IIT JEE 2003 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) બ્લોક પર લાગતા બળો આ મુજબ છે: સમક્ષિતિજ સાથે $60^\circ$ ના ખૂણે લાગતું બળ $F$,વજન $W = mg$,લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $R$ અને ઘર્ષણ બળ $f$.
બળ $F$ ના ઘટકો પાડતા:
સમક્ષિતિજ ઘટક: $F_x = F \cos 60^\circ$
શિરોલંબ ઘટક: $F_y = F \sin 60^\circ$
શિરોલંબ સંતુલન માટે:
$R = W + F \sin 60^\circ$
અહીં $m = \sqrt{3} \ kg$ અને $g = 10 \ m/s^2$ હોવાથી,$W = mg = 10\sqrt{3} \ N$.
તેથી,$R = 10\sqrt{3} + F \sin 60^\circ = 10\sqrt{3} + F \frac{\sqrt{3}}{2}$.
બ્લોક ગતિ ન કરે તે માટે,લાગુ પાડેલા બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક સીમાંત ઘર્ષણ બળ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ:
$F \cos 60^\circ \leq \mu R$
$F \cos 60^\circ \leq \mu (W + F \sin 60^\circ)$
કિંમતો મૂકતા $\mu = \frac{1}{2\sqrt{3}}$,$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,અને $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$F \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2\sqrt{3}} (10\sqrt{3} + F \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$
$F \cdot \frac{1}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} + \frac{F \sqrt{3}}{4\sqrt{3}}$
$F \cdot \frac{1}{2} = 5 + \frac{F}{4}$
$F \cdot \frac{1}{2} - \frac{F}{4} = 5$
$\frac{F}{4} = 5$
$F = 20 \ N$.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ સંરક્ષી બળ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,બે બિંદુઓ વચ્ચે કણને ખસેડતી વખતે સંરક્ષી બળ દ્વારા અથવા તેની વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલું કાર્ય ફક્ત કણના પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર આધાર રાખે છે,તે કયા માર્ગે ગતિ કરે છે તેના પર નહીં.
ત્રણેય માર્ગો $1, 2$ અને $3$ બિંદુ $A$ થી શરૂ થઈને બિંદુ $B$ પર પૂર્ણ થાય છે,તેથી દરેક માર્ગ પર કરવામાં આવેલું કાર્ય સમાન હોવું જોઈએ.
તેથી,$W_1 = W_2 = W_3$.

(C) ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta l = l \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બંને સળિયા માટે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર સમાન છે,તેથી $\Delta l_1 = \Delta l_2$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $l_1 \alpha_a t = l_2 \alpha_s t$.
બંને બાજુથી $t$ ને દૂર કરતા,આપણને $l_1 \alpha_a = l_2 \alpha_s$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{l_1}{l_2} = \frac{\alpha_s}{\alpha_a}$.
$\frac{l_1}{l_1 + l_2}$ ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે ગુણોત્તરના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: જો $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ હોય,તો $\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}$ થાય.
આ ગુણધર્મ આપણા સમીકરણ પર લાગુ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{l_1}{l_1 + l_2} = \frac{\alpha_s}{\alpha_a + \alpha_s}$.

