 \end{bmatrix} \right|$
सारणिक का विस्तार करने पर: $1(1 - 0) - a(0 - a^2) + 1(0 - a) = 1 + a^3 - a$.
मान लीजिए $f(a) = a^3 - a + 1$ है। न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं: $f'(a) = 3a^2 - 1$.
$f'(a) = 0$ रखने पर,$3a^2 = 1$,अतः $a^2 = \frac{1}{3}$,जिससे $a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,आयतन को न्यूनतम करने के लिए $a$ का मान $\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{1+x}$,जहाँ $x \in [0, \infty)$.
एकैकी (one-one) की जाँच के लिए: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$,तो $\frac{x_1}{1+x_1} = \frac{x_2}{1+x_2}$.
$x_1(1+x_2) = x_2(1+x_1) \implies x_1 + x_1x_2 = x_2 + x_1x_2 \implies x_1 = x_2$.
अतः,$f$ एकैकी है।
आच्छादक (onto) की जाँच के लिए: $f(x) = \frac{x}{1+x} = \frac{1+x-1}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x}$ का परिसर ज्ञात करते हैं।
जैसे $x$,$0$ से $\infty$ तक बदलता है,$1+x$,$1$ से $\infty$ तक बदलता है,इसलिए $\frac{1}{1+x}$,$1$ से $0$ तक बदलता है।
अतः,$f(x)$ का परिसर $1-1=0$ से $1-0=1$,अर्थात $[0, 1)$ प्राप्त होता है।
यहाँ सह-प्रांत $[0, \infty)$ है और परिसर $[0, 1)$ है,इसलिए परिसर $\neq$ सह-प्रांत।
अतः,$f$ आच्छादक नहीं है।
इसलिए,$f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(C) माना $y = \frac{x^2 + x + 2}{x^2 + x + 1}$.
हम फलन को $y = \frac{(x^2 + x + 1) + 1}{x^2 + x + 1} = 1 + \frac{1}{x^2 + x + 1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $g(x) = x^2 + x + 1$ है। $g(x)$ का न्यूनतम मान $x = -1/2$ पर प्राप्त होता है,जो $g(-1/2) = 3/4$ है।
चूँकि $x^2 + x + 1$ एक ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है,इसका परिसर $[3/4, \infty)$ है।
इसलिए,$\frac{1}{x^2 + x + 1}$ का परिसर $(0, 4/3]$ है।
इसमें $1$ जोड़ने पर,$f(x)$ का परिसर $(1, 7/3]$ प्राप्त होता है।

(D) लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ यह बताता है कि किसी फलन $f(x)$ पर $[a, b]$ में इसे लागू करने के लिए,फलन को $[a, b]$ पर सतत और $(a, b)$ पर अवकलनीय होना चाहिए।
विकल्प $(d)$ की जाँच करने पर: $f(x) = |x|$.
यह फलन $[0, 1]$ पर सतत है,लेकिन यह $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है,जो कि अंतराल $[0, 1]$ के भीतर स्थित है।
इसलिए,$[0, 1]$ पर $f(x) = |x|$ के लिए $LMVT$ लागू नहीं होता है।

(D) यह ज्ञात करने के लिए कि $f(x)$ कहाँ वर्धमान है,हम लीबनिज नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx} \int_{x^2}^{x^2 + 1} e^{-t^2} dt = e^{-(x^2+1)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2+1) - e^{-(x^2)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$
$f'(x) = e^{-(x^4 + 2x^2 + 1)} \cdot (2x) - e^{-x^4} \cdot (2x)$
$f'(x) = 2x e^{-x^4} \left( e^{-(2x^2 + 1)} - 1 \right)$
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^{-(2x^2 + 1)} < 1$ है,इसलिए पद $(e^{-(2x^2 + 1)} - 1)$ हमेशा ऋणात्मक है।
$f'(x) > 0$ होने के लिए,$2x$ को ऋणात्मक होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x < 0$।
अतः,$f(x)$ अंतराल $(-\infty, 0)$ में वर्धमान है।

