IIT JEE 2003 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) ग्राफ से,हम एक बिंदु चुन सकते हैं जहाँ भार $W = 20 \ N$ है और संबंधित विस्तार $\Delta l = 1 \times 10^{-4} \ m$ है।
दिया गया है:
तार की लंबाई,$L = 1 \ m$
अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल,$A = 10^{-6} \ m^2$
यंग मापांक $Y$ का सूत्र इस प्रकार है:
$Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta l}$
मान रखने पर:
$Y = \frac{20 \times 1}{10^{-6} \times 1 \times 10^{-4}}$
$Y = \frac{20}{10^{-10}}$
$Y = 20 \times 10^{10} = 2 \times 10^{11} \ N/m^2$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) समइलेक्ट्रॉनिक होने के लिए,प्रजातियों में इलेक्ट्रॉनों की संख्या समान होनी चाहिए।
$NO_3^-$ के लिए: $7 + (3 \times 8) + 1 = 32$ इलेक्ट्रॉन।
$CO_3^{2-}$ के लिए: $6 + (3 \times 8) + 2 = 32$ इलेक्ट्रॉन।
$NO_3^-$ और $CO_3^{2-}$ दोनों में $32$ इलेक्ट्रॉन हैं,इसलिए वे समइलेक्ट्रॉनिक हैं।
दोनों प्रजातियों में एक केंद्रीय परमाणु $3$ ऑक्सीजन परमाणुओं से जुड़ा होता है और केंद्रीय परमाणु पर कोई एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म (lone pair) नहीं होता है,जिसके परिणामस्वरूप त्रिकोणीय समतलीय (trigonal planar) ज्यामिति प्राप्त होती है। अतः,वे समसंरचनात्मक हैं।
इसलिए,सही युग्म $NO_3^-$ और $CO_3^{2-}$ है।

(A) $H_3BO_3$ (ऑर्थोबोरिक अम्ल) एक दुर्बल एकक्षारकीय लुईस अम्ल है।
यह पानी में $H^+$ आयन देने के लिए वियोजित नहीं होता है।
इसके बजाय,यह पानी के अणुओं के $OH^-$ आयनों से इलेक्ट्रॉनों का एक एकाकी युग्म स्वीकार करके $[B(OH)_4]^-$ बनाता है,जिससे $H^+$ आयन मुक्त होते हैं:
$H_3BO_3 + 2H_2O \rightleftharpoons [B(OH)_4]^- + H_3O^+$.
अतः,यह एक लुईस अम्ल के रूप में कार्य करता है।

(C) प्रत्येक धातु सल्फाइड के लिए आयनिक गुणनफल की गणना इस प्रकार की जाती है: $Q = [M^{2+}][S^{2-}] = 10^{-3} \times 10^{-16} = 10^{-19}$.
अवक्षेपण तब होता है जब आयनिक गुणनफल विलेयता गुणनफल $(K_{sp})$ से अधिक हो जाता है।
$K_{sp}$ मानों की तुलना करने पर: $MnS (10^{-15}), FeS (10^{-23}), ZnS (10^{-20}), HgS (10^{-54})$.
चूंकि $HgS$ का $K_{sp}$ मान सबसे कम $(10^{-54})$ है,इसलिए यह $Q > K_{sp}$ की शर्त को सबसे पहले पूरा करेगा और सबसे पहले अवक्षेपित होगा।

(B) मानक संभवन एन्थैल्पी $(\Delta H_f^o)$ को उस एन्थैल्पी परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है जब $1 \ mol$ पदार्थ का निर्माण उसके घटकों के सबसे स्थिर मानक अवस्थाओं से होता है।
विकल्प $(B)$ में,$1 \ mol$ $HF_{(g)}$ का निर्माण $H_{2(g)}$ और $F_{2(g)}$ से होता है,जो हाइड्रोजन और फ्लोरीन की मानक अवस्थाएँ हैं।
विकल्प $(A)$ गलत है क्योंकि हीरा (diamond) कार्बन की सबसे स्थिर मानक अवस्था नहीं है (ग्रेफाइट है)।
विकल्प $(C)$ गलत है क्योंकि यह $2 \ mol$ $NH_3$ बनाता है।
विकल्प $(D)$ गलत है क्योंकि $CO$ एक यौगिक है,तत्व नहीं।
अतः,$(B)$ सही उत्तर है।

(D) एक एनैन्टीओमेरिकली शुद्ध अम्ल $(R-COOH)$ अल्कोहल के रेसमिक मिश्रण ($R'-OH$ और $S'-OH$) के साथ अभिक्रिया करता है।
यह अभिक्रिया दो एस्टर बनाती है: $R-COOR'$ और $R-COOS'$.
चूंकि $R'$ और $S'$ एनैन्टीओमर हैं,इसलिए प्राप्त एस्टर $R-COOR'$ और $R-COOS'$ डायस्टेरियोमर्स हैं।
अतः,उत्पाद डायस्टेरियोमर्स का एक मिश्रण है।

(A) $H_2C = CH - C \equiv CH$ अणु में:
$1$. पहला कार्बन परमाणु $(CH_2)$ एक द्वि-आबंध से जुड़ा है,इसलिए यह $sp^2$ संकरित है।
$2$. दूसरा कार्बन परमाणु $(CH)$ एक द्वि-आबंध और एक एकल आबंध से जुड़ा है,इसलिए यह $sp^2$ संकरित है।
$3$. तीसरा कार्बन परमाणु $(C)$ एक एकल आबंध और एक त्रि-आबंध से जुड़ा है,इसलिए यह $sp$ संकरित है।
$4$. चौथा कार्बन परमाणु $(CH)$ एक त्रि-आबंध से जुड़ा है,इसलिए यह $sp$ संकरित है।
अतः,संकरण का क्रम $sp^2 - sp^2 - sp - sp$ है।