(B) પગલું $1$: $2\, kg$ બરફને $0^{\circ}C$ સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_1 = m_i \cdot c_{ice} \cdot \Delta T = 2\, kg \cdot 0.5\, kcal/kg/^{\circ}C \cdot 20^{\circ}C = 20\, kcal$ છે.
પગલું $2$: $5\, kg$ પાણીને $20^{\circ}C$ થી $0^{\circ}C$ સુધી ઠંડુ પાડતા મુક્ત થતી ઉષ્મા $Q_2 = m_w \cdot c_w \cdot \Delta T = 5\, kg \cdot 1\, kcal/kg/^{\circ}C \cdot 20^{\circ}C = 100\, kcal$ છે.
પગલું $3$: બરફને ઓગાળવા માટે બાકી રહેલી ઉષ્મા $Q_{rem} = Q_2 - Q_1 = 100\, kcal - 20\, kcal = 80\, kcal$ છે.
પગલું $4$: ઓગળતા બરફનું દળ $m_{melt} = Q_{rem} / L_f = 80\, kcal / 80\, kcal/kg = 1\, kg$ છે.
પગલું $5$: પાણીનું અંતિમ દળ = પાણીનું પ્રારંભિક દળ + ઓગળેલા બરફનું દળ = $5\, kg + 1\, kg = 6\, kg$.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $\frac{dQ}{dt} = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\frac{dQ}{dt} = -ms \frac{dT}{dt}$,તેથી $-ms \frac{dT}{dt} = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$ થાય.
આમ,ઠંડા પડવાનો દર $\left( -\frac{dT}{dt} \right) = \frac{e \sigma A}{ms} (T^4 - T_0^4)$ છે.
સમાન પૃષ્ઠફળ અને દળ ધરાવતા પદાર્થો માટે,ઠંડા પડવાનો દર ઉત્સર્જકતા $(e)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\left( -\frac{dT}{dt} \right) \propto e$.
આલેખ પરથી,કોઈપણ આપેલ તાપમાને પદાર્થ $x$ માટેના વક્રનો ઢાળ પદાર્થ $y$ કરતા વધારે છે,જેનો અર્થ છે કે $\left( -\frac{dT}{dt} \right)_x > \left( -\frac{dT}{dt} \right)_y$.
તેથી,$e_x > e_y$.
કિર્ચોફના વિકિરણના નિયમ મુજબ,કોઈપણ પદાર્થ માટે,આપેલ તરંગલંબાઇ અને તાપમાને ઉત્સર્જકતા $(e)$ તેની શોષણ ક્ષમતા $(a)$ જેટલી હોય છે,એટલે કે $e = a$.
આમ,$e_x > e_y$ નો અર્થ છે કે $a_x > a_y$.

(A) $S.H.M.$ માં રહેલા કણની સ્થિતિ ઊર્જા $(P.E.)$ $U = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = A \cos \omega t$ મૂકતા,આપણને $U = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2 \omega t = \frac{1}{2} k A^2 \left( \frac{1 + \cos 2 \omega t}{2} \right)$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,$x = A$ છે,તેથી $U$ મહત્તમ છે. આલેખ $I$ એ $t = 0$ સમયે મહત્તમ મૂલ્યથી શરૂ થતો $P.E.$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ દર્શાવે છે,જે $U \propto \cos^2 \omega t$ સમીકરણ સાથે સુસંગત છે.
સ્થાનાંતર $x$ ના વિધેય તરીકે,$U = \frac{1}{2} k x^2$,જે ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે અને તેનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $x = 0$ પર છે. આલેખ $III$ એ $x$ ની સાપેક્ષમાં $P.E.$ નો આ પરવલયાકાર ફેરફાર દર્શાવે છે.
આમ,આલેખ $I$ અને $III$ સાચા છે.

(B) ધારો કે $x$ એ એન્ડ કરેક્શન છે.
મૂળભૂત મોડ (પ્રથમ રેઝોનન્સ) માટે,હવાના સ્તંભની લંબાઈ $l_1 = 0.1 \ m$ છે. રેઝોનન્સની શરત $f = \frac{v}{4(l_1 + x)}$ છે.
પ્રથમ ઓવરટોન (બીજા રેઝોનન્સ) માટે,હવાના સ્તંભની લંબાઈ $l_2 = 0.35 \ m$ છે. રેઝોનન્સની શરત $f = \frac{3v}{4(l_2 + x)}$ છે.
સમાન ટ્યુનિંગ ફોર્કનો ઉપયોગ થતો હોવાથી,આવૃત્તિ $f$ અચળ રહે છે. તેથી,$\frac{v}{4(l_1 + x)} = \frac{3v}{4(l_2 + x)}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $l_2 + x = 3(l_1 + x)$.
કિંમતો મૂકતા: $0.35 + x = 3(0.1 + x)$.
$0.35 + x = 0.3 + 3x$.
$0.05 = 2x$.
$x = 0.025 \ m$.