(A) दिए गए वक्र $y = \sqrt{x}$ (या $x = y^2$) और $2y + 3 = x$ (या $y = \frac{x-3}{2}$) हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2 = 2y + 3$ रखें,जो $y^2 - 2y - 3 = 0$ देता है।
$(y - 3)(y + 1) = 0$,इसलिए $y = 3$ या $y = -1$ है।
चूंकि हम $1^{st}$ चतुर्थांश में हैं,इसलिए $y = 3$ लेंगे,जो $x = 9$ इंगित करता है।
रेखा $2y + 3 = x$,$x$-अक्ष को $y = 0$ पर काटती है,इसलिए $x = 3$ है।
क्षेत्रफल $x = 0$ से $x = 3$ तक $y = \sqrt{x}$ द्वारा और $x = 3$ से $x = 9$ तक वक्रों के अंतर द्वारा घिरा हुआ है।
क्षेत्रफल $= \int_0^3 \sqrt{x} \, dx + \int_3^9 \left( \sqrt{x} - \frac{x-3}{2} \right) \, dx$
$= \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^3 + \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} - 3x \right) \right]_3^9$
$= \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) + \left( \left[ \frac{2}{3}(27) - \frac{1}{2} \left( \frac{81}{2} - 27 \right) \right] - \left[ \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) - \frac{1}{2} \left( \frac{9}{2} - 9 \right) \right] \right)$
$= 2\sqrt{3} + 18 - \frac{1}{2} \left( \frac{27}{2} \right) - 2\sqrt{3} + \frac{1}{2} \left( -\frac{9}{2} \right)$
$= 18 - \frac{27}{4} - \frac{9}{4} = 18 - \frac{36}{4} = 18 - 9 = 9 \text{ वर्ग इकाई.}$

(A) हमें दिया गया है $I(m, n) = \int_0^1 t^m (1 + t)^n dt$।
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = (1 + t)^n$ और $dv = t^m dt$ लें।
तब $du = n(1 + t)^{n-1} dt$ और $v = \frac{t^{m+1}}{m+1}$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर:
$I(m, n) = \left[ \frac{t^{m+1}(1 + t)^n}{m+1} \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{t^{m+1}}{m+1} \cdot n(1 + t)^{n-1} dt$।
सीमाओं का मान रखने पर:
$t=1$ के लिए,$\frac{1^{m+1}(1+1)^n}{m+1} = \frac{2^n}{m+1}$ प्राप्त होता है।
$t=0$ के लिए,पद $0$ हो जाता है।
अतः,$I(m, n) = \frac{2^n}{m+1} - \frac{n}{m+1} \int_0^1 t^{m+1}(1 + t)^{n-1} dt$।
चूंकि $I(m+1, n-1) = \int_0^1 t^{m+1}(1 + t)^{n-1} dt$,इसलिए:
$I(m, n) = \frac{2^n}{m+1} - \frac{n}{m+1} I(m+1, n-1)$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1 + t)\frac{dy}{dt} - ty = 1$ है।
$(1 + t)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dt} - \frac{t}{1 + t}y = \frac{1}{1 + t}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dt} + P(t)y = Q(t)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(t) = -\frac{t}{1 + t}$ और $Q(t) = \frac{1}{1 + t}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(t) dt} = e^{\int -\frac{t}{1 + t} dt} = e^{\int (-1 + \frac{1}{1 + t}) dt} = e^{-t + \ln(1 + t)} = (1 + t)e^{-t}$ है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(t) \cdot (I.F.) dt + C$ है।
$y(1 + t)e^{-t} = \int \frac{1}{1 + t} \cdot (1 + t)e^{-t} dt + C = \int e^{-t} dt + C = -e^{-t} + C$.
चूंकि $y(0) = -1$ दिया गया है,$t = 0$ रखने पर: $-1(1 + 0)e^{0} = -e^{0} + C \Rightarrow -1 = -1 + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$y(1 + t)e^{-t} = -e^{-t}$,जिसे सरल करने पर $y = -\frac{1}{1 + t}$ प्राप्त होता है।
$t = 1$ के लिए,$y(1) = -\frac{1}{1 + 1} = -\frac{1}{2}$.

(A) समुच्चय $B$ को चार असंयुक्त क्षेत्रों में विभाजित किया जा सकता है:
$B = (A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \bar{C}) \cup (\bar{A} \cap B \cap C) \cup (\bar{A} \cap B \cap \bar{C})$
ध्यान दें कि $(A \cap B \cap C) \cup (\bar{A} \cap B \cap C) = B \cap C$ है।
अतः,$P(B) = P(A \cap B \cap \bar{C}) + P(\bar{A} \cap B \cap \bar{C}) + P(B \cap C)$।
दिए गए मान रखने पर:
$\frac{3}{4} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + P(B \cap C)$
$\frac{3}{4} = \frac{2}{3} + P(B \cap C)$
$P(B \cap C) = \frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{9-8}{12} = \frac{1}{12}$।

(C) रेखा का समीकरण $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-k}{2}$ है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = (1, 1, 2)$ है और समतल $2x-4y+z=7$ का अभिलंब $\vec{n} = (2, -4, 1)$ है।
सबसे पहले,यह जाँचें कि क्या रेखा समतल के समांतर है,इसके लिए अदिश गुणनफल $\vec{b} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (1)(-4) + (2)(1) = 2 - 4 + 2 = 0$ की गणना करें। चूँकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए रेखा समतल के समांतर है।
रेखा के समतल में स्थित होने के लिए,रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। रेखा पर स्थित बिंदु $(4, 2, k)$ लें।
इस बिंदु को समतल के समीकरण $2x-4y+z=7$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(4) - 4(2) + k = 7$
$8 - 8 + k = 7$
$k = 7$.