(C) डाइमिथाइलडाइक्लोरोसिलेन,$(Me)_2SiCl_2$ का जल-अपघटन इस प्रकार होता है:
$1$. सबसे पहले,क्लोरीन परमाणु हाइड्रॉक्सिल समूहों द्वारा प्रतिस्थापित होकर अस्थिर मध्यवर्ती $(Me)_2Si(OH)_2$ बनाते हैं।
$2$. यह मध्यवर्ती पानी के अणुओं को हटाकर तेजी से संघनन बहुलकीकरण (condensation polymerization) द्वारा एक रैखिक सिलिकॉन बहुलक बनाता है।
$3$. अभिक्रिया इस प्रकार है: $n(Me)_2SiCl_2 + 2nH_2O \rightarrow [-O-Si(Me)_2-O-]_n + 2nHCl$।
$4$. अतः,अंतिम उत्पाद एक रैखिक सिलिकॉन बहुलक है,जिसे विकल्प $(C)$ द्वारा दर्शाया गया है।

(A) अणु का द्विध्रुव आघूर्ण व्यक्तिगत बंध द्विध्रुवों के सदिश योग और आणविक ज्यामिति पर निर्भर करता है।
$CCl_4$ एक चतुष्फलकीय अणु है जिसकी संरचना सममित है,जिसके परिणामस्वरूप इसका शुद्ध द्विध्रुव आघूर्ण $0 \ D$ होता है।
$CH_3Cl$,$CH_2Cl_2$ और $CHCl_3$ में,क्लोरीन की उच्च विद्युत ऋणात्मकता के कारण $C-Cl$ बंध ध्रुवीय होता है।
$CH_3Cl$ का द्विध्रुव आघूर्ण सबसे अधिक $(1.86 \ D)$ होता है क्योंकि $C-H$ बंधों और $C-Cl$ बंध के द्विध्रुव एक ही दिशा में एक-दूसरे को प्रबलित करते हैं।
जैसे-जैसे अधिक $Cl$ परमाणु प्रतिस्थापित होते हैं,$C-Cl$ बंध आघूर्णों की विपरीत दिशाओं के कारण उनका सदिश योग कम हो जाता है।
अतः,द्विध्रुव आघूर्ण का सही क्रम $CH_3Cl > CH_2Cl_2 > CHCl_3 > CCl_4$ है।

(A) माना कोण $4x, x,$ और $x$ हैं।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^\circ$ होता है,इसलिए $4x + x + x = 180^\circ.$
$6x = 180^\circ \Rightarrow x = 30^\circ.$
कोण $120^\circ, 30^\circ,$ और $30^\circ$ हैं।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k.$
अतः,$a = k \sin 120^\circ, b = k \sin 30^\circ, c = k \sin 30^\circ.$
सबसे बड़ी भुजा $a$ है ($120^\circ$ के सम्मुख)।
सबसे बड़ी भुजा और परिमाप का अनुपात $\frac{a}{a+b+c} = \frac{\sin 120^\circ}{\sin 120^\circ + \sin 30^\circ + \sin 30^\circ}.$
$= \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3} + 2}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}.$

(D) माना $(h, k)$ बिंदुपथ पर एक बिंदु है। दी गई शर्त के अनुसार,$(h, k)$ की $(a_1, b_1)$ से दूरी और $(h, k)$ की $(a_2, b_2)$ से दूरी समान है।
$(h - a_1)^2 + (k - b_1)^2 = (h - a_2)^2 + (k - b_2)^2$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$h^2 - 2ha_1 + a_1^2 + k^2 - 2kb_1 + b_1^2 = h^2 - 2ha_2 + a_2^2 + k^2 - 2kb_2 + b_2^2$
समीकरण को सरल करने पर:
$2h(a_1 - a_2) + 2k(b_1 - b_2) + a_2^2 + b_2^2 - a_1^2 - b_1^2 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$(a_1 - a_2)h + (b_1 - b_2)k + \frac{1}{2}(a_2^2 + b_2^2 - a_1^2 - b_1^2) = 0$
दिए गए समीकरण $(a_1 - a_2)x + (b_1 - b_2)y + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$c = \frac{1}{2}(a_2^2 + b_2^2 - a_1^2 - b_1^2)$.

(A) रेखा के समतल में स्थित होने के लिए,रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु को समतल के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।
रेखा बिंदु $(4, 2, k)$ से होकर गुजरती है और इसका दिशा सदिश $\vec{v} = (1, 1, 2)$ है।
सबसे पहले,बिंदु $(4, 2, k)$ को समतल $2x - 4y + z = 7$ पर स्थित होना चाहिए:
$2(4) - 4(2) + k = 7$
$8 - 8 + k = 7$
$k = 7$
दूसरा,रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (1, 1, 2)$ समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2, -4, 1)$ के लंबवत होना चाहिए:
$\vec{v} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (1)(-4) + (2)(1) = 2 - 4 + 2 = 0$
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,इसलिए रेखा समतल के समानांतर है। चूंकि बिंदु $(4, 2, 7)$ समतल पर स्थित है,इसलिए पूरी रेखा समतल में स्थित है।
अतः,$k$ का मान $7$ है।