(B) ધારો કે મોટરસાઇકલ સવારની ઝડપ $v$ છે અને ધ્વનિની ઝડપ $v_s = 330 \ m/s$ છે.
$1$. મોટરસાઇકલ સવાર દ્વારા સંભળાતી પોલીસ કારના હોર્નની આવૃત્તિ $n_1$ (જે સ્ત્રોતથી દૂર જઈ રહ્યો છે) ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$n_1 = n_0 \left( \frac{v_s - v}{v_s - v_{police}} \right) = 176 \left( \frac{330 - v}{330 - 22} \right) = 176 \left( \frac{330 - v}{308} \right)$
$2$. મોટરસાઇકલ સવાર દ્વારા સંભળાતી સ્થિર સાયરનની આવૃત્તિ $n_2$ (જે સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરી રહ્યો છે) છે:
$n_2 = n_s \left( \frac{v_s + v}{v_s} \right) = 165 \left( \frac{330 + v}{330} \right)$
$3$. કારણ કે મોટરસાઇકલ સવાર કોઈ બીટ્સ અનુભવતો નથી,તેથી આવૃત્તિઓ સમાન હોવી જોઈએ $(n_1 = n_2)$:
$176 \left( \frac{330 - v}{308} \right) = 165 \left( \frac{330 + v}{330} \right)$
$4$. સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{176}{308} (330 - v) = \frac{165}{330} (330 + v)$
$\frac{4}{7} (330 - v) = \frac{1}{2} (330 + v)$
$8(330 - v) = 7(330 + v)$
$2640 - 8v = 2310 + 7v$
$15v = 330$
$v = 22 \ m/s$.

(A) સમાન વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણ પર લાગતું પરિણામી બળ કેન્દ્રગામી બળ છે,જે હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
કોઈપણ બિંદુની સાપેક્ષે ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રગામી બળ $\vec{F}$ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતું હોવાથી,કેન્દ્રની સાપેક્ષે સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ એ બળ સદિશ $\vec{F}$ સાથે એકરેખસ્થ હોય છે.
તેથી,કેન્દ્રની સાપેક્ષે ટોર્ક $\vec{\tau} = 0$ થાય છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,જો કોઈ બિંદુની સાપેક્ષે પરિણામી બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોય,તો તે બિંદુની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
આમ,કણનું કોણીય વેગમાન વર્તુળના કેન્દ્રની સાપેક્ષે સંરક્ષિત રહે છે.

(A) સમઘનની બાજુની લંબાઈ $l = 1.2 \times 10^{-2} \; m$ છે.
સમઘનનું કદ $V = l^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમત મૂકતા: $V = (1.2 \times 10^{-2} \; m)^3 = (1.2)^3 \times (10^{-2})^3 \; m^3 = 1.728 \times 10^{-6} \; m^3$.
સાર્થક અંકોના નિયમો મુજબ,બાજુની લંબાઈ $1.2$ માં બે સાર્થક અંકો છે. તેથી,પરિણામને બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું જોઈએ.
$1.728$ ને બે સાર્થક અંકોમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા $1.7$ મળે છે.
આમ,કદ $V = 1.7 \times 10^{-6} \; m^3$ છે.

(A) આઘાત $J = Mv$ સળિયાના એક છેડે આપવામાં આવે છે. આ આઘાત સિસ્ટમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ ની આસપાસ કોણીય વેગમાન પ્રદાન કરે છે.
બે દડાની સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સળિયાના મધ્યબિંદુ પર છે.
આઘાત $J$ દ્વારા દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ આપવામાં આવેલ કોણીય વેગમાન $L_{CM} = J \times r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r = L/2$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી આઘાત લાગવાના બિંદુ સુધીનું અંતર છે.
$L_{CM} = (Mv) \times (L/2) = \frac{MvL}{2}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સળિયાને લંબ અક્ષની આસપાસ સિસ્ટમની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = M(L/2)^2 + M(L/2)^2 = 2M(L^2/4) = \frac{ML^2}{2}$ છે.
સંબંધ $L_{CM} = I\omega$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{MvL}{2} = \left( \frac{ML^2}{2} \right) \omega$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega = \frac{MvL/2}{ML^2/2} = \frac{v}{L}$.

(A) આલેખ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ભારમાં ફેરફાર $\Delta W = (40 - 20) \, N = 20 \, N$ માટે,વિસ્તારમાં ફેરફાર $\Delta(\Delta l) = (2 - 1) \times 10^{-4} \, m = 10^{-4} \, m$ છે.
યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/l} = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l}$ છે.
આલેખના ઢાળનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\Delta l}{F} = \frac{10^{-4} \, m}{20 \, N} = 0.05 \times 10^{-4} \, m/N = 5 \times 10^{-6} \, m/N$.
અહીં $l = 1 \, m$ અને $A = 10^{-6} \, m^2$ આપેલ છે,તેથી:
$Y = \frac{l}{A} \cdot \frac{F}{\Delta l} = \frac{1}{10^{-6}} \cdot \frac{1}{5 \times 10^{-6}} = \frac{10^6}{5 \times 10^{-6}} = 0.2 \times 10^{12} \, N/m^2 = 2 \times 10^{11} \, N/m^2$.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ પોલાણની અંદર રહેલા ધન બિંદુવત વિદ્યુતભાર '$q$' થી શરૂ થાય છે અને ધાતુના કવચની અંદરની સપાટી પર એવી રીતે સમાપ્ત થાય છે કે જેથી તે અંદરની સપાટીને લંબ હોય.
ધાતુનું કવચ હોવાથી,કવચના દ્રવ્યની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
જોકે,વિદ્યુતભાર '$q$' કવચની અંદરની સપાટી પર સમાન અને વિરુદ્ધ વિદ્યુતભાર '$-q$' અને બહારની સપાટી પર સમાન વિદ્યુતભાર '$+q$' પ્રેરિત કરે છે.
કવચની બહારની વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ બહારની સપાટીથી શરૂ થઈને અનંત સુધી વિસ્તરે છે,જે બહારની સપાટીને પણ લંબ હોય છે.
આકૃતિ $(b)$ યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે કે રેખાઓ બિંદુવત વિદ્યુતભારથી શરૂ થઈને અંદરની સપાટી પર લંબરૂપે સમાપ્ત થાય છે,અને ત્યારબાદ બહારની સપાટીથી શરૂ થાય છે.

(B) ઓહ્મના નિયમની ચકાસણી કરવા માટે,આપણે અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ અને તેની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત માપવાની જરૂર છે.
$1$. એમીટરનો ઉપયોગ પ્રવાહ માપવા માટે થાય છે અને તેને ઘટક સાથે શ્રેણીમાં જોડવું આવશ્યક છે.
$2$. વોલ્ટમીટરનો ઉપયોગ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત માપવા માટે થાય છે અને તેને ઘટકની આસપાસ સમાંતરમાં જોડવું આવશ્યક છે.
$3$. આપેલા વિકલ્પોમાં,સાચું સેટઅપ તે છે જેમાં એમીટર અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે અને વોલ્ટમીટર અવરોધની આસપાસ સમાંતરમાં જોડાયેલું છે જેથી તેના પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ માપી શકાય.
$4$. ઓહ્મના નિયમની ચકાસણી માટેના પ્રમાણભૂત સર્કિટ ડાયાગ્રામના આધારે,જે સેટઅપમાં એમીટર શ્રેણીમાં અને વોલ્ટમીટર સમાંતરમાં હોય તે સાચું ગોઠવણ છે.

(A) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ અવરોધોના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_{AC}}{R_{CB}}$.
અહીં,$R_{AC}$ એ તારના ભાગ $AC$ નો અવરોધ છે અને $R_{CB}$ એ તારના ભાગ $CB$ નો અવરોધ છે.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$L$ એ લંબાઈ છે,અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આને સંતુલન સ્થિતિમાં મૂકતા: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\rho (x) / A}{\rho (100-x) / A} = \frac{x}{100-x}$.
આમ,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અંશ અને છેદમાંથી રદ થઈ જાય છે,તેથી સંતુલન લંબાઈ $x$ માત્ર અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ ના ગુણોત્તર પર આધાર રાખે છે.
તેથી,તાર $AB$ ની ત્રિજ્યા બદલવાથી સંતુલન લંબાઈ $x$ પર કોઈ અસર થતી નથી.