(A) आवेग $J = Mv$ छड़ के एक सिरे पर लगाया जाता है। यह आवेग उस बिंदु पर निकाय को $p = Mv$ का रैखिक संवेग प्रदान करता है।
मान लीजिए कि निकाय का द्रव्यमान केंद्र बिंदु $O$ पर है,जो छड़ का मध्य बिंदु है। द्रव्यमान केंद्र से प्रत्येक गेंद की दूरी $L/2$ है।
द्रव्यमान केंद्र $O$ के परितः निकाय का प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i$,आवेग और घूर्णन अक्ष से लंबवत दूरी के गुणनफल के बराबर होता है:
$L_i = J \times (L/2) = (Mv) \times (L/2) = \frac{MvL}{2}$.
द्रव्यमान केंद्र $O$ के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I$ है:
$I = M(L/2)^2 + M(L/2)^2 = 2M(L^2/4) = \frac{ML^2}{2}$.
निकाय का अंतिम कोणीय संवेग $L_f = I\omega$ है,जहाँ $\omega$ कोणीय वेग है।
द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$L_i = L_f$
$\frac{MvL}{2} = I\omega$
$\frac{MvL}{2} = \left( \frac{ML^2}{2} \right) \omega$
$\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega = \frac{MvL/2}{ML^2/2} = \frac{v}{L}$.

(A) $1$. आइसोइलेक्ट्रॉनिक प्रजातियों में इलेक्ट्रॉनों की संख्या समान होती है।
$2$. $NO_3^-$ के लिए: $7 + (3 \times 8) + 1 = 32$ इलेक्ट्रॉन।
$3$. $CO_3^{2-}$ के लिए: $6 + (3 \times 8) + 2 = 32$ इलेक्ट्रॉन।
$4$. $NO_3^-$ और $CO_3^{2-}$ दोनों में $32$ इलेक्ट्रॉन हैं और वे ट्राइगोनल प्लेनर ज्यामिति ($sp^2$ संकरण) रखते हैं,जिससे वे आइसोस्ट्रक्चरल हैं।
$5$. अतः,$NO_3^-$ और $CO_3^{2-}$ दोनों आइसोइलेक्ट्रॉनिक और आइसोस्ट्रक्चरल हैं।

(C) अभिकारक $N-{\text{फेनिलबेंज़ेमाइड}}$ (बेंज़ेनिलाइड) है। $-NH-CO-C_6H_5$ समूह एक ऑर्थो/पैरा-निर्देशी समूह है क्योंकि नाइट्रोजन परमाणु पर इलेक्ट्रॉनों का एक एकाकी युग्म होता है जो इससे जुड़े बेंजीन वलय के साथ अनुनाद में भाग ले सकता है।
इलेक्ट्रॉनरागी एरोमैटिक प्रतिस्थापन (सांद्र $H_2SO_4 $ सांद्र $HNO_3$ का उपयोग करके नाइट्रीकरण) में,ऑर्थो-आइसोमर की तुलना में कम त्रिविम बाधा (steric hindrance) के कारण पैरा-आइसोमर आमतौर पर मुख्य उत्पाद होता है।
अतः,मुख्य उत्पाद $N-(4-{\text{नाइट्रोफेनिल}}){\text{बेंज़ेमाइड}}$ है।

(A) कण का विस्थापन $x = A \cos \omega t$ द्वारा दिया गया है।
स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ $U = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है।
$x$ का मान रखने पर,हमें $U = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2 \omega t = \frac{1}{2} k A^2 \left( \frac{1 + \cos 2 \omega t}{2} \right)$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$x = A$,इसलिए $P.E. = \frac{1}{2} k A^2$ (अधिकतम)।
ग्राफ $I$ समय $t = 0$ पर अधिकतम मान से शुरू होने वाले $P.E.$ बनाम $t$ के ग्राफ को दर्शाता है,जो समीकरण से मेल खाता है।
विस्थापन $x$ के फलन के रूप में,$U = \frac{1}{2} k x^2$,जो $P.E.$ अक्ष के परितः सममित ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय है।
ग्राफ $III$ परवलय के रूप में $P.E.$ बनाम $x$ को दर्शाता है,जो समीकरण से मेल खाता है।
अतः,ग्राफ $I$ और $III$ क्रमशः $t$ और $x$ के साथ $P.E.$ के परिवर्तन को दर्शाते हैं।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ है।
यहाँ,$a = 3\sqrt{3}$ और $b = 1$ है।
अतः,स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{3\sqrt{3}} + y \sin \theta = 1$ है।
$x$-अंतःखंड $X = 3\sqrt{3} \sec \theta$ और $y$-अंतःखंड $Y = \csc \theta$ है।
अंतःखंडों का योग $f(\theta) = 3\sqrt{3} \sec \theta + \csc \theta$ है।
$f'(\theta) = 0$ रखने पर,हमें $\tan^3 \theta = \frac{1}{3\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है $\theta = \frac{\pi}{6}$।

(A) माना त्रिभुज के कोण $4x, x, x$ हैं।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $4x + x + x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow 6x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow x = 30^{\circ}$।
कोण $120^{\circ}, 30^{\circ}, 30^{\circ}$ हैं।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$।
अतः,$a = k \sin 120^{\circ}$,$b = k \sin 30^{\circ}$,$c = k \sin 30^{\circ}$।
सबसे लंबी भुजा $a$ और परिमाप $(a+b+c)$ का अनुपात है:
$\frac{a}{a+b+c} = \frac{\sin 120^{\circ}}{\sin 120^{\circ} + \sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}$।
अतः,अनुपात $\sqrt{3} : (2+\sqrt{3})$ है।