(A) ધારો કે દરેક અવરોધનું મૂલ્ય $R$ છે. અચળ પ્રવાહ $i$ ધરાવતા પરિપથમાં પાવર વ્યય $P = i^2 R_{eq}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_{eq}$ એ સમતુલ્ય અવરોધ છે.
સંયોજન $I$ (શ્રેણી) માટે: $R_{eq, I} = R + R + R = 3R$.
સંયોજન $II$ (બે શ્રેણીમાં,એક સમાંતરમાં) માટે: $R_{eq, II} = \frac{(2R)(R)}{2R + R} = \frac{2R^2}{3R} = \frac{2}{3}R \approx 0.67R$.
સંયોજન $III$ (ત્રણેય સમાંતરમાં) માટે: $R_{eq, III} = \frac{R}{3} \approx 0.33R$.
સંયોજન $IV$ (બે સમાંતરમાં,એક શ્રેણીમાં) માટે: $R_{eq, IV} = \frac{R}{2} + R = 1.5R$.
સમતુલ્ય અવરોધોની સરખામણી કરતા: $R_{eq, III} (0.33R) < R_{eq, II} (0.67R) < R_{eq, IV} (1.5R) < R_{eq, I} (3R)$.
કારણ કે $P \propto R_{eq}$,પાવર વ્યય પણ સમાન ક્રમ અનુસરે છે: $III < II < IV < I$.

(B) કણ $x-y$ સમતલમાં ગતિ કરે છે. ગતિ $x-y$ સમતલમાં જ રહે તે માટે,પરિણામી બળ $\overrightarrow F_{net} = q(\overrightarrow E + \overrightarrow v \times \overrightarrow B)$ નો $z$-અક્ષ પર કોઈ ઘટક હોવો જોઈએ નહીં.
પ્રારંભિક વેગ $\overrightarrow v = v\hat i$ છે.
વિકલ્પ $(d)$ માં,$\overrightarrow F_{net} = q(a\hat i) + q(v\hat i \times (c\hat k + b\hat j)) = qa\hat i - qvc\hat j + qvb\hat k$. $z$-ઘટક $(qvb\hat k)$ ની હાજરી કણને $x-y$ સમતલની બહાર ધકેલે છે,તેથી $(d)$ ખોટું છે.
વિકલ્પ $(b)$ માં,$\overrightarrow F_{net} = q(a\hat i) + q(v\hat i \times (c\hat k + a\hat i)) = qa\hat i - qvc\hat j$. અહીં,બળના માત્ર $x$ અને $y$ ઘટકો છે,જે કણને $x-y$ સમતલમાં રાખે છે. પથ અર્ધવર્તુળાકાર નથી કારણ કે વિદ્યુત ક્ષેત્ર કણની ઝડપ બદલે છે. આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચું સંયોજન છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત બંધ લૂપ પર લાગતું કુલ ચુંબકીય બળ શૂન્ય હોય છે. તેથી,લૂપ સ્થાનાંતરિત ગતિ કરી શકતું નથી. આથી વિકલ્પો $(c)$ અને $(d)$ ખોટા છે.
ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમ મુજબ,દરેક નાના ખંડ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F_m} = I(\overrightarrow{dl} \times \overrightarrow{B})$ છે. અહીં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ કાગળના સમતલની અંદરની તરફ છે અને વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ વિષમઘડી દિશામાં વહે છે (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ),તેથી દરેક ખંડ પર લાગતું બળ ત્રિજ્યાવર્તી રીતે બહારની તરફ હોય છે. પરિણામે,લૂપ વિસ્તરણ પામવાની વૃત્તિ ધરાવશે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = -M \cdot B = -MB \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $M$ (જે લંબ $\hat{n}$ ની દિશામાં છે) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ આકૃતિઓ પરથી:
$I$ માટે: $\theta = 180^\circ$,તેથી $U_I = -MB \cos(180^\circ) = +MB$.
$II$ માટે: $\theta = 90^\circ$,તેથી $U_{II} = -MB \cos(90^\circ) = 0$.
$III$ માટે: $\theta = 45^\circ$ (આશરે),તેથી $U_{III} = -MB \cos(45^\circ) = -0.707MB$.
$IV$ માટે: $\theta = 135^\circ$ (આશરે),તેથી $U_{IV} = -MB \cos(135^\circ) = +0.707MB$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $U_I (+MB) > U_{IV} (+0.707MB) > U_{II} (0) > U_{III} (-0.707MB)$.
આમ,ઘટતો ક્રમ $I > IV > II > III$ છે.

(A) આપેલ આકૃતિ પરથી,પ્રવાહ $i$ એ વોલ્ટેજ $e$ કરતા $\phi = \pi/4$ ના કળા તફાવતથી આગળ છે. આ સૂચવે છે કે આ $RC$ શ્રેણી સર્કિટ છે.
$RC$ સર્કિટ માટે,કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_C}{R} = \frac{1}{\omega CR}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\phi = \pi/4$ આપેલ છે,તેથી $\tan(\pi/4) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $1 = \frac{1}{\omega CR}$,એટલે કે $\omega CR = 1$.
અહીં $\omega = 100 \text{ rad/s}$ આપેલ છે,તેથી $100 \times C \times R = 1$,અથવા $CR = 1/100 = 0.01 \text{ s}$.
વિકલ્પ $(A)$ તપાસતા: $R = 1000 \, \Omega$ અને $C = 10 \times 10^{-6} \text{ F} = 10^{-5} \text{ F}$.
તેથી $CR = 1000 \times 10^{-5} = 10^{-2} = 0.01 \text{ s}$.
આ શરત સંતોષાય છે,તેથી વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(A) સ્થિતિ ઉર્જા $U = eV = eV_0 \ln(r/r_0)$ છે.
બળ $F = -dU/dr = -d/dr(eV_0 \ln(r/r_0)) = -eV_0/r$. બળનું મૂલ્ય $F = eV_0/r$ છે.
આ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $mv^2/r = eV_0/r$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$mv^2 = eV_0$,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{eV_0/m}$. નોંધો કે $v$ એ $r$ અને $n$ થી સ્વતંત્ર છે.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન $mvr = nh/(2\pi)$ છે.
$v = \sqrt{eV_0/m}$ ને ક્વોન્ટાઇઝેશન શરતમાં મૂકતા,આપણને $m(\sqrt{eV_0/m})r_n = nh/(2\pi)$ મળે છે.
$r_n$ માટે ઉકેલતા,$r_n = (nh / (2\pi)) \cdot \sqrt{1/(meV_0)}$ મળે છે.
જેથી $h, m, e, V_0$ અચળાંકો હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $r_n \propto n$.

(D) બોહર મોડેલમાં કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = n^2 \frac{a_0}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા $(0.529 \ \mathring{A})$ છે,$n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
આપેલ પરમાણુ $_{100}Fm^{257}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 100$ છે.
ફર્મિયમ $(Z=100)$ માટે સૌથી બહારની કક્ષા $5f$ કક્ષા છે,તેથી મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર $n_{shell} = 5$ છે.
સૌથી બહારની કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = (5)^2 \frac{a_0}{100} = \frac{25}{100} a_0 = 0.25 a_0$ થાય.
આમ,ત્રિજ્યા એ બોહર ત્રિજ્યા કરતા $0.25$ ગણી છે,તેથી $n = 0.25$.

(A) ન્યુક્લિયસની ઘનતા $(\rho)$ એ તેના દળ $(m)$ અને કદ $(V)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે $\rho = m/V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રાયોગિક અવલોકનો દર્શાવે છે કે ન્યુક્લિયર ઘનતા તમામ ન્યુક્લિયસ માટે લગભગ અચળ રહે છે, તેમના દળ ક્રમાંકને ધ્યાનમાં લીધા વગર.
જેથી $\rho = \text{અચળ}$, તેથી $m/V = \text{અચળ}$.
આથી, ન્યુક્લિયસનું દળ તેના કદના સમપ્રમાણમાં હોય છે, જેને $m \propto V$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.

(B) પ્રક્રિયાનું $Q$-મૂલ્ય એ મુક્ત થતી કુલ ગતિઊર્જા છે,તેથી $K_{\alpha} + K_{D} = Q = 5.5\, MeV$,જ્યાં $K_{\alpha}$ એ $\alpha$-કણની ગતિઊર્જા છે અને $K_{D}$ એ ડોટર ન્યુક્લિયસની ગતિઊર્જા છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\alpha$-કણ અને ડોટર ન્યુક્લિયસના વેગમાનના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ: $p_{\alpha} = p_{D}$.
સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $p = \sqrt{2mK}$.
તેથી,$\sqrt{2 m_{\alpha} K_{\alpha}} = \sqrt{2 m_{D} K_{D}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $m_{\alpha} K_{\alpha} = m_{D} K_{D}$.
અહીં $m_{\alpha} = 4$ અને $m_{D} = 220 - 4 = 216$ આપેલ છે,તેથી $4 K_{\alpha} = 216 K_{D}$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $K_{D} = \frac{4}{216} K_{\alpha} = \frac{1}{54} K_{\alpha}$ મળે છે.
આ કિંમતને ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $K_{\alpha} + \frac{1}{54} K_{\alpha} = 5.5\, MeV$.
$\frac{55}{54} K_{\alpha} = 5.5\, MeV$.
$K_{\alpha} = 5.5 \times \frac{54}{55} = 0.1 \times 54 = 5.4\, MeV$.