(D) मानक संभवन एन्थैल्पी,$\Delta H_f^o$,को उस एन्थैल्पी परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है जब $1 \ mol$ पदार्थ का निर्माण उसके घटकों के तत्वों से उनकी सबसे स्थिर मानक अवस्थाओं में होता है।
विकल्प $D$ में,$1 \ mol$ $HF_{(g)}$ का निर्माण उसके तत्वों $H_{2(g)}$ और $F_{2(g)}$ से उनकी मानक अवस्थाओं में हो रहा है।
विकल्प $A$ गलत है क्योंकि $H$ और $F$ अपनी मानक अवस्थाओं में नहीं हैं।
विकल्प $B$ गलत है क्योंकि इसमें $2 \ mol$ $NH_3$ का निर्माण हो रहा है।
विकल्प $C$ गलत है क्योंकि हीरा (diamond) कार्बन की सबसे स्थिर मानक अवस्था नहीं है (ग्रेफाइट है)।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = x^2 + 2bx + 2c^2$। पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें प्राप्त होता है $f(x) = (x + b)^2 + 2c^2 - b^2$।
चूंकि $x^2$ का गुणांक धनात्मक है,इसलिए $f(x)$ का न्यूनतम मान $2c^2 - b^2$ है।
दिया गया है $g(x) = -x^2 - 2cx + b^2$। पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें प्राप्त होता है $g(x) = -(x^2 + 2cx) + b^2 = -(x + c)^2 + c^2 + b^2$।
चूंकि $x^2$ का गुणांक ऋणात्मक है,इसलिए $g(x)$ का अधिकतम मान $c^2 + b^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,$\min f(x) > \max g(x)$ है।
मान रखने पर,हमें $2c^2 - b^2 > c^2 + b^2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$c^2 > 2b^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $|c| > |b| \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(A) $H_3BO_3$ में केंद्रीय बोरॉन परमाणु इलेक्ट्रॉन-न्यून है,जिसका अर्थ है कि इसका अष्टक अपूर्ण है।
यह अपना अष्टक पूरा करने के लिए पानी से इलेक्ट्रॉन का एक एकाकी युग्म (lone pair) स्वीकार करता है,जो इसे लुईस अम्ल के रूप में परिभाषित करता है।
चूंकि यह केवल इलेक्ट्रॉन का एक युग्म स्वीकार करता है,इसलिए यह जलीय घोल में एकक्षारकीय (monobasic) अम्ल के रूप में कार्य करता है।
यह एक दुर्बल अम्ल है क्योंकि यह पानी में पूरी तरह से वियोजित नहीं होता है।
अभिक्रिया इस प्रकार है: $B(OH)_3 + H_2O \longrightarrow [B(OH)_4]^- + H^+$.

(D) दिए गए अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{\cos^2 \alpha} - \frac{y^2}{\sin^2 \alpha} = 1$ है।
यहाँ,$a^2 = \cos^2 \alpha$ और $b^2 = \sin^2 \alpha$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = \sqrt{1 + \tan^2 \alpha} = \sec \alpha$ है।
नाभियों के निर्देशांक $(\pm ae, 0)$ होते हैं।
नाभियों का भुज (abscissa) ज्ञात करने पर: $ae = \sqrt{\cos^2 \alpha} \times \sec \alpha = \cos \alpha \times \frac{1}{\cos \alpha} = 1$ प्राप्त होता है।
चूँकि नाभियों का भुज $1$ है,जो $\alpha$ से स्वतंत्र है,इसलिए यह स्थिर रहता है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}$।
$A^2$ की गणना करने पर:
$A^2 = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha^2 + 0 & 0 \\ \alpha + 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha^2 & 0 \\ \alpha + 1 & 1 \end{bmatrix}$।
चूंकि $A^2 = B$,संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$1$) $\alpha^2 = 1 \Rightarrow \alpha = \pm 1$
$2$) $\alpha + 1 = 5 \Rightarrow \alpha = 4$
यहाँ $\alpha$ का कोई भी ऐसा सामान्य मान नहीं है जो दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करे।
अतः,$\alpha$ का कोई वास्तविक मान नहीं है जिसके लिए $A^2 = B$ हो।

(A) चित्र दर्शाता है कि धारा $i$,$e.m.f. \ e$ से $\phi = \frac{\pi}{4}$ के कला कोण से आगे है।
$AC$ परिपथ में,केवल $RC$ परिपथ में ही धारा वोल्टेज से आगे होती है।
$RC$ श्रेणी परिपथ के लिए,कला कोण $\phi$ को $\tan \phi = \frac{X_C}{R} = \frac{1}{\omega C R}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\phi = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{\omega C R} = 1$,यानी $CR = \frac{1}{\omega}$।
दिए गए समीकरण $e = E_0 \sin(100t)$ से,कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \text{ rad/s}$ है।
अतः,$CR = \frac{1}{100} = 0.01 \text{ s}$।
चूंकि $R = 1 \text{ k}\Omega = 10^3 \ \Omega$ दिया गया है,इसलिए $C = \frac{1}{\omega R} = \frac{1}{100 \times 10^3} = \frac{1}{10^5} = 10^{-5} \text{ F} = 10 \mu\text{F}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही मान $R = 1 \text{ k}\Omega$ और $C = 10 \mu\text{F}$ हैं।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -\vec{M} \cdot \vec{B} = -MB \cos \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M}$ (जो $\hat{n}$ की दिशा में है) और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
अभिविन्यास $I$ के लिए: $\theta = 180^\circ,$ इसलिए $U_I = -MB \cos(180^\circ) = +MB.$
अभिविन्यास $II$ के लिए: $\theta = 90^\circ,$ इसलिए $U_{II} = -MB \cos(90^\circ) = 0.$
अभिविन्यास $III$ के लिए: $\theta$ का मान $0^\circ$ और $90^\circ$ के बीच है (न्यून कोण),इसलिए $\cos \theta > 0,$ जिससे $U_{III} < 0$ प्राप्त होता है।
अभिविन्यास $IV$ के लिए: $\theta$ का मान $90^\circ$ और $180^\circ$ के बीच है (अधिक कोण),इसलिए $\cos \theta < 0,$ जिससे $U_{IV} > 0$ प्राप्त होता है।
कोणों की तुलना करने पर: $\theta_I = 180^\circ,$ $\theta_{IV} > 90^\circ,$ $\theta_{II} = 90^\circ,$ $\theta_{III} < 90^\circ.$
चूंकि $U = -MB \cos \theta,$ जैसे-जैसे $\theta$ का मान $180^\circ$ से $0^\circ$ तक घटता है,स्थितिज ऊर्जा भी घटती जाती है।
अतः,स्थितिज ऊर्जा का क्रम $U_I > U_{IV} > U_{II} > U_{III}$ है।

(A) एकसमान वृत्तीय गति करने वाले कण पर कार्य करने वाला नेट बल अभिकेंद्री बल होता है,जो हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर कार्य करता है।
आघूर्ण (टॉर्क) $\tau$ को $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि अभिकेंद्री बल $\vec{F}$ हमेशा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है,इसलिए केंद्र के सापेक्ष स्थिति सदिश $\vec{r}$ बल सदिश $\vec{F}$ के समानांतर होता है।
अतः,केंद्र के परितः टॉर्क $\vec{\tau} = 0$ होता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,यदि किसी कण पर कार्य करने वाला नेट बाह्य टॉर्क शून्य है,तो उसका कोणीय संवेग $L$ संरक्षित रहता है।
इस प्रकार,कण का कोणीय संवेग वृत्त के केंद्र के परितः संरक्षित रहता है।

(A) मानक संभवन एन्थैल्पी,जिसे $\Delta H_f^o$ के रूप में दर्शाया जाता है,वह एन्थैल्पी परिवर्तन है जो तब होता है जब किसी पदार्थ का $1 \ mole$ उसके घटक तत्वों से उनकी मानक अवस्थाओं में बनता है।
विकल्प $(A)$ में,$1 \ mole$ $HF_{(g)}$ का निर्माण उसके तत्वों $H_{2(g)}$ और $F_{2(g)}$ से उनकी मानक अवस्थाओं में होता है,जो परिभाषा के अनुरूप है।
विकल्प $(B)$ में,$CO$ एक यौगिक है,तत्व नहीं।
विकल्प $(C)$ में,कार्बन हीरे की अवस्था में है,जो मानक अवस्था (ग्रेफाइट) नहीं है।
विकल्प $(D)$ में,$NH_3$ के $2 \ moles$ बनते हैं,न कि $1 \ mole$।

(B) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में रखे गए धारावाही लूप पर कुल चुंबकीय बल शून्य होता है। इसलिए,लूप स्थानांतरीय गति नहीं कर सकता है। अतः विकल्प $(C)$ और $(D)$ गलत हैं।
फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम का उपयोग करके,हम लूप के प्रत्येक छोटे तत्व पर चुंबकीय बल $\vec{F}_m$ की दिशा निर्धारित कर सकते हैं। चूंकि चुंबकीय क्षेत्र कागज के तल के लंबवत अंदर की ओर है और धारा दक्षिणावर्त (क्लॉकवाइज) दिशा में बह रही है,इसलिए लूप के प्रत्येक तत्व पर चुंबकीय बल त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर कार्य करता है। परिणामस्वरूप,लूप में फैलने की प्रवृत्ति होगी।

(A) विलयन के जमने के दौरान,केवल विलायक ही जमता है। इसलिए,साम्यावस्था विलायक के ठोस रूप और विलायक के द्रव रूप के बीच होती है।

(A) समइलेक्ट्रॉनिक प्रजातियों में इलेक्ट्रॉनों की संख्या समान होती है,और समसंरचनात्मक प्रजातियों में आकार और संकरण समान होता है।
$1$. $NO_3^-$ के लिए: कुल इलेक्ट्रॉन = $7 + (3 \times 8) + 1 = 32$। संकरण $sp^2$ है,और आकार त्रिकोणीय समतलीय है।
$2$. $CO_3^{2-}$ के लिए: कुल इलेक्ट्रॉन = $6 + (3 \times 8) + 2 = 32$। संकरण $sp^2$ है,और आकार त्रिकोणीय समतलीय है।
चूंकि $NO_3^-$ और $CO_3^{2-}$ दोनों में $32$ इलेक्ट्रॉन हैं और उनकी संरचना त्रिकोणीय समतलीय है,इसलिए वे समइलेक्ट्रॉनिक और समसंरचनात्मक हैं।