(B) ધારો કે કાચનો વક્રીભવનાંક ${\mu _g}$ છે અને પાણીનો વક્રીભવનાંક ${\mu _w} = 4/3$ છે. હવા માટે વક્રીભવનાંક ${\mu _a} = 1$ છે.
કાચ-પાણીની સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
${\mu _g} \sin i = {\mu _w} \sin r$ ---$(1)$
પાણી-હવાની સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
${\mu _w} \sin r = {\mu _a} \sin 90^\circ$ ---$(2)$
કિરણ પાણીની સપાટીને સમાંતર બહાર આવતું હોવાથી,પાણી-હવાની સપાટી પર વક્રીભવન કોણ $90^\circ$ થાય છે.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
${\mu _g} \sin i = {\mu _a} \sin 90^\circ$
${\mu _g} \sin i = 1 \times 1$
${\mu _g} = \frac{1}{\sin i}$

(B) $1$. બહિર્ગોળ લેન્સ તેના મુખ્ય કેન્દ્ર પર પ્રતિબિંબ $I_1$ રચે છે. વસ્તુ અનંત અંતરે હોવાથી, પ્રતિબિંબ $I_1$ બહિર્ગોળ લેન્સથી $f = 30\,cm$ અંતરે રચાય છે.
$2$. આ પ્રતિબિંબ $I_1$ નું કદ $2\,cm$ છે.
$3$. $20\,cm$ કેન્દ્રલંબાઈ $(f_2 = -20\,cm)$ ધરાવતો અંતર્ગોળ લેન્સ બહિર્ગોળ લેન્સથી $26\,cm$ અંતરે મૂકવામાં આવે છે. પ્રતિબિંબ $I_1$ અંતર્ગોળ લેન્સ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$4$. અંતર્ગોળ લેન્સથી આભાસી વસ્તુનું અંતર $u = 30\,cm - 26\,cm = 4\,cm$ છે. તે જમણી બાજુ હોવાથી, આપણે $u = +4\,cm$ લઈશું.
$5$. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{4} = \frac{1}{-20}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{4} - \frac{1}{20} = \frac{5-1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$
$v = 5\,cm$.
$6$. અંતર્ગોળ લેન્સ માટે મોટવણી $m = \frac{v}{u} = \frac{5}{4} = 1.25$ છે.
$7$. પ્રતિબિંબ $I_2$ નું નવું કદ $m \times (I_1 \text{ નું કદ}) = 1.25 \times 2\,cm = 2.5\,cm$ થશે.

(B) ભૂમિતિ પરથી,$O$ થી $P$ ને સમાવતી રેખા સુધીનું અંતર $d$ છે. તેથી,$PO = d \sec \theta$.
$CP$ એ તરંગાગ્ર હોવાથી,$C$ થી $P$ સુધીનો પ્રકાશીય પથ $AO$ કિરણ પરના $O$ થી $P$ સુધીના પથ જેટલો થાય છે. કિરણ $BP$ અને પરાવર્તિત કિરણ $OP$ વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta = CO + OP$ છે.
$\triangle COP$ માં,$CO = PO \cos 2\theta = d \sec \theta \cos 2\theta$.
તેથી,$\Delta = d \sec \theta + d \sec \theta \cos 2\theta = d \sec \theta (1 + \cos 2\theta) = d \sec \theta (2 \cos^2 \theta) = 2d \cos \theta$.
કિરણ $OP$ એ $QR$ સપાટી પર પરાવર્તન પામતું હોવાથી,તેમાં $\pi$ જેટલો વધારાનો કળા તફાવત ઉદ્ભવે છે,જે $\lambda / 2$ જેટલા પથ તફાવતને સમતુલ્ય છે.
સહાયક વ્યતિકરણ માટે,કુલ પથ તફાવત $\lambda / 2$ નો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ ($\pi$ ના કળા તફાવતને કારણે): $\Delta = \lambda / 2$.
$2d \cos \theta = \lambda / 2 \implies \cos \theta = \lambda / 4d$.