(A) द्विध्रुव आघूर्ण व्यक्तिगत बंध द्विध्रुवों के सदिश योग पर निर्भर करता है।
- $CCl_4$ (चतुष्फलकीय) में,चार $C-Cl$ बंध द्विध्रुव एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जिससे शुद्ध द्विध्रुव आघूर्ण $0 \ D$ होता है।
- $CHCl_3$ में,तीन $C-Cl$ बंध द्विध्रुव $C-H$ बंध द्विध्रुव को आंशिक रूप से निरस्त करते हैं,जिससे द्विध्रुव आघूर्ण $1.01 \ D$ प्राप्त होता है।
- $CH_2Cl_2$ में,दो $C-Cl$ बंध द्विध्रुव जुड़ जाते हैं,जिससे द्विध्रुव आघूर्ण $1.60 \ D$ प्राप्त होता है।
- $CH_3Cl$ में,तीन $C-H$ बंध द्विध्रुव और $C-Cl$ बंध द्विध्रुव एक-दूसरे के प्रभाव को बढ़ाते हैं,जिससे सबसे अधिक $1.86 \ D$ द्विध्रुव आघूर्ण प्राप्त होता है।
अतः,$CH_3Cl$ का द्विध्रुव आघूर्ण सबसे अधिक है।

(A) ब्लॉक के गति न करने के लिए,लगाए गए बल $F$ का क्षैतिज घटक सीमांत घर्षण बल $f_L$ के बराबर या उससे कम होना चाहिए।
बल का क्षैतिज घटक $F \cos \theta$ है।
ब्लॉक पर अभिलंब प्रतिक्रिया $N = mg + F \sin \theta$ है।
सीमांत घर्षण बल $f_L = \mu N = \mu(mg + F \sin \theta)$ है।
$F$ के अधिकतम मान के लिए क्षैतिज बल को सीमांत घर्षण के बराबर करने पर:
$F \cos \theta = \mu(mg + F \sin \theta)$
$F \cos \theta = \mu mg + \mu F \sin \theta$
$F(\cos \theta - \mu \sin \theta) = \mu mg$
$F = \frac{\mu mg}{\cos \theta - \mu \sin \theta}$
दिए गए मान: $m = \sqrt{3} \ kg$,$\mu = \frac{1}{2\sqrt{3}}$,$\theta = 60^\circ$,$g = 10 \ m/s^2$.
$F = \frac{(\frac{1}{2\sqrt{3}}) \times \sqrt{3} \times 10}{\cos 60^\circ - (\frac{1}{2\sqrt{3}}) \sin 60^\circ}$
$F = \frac{5}{\frac{1}{2} - (\frac{1}{2\sqrt{3}}) \times \frac{\sqrt{3}}{2}}$
$F = \frac{5}{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} = \frac{5}{\frac{1}{4}} = 20 \ N$.

(A) किसी बिंदु के परितः कण का कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ द्वारा दिया जाता है।
एकसमान वृत्तीय गति में कण पर कार्य करने वाला बल अभिकेंद्री बल है,जो हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
वृत्त के केंद्र के परितः बल आघूर्ण (टॉर्क) $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ द्वारा प्राप्त होता है।
चूंकि बल $\vec{F}$ केंद्र की ओर निर्देशित है,इसलिए स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ संरेखीय होते हैं (उनके बीच का कोण $180^{\circ}$ या $0^{\circ}$ होता है)।
अतः,केंद्र के परितः टॉर्क $\vec{\tau} = 0$ होता है।
चूंकि केंद्र के परितः बाह्य टॉर्क शून्य है,इसलिए केंद्र के परितः कण का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।

(B) माना त्रिभुज के कोण $4x, x$ और $x$ हैं।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $4x + x + x = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $6x = 180^{\circ}$,अतः $x = 30^{\circ}$।
कोण $120^{\circ}, 30^{\circ}$ और $30^{\circ}$ हैं।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$।
अतः,$a = k \sin 120^{\circ}$,$b = k \sin 30^{\circ}$ और $c = k \sin 30^{\circ}$।
सबसे बड़ी भुजा $a$ है ($120^{\circ}$ के सम्मुख)।
सबसे बड़ी भुजा और परिमाप का अनुपात $\frac{a}{a+b+c} = \frac{\sin 120^{\circ}}{\sin 120^{\circ} + \sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ}}$ है।
मान रखने पर: $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}+2}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$।

(A) $H_3BO_3$ (बोरिक अम्ल) एक दुर्बल एकक्षारकीय (monobasic) लुईस अम्ल है।
यह सीधे $H^+$ आयन देने के लिए वियोजित नहीं होता है।
इसके बजाय,यह पानी से $OH^-$ आयन स्वीकार करके $[B(OH)_4]^-$ बनाता है और $H^+$ (जो $H_3O^+$ के रूप में होता है) मुक्त करता है,जैसा कि अभिक्रिया में दिखाया गया है:
$B(OH)_3 + 2H_2O \rightleftharpoons [B(OH)_4]^- + H_3O^+$

(A) $H_3PO_3$ की संरचना $(HO)_2P(O)H$ है। इसमें दो $P-OH$ बंध होते हैं,इसलिए यह द्वि-क्षारकीय है।
इसमें एक $P-H$ बंध भी होता है,जो इसे एक अपचायक बनाता है।
इसके विपरीत,$H_3PO_4$ की संरचना $(HO)_3P(O)$ है,जो त्रि-क्षारकीय है और अनपचायक है क्योंकि इसमें $P-H$ बंध नहीं होते हैं।

(A) जब $MnO_2$ को हवा की उपस्थिति में $KOH$ के साथ संगलित किया जाता है,तो पोटेशियम मैंगनेट $(K_2MnO_4)$ बनता है।
संतुलित रासायनिक समीकरण: $2MnO_2 + 4KOH + O_2 \xrightarrow{\Delta} 2K_2MnO_4 + 2H_2O$.
$K_2MnO_4$ यौगिक का रंग गहरा हरा या बैंगनी-हरा होता है।

(A) सल्फाइट आयन $(SO_3^{2-})$ युक्त लवण $[X]$ की तनु $H_2SO_4$ के साथ अभिक्रिया से सल्फर डाइऑक्साइड गैस $(SO_2)$ उत्पन्न होती है,जो तीखी गंध वाली एक रंगहीन गैस है।
$SO_3^{2-} + 2H^+ \to H_2O + SO_2 \uparrow$.
सल्फर डाइऑक्साइड $(SO_2)$ एक अपचायक के रूप में कार्य करती है और अम्लीय पोटेशियम डाइक्रोमेट $(K_2Cr_2O_7)$ विलयन को क्रोमियम$(III)$ सल्फेट के निर्माण के कारण हरा कर देती है।
$K_2Cr_2O_7 + H_2SO_4 + 3SO_2 \to K_2SO_4 + Cr_2(SO_4)_3 + H_2O$.
अतः,$[X]$ $SO_3^{2-}$ है और $[Y]$ $SO_2$ है।

(A) $H^{+}$ की उपस्थिति में $butan-2-ol$ $(CH_3CH_2CH(OH)CH_3)$ का निर्जलीकरण पानी के अणु को हटाकर एक एल्कीन $[F]$ बनाता है।
संभावित एल्कीन हैं:
$1$. $But-1-ene$ $(CH_3CH_2CH=CH_2)$
$2$. $But-2-ene$ $(CH_3CH=CHCH_3)$
$But-1-ene$ और $But-2-ene$ दोनों एक-दूसरे के संरचनात्मक समावयवी हैं।
अतः,$[F]$ के लिए $2$ संरचनात्मक समावयवी संभव हैं।

(A) विलयन में हिमांक में अवनमन के दौरान,द्रव विलायक और ठोस विलायक साम्यावस्था में होते हैं।
विलयन के जमने की प्रक्रिया के दौरान,केवल विलायक ही ठोस अवस्था में परिवर्तित होता है।
हिमांक पर,ठोस विलायक और द्रव विलायक का वाष्प दाब समान होना चाहिए।
यदि वाष्प दाब समान नहीं होते,तो निकाय साम्यावस्था में नहीं होता।
विलेय की उपस्थिति द्रव विलायक के वाष्प दाब को कम कर देती है,जिसके परिणामस्वरूप वह तापमान कम हो जाता है जिस पर विलायक के द्रव और ठोस रूप साम्यावस्था में पहुँचते हैं।

(A) $_{11}^{23}Na$ के लिए,न्यूट्रॉन-प्रोटॉन अनुपात $\frac{n}{p} = \frac{12}{11} \approx 1.09$ है।
$_{11}^{24}Na$ के लिए,न्यूट्रॉन-प्रोटॉन अनुपात $\frac{n}{p} = \frac{13}{11} \approx 1.18$ है।
चूंकि $_{11}^{24}Na$ का $\frac{n}{p}$ अनुपात स्थिर समस्थानिक की तुलना में अधिक है,इसलिए यह इस अनुपात को कम करने के लिए रेडियोधर्मी क्षय से गुजरता है।
यह $\beta^-$-कण के उत्सर्जन द्वारा प्राप्त किया जाता है,जहाँ एक न्यूट्रॉन प्रोटॉन में परिवर्तित हो जाता है: $n \to p + e^- + \bar{\nu}$ ($\beta^-$ उत्सर्जन)।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k$ का सूत्र है: $k = \frac{2.303}{t} \log_{10} \frac{[A]_0}{[A]_t}$।
दिया गया है: $t = 2 \times 10^2 \ s$,$[A]_0 = 800 \ mol/dm^3$,$[A]_t = 50 \ mol/dm^3$।
मान रखने पर: $k = \frac{2.303}{2 \times 10^2} \log_{10} \frac{800}{50}$।
$k = \frac{2.303}{200} \log_{10} 16$।
चूंकि $\log_{10} 16 = \log_{10} 2^4 = 4 \times 0.3010 = 1.204$।
$k = \frac{2.303 \times 1.204}{200} = \frac{2.7728}{200} = 1.3864 \times 10^{-2} \ s^{-1}$।

(D) एक इलेक्ट्रोलाइटिक सेल में,एक गैर-स्वतःस्फूर्त अभिक्रिया को चलाने के लिए बाहरी शक्ति स्रोत (जैसे बैटरी) का उपयोग किया जाता है।
बाहरी स्रोत द्वारा इलेक्ट्रॉनों को कैथोड में पंप किया जाता है,जहाँ अपचयन (reduction) होता है।
एनोड से इलेक्ट्रॉन हटाए जाते हैं,जहाँ ऑक्सीकरण (oxidation) होता है।
इसलिए,बाहरी परिपथ में इलेक्ट्रॉनों का प्रवाह एनोड से कैथोड की ओर होता है।

(A) मिश्रण $X$ में $2 \ L$ में प्रत्येक संकुल के $0.02 \ mol$ हैं,इसलिए $1 \ L$ में प्रत्येक संकुल के $0.01 \ mol$ होते हैं।
$AgNO_3$ के साथ अभिक्रिया: केवल $[Co(NH_3)_5SO_4]Br$,$AgNO_3$ के साथ अभिक्रिया करके $AgBr$ अवक्षेप बनाता है।
$[Co(NH_3)_5SO_4]Br + AgNO_3 \to [Co(NH_3)_5SO_4]NO_3 + AgBr(s)$
चूंकि $1 \ L$ में $0.01 \ mol$ $[Co(NH_3)_5SO_4]Br$ मौजूद है,इसलिए $Y (AgBr)$ के मोल $= 0.01 \ mol$।
$BaCl_2$ के साथ अभिक्रिया: केवल $[Co(NH_3)_5Br]SO_4$,$BaCl_2$ के साथ अभिक्रिया करके $BaSO_4$ अवक्षेप बनाता है।
$[Co(NH_3)_5Br]SO_4 + BaCl_2 \to [Co(NH_3)_5Br]Cl_2 + BaSO_4(s)$
चूंकि $1 \ L$ में $0.01 \ mol$ $[Co(NH_3)_5Br]SO_4$ मौजूद है,इसलिए $Z (BaSO_4)$ के मोल $= 0.01 \ mol$।
अतः,$Y$ और $Z$ के मोलों की संख्या क्रमशः $0.01$ और $0.01$ है।

(A) सोने के निष्कर्षण में हवा $(O_2)$ की उपस्थिति में $NaCN$ या $KCN$ के तनु विलयन के साथ सोने के अयस्क का निक्षालन (leaching) किया जाता है।
अभिक्रिया: $4Au(s) + 8CN^{-}(aq) + 2H_2O(aq) + O_2(g) \to 4[Au(CN)_2]^{-}(aq) + 4OH^{-}(aq)$.
अतः,$[X] = [Au(CN)_2]^{-}$.
इसके बाद जिंक $(Zn)$ का उपयोग करके विस्थापन द्वारा संकुल से सोना प्राप्त किया जाता है:
$2[Au(CN)_2]^{-}(aq) + Zn(s) \to [Zn(CN)_4]^{2-}(aq) + 2Au(s)$.
अतः,$[Y] = [Zn(CN)_4]^{2-}$.

(C) दिया गया अभिकारक $2,2',6,6'$-टेट्राबेंजीनडाइकार्बाल्डिहाइड है।
जब इसे $100 \ ^\circ C$ पर $NaOH$ के साथ उपचारित किया जाता है,तो यह अंतःआणविक कैनिज़ारो अभिक्रिया से गुजरता है।
इस अभिक्रिया में,एक $-CHO$ समूह का $-COO^-$ समूह में ऑक्सीकरण होता है और निकटवर्ती $-CHO$ समूह का $-CH_2OH$ समूह में अपचयन होता है।
यह दोनों बेंजीन वलयों पर होता है।
इसके बाद $H^+ / H_2O$ के साथ अम्लीकरण करने पर,कार्बोक्सिलेट आयन प्रोटोनेट होकर कार्बोक्सिलिक अम्ल समूह बनाते हैं।
अंतिम उत्पाद $2,2'$-बिस(हाइड्रॉक्सीमिथाइल)-[$1$,$1$'-बाइफिनाइल]-$6$,$6$'-डाइकार्बोक्सिलिक अम्ल है।

(C) $P$ $(H_2C=C(CH_3)(OCOCH_3))$ के अम्ल जल-अपघटन से एक इनोल प्राप्त होता है जो चलावयवता (tautomerization) द्वारा एसीटोन $(CH_3COCH_3)$,जो एक कीटोन है,में परिवर्तित हो जाता है।
$Q$ $(H_3C-CH=CH(OCOCH_3))$ के अम्ल जल-अपघटन से एक इनोल प्राप्त होता है जो चलावयवता द्वारा प्रोपेनल $(CH_3CH_2CHO)$,जो एक एल्डिहाइड है,में परिवर्तित हो जाता है।
एल्डिहाइड और कीटोन को फेलिंग विलयन का उपयोग करके विभेदित किया जा सकता है,क्योंकि एल्डिहाइड धनात्मक परीक्षण ($Cu_2O$ का लाल अवक्षेप) देते हैं जबकि कीटोन नहीं देते हैं।

(A) एथिल एस्टर $(R-COOC_2H_5)$ की अतिरिक्त ग्रिग्नार्ड अभिकर्मक $(CH_3MgBr)$ के साथ अभिक्रिया इस प्रकार होती है:
$1$. $CH_3MgBr$ का पहला अणु एस्टर के कार्बोनिल कार्बन पर आक्रमण करता है और एक चतुष्फलकीय मध्यवर्ती बनाता है,जो बाद में एथॉक्साइड आयन $(C_2H_5O^-)$ को हटाकर कीटोन $(R-COCH_3)$ बनाता है।
$2$. $CH_3MgBr$ का दूसरा अणु तुरंत बने हुए कीटोन पर आक्रमण करके एक एल्कोक्साइड मध्यवर्ती बनाता है।
$3$. अम्लीय वर्कअप $(H_3O^+)$ के बाद,एल्कोक्साइड का प्रोटोनेशन होकर $R-C(OH)(CH_3)_2$ संरचना वाला तृतीयक अल्कोहल प्राप्त होता है।
अतः,उत्पाद $P$ एक तृतीयक अल्कोहल है जिसमें हाइड्रॉक्सिल समूह वाले कार्बन परमाणु से दो मिथाइल समूह जुड़े होते हैं।